Дискримінант рівняння. Формула Вієта

Дискримінант, як і квадратні рівняння починають вивчати у 8 клаcі в курсі алгебри. Розв’язати квадратне рівняння можна через дискримінант і за допомогою теореми Вієта. Методика вивчення квадратних рівнянь, як і формули дискримінанта досить невдало прищеплюються школярам, як і багато чого в теперішній освіті. Тому проходять шкільні роки, навчання в 9-11 класі заміняє «вища освіта» і всі знову шукають – «Як розв’язати квадратне рівняння?», «Як знайти корені рівняння?», «Як знайти дискримінант?» і …

Формула дискримінанту

Дискримінант D квадратного рівняння a*x² + bx + c=0 рівний D=b² – 4*a*c.
Корені (розв’язки) квадратного рівняння залежать від знаку дискримінанту (D) :
D>0 – рівняння має 2 різних дійсних коренів;
D=0 — рівняння має 1 корінь (2 одинакові корені):

D<0 – не має дійсних коренів (в шкільній теорії). У ВУЗ-ах вивчають комплексні числа і вже на множині комплексних чисел рівняння з від’ємним дискримінантом має два комплексні корені.

Формула для обчислення дискримінанту досить проста, тому безліч сайтів пропонують онлайн калькулятор дискримінанту. Ми з такого роду скриптами ще не розібралися, тому хто знає, як це реалізувати просимо писати на пошту Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

Загальна формула для знаходження коренів квадратного рівняння:

Корені рівняння знаходимо за формулою
Якщо коефіцієнт при змінній в квадраті парний то доцільно обчислювати не дискримінант, а четверту його частину
В таких випадках корені рівняння знаходять за формулою

Другий спосіб знаходження коренів – це Теорема Вієта.

Формулюється теорема не тільки для квадратних рівнянь, а й для многочленів. Це Ви можете почитати у Вікіпедій чи других електронних ресурсах. Однак для спрощення розглянемо ту її частину, що стосується приведених квадратних рівнянь , тобто рівнянь вигляду (a=1)

Суть формул Вієта полягає в тому, що сума коренів рівняння рівна коефіцієнту при змінній, взятому з протилежним знаком. Добуток коренів рівняння рівний вільному члену. Формулами теорема Вієта має запис.
Виведення формули Вієта достатньо просто. Розпишемо квадратне рівняння через прості множники
Як бачите, все геніальне є одночасно простим. Найефективніше використовувати формулу Вієта коли різниця коренів за модулем або різниця модулів коренів рівна 1, 2. Наприклад, наступні рівняння за теоремою Вієта мають корені




До 4 рівняння аналіз має виглядати наступним чином. Добуток коренів рівняння рівний 6, тобто коренями можуть бути значення (1; 6) та (2;3) або пари з протилежним знаком. Сума коренів рівна 7 (коефіцієнту при змінній з протилежним знаком). Звідси робимо висновок, що розв’язки квадратного рівняння рівні x=2; x=3.
Найпростіше підбирати корені рівняння серед дільників вільного члена, корегуючи їх знак з метою виконання формул Вієта. На початку це здається важко зробити, але з практикою на ряді квадратних рівнянь така методика виявиться ефективнішою за обчислення дискримінанту та знаходження коренів квадратного рівняння класичним способом.

Як бачите шкільна теорія вивчення дискримінанту та способів знаходження розв’язків рівняння позбавлена практичного змісту – «Для чого школярам квадратне рівняння?», «Який фізичний зміст дискримінанту?».

Давайте спробуємо розібратися, що описує дискримінант?

В курсі алгебри вивчають функції, схеми дослідження функції та побудови графіку функцій. І серед усіх функцій важливе місце займає парабола, рівняння якої можна записати у вигляді
Так от фізичний зміст квадратного рівняння – це нулі параболи, тобто точки перетину графіка функції з віссю Ox
Властивості парабол, які описані нижче попрошу Вас запам’ятати. Прийде час здавати екзамени, тести, чи вступні іспити і Ви будете вдячні за довідковий матеріал. Знак при змінній в квадраті відповідає чи будуть вітки параболи на графіку іти вгору (a>0),

чи парабола вітками донизу (a<0).

Вершина параболи лежить посередині між коренями

Фізичний зміст дискримінанту:

Якщо дискримінант більший нуля (D>0) парабола має дві точки перетину з віссю Ox.
Якщо дискримінант рівний нулю (D=0) то парабола у вершині дотикається до осі абсцис.

І останній випадок, коли дискримінант менший нуля (D<0) – графік параболи належить площині над віссю абсцис (вітки параболи вгору), або графік повністю під віссю абсцис (вітки параболи опущені донизу).

