Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ гСомСтрия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ: ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Быстро Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для расчСта ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. ГСомСтрия. АлгСбра.


Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ,

Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅.

 

a, b β€” ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹

c β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°

Ξ±, Ξ² β€” острыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°, (a):

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°, (b):

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹, (c):

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сторон ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, (a,b):

 




Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ нСизвСстной стороны Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ стороны ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹

b β€” сторона (основаниС)

a β€” Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ стороны

Ξ± β€” ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ основании

Ξ² β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ стороны (основания), (b):

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… сторон , (a):

 




Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°: ΠΏΠΎ сторонС ΠΈ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ сторонам ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρƒ.

 

 

a, b, c β€” стороны ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Ξ±, Ξ², Ξ³ β€” ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°  Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ стороны ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» (ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ косинусов), (a):

* Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ подстановкС Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Π΄Π»Ρ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (Ξ±>90), cosΞ± ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°  Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сторону ΠΈ Π΄Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π° (ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ синусов), (a):

 




Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ высотами. ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния высот, совпадаСт с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ прямого ΡƒΠ³Π»Π°.

 

H β€” высота ΠΈΠ· прямого ΡƒΠ³Π»Π°

a, b β€” ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹

с β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°

c1 , c2 β€” ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ дСлСния Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹, высотой

Ξ±, Ξ² β€” ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ высоты Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· стороны, (H):

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ высоты Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ ΠΈ острыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹, (H):

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ высоты Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», (H):

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ высоты Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· составныС ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ , (

H):




Высота— пСрпСндикуляр выходящий ΠΈΠ· любой Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ сторонС (ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ, для Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с Ρ‚ΡƒΠΏΡ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ).

Высоты Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, которая называСтся β€” ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€.

 

H β€” высота Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

a β€” сторона, основаниС

b, c β€” стороны

Ξ², Ξ³ β€” ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ основании

p β€” ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€, p=(a+b+c)/2

R β€” радиус описанной окруТности

S β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ высоты Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· стороны, (H):

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ высоты Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сторону ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», (H):

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ высоты Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сторону ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, (H):

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ высоты Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· стороны ΠΈ радиус, (H):

 

 




МСдиана, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ |CO|, исходящий ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ прямого ΡƒΠ³Π»Π° BCA ΠΈ дСлящий Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ c, ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

МСдиана Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ (M), Ρ€Π°Π²Π½Π°, радиусу описанной окруТности (R).

 

M β€” ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°

R β€” радиус описанной окруТности

O β€” Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ описанной окруТности

с β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°

a, b

β€” ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹

Ξ± β€” острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» CAB

 

МСдиана Ρ€Π°Π²Π½Π° радиусу ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹, (M):

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹, (M):

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΈ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ», (M):

 

 




МСдиана β€” ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ |AO|, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ A ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΡŽ ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρƒ  c ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

МСдиана Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC Π½Π° Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° AOC ΠΈ ABO.

 

 

M β€” ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ |AO|

c β€” сторона Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ лоТится ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°

a, b β€” стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Ξ³ β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» CAB

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈ стороны, (M):

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ стороны ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, (M):




Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для вычислСния высоты = биссСктрисы = ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹.

Π’ равностороннСм Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅: всС высоты, биссСктрисы ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈΡ… пСрСсСчСния, являСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ вписанной окруТности.

 

L β€” высота=биссСктриса=ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°

a β€” сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ высоты, биссСктрисы ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, (L):

 

 

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ β€” Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρƒ, биссСктрису, высоту

 




Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для вычислСния высоты, биссСктрисы ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹.

Π’ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅: высота, биссСктриса ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°, исходящиС ΠΈΠ· ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ.

 

L β€” высота = биссСктриса = ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°

a β€” ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

b β€” основаниС

Ξ± β€” Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ основании

Ξ² β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ высоты, биссСктрисы ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сторону ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», (L):

 

 

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° высоты, биссСктрисы ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· стороны, (L):

 




1. Найти ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ биссСктрисы ΠΈΠ· прямого ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ:

 

L β€” биссСктриса, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ME ,  исходящий ΠΈΠ· прямого ΡƒΠ³Π»Π° (90 Π³Ρ€Π°Π΄)

a, b β€” ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

с β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°

Ξ± β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ биссСктрисы Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹, ( L):

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ биссСктрисы Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ( L):

 

 

2. Найти ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ биссСктрисы ΠΈΠ· острого ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚:

 

L β€” биссСктриса, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ME ,  исходящий ΠΈΠ· острого ΡƒΠ³Π»Π°

a, b β€” ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

с β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°

Ξ±, Ξ²

β€” ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ биссСктрисы Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», (L):

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ биссСктрисы Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ, (L):

 




Lβ€” биссСктриса, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ |OB|, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ABC ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ

a, b β€” стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

с β€” сторона Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π° биссСктриса

d, e β€” ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ биссСктрисы

Ξ³ β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» ABC , Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ биссСктрисой ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ

p β€” ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€, p=(a+b+c)/2

 

Π”Π»ΠΈΠ½Π° биссСктрисы Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ стороны ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», (L):

 

Π”Π»ΠΈΠ½Π° биссСктрисы Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΈ стороны, (L):

 

 

Π”Π»ΠΈΠ½Π° биссСктрисы Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈ стороны, (L):

 

Π”Π»ΠΈΠ½Π° биссСктрисы Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· стороны ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ d, e, (L):

 

 

 

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния всСх Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… биссСктрис Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC, совпадаСт с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ О, вписанной окруТности.



Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° β€” Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ находится Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ΅ Ρƒ мСтодистов Skysmart.
Если Π²Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ, сообщитС ΠΎΠ± этом Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Ρ‡Π°Ρ‚
(Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρƒ экрана).

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ².

Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° β€” сторона, лСТащая Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² прямого ΡƒΠ³Π»Π°.

ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… сторон, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°

выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

a2 + b2 = c2,

Π³Π΄Π΅ a, b β€” ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹, с β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°.

