54. Метод трапеций

— метод численного интегрированияфункции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольнымитрапециями.Алгебраический порядок точностиравен 1.

Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

Составная формула

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок разбивается узлами интегрирования и на каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, то суммирование дастсоставную формулу трапеций

Формула Котеса

Применение формулы трапеций для равномерной сетки

В случае равномерной сетки

где — шаг сетки.

Замечательные свойства

Метод трапеций быстро сходится к точному значению интеграла для периодических функций, поскольку погрешность за период аннулируется. Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

55. Формула Симпсона

(также Ньютона-Симпсона^[1]) относится к приёмамчисленного интегрирования. Получила название в честь британского математикаТомаса Симпсона(1710—1761).

Суть приёма заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленомвторой степени, то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеетпорядок погрешности4 иалгебраический порядок точности3.

Формула

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :

где ,и— значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

Погрешность

При условии, что у функции на отрезкесуществует четвёртая производная, погрешность, согласно найденнойДжузеппе Пеаноформуле равна:

В связи с тем, что значение зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:

Представление в виде метода Рунге-Кутты

Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы

метода Рунге-Куттыследующим образом:

Составная формула (формула Котеса)

Для более точного вычисления интеграла, интервал разбивают наотрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.

где — величина шага, а— узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок

разбит наузлов) в виде

Также формулу можно записать используя только известные значения функции, то есть значения в узлах:

где означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум. Следует обратить внимание на удвоение коэффициента перед суммой. Это связано с тем, что в данном случае роль промежуточных узлов играют исходные узлы интегрирования.

Общая погрешность

при интегрировании по отрезкус шагом(при этом, в частности,,) определяется по формуле^[2]:

.

При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

.

studfile.net

Формула трапеций Википедия

Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок [a,b]{\displaystyle \left[a,b\right]} является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

∫abf(x)dx=f(a)+f(b)2(b−a)+E(f),E(f)=−f″(ξ)12(b−a)3.{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {f(a)+f(b)}{2}}(b-a)+E(f),\qquad E(f)=-{\frac {f»(\xi )}{12}}\left(b-a\right)^{3}.}

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

|E(f)|⩽(b−a)312n2maxx∈[a,b]|f″(x)|,(b−a)312n2=nh412.{\displaystyle \left|E(f)\right|\leqslant {\frac {\left(b-a\right)^{3}}{12n^{2}}}\max _{x\in [a,b]}\left|f»(x)\right|,{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}={\frac {nh^{3}}{12}}.}

Составная формула[ | ]

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок [a,b]{\displaystyle \left[a,b\right]} разбивается узлами интегрирования и на каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

∫abf(x)dx≈∑i=0n−1f(xi)+f(xi+1)2(xi+1−xi)={\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}}(x_{i+1}-x_{i})=}

ru-wiki.ru

Трапеций формула Википедия

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.
2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, f(x)=exp⁡(−x2){\displaystyle f(x)=\exp(-x^{2})}.

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Одномерный случай[ | ]

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

I≈∑i=1nwif(xi),{\displaystyle I\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),}

где n{\displaystyle n} — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки xi{\displaystyle x_{i}} называются узлами метода, числа wi{\displaystyle w_{i}} — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Частным случаем является метод построения интегральных квадратурных формул для равномерных сеток, известный как формулы Котеса. Метод назван в честь Роджера Котса. Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом. После взятия интеграла можно написать

ru-wiki.ru

ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА — это… Что такое ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА?



ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА

ф-ла для приближённого вычисления определ. интегралов (квадратурная ф-ла), имеющая вид:

где h = (b-a)/n, f_k = f(a + kh), k=1,…,n-1.

Естествознание. Энциклопедический словарь.

• ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО
• ТРАПЕЦИЯ

Смотреть что такое «ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА» в других словарях:

• ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА — формула для приближенного вычисления определенных интегралов (квадратурная формула), имеющая вид:где h = (b a) /n, fk = f (a + kh), k=1,…, n 1 …   Большой Энциклопедический словарь

• трапеций формула — формула для приближённого вычисления определённых интегралов (квадратурная формула), имеющая вид: , где h = (b a)/n, fk = f(a + kh), k = 1, …, п   1. * * * ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА, формула для приближенного вычисления определенных… …   Энциклопедический словарь

• Трапеций формула —         формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид                   где fm=f (a+mh), m = 0, 1,…, n. Геометрически применение Т. ф. означает замену площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, графиком… …   Большая советская энциклопедия

• ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА — частный случай Ньютона Котеса квадратурной формулы, в к рой берется два узла: Если подинтегральная функция f(х)сильно отличается от линейной, то формула (1) дает малую точность. Промежуток [ а, b]разбивается на пчастичных промежутков [ х i, xi+1] …   Математическая энциклопедия

• Трапеций формула — …   Википедия

• Формула трапеций — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

• Формула прямоугольников — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

• КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — формула, служа щая для приближённого вычисления определ. интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры К. ф. прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• квадратурная формула — формула, служащая для приближённого вычисления определенных интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры квадратурной формулы  прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула. * * * КВАДРАТУРНАЯ… …   Энциклопедический словарь

• НЬЮТОНА- КОТЕСА КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — интерполяционная квадратурная формула для вычисления интеграла по конечному промежутку [а, b], узлы к рой выбираются следующим образом: где п натуральное число и , число узлов N= n+l. Коэффициенты определяются тем, что квадратурная формула… …   Математическая энциклопедия

dic.academic.ru

Метод трапеций

Метод трапеций — это метод приближённого интегрирования, полезный в тех случаях, когда нет возможности найти первообразную функции и вычислить интеграл через неё.

Помимо метода трапеций существуют другие методы приближённого интегрирования, например, метод прямоугольников и метод парабол.

Метод трапеций по сути похож на метод прямоугольников, но при этом он менее точный, чем метод средних прямоугольников.

Сущность метода трапеций

Рисунок 1. Метод трапеций для вычисления интегралов

Предположим, требуется вычислить интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $\left[a;b\right]$.

Также как и в случае с методом прямоугольников разобьём график кривой на элементарные сегменты c помощью точек с абсциссами $x_i$, и получим ломаную с вершинами в точках $(x_i;y_i)$, при этом $y_i=f(x_i)$, а $i$ принимает значения от $0$ до $n-1$.

Для этого выберем количество отрезков, на которые разбиваем исследуемый интервал и воспользуемся формулой для вычисления длины одного такого отрезка, которую мы уже использовали для метода прямоугольников:

$∆x=\frac{b-a}{n}$

Для вычисления по методу трапеций между собой соединяются две рядом стоящие точки разбиения, в результате образуя элементарные сегменты. Как видно дальше, значение функции $f(x)$ берётся на границах исследуемого отрезка.

Площадь первой такой трапеции составит:

$S_1=\frac{b-a}{n} \cdot \frac{y_1+y_2}{2}$,

а площадь $i$-ой трапеции составит:

$S_i=\frac{b-a}{n} \cdot \frac{y_{i-1}+y_i}{2}$,

Сложим площади всех элементарных трапеций:

$\int^b_a f(x)dx =\frac{b-a}{n}(\frac{y_0+y_n}{2}+y_1+y_2+…+y_{n-1})$

Таким образом, площади всех элементарных трапеций, сложенные вместе, являются приближённой площадью фигуры, ограниченной линиями $x=a$, $x=b$, осью абсцисс и графиком кривой $f(x)$.

