Разложение многочлена на множители
Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.
Примером разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки, поскольку исходный многочлен обращается в произведение двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом.
Предварительные навыкиРазложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки
При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например:
6x + 3xy = 3x(2 + y)
В рамках изучения многочленов, одночлен принято считать многочленом, состоящим из одного члена. Поэтому, когда в многочлене выносится за скобки общий множитель, то говорят что исходный многочлен представлен в виде произведения многочленов.
В нашем примере многочлен 6x + 3xy был представлен в виде произведения многочленов 3x и (2 +
По-другому говорят, что многочлен 6x + 3xy разложен на множители 3x и (2 + y)Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки такой общий множитель, который является двучленом. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y). В этом многочлене общим множителем является двучлен (x + y). Вынесем его за скобки:
Разложение многочлена на множители способом группировки
Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки. В результате получается разложение исходного многочлена на множители, которое называют разложением на множители способом группировки.
Рассмотрим следующий многочлен:
ax + ay + 3x + 3y
Члены ax и ay
имеют общий множитель a. Выпишем эти члены и заключим их в скобки:(ax + ay)
Далее в многочлене ax + ay + 3x + 3y члены 3x и 3y имеют общий множитель 3.
Выпишем эти члены и тоже заключим их в скобки:
(3x + 3y)
Теперь соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»
(ax + ay) + (3x + 3y)
В многочлене (ax + ay) вынесем за скобки общий множитель a, а в многочлене (3x + 3y) вынесем за скобки общий множитель 3. Делать это нужно в исходном выражении:
Далее замечаем, что двучлен (x + y) является общим множителем. Вынесем его за скобки. Продолжаем решение в исходном примере. В результате получим:
Запишем решение покороче, не расписывая подробно, как каждый член был разделен на общий множитель. Тогда решение получится более компактным:
Чтобы проверить правильно ли мы разложили многочлен на множители, выполним умножение (x + y)(a + 3). Если мы всё сделали правильно, то получим многочлен ax + ay + 3x + 3y
(x + y)(a + 3) = ax + ay + 3x + 3y
Пример 2.
Разложить многочлен 9x + ax − 9y − ay на множители способом группировки.
Члены 9x и −9y имеют общий множитель 9. А члены ax и −ay имеют общий множитель a. Сгруппируем их с помощью скобок, и объединим с помощью знака «плюс»
(9x − 9y) + (ax − ay)
В первой группе (9x − 9y) вынесем за скобки общий множитель 9. Во второй группе (
ax − ay) вынесем за скобки за скобки общий множитель a(9x − 9y) + (ax − ay) = 9(x − y) + a(x − y)
Далее вынесем за скобки двучлен (x − y)
(9x − 9y) + (ax − ay) = 9(x − y) + a(x − y) = (x − y)(9 + a)
Пример 3. Разложить многочлен ab − 3b + b2 − 3a на множители способом группировки.
Сгруппируем первый член ab с четвёртым членом −3a.
А второй член −3b сгруппируем с третьим членом b2. Не забываем, что объединять группы нужно с помощью знака «плюс»
(ab − 3a) + (−3b + b2)
В первой группе вынесем за скобки общий множитель a, во второй группе — общий множитель
(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(−3 + b)
Во втором произведении b(−3 + b) в сомножителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)
(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(b − 3)
Теперь вынесем за скобки общий множитель (b − 3)
(ab − 3a) + (−3b + b2) = a(b − 3) + b(b − 3) = (b − 3)(a + b)
Пример 4.
Разложить многочлен x2y + x + xy2 + y + 2xy + 2 на множители способом группировки.
Сгруппируем первый член многочлена со вторым, третий с четвёртым, пятый с шестым:
В первой группе вынесем за скобки общий множитель x, во второй группе — общий множитель y, в третьей группе — общий множитель 2
Далее замечаем, что многочлен (xy + 1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений
Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.
Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Поменяем местами левую и правую часть, получим:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b
Стало быть, если нам встретится выражение вида a2 + 2ab + b2, то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b). Иными словами, разложить на множители (a + b) и (a + b).
a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b)
Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x2 + 12xy + 9y2
Чтобы воспользоваться формулой a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.
Первый член многочлена 4x
2 + 12xy + 9y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2x, поскольку (2x)2 = 4x2. Третий член 9y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 3y, поскольку (3y)2 = 9y2, а член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y, то есть 2 × 2x × 3y = 12xy.
Очевидно, что переменная a в данном случае равна 2x, а переменная b равна 3y
a = 2x
b = 3y
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 4x2 + 12xy + 9y2 выглядело в виде квадрата суммы (2x + 3y)2, но в результате применения формулы квадрата суммы оно обратилось в многочлен 4
4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2
А поскольку (2x + 3y)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (2x + 3y), то исходный многочлен 4x2 + 12xy + 9y2 можно представить в виде разложения на множители (2x + 3y) и (2x + 3y)
4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)(2x + 3y)
Полностью решение можно записать так:
4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2 × 2x × 3y + (3y)2 = (2x
+ 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)Пример 2.
Разложить на множители многочлен x2 + 12x + 36
Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена x, поскольку x2 = x2, третий член — результатом возведения в квадрат числа 6, поскольку 62 = 36, а член 12x это удвоенное произведение членов x и 6, поскольку 2 × x × 6 = 12x.
Воспользуемся формулой a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. Роль переменной a играет одночлен x, а роль переменной b играет одночлен 6. Отсюда:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
А поскольку (x
x2 + 12x + 36 = (x + 6)(x + 6)
Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений
Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.
Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a2 − 2ab + b2 можно разложить на множители (a − b) и (a − b).
a2 − 2ab + b2 = (a − b)(a − b)
Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x2 − 12xy + 4y2
Чтобы воспользоваться формулой a2 − 2ab + b2 = (a − b)2, нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.
Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена 3x, поскольку (3x)2 = 9x2. Третий член 4y2является результатом возведения в квадрат одночлена 2y, поскольку (2y)2 = 4y2, а член 12xy это удвоенное произведение членов 3x и 2y, то есть 2 × 3x × 2y = 12xy.
Очевидно, что переменная a в данном случае равна 3x, а переменная b равна 2y
a = 3x
b = 2y
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 9x2 − 12xy + 4y2 выглядело в виде квадрата разности (3x − 2y)2, но в результате применения формулы квадрата разности оно обратилось в многочлен 9x2 − 12xy + 4y2. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (3x − 2y)2
9x2 − 12xy + 4y2 = (3x − 2y)2
А поскольку (3x − 2y)2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3x − 2y), то исходный многочлен 9x2 − 12xy + 4y2 можно представить в виде разложения на множители (3x − 2y) и (3x − 2y)
9x2 − 12xy + 4y2 = (3x − 2y)(3x − 2y)
Полностью решение можно записать так:
9x2 − 12xy + 4y2 = (3x)2 − 2 × 3x × 2y + (2y)2 = (3x − 2y)2 = (3x − 2y)(3x − 2y)
Пример 2.
Разложить на множители многочлен x2 − 4x + 4
Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:
x2 − 4x + 4 = x2 − 2 × x × 2 + 22 = (x − 2)2 = (x − 2)(x − 2)
Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений
Вспомним, как выглядит формула куба суммы двух выражений:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Поменяем местами левую и правую часть, получим:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b)3 представляет собой перемножение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).
Стало быть, если нам встретится выражение вида a3 + 3a2b +3ab2 + b3, то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b)(a + b). Иными словами, разложить на множители (a + b), (a + b) и (a + b).
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a + b)(a + b)
Пример 1. Разложить на множители многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3
Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб суммы двух выражений.
Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом суммы двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена m
m3 = m3
Последний член 8n3 является результатом возведения в куб одночлена 2n
(2n)3 = 8n3
Второй член 6m2n является утроенным произведением квадрата первого выражения m и последнего 2n
3 × m2 × 2n = 6m2n
Третий член 12mn2 является утроенным произведением первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n
3 × m × (2n)2 = 3 × m × 4n2 = 12mn2
То есть исходный многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 по всем параметрам соответствует кубу суммы двух выражений.
Переменной a в данном многочлене соответствует m, а переменной b соответствует 2n
a = m
b = 2n
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 выглядело в виде куба суммы (m + 2n)3, но в результате применения формулы куба суммы оно обратилось в многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (m + 2n)3
m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)3
А поскольку (m + 2n)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (m + 2n), то исходный многочлен m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 можно представить в виде разложения на множители (m + 2n), (m + 2n) и (m + 2n)
m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 = (m + 2n)(m + 2n)(m + 2n)
Пример 2.
Разложить на множители многочлен 125x3 + 75x2 + 15x + 1
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 5x
(5x)3 = 125x3
Последний член 1 является результатом возведения в куб одночлена 1
13 = 1
Второй член 75x2 является утроенным произведением квадрата первого выражения 5x и последнего 1
3 × (5x)2 × 1 = 3 × 25x2 = 75x2
Третий член 15x является утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1
3 × 5x × 12 = 15x
Воспользуемся формулой a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3. Роль переменной a играет одночлен 5x, а роль переменной b играет одночлен 1
a = 5x
b = 1
Поэтому,
125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)3
А поскольку (5x + 1)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (5x + 1), то исходный многочлен 125x3 + 75x2 + 15x + 1 можно представить в виде разложения на множители (5x + 1), (5x + 1) и (5x + 1)
125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (5x + 1)(5x + 1)(5x + 1)
Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений
Как и по формуле куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле куба разности двух выражений.
Вспомним, как выглядит формула куба разности двух выражений:
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3
Поскольку правая часть это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 можно разложить на множители (a − b), (a − b) и (a − b).
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)(a − b)(a − b)
Пример 1.
Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3
Прежде чем применять формулу куба разности, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб разности двух выражений.
Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом разности двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 4
43 = 64
Последний член 8x3 является результатом возведения в куб одночлена 2x
(2x)3 = 8x3
Второй член 96x является утроенным произведением квадрата первого выражения 4 и последнего 2x
3 × 42 × 2x = 3 × 16 × 2x = 96x
Третий член 48x2 является утроенным произведением первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x
3 × 4 × (2x)2 = 3 × 4 × 4x2 = 48x2
Видим, что исходный многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3 по всем параметрам соответствует кубу разности двух выражений.
Переменной a в данном многочлене соответствует 4, а переменной b соответствует 2x
a = 4
b = 2x
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 64 − 96x + 48x2 − 8x3 выглядело в виде куба разности (4 − 2x)3, но в результате применения формулы куба разности оно обратилось в многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3. Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (4 − 2x)3
64 − 96x + 48x2 − 8x3 = (4 − 2x)3
А поскольку (4 − 2x)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (4 − 2x), то исходный многочлен 64 − 96x + 48x2 − 8x3 можно представить в виде разложения на множители (4 − 2x), (4 − 2x) и (4 − 2x)
64 − 96x + 48x2 − 8x3 = (4 − 2x)(4 − 2x)(4 − 2x)
Пример 2.
Разложить на множители многочлен 27 − 135x + 225x2 − 125x3
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 3
33 = 27
Последний член 125 является результатом возведения в куб одночлена 5x
(5x)3 = 125x3
Второй член 135x является утроенным произведением квадрата первого выражения 3 и последнего 5x
3 × 32 × 5x = 3 × 9 × 5x = 135x
Третий член 225x2 является утроенным произведением первого выражения 3 и квадрата второго выражения 5x
3 × 3 × (5x)2 = 3 × 3 × 25x2 = 225x2
Воспользуемся формулой a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3. Роль переменной a играет одночлен 3, а роль переменной b играет одночлен 5x
a = 3
b = 5x
Поэтому,
27 − 135x + 225x2 − 125x3 = (3 − 5x)3
А поскольку (3 − 5x)3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3 − 5x), то исходный многочлен 27 − 135x + 225x2 − 125x3 можно представить в виде разложения на множители (3 − 5x), (3 − 5x) и (3 − 5x)
125x3 + 75x2 + 15x + 1 = (3 − 5x)(3 − 5x)(3 − 5x)
Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений
Вспомним, как выглядит формула умножения разности двух выражений на их сумму:
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Эту формулу называют разностью квадратов.
