Формулы прямоугольного треугольника

Определение и формулы прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если один из углов треугольника прямой (то есть равен ), то треугольник называется прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике с , гипотенузой и катетами и

   

   

Теорема Пифагора:

   

Площадь прямоугольного треугольника:

   

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

   

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

   

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	В прямоугольном треугольнике с катетом 6 см и прилежащим к нему острым углом найти периметр и площадь.
Решение	Рассмотрим прямоугольный треугольник . Пусть катет см и . Найдем длину гипотенузы :     Тогда по теореме Пифагора второй катет     Найдем периметр и площадь треугольника
Ответ	см, см

ПРИМЕР 2

Задание	В прямоугольном треугольнике известно, что радиус описанной окружности см, а радиус вписанной окружности см. Найти стороны треугольника.
Решение	Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами и гипотенузой . Поскольку радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то     Подставим в формулу для радиуса вписанной окружности известные данные:     откуда , а тогда . Воспользуемся теоремой Пифагора:         Решая квадратное уравнение , получим и . Тогда .
Ответ	5 см, 12 см, 13 см

ru.solverbook.com

Прямоугольный треугольник формулы — Математическая шкатулка

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов является прямым. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, гипотенузой.

Прямоугольный треугольник: основные формулы

1. Пусть <A = 30°. Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. CB = AB:2.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. <A + <B = 90°.
3. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.  AB² = AC² + CB²

Прямоугольный треугольник:  формулы площади и проекции

1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна : h = (ab):c.
2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: CH² = AH·BH.
3. Катет прямоугольного треугольника — среднее пропорциональное или среднее геометрическое  между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:  CA ² = AB·AH;  CB² = AB·BH.
4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине.
5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. S = (ab):2.
6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы и высоты.  S = (hc):2.

Прямоугольный треугольник:  формулы тригонометрия

1. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.                 cosα  = AC: AB.
2. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.           sinα = BC:AB.
3. Тангенс  острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.    tgα  = BC:AC.
4. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.    ctgα  = AC:BC.
5. Основное тригонометрическое тождество:  cos²α + sin²α = 1.
6. Теорема косинусов: b² = a² + c² – 2ac·cosα.
7. Теорема синусов: CB :sinA = AC : sinB = AB.

Прямоугольный треугольник:  формулы для описанной окружности

1. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы : R=AB:2.
2. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Прямоугольный треугольник:  формулы для вписанной  окружности

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле: r = (a + b  -c):2.

Рассмотрим применение тригонометрических формул прямоугольного треугольника при решении задания 6(вариант 32) из  сборника для подготовки к ЕГЭ по математике профиль автора Ященко.

В треугольнике ABC угол С равен 90°, sinA = 11/14, AC =10√3. Найти АВ.

Решение:

1. Применяя основное тригонометрическое тождество, найдем cosA = 5√3/14.
2. По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника имеем: cosA = AC : AB, AB = AC : cosA = 10√3·14:5√3 = 28.

Ответ: AB = 28.

ЗАДАНИЕ 12 ЕГЭ МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬ( 20 ВАРИАНТ ЯЩЕНКО 2018)

mathembox.xyz

Свойства прямоугольного треугольника. Формулы прямоугольного треугольника.

 

Прямоугольный треугольник

Треугольник с прямым углом \(90°\) называют прямоугольным треугольником.

Самая длинная сторона  треугольника называется гипотенузой, а две другие стороны — катеты.

Свойства прямоугольного треугольника — это свойства, определяющие прямоугольный треугольник.

 

• Если угол \(α\) равен \(30°\) градусов, то \(2a = c\).

• Площадь прямоугольного треугольника можно измерить с помощью формулы:

 \(S = \frac{1}{2}×a×b\),

где \(a\) и  \(b\) можно рассматривать как две стороны треугольника. Эта формула используется только для прямоугольного треугольника.

• Теорема Пифагора утверждает, что если \(c\)- гипотенуза, а  \(a\) и  \(b\) — две стороны треугольника, то в соответствии с теоремой Пифагора:

\( c^2=a^2+b^2\)

         Квадрат гипотенузы равен сумме квадрата двух других сторон треугольника.

• Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\(r = \frac{a+b-c}{2}\)

• Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника можно рассчитать по формуле:

 

\(r=\frac{c}{2}\),

где \(c\) — гипотенуза прямоугольного треугольника.

