Математика уравнения: Уравнения — урок. Математика, 5 класс.

Содержание

Издания | Библиотечно-издательский комплекс СФУ

Все года изданияТекущий годПоследние 2 годаПоследние 5 летПоследние 10 лет

Все виды изданийУчебная литератураНаучная литератураЖурналыМатериалы конференций

Все темыЕстественные и точные наукиАстрономияБиологияГеографияГеодезия. КартографияГеологияГеофизикаИнформатикаКибернетикаМатематикаМеханикаОхрана окружающей среды. Экология человекаФизикаХимияТехнические и прикладные науки, отрасли производстваАвтоматика. Вычислительная техникаБиотехнологияВодное хозяйствоГорное делоЖилищно-коммунальное хозяйство. Домоводство. Бытовое обслуживаниеКосмические исследованияЛегкая промышленностьЛесная и деревообрабатывающая промышленностьМашиностроениеМедицина и здравоохранениеМеталлургияМетрологияОхрана трудаПатентное дело. Изобретательство. РационализаторствоПищевая промышленностьПолиграфия. Репрография. ФотокинотехникаПриборостроениеПрочие отрасли экономикиРыбное хозяйство. АквакультураСвязьСельское и лесное хозяйствоСтандартизацияСтатистикаСтроительство. АрхитектураТранспортХимическая технология. Химическая промышленностьЭлектроника. РадиотехникаЭлектротехникаЭнергетикаЯдерная техникаОбщественные и гуманитарные наукиВнешняя торговляВнутренняя торговля. Туристско-экскурсионное обслуживаниеВоенное делоГосударство и право. Юридические наукиДемографияИскусство. ИскусствоведениеИстория. Исторические наукиКомплексное изучение отдельных стран и регионовКультура. КультурологияЛитература. Литературоведение. Устное народное творчествоМассовая коммуникация. Журналистика. Средства массовой информацииНародное образование. ПедагогикаНауковедениеОрганизация и управлениеПолитика и политические наукиПсихологияРелигия. АтеизмСоциологияФизическая культура и спортФилософияЭкономика и экономические наукиЯзыкознаниеХудожественная литератураХудожественные произведения

Все институтыВоенно-инженерный институтБазовая кафедра специальных радиотехнических системВоенная кафедраУчебно-военный центрГуманитарный институтКафедра ИТ в креативных и культурных индустрияхКафедра истории России, мировых и региональных цивилизацийКафедра культурологии и искусствоведенияКафедра рекламы и социально-культурной деятельностиКафедра философииЖелезногорский филиал СФУИнженерно-строительный институтКафедра автомобильных дорог и городских сооруженийКафедра инженерных систем, зданий и сооруженийКафедра проектирования зданий и экспертизы недвижимостиКафедра строительных конструкций и управляемых системКафедра строительных материалов и технологий строительстваИнститут архитектуры и дизайнаКафедра архитектурного проектированияКафедра градостроительстваКафедра дизайнаКафедра дизайна архитектурной средыКафедра изобразительного искусства и компьютерной графикиИнститут горного дела, геологии и геотехнологийКафедра геологии месторождений и методики разведкиКафедра геологии, минералогии и петрографииКафедра горных машин и комплексовКафедра инженерной графикиКафедра маркшейдерского делаКафедра открытых горных работКафедра подземной разработки месторожденийКафедра технической механикиКафедра технологии и техники разведкиКафедра шахтного и подземного строительстваКафедра электрификации горно-металлургического производстваИнститут инженерной физики и радиоэлектроникиБазовая кафедра «Радиоэлектронная техника информационных систем»Базовая кафедра инфокоммуникацийБазовая кафедра физики конденсированного состояния веществаБазовая кафедра фотоники и лазерных технологийКафедра нанофазных материалов и нанотехнологийКафедра общей физикиКафедра приборостроения и наноэлектроникиКафедра радиотехникиКафедра радиоэлектронных системКафедра современного естествознанияКафедра теоретической физики и волновых явленийКафедра теплофизикиКафедра экспериментальной физики и инновационных технологийКафедры физикиИнститут космических и информационных технологийБазовая кафедра «Интеллектуальные системы управления»Базовая кафедра геоинформационных системКафедра высокопроизводительных вычисленийКафедра вычислительной техникиКафедра информатикиКафедра информационных системКафедра прикладной математики и компьютерной безопасностиКафедра разговорного иностранного языкаКафедра систем автоматики, автоматизированного управления и проектированияКафедра систем искусственного интеллектаИнститут математики и фундаментальной информатикиБазовая кафедра вычислительных и информационных технологийБазовая кафедра математического моделирования и процессов управленияКафедра алгебры и математической логикиКафедра высшей и прикладной математикиКафедра математического анализа и дифференциальных уравненийКафедра математического обеспечения дискретных устройств и системКафедры высшей математики №2афедра теории функцийИнститут нефти и газаБазовая кафедра пожарной и промышленной безопасностиБазовая кафедра проектирования объектов нефтегазового комплексаБазовая кафедра химии и технологии природных энергоносителей и углеродных материаловКафедра авиационных горюче-смазочных материаловКафедра бурения нефтяных и газовых скважинКафедра геологии нефти и газаКафедра геофизикиКафедра машин и оборудования нефтяных и газовых промысловКафедра разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторожденийКафедра технологических машин и оборудования нефтегазового комплексаКафедра топливообеспеченя и горюче-смазочных материаловИнститут педагогики, психологии и социологииКафедра информационных технологий обучения и непрерывного образованияКафедра общей и социальной педагогикиКафедра психологии развития и консультированияКафедра современных образовательных технологийКафедра социологииИнститут торговли и сферы услугБазовая кафедра таможенного делаКафедра бухгалтерского учета, анализа и аудитаКафедра гостиничного делаКафедра математических методов и информационных технологий в торговле и сфере услугКафедра технологии и организации общественного питанияКафедра товароведения и экспертизы товаровКафедра торгового дела и маркетингаОтделение среднего профессионального образования (ОСПО)Институт управления бизнес-процессамиКафедра бизнес-информатики и моделирования бизнес-процессовКафедра маркетинга и международного администрированияКафедра менеджмент производственных и социальных технологийКафедра цифровых технологий управленияКафедра экономики и управления бизнес-процессамиКафедра экономической и финансовой безопасностиИнститут физ. культуры, спорта и туризмаКафедра медико-биологических основ физической культуры и оздоровительных технологийКафедра теоретических основ и менеджмента физической культуры и туризмаКафедра теории и методики спортивных дисциплинКафедра физической культурыИнститут филологии и языковой коммуникацииКафедра восточных языковКафедра журналистики и литературоведенияКафедра иностранных языков для гуманитарных направленийКафедра иностранных языков для естественнонаучных направленийКафедра иностранных языков для инженерных направленийКафедра романских языков и прикладной лингвистикиКафедра русского языка и речевой коммуникацииКафедра русского языка как иностранногоКафедра теории германских языков и межкультурной коммуникацииИнститут фундаментальной биологии и биотехнологииБазовая кафедра «Медико-биологические системы и комплексы»Базовая кафедра биотехнологииКафедра биофизикиКафедра водных и наземных экосистемКафедра геномики и биоинформатикиКафедра медицинской биологииИнститут цветных металлов и материаловеденияБазовая кафедра «Технологии золотосодержащих руд»Кафедра автоматизации производственных процессов в металлургииКафедра аналитической и органической химииКафедра инженерного бакалавриата СDIOКафедра композиционных материалов и физико-химии металлургических процессовКафедра литейного производстваКафедра металловедения и термической обработки металловКафедра металлургии цветных металловКафедра обогащения полезных ископаемыхКафедра обработки металлов давлениемКафедра общаей металлургииКафедра техносферной безопасности горного и металлургического производстваКафедра физической и неорганической химииКафедра фундаментального естественнонаучного образованияИнститут экологии и географииКафедра географииКафедра охотничьего ресурсоведения и заповедного делаКафедра экологии и природопользованияИнститут экономики, государственного управления и финансовКафедра бухгалтерского учета и статистикиКафедра международной и управленческой экономикиКафедра социально-экономического планированияКафедра теоретической экономикиКафедра управления человеческими ресурсамиКафедра финансов и управления рискамиКрасноярская государственная архитектурно-строительная академияКрасноярский государственный технический университетКрасноярский государственный университетМежинститутские базовые кафедрыМежинститутская базовая кафедра «Прикладная физика и космические технологии»Политехнический институтБазовая кафедра высшей школы автомобильного сервисаКафедра конструкторско-технологического обеспечения машиностроительных производствКафедра материаловедения и технологии обработки материаловКафедра машиностроенияКафедра прикладной механикиКафедра робототехники и технической кибернетикиКафедра стандартизации, метрологии и управления качествомКафедра тепловых электрических станцийКафедра теплотехники и гидрогазодинамикиКафедра техногенных и экологических рисков в техносфереКафедра техносферной и экологической безопасностиКафедра транспортаКафедра транспортных и технологических машинКафедра химииКафедра электроэнергетикиХакасский технический иститутЮридический институтКафедра гражданского праваКафедра иностранного права и сравнительного правоведенияКафедра конституционного, административного и муниципального праваКафедра международного праваКафедра предпринимательского, конкурентного и финансового праваКафедра теории и истории государства и праваКафедра теории и методики социальной работыКафедра трудового и экологического праваКафедра уголовного праваКафедра уголовного процеса и криминалистики