Определение 1

Формула для приближённого вычисления интеграла методом трапеций:

$\int_a^b f(x)dx ≈\frac{x_i-x_{i-1}}{2} \cdot(f(x_0)+2\sum^{n-1}_{i=1}f(x_i)+f(x_n))$

Погрешность при использовании метода трапеций

Погрешность метода составляет:

Определение 2

$|δ_n|≤max_{x \in\left[a;b\right]}|f’’(x)| \cdot \frac{n\cdot(\frac{x_i-x_{i-1}}{2})^3}{12}=max_{x \in\left[a;b\right]}|f’’(x)| \cdot (\frac{(b-a)^3}{12n^2})$

Как видно из вышеприведённой формулы, здесь погрешность несколько больше чем погрешность метода средних прямоугольников, однако, не всегда удобно использовать именно этот метод. Метод трапеции удобен если самого графика функции нет, но есть значения, которые принимает функция $f(x)$ в точках разбиения. В случаях же когда всё же есть график, целесообразнее пользоваться методом средних прямоугольников.

Также при невозможности определения максимума функции сложно определить вычисляемую погрешность. В этом случае можно прибегнуть к следующему: сначала провести численное интегрирование методом трапеций для $n=10$, а затем на том же отрезке провести вычисление при $n=20$. Если разница двух полученных значений интегралов составляет меньше чем требуемая по условию погрешность, то в качестве ответа выбирают приближённое значение интеграла при $n=20$, а вычисления заканчивают. В противном случае если требуемая точность не достигнута, продолжают удваивать дальше количество отрезков.

Пример 1

Посчитайте интеграл $\int_1^2 \frac{dx}{x}=ln2$ с точностью до $0, 001$, используя метод трапеций.

Разобьём нашу функцию на 10 равных сегментов.

В начале оценим погрешность вычисления:

$|δ_n|≤max_{x\in \left[1;2\right]}|(\frac{1}{x})’’| \cdot \frac{(2-1)^3}{12 \cdot 10^2}$

В данном случае погрешность составляет $|δ_n|≤0.00008$, следовательно, для разбиения можно использовать 10 сегментов.

Также как и с методом прямоугольников, разобьём подынтегральную функцию на 10 отрезков, длина каждого из которых $Δx=\frac{2-1}{10}=0,1$ и вычислим значение подынтегральной функции $y(x)=\frac{1}{x}$ на границах каждого отрезка:

$x_0=1,0;y_0=1,0000;$

$x_1=1,1; y_1=0,9091;$

$x_2=1,2; y_2=0,8333;$

$x_3=1,3; y_3=0,7692;$

$x_4=1,4; y_4=0,7143;$

$x_5=1,5; y_5=0,6667;$

$x_6=1,6; y_6=0,6250;$

$x_7=1,7; y_7=0,5882;$

$x_8=1,8; y_8=0,5556;$

$x_9=1,9; y_9=0,5263;$

$x_{10}=2,0; y_{10}=0,5000;$

Сумма всех вычисленных значений функции $f(x)$ от первого до девятого включительно составит $6.1877$, а само значение интеграла составит:

$\int_1^2 \frac{dx}{x}=0,1 \cdot (\frac{1,5000}{2})+ 6,1877=0.69377$

Данное значение отвечает необходимой точности.

spravochnick.ru

трапеций формула — это… Что такое трапеций формула?



трапеций формула

трапе́ций фо́рмула формула для приближённого вычисления определённых интегралов (квадратурная формула), имеющая вид: , где h = (b-a)/n, f_k = f(a + kh), k = 1, …, п — 1.

* * *

ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА

ТРАПЕ́ЦИЙ ФО́РМУЛА, формула для приближенного вычисления определенных интегралов (квадратурная формула), имеющая вид:
где h = (b-a) /n, f_k = f (a + kh), k=1,…, n-1.

Энциклопедический словарь. 2009.

