Формула степеней алгебра – ., ,

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

      Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степеней

Сумма нечетных степеней

      Группа формул «Сумма нечетных степеней» приведена в Таблице 3.

      Таблица 3. – Сумма нечетных степеней

Название формулыФормула
Сумма кубовx3 + y3 = (x + y) (x2xy + y2)
Сумма пятых
степеней
x5 + y5 = (x + y) (x4x3y + x2y2
xy3 + y4)
Сумма седьмых
степеней
x7 + y7 = (x + y) (x6x5y + x4y2x3y3 + x2y4xy5 + y6)
Сумма степеней
порядка  2n + 1  
x2n + 1 + y2n + 1 = (x + y) (x2n x2n – 1y + x2n – 2 y2 – …xy2n – 1 + y2n
)

Сумма кубов

x3 + y3 =
= (x + y) (x2xy + y2)

Сумма пятых степеней

x5 + y5 =
= (x + y) (x4x3y +
+ x2y2xy3 + y4)

Сумма седьмых степеней

x7 + y7 =
= (x + y) (x6x5y +
+ x4y2x3y3 +
+ x2y4xy5 + y

6)

Сумма степеней порядка  2n + 1  

x2n + 1 + y2n + 1 =
= (x + y) (x2n
x2n – 1y +
+ x2n – 2 y2
– …xy2n – 1 + y2n)

Разность нечетных степеней

      Если в формулах из Таблицы 3 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Разность нечетных степеней» (Таблица 4.):

      Таблица 4. – Разность нечетных степеней

Название формулыФормула
Разность кубовx3y3 = (x y) (x2 + xy + y2)
Разность пятых
степеней
x5y5 = (x y) (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)

Разность седьмых
степеней

x7y7 = (x y) (x6 + x5y + x4y2 + x3y
3 + x2y4 + xy5 + y6)
Разность степеней
порядка  2n + 1
x2n + 1y2n + 1 = (xy) (x2n + x2n – 1y + x2n – 2 y2 + …+ xy2n – 1 + y2n)

Разность кубов

x3y3 =
= (x y) (x2 + xy + y2)

Разность пятых степеней

x5y5 =

= (x y) (x4 + x3y +
+ x2y2 + xy3 + y4)

Разность седьмых
степеней

x7y7 =
= (x y) (x6 + x5y +
+ x4y2 + x3y3 +
+ x2y4 + xy5 + y6)

Разность степеней порядка  2n + 1

x2n + 1y2n + 1 =
= (xy) (x2n +
+ x2
n
– 1
y +
+ x2n – 2 y2 +
+ …+ xy2n – 1 + y2n)

Разность четных степеней

      Группа формул «Разность четных степеней» приведена в Таблице 5.

      Таблица 5. – Разность четных степеней

Название формулыФормула
Разность квадратовx2y2 = (x + y) (x y)
Разность четвертых
степеней
x4y4 =
= (x + y) (x3x2y + xy2y3) =
= (x + y) (x y) (x2 + y2)
Разность шестых
степеней
x6y6 =
= (x + y) (x5x4y + x3y2x2y3 + xy4y5) =
= (x + y) (x y) (x2 xy + y2) (x2 + xy + y2)
Разность восьмых
степеней
x8y8 =
= (x + y) (x7x6y + x5y2x4y3 + x3y4x2y5 + xy6y7) =
= (x + y) (x y) (x2 + y2) (x4 + y4)
Разность степеней
порядка  2n
x2ny2
n
= (x + y) (x2n – 1 x2n – 2 y + x2n – 3 y2 – …+ xy2n – 2 y2n – 1) ,
x2ny2n = (x y) (x2n – 1 + x2n – 2 y + x2n – 3 y2 + …+ xy2n – 2 + y2n – 1)

Разность квадратов

x2y2 = (x + y) (x y)

Разность четвертых степеней

x4
y
4 =
= (x + y) (x3x2y +
+ xy2y3) =
= (x + y) (x y) (x2 +
+ y2)

Разность шестых степеней

x6y6 =
= (x + y) (x5x4y +
+ x3y2
x2y3 +
+ xy4y5) =
= (x + y) (x y) (x2
– xy
+ y2) (x2 +
+ xy + y
2
)

Разность восьмых степеней

x8y8 =
= (x + y) (x7x6y +
+ x5y2x4y3 +
+ x3y4
x2y5 + xy6y7) =
= (x + y) (x y) (x2 +
+ y2) (x4 + y4)

Разность степеней порядка  2n

x2ny
2n
=
= (x + y) (x2n – 1
x2n – 2 y +
+ x2n – 3 y2
– …+ xy2n – 2
y2n – 1)

* * *

x2ny2n =
= (x y) (x2n – 1 +
+ x2n – 2 y +
+ x2n – 3 y2 +
+ …+ xy2n – 2 +
+ y2n – 1)

      Замечание. Оба разложения на множители двучлена:

x2ny2n ,

приведенные в последней строке Таблицы 5, можно продолжить и далее, по аналогии с тем, как это сделано в других строках таблицы.