Неповніні квадратні рівняння

Якщо в квадратному рівнянні коефіцієнт при вільному члені або змінній рівні нулю то такі рівняння називають неповними. Корені рівнянь знаходим

Дискримінант — Вікіпедія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Дискриміна́нт, виріжник^[1] (від лат. discriminar — «розбирати», «розрізняти») многочлена p(x)=a0+a1x+…+anxn{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+…+a_{n}x^{n}} — за визначенням це добуток

D(p)=an2n−2∏i<j(αi−αj)2{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}},

де α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{n}} — всі корені (з урахуванням кратностей) в деякому розширенні основного поля, в якому вони існують.

• Дискримінант рівний нулю т. і т. т., коли многочлен має кратні корені.
• Дискримінант є симетричним многочленом щодо коренів многочлена і тому є многочленом від його коефіцієнтів; ба більше, коефіцієнти цього многочлена цілі, тому не залежать від розширення, в якому беруться корені.
• D(p)=(−1)n(n−1)/2anR(p,p′){\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p’)}, де R(p,p′){\displaystyle R(p,p’)} — результант многочлена p(x){\displaystyle p(x)} і його похідної p′(x){\displaystyle p'(x)}.
  • Зокрема, дискримінант многочлена

    p(x)=xn+an−1xn−1+…+a1x+a0{\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}

    рівний, з точністю до знаку, визначникові такої матриці:

• Дискримінант квадратного тричлена ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} дорівнює b2−4ac{\displaystyle b^{2}-4ac};
• Дискримінант многочлена a3x3+a2x2+a1x+a0{\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}} дорівнює

4a13a3−a12a22+4a0a23−18a0a1a2a3+27a02a32.{\displaystyle 4a_{1}^{3}a_{3}-a_{1}^{2}a_{2}^{2}+4a_{0}a_{2}^{3}-18a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}+27a_{0}^{2}a_{3}^{2}.}

• Зокрема, дискримінант многочлена x3+px+q{\displaystyle x^{3}+px+q} (корені якого обчислюється за формулою Кардано) дорівнює: −27q2−4p3{\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}.

↑ Реєстр репресованих слів. 

Основы алгебры/Дискриминант — Викиучебник

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

Определение дискриминанта[править]

Дискримина́нт многочлена p(x)=a0+a1x+…+anxn{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+…+a_{n}x^{n}}, есть произведение

D(p)=an2n−2∏i<j(αi−αj)2{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}, где α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},…,\alpha _{n}} — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• D(p)=(−1)n(n−1)/2anR(p,p′){\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p’)}, где R(p,p′){\displaystyle R(p,p’)} — результант многочлена p(x){\displaystyle p(x)} и его производной p′(x){\displaystyle p'(x)}.
  • В частности, дискриминант многочлена

p(x)=xn+an−1xn−1+…+a1x+a0{\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}

равен, с точностью до знака, определителю следующей (2n−1)×(2n−1){\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)}-матрицы:

−4a13a3+a12a22−4a0a23+18a0a1a2a3−27a02a32.{\displaystyle -4a_{1}^{3}a_{3}+a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{0}a_{2}^{3}+18a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}-27a_{0}^{2}a_{3}^{2}.}

• В частности, дискриминант многочлена x3+px+q{\displaystyle x^{3}+px+q} (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен −27q2−4p3{\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}.

Дискриминант — это… Что такое Дискриминант?

Дискримина́нт многочлена , есть произведение

, где  — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• , где  — результант многочлена и его производной .
  • В частности, дискриминант многочлена

равен, с точностью до знака, определителю следующей -матрицы:

Примеры

• В частности, дискриминант многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен .

История

Термин образован от лат. 

discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр^[1].

Примечания

Квадратне рівняння. Обчислення дискримінанту та коренів

Задачі на квадратне рівняння вивчаються і в шкільній програмі і у ВУЗах. Під ними розуміють рівняння вигляду a*x² + b*x + c = 0, де x- змінна, a,b,c – константи; a<>0. Завдання полягає у відшуканні коренів рівняння.

Геометричний зміст квадратного рівняння

Графіком функції, яка представлена квадратним рівнянням є парабола. Розв’язки (корені) квадратного рівняння – це точки перетину параболи з віссю абсцис (Ox). З цього випливає, що є три можливі випадки:

1) парабола не має точок перетину з віссю абсцис. Це означає, що вона знаходиться верхній площині з вітками вгору або нижній з вітками вниз. В таких випадках квадратне рівняння не має дійсних коренів (має два комплексні корені).