Она позволяет разложить выражение вида a2 − b2 на множители (a − b) и (a + b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 16x2 − 25y2
Чтобы воспользоваться формулой a2 − b2 = (a − b)(a + b), следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b.
Первый член 16x2 является результатом возведения в квадрат одночлена 4x
(4x)2 = 16x2
Второй член 25y2 является результатом возведения в квадрат одночлена 5y
(5y)2 = 25y2
То есть в данном случае переменной a соответствует одночлен 4x, а переменной b соответствует одночлен 5y
a = 4x
b = 5y
Теперь можно воспользоваться формулой a2 − b2 = (a − b)(a + b).
Подставим в неё наши значения a и b
(4x)2 − (5y)2 = (4x − 5y)(4x + 5y)
Полностью решение можно записать так:
16x2 − 25y2 = (4x)2 − (5y)2 = (4x − 5y)(4x + 5y)
Для проверки можно выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y). Если мы всё сделали правильно, то должны получить 16x2 − 25y2
(4x − 5y)(4x + 5y) = 16x2 − 20xy + 20xy − 25y2 = 16x2 − 25y2
Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 − y2
В данном случае переменной a соответствует x, а переменной b соответствует y.
Тогда по формуле квадрата разности имеем:
x2 − y2 = (x − y)(x + y)
Случай как в данном примере является наиболее простым, поскольку здесь сразу видно чему равно a и чему равно b.
Чаще всего члены, из которых состоит исходная разность, являются результатами возведения во вторую степень каких-нибудь одночленов. Чтобы узнать чему в таком случае равны a и b, нужно как в первом примере представить члены исходной разности в виде одночленов возведённых в квадрат.
Например, чтобы разложить многочлен 4x4 − 9y6 на множители, нужно исходные члены представить в виде одночленов возведённых в квадрат. Первый член в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (2x2)2, поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 4x4
(2x2)2 = 4x4
А член 9y6 в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (3y3)2, поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 9y6
(3y3)2 = 9y6
Теперь мы знаем, чему равны a и b.
Они равны 2x2 и 3y3 соответственно. Подставим их в формулу a2 − b2 = (a − b)(a + b)
(2x2)2 − (3y3)2 = (2x2 − 3y3)(2x2 + 3y3)
Полностью решение можно записать так:
4x4 − 9y6 = (2x2)2 − (3y3)2 = (2x2 − 3y3)(2x2 + 3y3)
Несмотря на простоту разложения по формуле разности квадратов, частые ошибки приходятся именно на эти задачи. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, не мешает выполнить умножение в получившемся разложении. Если задача решена правильно, то должен получиться изначальный многочлен.
Проверим умножением данный пример.
У нас должен получиться многочлен 4x4 − 9y6
(2x2 − 3y3)(2x2 + 3y3) = 2x2(2x2 + 3y3) − 3y3(2x2 + 3y3)
= 4x4 + 6x2y3 − 6x2y3 − 9y6 = 4x4 − 9y6
Пример 4. Разложить на множители многочлен 81 − 64
Представим члены исходной разности в виде одночленов возведенных в квадрат. Далее воспользуемся формулой разности квадратов:
81 − 64 = 92 − 82 = (9 − 8)(9 + 8)
Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений
Мы помним, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений:
(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую суммой кубов двух выражений:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Эта формула позволяет разложить выражение вида a3 + b3 на множители (a + b) и (a2 − ab + b2).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x3 + 64y3
Представим члены 27x3 и 64y3 в виде одночленов, возведённых в куб
27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3
Теперь воспользуемся формулой суммы кубов. Переменная a в данном случае равна 3x, переменная b равна 4y
27x3 + 64y3 = (3x)3 + (4y)3 = (3x + 4y)((3x)2 − 3x × 4y + (4y)2) =
(3x + 4y)(9x2 − 12xy + 16y2)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 125 + 8
Представим члены 125 и 8 в виде одночленов, возведённых в куб:
125 + 8 = 53 + 23
Далее воспользуемся формулой суммы кубов:
125 + 8 = 53 + 23 = (5 + 2)(25 − 10 + 4)
Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений
Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений:
(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую разностью кубов двух выражений:
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
Эта формула позволяет разложить выражение вида a3 − b3 на множители (a − b) и (a2 + ab + b2).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 64x3 − 27y3
Представим члены 64x3 и 27y3 в виде одночленов, возведённых в куб:
64x3 − 27y3 = (4x)3 − (3y)3
Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 4x, переменная b равна 3y
64x3 − 27y3 = (4x)3 − (3y)3 = (4x − 3y)((4x)2 + 4x × 3y + (3y)2) =
(4x − 3y)(16x2 + 12xy + 9y2)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 64 − 27
Представим члены 64 и 27 в виде одночленов, возведённых в куб:
64 − 27 = 43 − 33 = (4 − 3)(16 + 12 + 9)
Пример 3.
Разложить на множители многочлен 125x3 − 1
Представим члены 125x3 и 1 в виде одночленов, возведённых в куб:
125x3 − 1 = (5x)3 − 13
Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 5x, переменная b равна 1
125x3 − 1 = (5x)3 − 13 = (5x − 1)((5x)2 + 5x × 1 + 12) =
(5x − 1)(25x2 + 5x + 1)
Разложение многочлена на множители различными способами
К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.
Пример 1. Разложить на множители многочлен ax2 − ay2
В данном многочлене содержится общий множитель a.
Вынесем его за скобки:
ax2 − ay2 = a(x2 − y2)
При этом в скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим:
ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 3x2 + 6xy + 3y2
Вынесем за скобки общий множитель 3
3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2)
В скобках образовался многочлен, который является квадратом суммы двух выражений, а именно выражений x и y. Тогда этот квадрат суммы можно представить как (x + y)2 и далее записать в виде двух сомножителей, каждый из которых равен (x + y)
3x2 + 6xy + 3y2 = 3(x2 + 2xy + y2) = 3(x + y)2 = 3(x + y)(x + y)
Задания для самостоятельного решения
Задание 1.
Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:
Решение:
Задание 2. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:
Решение:
Задание 3. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:
Решение:
Задание 4. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:
Решение:
Задание 5. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:
Решение:
Задание 6. Следующий многочлен разложите на множители способом группировки:
Решение:
Задание 7. Разложите на множители многочлен:
x2 + 12x + 36
Решение:
x2 + 12x + 36 = x2 + 2 × x × 6 + 62 = (x + 6)2 = (x + 6)(x + 6)
Задание 8. Разложите на множители многочлен:
8xy + y2 + 16x2
Решение:
8xy + y2 + 16x2 = 16x2 + 8xy + y2 = (4x)2 + 2 × 4x × y + y2 = (4x + y)2 = (4x + y)(4x + y)
Задание 9.
Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 10. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 11. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 12. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 13. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 14. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 15. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 16. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 17. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 18. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 19. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 20. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 21. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 22. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 23.
Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 24. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 25. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 26. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 27. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 28. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 29. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 30. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 31. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 32. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 33. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 34. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 35. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 36. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 37.
Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 38. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 39. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 40. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 41. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 42. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 43. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 44. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 45. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 46. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 47. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 48. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 49. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 50. Разложите на множители многочлен:
Решение:
Задание 51.
В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 2a, затем выражение в скобках разложите на множители:
Решение:
Задание 52. В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 4, затем выражение в скобках разложите на множители:
Решение:
Задание 53. В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 2x2y2, затем выражение в скобках разложите на множители:
Решение:
Задание 54. В следующем выражении вынесите за скобки общий множитель 4x3y3, затем выражение в скобках разложите на множители:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
«ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»Тема консультации: «ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ»
Дидактическая основа
Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000…». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.Содержание консультации
В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 7 класса в феврале продолжается работа с четвертой главой «Введение в теорию многочленов». Изучаются три пункта второго параграфа:4.
3.2. Разность квадратов; 4.3.3. Куб суммы и разности;
4.3.4. Сумма и разность кубов.
После чего начинается работа с четвертым параграфом «Разложение многочленов на множители», из которого изучаются пункты:
4.4.1. Вынесение общего множителя за скобки;
4.4.2. Способ группировки;
4.4.3. Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов.
Основные содержательные цели
- сформировать умение представлять разность квадратов, сумму и разность кубов в виде произведения и наоборот преобразовывать произведения многочленов определенного вида в разность квадратов, сумму и разность кубов с помощью соответствующих формул сокращенного умножения;
- сформировать умение представлять куб суммы и разности в виде многочлена стандартного вида и наоборот преобразовывать многочлен определенного вида в куб суммы или разности с помощью соответствующей формулы сокращенного умножения;
- сформировать умение применять формулы сокращенного умножения для алгебраических преобразований, связанных с умножением, и рационализации вычислений;
- сформировать умение раскладывать многочлены на множители следующими способами: вынесением за скобки общего множителя, способом группировки, с помощью формул сокращенного умножения;
- сформировать умение применять при разложении многочленов на множители различные вспомогательные приемы, такие как, перестановка слагаемых; представление члена многочлена в виде суммы или разности подобных ему членов; прибавление и вычитание одного и того же слагаемого, выделение полного квадрата;
- сформировать умение применять разложение на множители для алгебраических преобразований, решений уравнений и рационализации вычислений.
Тематическое планирование В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений. Поэтому тематическое планирование по изучению данного курса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 136 ч. Вариант планирования, разработанный для 3 часов в неделю, обеспечивает выполнение государственного стандарта знаний, усвоение учебного содержания курса (по темам, обязательным для рассмотрения) и продвижение учащихся в развитии мышления, речи, познавательных интересов. При 4 часах в неделю содержание курса существенно расширяется.
Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 3 четверть (3 ч в неделю).
(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как..
.»)
Центр системно – деятельностной педагогики «Школа 2000…» рекомендует для работы по учебнику математики для 7 класса средней школы Л.Г. Петерсон, Д.Л. Абрарова, Е.В. Чутковой использовать по возможности 4 часа в неделю.
Мы предлагаем Вам скачать тематическое планирование на 3 четверть (4 ч в неделю).
(Для того, что бы скачать файл, нажмите правой кнопкой мыши на ссылку, и выберите в меню пункт «Сохранить объект как…»)
Методические рекомендации к организации учебного процесса
Глава 4. Введение в теорию многочленов
§ 3. Формулы сокращенного умножения
П. 2. Разность квадратов
1) В данном пункте учащиеся знакомятся с двумя формулами сокращенного умножения – формулой произведения суммы и разности двух выражений и формулой разности квадратов, которые, по сути, являются одинаковыми равенствами, в которых поменяли местами правую и левую части.