По релевантностиСначала новыеСначала старыеПо дате поступленияПо названиюПо автору

Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

О профессии

Областью профессиональной деятельности аспиранта по направлению «Математика и механика» являются научные исследования и математическое моделирование, связь, информационные и коммуникационные технологи в сферах разработки и тестирования программного обеспечения, создания, поддержки и администрирования информационно-коммуникационных систем, а также образование в сферах общего, профессионального и дополнительного обучения.
Выпускники, освоившие программу, обладают социальной мобильностью, конкурентоспособностью и устойчивостью на современном рынке труда, способны к инновационной деятельности в сфере науки, образования и управления, востребованы во всех организациях и структурах, где используются компьютерные технологии. Они могут заниматься исследовательской деятельностью, способны решать актуальные задачи фундаментальной и прикладной математики, совершенствовать и реализовывать новые математические методы решения прикладных задач, разрабатывать математические модели и проводить их анализ при решении задач в области профессиональной деятельности, комбинировать и адаптировать существующие информационно-коммуникационные технологи для решения задач в области профессиональной деятельности с учетом требований информационной безопасности.


Учебный процесс

Программа аспирантуры ставит перед собой цель сформировать у будущих специалистов современные знания в сфере решения теоретических и прикладных задач, а также навыки самостоятельной научно-исследовательской и педагогической деятельности. Обязательная часть программы включает в себя фундаментальную подготовку по математике, изучение современных математических методов и активную научно-исследовательскую работу.
Программа обучения состоит из набора дисциплин базовой части, обязательных к освоению, и набора дисциплин по выбору аспирантов. На первых двух курсах аспиранты изучают следующий набор дисциплин: «Иностранный язык», «История и философия науки», «Педагогика высшей школы», «Методология научных исследований», «Краевые задачи для дифференциальных уравнений», «Теория экстремальных задач».
Третий и четвертый курсы посвящены по большей части научно-исследовательской работе студента, работе в команде исследователей и написанию кандидатской диссертации. Весь учебный процесс и научные исследования проводятся в мультимедийных аудиториях и научно-учебных лабораториях и центрах Математического института имени академика С.М. Никольского, а также в компьютерных классах, оснащенных современным оборудованием и программным обеспечением для проведения вычислительных экспериментов.


Практика

Учебным планом предусмотрены научно-исследовательская и педагогическая практики, которые проводятся на базе Научного центра нелинейных задач математической физики Математического института имени академика С.М. Никольского.
Для аспирантов ежегодно проводятся мастер-классы ведущих экспертов и представителей работодателей реальных секторов экономики, российских и зарубежных ученых из ведущих вузов и научных центров. Действует научный семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, в котором принимают участие крупные российские и зарубежные математики, преподаватели, студенты, аспиранты и докторанты. Математический институт им. С.М. Никольского тесно сотрудничает с МГУ им. М.В. Ломоносова, Математическим институтом им. В.А. Стеклова РАН, Вычислительным центром РАН им. А.А. Дородницына, Московским авиационным институтом.


Карьера

Полученные знания и практические навыки позволяют выпускникам аспирантуры работать в сфере образования, науки, финансов и промышленности, в инвестиционных фондах на должностях аналитика-программиста, научного сотрудника, разработчика математических моделей процессов, консультанта по математическому моделированию, администратора базы данных, преподавателя математики и информатики. Выпускники, освоившие программу, могут осуществлять профессиональную деятельность и в других областях в соответствии полученными компетенциями, необходимыми для квалификации работника, способны работать в междисциплинарной команде.

Что такое уравнение и в чем его смысл?

Вообще любое уравнение — это математическая модель чашечных весов (рычажных, равноплечих, коромысловых — названий много), изобретенных в древнем Вавилоне 7000 лет назад или еще раньше. Более того, я даже думаю, что именно чашечные весы, использовавшиеся на древнейших базарах, и стали прообразом уравнений. И если смотреть на любое уравнение не как на непонятный набор цифр и букв, связанный двумя параллельными палочками, а как на чаши весов, то и со всем остальным проблем не будет:

Любое уравнение подобно уравновешенным чашам весов

Так уж получилось, что уравнений в нашей жизни с каждым днем все больше, а понимания, что такое уравнение и в чем его смысл — все меньше. Во всяком случае у меня сложилось такое впечатление при попытке объяснить старшей дочери смысл простейшего математического уравнения типа:

х + 2 = 8 (500.1)

Т.е. в школе конечно же объясняют, что в таких случаях чтобы найти х, нужно из правой части вычесть 2:

х = 8 — 2 (500.3)

Это, конечно же, абсолютно правильное действие, но почему нужно именно вычесть, а не, например, прибавить или разделить, в школьных учебниках объяснения нет. Просто есть правило, которое нужно тупо выучить:

При переносе члена уравнения из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

А как сие правило понимать школьнику 10 лет от роду и в чем его смысл, это вы уж сами думайте-решайте. Более того, выяснилось, что и мои близкие родственники тоже никогда не понимали смысла уравнений, а просто заучивали на память то, что требовалось (и вышеуказанное правило в частности), а уж потом применяли это, как бог на душу положит.

Мне такое положение дел не понравилось, поэтому я и решил написать данную статью (растет младший, ему через несколько лет опять придется это объяснять, да и немногочисленным читателям моего сайта это тоже может пригодиться).

Сразу хочу сказать, что хоть я 10 лет учился в школе, но при этом никаких правил и определений, относящихся к техническим дисциплинам, никогда не учил. Т.е. если что-то понятно, то оно и так запомнится, а если что-то не понятно, то какой смысл его зубрить, не понимая смысла, если оно все равно забудется? А кроме того, если мне что-то не понятно, значит, оно мне и не надо (это я только недавно осознал, что если я чего-то не понимал в школе, то это была не моя вина, а вина преподавателей, учебников и вообще системы образования).

Такой подход обеспечивал мне массу свободного времени, которого в детстве так не хватает на всякие игры и развлечения. При этом я участвовал в различных олимпиадах по физике, химии, а одну районную по математике даже выиграл.

Но время шло, количество дисциплин, оперирующих абстрактными понятиями, только увеличивалось и соответственно мои оценки снижались. На первом курсе института количество дисциплин, оперирующих абстрактными понятиями, составляло абсолютное большинство и я конечно же был полным троечником. Но потом, когда мне по ряду причин пришлось самому без помощи лекций и конспектов разбираться с сопроматом и я его как бы понял, дело пошло на лад и закончилось красным дипломом. Впрочем сейчас не об этом, а о том, что в связи с указанной спецификой мои понятия и определения могут значительно отличаться от преподаваемых в школе.