2) парабола має одну точку перетину з віссю Ох. Таку точку називають вершиною параболи, а квадратне рівняння в ній набуває свого мінімального або максимального значення. В цьому випадку квадратне рівняння має один дійсний корінь (або два однакових кореня).

3) Останній випадок на практиці цікавий найбільше – існує дві точки перетину параболи з віссю абсцис. Це означає, що існує два дійсних кореня рівняння.

На основі аналізу коефіцієнтів при степенях змінних можна зробити цікаві висновки про розміщення параболи.

1) Якщо коефіцієнт а більший нуля то парабола направлена вітками вгору, якщо від’ємний — вітки параболи направлені вниз.

2) Якщо коефіцієнт b більший нуля то вершина параболи лежить в лівій півплощині, якщо приймає від’ємне значення – то в правій.

Виведення формули для розв’язування квадратного рівняння

Перенесемо константу із квадратного рівняння

за знак рівності, отримаємо вираз

Помножимо обидві частини на 4а

Щоб отримати зліва повний квадрат додамо в обох частинах b² та здійснимо перетворення

Звідси знаходимо

Формула дискримінанту та коренів квадратного рівняння

Дискримінантом називають значення підкореневого виразу

Якщо він додатній D>0 то рівняння має два дійсні корені, які обчислюють за формулою

При нульовому дискримінанті D=0 квадратне рівняння має один розв’язок (два співпадаючих корені), які легко отримати з наведеної вище формули при D=0

При від’ємному дискримінанті D<0 рівняння дійсних коренів немає. Однак ісують розв’язки квадратного рівняння в комплексній площині, і їх значення обчислюють за формулою

Теорема Вієта

Розглянемо два корені квадратного рівняння x₁,x₂ та побудуємо на їх основі квадратне рівняння.

З запису легко слідує сама теорема Вієта: якщо маємо квадратне рівняння вигляду

то сума його коренів рівна коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів рівняння рівний вільному доданку q. Формулами сказане вище матиме такий запис

Якщо, в класичному рівнянні константа а відмінна від нуля, то потрібно поділити на неї все рівняння, а потім застосовувати теорему Вієта.

Розклад квадратного рівняння на множники

Нехай поставлено завдання: розкласти квадратне рівняння на множники. Для його виконання спочатку розв’язуємо рівняння (знаходимо корені). Далі, знайдені корені підставляємо в формулу розкладу квадратного рівняння

Дискримінант (теорія полів) — Вікіпедія

Дискримінант системи елементів поля — одна з важливих конструкцій в теорії розширень полів, що є особливо важливою для числових полів і відповідно має широке застосування у алгебричній теорії чисел.

Нехай K{\displaystyle K} скінченне розширення поля k{\displaystyle k} степеня n{\displaystyle n}. Відображення K×K→k:(x,y)→Tr⁡(x,y){\displaystyle K\times K\to k:(x,y)\to \operatorname {Tr} (x,y)} де x,y∈K{\displaystyle x,y\in K}, a Tr{\displaystyle \operatorname {Tr} } — слід елемента є симетричною білінійною формою на полі K{\displaystyle K}, що розглядається як лінійний простір над k{\displaystyle k}. Дискримінант цієї білінійної форми щодо системи елементів w1,…,wm{\displaystyle w_{1},…,w_{m}} з K{\displaystyle K} називається дискримінантом системи

w1,…,wm{\displaystyle w_{1},…,w_{m}} і позначається D(w1,…,wm){\displaystyle D(w_{1},…,w_{m})}. Тобто, D(w1,w2,…,wm):=det(Tr(wi⋅wj)){\displaystyle D(w_{1},w_{2},\dots ,w_{m}):=\det \left(\mathrm {Tr} (w_{i}\cdot w_{j})\right)}.

Зокрема, якщо зазначена система є базисом K{\displaystyle K} над k{\displaystyle k}, то її дискримінант називається дискримінантом базиса K{\displaystyle K} над k{\displaystyle k}.

Наведені означення можуть бути перенесені також на випадок довільної скінченновимірної асоціативної алгебри над полем на випадок кілець і модулів над ними.

Поля алгебричних чисел[ред. | ред. код]

Нехай k=Q{\displaystyle k=\mathbb {Q} } — поле раціональних чисел, K{\displaystyle K} — поле алгебричних чисел і M{\displaystyle M} — деяка ґратка рангу n{\displaystyle n}. Тоді для будь-яких двох базисів ґратки M{\displaystyle M} значення дискримінанта є однаковими і це загальне значення дискримінант називається дискримінантом ґратки M{\displaystyle M}.