Традиционно эта формула рассматривалась как одна – формула разности квадратов, что приводило к трудностям, возникающим у учащихся при умножении разности двух выражений на их сумму. Поэтому, чаще всего учителю приходилось регулярно использовать на уроках такой прием, как чтение данной формулы «в обратную сторону». Чтобы раз и навсегда показать учащимся, что любая из формул сокращенного умножения «работает» как справа налево, так и слева направо можно использовать материал данного пункта и специально обратить внимание учащихся на это. Можно пояснить учащимся, что для других «обратных» формул не используют отдельного названия, т.к. звучат их названия менее благозвучно, чем у формулы произведения разности и суммы двух выражений. 2) В качестве мотивации к выводу новых формул можно предложить учащимся вычислить
за 30 секунд. После того как они не справятся с этим заданием за указанное время, пояснить, что с помощью формулы сокращенного умножения, открытой сегодня им это легко удастся.
3) Для открытия данных формул учащимся предлагается записать произведение суммы и разности а и b как многочлен стандартного вида. После этого учащимся предлагается обобщить полученное равенство для всех произведений подобного вида и сформулировать правило умножения суммы двух выражений на их разность. Опираясь на полученную формулу, учащиеся формулируют, как можно найти разность квадратов двух выражений (№ 318). Эту работу они могут выполнять самостоятельно в группах или в парах.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 2, а также понятия «сумма» и «разность». Для этого можно использовать задания №№ 316–317.
5) Чтобы показать геометрический смысл данной формулы можно использовать предметные геометрические модели прямоугольника и квадрата, предложенные в учебнике. Необходимо вырезать, прикладывать и перемещать предметные модели либо использовать возможности анимации современной техники.
Это поможет учащимся с образным мышлением запомнить данные формулы. 6) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 322, 337).
7) При 4-часовом планировании рекомендуется отвести больше времени на выполнение заданий более высокого уровня сложности (№№ 340–347).
8) Учащиеся применяют новые формулы для сокращения алгебраических дробей (№ 333), решения уравнений (№ 327, № 336), доказательства утверждений и тождеств (№№ 329, 334, 335). Для формирования умения применять формулы сокращенного умножения в учебнике и другие задания, которые предполагают решение задач с помощью уравнения (№ 339), сравнение значений выражений (№№ 342 – 343) и пр. Учитель выбирает из этих заданий те, которые считает целесообразным выполнить с учащимися.
9) При выполнении заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значения выражений (№№ 345 – 346) следует вспомнить с учащимися необходимые свойства. Рекомендуется, после применения формулы произведения суммы выражений на их разность актуализировать, как изменяется разность при изменении ее компонентов.
Свойство разности «Если значение уменьшаемого увеличить, то значение разности увеличится» и подобные ему свойства известны учащимся с начальной школы. Кроме того, рекомендуется спросить, какое наименьшее значение может принимать квадрат любого выражения (нуля).П. 3. Куб суммы и разности
1) В данном пункте учащиеся знакомятся с двумя формулами сокращенного умножения – формулой куба суммы и куба разности.2) Для проблематизации можно предложить учащимся записать выражение
как многочлен стандартного вида, не используя правило умножения многочленов
3) Для открытия формулы куба суммы (разности) учащимся предлагается использовать задание № 377, в котором проедложены шаги по построению новой формулы. Рекомендуется сначала дать возможность учащимся составить план открытия нового знания самостоятельно. Имея опыт, построения формулы квадрата суммы и разности данная задача является для семиклассников посильной задачей.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 3, а также понятия «куб суммы» и «куб разности».
Для этого можно использовать задания №№ 374–376. 5) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 381 – 382).
6) Для формирования умения применять формулы куба суммы и разности в учебнике предлагается целый перечень заданий, которые предполагают доказательство тождеств, нахождение значений выражений, составление и решение уравнений. Учитель выбирает из них те задания, которые считает целесообразным выполнить со своими учениками.
7) После знакомства с формулами куба суммы и куба разности с учащимися следует обобщить, что теперь им известно как возводить двучлен во 2-ю и 3-ю степени и сообщить, что существуют формулы, позволяющие возводить двучлен в более высокую степень. Можно попросить одного из «сильных» учащихся сформулировать идею вывода подобных формул. При 4-часовом планировании (либо в более подготовленных классах) рекомендуется познакомить учащихся с алгоритмом возведения двучлена в n–ю степень (№№ 399 – 400).
П.
4. Сумма и разность кубов 1) В данном пункте учащиеся знакомятся с формулами суммы и разности кубов. 2) Для проблематизации можно предложить учащимся записать многочлены:
в виде произведения двух многочленов.
3) В связи с особенностями этих формул учащимся вряд ли удастся самостоятельно составить план открытия нового знания, поэтому учащимся предлагается использовать задание № 434, в котором даны шаги по построению новых формул.
4) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними правило умножения многочленов и понятие степени с показателем 3, а также понятия «сумма кубов» и «разность кубов». Для этого можно использовать задания №№ 432–433.
5) Важно показать учащимся применение формул для рационализации вычислений (№№ 439).
6) Для формирования умения применять формулы суммы и разности кубов в учебнике также как и в других пунктах третьего параграфа предлагается перечень заданий, которые предполагают доказательство тождеств, нахождение значений выражений, составление и решение уравнений с использованием данных формул.
Учитель выбирает из них те задания, которые считает целесообразным выполнить со своими учениками. 7) При 4-часовом планировании рекомендуется уделить больше времени на выполнение заданий более высокого уровня сложности (№№ 453–460).
8) При выполнении задания № 459 рекомендуется сначала проанализировать данные равенства, задать, например, следующие вопросы:
- Что записано в левой части равенства? (Произведение многочленов.)
- Что записано в правой части равенства? (Многочлены.)
- Как перейти от произведения многочленов к многочлену? (Перемножить данные многочлены.)
- Как можно рационализировать умножение алгебраических выражений? (Формулы сокращенного умножения помогают при таких преобразованиях.)
- Какие формулы вы здесь сразу видите, подчеркните соответствующие выражения.
Можно подготовить образец заранее либо вызвать на закрытую доску сильного ученика. Полезным будет показать рациональные способы выполнения данных преобразований, для этого можно воспользоваться заранее заготовленными образцами. Если по какой-либо причине подготовить образцы не удастся можно вызывать к доске не одного, а нескольких учащихся, которые бы параллельно доказывали тождество. После выполнения задания разобрать другие способы, которыми пользовались ученики. Кроме того, можно после того как основная часть класса закончит доказательство, следует поинтересоваться, кто нашел другой, более рациональный способ доказательства. Эти способы демонстрируются с помощью специального технического оборудования либо идея преобразования проговаривается вслух.
Целесообразно на примере а) сравнить два способа доказательства тождеств:
1) приведение левой части к правой, при котором придется применить формулу произведения суммы выражений на их разность и в полученном произведении «увидеть» формулу разности кубов;
2) приведение правой части к левой, при котором в разности шестых степеней можно «увидеть» разность кубов и разложить эту разность на произведение двучлена на трехчлен, а полученный двучлен разложить на сумму и разность по формуле разности квадратов.
Второй способ рекомендуется показать после применения первого. На данном этапе он рассматривается с целью опережающей подготовки учащихся к изучению темы «Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения».
§ 4. Разложение многочлена на множители
П.1 Вынесение общего множителя за скобки
1) В данном пункте учащиеся учатся выносить общий множитель за скобки, они уже имеют опыт простейших преобразований такого рода. Так, для первичного формирования умения приводить подобные слагаемые учащиеся выносили общий множитель за скобки на основании распределительного закона умножения.2) В данном пункте у учащихся формируется понятие разложения многочлена на множители. Нужно отметить, что под разложением на множители понимается разложение на буквенные множители. Так, вынесение за скобки числового множителя не является операцией разложения на множители. Например, представление многочлена 2a + 2ac в виде произведения 2(а + ас) не является разложением на множители, а в виде 2а (1 + с) является.
Этот «нюанс» можно обговорить с учащимися при выполнении № 489. 3) Здесь же формируется умение раскладывать на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Теперь учащиеся выполняют это преобразование на основании четко сформулированного правила: чтобы вынести за скобки общий множитель с можно в скобках записать многочлен, каждый член которого получен в результате его деления на с. Можно использовать предложенный в учебнике алгоритм вынесения за скобки общего множителя (в более подготовленном классе учащиеся могут построить его самостоятельно – № 493).
4) В связи с тем, что учащиеся уже знакомы с вынесением за скобки общего множителя, для проблематизации можно предложить учащимся сформулировать, что такое «разложение многочлена на буквенные множители».
5) Для построения логики открытия при подготовке к уроку учитель может воспользоваться заданием № 488.
6) Чтобы подготовить учащихся к открытию следует актуализировать с ними распределительное свойство умножения, использование этого свойства для рационализации вычислений.
Для этой целей рекомендуется использовать задания №№ 485 – 488. 7) Задание № 497 готовит учащихся к следующему пункту. Часто у учащихся возникает сложность с вынесением за скобки общего множителя, который является многочленом. Чтобы преодолеть это возможное затруднение рекомендуется выполнить это задание с подчеркиванием общего множителя.
8) Задание № 498 показывает применение нового преобразования для решения уравнений. Особо следует подчеркнуть, что без разложения на множители уравнения данного вида учащиеся пока решить не могут.
9) Важно показать учащимся применение правила вынесения общего множителя для рационализации вычислений (№№ 496, 502).
П.2 Способ группировки
1) В данном пункте учащиеся учатся применять еще один способ разложения на множители – способ группировки.2) Для проблематизации можно предложить учащимся разложить на множители многочлен:
Причиной возникшего затруднения будет то, что данные одночлены не имеют общего множителя.
Чтобы преодолеть свое затруднения учащиеся должны будут открыть новый способ разложения на множители. 3) Чтобы подготовить учащихся к открытию рекомендуется выполнить задание № 533, в котором учащимся придется переставлять слагаемые местами и группировать произведения, имеющие одинаковые множители, а также № 535. Позже эти идеи помогут семиклассникам построить новый способ самостоятельно.
4) Алгоритм способа группировки, построенный учащимися, может иметь вид:
1) Объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе были общие множители.
2) Найти общий множитель в каждой группе и вынести его.
3) Найти общий множитель в новом многочлене и вынести его.
5) Подготовка, проведенная в предыдущем пункте, дает возможность наряду с простейшими ситуациями использования способа группировки рассмотреть и случаи, которые требуют специальных приемов:
- перестановка слагаемых;
- представление члена многочлена в виде суммы или разности подобных ему членов;
- прибавление и вычитание одного и того же слагаемого.
6) Для проблематизации можно предложить учащимся разложить на множители с использованием способа группировки многочлены:
7) Для организации открытия можно воспользоваться учебником. Учащиеся самостоятельно отбирают и рассматривают примеры 2, 3 и 4 из текста. После работы с текстом учащимся предлагается выполнить задания на пробное действие.
8) Задания №№ 546, 554 показывают применение нового преобразования для решения уравнений. Причем, если раньше указание разложить на множители давалось в задании, то теперь такого указания в тексте задания нет. Анализируя вид уравнения, учащиеся должны понимать, что нужно преобразовать левую часть уравнения в произведение многочленов. Особо следует подчеркнуть, что без разложения на множители уравнения данного вида учащиеся пока решить не могут.
П.3 Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов на множители
1) В данном пункте учащиеся учатся раскладывать на множители многочлены с использованием формул сокращенного умножения. Умение использовать формулы, в которых та или иная формула представлена в явном виде, должно быть уже сформировано в предыдущем параграфе. Теперь с учащимися разбираются случаи, когда для применения формулы сокращенного умножения необходимо выполнить предварительное преобразование исходного многочлена.2) Учащиеся учатся видеть в степенях «квадраты» и «кубы», группировать слагаемые для получения нужной формулы, пользуются уже известными приемами: перестановка слагаемых и прибавление и вычитание одного и того же слагаемого.