А теперь продолжим

Простейшие уравнения, аналогия с весами

Вообще-то детей приучают сравнивать различные предметы еще в дошкольном возрасте, когда они еще и говорить-то толком не умеют. Начинают как правило с геометрических сравнений. Например, показывают ребенку два кубика и ребенок должен определить, какой кубик больше, а какой меньше. А если они одинаковые, то это и есть равенство по размеру.

Затем задача усложняется, ребенку показывают предметы различных форм, различных цветов и выбрать одинаковые предметы ребенку становится все сложнее. Однако мы не будем так сильно усложнять задачу, а остановимся лишь на одном виде равенства — денежно-весовом.

Когда чаши весов находятся на одном горизонтальном уровне (стрелки чашечных весов, показанные на рисунке 500.1 оранжевым и голубым цветом, совпадают, горизонтальный уровень показан черной жирной чертой), то это значит, что на правой чаше весов находится столько же груза, сколько на левой чаше. В простейшем случае это могут быть гири весом в 1 кг:

Рисунок 500.1.

И тогда мы получаем простейшее уравнение 1 = 1. Впрочем уравнение это только для меня, в математике подобные выражения называют равенством, но суть от этого не меняется. Если мы с левой чаши весов уберем гирю и положим на нее что угодно, хоть яблоки, хоть гвозди, хоть красную икру и при этом чаши весов будут на одном горизонтальном уровне, то это будет по-прежнему означать, что 1 кг любого из указанных продуктов равен 1 кг гирьки, оставшейся на правой части весов.

Остается лишь заплатить за этот килограмм согласно установленной продавцом цене. Другое дело, что вам может не нравиться цена, или возникли сомнения в точности весов — но это уже вопросы экономико-правовых отношений, к математике прямого отношения не имеющие.

Конечно же, в те далекие времена, когда появились чашечные весы, все было значительно проще. Во-первых, не было такой меры веса, как килограмм, а были денежные единицы, соответствующие мерам весов, например, таланты, шекели, фунты, гривны и пр. (кстати, меня давно удивляло, что есть фунт — денежная единица и фунт — мера веса, есть гривна — денежная единица, а когда-то гривна была мерой веса, и только недавно, когда я узнал, что талант — это не только денежная единица древних иудеев, упоминаемая в Ветхом завете, но и мера веса, принятая в древнем Вавилоне, все встало на свои места).

Точнее сначала были меры весов, как правило зерна злаковых культур, а уже потом появились деньги, этим мерам весов соответствующие. Например 60 зерен соответствовали одному шекелю (сиклю), 60 шекелей — одной мине, а 60 мин — одному таланту. Поэтому изначально весы использовались для того, чтобы проверить, не являются ли предлагаемые деньги фальшивыми, а уже потом появились гирьки, как эквивалент денег, обвесы и обсчеты, электронные весы и пластиковые карты, но сути дела это никак не меняет.

В те далекие времена продавцу не нужно было долго и подробно объяснять, сколько будет стоить тот или иной товар. Достаточно было положить на одну чашу весов продаваемый товар, а на вторую покупатель клал деньги — очень просто и наглядно и даже знание местного наречия не требуется, можно торговать в любой точке мира. Но вернемся к уравнениям.

Если рассматривать уравнение (500.1) с позиции весов, то оно означает, что на левой чаше весов находится неизвестное количество килограммов и еще 2 килограмма, а на правой чаше — 8 килограммов:

х + 2кг, = 8кг, (500.1.2)

Примечание: В данном случае нижнее подчеркивание символизирует дно чаш весов, при расчетах на бумаге эта линия может больше напоминать дно чаши весов. Более того, математики уже давно придумали специальные символы — скобки, так вот любые скобки можно рассматривать как борта чаш весов, во всяком случае на первом этапе постижения смысла уравнений. Тем не менее нижнее подчеркивание я для большей наглядности оставлю.

Итак, что нам нужно сделать, что узнать неизвестное количество килограммов? Правильно! Снять с левой и с правой части весов по 2 килограмма, тогда чаши весов останутся на одном горизонтальном уровне, т.е.у нас будет по прежнему равенство:

х + 2кг, — 2кг = 8кг, — 2кг (500.2.2)

Соответственно

х, = 8кг — 2кг, (500.3.2)

х, = 6 кг, (500.4.2)

Рисунок 500.2.

Часто математика оперирует не килограммами, а некими абстрактными безразмерными единицами и тогда запись решения уравнения (500.1) например в черновике будет выглядеть так:

х + 2, = 8, (500.1)

х + 2, — 2 = 8, — 2 (500. 2)

х, = 8

 — 2, (500.3)

х = 6 (500.4)

Что и отражено на рисунке 500.2.

Примечание: Формально для еще более лучшего понимания  после уравнения (500.2) должно следовать еще одно уравнение вида: х + 2 — 2, = 8 — 2, означающее, что действие завершилось и мы опять имеем дело с равновесными чашами весом. Однако на мой взгляд в такой совсем уж полной записи решения необходимости нет.

В чистовиках обычно используется сокращенная запись решения уравнения, причем сокращаются не только столь необходимые на мой взгляд на начальном этапе изучения уравнений символы чаш весов, но даже и целые уравнения. Так сокращенная запись решения уравнения (500.1) в чистовике согласно приводимым в учебниках примерам будет выглядеть так:

х + 2 = 8 (500.1.1)

х = 8 — 2 (500.3.1)

х = 6 (500.

4)

В итоге, при использовании аналогии с весами мы составили дополнительное уравнение (500.2) по сравнению с предлагаемым учебниками то ли методом решения, то ли формой записи этого решения. На мой взгляд это уравнение, к тому же записанное приблизительно в такой форме, т.е. с символичным обозначением чаш весов — это и есть то недостающее звено, важное для понимания смысла уравнений.

Т.е. при решении уравнений мы ничего и никуда с обратным знаком не переносим, а выполняем одинаковые математические действия с левой и с правой частью уравнения.

Просто сейчас принято записывать решение уравнений в сокращенной форме, приведенной выше. За уравнением (500.1.1) сразу следует уравнение (500.3.1), отсюда и следует правило обратных знаков, которое впрочем многим проще запомнить, чем вникать в смысл уравнений.

Примечание: Против сокращенной формы записи я ничего не имею, более того. продвинутые пользователи могут эту форму еще более сокращать, однако делать это следует лишь после того, когда общий смысл уравнений уже четко усвоен.

А еще расширенная запись позволяет понять главные правила решения уравнений:

1. Если мы производим одинаковые математические действия с левой и правой частью уравнений, то равенство сохраняется.

2. Не важно, какая часть в рассматриваемом уравнении левая, а какая правая, мы можем свободно менять их местами.

Эти математические действия могут быть любыми. Мы можем вычитать одно и то же число из левой и из правой части, как показано выше. Мы можем прибавлять одно и то же число к левой и правой части уравнения, например:

х — 2, = 8, (500.5.1)

х — 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

х, = 8 + 2, (500.5.3)

х  = 10 (500.5.4)

Мы можем делить или умножать обе части на одно и то же число, например:

3х, = 12, (500.6.1)

3х, : 3 = 12, : 3 (500. 6.2)

х, = 12 : 3, (500.6.3)

х  = 4 (500.6.4)

или

3х — 6, = 12, (500.7.1)

3х — 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3х, = 18, (500.7.3)

3х, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

х = 6 (500.7.5)

Мы можем интегрировать или дифференцировать обе части. Мы можем делать все, что угодно с левой и правой частью, но если эти действия будут одинаковыми для левой и правой части, то равенство сохранится (чаши весов останутся на одном горизонтальном уровне).

Конечно же действия нужно выбирать такие, которые позволят максимально быстро и просто определить неизвестную величину.

