Вывод производных arcsin(x) и arccos(x)

Здесь мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса. Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.

Вывод производной арксинуса

По формуле производной обратной функции

Рассмотрим функцию арксинус от переменной x:
y = arcsin x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
.
Функция арксинус является обратной к функции синус:
x = sin y.

Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:
(1)   .

Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2)   .
Здесь
y = arcsin x;
x = sin y.

Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого заметим, что поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (2):
.

Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:
.

Второй способ

Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то
(3)   .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4)   .

Производную правой части находим из таблицы производных:
.

Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.

Подставим в (4):
.
Отсюда
.

Вывод производной арккосинуса

Используя связь между арксинусом и арккосинусом

Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом:
.
Отсюда
.

По формуле производной обратной функции

Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.

Рассмотрим функцию арккосинус:
y = arccos x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
.
Функция арккосинус является обратной к функции косинус:
x = cos y.

Применим формулу производной обратной функции:
(1)   .

Производная косинуса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5)   .
Здесь
y = arccos x;
x = cos y.

Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (5):
.

Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:
.

Второй способ

Поскольку арккосинус и косинус являются взаимно обратными функциями, то
(6)   .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x:
(7)   .

Из таблицы производных находим:
.

Производную левой части найдем по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.

Подставим в (7):
.
Отсюда
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 06-05-2017

1cov-edu.ru

Арксинус и арккосинус. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти арксинус и арккосинус от числа. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Арксинус и арккосинус − теория, примеры и решения

Функция арксинус и ее график

Как известно, функция синус определена в интервале [−∞;+∞] и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции синус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию синус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция sin x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию обозначают x=arcsin y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (1) − это функция, обратная к функции

График функции арксинус можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).

Свойства функции арксинус.

1. Область определения функции: .
2. Область значений функции: .
3. Функция является нечетной:
   .
4. Функция возрастает.
5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором sin x>1 (см. график функции синус (Рис.1). При |a|≤1, в отрезке (дуга DAB) уравнение (2) имеет одно решение (см. Рис.3):

В отрезке (дуга DCB) функция синус убывает и принимает значения от 1 до −1. Следовательно в этом отрезке уравнение (2) также имеет решение:

Действительно:

А из

следует

т.е.

Таким образом уравнение (3) имеет два решения в отрезке :

которые совпадают при |

a|=1.

Поскольку функция синус периодичная с основным периодом 2π, имеем

Тогда получим решение (2) в виде

Решения (3) и (4) удобно представить одним уравнением:

Действительно. При четных k (k=2n) из уравнения (5) получают все решения, представленные уравнением (3), а при нечетных k (k=2n+1) − все решения, представленные уравнением (4).

При a=1, arcsin a и π−arcsin a совпадают (т.к. ), следовательно решение уравнения sin t=1 имеет вид:

При |a|=−1, из (3) и (4) следует:

Но поворот эквивалентно повороту . То есть уравнения (6) и (7) эквивалентны. Тогда решение уравнения

sin t=−1 запишем в виде:

При |a|=0, из (3) и (4) имеем следующее решение уравнения sin t=0:

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воспользуемся формулой (5):

т.е.

Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воспользуемся формулой (5):

т.е.

Функция арккосинус и ее график

Как известно, функция косинус определена в интервале [−∞;+∞] и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции косинус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию косинус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция cos x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке

. Обратную функцию оброзначают x=arccos y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (8) − это функция, обратная к функции

График функции арксинус можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).

Свойства функции арксинус.

1. Область определения функции: .
2. Область значений функции: .
3. Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
4. Функция убывает.
5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

При |a

|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором cos x>1 (см. график функции косинус (Рис.4). При |a|≤1, в отрезке [0; π] (дуга ABC) уравнение (9) имеет одно решение t₁=arccos a. В отрезке [−π; 0] (дуга CDA) уравнение (9) имеет одно решение t₂=−arccos a(см. Рис.6):

Таким образом, в интервале [−π; π] уравнение (9) имеет два решения y=± arccos a, которые совпадают при a=1.