Из этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

  • a = √c2 βˆ’ b2
  • b = √c2 βˆ’ a2
  • c = √a2 + b2

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ

Π² любом ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹.

Для Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами a, b ΠΈ c, Π³Π΄Π΅ c β€” большая сторона, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

  • Ссли c2 < a2 + b2, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ сторонС c, являСтся острым.
  • Ссли c2 = a2 + b2, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ сторонС c, являСтся прямым.
  • Ссли c2 > a2 +b2, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ сторонС c, являСтся Ρ‚ΡƒΠΏΡ‹ΠΌ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°: Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ².

Π”Π°Π½ΠΎ: βˆ†ABC, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ∠C = 90ΒΊ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ: a2 + b2 = c2.

ПошаговоС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

  • ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ высоту ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ C Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ AB, основаниС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ H.
  • ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° βˆ†ACH ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° βˆ†ABC ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ:

∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A β€” ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ.

  • Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° βˆ†CBH ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° βˆ†ABC:

∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B β€” ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ.

  • Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ обозначСния: BC = a, AC = b, AB = c.
  • Из подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
  • Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ a2 = c * HB, b2 = c * AH.
  • Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ равСнства:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

a2 + b2 = c * (HB + AH)

a2 + b2 = c * AB

a2 + b2 = c * c

a2 + b2 = c2

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°: Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Если сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стороны, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ являСтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

Π”Π°Π½ΠΎ: βˆ†ABC

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ: ∠C = 90ΒΊ

ПошаговоС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

  • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ» с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ C₁.
  • ΠžΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ сторонах ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ C₁A₁ = CA ΠΈ C₁B₁ = CB.

  • ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ A₁B₁.
  • ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° βˆ†A₁B₁C₁, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ∠C₁=90ΒΊ.

  • Π’ этой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π΅ βˆ†A₁B₁C₁ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.
  • Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ получится:

  • Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π² Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ… βˆ†ABC ΠΈ βˆ†A₁B₁C₁:
  1. C₁A₁ = CA ΠΈ C₁B₁ = CB ΠΏΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ построСния,
  2. A₁B₁ = AB ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ.
  • ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, βˆ†A₁B₁C₁ = βˆ†ABC ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ сторонам.
  • Из равСнства Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ слСдуСт равСнство ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²: ∠C =∠C₁ = 90ΒΊ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 1. Π”Π°Π½ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC. Π•Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 6 см ΠΈ 8 см. КакоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹?

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ:

  • ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ a = 6 ΠΈ b = 8.

  • По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° c2 = a2 + b2.

  • ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ значСния a ΠΈ b Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:
    c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
    c = √100 = 10.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 10.

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 2. ЯвляСтся Π»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами 8 см, 9 см ΠΈ 11 см ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ?

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ:

  • Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ сторону ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, выполняСтся Π»ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°:

112 = 82 + 92

121 β‰  145

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π½Π΅ являСтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.



 

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ


ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ β€” это Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² β€” прямой, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 90 градусам.

  • Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π°, противолСТащая прямому ΡƒΠ³Π»Ρƒ называСтся Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ (Π½Π° рисункС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ c ΠΈΠ»ΠΈ AB)
  • Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π°, прилСТащая ΠΊ прямому ΡƒΠ³Π»Ρƒ, называСтся ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° (Π½Π° рисункС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ a ΠΈ b ΠΈΠ»ΠΈ AC ΠΈ BC)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ свойства ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»:

(см. рисунок Π²Ρ‹ΡˆΠ΅)

a, b β€” ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

c β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°

Ξ±, Ξ² β€” острыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

S β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

h β€” высота, опущСнная ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ прямого ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ

maβ€” ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°, провСдСнная ΠΊ сторонС a ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (Ξ±)

mb β€” ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°, провСдСнная ΠΊ сторонС b ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (Ξ²)

mc β€” ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Π°, провСдСнная ΠΊ сторонС c ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (Ξ³)

Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ любой ΠΈΠ· ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² мСньшС Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ 1 ΠΈ 2). Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ свойство являСтся слСдствиСм Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ любого ΠΈΠ· острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² мСньшС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ 3 ΠΈ 4). Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ свойство слСдуСт ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ любой ΠΈΠ· ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² мСньшС Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ всСгда мСньшС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°). (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 5). Π­Ρ‚ΠΎ свойство постоянно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 6)

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½ ΠΊ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Π° пяти ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ ΠΈ пяти ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°ΠΌ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 7). ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ 5 Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», поэтому рСкомСндуСтся ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ с ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠΌ «МСдиана ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Β», Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ свойства ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹.

Высота ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ², Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 8)

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ высоты, ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 9). Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ тоТдСство Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· слСдствий Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.

Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ (Π΄Π²ΡƒΠΌ радиусам) описанной окруТности (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 10). Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° являСтся Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ описанной окруТности. Π­Ρ‚ΠΎ свойство часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Радиус вписанной Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ окруТности ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚ выраТСния, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π² сСбя сумму ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° минус Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹. Или ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ², Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° сумму всСх сторон (ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€) Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 11)
Бинус ΡƒΠ³Π»Π° Π (Ξ±, Π°Π»ΡŒΡ„Π°) Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ (ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса). (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 12). Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ свойство ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Зная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ сторон, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚.

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΡƒΠ³Π»Π° Π (Ξ±, Π°Π»ΡŒΡ„Π°) Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ (ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса). (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 13)

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ сторонами ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π’ригономСтрия.


Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π³Π»Π°Π²Ρ‹:
 ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ИспользованиС Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… | ОписаниС курса | ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ 

   

ΠŸΠ Π―ΠœΠžΠ£Π“ΠžΠ›Π¬ΠΠ«Π™ Π’Π Π•Π£Π“ΠžΠ›Π¬ΠΠ˜Πš Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°, радиуса

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ – это Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² прямой (90Β°).