• Проекции катетов треугольника на гипотенузу:

\(b^2=q*c\)

\(a^2=p*c\)

\(h^2=q*p\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Катеты прямоугольного треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

В прямоугольном треугольнике, зная катеты, можно найти гипотенузу через теорему Пифагора. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. с=√(a^2+b^2 )

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а периметр – сумме катетов и гипотенузы. S=ab/2 P=a+b+c=a+b+√(a^2+b^2 )

Углы в прямоугольном треугольнике найти, зная катеты, тоже невероятно просто. Отношение одного катета к другому будет тангенсом противоположного угла и котангенсом близлежащего. (рис. 79.1) tan⁡α=a/b cot⁡α=a/b

С другой стороны, зная один из углов, можно найти второй, отняв его из 90 градусов. α=90°-β

Высота у прямоугольного треугольника всего одна, и она относится к любому из катетов как косинус прилежащего к нему угла. (рис. 79.2) cos⁡α=h/b h=b cos⁡α cos⁡β=h/a h=a cos⁡β

Формула медианы в прямоугольном треугольнике преобразуется в отношение гипотенузы к двум или радикала из суммы квадратов катетов к двум, если даны только катеты. (рис. 79.3) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2c^2-c^2 )/2=√(c^2 )/2=c/2=√(a^2+b^2 )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2 m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4b^2+a^2 )/2

Биссектриса, опущенная на гипотенузу, вычисляется аналогично произвольному треугольнику, с подстановкой радикала вместо гипотенузы. (рис.79.4) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)=√(ab((a+b)^2-с^2))/(a+b)=√(ab(a^2+2ab+b^2-a^2-b^2))/(a+b)=√(ab*2ab)/(a+b)=(ab√2)/(a+b) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c) l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)

Средние линии прямоугольного треугольника образуют внутри него еще один прямоугольный треугольник. Внутренний треугольник будет подобен внешнему, так как средние линии параллельны катетам и гипотенузе, и равны соответственно их половинам. Поскольку гипотенуза неизвестна, для нахождения средней линии M_c нужно подставить радикал из теоремы Пифагора. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2=√(a^2+b^2 )/2

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике вычисляется по упрощенной формуле для произвольного треугольника, а радиус описанной окружности является половиной гипотенузы и совпадает с медианой. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+b-√(a^2+b^2 ))/2 R=m=c/2=√(a^2+b^2 )/2

geleot.ru

Прямоугольные треугольники — урок. Геометрия, 7 класс.

Свойства прямоугольного треугольника

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника&angmsd; \(1\) \(+\) &angmsd; \(2 =\) 90°.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в \(\)30°\(\)).

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), в котором &angmsd; \(A\) — прямой, &angmsd; \(B =\) 30°, и значит, что &angmsd; \(C =\) 60°.

 

Докажем, что \(BC = 2 AC\).
Приложим к треугольнику \(ABC\) равный ему треугольник \(ABD\), как показано на рисунке.

Получим треугольник \(BCD\), в котором &angmsd; \(B =\) &angmsd; \(D =\) 60°, поэтому \(DC = BC\). Но \(DC = 2 AC\). Следовательно, \(BC = 2 AC\).

 

Справедливо и обратное суждение.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

 

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

 

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

 

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

www.yaklass.ru

Формулы треугольника, с примерами

Формулы площади треугольника

1. По стороне и проведенной к ней высоте

   

2. По двум сторонам и углу между ними

   

3. Формула Герона

   

где – полупериметр треугольника

4. Через радиусы вписанной и описанной окружностей

   

где – полупериметр треугольника, – радиус вписанной окружности;

   

здесь – радиус описанной окружности.

Теоремы треугольника

ТЕОРЕМА Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

   

ТЕОРЕМА Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

   

ТЕОРЕМА Теорема тангенсов. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

   

Равносторонний треугольник со стороной :

– радиус описанной окружности,

– радиус вписанной окружности,

– высота, совпадающая с медианой и биссектрисой,

– площадь треугольника.

Формулы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике с , гипотенузой и катетами и

   

   

ТЕОРЕМА Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

   

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	В равностороннем треугольнике со стороной см найти площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.
Решение	Площадь равностороннего треугольника найдем по формуле , подставив :     Тогда искомые радиусы вписанной и описанной окружностей
Ответ	см см см.

ПРИМЕР 2

Задание	В треугольнике стороны см см, а . Найти все стороны и все углы треугольника .
Решение	Сделаем рисунок. Воспользуемся теоремой синусов и найдем угол :         откуда , т.е. . Следовательно, треугольник является прямоугольным. Значит,     Найдем сторону по теореме Пифагора: см
Ответ	см.

Читайте также:

Египетский треугольник

Неравенство треугольника

Виды треугольников

Тупоугольный треугольник

Остроугольный треугольник

Признаки подобия треугольников и свойства

ru.solverbook.com

Площадь треугольника

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)

Для всех треугольников

---

1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона a

Высота h

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

---

2

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

---

3

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности

---

4

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности

---

5

Площадь треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c

---

6

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Сторона a

Угол β°

Угол α°

---

Для равнобедренных треугольников

---

7

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Сторона a (a = b)

Сторона c

---

8

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами

---

9

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной

---

10

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами

---

Для равносторонних треугольников

---

11

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника c

Высота h

---

12

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Сторона a (a = b = c)

---

13

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Высота h

---

14

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Радиус r вписанной окружности

---

15

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Радиус R описанной окружности

---

Для прямоугольных треугольников

---

16

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a

Катет b

---

17

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Сторона c

Угол α

---

18

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Сторона b

Угол α

---

19

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Отрезок d

Отрезок e

---

20

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Сторона с

Радиус r

---

21

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.

---

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.

Таблица с формулами площади треугольника

---

Определения

Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км², м², см², мм² и т.д.

---

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки

doza.pro