3) Для этапа актуализации рекомендуется использовать задания №№ 583 – 585, при выполнении которых учащиеся повторят те понятия и способы действий, которые понадобятся им на уроке.
4) № 586 можно использовать для проблематизации.
Затруднение, возникшее при выполнении этого задания, потребует новых приемов для применения разложения на множители (либо отбора уже известных приемов для применения в новой ситуации). 5) При изучении данного пункта учащиеся знакомятся с таким приемом, как выделение полного квадрата, который дает возможность применить формулы сокращенного умножения (№ 588 (л–н), № 595(д), № 600 готовят учащихся к этому способу, № 601 требует применения способа). Естественно требовать от каждого ученика умения применять данный способ нельзя. Однако более способные учащиеся должны получить возможность познакомиться с приемом выделения полного квадрата. В восьмом классе этот прием даст возможность вывести формулу для решения квадратных уравнений.
Эталоны
В результате изучения данных пунктов учащиеся знают следующие формулы сокращенного умножения: формулу произведения суммы двух выражений на их разность, формулу разности квадратов; формулы куба суммы и куба разности; формулы суммы и разности кубов и умеют их применять.
Учащиеся имеют возможность познакомиться с треугольником Паскаля и соответствующим алгоритмом для возведения двучлена в n–ю степень. Учащиеся знают, что значит разложить многочлен на множители и следующие способы разложения на множители: вынесением за скобки общего множителя, способом группировки, с помощью формул сокращенного умножения и умеют их применять. Учащиеся имеют возможность познакомиться с различными вспомогательными приемами, которые помогают применять вышеперечисленные способы разложения на множители.Методические рекомендации по планированию уроков
При организации учебного процесса необходимо учитывать, что выполнение всех заданий из учебника не является обязательным. Принципы минимакса и вариативности обеспечивают возможность обучения по курсу математики программы «Школа 2000…» детей разного уровня подготовки, в том числе и высокого. Поэтому уровень и количество заданий, включенных в учебник, определялись в соответствии с зоной ближайшего развития более подготовленных учащихся.
Предполагается, что учитель выбирает для работы те задания, которые соответствуют уровню подготовки детей и задачам конкретного урока. Предлагаем Вашему вниманию вариант сценария урока по рассматриваемым темам, в котором описан возможный способ организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся на основе технологии деятельностного метода обучения «Школа 2000…». В отличие от уроков, опубликованных нами в предыдущих консультациях, этот урок является примером урока рефлексивного типа. Подробнее с методикой подготовки и проведения уроков такого типа в 7-9 классах основной школы вы можете познакомиться в разделе Модификация технологии деятельности метода обучения на уроках разной целевой направленности в 7–9 классах основной школы нашей вводной консультации.
Урок 60
Тип урока: РТема урока: «Формулы сокращённого умножения»
Автор: Л.А Грушевская
Основные содержательные цели:
1) организовать самоконтроль умения применять формулы сокращённого умножения при выполнении заданий различного характера;
2) тренировать умение решать задачи на движение.
2} = $$$$ =-\frac{x-16}{x+2} = \frac{16-x}{x+2}$$
Урок 32. применение формул сокращённого умножения. разложение многочленов на множители — Алгебра — 7 класс
Алгебра
7 класс
Урок № 32
Применение формул сокращённого умножения. Разложение многочленов на множители
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Применение формул сокращённого умножения.
- Способы группировки многочленов.
Тезаурус.
То́ждество – равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных.
Математическая формула – символическая запись высказывания.
Основная литература:
- Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
- Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
- Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Давайте вспомним формулы сокращённого умножения.
Существует несколько способов разложения многочлена на множители: вынесение за скобки общего множителя; выделение полного квадрата; применение формулы сокращённого умножения; группировка нескольких методов.
Упростим выражение:
Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось равенство:
Разложите на множители многочлен:
Формулы сокращённого умножения упрощают вычисления, а преобразование выражений – основа всей математики!
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: Откуда берутся формулы сокращённого умножения?
Ответим на этот вопрос на примере формулы квадрата суммы.
Никаких хитростей! Но будет проще выучить их наизусть.
№2. Тип задания: Вычислите, используя формулу сокращённого умножения.
Как разложить на множители квадратный трехчлен
Что такое квадратный трехчлен и как разложить на множители квадратный трехчлен.
Квадратный трехчлен
Квадратным трехчленом называют выражение вида
Разложить на множители квадратный трехчлен — это значит, записать его в виде произведения.
Разложение на множители квадратного трехчлена
Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен используем следующее правило:
, где и — корни уравнения .
Таким образом, нам нужно решить квадратное уравнение и затем найденные корни подставить сюда:
Рассмотрим на примере: требуется разложить на множители квадратный трехчлен:
Решим уравнение: , находим дискриминант , тогда корни уравнения: и , тогда по формуле разложения на множители получаем:
Давайте еще рассмотрим один пример: пусть требуется разложить на линейные множители квадратный трехчлен . Находим корни этого уравнения .
Находим дискриминант уравнения. Если вы забыли как найти дискриминант посмотрите здесь.
, отсюда корни уравнения и . И разложение квадратного трехчлена на множители мы запишем так: .
Краткая схема разложения на множители квадратного трехчлена
- Приравнять квадратный трехчлен к нулю. Получим квадратное уравнение.
- Решим квадратное уравнение, найдем два корня.
- Подставим корни в формулу
Схема не сложная. Но иногда могут встречаться затруднения. Например — что если корень получился один, а не два. На самом деле в квадратном уравнении всегда два корня. Об этом нам «говорит» степень 2, над . Это означает, что если у вас дискриминант равен нулю, вы получаете не один корень, а два совпадающих друг с другом корня. И разложение на множители будет выглядеть так:
.
Например: квадратный трехчлен при равенстве нулю имеет два совпадающих корня и раскладывать на множители мы будем его так
.
В дальнейшем, следует помнить — что в кубическом уравнении 3 корня, в биквадратном — 4. Сколько степеней в уравнении, столько и корней у него должно быть. Другое дело, что некоторые из них, и даже все, могут совпадать в значении. Геометрический смысл такого совпадения в том, что график кривой, которая описывается уравнением, будет лишь касаться оси .
Итак, давайте выполним следующее задание: нужно разложить на множители квадратных трехчлен .
Найдем корни уравнения . Для этого сначала найдем дискриминант .
Тогда корни уравнения: . И .
Итак, получили и . Подставляя в формулу разложения на множители квадратного трехчлена, получим:
.
Теперь вы знаете как разложить на множители квадратный трехчлен. Успехов в учебе!
Разложение квадратного трехчлена на множители — Урок
Тема урока: Разложение квадратного трехчлена на множители.
Цели урока:
Ввести понятие квадратного трёхчлена. Получить формулу разложения квадратного трёхчлена на множители, научить пользоваться данной формулой при решении упражнений.
Развивать умение соотносить, распознавать, сопоставлять, анализировать данные, критически оценивать результаты поиска. Умение производить исследования в простейших учебных ситуациях имеет большое значение для развития продуктивного мышления и активизации познавательной деятельности учащихся.
Воспитывать трудолюбие, самостоятельность, усилить внимание развитию продуктивного мышления.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Мотивация урока.
Не всегда уравненья
Разрешают сомненья
Но итогом сомненья
Может быть озаренье.
3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
Дайте определение квадратного уравнения.
сколько корней имеет уравнение , где ?
Имеет ли уравнение , где , действительные корни?
Какие квадратные уравнения называются неполными?
Как решается уравнение ?
Как решается уравнение ?
Как решается уравнение ? Всегда ли оно имеет решение?
Сформулируйте и запишите формулы квадрата суммы и разности двух одночленов.
Какое выражение называется дискриминантом? Для чего оно нужно?
Как зависит число корней квадратного уравнения от дискриминанта?
Запишите формулу корней квадратного уравнения в общем виде.
Какое квадратное уравнение называется приведенным?
Сформулируйте и запишите теорему Виета.
1. Сколько корней имеет уравнение:
а) 2x²+5x-7=0;
б) 4x²+4x+1=0;
в) x²-x+4=0?
2. Решите уравнения:
а) x²=4;
б) 25x²=9;
в) x²+3x=0.
3. Методом подбора найдите корни квадратного уравнения:
а) x²+5x+6=0; в) x²-6x+5=0;
б) x²-7x+12=0; г) x²+8x+7=0.
4. Изучение нового материала.
Определение: Многочлен вида ax2+bx+c, где а≠0 называют квадратным и трехчленом.
Пример: 2х2-7х+6; -х2-√2х-12; х2-25.
Давайте, сравним общий вид квадратного уравнения и квадратный трехчлен. Приходим к выводу, что корни квадратного трехчлена и квадратного уравнения общего вида совпадают. Поэтому квадратный трехчлен может иметь корни, так же как и квадратное уравнение и их количество зависят от значения дискриминанта квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен, имеющий корни, можно разложить на множители.
Рассмотрим конкретный пример. Применим способ группировки: разложим квадратный многочлен х2-5х+6 на множители. По формулам Виета найдем корни, они соответственно равны 2 и 3.
х2-5х+6=х2-(2+3)х+2*3=х2-2х-3х+2*3=х(х-2)-3(х-2)=(х-2)(х-3).
Разложим теперь на множители трехчлен:
2х2-10х+12. Он имеет те же корни, что и х2-5х+6. Поэтому 2(х2-5х+6)=2(х-2)(х-3).
В общем случае:
Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ах2-bx+c, то ах2-bx+c=а(х-х1)(х-х2) (1).
Для доказательства проведем преобразование правой части равенства (1), воспользовались теоремой Виета, выполнив подстановку х1+х2=-b/a и х1*х2=с/а.
а(х-х1)(х-х2)=а(х2-х1х-х2х+х1х2)=а(х2-(х1+х2)х+х1х2)=а(х2+bх/a+с/а)=ах2+bx+с.
Итак, если квадратный трехчлен имеет корни, то он раскладывается на множители. Верно и обратное утверждение: если квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители, то он имеет корни. Это обратное утверждение можно сформулировать по другому: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.
5. Упражнение «Чудо-нос».
После слов «задержу дыхание» учащиеся делают вдох и задерживают дыхание. Учитель читает стихотворный текст, ребята только выполняют задание.
Выполним задание,
Задержим дыхание.
Раз, два, три, четыре –
Снова дышим:
Глубже, шире…
глубоко вдохнули.
спину потянули,
руки вверх подняли
радугу нарисовали
повернулись на восток,
продолжаем наш урок.
6. Закрепление нового материала.
Рассмотрим примеры, которые решены в пункте учебника.
Учащиеся знакомятся с решениями примеров, учитель дает соответствующие пояснения. Затем выполняют № 874(2, 3), 707(1, 2) с использованием теоремы Виета.
Решение № 708(1, 2) вычисление дискриминанта учащиеся выполняют в парах, затем проводится проверка (на боковой доске заранее записаны ответы).
Решение № 711(1, 2) учащиеся поочередно выходят к доске и с помощью учителя выполняют разложение трехчленов на множители.
Самостоятельная работа
І вариант ІІ вариант
Сократить дробь:
Подведение итогов урока. Оценивание учащихся.
Рефлексия. Итоги урока. Д/з.
1. Сегодня я узнал…….
2. Было интересно……
3. Было трудно…….
4. Я выполнял задание….
5. Я понял что…….
6. Теперь я могу…….
7. Я почувствовал что…..
8. Я приобрёл….
9. Я научился…….
10. У меня получилось………
11. Я смог….
12. Я попробую……
13. Меня удивило…..
14. Урок дал мне для жизни….