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²:

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ характСризуСтся ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ a ΠΈ b ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ c (см. рисунок).

ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ – это сторона ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ» с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороной (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ).

Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° – это сторона ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, лСТащая Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² прямого ΡƒΠ³Π»Π°.

ИмСнно эти характСристики ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ радиусов вписанной ΠΈ описанной окруТностСй.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса вписанной окруТности для ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Радиус вписанной окруТности r ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, зная стороны ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса описанной окруТности для ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Радиус описанной окруТности R ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, зная Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ P ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, зная Π΅Π³ΠΎ стороны:

ΠŸΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° часто трСбуСтся Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

ΠŸΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ для вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ являСтся частным случаСм для Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° S ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, зная Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ a ΠΈ b:

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° позволяСт Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌ a ΠΈ b ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ p (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π“Π΅Ρ€ΠΎΠ½Π°):

S = (p – a) β‹… (p – b)

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ.

ГСомСтрия, 7 класс.

Бвойства ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π΄Π²ΡƒΡ… острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 90Β°.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 180Β°, Π° прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 90Β°, поэтому сумма Π΄Π²ΡƒΡ… острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°&angmsd; \(1\) \(+\) &angmsd; \(2 =\) 90Β°.

ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡƒΠ³Π»Π° Π² 30Β°, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ (Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡƒΠ³Π»Π° Π² \(\)30Β°\(\)).

 

Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(ABC\), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ &angmsd; \(A\) β€” прямой, &angmsd; \(B =\) 30Β°, ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ &angmsd; \(C =\) 60Β°.

 

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(BC = 2 AC\).
ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ \(ABC\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(ABD\), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(BCD\), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ &angmsd; \(B =\) &angmsd; \(D =\) 60Β°, поэтому \(DC = BC\). Но \(DC = 2 AC\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \(BC = 2 AC\).

 

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ суТдСниС.

Если ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ (ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°), Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² этого ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 30Β°.

ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ равСнства ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠ°Ρ… равСнства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² для ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свои ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ равСнства, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ β€” ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ, Π° Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° прямых ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

1. Если ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

 

2. Если ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρƒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ острому ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

 

3. Если Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° ΠΈ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ ΠΈ острому ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

 

4. Если Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π’ элСмСнтарной Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ называСтся Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, состоящая ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² соСдинённых Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, с ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Π΄Π²Π° ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… острыС, Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ прямой (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 90Β°). ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ характСризуСтся Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ рядом Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… свойств, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ основу Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΅Π³ΠΎ сторонами ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ). Π•Ρ‰Π΅ со школьной скамьи всС ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° Π² повсСднСвной ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ встрСчаСмся с этой гСомСтричСской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΎΠΉ достаточно часто, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ замСчая этого. Достаточно ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΎΠ½Π° Π² Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ поэтому Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, часто приходится Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π°ΠΌ, конструкторам ΠΈ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΡ‚Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ.

Π—ΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ эту Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ трСбуСтся Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ здания с Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚ΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ фасадов ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°Ρ€Π½ΠΈΠ·ΠΎΠΌ, Π° ΠΏΠΎ Π±ΠΎΠΊΠ°ΠΌ – скатами ΠΊΡ€Ρ‹ΡˆΠΈ. НСрСдко ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ скатами Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ прямой, ΠΈ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… случаях Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ трСбуСтся ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΠΉ простой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ количСство ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ для Π΅Π³ΠΎ обустройства. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚ΠΎΠ½Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ элСмСнтами малоэтаТных строСний (Π·Π°Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΎΠΌΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚Ρ‚Π΅Π΄ΠΆΠ΅ΠΉ, Π΄Π°Ρ‡).

НахоТдСниС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° расчёта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

 

 

a – ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚

b – ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚

S – ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… изготавливаСтся соврСмСнная мСбСль. Как извСстно, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ, всС элСмСнты обстановки Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Π‘ пользой Π·Π°Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·ΠΎΠ½Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ столов Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, ΡΡ‚ΠΎΠ»Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π² Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ случаСв ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ с ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, Π²ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΠΊ стСнам. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈ расчСтС этих элСмСнтов конструкторы мСбСльного производства ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° осущСствляСтся Π½Π° основС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ сторон. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈΠΌ Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ приходится Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ конструкции столиков, крСпящихся нСпосрСдствСнно ΠΊ стСнам, Π² состав ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… входят ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ элСмСнты, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ собой ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.

БтроитСлям, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ ΠΎΠ±Π»ΠΈΡ†ΠΎΠ²ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌΠΈ, Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ Π² своСй ΠΏΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ приходится ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΠΊΡƒ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹. Им Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ приходится ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ этих элСмСнтов для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈΡ… количСство.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ инструмСнт, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π‘ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ производится построСниС ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ прямых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ½ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ: ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… школьников Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ… Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π΄ΠΎ конструкторов супСрсоврСмСнной Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ.

НСкоторыС свойства ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ содСрТит прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ». Π”Π²Π΅ стороны, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ сторону β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 180 градусов.

Бвойство:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π΄Π²ΡƒΡ… острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 90 градусов.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ АВБ β€” ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ∠Б=90 градусов.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 180 градусов, Ρ‚ΠΎ:

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Бвойство:

ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡƒΠ³Π»Π° Π² 30 градусов, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ АВБ β€” ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ∠Б=90 градусов, Π° ∠А=30 градусов. А Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ суммС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° βˆ Π’=60 градусов. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Π’Π‘ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ АВ.

ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ АВБ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АБD ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВD всС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ 60 градусов, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½ являСтся равносторонним. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Бвойство:

Если ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² этого ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 30 градусов.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ АВБ β€” ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Π’Π‘ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ АВ. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ВАБ=30 градусов.

ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ АВБ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АБD ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВD. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 60 градусам. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΠ°Π΅ΠΌ:

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡƒΠ³Π»Π° Π² 30 градусов, Ρ€Π°Π²Π½Π° 15 сантимСтров. Найти Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ АВБ β€” ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. ∠А=30 градусов. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ это Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π΅ равСнство ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ АВБ, ∠Б=90 градусов, Π° βˆ Π’ΠΠ‘=60 градусов. Найти Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° Π’Π‘, Ссли высота Π‘D Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АБВ Ρ€Π°Π²Π½Π° 5 сантимСтров.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ. βˆ ΠΠ‘Π’=90 градусов, βˆ Π’ΠΠ‘=60 градусов. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ сумма острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 90 градусов, Ρ‚ΠΎ βˆ ΠΠ’Π‘=90-60=30 градусов.

Рассмотрим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π’Π‘D, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π‘D - высота ΠΈ βˆ Π‘Π’D=30 градусов, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Π‘D Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡƒΠ³Π»Π° Π² 30 градусов. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ свойству, Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Π’Π‘=2*5=10 см.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π‘D - высота ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ с прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π‘, Π’Π‘=2*Π’D. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ АВ=4*Π’D.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ BCD:

Π£ Π½Π΅Π³ΠΎ βˆ Π’Π‘D=30 градусов, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π’Π‘=2*Π’D.

По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ βˆ ΠΠ‘Π’=90 градусов, Π° βˆ Π’Π‘D=30 градусов, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ∠АБD=60 градусов.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π‘D - высота, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АБD - ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ∠АБD=60 градусов. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ∠БАD=30 градусов.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ АВБ. Π£ Π½Π΅Π³ΠΎ βˆ Π’ΠΠ‘=30 градусов. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° АВ=2*Π’Π‘, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Π’Π‘ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡƒΠ³Π»Π° Π² 30 градусов. По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π’Π‘=2*Π’D.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ АВ=4*Π’D.

Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ° тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ° тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². На ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ страницС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ личности. ВоТдСства Π½Π΅ относятся ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ гСомСтричСским Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌ, Π½ΠΎ справСдливы для всСх ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для Π΄ΡƒΠ³ ΠΈ сСкторов окруТностСй

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСктора для ΡƒΠ³Π»Π° ΞΈ Π² окруТности радиусом r .

Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ. Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° радиусу r , ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΞΈ , Π³Π΄Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» измСряСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ пСрСвСсти градусы Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ количСство градусов Π½Π° Ο€ /180.
ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСктора. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСктора Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° радиуса, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π³Π΄Π΅, ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, ΡƒΠ³ΠΎΠ» измСряСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

НаиболСС Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.Если ΞΈ β€” ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ синус Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ β€” это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅, косинус β€” ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅, Π° тангСнс β€” это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ противополоТная сторона сосСднСй сторонС.

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ вмСстС извСстны ΠΌΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΉ SohCahToa. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ваТная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, которая гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон.

Зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° острых ΡƒΠ³Π»Π° Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² суммС 90Β°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ:

  • Зная Π΄Π²Π΅ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сторон, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ сторону ΠΈ ΠΎΠ±Π° острых ΡƒΠ³Π»Π°.
  • Если Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сторон, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ стороны.
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΊΠΎΡΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ для любого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, острого, Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ стандартныС обозначСния, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ прописными Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ A , B ΠΈ C , Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌ стороны соотвСтствСнно ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ строчными Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ a , Π± ΠΈ Π² .

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для косых Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Они Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ косинусов ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ синусов.

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π½Π° всС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.Он Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ c 2 , ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ a 2  +  b 2 , сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон минус 2. ab  cos&nbsp C , ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Π½Π° косинус ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°. Когда ΡƒΠ³ΠΎΠ» C ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ΠΎΠ½ становится Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ синусов гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ сторонС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ для всСх Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этих Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ:

  • Зная Π΄Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ сторону, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ стороны.
  • Если извСстны Π΄Π²Π΅ стороны ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ сторону ΠΈ ΠΎΠ±Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»Π°.
  • Если извСстны Π΄Π²Π΅ стороны ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, Ρ‚ΠΎ для ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° (ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ острый ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ), ΠΈ для ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΡƒΡŽΡΡ сторону.
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

БущСствуСт Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, зависит ΠΎΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Ρƒ вас ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

Половина основания, умноТСнная Π½Π° высоту. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ самый простой, ΠΈ Ρƒ вас ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ эта информация. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ сторону для Π²Ρ‹Π·ΠΎΠ²Π° Π±Π°Π·Ρ‹ b . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли h β€” это расстояниС ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎ b , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ bh .
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π“Π΅Ρ€ΠΎΠ½Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ стороны a , b ΠΈ c Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, это ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ s Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΡ… суммы, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ ΠΈΠ· произвСдСния s , s  β€”  a , s  β€”  b ΠΈ s  β€”  c .
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Β«Π±ΠΎΠΊ-ΡƒΠ³ΠΎΠ»-Π±ΠΎΠΊΒ». Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ это, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π²Π΅ стороны, a ΠΈ b , ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», C . ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… сторон Π½Π° синус ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.
ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ

: Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹, свойства ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ β€” Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

Π§Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ?

Π•ΡΡ‚ΡŒ нСсколько Π²Π΅Ρ‰Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ особСнными ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΈΡΡŒ, Π½ΠΎ здСсь ΠΎΠ½ΠΈ снова вмСстС с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ:

  • Π£ Π½Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ стороны.
  • ВсС Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прямыми ΠΏΠΎ 90 градусов.
  • ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ являСтся частным случаСм ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°; Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. Как ΠΈ Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… сторон, ΠΈ каТдая ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, Π½ΠΎ стороны ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.
  • Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния дСлятся ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.Когда Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚Π΅ линию, которая Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π·Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π½Π° Π΄Π²Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ сдСлаСтС Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС с двумя Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ, эти Π΄Π²Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π²Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ посСрСдинС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, каТдая диагональ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ.