      Другие формулы сокращенного умножения можно посмотреть в разделе «Формулы сокращенного умножения: степень суммы, степень разности» нашего справочника.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Формулы понижения степени. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

Урок: Формулы понижения степени

На уроке выводятся формулы понижения степени для синуса и косинуса из формул двойного аргумента, также выводятся формулы понижения степени для  тангенса и котангенса с использованием формул понижения степени для синуса и косинуса. Решается несколько задач с использованием данных формул.

Дано:

Доказать:.

Доказательство:

1) 

2) 

Итак, степень понижается за счет удвоения аргумента:

Получается,

1. Доказать:

Доказательство:

Анализ: ОДЗ не изменяется

2. Доказать:

Доказательство:

Анализ: кроме  добавляется , что сужает ОДЗ.

3. Дано:

Найти:

Анализ условия: Угол задан однозначно, см. рис.1.

Рис. 1.

Указание: все функции половинного аргумента можно вычислять через косинус полного аргумента.

Решение:

1) 

, то , т.е. угол второй четверти, где синус величина положительная.

Ответ: .

2)

Выше показали, что  находится во второй четверти, где его косинус величина отрицательная.

Ответ:.

Проверка:

3) 

Ответ:

4) 

Ответ: .

4. Дано:  

Найти: 

Решение:

Ответ:

На уроке рассматривались формулы понижения степени и их использование при решении задач.

На следующем уроке будут рассмотрены формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал exponenta.ru (Источник). 

 

Сделай дома

№№ 21.20(а, б), 21.22(а), 21.23 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

interneturok.ru

Возведение в степень | Формулы с примерами

Формула возведения в степень

Формула возведения в степень Степенью числа a с показателем n, называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен a.
a — действительное число,
n — натуральное число.

Калькулятор возведения в степень онлайн


Правило возведения в степень

Степень показывает количество раз, которое некое число умножается на себя. Она обозначается малой цифрой (показателем степени) справа вверху от основного числа (основани степени).

Возведение в степень — действие нахождения степени:

Возведение в степень

Умножение числа на себя один раз называется возведением числа в квадрат.

Возведение в степень

Умножение числа на себя два раза называется возведением в куб.

Возведение в степень

Свойства возведения в степень

1. Если отрицательно число возвести в четную степень, то получим положительное число.

Возведение отрицательного числа в степень Пример
(-2)22 > 0;

(-3)34 > 0;

(-5)88 > 0.

2.Если отрицательное число возвести в нечетную степень, то получим отрицательное число.

Возведение отрицательного числа в степень

! Возведение в степень — действие третьей ступени, его выполняют перед действиями второй ступени (умножением и делением) и первой ступени (сложением и вычитанем).

Возведение числа в степень порядок действий

Возведение в степень примеры

1. x3 = x • x • x ;
a = x ;

2. k5 = k • k • k • k • k ;
a = k ;

3. 181 = 18 ;
a = 18;

4. 118 = 1;
a = 1 ;

5. 0 7 = 0;
a = 0;

6. 53 = 5 • 5 • 5 = 125 ;
a = 5 ;

7. 74 = 7 • 7 • 7 • 7 = 2 401 ;
a = 5 ;

formula-xyz.ru

Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций.


Техническая информация тут
  • Перевод единиц измерения величин
  • Таблицы числовых значений
  • Алфавиты, номиналы, единицы
  • Математический справочник тут
  • Физический справочник
  • Химический справочник
  • Материалы
  • Рабочие среды
  • Оборудование
  • Инженерное ремесло
  • Инженерные системы
  • Технологии и чертежи
  • Личная жизнь инженеров
  • Калькуляторы
  • Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление


    Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция. Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения. Примеры значения степенных функций.

    Поделиться:   

    Степенные функции y=xn и y=x1/n, n∈Z. Свойства, графики. Квадратичная функция.
    Свойства степеней. Свойства арифметических корней. Формулы сокращенного умножения.
    Примеры значения степенных функций.

    Справочно: Действительные числа: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа. Понятия и обозначения. Примерно 6 или 7-класс (12-13 лет)

    Свойства функции y=xn
    Область определения
    Область значений
    Четность
    Промежутки знакопостоянства на которых:
    • y > 0
    • y < 0
    Промежутки монотонности:
    • возрастания
    • убывания
    Общие точки
    всех графиков
    Свойства
    Область определения
    Область значений
    Четность
    Промежутки знакопостоянства на которых:
    • y > 0
    • y < 0

    dpva.ru

    Отправить ответ

    avatar
      Подписаться  
    Уведомление о