15. Мне захотелось….
Выучить п.20, решить № 710(1-4), 708(3, 4), 712(1)
Тема урока: Решение уравнений, которые сводятся к квадратным.
Цели урока:
образовательная: опираясь на предыдущий опыт учащихся по решению квадратных уравнений, закрепить умение решать уравнения, приводимые к квадратным способом подстановки и определять, какую подстановку рациональнее делать.
развивающая: способствовать развитию внимания, логического мышления, умений анализировать, сравнивать и делать выводы.
воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение
Ход урока.
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята.
Среди наук из всех
главнейших
Важнейшая всего одна.
Учите
алгебру, она глава наукам,
Для жизни
очень всем нужна,
Когда достигнешь ты
наук высоты,
Познаешь цену знаниям
своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для
жизни будут кладом не плохим.
2. Мотивация урока.
Эпиграфом нашего урока являются слова Галилео Галилей «Без упорного умственного труда никто не может далеко продвинуться в математике. Но каждый, кому знакома радость познания, кто увидел красоту математики, не будет жалеть затраченных усилий». Для того чтобы успешно решать уравнения, сводящиеся к квадратным, необходимо хорошо знать теорию решения этих самых квадратных уравнений. Поэтому повторим необходимые в дальнейшем понятия и формулы. И. П. Павлов «Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее»
3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
Тест «Продолжить фразу» (последующая самопроверка и оценка знаний).
Квадратным уравнением называется уравнение вида …
Корни квадратного уравнения находятся по формуле …
Количество корней квадратного уравнения зависит от …
Приведённым квадратным уравнением называется уравнение вида …
Способы решения квадратных уравнений: …
Какие уравнения называются дробными рациональными?
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
Основное свойство пропорции.
Когда дробь равна 0?
Решение уравнения x-8x -9 = 0 известными способами.
Решить № 709(2, 5, 11), 711(3).
4.Изучение нового материала.
Решение № 733(1, 2, 4)
Предложите способы решения следующего уравнения:
Составление алгоритма решения уравнений, сводящихся к квадратным.
Алгоритм решения:
Ввести замену переменной
Составить квадратное уравнение с новой переменной
Решить новое квадратное уравнение
Вернуться к замене переменной
Решить получившиеся квадратные уравнения
Сделать вывод о числе решений уравнения
Записать ответ
5. Релаксация: “Поза покоя”
Сесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно положит на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покоя произносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.
Все умеют танцевать,
Прыгать, бегать, рисовать,
Но пока не все умеют
Расслабляться, отдыхать.
Есть у нас игра такая –
Очень лёгкая, простая,
Замедляется движенье,
Исчезает напряжение…
И становится понятно –
Расслабление приятно!
6. Закрепление нового материала.
«Ум человеческий только тогда понимает обобщения, когда он сам его сделал или проверил». Л.Н. Толстой.
Решение № учащиеся поочередно выходят к доске и с помощью учителя выполняют разложение трехчленов на множители.
7. Самостоятельная работа
Работа в парах № 733(5)
8. Рефлексия. Итоги урока. Д/з.
Составьте, пожалуйста «Сенкан»-один из жанров поэзии
1 строчка – квадратное уравнение;
2 строчка – 2 прилагательных;
3 строчка – 3 глагола;
4 строчка – предложение, выражающее личное отношение.
Д/з. Решить № 710(5), 712(2), 734(1, 2, 3).
Уроки по теме «Решение биквадратных уравнений»
Цели урока:
Образовательные: Познакомить учащихся с понятием биквадратное уравнение и способом его решения.
Развивающие: Развивать умения применять теоретические знания на практике. Развивать познавательную активность, мышление, внимание и память, умение слушать товарища, математическую речь.
Воспитательные: воспитание интереса к математике, активности, аккуратности, дисциплинированности, умение общаться.
Ход урока.
1. Организационный этап.
Учитель. Добрый день, дорогие ребята!
Тем, кто учит математике,
Тем, кто учит математику,
Тем, кто знает и любит математику,
И тем, кто ещё не знает, что он любит математику,
Работать сегодня на уроке.
2. Мотивация урока.
Ребята, а какие ассоциации у вас вызывает слово «урок»? Давайте разложим его по буквам.
У – успех,
Р – радость,
О – одаренность,
К – коллектив.
Надеюсь, что сегодня на уроке нас ждет и успех, и радость. И мы, работая в коллективе, покажем свою одарённость.
Будьте внимательны в течение урока. Думайте, спрашивайте, предлагайте – так как дорогой к истине мы будем идти вместе.
3. Актуализация изучения темы.
Этап – I: «Определение квадратного уравнения; неполные уравнения».
Определение: Квадратным
уравнением называют уравнение вида ах2 + bx +c = 0, | |||
а –
первый или старший коэффициент. | |||
Квадратное уравнение полное | Приведенное квадратное уравнение | ||
ах2 + bx +c = 0 | х2+ | ||
Неполное квадратное уравнение | |||
a, b = 0, c = 0 | a,
b, c = 0 | a, b = 0, c | |
3. Этап – II. «Формула корней квадратного уравнения»
Квадратное уравнение: ax2 + bx + c =0 | |
Дискриминант: D = b2 – 4ac. | |
Алгоритм решения квадратного уравнения общего вида | |
Условие | Решение |
D | Уравнение не имеет корней |
D = 0 | Уравнение имеет один корень: x = -. |
D | x1 = , x2 =. |
4. Этап – III. «Теорема Виета»
Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q =0 |
Дискриминант: D = p2 – 4q. |
Теорема Виета для приведенного уравнения: «Сумма
корней приведенного квадратного
уравнения равна второму
коэффициенту, x1 + x2 = — р; x1x2 = q |
Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида: x1 + x2 = -; x1x2 = |
Обратная теорема Виета: Если числа x1 и x2 таковы, что x1 + x2 = — р; x1x2 = q, |
Самостоятельная работа:
Вариант 1: № 708(3), 710(5), 711(4)
Вариант 2: № 708(4), 710(6). 711(5).
Решить № 733(3, 4).
Разложение многочленов на множители
Примеры комбинаций вынесения общего множителя, группировки слагаемых и формул сокращенного умножения для разложения многочленов на множители.
1) y3 + 16 – 4y – 4y2 = (y3 – 4y) + (16 — 4y2) = (y3 – 4y) – (4y2 – 16) = y(y2 – 4) – 4(y2 – 4) == (y2 – 4)(y — 4) = (y – 2)(y + 2)(y — 4).
2) (a – b)3 – a + b = (a – b)3 – (a – b) = (a – b)(( a – b)2 – 1) = (a – b)(a2 – 2ab + b2 — 1).
3) x2 – 6xy – 49 + 9y2 = (x2 – 6xy + 9y2) – 49 = (x – 3y)2 – 49 = (x – 3y – 7) (x – 3y +7).
4) c2 + 2c – d2 – 2d = (c2 – d2) + (2c – 2d) = (c – d)(c + d) + 2(c – d) = (c – d)( c + d + 2).
Примеры нестандартных разложений многочленов на множители.
Одно или несколько слагаемых представляется в виде суммы или разности, после чего можно применять группировку или формулы сокращенного умножения.Пример 1. Разложение многочлена на множители y2 – 14y + 40.
y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y2 – 14y + 49) – 9 = (y – 7)2 – 32 = (y – 7 – 3)(y – 7 + 3) = (y – 10)(y – 4).
Пример 2. Разложение многочлена на множители x2 + 7x + 12.
x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = (x2 + 3x) + (4x + 12) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4).
Пример 3. Разложение многочлена на множители x2 + 8x +7.
x2 + 8x +7 = x2 + 7x + x + 7 = (x2 + 7x) + (x + 7) = x(x + 7) + (x + 7) = (x + 7)(x + 1).
Пример 4. Разложение многочлена x2 + x – 12 на множители.
x2 + x – 12 = x2 + 4x – 3x – 12 = (x2 + 4x) – (3x +12) = x(x + 4) – 3(x + 4) = (x + 4)(x – 3).
Пример 5. Разложение многочлена на множители x2 — 10x + 24.
x2 — 10x + 24 = x2 -2*5 x + 25 – 1 = (x2 — 2*5 x + 25) – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 5 – 1)(x – 5 + 1) = (x – 6)(x – 4).
Пример 6. Разложение многочлена на множители x2 — 13x + 40.
x2 — 13x + 40 = x2 — 10x – 3x + 25 + 15 = (x2 — 10x + 25) – (3x – 15) = (x – 5)2 – 3(x – 5) =
= (x – 5)(x – 5 – 3) = (x – 5)(x – 8).
Пример 7. Разложим на множители многочлен x2 + 15x + 54.
x2 + 15x + 54 = x2 + (12x + 3x) + (36 + 18) = (x2 + 12x + 36) + (3x + 18) = (x + 6)2 + 3(x + 6) =
= (x + 6)(x + 6 + 3) = (x + 6 )(x + 9).
Пример 8. Разложение многочлена x4 + 3x2 + 4 на множители.
x4 + 3x2 + 4 = x4 + (4x2 – x2) + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – x2 = (x2 + 2)2 – x2 = (x2 + 2 – x)( x2 + 2 + x) =
= (x2 – x + 2)( x2 + x + 2).
Пример 9. Разложение многочлена на множители x4 + x2 + 1.
x4 + x2 + 1 = x4 + (2x2 – x2) + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 + 1 – x)( x2 + 1 + x) =
= (x2 – x + 1)( x2 + x + 1).
Пример 10. Разложение многочлен x4 + 4 на множители. Данный многочлен представляет интересный пример выражения, когда на первый взгляд кажется, что его разложить на множители невозможно. Прибавим к нему 4x2 и вычтем 4x2, чтобы значение выражения не изменилось.
x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – 4x2 = (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x) =
= (x2 – 2x + 2)( x2 + 2x + 2).
Факторинг по алгебре
Факторы
У чисел есть множители:
И выражения (например, x 2 + 4x + 3 ) также имеют множители:
Факторинг
Факторинг (в Великобритании называется « Факторинг ») — это процесс нахождения факторов :
Факторинг: поиск того, что нужно умножить, чтобы получить выражение.
Это похоже на «разбиение» выражения на умножение более простых выражений.
Пример: множитель 2y + 6
У 2y и 6 есть общий множитель 2:
Таким образом, мы можем разложить все выражение на:
2у + 6 = 2 (у + 3)
Таким образом, 2y + 6 было «учтено» в 2 и y + 3
Факторинг также противоположен расширению:
Общий коэффициент
В предыдущем примере мы видели, что 2y и 6 имеют общий множитель 2
Но для правильного выполнения работы нам нужен наивысший общий множитель , включая любые переменные
Пример: коэффициент 3y
2 + 12yВо-первых, 3 и 12 имеют общий делитель 3.
Итак, мы могли бы иметь:
3 года 2 + 12 лет = 3 (год 2 + 4 года)
Но мы можем сделать лучше!
3y 2 и 12y также разделяют переменную y.
Вместе, что составляет 3 года:
- 3y 2 равно 3y × y
- 12y — 3y × 4
Таким образом, мы можем разложить все выражение на:
3 года 2 + 12 лет = 3 года (y + 4)
Чек: 3y (y + 4) = 3y × y + 3y × 4 = 3y 2 + 12y
Более сложный факторинг
Факторинг может быть трудным!
До сих пор примеры были простыми, но факторизация может оказаться очень сложной.
Потому что нам нужно изобразить то, что мы умножили на , чтобы получить данное нам выражение!
Это все равно что пытаться найти, какие ингредиенты
пошли на торт, чтобы сделать его таким вкусным.