ВсС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π»Π°ΡΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ. Π”Π°ΠΆΠ΅ с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ этих Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ относятся ΠΊ своим особым Ρ‚ΠΈΠΏΠ°ΠΌ.

ΠžΡΠΎΠ±Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

БущСствуСт Π΄Π²Π° особых Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡŠΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΅Ρ‰Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ строгиС трСбования, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ.

  • ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ . ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ β€” это ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС стороны Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° большС ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹.
  • Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π€ΠΈΠ±ΠΎΠ½Π°Ρ‡Ρ‡ΠΈ . Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ добавляСт Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π΅ составляло 1,618. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π² 1,618 Ρ€Π°Π·Π° большС ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹.Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 2, Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° 2 ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 1,618 ΠΈΠ»ΠΈ 3,236.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ особый Ρ‚ΠΈΠΏ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡ‚Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся Π·ΠΎΠ»ΠΎΡ‚Ρ‹ΠΌ сСчСниСм 1,618. Глядя Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Ρƒ ΠœΠΎΠ½Ρ‹ Π›ΠΈΠ·Ρ‹, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΈΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ Π΅Π΅ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠ΅ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΌΡƒ Π»ΠΎΠΊΡ‚ΡŽ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

ИспользованиС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΡ€Π΅

ΠŸΡ€ΠΈ использовании ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΡ€Π΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ лишь нСсколько Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».Они относятся ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ ΠΈ диагоналям ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Как ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΎΠ½ΠΈ просты Π² использовании ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ подстановки Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ мСста.

Допустим, ваш Π΄Π΅Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚Π½Π΅Ρ€ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊΡƒΠΏΠΈΠ» офисноС Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΎΠ½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ, ΡƒΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ» Π² Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†-Π·Π°Π»Π΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, сколько ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»Π° Π΅ΠΌΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° .

Если Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ 20 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² Π½Π° 30 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ потрСбуСтся 20 * 30 = 600 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»Π° для провСдСния Ρ€Π΅ΠΌΠΎΠ½Ρ‚Π°.

Если ΠΎΠ½ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ плинтус ΠΏΠΎ всСй ΠΊΠΎΠΌΠ½Π°Ρ‚Π΅, ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° . Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π΅ΠΌΡƒ 2(20) + 2(30) = 100 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ плинтуса.

Если ΠΎΠ½ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΊΡƒ Π² ΠΊΠΎΠΌΠ½Π°Ρ‚Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΊΠ° Π΅ΠΌΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½Π°. 2 = 400 + 900 = 1300, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 36,05551275463989. Если ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ потрСбуСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 36,06 Ρ„ΡƒΡ‚Π° для раздСлитСля.

РСзюмС ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ , Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ стороны с Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€ΡŒΠΌΡ прямыми ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ с диагоналями ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ Π² ΠΈΡ… сСрСдинах.

Для ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹: ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ , ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΈ диагональ .

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ опрСдСлСния

Π‘ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ
Условия ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ
ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ любая чСтырСхсторонняя Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, которая Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ прямых ΡƒΠ³Π»Π° (ΡƒΠ³Π»Ρ‹ 90 градусов)
ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС стороны Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅
ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π€ΠΈΠ±ΠΎΠ½Π°Ρ‡Ρ‡ΠΈ добавляСт Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1. 618
ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° суммированиС всСх Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… сторон
Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ плюс ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ обучСния

Π’Ρ‹ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ»ΠΈ этот ΡƒΡ€ΠΎΠΊ, поэтому Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹:

  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Β«ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΒ»
  • ΠžΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΈ диагональ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

ΠžΠ±Π·ΠΎΡ€ гСомСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ | ΠŸΡƒΡ€ΠΏΡƒΡ€Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

ΠŸΡƒΡ€ΠΏΡƒΡ€Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

БущСствуСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ гСомСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ высоту, ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ, Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ радиус ΠΈ Ρ‚. Π΄. с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ повСрхности ΠΈΠ»ΠΈ объСмом ΠΈ Ρ‚. Π΄.НСкоторыС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ довольно слоТны, ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Π½Π΅ говоря ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСсколько основных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π°ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ слСдуСт Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ваш инструктор Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΈΡ… Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅.

НапримСр, ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ A ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°: это всСго лишь Π΄Π»ΠΈΠ½Π° l , умноТСнная Π½Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ w :

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.ΠΊΠΎΠΌ

Β«ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΒ» Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ являСтся Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΌ индСксом, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ найдСнная ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Β» A Β» являСтся ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ я Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, объСма ΠΈ Ρ‚. Π΄. для Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€, я ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠ΅ индСксы, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ относится конкрСтная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Β« A Β» для Β«ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈΒ», Β« SA «для Β«ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈΒ», Β« P Β» для Β«ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Β» ΠΈ Β« V Β» для «объСма»).Подписка Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΎΠΉ для ясности вашСго смысла, поэтому ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Ρ€Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ это Π² ΡƒΠΌΠ΅ для Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ использования Π² Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ.

Если Π²Ρ‹ посмотритС Π½Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ вспомнитС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β«ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Β» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎ внСшнСй сторонС», Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° P прСдставляСт собой сумму Π΄Π»ΠΈΠ½ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части l ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° слСва ΠΈ справа w :

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹.ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ A ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ P ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной s ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ:

Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°; Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈ ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅Π½Π΄Π΅Π½Ρ†ΠΈΡŽ Π½Π΅ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½Π½ΠΎ Π²ΡΠΏΠ»Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ посрСди тСкстовых Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Учитывая Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ основания b ΠΈ высоты h Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ A Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π°:

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ P Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ просто суммой Π΄Π»ΠΈΠ½ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.


Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ окруТности C ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ A ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, учитывая радиус r :

(«π» β€” это число, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ 3,14159 ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ 22/7)

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ радиус окруТности β€” это расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Π΄ΠΎ внСшнСй стороны окруТности. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, радиус находится Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ. Если ΠΎΠ½ΠΈ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ собой Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдину ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ сначала придСтся Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.