С этой точки зрения классический метод обратного действия как бы более прост, но как быть, если ребенок еще не изучал отрицательные числа? А между тем составленное уравнение имеет следующий вид:

5 — х = 3 (500. 8)

Т.е. при решении этого уравнения классическим методом один из возможных вариантов решения, дающий самую короткую запись, следующий:

— х = 3 — 5 (500.8.2)

— х = — 2 (500.8.3)

х = 2 (500.8.4)

И самое главное — как тут объяснить ребенку почему уравнение (500.8.3) тождественно уравнению (500.8.4)?

Это значит, что в данном случае даже при использовании классического метода экономить на записи нет никакого смысла и сначала нужно избавиться от неизвестной величины в левой части, имеющей отрицательный знак.

5 — х = 3 (500.8)

5 = 3 + х (500.8.5)

3 + х = 5 (500.8.6)

х = 5 — 3 (500.8.7)

х = 2 (500.8.4)

При этом полная запись будет выглядеть так:

5 — х, = 3, (500.8)

5 — х, + х = 3, + х (500. 9.2)

5, = 3 + х, (500.9.3)

3 + х, = 5, (500.8.6)

3 + х, — 3 = 5, — 3 (500.9.3)

х, = 5 — 3, (500.8.7)

х = 2 (500.8.4)

Добавлю еще раз. Полная запись решения нужна не для учителей, а для лучшего понимания метода решения уравнений. А когда мы меняем местами левую и правую части уравнения, то это все равно что мы меняем взгляд на весы с точки зрения покупателя на точку зрения продавца, тем не менее равенство при этом сохраняется.

К сожалению, я так и не смог добиться от своей дочери полной записи решения даже в черновиках. У нее железный довод: «нас так не учили». А между тем сложность составляемых уравнений увеличивается, процент угадываний, какое действие нужно выполнить для определения неизвестной величины, уменьшается, оценки падают. Что с этим делать, не знаю…

Примечание: в современной математике принято различать равенства и уравнения, т. е. 1 = 1 — это просто численное равенство, а если в одной из частей равенства есть неизвестная, которую необходимо найти, то это уже уравнение. Как по мне, то такое дифференцирование значений не имеет большого смысла, а лишь усложняет восприятие материала. Я считаю, что любое равенство можно называть уравнением, а любое уравнение основано на равенстве. А кроме того, возникает вопрос х = 6, это уже равенство или это еще уравнение?

Простейшие уравнения, аналогия со временем

Конечно же, аналогия с весами при решении уравнений является далеко не единственной. Например, решение уравнений можно рассматривать и во временном аспекте. Тогда условие, описываемое уравнением (500.1), будет звучать так:

После того, как мы добавили к неизвестному количеству х еще 2 единицы, у нас стало 8 единиц (настоящее время). Однако нас по тем или иным причинам не интересует, сколько их стало, а интересует сколько их было в прошедшем времени. Соответственно, чтобы узнать, сколько у нас было этих самых единиц, нам нужно произвести обратное действие, т. е. от 8 отнять 2 (уравнение 500.3). Такой подход точно соответствует излагаемому в учебниках, но на мой взгляд, является не таким наглядным, как аналогия с весами. Впрочем мнения по этому поводу могут быть разные.

Пример решения уравнения со скобками

Эту статью я написал летом, когда дочь окончила 4 класс, но не прошло и полгода, как им в школе начали задавать решение уравнений следующего вида:

(97 + 75 : (50 — 5х)) · 3 = 300 (500.10)

Никто в классе решить это уравнение не смог, а между тем в его решении при применении предложенного мной способа нет ничего сложного, вот только полная форма записи будет занимать слишком много места:

(97 + 75 : (50 — 5х)) · 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75 : (50 — 5х), = 300 : 3, (500.10.3)

97 + 75 : (50 — 5х), = 100, (500.10.4)

97 + 75 : (50 — 5х), — 97 =  100, — 97 (500. 10.5)

75 : (50 — 5х), = 100 — 97, (500.10.6)

75 : (50 — 5х), = 3, (500.10.7)

75 : (50 — 5х), · (50 — 5х) = 3, · (50 — 5х) (500.10.8)

75, = 3 · (50 — 5х), (500.10.9)

75, : 3 = 3 · (50 — 5х), : 3 (500.10.10)

75 : 3, = 50 — 5х, (500.10.11)

25, = 50 — 5х, (500.10.12)

25, + 5х = 50 — 5х, + 5х (500.10.13)

25 + 5х, = 50, (500.10.14)

25 + 5х, — 25 = 50, — 25 (500.10.15)

5х, = 50 — 25, (500.10.16)

5х, = 25, (500.10.17)

5х, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

х, = 25 : 5, (500.10.19)

х = 5 (500.10.20)

Однако на данном этапе в такой полной форме записи нет никакой необходимости. Раз уж мы добрались до двойных скобок, то не обязательно для математических операций в левой и правой части составлять отдельное уравнение, поэтому запись решения в черновике вполне может выглядеть так:

97 + 75 : (50 — 5х), : 3 = 300, : 3, (500.10.2)

97 + 75 : (50 — 5х), = 100, (500.10.4)

97 + 75 : (50 — 5х), — 97 =  100 — 97, (500.10.5)

75 : (50 — 5х), = 3, (500.10.7)

75 : (50 — 5х), · (50 — 5х) = 3, · (50 — 5х) (500.10.8)

75, = 3 · (50 — 5х), (500.10.9)

75, : 3 = 3 · (50 — 5х), : 3 (500.10.10)

25, = 50 — 5х, (500.10.12)

25, + 5х = 50 — 5х, + 5х (500.10.13)

25 + 5х, = 50, (500.10.14)

25 + 5х, — 25 = 50, — 25 (500.10.15)

5х, = 25, (500.10.17)

5х, : 5 = 25, : 5 (500. 10.18)

х = 5 (500.10.20)

Итого на данном этапе потребовалось записать 14 уравнений для решения исходного.

При этом запись решения уравнения в чистовике может выглядеть так:

97 + 75 : (50 — 5х) = 300 : 3 (500.10.3)

97 + 75 : (50 — 5х) = 100 (500.10.4)

75 : (50 — 5х) = 100 — 97 (500.10.6)

75 : (50 — 5х) = 3 (500.10.7)

75 = 3 · (50 — 5х) (500.10.9)

75 : 3 = 50 — 5х (500.10.11)

25 = 50 — 5х (500.10.12)

25 + 5х = 50 (500.10.14)

5х = 50 — 25 (500.10.16)

5х = 25 500.10.17)

х = 25 : 5 (500.10.19)

х = 5 (500.10.20)

Т.е. при сокращенной форме записи нам все равно придется составить 12 уравнений. Экономия в записи при этом минимальная, а вот с пониманием требуемых действий у пятиклассника действительно могут возникнуть проблемы.

P.S. Только когда дело дошло до двойных скобок, дочь заинтересовалась предложенным мной методом решения уравнений, но при этом в ее форме записи даже в черновике все равно уравнений в 2 раза меньше, потому что она пропускает итоговые уравнения типа (500.10.4), (500.10.7) и им подобные, а при записи сразу оставляет место для следующего математического действия. В итоге запись в ее черновике выглядела примерно так:

(97 + 75 : (50 — 5х)) · 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75 : (50 — 5х), — 97 =  100, — 97 (500.10.5)

75 : (50 — 5х), · (50 — 5х) = 3, · (50 — 5х) (500.10.8)

75, : 3 = 3 · (50 — 5х), : 3 (500.10.10)

25, + 5х = 50 — 5х, + 5х (500.10.13)

25 + 5х, — 25 = 50, — 25 (500. 10.15)

5х, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

х = 5 (500.10.20)

В итоге получилось всего 8 уравнений, что даже меньше, чем требуется при сокращенной записи решения. В принципе я не возражаю, вот только была бы от этого польза.

Вот собственно и все, что мне хотелось сказать по поводу решения простейших уравнений, содержащих одну неизвестную величину. Для решения уравнений, содержащих две неизвестных величины, потребуется больше знаний.