Поскольку функция косинус периодичная с основным периодом 2π:

то общее решение (9) имеет следующий вид:

При a=1, числа arccos a и −arccos a совпадают (они равны нулю), тогда решение уравнения cos t=1 можно записать так:

При a=−1, имеем cos t=−1,

При a=0, имеем cos t=0,

Решение тригонометрического уравнения cos t=0 можно записать одним уравнением:

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воcпользуемся формулой (10):

Так как , то

Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Решение. Используя формулу (10), имеем

Так как (), то

Пример 3. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Решение. Используя формулу (10), имеем

С помощью онлайн калькулятора вычисляем : . Тогда решение можно записать так:

matworld.ru

Ряд Тейлора — Википедия

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора^[1] — его использовали ещё в XIV веке в Индии^[2], а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

1. Многочленом Тейлора функции f(x){\displaystyle f(x)} вещественной переменной x{\displaystyle x}, дифференцируемой k{\displaystyle k} раз в точке a{\displaystyle a}, называется конечная сумма

∑n=0kf(n)(a)n!(x−a)n=f(a)+f′(a)(x−a)+f(2)(a)2!(x−a)2+…+f(k)(a)k!(x−a)k{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}},

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при x−a=h→0{\displaystyle x-a=h\to 0} верно f(x)=f(a+h)=f(a)+f′(a)⋅h+o(h)≈f(a)+f′(a)⋅h=f(a)+f′(a)⋅(x−a){\displaystyle f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+o(h)\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)}.

При записи суммы использованы обозначение f(0)(x)=f(x){\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)} и соглашение о произведении по пустому множеству: 0!=1{\displaystyle 0!=1}, (x−a)0=1{\displaystyle (x-a)^{0}=1}.

2. Рядом Тейлора в точке a{\displaystyle a} функции f(x){\displaystyle f(x)} вещественной переменной x{\displaystyle x}, бесконечно дифференцируемой в окрестности точки a{\displaystyle a}, называется формальный степенной ряд

∑n=0+∞f(n)(a)n!(x−a)n=∑n=0+∞φn(x;a){\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)} с общим членом φn(x;a)=f(n)(a)n!⋅(x−a)n{\displaystyle \varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\cdot (x-a)^{n}}, зависящим от параметра a{\displaystyle a}.

Другими словами, рядом Тейлора функции f(x){\displaystyle f(x)} в точке a{\displaystyle a} называется ряд по положительным степеням двучлена (x−a){\displaystyle (x-a)}:

f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+…+f(n)(a)n!(x−a)n+…{\displaystyle f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f»(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots \,}.^[3]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции f(x){\displaystyle f(x)} в окрестности точки a{\displaystyle a} не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки a{\displaystyle a}.

3. Рядом Тейлора в точке a{\displaystyle a} функции f(z){\displaystyle f(z)} комплексной переменной z{\displaystyle z}, удовлетворяющей в некоторой окрестности U⊆C{\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} } точки a{\displaystyle a} условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

∑n=0+∞f(n)(a)n!(z−a)n{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}}.

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса R>0{\displaystyle R>0}, что в DR={z∈C:|z−z0|<R}⊆U{\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U} ряд сходится к функции f(z){\displaystyle f(z)}.

4. В случае a=0{\displaystyle a=0} ряд

∑n=0+∞f(n)(0)n!xn{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}

называется рядом Маклорена.

1. Функция f(x){\displaystyle f(x)} вещественной переменной x{\displaystyle x} называется аналитической в точке x=a{\displaystyle x=a}, если существуют такой радиус R>0{\displaystyle R>0} и такие коэффициенты ck=ck(a)=ck(a;f){\displaystyle c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,}, k=0,1,2,…{\displaystyle k=0,1,2,\dots \,}, что f(x){\displaystyle f(x)} представима в виде сходящегося на интервале (a−R;a+R){\displaystyle (a-R;a+R)} степенного ряда: ∑k=0+∞ck(x−a)k{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,}, то есть ∀x∈(a−R;a+R){\displaystyle \forall x\in (a-R;a+R)} ⇒{\displaystyle \Rightarrow } limn→+∞∑k=0nck(x−a)k=f(x){\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)}.