• Трапезников Сергей Павлович
• трапеция

Смотреть что такое «трапеций формула» в других словарях:

• ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА — формула для приближенного вычисления определенных интегралов (квадратурная формула), имеющая вид:где h = (b a) /n, fk = f (a + kh), k=1,…, n 1 …   Большой Энциклопедический словарь

• Трапеций формула —         формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид                   где fm=f (a+mh), m = 0, 1,…, n. Геометрически применение Т. ф. означает замену площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, графиком… …   Большая советская энциклопедия

• ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА — частный случай Ньютона Котеса квадратурной формулы, в к рой берется два узла: Если подинтегральная функция f(х)сильно отличается от линейной, то формула (1) дает малую точность. Промежуток [ а, b]разбивается на пчастичных промежутков [ х i, xi+1] …   Математическая энциклопедия

• ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА — ф ла для приближённого вычисления определ. интегралов (квадратурная ф ла), имеющая вид: h = (b a)/n, fk = f(a + kh), k=1,…,n 1. > где h = (b a)/n, fk = f(a + kh), k=1,…,n 1 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Трапеций формула — …   Википедия

• Формула трапеций — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

• Формула прямоугольников — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

• КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — формула, служа щая для приближённого вычисления определ. интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры К. ф. прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• квадратурная формула — формула, служащая для приближённого вычисления определенных интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры квадратурной формулы  прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула. * * * КВАДРАТУРНАЯ… …   Энциклопедический словарь

• НЬЮТОНА- КОТЕСА КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — интерполяционная квадратурная формула для вычисления интеграла по конечному промежутку [а, b], узлы к рой выбираются следующим образом: где п натуральное число и , число узлов N= n+l. Коэффициенты определяются тем, что квадратурная формула… …   Математическая энциклопедия

dic.academic.ru

Трапеций формула — это… Что такое Трапеций формула?



Трапеций формула

        формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид

                  где f_m=f (a+mh), m = 0, 1,…, n. Геометрически применение Т. ф. означает замену площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, графиком функции f (x) и его крайними ординатами f₀ и f_n, суммой площадей прямолинейных трапеций, основаниями которых служат пары ординат f_m, f_m+1(m = 0, 1,…, n –1). Погрешность, возникающая в результате применения Т. ф., равна         

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

• Трапезундская операция 1916
• Трапеция (геометрич.)

Смотреть что такое «Трапеций формула» в других словарях:

• ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА — формула для приближенного вычисления определенных интегралов (квадратурная формула), имеющая вид:где h = (b a) /n, fk = f (a + kh), k=1,…, n 1 …   Большой Энциклопедический словарь

• трапеций формула — формула для приближённого вычисления определённых интегралов (квадратурная формула), имеющая вид: , где h = (b a)/n, fk = f(a + kh), k = 1, …, п   1. * * * ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА, формула для приближенного вычисления определенных… …   Энциклопедический словарь

• ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА — частный случай Ньютона Котеса квадратурной формулы, в к рой берется два узла: Если подинтегральная функция f(х)сильно отличается от линейной, то формула (1) дает малую точность. Промежуток [ а, b]разбивается на пчастичных промежутков [ х i, xi+1] …   Математическая энциклопедия

• ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА — ф ла для приближённого вычисления определ. интегралов (квадратурная ф ла), имеющая вид: h = (b a)/n, fk = f(a + kh), k=1,…,n 1. > где h = (b a)/n, fk = f(a + kh), k=1,…,n 1 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Трапеций формула — …   Википедия

• Формула трапеций — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

• Формула прямоугольников — Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура)  вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… …   Википедия

• КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — формула, служа щая для приближённого вычисления определ. интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры К. ф. прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• квадратурная формула — формула, служащая для приближённого вычисления определенных интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры квадратурной формулы  прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула. * * * КВАДРАТУРНАЯ… …   Энциклопедический словарь

• НЬЮТОНА- КОТЕСА КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — интерполяционная квадратурная формула для вычисления интеграла по конечному промежутку [а, b], узлы к рой выбираются следующим образом: где п натуральное число и , число узлов N= n+l. Коэффициенты определяются тем, что квадратурная формула… …   Математическая энциклопедия

dic.academic.ru