ЕГЭ по математике, профильный уровень. Показательные уравнения

Условие:

 

а) Решите уравнение 

 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5;-4]

 

Решение

 

а) Начнем решать данное показательное уравнения с преобразования: 

«4х = 2»

«2х+2 = 2х х 22 = 4 х 2х»   

 

Тогда мы получим показательное уравнение, которое можно преобразовать в квадратное:

 

 

Сделаем замену переменных:

 

Пусть «t = 2х», тогда запишем и найдем корни:

 

              

 

Сделаем обратную замену: \(2^x=t\) получим:

 

 

б) Исследуем, какие из корней принадлежат отрезку [-5;-4]

 

Корень x=0 не принадлежит отрезку [-5;-4]

 

Проверим второй корень.

 

Заметим, что

 

Автор — Андрей Найденов

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Крымский федеральный университет им. Вернадского

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-5 классов. Сложно ? Я докажу тебе обратное ! Математику люблю, за то , что в ней всё подчиняется определенным правилам, которые одинаковы абсолютно для всех. Математика — имеет свои неизменные законы, действующие во все времена , и во всех странах. С легкостью увлеку тебя и пробужу в тебе интерес, к Самой «ЦАРИЦЕ» наук , ее Величество — Математика

Оставить заявку

Репетитор по математике

Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 6-9 классов. Буду рад помочь разобраться с предметом, успешно усвоить материал школьной программы по математике. Устраню пробелы в пройденном материале, подниму текущий уровень знаний по математике. Доношу материал понятно и грамотно, акцентирую внимание на важных и значимых вещах. Не оставляю материал непонятым. В отличии от школы мы никуда не торопимся — будем разбирать тему до тех пор, пока не сформируем компетенцию. Нет ничего сложного ни в каком предмете, если его преподают с любовью.

Оставить заявку

Репетитор по математике

РГПУ им. А.И.Герцена

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по английскому языку 1-8 классов. Преподаю английский язык школьникам и постоянно совершенствуюсь в своем направлении. Предлагаю индивидуальный подход к каждому ученику и повышение общего уровня владения. Помощь в выполнении домашних заданий и освоении школьной программы.

Математика 10 класс

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

ОГЭ по математике, базовый уровень. Квадратные уравнения

 

Задание №7 из ОГЭ прошлых лет, рекомендованные как тренировочные.

 

 

Задача № 1

 

Уравнение

 

x2 + px + q = 0

 

имеет корни: −5; 7. Най­ди­те q.

 

Решение 

 

Из условия задачи известно, что данное уравнение имеет два корня:

 

х1 = -5

х2 = 7

 

Составим систему уравнений, в которую подставим имеющиеся корни:

 

 

Из первого уравнения выразим q:

 

q = 5p — 25    (1)

 

Полученное выражение подставим во второе уравнение:

 

49 + 7p + (5p — 25) = 0

49 + 7p + 5p — 25 = 0

7p + 5p = 25 — 49

12p = — 24

p = -2

 

Полученное значение «p» подставим в (1):

 

q = 5· (- 2) — 25 = — 10 — 25 = — 35

 

Ответ: −35.

 

 

Задача № 2

 

Найдите корни урав­не­ния

 

x2 + 7x — 18 = 0

 

Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

 

Решение

 

Перед нами классическое квадратное уравнение. Решим его через нахождение дискриминанта:

 

D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 1 · (-18) = 49 + 72 = 121

 

Значение дискриминанта больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.

 

Тогда корни можем найти по формуле:

 

     

 

Запишем получившиеся корни в порядке возрастания: -92

 

Ответ: −92

 

 

Задача № 3

 

Най­ди­те корни урав­не­ния

 

х2 + 4 = 5х

 

Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

 

Решение

 

Преобразуем урав­не­ние и запишем в виде:

 

х2 — 5х + 4 = 0

 

Решим его через нахождение дискриминанта:

 

D = b2 – 4ac = 52 – 4 · 1 · 4 = 25 — 16 = 9

 

Значение дискриминанта больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.

Тогда, корни можем найти по формуле:

 

     

 

Запишем получившиеся корни в порядке возрастания: 14

 

Ответ: 14

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Донецкий национальный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Подготовка к ОГЭ. Математика — царица наук! Люблю математику, детей, а особенно учить с детьми математику, стараюсь показать её в окружающих нас предметах, процессах, явлениях; показать прикладной характер. Подаю материал в простой форме, логичной последовательности, со множеством примеров. Формулы изучаем вместе с учеником, по возможности выводим, отрабатываем на примерах, чтобы максимально исключить момент «зубрёжки». С радостью буду ждать Вас на занятиях!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Запорожский национальный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-10 классов. Помогаю школьникам в закреплении и углублении школьной программы, в подготовке к экзаменам. Подбираю подход к каждому ученику, учитывая его интересы, жизненные взгляды. Стремлюсь к тому, чтобы каждый ученик, независимо от возраста и уровня знаний, понял и полюбил математику.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Белорусский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по начальной школе . У меня своя методика, наработанная годами, направленная в первую очередь на индивидуальные особенности развития ребёнка, выявление скрытого резерва восприятия учебного материала. Составляется карта — диагностика и алгоритм решения проблемы.

Функция

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Уравнение — определение, типы, примеры

Уравнение — это математическое выражение с символом «равно» между двумя выражениями, имеющими одинаковые значения. Например, 3x + 5 = 15. Существуют различные типы уравнений, такие как линейные, квадратные, кубические и т. д. Давайте узнаем больше об уравнениях в математике в этой статье.

Что такое уравнения?

Уравнения — это математические операторы, содержащие два алгебраических выражения по обе стороны от знака «равно (=)».Он показывает отношение равенства между выражением, записанным в левой части, и выражением, записанным в правой части. В каждом уравнении в математике мы имеем LHS = RHS (левая часть = правая часть). Уравнения могут быть решены, чтобы найти значение неизвестной переменной, представляющей неизвестную величину. Если в выражении нет знака «равно», значит, оно не является уравнением. Это будет считаться выражением. Вы узнаете разницу между уравнением и выражением в следующем разделе этой статьи.

Посмотрите на следующие примеры. Это даст вам представление о значении уравнения в математике.

  Уравнения Это уравнение?
1. у = 8х — 9 Да
2. у + х 2 — 7 Нет, потому что нет символа «равно».
3. 7 + 2 = 10 — 1 Да

Теперь давайте двигаться вперед и узнать о частях уравнения в математике.

Части уравнения

Существуют различные части уравнения, которые включают коэффициенты, переменные, операторы, константы, члены, выражения и знак равенства. Когда мы пишем уравнение, обязательно наличие знака «=» и условий с обеих сторон. Обе стороны должны быть равны друг другу.Уравнение не обязательно должно иметь несколько членов с обеих сторон, иметь переменные и операторы. Уравнение можно составить и без них, например, 5 + 10 = 15. Это арифметическое уравнение без переменных. В противоположность этому, уравнение с переменными является алгебраическим уравнением. Посмотрите на изображение ниже, чтобы понять части уравнения.

Как решить уравнение?

Уравнение похоже на весы с одинаковыми весами с обеих сторон. Если мы прибавим или вычтем одно и то же число из обеих частей уравнения, оно останется в силе. Точно так же, если мы умножим или разделим одно и то же число на обе части уравнения, оно останется верным. Рассмотрим уравнение прямой, 3x − 2 = 4. Выполним математические операции над левой и правой сторонами так, чтобы равновесие не нарушалось. Давайте добавим 2 с обеих сторон, чтобы уменьшить LHS до 3x. Это не нарушит баланс. Новая левая сторона равна 3x − 2 + 2 = 3x, а новая правая сторона равна 4 + 2 = 6. Таким образом, уравнение принимает вид 3x = 6.Теперь давайте разделим обе стороны на 3, чтобы уменьшить LHS до x. Таким образом, решение данного уравнения прямой есть x = 2,

.

Шаги для решения основного уравнения с одной переменной (линейной) приведены ниже:

  • Шаг 1: Приведите все члены с переменными к одной стороне и все константы к другой стороне уравнения, применяя арифметические операции к обеим частям.
  • Шаг 2: Объедините все одинаковые термины (термы, содержащие одну и ту же переменную с одинаковым показателем степени), добавляя/вычитая их.
  • Шаг 3: Упростите и получите ответ.

Возьмем еще один пример основного уравнения: 3x — 20 = 7. Чтобы вывести все константы на правую сторону, мы должны добавить 20 к обеим частям. Отсюда следует, что 3x — 20 + 20 = 7 + 20, что можно упростить как 3x = 27. Теперь разделите обе части на 3. Это даст вам x = 9, что и является требуемым решением уравнения.

Типы уравнений

В зависимости от степени уравнения можно разделить на три типа.Ниже приведены три типа уравнений в математике:

  • Линейные уравнения
  • Квадратные уравнения
  • Кубические уравнения

Линейное уравнение

Уравнения со степенью 1 известны в математике как линейные уравнения. В таких уравнениях 1 является наивысшим показателем членов. Их можно далее классифицировать на линейные уравнения с одной переменной, линейные уравнения с двумя переменными, с тремя переменными и т. д. Стандартная форма линейного уравнения с переменными X и Y: aX + bY — c = 0, где a и b — коэффициенты X и Y соответственно, а c — константа.

Квадратное уравнение

Уравнения со степенью 2 известны как квадратные уравнения. Стандартная форма квадратного уравнения с переменной x: ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. Эти уравнения можно решить, разделив средний член, дополнив квадрат или дискриминантным методом.

Кубические уравнения

Уравнения степени 3 известны как кубические уравнения. Здесь 3 — это наивысший показатель хотя бы одного из членов. Стандартная форма кубического уравнения с переменной x: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где a ≠ 0.

Уравнение и выражение

Выражения и уравнения в математике используются одновременно в алгебре, но между этими двумя терминами есть большая разница. Когда 2x + 4 является выражением, 2x + 4 = 0 считается уравнением. Давайте поймем основную разницу между уравнением и выражением с помощью таблицы, приведенной ниже:

Уравнение Выражение
Когда два выражения равны по значению и написаны вместе со знаком «равно» между ними, это известно как уравнение в математике. Это математическое выражение, имеющее по крайней мере один термин или несколько терминов, соединенных операторами между ними.
Имеет знак равенства «=». Выражение не содержит знака равенства «=».
Можно решить, чтобы найти значение неизвестной величины. Можно упростить до самой низкой формы.
Пример: x — 8 = 16, 6y = 33, 3z — 7y = 9 и т. д. Пример: x — 8, 6y, 3z — 7y — 9 и т. д.

Важные примечания к уравнениям в математике:

  • Значения переменной, которая делает уравнение истинным, называются решением или корнем уравнения.
  • На решение уравнения не влияет сложение, вычитание, умножение или деление одного и того же числа на обе части уравнения.
  • График линейного уравнения с одной или двумя переменными представляет собой прямую линию.
  • Кривая квадратного уравнения имеет форму параболы.

Похожие темы:

Проверьте эти интересные статьи, связанные с концепцией уравнений в математике.

Часто задаваемые вопросы по уравнению

Что такое уравнение в математике?

Уравнение в математике — это отношение равенства между двумя выражениями, написанными по обе стороны от знака равенства. Например, 3y = 16 — это уравнение.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это уравнение со степенью 1. Это означает, что наивысший показатель степени любого члена может быть равен 1. Примером линейного уравнения в математике является x + y = 24.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение со степенью 2. Оно может иметь любое количество переменных, но наибольшая степень членов может быть только 2. Стандартная форма квадратного уравнения с переменной y: ay 2 + by + c = 0 , где а ≠ 0.

Как уравнения используются в реальной жизни?

В реальной жизни во многих ситуациях можно использовать уравнения. Всякий раз, когда необходимо найти неизвестную величину, можно составить уравнение и решить его. Например, если стоимость 1 карандаша составляет 1,2 доллара, а общая сумма денег, потраченных вами на карандаши, составляет 9,6 доллара, количество купленных карандашей можно найти, составив уравнение на основе данной информации. Пусть количество купленных карандашей равно х. Тогда уравнение будет 1,2x = 9,6, которое можно решить как x = 8.

Как решать квадратные уравнения?

Квадратные уравнения с одной переменной могут быть решены следующими методами:

Каковы 3 типа уравнения?

В зависимости от степени уравнения можно разделить на следующие три типа:

  • Линейное уравнение
  • Квадратное уравнение
  • Кубическое уравнение

Какое уравнение не имеет решения?

Уравнения двух параллельных прямых не имеют решений, так как они не пересекаются ни в одной точке.Чтобы идентифицировать уравнения параллельных прямых, мы должны сравнить коэффициенты обеих переменных в данных двух линейных уравнениях с двумя переменными. Если отношение коэффициентов такое же и не равно отношению констант, это означает, что эти уравнения не имеют решения. Для двух уравнений ax + by + c = 0 и px + qy + r = 0 оно не будет иметь решения, когда a/p = b/q ≠ c/r.

Что такое уравнение окружности?

Уравнение окружности с радиусом r и центром (x 1 , y 1 ) равно (x − x 1 ) 2 + (y − y 1 ) 2

3 = 6r .

17 уравнений, которые изменили мир

6. Формула многогранников Эйлера

Леонард Эйлер Викисклад

Многогранники — это трехмерные версии многоугольников, такие как куб справа. Углы многогранника называются его вершинами, линии, соединяющие вершины, — его ребрами, а многоугольники, покрывающие его, — его гранями.

Куб имеет 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Если я сложу вершины и грани вместе и вычту ребра, я получу 8 + 6 — 12 = 2.

Формула Эйлера утверждает, что если ваш многогранник ведет себя хорошо, если вы сложите вершины и грани вместе, и вычтите ребра, вы всегда получите 2. Это будет верно независимо от того, имеет ли ваш многогранник 4, 8, 12, 20 или любое количество граней.

Наблюдение Эйлера было одним из первых примеров того, что сейчас называется топологическим инвариантом — некоторым числом или свойством, общим для класса фигур, похожих друг на друга. Весь класс «хороших» многогранников будет иметь V + F — E = 2. Это наблюдение, наряду с решением Эйлера проблемы Кенигсбургских мостов, проложило путь к развитию топологии, раздела математики, необходимого для современная физика.

уравнений — Математика средней школы

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Это математическое уравнение ломает Интернет: сможете ли вы его решить?

Страдаете ли вы матемафобией?

Этот термин, введенный исследователем Мэри Файдес Гоф в 1950-х годах, обозначает крайнюю тревогу, проявляющуюся в ненависти к математике.

Больные испытывают чувство беспокойства и паники, когда сталкиваются с математическими задачами, а некоторые даже сообщают о приступах паники.

Матемафобия запирает вас в порочный круг.

Если вы избегаете математических задач, вы не можете улучшить свои навыки, что приводит к дальнейшему избеганию и так далее.

Вот почему многие дети, которые ненавидели математику в школе, во взрослом возрасте изо всех сил стараются избегать упражнений с числами.

Если это звучит знакомо, вы можете подготовиться, прежде чем заняться одной из самых популярных проблем, которые в последнее время распространяются в социальных сетях.

Предупреждение: хотя проблема кажется относительно простой, ваш первый ответ не обязательно будет правильным.

Вот уравнение:

6 ÷ 2 (1+2) =

Если вы нашли ответ 0, 1, 3 или 6, вы не одиноки.

Пользователи соцсетей спорят – с довольно большой страстью – как лучше всего решить проблему.

Однако многие из них ошибочны. Вы можете удивиться, узнав, что правильный ответ на самом деле 9.

Итак, почему ответ 9?

Когда вы решаете уравнение, подобное приведенному выше, вам нужно запомнить аббревиатуру: PEMDAS/BODMAS. Это подход к уравнениям, который в настоящее время преподается в школах.

Эта аббревиатура означает:

P арентезис/ B ракетки

E компоненты/ O заказы

M умножение- D ivision

A дополнение- S удаление

PEMDAS/BODMAS поясняет шаги, которые необходимо предпринять при расшифровке уравнения.

Иногда его называют «порядком операций». Это относится ко всем уравнениям, а не только к этому примеру.

Чтобы решить это уравнение, вам нужно сделать следующие шаги:

Во-первых, нужно решить задачу внутри скобок. В данном случае это «1+2», что дает «3».

Это меняет уравнение на «6 ÷ 2 (3)».

Далее, , вам нужно преобразовать «2 (3)» в «2 x 3», потому что часть «Экспоненты/Заказы» PEMBAS/BODMAS требует, чтобы вы удалили скобки, оставив порядок.

В данном случае используется порядок умножения.

Далее, , вам нужно перейти к части аббревиатуры «Умножение-Деление».

В уравнении «6 ÷ 2 x 3» нужно выполнить оба.

Здесь следует помнить ключевое правило: если вам нужно выполнить оба типа операций при решении уравнения, вам нужно двигаться слева направо.

Следовательно, сначала нужно адресовать «6 ÷ 2», что равно 3. Это дает «3 x 3», что равно 9.

Преш Талвалкар, создавший канал MindYourDecisions на YouTube, снял видео, в котором описаны шаги, описанные выше.

Согласно Талвалкару, современные математики утверждают, что ответ равен 9, но есть аргумент, что на самом деле правильный ответ равен 1.

В начале 20 века порядок операций, выраженный аббревиатурой PEMBAS/BODMAS, был несколько иным.

Короче говоря, математики старшего возраста не стали бы делить 6 на 2, а затем умножать на 3, как описано в шаге 3 выше.

Вместо этого они делили 6 на 6, потому что сначала умножали 2 x 3.

6 разделить на 6 = 1, поэтому согласно этому методу правильным ответом на уравнение будет 1.

Если вы боролись с этой проблемой, вы с облегчением узнаете, что большинству других людей она также кажется сложной.

Большинство из нас учат решать уравнения в школе, но мы быстро забываем, как применять правила, когда заканчиваем школу.

В конце концов, большинству из нас не нужно использовать метод PEMBAS/BODMAS в повседневной жизни.

Когда дело доходит до математики, это случай «используй или потеряешь».

В эпоху, когда мы можем использовать Google для решения практически любой математической задачи, у нас нет стимула освежать свои навыки.

Как и любой другой навык, вам нужно практиковать математику, если вы хотите стать лучше.

К счастью, Интернет упрощает поиск и отработку задач.

Например, Math.com предлагает рабочие листы, обучающие базовым, средним или продвинутым навыкам.

Если вы серьезно хотите улучшить свои способности, вы можете записаться на курс по Удеми или Линде. Оба предлагают доступные курсы, которые вы можете пройти в своем собственном темпе.

Оттачивание навыков может доставить огромное удовольствие. Более того, в следующий раз, когда вы столкнетесь с вирусной проблемой, вы будете первым среди своих друзей и семьи, кто решит ее.

Математическое уравнение, которое пыталось поставить Интернет в тупик


Подробнее читайте в статье Стивена Строгаца о математике в The Times


Чтобы помочь учащимся в Соединенных Штатах запомнить этот порядок операций, учителя вводят в них аббревиатуру PEMDAS: круглые скобки, показатели, умножение, деление, сложение, вычитание. Другие учителя используют эквивалентную аббревиатуру БОДМАС: скобки, порядок, деление и умножение, сложение и вычитание. Третьи советуют своим ученикам запомнить песенку: «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли».

[ Эта математическая задача не в первый раз разделяет Интернет. Помните Янни и Лорел? Как насчет цвета этого платья ? ]

Теперь осознайте, что следование за тётей Салли — это чисто условность.В этом смысле PEMDAS является произвольным. Кроме того, по моему опыту математика, выражения вроде 8÷2×4 выглядят абсурдно надуманными. Ни один профессиональный математик никогда не напишет что-то столь явно двусмысленное. Мы вставляли круглые скобки, чтобы указать наше значение и сигнализировать о том, следует ли сначала выполнить деление или умножение.

В прошлый раз, когда это всплыло в Твиттере, я отреагировал с негодованием: это казалось смешным, что мы тратим так много времени в нашей школьной программе на такую ​​​​софистику. Но теперь, после того, как некоторые из моих друзей-компьютерщиков просветили меня в Твиттере, я понял, что условности важны и что от них может зависеть жизнь. Мы знаем это всякий раз, когда выезжаем на шоссе. Если все остальные едут по правой стороне дороги (как в США), было бы разумно последовать их примеру. То же самое происходит, если все остальные едут слева, как в Соединенном Королевстве. Неважно, какая конвенция принята, главное, чтобы все ей следовали.

Также важно, чтобы каждый, кто пишет программное обеспечение для компьютеров, электронных таблиц и калькуляторов, знал правила порядка операций и следовал им.Для остальных из нас тонкости PEMDAS менее важны, чем более важный урок, заключающийся в том, что условности имеют свое место. Это двойная желтая линия по центру дороги — бесконечный знак равенства — и совместное соглашение понимать друг друга, работать вместе и избегать лобовых столкновений. В конечном счете, 8 ÷ 2(2+2) — это не утверждение, а кирпичная кладка; это как написать фразу «Ест побеги и листья» и сделать вывод, что язык капризен. Ну да, при отсутствии знаков препинания так и есть; Вот почему мы изобрели этот материал.

Итак, от имени всех учителей математики, пожалуйста, извините нас за то, что мы утомляем вас в этой скуке. Мои дочери тратили на это неделями каждый учебный год в течение нескольких лет своего обучения, как бы тренируясь, чтобы стать автоматами. Неудивительно, что так много студентов начинают рассматривать математику как бесчеловечный, бессмысленный набор произвольных правил и процедур. Ясно, что если этот последний приступ путаницы в Интернете является каким-либо признаком того, что многие студенты не в состоянии усвоить более глубокий и важный урок. Возможно, пришло время перестать извинять дорогую тетю Салли и вместо этого обнять ее.

Добавление математических уравнений в Pages на Mac

В документ можно включать математические выражения и уравнения. Чтобы добавить уравнение, вы составляете его в диалоговом окне уравнений Pages с помощью команд LaTeX или элементов MathML, а затем вставляете в документ.

Когда вы добавляете уравнение в текстовый документ, вы можете поместить его в текст, чтобы оно находилось на той же строке и перемещалось вместе с текстом, когда вы печатаете, или поместить его как плавающий объект на страницу, чтобы вы могли расположить ее где угодно.В документах макета страницы новые уравнения всегда добавляются как плавающие объекты на странице.

Как в текстовых документах, так и в документах с макетом страницы вы можете добавлять уравнения, встроенные в текст внутри текстовых блоков или фигур.

Примечание: Если вы установили MathType 6.7d или более позднюю версию (приложение для составления математических выражений), вы можете использовать его для создания уравнений, щелкая символы и вводя текст в окне MathType.

Добавьте уравнение с помощью LaTeX или MathML

  1. Выполните одно из следующих действий:

    • Поместите уравнение в текст: Поместите точку вставки в текст, текстовое поле или фигуру или ячейку таблицы или выберите текст, который вы хотите заменить уравнением.

    • Разместите уравнение так, чтобы его можно было свободно перемещать: Щелкните в углу страницы, чтобы убедиться, что ничего не выделено. Вы также можете выбрать миниатюру страницы в представлении «Миниатюры страниц».

  2. Нажмите на панели инструментов, затем выберите «Уравнение».

    Вы также можете выбрать «Вставка» > «Уравнение» (меню «Вставка» расположено у верхнего края экрана).

  3. Если у вас установлен MathType, появится диалоговое окно с вопросом, использовать ли Pages для создания уравнения.Нажмите «Использовать страницы».

  4. Введите уравнение в поле с помощью команд LaTeX или элементов MathML.

    Информацию об использовании поддерживаемых команд LaTeX или элементов и атрибутов MathML см. в статье службы поддержки Apple О поддержке LaTeX и MathML.

  5. Щелкните Вставить.

    Если вы добавили встроенное уравнение, оно появляется в точке вставки в документе и имеет тот же размер и цвет, что и окружающий текст. Если вы измените размер и цвет окружающего текста, размер и цвет уравнения также изменятся.

    Если вы добавили уравнение на страницу, оно появится в центре экрана и будет иметь размер и цвет по умолчанию, которые можно изменить на боковой панели «Формат». Перетащите уравнение, чтобы изменить его положение на странице.

Добавление уравнения с помощью MathType

Если у вас MathType 6.7d или выше, вы можете использовать его для добавления уравнений в документ.

Совет: Чтобы установить MathType в качестве редактора уравнений по умолчанию, выберите «Страницы» > «Настройки» (в меню «Страницы» в верхней части экрана), нажмите «Основные», затем установите флажок «Вставить уравнения с MathType.

  1. Выполните одно из следующих действий:

    • Поместите уравнение вместе с текстом: Поместите точку вставки в текст, текстовое поле или фигуру, ячейку таблицы или выберите текст, который вы хотите уравнение для замены.

    • Разместите уравнение так, чтобы его можно было свободно перемещать: Щелкните угол страницы, чтобы убедиться, что ничего не выделено. Вы также можете щелкнуть миниатюру страницы в представлении «Миниатюры страниц».

  2. Нажмите на панели инструментов, затем выберите «Уравнение».

    Если вы установите MathType в качестве редактора уравнений по умолчанию, MathType открывается автоматически (после первого ввода уравнения). В противном случае нажмите «Использовать MathType» в появившемся диалоговом окне.

  3. Чтобы ввести уравнение, щелкните символы и введите текст в окне MathType.

    Инструкции по использованию инструментов MathType см. в справке MathType.

  4. Чтобы сохранить уравнение, выберите «Файл» > «Закрыть и вернуться к страницам» (меню «Файл» расположено у верхнего края экрана), затем нажмите «Да» в появившемся диалоговом окне.

    Если вы добавили встроенное уравнение, оно появляется в точке вставки и имеет тот же размер и цвет, что и окружающий текст. Чтобы отредактировать уравнение, дважды щелкните уравнение, чтобы открыть окно MathType.

    Если вы добавили уравнение на страницу, оно появится в центре экрана, и его можно будет перетащить в новое место на странице. Чтобы изменить внешний вид уравнения или отредактировать его, дважды щелкните уравнение, чтобы открыть его в MathType, затем дважды щелкните элементы управления в нижней части окна.

  5. Перетащите уравнение, чтобы изменить его положение на странице.

Редактирование, удаление или перемещение встроенного уравнения с помощью LaTeX или MathML

После добавления встроенного уравнения с текстом его можно изменить.

  • Редактирование уравнения: Дважды щелкните уравнение, внесите изменения и нажмите «Обновить».

  • Перемещение уравнения в потоке текста: Выберите уравнение и перетащите его на новое место в основном тексте, верхнем, нижнем колонтитуле или сноске. Вы также можете перетащить его в другое текстовое поле или фигуру.

  • Изменение размера, цвета или выравнивания уравнения: Нажмите уравнение, затем используйте элементы управления на вкладке «Текст» боковой панели «Формат», чтобы изменить размер шрифта, цвет или выравнивание уравнения.

  • Скопируйте уравнение: Щелкните уравнение, выберите «Правка» > «Копировать» (в меню «Правка» в верхней части экрана), поместите точку ввода туда, куда вы хотите вставить уравнение — в ячейку таблицы или в верхний или нижний колонтитул страницы, затем выберите «Правка» > «Вставить».Вы также можете выбрать объект на странице (например, фигуру), а затем выбрать «Правка» > «Вставить», чтобы вставить уравнение как свободно плавающий объект на странице.

  • Удаление уравнения: Щелкните уравнение, затем нажмите клавишу Delete на клавиатуре.

  • Перемещение встроенного уравнения на страницу (вне потока текста): В текстовом документе выберите уравнение, затем в боковой панели «Расстановка» щелкните всплывающее меню «Обтекание текстом» и выберите параметр , кроме Встроенный текст. См. Обтекание текстом вокруг объекта.

    В документе с макетом страницы выберите уравнение, выберите «Правка» > «Вырезать» (или «Копировать»), затем выберите «Правка» > «Вставить». Перетащите уравнение в нужное место на странице.

Редактирование, удаление или перемещение плавающего уравнения с помощью LaTeX или MathML

После добавления плавающего уравнения на страницу его можно изменить.

  • Редактирование уравнения: Дважды щелкните уравнение, внесите изменения и нажмите «Обновить».

  • Перемещение уравнения: Перетащите уравнение в другое место на странице.

  • Изменение размера, цвета или выравнивания уравнения: Щелкните уравнение, затем с помощью элементов управления на боковой панели измените размер и цвет шрифта. Вы также можете перетащить маркер уравнения, чтобы изменить размер его шрифта.

  • Скопируйте уравнение: Щелкните уравнение, выберите «Правка» > «Копировать», прокрутите до страницы, на которую вы хотите поместить уравнение, затем выберите «Правка» > «Вставить». Вы также можете поместить точку вставки в ячейку таблицы или в верхний или нижний колонтитул страницы, а затем выбрать «Правка» > «Вставить», чтобы вставить уравнение как встроенный объект.

  • Удаление уравнения: Щелкните уравнение, затем нажмите клавишу Delete на клавиатуре.

  • Переместите плавающее уравнение вместе с текстом: В текстовом документе выберите уравнение, затем на боковой панели «Расстановка» нажмите кнопку «Переместить с текстом». Нажмите всплывающее меню «Обтекание текстом», затем выберите «Встроить в текст». Перетащите уравнение в его конечное место.

    В документе макета страницы вырежьте и вставьте плавающее уравнение в текстовое поле или фигуру.См. раздел Размещение объектов внутри текста в текстовом поле или фигуре.

LaTeX Tutorial-Math Mode

Что такое математический режим?

Для многих наиболее полезной частью LaTeX является возможность набирать сложные математические формулы. для простоты LaTeX разделяет задачи набора математики и набора обычного текста. Это достигается за счет использования двух режимов работы: абзаца и математического режима. Существует также третий режим, называемый режимом LR, однако он редко используется новичками и, кроме того, обычно неявно вводится с другими командами.Это не будет рассматриваться здесь. Режим абзаца — это режим по умолчанию для среды документа, и его не нужно вызывать явно.

Существует несколько способов входа в математический режим, однако наиболее распространенным является $….$, где текст внутри знаков доллара находится в среде математического режима. Вы уже использовали математический режим по незнанию, используя команды \begin{equation} и \end{equation}.

В следующей таблице перечислены три метода объявления математического режима и их использование.

Метод Специальные характеристики Использование
$… .$ Нет Встроенная математика
\начало{уравнение} \конец{уравнение} Переход к новой строке и центральному уравнению с меткой Уравнения
\[ ….\] Переход к новой строке и центру уравнения Уравнения без метки

Для каждого из этих методов существуют эквивалентные способы входа в математический режим, например, $$.3}{3}=\фракция{19}{3}. \] \конец{документ}
Просмотреть PDF ››

Обратите внимание, что математический режим игнорирует пробелы, на самом деле весь этот код можно было поместить в одну строку и все равно скомпилировать правильно. Еще одна вещь, на которую следует обратить внимание, — это эффект команды \displaystyle. Эта команда заставляет LaTeX придать уравнению полную высоту, необходимую для отображения, как если бы оно было на отдельной строке. Будьте осторожны при его использовании, так как он может создать документ из-за переменной высоты строки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.