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд ∑k=0+∞ck(z−a)k{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}} на любом компактном подмножестве K{\displaystyle K} области сходимости DR={z∈C:|z−z0|<R}{\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}} допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в k{\displaystyle k}-ю производную функции ∑k=0+∞ck(z−a)k{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}} подставить z=a{\displaystyle z=a}, то получится ck⋅k!{\displaystyle {c_{k}}\cdot k!}.

Таким образом, для аналитической в точке a{\displaystyle a} функции f(z){\displaystyle f(z)} для некоторого R>0{\displaystyle R>0} всюду в DR={z∈C:|z−z0|<R}{\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}} является верным представление f(z)=∑k=0+∞f(k)(a)k!(z−a)k{\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}}.

Следствие. Функция f(x){\displaystyle f(x)} вещественной переменной x{\displaystyle x} является аналитической в точке a{\displaystyle a} тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром a{\displaystyle a} на некотором открытом интервале, содержащем точку a{\displaystyle a}.

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке a{\displaystyle a} функции f(x){\displaystyle f(x)} вещественного переменного x{\displaystyle x} её ряд Тейлора ∑k=0+∞f(k)(a)k!(x−a)k{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}} сходиться к f(x){\displaystyle f(x)} всюду на каком-нибудь интервале (a−R;a+R){\displaystyle (a-R;a+R)}, то есть представима ли f(x){\displaystyle f(x)} этим рядом ?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a{\displaystyle a}.

Примеры. Функции вещественной переменной f2(x)={e−1×2,x≠00,x=0{\displaystyle f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}, f+(x)={e−1x,x>00,x≤0{\displaystyle f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,}, fv(x)={e−1|x|,x≠00,x=0{\displaystyle f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,} являются бесконечно дифференцируемыми в точке x=0{\displaystyle x=0}, причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром a=0{\displaystyle a=0} тождественно равны нулю. Однако, для любого R>0{\displaystyle R>0} в окрестности (−R;+R){\displaystyle (-R;+R)} точки a=0{\displaystyle a=0} найдутся точки, в которых функции, отличны от 0{\displaystyle 0}. Таким образом, эти функции не являются в точке a=0{\displaystyle a=0} аналитическими.

Доказательство

Доказательство проведём для функции f(x)=f2(x)={e−1×2,x≠00,x=0{\displaystyle f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}, предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция exp⁡(−1z2){\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}, является аналитической функцией комплексной переменной для всех z∈C¯∖{0}{\displaystyle z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}}.

Для z≠0{\displaystyle z\neq 0} очевидно, что ddzexp⁡(−1z2)=exp⁡(−1z2)⋅(2z3){\displaystyle {\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)}.

Функция f(x){\displaystyle f(x)} для x∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} } — это «исправленная» функция exp⁡(−1×2){\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}, x∈R∖{0}{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}, дополненная пределами слева limx→0,x<0exp⁡(−1×2)=0{\displaystyle \lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0} и справа limx→0,x>0exp⁡(−1×2)=0{\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0} в точке x=0{\displaystyle x=0}.

Найдём производную функции f(x){\displaystyle f(x)} в точке x=0{\displaystyle x=0}. По определению: f′(0)=limΔx→0,Δx∈R∖{0}f(0+Δx)−f(0)Δx=limh→0,h∈R∖{0}f(h)−0h=00=limh→0,h∈R∖{0}f′(h)h′=limh→0,h∈R∖{0}2f(h)h4{\displaystyle f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h’}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}}.

Поскольку для x∈(0;1){\displaystyle x\in (0;1)} выполняется 0<e−1×2<e−1x{\displaystyle 0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}}, то докажем, что для произвольного α>0{\displaystyle \alpha >0} верно limx→0,x>0e−1xxα=0{\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0}.

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

limx→0,x>0e−1x=limx→0,x>0xα=0{\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0} не приводит к результату.

Выполним замену переменной: 1x=t{\displaystyle {\frac {1}{x}}=t}:

limx→0,x>0e−1xxα=limt→+∞tαet=

ru.wikipedia.org