ВсС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ являСтся «плоскими», Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°ΠΌΠΈ. Иногда Π²Π°ΠΌ придСтся ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡƒΠ±Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ конусы. Для Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности (Ссли Π²Ρ‹ рисовали ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, это ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ) ΠΈ объСм (Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π΅ пространство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ссли Π±Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° пустой).

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для объСма V ΠΊΡƒΠ±Π° проста, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°, ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΈ высота ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ s :

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности (ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹, Ссли Π±Ρ‹ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΡ€Π°ΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ± снаруТи) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ довольно проста, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ всС стороны ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ s 2 .Π•ΡΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ сторон (вСрхняя, ниТняя, лСвая, правая, пСрСдняя ΠΈ задняя), поэтому ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности SA составляСт:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ для Β«ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹Β», которая являСтся тСхничСским Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠΌ для ΠΊΠΈΡ€ΠΏΠΈΡ‡Π°. ОбъСм V ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ довольно прост: Π΄Π»ΠΈΠ½Π° умноТаСтся Π½Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° высоту:

.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ витиСватая. (ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Ρ€Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ рассуТдСниям, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ я ΡΠΎΠ±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹, вСроятно, Π·Π°Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Π½ΠΎ Π΅Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΎΡΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли Π²Ρ‹ просто ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ± этом.) Π’Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π½ΠΈΠ· Β«ΠΊΠΈΡ€ΠΏΠΈΡ‡Π°Β» ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, Ρ‚. Π΅. Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ. ЛСвая ΠΈ правая стороны ΠΊΠΈΡ€ΠΏΠΈΡ‡Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, Ρ‚. Π΅. ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° высоту. И пСрСдняя, ​​и задняя Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΈΡ€ΠΏΠΈΡ‡Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, Ρ‚. Π΅. Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° высоту. (НарисуйтС рисунок, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ² Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Ссли Π²Ρ‹ Π² этом Π½Π΅ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹.) Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности SA ΠΊΠΈΡ€ΠΏΠΈΡ‡Π°:

Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹

(ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚Ρ€ΡƒΠ±ΠΊΠΈ, Π½ΠΎ с Π·Π°Π³Π»ΡƒΡˆΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ…) Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ·Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠ°.ОбъСм V Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ: это ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° (которая являСтся просто ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°), умноТСнная Π½Π° высоту h :

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности SA β€” это ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой просто ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΈ) плюс ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ стороны, которая Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ окруТности ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° высоту h Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°:

Π’ зависимости ΠΎΡ‚ класса, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅, Π²Π°ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ объСма V конуса с радиусом основания r ΠΈ высотой h :

. ..ΠΈΠ»ΠΈ объСм V сфСры (ΡˆΠ°Ρ€Π°) с радиусом r :

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² вашСй домашнСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ упраТнСниях Π² классС. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²Π°ΠΌ придСтся Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ эти Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ!), поэтому ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ со своим инструктором ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ тСстом, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ.

НСкоторыС ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ всС гСомСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, поэтому Π² вашСм тСстС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ список всСго, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ.Но Π½Π΅ всС инструкторы Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΈ Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ инструктор, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π» ΠΈΠ»ΠΈ Β«ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅Β», ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ стандартизированныС тСсты Π΄Π°Π΄ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ всю эту ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. БпроситС своих ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΎΠ± ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ…, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наступаСт ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ (срСдняя школа? SAT? ACT? ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆ? Β«Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Тизнь»?), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· этих основных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». НачнитС Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ прямо сСйчас!


URL-адрСс: https://www. Purplemath.com/modules/geoform.htm

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ гСомСтричСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с участиСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

 

o Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°

o Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΊΠ°

o ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ

или Рэй

o Π£Π³ΠΎΠ»

o ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ

o ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€

o Π Π°ΠΉΠΎΠ½

o ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚

o Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ

 

ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Ρ‹

 

o ΠŸΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ основными гСомСтричСскими Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ

o Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

o ВывСсти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

 

ГСомСтрия ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.ΠœΡ‹ рассмотрим Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ простыС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈ обсудим, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡ… свойства.

 

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

 

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ прСдставлСниС ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. НСсколько основных гСомСтричСских понятий Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° , ΠΏΠΎ сути, являСтся мСстополоТСниСм β€” Π΅Π΅ часто ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ малСнькой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΈ ΠΎΠ½Π° прСдставляСт собой мСстополоТСниС Π² пространствС ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Π½ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹, Π½ΠΈ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Ρ‹.НСсколько Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

 

 

 

Линия Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ характСристики, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ (ΠΈ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅). ГСомСтричСская линия прямая ΠΈ бСсконСчно простираСтся Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… направлСниях. Если Π΄Π²Π΅ прямыС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° 90 475. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ строки ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½ΠΈΠΆΠ΅; ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ стрСлки, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линия продолТаСтся бСсконСчно.

 

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ участок Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ называСтся ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ . ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ (ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ) числами, Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… бСсконСчна (Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π°). ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½ΠΈΠΆΠ΅; ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

 


Π›ΡƒΡ‡ β€” это Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅. Π•Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ бСсконСчна, Π½ΠΎ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†.

 


 

Когда ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π΅ прямыС, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ, Π»ΡƒΡ‡ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» . ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

 


 

Π£Π³Π»Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ Π² градусах (Β°) Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ 0Β° Π΄ΠΎ 360Β°. НСкоторыС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

 

 

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ эти основныС гСомСтричСскиС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.

 

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

 

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ β€” это особый Π²ΠΈΠ΄ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ гСомСтричСской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ с Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€ΡŒΠΌΡ сторонами; ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

 

 

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ двумя ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ: Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ l ) ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ w ). ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅, Π° всС Β«Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅Β» ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 90Β°; Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

 

 

Одной ΠΈΠ· характСристик ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, являСтся Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСдставляСт собой сумму Π΄Π»ΠΈΠ½ всСх сторон. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ P ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ:

 

P = л + ш + л + ш

 

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ² слоТСниС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

 

P = л + л + ш + ш

P =2 л + 2 ш

 

НапримСр, рассмотритС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

 

 

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅, Ρƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ стороны Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 6 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΠΈ Π΄Π²Π΅ стороны Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ:

 


 

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ 18 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†. (ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β«Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉΒ» ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹, Ρ„ΡƒΡ‚Ρ‹, ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ измСрСния Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹. Если Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ эту ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ; Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС достаточно ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° Β«Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹Β».)