Это может быть сложно понять!
Опыт помогает
Чем больше опыта, тем проще факторинг.
Пример: Фактор
4x 2 — 9Хммм … похоже, нет общих факторов.
Но знание специальных биномиальных произведений дает нам ключ к разгадке, который называется «разница квадратов». :
Потому что 4x 2 равно (2x) 2 , а 9 равно (3) 2 ,
Итак имеем:
4x 2 — 9 = (2x) 2 — (3) 2
А это можно получить по формуле разности квадратов:
(a + b) (a − b) = a 2 — b 2
Где a — 2x, а b — 3.
Итак, давайте попробуем это сделать:
(2x + 3) (2x − 3) = (2x) 2 — (3) 2 = 4x 2 — 9
Да!
Таким образом, множители 4x 2 — 9 равны (2x + 3) и (2x − 3) :
Ответ: 4x 2 -9 = (2x + 3) (2x − 3)
Как можно этому научиться? Получив много практики и зная «Самобытность»!
Запомни эти личности
Вот список общих «Идентификаций» (включая «разность квадратов» , использованную выше).
Об этом стоит помнить, так как они могут облегчить факторинг.
| а 2 — б 2 | = | (а + б) (а-б) |
| a 2 + 2ab + b 2 | = | (а + б) (а + б) |
| a 2 — 2ab + b 2 | = | (а-б) (а-б) |
| a 3 + b 3 | = | (a + b) (a 2 −ab + b 2 ) |
| a 3 — b 3 | = | (a − b) (a 2 + ab + b 2 ) |
| a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 | = | (а + б) 3 |
| a 3 −3a 2 b + 3ab 2 −b 3 | = | (а-б) 3 |
Подобных гораздо больше, но это самые полезные.
Совет
Обычно лучше всего использовать разложенную форму.
При попытке факторизации выполните следующие действия:
- «Вынести за скобки» любые общие термины
- Посмотрите, подходит ли он какой-либо из идентификационных данных, плюс еще какие-то, которые вы можете знать
- Продолжайте, пока вы больше не сможете множить
Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и многие другие, которые хорошо подходят для факторинга.
Другие примеры
Опыт действительно помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:
Пример: w
4 — 16Показатель степени 4? Может быть, мы могли бы попробовать показатель степени 2:
w 4 — 16 = (w 2 ) 2 — 4 2
Да, это разница квадратов
w 4 — 16 = (w 2 + 4) (w 2 — 4)
И «(w 2 — 4)» — еще одно отличие квадратов
w 4 -16 = (w 2 + 4) (w + 2) (w -2)
Это все, что я могу (если я не использую мнимые числа)
Пример: 3u
4 — 24uv 3Удалить общий множитель «3u»:
3u 4 — 24uv 3 = 3u (u 3 — 8v 3 )
Тогда разница кубиков:
3u 4 — 24uv 3 = 3u (u 3 — (2v) 3 )
= 3u (u − 2v) (u 2 + 2uv + 4v 2 )
Это все, что я могу.
Пример: z
3 — z 2 — 9z + 9Попробуйте разложить на множители первые два и вторые два по отдельности:
z 2 (z − 1) — 9 (z − 1)
Вау, (z-1) есть на обоих, поэтому давайте воспользуемся этим:
(z 2 −9) (z − 1)
А z 2 −9 — разность квадратов
(г-3) (г + 3) (г-1)
Это все, что я могу.
А теперь побольше опыта:
Определение, факторизация важных формул, примеры
Формулы факторизации : Факторизация, также известная как факторинг, представляет собой процесс разбиения большого числа на несколько маленьких чисел.Когда эти маленькие числа умножаются, мы получим фактическое или исходное число. Обычно учащиеся знакомятся с концепциями факторизации в 6 классе.
Факторизация — один из важных методов, который используется для разбивки алгебраического или квадратного уравнения в простую форму. Таким образом, чтобы разобрать сложное уравнение, нужно знать формулы факторизации. В этой статье мы предоставим вам всю необходимую информацию о важных формулах факторизации для многочленов, тригнометрии, алгебры и квадратных уравнений.В конце статьи студенты также могут скачать PDF-файл с формулами факторизации.
ПРОЙДИТЕ БЕСПЛАТНЫЙ ТЕСТ НА ФАКТОРИЗАЦИЮ ЗДЕСЬ
Формулы факторизации: значение факторизации
Когда алгебраическое уравнение или квадратное уравнение сводится к более простому уравнению с помощью метода факторизации, более простое уравнение рассматривается как произведение факторов. Произведение факторов уравнения может быть целым числом, переменной или выражением.
Основной подход метода факторизации заключается в том, что мы не будем расширять скобки дальше.
Также, чек:
Формулы факторизации для алгебраических и квадратных уравнений
Числа можно разложить на различные комбинации, и применить методы факторизации к числам очень просто. Найти факторы уравнения немного сложно.
Числа 1, 3, 5 и 15 равны и делятся на 15 , так как можно разделить само число 15.
| 1 X 15 = 15 3 X 5 = 15 5 X 3 = 15 15 X 1 = 15 |
Тот же метод разложения применяется к полиномам, алгебраическим и квадратным уравнениям. Важные формулы факторизации полиномов, алгебры и квадратного уравнения приведены ниже.
Формулы факторизации для алгебры и квадратных уравнений
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(а — б) 2 = а 2 — 2ab + b 2
(a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b)
(а — б) 3 = а 3 — б 3 — 3аб (а — б)
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a — b) 4 = a 4 — 4a 3 b + 6a 2 b 2 — 4ab 3 + b 4
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c +…) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +… + 2 (ab + ac + bc +…)
Формулы факторизации для определенных чисел и многочленов
а 2 — б 2 = (а + б) (а — б)
a 2 + b 2 = 1/2 [(a + b) 2 + (a — b) 2 ]
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 )
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2 )
a 4 — b 4 = (a — b) (a + b) (a 2 — ab + b 2 )
a 5 — b 5 = (a — b) (a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 )
За исключением первых двух формул из приведенного выше списка, все остальные также относятся к разделу «Формулы факторизации кубических многочленов».
Формулы факторизации для nth степени
a n b n = (a — b) (b 0 a n-1 + b 1 a n-2 + …… + b n-2 a 1 + б н-1 а 0 )
a n + b n = (a — b) (b 0 a n-1 — b 1 a n-2 + …… b n-2 a 1 + б н-1 а 0 )
Формулы факторизации для уравнений тригнометрии
Факторизация или тригонометрия по факторной формуле приведена ниже
- sin A + sin B = 2sin \ (\ frac {A + B \} {2} \) cos \ (\ frac {A-B \} {2} \)
- sin A –sin B = 2cos \ (\ frac {A + B \} {2} \) sin \ (\ frac {A-B \} {2} \)
- cos A + cos B = 2cos \ (\ frac {A + B \} {2} \) cos \ (\ frac {A-B \} {2} \)
- cos A -cos B = –2sin \ (\ frac {A + B \} {2} \) sin \ (\ frac {A-B \} {2} \)
Основная факторизация
Факторизация — это процесс нахождения множителей данного числа, будь то простое или составное число.В то время как Prime Factorization — это процесс нахождения простых факторов данного составного числа. То есть метод простой факторизации может применяться только для составного числа. Есть 2 метода определения основных факторов числа. Чтобы узнать все о том, как найти основные факторы данного числа, щелкните ссылку ниже.
НАЖМИТЕ ЗДЕСЬ, ЧТОБЫ УЗНАТЬ О PRIME FACTORISATION
Решенные вопросы факторизации
Несколько решенных примеров с использованием факторизации приведены ниже:
| 1. Выразите следующее, как в форме (a + b) (ab) (i) a 2 — 64 (ii) 20a 2 — 45b 2 Ответ: Для представления выражений в форме (a + b) (ab) нам нужно будет использовать следующую формулу: a 2 — b 2 = (a + b) (ab) (i) a 2 — 64 = a 2 — 8 2 = (a + 8) (a — 8) (ii) 20a 2 — 45b 2 = 5 (4a 2 — 9b 2 ) = 5 (2a + 3b) (2a — 3b) |
| 2 Как найти множитель уравнения дайте ниже (i) 54x 3 y + 81x 4 y 2 Ответ: Мы можем факторизовать выражение 54x 3 y + 81x 4 y 2 следующим образом: = 2 × 3 × 3 × 3 × х × х × х × у + 3 × 3 × 3 × 3 × x × x × x × x × y × y = 3 × 3 × 3 × x × x × x × y × (2 + 3 xy) = 27x 3 y (2 + 3 xy) |
| 3. Решите квадратное уравнение методом факторизации (x + y) 2 — 4xy Ответ: Чтобы решить это выражение, разверните (x + y) 2 Используйте формулу: ( x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 — 4xy = x 2 + 2xy + y 2 — 4xy = x 2 + y 2 — 2xy Мы знаем, (x — y) 2 = x 2 + y 2 — 2xy Итак, факторизация (x + y) 2 — 4xy = (x — y) 2 |
С помощью решенных выше примеров вы получите представление о том, как разложить на множители Квадратные уравнения.
СКАЧАТЬ ФАКТОРИЗАЦИЮ NCERT SOLUTIONS PDF ЗДЕСЬ
Часто задаваемые вопросы о формулах факторизации
Часто задаваемые вопросы о формулах факторизации приведены ниже:
В. Что такое метод факторизации в математике?A. Факторизация — это обратное умножению. Сложные алгебраические, полиномиальные или квадратные уравнения разбиваются на более простые уравнения. Более простое уравнение при обратном умножении дает фактическое уравнение.Этот процесс известен как факторизация.
Q. Определение факторизации состояния.A. Факторизация может быть определена как разделение объекта на факторы, которые при умножении дают исходный объект.
В. Каков первый метод решения квадратного уравнения?A. Первый метод решения квадратного уравнения — это факторинг. После факторинга нам нужно будет применить квадратичную формулу и заполнить квадрат.
Q.Как вы находите HCF?A. Наивысший общий множитель в сокращении HCF находится путем умножения всех множителей этого конкретного числа.
Теперь вам предоставлена вся необходимая информация о формулах факторизации. Студенты могут использовать NCERT Solutions , предоставленные Embibe для подготовки к экзаменам.
СКАЧАТЬ ФОРМУЛЫ ФАКТОРИЗАЦИИ PDF ЗДЕСЬ
Мы надеемся, что эта подробная статья о формулах факторизации вам поможет.
Если у вас есть какие-либо вопросы относительно этой статьи о формулах факторинга, напишите нам через поле для комментариев ниже, и мы свяжемся с вами как можно скорее.
2960 ПросмотрыСпециальный факторинг: суммы и разности кубов и идеальные квадраты
Purplemath
Две другие специальные формулы факторизации, которые вам нужно запомнить, очень похожи друг на друга; это формулы для разложения сумм и разностей кубов.Вот две формулы:
Факторинг суммы кубов:
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 — ab + b 2 )
Фактор разницы кубов:
a 3 — b 3 = ( a — b ) ( a 2 + ab + b 2 )
На более продвинутых курсах вы узнаете, как они пришли к этим формулам.А пока просто запомните их.
MathHelp.com
Чтобы помочь с запоминанием, сначала обратите внимание, что членов в каждой из двух формул факторизации абсолютно одинаковы.Затем обратите внимание, что в каждой формуле есть только один знак «минус». Разница между этими двумя формулами заключается в расположении одного знака «минус»:
Для разницы кубиков знак «минус» ставится в линейном множителе, a — b ; для суммы кубиков знак «минус» стоит в квадратичном множителе, a 2 — ab + b 2 .
Некоторые люди используют мнемонику « SOAP », чтобы отслеживать знаки; буквы обозначают линейный множитель, имеющий «тот же» знак, что и знак в середине исходного выражения, затем квадратичный множитель, начинающийся со «противоположного» знака по сравнению с исходным выражением, и, наконец, второй знак внутри квадратичный множитель «всегда положителен».
a 3 ± b 3 = ( a [ Тот же знак ] b ) ( a 2 [ Противоположный знак ] ab [ Всегда Положительный ] b 2 )
Какой бы метод лучше всего ни помог вам сохранить эти формулы, используйте его, потому что вы не должны предполагать, что вам будут даны эти формулы на тесте.Вы должны ожидать, что вам нужно будет их знать.
Примечание. Квадратичная часть каждой формулы куба не учитывает фактор , поэтому не тратьте время на попытки разложить его на множители. Да, a 2 -2 ab + b 2 и a 2 + 2 ab + b 2 коэффициент , но это из-за двойки в середине термины. Квадратичные члены этих формул суммы и разности кубов не содержат , равное «2», и, таким образом, не может множить .
Когда вам дается пара кубиков для факторизации, внимательно примените соответствующее правило. Под «осторожно» я имею в виду «использование круглых скобок для отслеживания всего, особенно отрицательных знаков». Вот несколько типичных проблем:
Это эквивалентно x 3 -2 3 . Со знаком «минус» посередине это разница кубиков. Чтобы провести факторинг, я вставлю x и 2 в формулу разности кубов.Так я получаю:
x 3 — 8 = x 3 -2 3
= ( x -2) ( x 2 + 2 x + 2 2 )
= ( x -2) ( x 2 + 2 x + 4)
Первый член содержит куб 3 и куб x .А как насчет второго срока?
Прежде чем паниковать по поводу отсутствия кажущегося куба, я помню, что 1 можно рассматривать как возведенную в любую степень, которая мне нравится, поскольку 1 для любой степени все еще равна 1. В этом случае мне нужна степень 3, так как это даст мне сумму кубиков. Это означает, что выражение, которое они мне дали, можно выразить как:
Итак, чтобы разложить множители, я подставлю 3 x и 1 в формулу суммы кубов.Это дает мне:
27 x 3 + 1 = (3 x ) 3 + 1 3
= (3 x + 1) ((3 x ) 2 — (3 x ) (1) + 1 2 )
= (3 x + 1) (9 x 2 -3 x + 1)
Во-первых, я отмечаю, что они дали мне бином (двухчленный многочлен) и что степень x в первом члене равна 3, поэтому, даже если я не работал с «суммами и разностями» кубиков »в моем учебнике, я бы заметил, что, возможно, мне следует думать в терминах этих формул.
Глядя на другую переменную, я замечаю, что степень 6 — это куб степени 2, поэтому другая переменная в первом члене также может быть выражена в кубе; а именно, как куб квадрата на .
Второй член — 64, который, как я помню, представляет собой куб из 4. (Если бы я не вспомнил или не был уверен, я бы взял свой калькулятор и пробовал вычислять кубики, пока не получил правильное значение. , иначе я бы взял кубический корень из 64.)
Итак, теперь я знаю, что с минусом в середине это разница в два куба; а именно это:
Подставляя подходящую формулу, я получаю:
x 3 y 6 — 64 = ( xy 2 ) 3 — 4 3
= ( xy 2 -4) (( xy 2 ) 2 + ( xy 2 ) (4) + 4 2 )
= ( xy 2 -4) ( x 2 y 4 + 4 xy 2 + 16)
Используя соответствующую формулу, множите 16
x 3 — 250.
Гм … Я знаю, что 16 — это , а не куб чего-либо; на самом деле он равен 2 4 . Как дела?
Что случилось, так это то, что они ожидают, что я использую то, что я узнал о простом факторинге, чтобы сначала преобразовать это в разность кубов. Да, 16 = 2 4 , но 8 = 2 3 , куб. Я могу получить 8 из 16, разделив на 2.Что будет, если я разделю 250 на 2? Я получаю 125, что является кубом из 5. То, что они мне дали, можно переформулировать как:
Я могу применить формулу разности кубов к тому, что находится в круглых скобках:
2 3 x 3 — 5 3 = (2 x ) 3 — (5) 3
= (2 x -5) ((2 x ) 2 + (2 x ) (5) + (5) 2 )
= (2 x -5) (4 x 2 + 10 x + 25)
Собирая все вместе, я получаю окончательную факторизованную форму:
2 (2 x -5) (4 x 2 + 10 x + 25)
Моей первой реакцией могло бы стать применение формулы разности кубов, поскольку 125 = 5 3 .Но как насчет того знака «минус» впереди?
Поскольку ни одна из приведенных мне формул факторинга не включает «минус» впереди, может быть, я смогу вычесть «минус» …?
— x 3 — 125 = –1 x 3 — 125
Ага! Теперь внутри скобок находится сумма кубов, сумма кубиков, которую я могу разложить на множители. У меня есть сумма куба x и куба 5, поэтому:
x 3 + 5 3 = ( x + 5) (( x ) 2 — ( x ) (5) + (5) 2 )
= ( x + 5) ( x 2 -5 x + 25)
Собирая все вместе, получаем:
–1 ( x + 5) ( x 2 — 5 x + 25)
Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в вычислении суммы кубов.Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)
(Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления .)
URL: https://www.purplemath.com/modules/specfact2.htm
Факторизация квадратных уравнений — методы и примеры
Есть ли у вас какие-либо представления о факторизации многочленов ? Поскольку теперь у вас есть основная информация о многочленах, мы узнаем, как решать квадратичные многочлены с помощью факторизации.
Прежде всего, давайте быстро рассмотрим квадратное уравнение . Квадратное уравнение — это многочлен второй степени, обычно в форме f (x) = ax 2 + bx + c, где a, b, c, ∈ R, и a ≠ 0. Термин «a» означает называется старшим коэффициентом, а «c» — абсолютным членом f (x).
Каждое квадратное уравнение имеет два значения неизвестной переменной, обычно известные как корни уравнения (α, β). Мы можем получить корни квадратного уравнения, разложив уравнение на множители.
По этой причине факторизация является фундаментальным шагом на пути к решению любого уравнения в математике. Давай выясним.
Как разложить квадратное уравнение на множители?
Факторинг квадратного уравнения можно определить как процесс разбиения уравнения на произведение его факторов. Другими словами, мы также можем сказать, что факторизация — это обратное умножению.
Для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 путем факторизации используются следующие шаги :
- Разверните выражение и при необходимости очистите все дроби.
- Переместите все члены в левую часть знака равенства.
- Факторизуйте уравнение, разбив средний член.
- Приравняйте каждый коэффициент к нулю и решите линейные уравнения
Пример 1
Решите: 2 (x 2 + 1) = 5x
Решение
Разверните уравнение и переместите все члены слева от знака равенства.
⟹ 2x 2 — 5x + 2 = 0
⟹ 2x 2 — 4x — x + 2 = 0
⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0
⟹ ( x — 2) (2x — 1) = 0
Приравняем каждый множитель к нулю и решим
⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0
⟹ x = 2 или x = 1212
Следовательно, решения x = 2, 1/2.
Пример 2
Решить 3x 2 — 8x — 3 = 0
Решение
3x 2 — 9x + x — 3 = 0
⟹ 3x (x — 3) + 1 (x — 3) = 0
⟹ (x — 3) (3x + 1) = 0
⟹ x = 3 или x = -13
Пример 3
Решите следующее квадратное уравнение ( 2x — 3) 2 = 25
Решение
Разверните уравнение (2x — 3) 2 = 25, чтобы получить;
⟹ 4x 2 — 12x + 9-25 = 0
⟹ 4x 2 — 12x — 16 = 0
Разделите каждый член на 4, чтобы получить;
⟹ x 2 — 3x — 4 = 0
⟹ (x — 4) (x + 1) = 0
⟹ x = 4 или x = -1
Существует множество методов факторизации квадратных уравнений.В этой статье мы сделаем акцент на том, как разложить квадратные уравнения на множители, в которых коэффициент при x 2 равен 1 или больше 1.
Таким образом, мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы получить правильные множители. для данного квадратного уравнения.
Факторинг, когда коэффициент x
2 равен 1Чтобы разложить квадратное уравнение вида x 2 + bx + c, старший коэффициент равен 1. Вам необходимо определить два числа, произведение и сумма которых равны c и b соответственно.
СЛУЧАЙ 1: Когда b и c положительны
Пример 4
Решите квадратное уравнение: x 2 + 7x + 10 = 0
Перечислите множители 10:
1 × 10, 2 × 5
Определите два множителя с произведением 10 и суммой 7:
1 + 10 ≠ 7
2 + 5 = 7.
Проверьте множители, используя распределительное свойство умножения.
(x + 2) (x + 5) = x 2 + 5x + 2x + 10 = x 2 + 7x + 10
Факторы квадратного уравнения: (x + 2) (x + 5)
Приравнивание каждого множителя к нулю дает;
x + 2 = 0 ⟹x = -2
x + 5 = 0 ⟹ x = -5
Следовательно, решение x = — 2, x = — 5
Пример 5
х 2 + 10х + 25.
Решение
Определите два фактора с произведением 25 и суммой 10.
5 × 5 = 25 и 5 + 5 = 10
Проверьте факторы.
x 2 + 10x + 25 = x 2 + 5x + 5x + 25
= x (x + 5) + 5x + 25
= x (x + 5) + 5 (x + 5)
= (x + 5) (x + 5)
Следовательно, x = -5 — это ответ.
СЛУЧАЙ 2: Когда b положительно, а c отрицательно
Пример 6
Решите x 2 + 4x — 5 = 0
Решение
Запишите множители -5.
1 × –5, –1 × 5
Определите факторы, произведение которых равно — 5, а сумма равна 4.
1 — 5 ≠ 4
–1 + 5 = 4
Проверьте факторы, используя свойство распределения.
(x — 1) (x + 5) = x 2 + 5x — x — 5 = x 2 + 4x — 5
(x — 1) (x + 5) = 0
x — 1 = 0 ⇒ x = 1 или
x + 5 = 0 ⇒ x = -5
Следовательно, x = 1, x = -5 — решения.
ВАРИАНТ 3: Когда b и c отрицательны
Пример 7
x 2 — 5x — 6
Решение
Запишите множители — 6:
1 × –6, –1 × 6, 2 × –3, –2 × 3
Теперь определите факторы, произведение которых равно -6, а сумма равна –5:
1 + (–6) = –5
Проверьте коэффициенты используя распределительное свойство.
(x + 1) (x — 6) = x 2 — 6 x + x — 6 = x 2 — 5x — 6
Приравнять каждый множитель к нулю и решить, чтобы получить;
(x + 1) (x — 6) = 0
x + 1 = 0 ⇒ x = -1, или
x — 6 = 0 ⇒ x = 6
Следовательно, решение x = 6, x = -1
СЛУЧАЙ 4: Когда b отрицательно, а c положительно
Пример 8
x 2 — 6x + 8 = 0
Решение
Запишите все множители 8 .
–1 × — 8, –2 × –4
Определить факторы, произведение которых равно 8, а сумма равна -6
–1 + (–8) ≠ –6
–2 + (–4) = –6
Проверьте коэффициенты с помощью распределительного свойства.
(x — 2) (x — 4) = x 2 — 4 x — 2x + 8 = x 2 — 6x + 8
Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите выражение, чтобы получить;
(x — 2) (x — 4) = 0
x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
x — 4 = 0 ⇒ x = 4
Пример 9
Разложить на множители x 2 + 8x + 12.
Решение
Запишите множители 12;
12 = 2 × 6 или = 4 × 3
Найдите множители, сумма которых равна 8:
2 + 6 = 8
2 × 6 ≠ 8
Используйте свойство распределения, чтобы проверить множители;
= x 2 + 6x + 2x + 12 = (x 2 + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6)
= x (x + 6 ) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2)
Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить;
(x + 6) (x + 2)
x = -6, -2
Факторинг, когда коэффициент x
2 больше 1Иногда старший коэффициент квадратного уравнения может быть больше чем 1.В этом случае мы не можем решить квадратное уравнение, используя общие множители.
Следовательно, нам нужно рассмотреть коэффициент при x 2 и множители при c, чтобы найти числа, сумма которых равна b.
Пример 10
Решите 2x 2 — 14x + 20 = 0
Решение
Определите общие множители уравнения.
2x 2 — 14x + 20 ⇒ 2 (x 2 — 7x + 10)
Теперь мы можем найти множители (x 2 — 7x + 10).Поэтому запишите коэффициенты 10:
–1 × –10, –2 × –5
Определите коэффициенты, сумма которых равна — 7:
1 + (–10) ≠ –7
–2 + (–5) = –7
Проверьте коэффициенты, применив свойство распределения.
2 (x — 2) (x — 5) = 2 (x 2 — 5 x — 2x + 10)
= 2 (x 2 — 7x + 10) = 2x 2 — 14x + 20
Приравняйте каждый множитель к нулю и решите;
2 (x — 2) (x — 5) = 0
x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
x — 5 = 0 ⇒ x = 5
Пример 11
Решить 7x 2 + 18x + 11 = 0
Решение
Запишите множители 7 и 11.
7 = 1 × 7
11 = 1 × 11
Примените свойство распределения для проверки факторов, как показано ниже:
(7x + 1) (x + 11) ≠ 7x 2 + 18x + 11
(7x + 11) (x + 1) = 7x 2 + 7x + 11x + 11 = 7x 2 + 18x + 11
Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;
7x 2 + 18x + 11 = 0
(7x + 11) (x + 1) = 0
x = -1, -11/7
Пример 12
Решить 2x 2 — 7x + 6 = 3
Решение
2x 2 — 7x + 3 = 0
(2x — 1) (x — 3) = 0
x = 1/2 или x = 3
Пример 13
Решить 9x 2 + 6x + 1 = 0
Решение
Разложить на множители, чтобы получить:
(3x + 1) (3x + 1) = 0
(3x + 1) = 0,
Следовательно, x = −1 / 3
Пример 14
Разложить на множители 6x 2 — 7x + 2 = 0
Решение
6x 2 — 4x — 3x + 2 = 0
Разложите выражение на множители;
⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0
⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0
⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0
⟹ 3x = 2 или 2x = 1
⟹ x = 2/3 или x = ½
Пример 15
Факторизация x 2 + (4 — 3y) x — 12y = 0
Решение
Разверните уравнение;
x 2 + 4x — 3xy — 12y = 0
Разложить на множители;
⟹ x (x + 4) — 3y (x + 4) = 0
x + 4) (x — 3y) = 0
⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0
⟹ x = -4 или x = 3y
Таким образом, x = -4 или x = 3y
Практические вопросыРешите следующие квадратные уравнения путем факторизации:
- 3x 2 -20 = 160 — 2x 2
- (2x — 3) 2 = 49
- 16x 2 = 25
- (2x + 1) 2 + (x + 1) 2 = 6x + 47
- 2x 2 + x — 6 = 0
- 3x 2 = x + 4
- (x — 7) (x — 9) = 195
- x 2 — (a + b) x + ab = 0
- x 2 + 5 x + 6 = 0
- x 2 — 2 x — 15 = 0
Ответы
- 6, -6
- -2, 5
- — 5/4, 5/4
- -3, 3
- -2, 3/2
- -1 , 4/3
- -6, 22
- a, b
- –3, –2
- 5, — 3
Факторизация — Математика GCSE Revision
Факторизация — Раскрытие скобок
В этом разделе показано, как разложить на множители, и включены примеры, образцы вопросов и видео.
Скобки должны быть расширены следующим образом:
Для выражения формы a (b + c) расширенная версия — это ab + ac, т. Е. Умножьте член вне скобки на все, что находится внутри скобки (например, 2 x ( x + 3) = 2x² + 6x [помните, что x × x равно x²]).
Для выражения формы (a + b) (c + d) расширенная версия имеет вид ac + ad + bc + bd, другими словами, все в первой скобке должно быть умножено на все во второй.
Пример
Развернуть (2x + 3) (x — 1):
(2x + 3) (x — 1)
= 2x² — 2x + 3x — 3
= 2x² + x — 3
Факторизация
Факторизация — это противоположность раскрывающихся скобок, поэтому, например, 2x² + x — 3 помещаются в форму (2x + 3) (x — 1).Это важный способ решения квадратных уравнений.
Первый шаг факторизации выражения — «исключить» все общие множители, которые есть в терминах. Итак, если вас попросят разложить на множители x² + x, поскольку x входит в оба члена, вы должны написать x (x + 1).
Факторизация квадратичных расчетов
В этом видео показано, как решить квадратное уравнение с помощью разложения на множители.
Не существует простого метода разложения квадратичного выражения на множители, но после небольшой практики это станет проще.Однако один систематический метод заключается в следующем:
Пример
Факторизация 12y² — 20y + 3
= 12y² — 18y — 2y + 3 [здесь 20y было разделено на два числа, кратное 36. 36 было выбрано, потому что это произведение 12 и 3, двух других чисел] .
Первые два члена, 12y² и -18y, оба делятся на 6y, поэтому «уберите» этот множитель 6y.
6y (2y — 3) — 2y + 3 [мы можем это сделать, потому что 6y (2y — 3) совпадает с 12y² — 18y]
Теперь сделайте последние два выражения похожими на выражение в скобках:
6y ( 2y — 3) -1 (2y — 3)
Ответ: (2y — 3) (6y — 1)
Пример
Разложить на множители x² + 2x — 8
Нам нужно разделить 2x на два числа, которые умножаются на -8.Это должно быть 4 и -2.
x² + 4x — 2x — 8
x (x + 4) — 2x — 8
x (x + 4) — 2 (x + 4)
(x + 4) (x — 2)
После того, как вы поймете, что происходит, этот метод упрощает факторизацию любого выражения. Стоит изучить эти примеры дальше, если вы не понимаете, что происходит. К сожалению, единственный другой метод факторизации — это метод проб и ошибок.
Разница двух квадратов
Если вас попросят разложить на множители выражение, состоящее из одного квадрата за вычетом другого, вы можете немедленно разложить его на множители.Это потому, что a² — b² = (a + b) (a — b).
Пример
Разложите на множители 25 — x²
= (5 + x) (5 — x) [представьте, что a = 5 и b = x]
Щелкните здесь, чтобы получить дополнительную информацию о квадратных уравнениях.
факторинг по квадратичной формуле
Факторинг по квадратичной формуле — цель этого урока. Это тесно связано с решением уравнений с использованием формулы корней квадратного уравнения.2 простых шага, которые необходимо выполнить при разложении множителей с использованием квадратной формулы:
Шаг 1:
Решите квадратное уравнение, чтобы получить x 1 и x 2
Шаг 2
Uisng ответы, найденные в шаг # 1, форма факторизации: a (x — x 1 ) (x — x 2 )
Пример # 1:
Фактор 4x 2 + 9x + 2 = 0 с использованием формулы квадратичного .
a = 4, b = 9 и c = 2
x = (-b ± √ (b 2 — 4ac)) / 2a
x = (-9 ± √ (9 2 -4 × 4 × 2)) / 2 × 4
x = (-9 ± √ (81 — 4 × 4 × 2)) / 8
x = (-9 ± √ (81 — 4 × 8)) / 8
x = (-9 ± √ (81-32)) / 8
x = (-9 ± √ (49)) / 8
x = (-9 ± 7) / 8
x 1 = (-9 + 7) / 8
x 1 = (-2) / 8
x 1 = -1/4
x 2 = (-9-7) / 8
x 2 = (-16) / 8
x 2 = -2
Формой факторизации является (x — x 1 ) (x — x 2 )
Форма факторизации: 4 (x — -1/4) (x — -2)
Форма факторизации: 4 (x + 1/4) (x + 2)
Теперь используйте свойство распределения, чтобы упростить выражение, избавившись от дробей
4 (x + 1/4) (x + 2) = (4 × x + 4 × 1/4) (x + 2) = (4x + 1) (x + 2)
Пример № 2:
Коэффициент x 2 + 2x — 15 = 0 с использованием квадратной формулы
a = 1, b = 2 и c = -15
x = (-b ± √ (b 2 — 4ac)) / 2a
x = (- 2 ± √ (2 2 — 4 × 1 × -15)) / 2 × 1
x = (-2 ± √ (4 — 4 × 1 × -15)) / 2
x = (-2 ± √ (4-4 × -15)) / 2
x = (-2 ± √ (4 + 60)) / 2
x = (- 2 ± √ (64)) / 2
x = (-2 ± 8) / 2
x 1 = (-2 + 8) / 2
x 1 = (6) / 2
x 1 = 3
x 2 = (-2-8) / 2
x 2 = (-10) / 2
x 2 = -5
Формой факторизации является (x — x 1 ) (x — x 2 )
Форма факторизации 1 (x — 3) (x — -5)
Форма факторизации 1 (x — 3) (x + 5 )
Теперь используйте свойство распределения, чтобы упростить выражение
1 (x — 3) (x + 5) = (1 × x + 1 × -3) (x + 2) = (x — 3) (x + 5)
Важно понимать, как использовать квадратичный формула перед фаторированием по формуле корней квадратного уравнения.
Квадратичное решение на множитель
Квадратное решение на множитель Вот шаги, необходимые для решения квадратичных уравнений на множители:| Шаг 1 : | Напишите уравнение в правильной форме. Чтобы получить правильную форму, вы должны удалить все круглые скобки с каждой стороны уравнения путем распределения, объединить все одинаковые члены и, наконец, установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания. |
| Шаг 2 : | Используйте стратегии факторинга, чтобы учесть проблему. |
| Шаг 3 : | Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равным нулю. |
| Шаг 4 : | Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны. |
Пример 1 — Решить: x 2 + 16 = 10x
| Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания. | |
| Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители. | |
| Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю. | |
| Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны. |
Пример 2 — Решить: 18x 2 — 3x = 6
| Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания. | |
| Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители. | |
| Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю. | |
| Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны. |
Щелкните здесь для практических задач
Пример 3 — Решить: 50x 2 = 72
| Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания. | |
| Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители. | |
| Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю. | |
| Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны. |
Щелкните здесь для практических задач
Пример 4 — Решить: x (2x — 1) = 3
| Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки путем распределения и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания. | |
| Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители. | |
| Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю. | |
| Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны. |
Щелкните здесь для практических задач
Пример 5 — Решить: (x + 3) (x — 5) = –7
| Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки, распределив, объединить одинаковые термины и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания. | |
| Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители. | |
| Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю. | |
| Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны. |
Щелкните здесь для практических задач
Пример 6 — Решить: 3x (x + 1) = (2x + 3) (x + 1)
| Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки, распределив, объединить одинаковые термины и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания. | |
| Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему на множители. | |
| Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю. | |
| Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны. |
Щелкните здесь для практических задач
.