Якщо M{\displaystyle M} є кільцем цілих чисел поля K{\displaystyle K}, то дискримінант ґратки M{\displaystyle M} називається просто дискримінантом поля K{\displaystyle K} і позначається DK{\displaystyle D_{K}}. Число DK{\displaystyle D_{K}}, є важливою характеристикою поля K{\displaystyle K}.

Зазначене означення дискримінанта ґратки в полі алгебричних чисел може бути узагальнене на випадок, коли k{\displaystyle k} — поле часток дедекіндового кільця A{\displaystyle A}, a K{\displaystyle K} — скінченне сепарабельне розширення поля k{\displaystyle k} степеня n{\displaystyle n}. Нехай B{\displaystyle B} — ціле замикання кільця A{\displaystyle A} в K{\displaystyle K} і b{\displaystyle {\mathfrak {b}}} — довільний дробовий ідеал кільця B{\displaystyle B}. Тоді дискримінантом ідеалу b{\displaystyle {\mathfrak {b}}} називається A{\displaystyle A}-модуль D(b){\displaystyle D({\mathfrak {b}})}, породжений всіма дискримінантами виду D(w1,…,wn){\displaystyle D(w_{1},…,w_{n})}, де {w1,…,wn}{\displaystyle \{w_{1},…,w_{n}\}} пробігає усі базиси поля K{\displaystyle K} над k{\displaystyle k}, що належать b{\displaystyle {\mathfrak {b}}}. D(b){\displaystyle D({\mathfrak {b}})} буде дробовим ідеалом кільця A{\displaystyle A}. У випадку b=B{\displaystyle {\mathfrak {b}}=B} для D(B){\displaystyle D(B)} також використовуються позначення DK/k{\displaystyle D_{K/k}} і DB/A{\displaystyle D_{B/A}}. У цьому випадку D(B){\displaystyle D(B)} є ідеалом кільця A{\displaystyle A}.

Зокрема якщо A{\displaystyle A} — кільце головних ідеалів і b=B{\displaystyle {\mathfrak {b}}=B}, то B{\displaystyle B} є вільним модулем над A{\displaystyle A} розмірності n{\displaystyle n} і D(B){\displaystyle D(B)} є головним ідеалом, породженим дискримінантом довільного базиса B{\displaystyle B} над A{\displaystyle A}. Кожен такий базис є також базисом розширення K/k{\displaystyle K/k} і два такі дискримінанти відрізняються добутком на оборотний елемент, тобто породжують однаковий ідеал. Зокрема це справедливо для k=Q{\displaystyle k=\mathbb {Q} } і A=Z{\displaystyle A=\mathbb {Z} }. У випадку коли A{\displaystyle A} не є кільцем головних ідеалів, B{\displaystyle B} може не бути вільним модулем і D(B){\displaystyle D(B)} може не бути головним ідеалом.

• Дискримінанти двох базисів відрізняються множником, що є квадратом деякого ненульового елемента поля k{\displaystyle k}.

Дійсно якщо w1,…,wn{\displaystyle w_{1},…,w_{n}} і z1,…,zn{\displaystyle z_{1},…,z_{n}} — два такі базиси і Aij{\displaystyle A_{ij}} — матриця переходу між ними, то, (Tr(wi⋅wj))=A(Tr(zi⋅zj))AT{\displaystyle \left(\mathrm {Tr} (w_{i}\cdot w_{j})\right)=A\left(\mathrm {Tr} (z_{i}\cdot z_{j})\right)A^{T}}. Тому з властивостей визначника випливає, що D(w1,…,wn)=(det(A))2D(z1,…,zn){\displaystyle D(w_{1},…,w_{n})=(\det(A))^{2}D(z_{1},…,z_{n})}.

• Дискримінант будь-якого базисуK{\displaystyle K} над k{\displaystyle k} не дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли розширення K/k{\displaystyle K/k} є сепарабельним.
• Якщо fx(t){\displaystyle f_{x}(t)} — многочлен степеня m{\displaystyle m}, що є мінімальним многочленом елемента x{\displaystyle x} із сепарабельного розширення K/k{\displaystyle K/k}, то D(1,x,x2,…,xm){\displaystyle D(1,x,x^{2},…,x^{m})} збігається із стандартним дискримінантом многочлена fx(t){\displaystyle f_{x}(t)}.
• У разі сепарабельного розширення K/k{\displaystyle K/k} дискримінант базиса w1,…,wn{\displaystyle w_{1},…,w_{n}} може бути обчислений за формулою

Δ(w1,…,wn)=(det⁡(σ1(w1)σ1(w2)⋯σ1(wn)σ2(w1)⋱⋮⋮⋱⋮σn(w1)⋯⋯σn(wn)))2.{\displaystyle \Delta (w_{1},…,w_{n})=\left(\operatorname {det} \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(w_{1})&\sigma _{1}(w_{2})&\cdots &\sigma _{1}(w_{n})\\\sigma _{2}(w_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(w_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(w_{n})\end{array}}\right)\right)^{2}.}

де σ1,…,σn{\displaystyle \sigma _{1},…,\sigma _{n}} — усі різні вкладення K{\displaystyle K} у фіксоване алгебричне замикання поля k{\displaystyle k}, що залишають нерухомими елементи k{\displaystyle k}.

Дискримінанти числового поля[ред. | ред. код]

ΔK≡0 or 1(mod4).{\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.}

• Обмеження Мінковського: Нехай n{\displaystyle n} — степінь розширення K/Q{\displaystyle K/\mathbb {Q} } і r2{\displaystyle r_{2}} — кількість спряжених пар вкладень K{\displaystyle K} у поле комплексних чисел. Тоді

|ΔK|1/2≥nnn!(π4)r2≥nnn!(π4)n/2.{\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}

limq→1+(q−1)ζk(q)=2r1+r2πr2Rm|DK|h{\displaystyle \lim _{q\to 1^{+}}(q-1)\zeta _{k}(q)={\frac {2^{r_{1}+r_{2}}\pi ^{r_{2}}R}{m{\sqrt {|}}D_{K}|}}h}

де ζk(q){\displaystyle \zeta _{k}(q)} — дзета-функція Дедекінда, h{\displaystyle h} — порядок групи класів ідеалів, R{\displaystyle R} — регулятор поля K{\displaystyle K} і m{\displaystyle m} — кількість коренів з одиниці в полі K{\displaystyle K}.

Дискримінанти дробових ідеалів і скінченних розширень кілець Дедекінда[ред. | ред. код]

Тут всюди A{\displaystyle A} — кільце дедекінда з полем часток k{\displaystyle k}, K{\displaystyle K} — скінченне сепарабельне розширення поля k{\displaystyle k} степеня n{\displaystyle n}, B{\displaystyle B} — ціле замикання кільця A{\displaystyle A} в K{\displaystyle K} і b{\displaystyle {\mathfrak {b}}} — довільний дробовий ідеал кільця B{\displaystyle B}.

Корені квадратного рівняння. Від’ємний дискримінант

При знаходженні розв’язків квадратного рівняння бувають ситуації коли отримуємо від’ємний дискримінант. Це означає, що на множині дійсних чисел таке рівняння розв’язків немає. Однак з введенням в розгляд комплексних чисел стає можливим знаходження кореня з від’ємного дискримінанта та розв’язання таких рівнянь.

Розглянемо методику знаходження розв’язку квадратного рівняння з від’ємним дискримінантом. Нехай маємо рівняння вигляду

Дискримінант знаходимо за формулою

У випадку, коли дискримінант – невід’ємне число отримуємо два дійсні корені

Якщо дискримінант від’ємний D<0, то за властивістю комплексних чисел квадрат уявної частини рівний міну одиниці i²=-1 , тому корені з дискримінанта приймуть значення

При цьому розв’язок квадратного рівняння з від’ємним дискримінантом тепер існує і його можемо знайти за формулою

Таким чином, завдяки комплексним числам вдається розв’зати рівняння, які в школі усіх вчили, що не мають коренів. Наведемо розв’язки декількох прикладів.

 

Приклади 1. Знайти розв’язок квадратного рівняння
(1)

Розв’язок. Обчислюємо дискримінант

Він від’ємний, тому корені рівняння приймуть комплексні значення

Після спрощень, отримаємо значення

Обчислень, як бачите, небагато і розв’язки отримуємо в досить простий спосіб.
Розглянемо наступне рівняння.

(2)

Розв’язок. Обчислюємо дискримінант

Корінь квадратний з від’ємного дискримінанта прийме значення

Отримане значення підставляємо в формулу коренів

та знаходимо

(3)

Розв’язок. Дискримінант рівняння як і в попередніх завданнях — від’ємний

Знайдене значення підставляємо в формулу для обчислення коренів

Після простих маніпуляцій отримаємо корені рівняння


Багатьом з Вас наведені приклади квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом не є складні, а методика розв’язання мабуть знайома. Та сподіваюсь, що серед Вас набереться частина студентів, для яких дана стаття буде корисною та повчальною.