 

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° : ВычислитС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½ΠΈΠΆΠ΅. ВсС измСрСния ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π² Ρ„ΡƒΡ‚Π°Ρ….

 


 

РСшСниС : Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, этот ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ стороны Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 10 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π²Π΅ стороны Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 2 Ρ„ΡƒΡ‚Π°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ P Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ:

 


 

Π’ качСствС Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ просто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

 


 

 

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° : НСкоторый ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ 50 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ 14 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ². Какова Π΅Π³ΠΎ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π°?

 

РСшСниС : ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ эту Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠ² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² наши знания ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ P ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° подчиняСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅, Π³Π΄Π΅ l β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π°, Π° w β€” ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π°.

 


ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ( P ), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ( l ). Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ эти значСния Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ максимально упростим Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

 


 

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ w , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ использовали ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

 






 

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 11 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ этот Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚. Из условия Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 14 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌ.

 


 

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½.

 

 

ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, которая являСтся ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, сколько мСста ΠΎΠ½ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚. Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹.

 


 

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ сторону Π½Π° сСгмСнты Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 1, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

 


 

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ эти дСлСния, ΠΌΡ‹ нарисуСм сСтку, которая Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

 


 

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сСтка Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΌΠ΅Π»ΠΊΠΈΠ΅ области, каТдая сторона ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ.

 


КаТдая ΠΈΠ· этих ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… областСй прСдставляСт собой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ (ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹) со стороной, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ 1. ΠœΡ‹ опрСдСляСм ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· этих областСй ΠΊΠ°ΠΊ 1 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ (Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π°) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ слоТности 8 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° Π΄Π²Π° ряда ΠΏΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ряда ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° (Π² зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ смотритС Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ). Но Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ количСство ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² (Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†) Π² строках ΠΈ столбцах ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ умноТСния: ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ количСство ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ β€” это просто ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ A ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ l ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ w Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ l ΠΈ w:

 

 

Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° ΠΊ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ, нСзависимо ΠΎΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ сторон.(Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, дСсятичными, Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.)

 

Допустим, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 5 дюймов ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 3 дюйма, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

 


Наша Ρ†Π΅Π»ΡŒ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, сколько ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² со стороной Π² 1 дюйм ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² этот ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ общая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Располагая ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΡ€Π°Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΊΡ€Π°ΡŽ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ.

 


 

Из Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ 15 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² со стороной ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ дюйм β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° составляСт 15 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… дюймов. РазумССтся, Π½Π° это ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

.

 


 

 

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° : ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 32 дюйма ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² дюйм.

 

РСшСниС : Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° примСняСтся нСзависимо ΠΎΡ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… чисСл (ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ просто Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ А:

 

 

 

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

 

ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ характСристики Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ распространСнной гСомСтричСской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹: Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ β€” замкнутая гСомСтричСская Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° с трСмя сторонами; ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

 

 

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° вычисляСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°: просто ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Π² этом случаС Ρƒ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ всСго Ρ‚Ρ€ΠΈ стороны, ΠΈ всС эти стороны ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ). Однако Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ нСсколько слоТнСС. Для ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΡ‹ смогли ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ просто ΠΊΠ°ΠΊ ряды ΠΈ столбцы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². Из-Π·Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹.

 


 

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ нСсколько ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅; этот Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ особых свойств.

 


 

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄Π²Π° Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° этого (ΠΈΠ»ΠΈ любого) Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°: Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ основания (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ b ) ΠΈ высоту (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ h ). ОснованиС β€” это просто Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны Β«Π½Π° Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅Β» ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° высота являСтся ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ расстояниСм, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ достигаСт Β«Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉΒ».

 


 

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° A. Если Π±Ρ‹ Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄Π²Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, общая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 2 A. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ этим Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ. .

 


 

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ высотС.

 


 

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ высоты Ρ… (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ для исходного Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°), Π° ΠΈΡ… основания Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Ρ… ΠΈ Ρƒ, , Π³Π΄Π΅ Ρ… + Ρƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π±. ΠœΡ‹ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ x ΠΈ y , Π½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π·Π°Π»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π° основания Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π² суммС Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ основаниС исходного Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ части Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ получился ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ!

 


Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим характСристики этой Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ (ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ 2 A, , Π³Π΄Π΅ A ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ исходного Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°).

 


 

Π€ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ β€” ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ (ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x + y = b ). Но ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°: это просто ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹ (Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС b ΠΈ h ). Однако эта общая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° 90 328, ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ 90 329 ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ исходного Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ b ΠΈ h Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 А.

 


 

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния, ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ для ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ A , ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΎΠ±Π΅ части выраТСния Π½Π° .

 



 

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π²Π΅Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, хотя ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ матСматичСской строгости, Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ для всСх Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ вычислСния высоты Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° 90 328 ΠΈ 90 329 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нСсколько слоТным, Π½ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ основаниС ΠΈ высоту, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

 

 

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° : ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.


РСшСниС : Если ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ 10-футовая сторона оказалась Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ прСдставляСт собой высоту Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

 


 

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π²Π΅Π»ΠΈ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅.

 


 

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹

Π° = Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны Π°
b = Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны b = основаниС Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° b
c = Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны c
h = высота ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹
H = высота Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°
Π’ = объСм
A to = общая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности = всС стороны
A lat = ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности = всС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стороны
A вСрхняя Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ = ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ повСрхности = Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ
A Π±ΠΎΡ‚ = ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ повСрхности = Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° прСдставляСт собой Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ гСомСтричСскоС Ρ‚Π΅Π»ΠΎ с Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π² основании. Π­Ρ‚ΠΎ трСхсторонняя ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ основаниС ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ 3 стороны β€” ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.

ИспользованиС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ объСм, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΈ высоту Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹. РасчСты ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ, ниТнюю, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности. Высота вычисляСтся ΠΏΠΎ извСстному ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности.

Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹: Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ для удобства, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° расчСты.ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Π² Ρ„ΡƒΡ‚Π°Ρ…, Ρ„ΡƒΡ‚Π°Ρ… 2 , Ρ„ΡƒΡ‚Π°Ρ… 3 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ…, ΠΌ 2 , ΠΌ 3 ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… измСрСния.

Π—Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹: Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ количСство Π·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‰ΠΈΡ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ опрСдСлял Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ чисСл.

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для высоты ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° a, b ΠΈ c:

ОбъСм Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

Находит Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ пространство, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΉ.

\[ V = \dfrac{1}{4}h \sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} \]

\[ V = \dfrac{1}{4}h \sqrt{(c+ab)(a+bc)} \\\times \sqrt{(a+b+c)(b+ca)} \]

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ повСрхности Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

Находит ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ повСрхности Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ части ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ повСрхности.

\[ A_{top} = \dfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} \]

\[ A_{top} = \dfrac{1}{4} \sqrt{\begin{align}(a+&b+c)(b+ca)\\&\times(c+ab)(a+bc )\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½Π΅Π½ΠΎ}} \]

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ повСрхности Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

Находит ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ повСрхности Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ повСрхности.

\[ A_{bot} = \dfrac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} \]

\[ A_{bot} = \dfrac{1}{4} \sqrt{\begin{align}(a+&b+c)(b+ca)\\&\times(c+ab)(a+bc )\ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½Π΅Π½ΠΎ}} \]

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

Находит ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сторон ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π·Π° Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…Ρƒ ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.

\[ A_{ΡˆΠΈΡ€ΠΎΡ‚Π°} = h (a+b+c) \]

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

Находит ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ всСх сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сторон ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ всСх Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сторон.

\[ A_{tot} = A_{top} + A_{bot} + A_{lat} \]

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° высоты Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… объСма

Находит высоту Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ объСма для высоты. Высота h рассчитываСтся исходя ΠΈΠ· объСма V ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ сторон a, b ΠΈ c.

\[ h = \dfrac{4V}{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}} \]

\[ h = 4V \div \left[ \, \sqrt{(c+ab)(a+bc)} \\\times \sqrt{(a+b+c)(b+ca)} \, \ справа] \]

Высота Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности

Находит высоту Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности для высоты.Высота h рассчитываСтся ΠΏΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности A lat ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°ΠΌ сторон a, b ΠΈ c.

\[Ρ‡ = \dfrac{A_{ΡˆΠΈΡ€ΠΎΡ‚Π°}}{(a+b+c)} \]

Артикул

Π’Π°ΠΉΡΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½, Π­Ρ€ΠΈΠΊ Π’. Β«Π—ΠΎΠ½Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Β». Из MathWorld β€” Π²Π΅Π±-рСсурса Wolfram, ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Какова Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ основания ΠΈ #4# Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ #2# ΠΏΠ°Ρ€ конгруэнтных Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ основания

ОснованиС просто ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ #lw#, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

#=>Π»Π²#

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ Π·Π°Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ #A=1/2(«основаниС»)(«высота»)#.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ основаниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ #l#. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ высоту Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ высоту Π½Π° этой сторонС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

ΠΠ°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ высоту ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, найдя Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.2)#

Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ. Π‘ΠΊΠΎΡ€Π΅Π΅, это ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ (Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹).

Π˜ΡΠΊΡƒΡΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ относится ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ области, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ двумСрная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ области Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких измСрСниях называСтся объСмом.

Часто ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ элСмСнтарными срСдствами Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ области, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ частями окруТностСй ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. МоТно Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных областСй с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ исчислСния.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ β€” самыС основныС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ. Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ просто Ρ€Π°Π²Π½Π° .

Зная ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, просто Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли наш Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ основаниС ΠΈ высоту , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ исходного Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π°

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ любого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ² Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.

ΠžΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ

https://youtu.be/51K3uCzntWs?t=842\

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π‘ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΈ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для обозначСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ. Когда рассматриваСтся нСсколько Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ², часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠ΅ индСксы: ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для обозначСния областСй ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ . НапримСр, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ являСтся использованиС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… скобок Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ названия Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π° для обозначСния Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, Ρ‚.Π΅.Π³. для ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ любого ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π’ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ со сторонами Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ , Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ линию ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… сосСдних Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ описанной окруТности. Π­Ρ‚ΠΎ создаСт Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ (Π² качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° рассмотрим ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π½ΠΈΠΆΠ΅).

РисованиС Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡ‹ создаСт Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅. Если Ρƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны, высота Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ основания Π½Π° высоту, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ всСго ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° .

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ способов Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π’ΠΎ всСх этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для обозначСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π½Π° мСньшиС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Однако для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для нахоТдСния ΠΈΡ… ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ.ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, это ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ.

  • Π’ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡˆΠ½Ρ‹ΠΉ Π·ΠΌΠ΅ΠΉ β€” Π³Π΄Π΅ s ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ змСя.
  • ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ β€” , Π³Π΄Π΅ основаниС ΠΈ высота Π΄ΠΎ этого основания.
  • ВрапСция β€” , Π³Π΄Π΅ s ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стороны ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими основаниями.
  • Π ΠΎΠΌΠ± β€” частный случай Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ змСя ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, поэтому здСсь ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.
  • ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ β€” , Π³Π΄Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π°.(Π­Ρ‚ΠΎ частный случай Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, Π³Π΄Π΅ высота ΠΈ сторона ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.)
  • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ β€” , Π³Π΄Π΅ β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны.

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Пика

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΡˆΠ½ΡƒΡ€ΠΊΠ°Ρ…

.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *