Свойства корней и степеней / Блог

Формулы корней n-ой степени и их свойства

1. Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:
   (\sqrt[n] { a } )^k =\sqrt[n] { a^k }
2. Чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней:
   \sqrt[n] { \sqrt[k] { a } ) } =\sqrt[n*k] { a }
3. Значение корня не изменится, если одновременно его показатель увеличить в k раз и подкоренное значение возвести в степень k:
   \sqrt[n] { a^m } = \sqrt[n*k] { a^ { m*k } }
4. Корень из произведения равен произведению корней:
   \sqrt[n] { a*b } = \sqrt[n] { a } * \sqrt[n] { b }
5. Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя:
   \sqrt[n] { \frac { a } { b } } = \frac { \sqrt[n] { a } } { \sqrt[n] { b } }
6. Корень из n-ой степени в степени n
   (\sqrt[n] { a } )^n =a
7. Корень из квадрата:
   (\sqrt { a^2 } ) = |a|

Формулы степеней и их свойства

1. Возведение в нулевую степень:
   a^0 = 1
2. Произведение степеней:
   a^m * a^n = a^ { m+n }
3. Деление степеней:
   a^m : a^n = a^ { m — n }
4. Возведение степени в степень:
   (a^m)^n = a^ { m*n }
5. При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень и результаты перемножают:
   (a*b)^m = a^m * b^m
6. При возведении в степень частного возводят в эту степень и делимое, и делитель, результаты делят:
   (\frac { a } { b } )^m = \frac { a^m } { b^m }
7. Степень с отрицательным рациональным показателем:
   a^ { -n } = \frac { 1 } { a^n }
   Обыкновенная дробь с отрицательным показателем заменяется на обратную ей дробь с положительным показателем:
   (\frac { a } { b } )^ { -m } =(\frac { b } { a } )^ { m }
8. Степень с рациональным показателем:
   a^ { \frac { 1 } { n } } = \sqrt[n] { a }
   a^ { \frac { m } { n } } = \sqrt[n] { a^m }

---

Смотри также: Основные формулы по математике

Решай с разбором:

bingoschool.ru

Основные свойства степеней, корней, формулы

Основные свойства степеней.

1. a⁰ = 1 для любого числа a.

2. a¹ = a для любого числа a.

3. (– a)ⁿ = aⁿ, если n — четное

4. (– a)ⁿ = – aⁿ, если n — нечетное

5. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

6.  

7.  

8. 

9. aⁿa^m=a^n+m  

10. 

Основные свойства корней

1.    для любого .

2.    для любого числа а. Здесь |a| — модуль числа а, который равен а, если , и равен –а, если а < 0.

3.   для   и .

4.  для , и .

5.  для , и .

6. для

   , и .

7.  для , и .

8.  для , и

   .

9.  для и .

10.  для и .

11.  для любого числа а и нечетного числа .

 Формулы сокращенного умножения.

Для любых a, b и с верны следующие равенства:

1. ;   

2. ;   

3. ;   

4. ;   

5. ;   

6. ;   

7. ;   

8. ;   

9. где x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена   .

studfile.net

Свойства степени с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем 7 класс

Свойство 1, формула
Если степени умножать ( при одинаковый основания), то показатели
степени сложить, основание остается неизменным.

a^m • aⁿ = a^{m + n}

Пример 3³ • 3 ⁴ = 3⁷ = 2 187;

4² • 4³ = 4⁵ = 1 024;

y³ • y⁵ = y⁸.

Свойство 2, формула

Пример (- 2)¹⁰ : (- 2)⁷ = (- 2)³ = 8;

(0,1)¹⁰¹ : (0,1)¹⁰¹ = 1;

5⁷ : 5⁹ = 15² =  1 25.

Свойство 3, формула
Если основание не равно нулю, то любое основание в степени нуль,
равно единице.

a⁰ = 1

Пример 3⁰ = 0;

(? 5)⁰ = 1;

(- 2,5)⁰ = 1.

Свойство 4, формула
Если степень возвести в степень, то показатели — перемножить.

(a^m)ⁿ

= a^mn

Пример (3²)³ = 3⁶ = 729.

Свойство 5, формула
Если произведение требуется возвести в степень, то каждый
множитель возводят в степень, и полученные результаты перемножают.

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Пример
Пример (0,9 • 2)² = 0,9² • 2² = 0,81 • 4 = 1,62;

(3z)³ = 3³z³=27z³.

Свойство 6, формула
Если требуется возвести в степень дробь, то возводят в степень
числитель и знаменатель.

Свойство 7, формула
При возведении отрицательного числа в степень, все зависит от
четности степени. Если степень четная, то и число получится четное,
если степень нечетная, то число останется со знаком «минус».

Пример
(- x)² = x²;

(- z)³ = -z³;

(- 2ab)² = (2ab)² = 2²a²b² = 4a²b².

formula-xyz.ru

Формулы степеней и их свойства

Любое ненулевое число в степени нуль равно единице:

   

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

   

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

   

При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

   

Степень произведения двух сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей:

   

Отметим, что количество сомножителей может быть больше двух, тогда, аналогично, степень произведения нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей:

   

Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

   

Степень некоторого числа с отрицательным показателем равна единице, деленной на степень того же числа с показателем противоположным по знаку:

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Свойства степеней | Алгебра

Основные свойства степеней задаются формулами:

   

(При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают).

   

(При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя).

   

(При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают).

   

(При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают).

   

(При возведении в степень частного возводят в эту степень и делимое, и делитель, результаты делят).

Кроме того,

   

(где a≠0)

   

Если n — натуральное число, то

   

в частности,

   

   

в частности,

   

Для a>0

   

В частности,

   

   

В школьном курсе алгебры свойства степеней изучаются на протяжении нескольких лет: сначала для степени с натуральным показателем, затем — для степени с целым показателем,  далее — для степени с рациональным и иррациональным показателем.

Свойства степеней с натуральным и целым показателем верны и для степеней с рациональными и иррациональными показателем, но накладывается дополнительное условие: основания степеней в этом случае должны быть положительными.

По определению,  для любого α

   

www.algebraclass.ru

Обобщение понятия степени и решение примеров со степенями

Здравствуйте. Многие ученики испытывают сложности при решении заданий, в которых встречаются выражения с корнями. В данной статье я попытаюсь обобщить материал по темам «Радикал» и «Степень». Покажу как решать некоторые задания. Если у Вас во время прочтения статьи появятся вопросы, Вы можете записаться ко мне на занятие, я с радостью помогу Вам во всем разобраться, помогу с решением именно Ваших задач! 

1. Свойства степеней и корней

Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равняется а.
Степень числа а с показателем n обозначают aⁿ, например:

В общем случае при n > 1  имеем

Число a называется основой степени, число n — показателем степени.

Приведем основные свойства действий со степенями.

Приведенные свойства обобщаются для любых показателей степени

Часто в вычислениях используются степени с рациональным показателем. При этом удобным оказалось такое обозначение:

Корнем n— ой степени из числа а называется число b, n— я степень которого равняется a:

Корень также называется радикалом.

Корень нечетной степени n всегда существует. Корень четной степени 2n из отрицательного числа не существует. Существуют два противоположных числа, которые являются корнями четной степени из положительного числа а > 0. Положительный корень n— ой степени из положительного числа называют арифметическим корнем.

Из формул (3), (4) вытекают такие свойства радикалов

Если степень корня n = 2, то показатель корня обычно не пишется. 

Пример 1.1. Найти значение выражения

Подкоренное выражение разложим на простые множители:

Пример 1.2. Упростить выражение

Имеем: 

 

Пример 1.3. Извлечь корень 

Имеем: 

Пример 1.4. Упростить выражение 

Поскольку при

2. Действия с радикалами

1) Преобразование корня по формуле  называется внесением множителя под знак радикала.

Пример 2.1. Внести множитель под знак корня 5√2.

Исходя из формулы (7) получим 

Пример 2.2. Внести множитель под знак радикала x√y  при x< 0.

Имеем равенство 

2) Преобразование корня исходя из формулы  называется вынесением множителя из-под знака радикала.

Пример 2.3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении  

Получим: 

Пример 2.4. Вынести множитель из-под знака корня

Имеем: 

Пример 2.5. Вынести множитель из-под знака корня:

Радикалы вида , где a, b — рациональные числа, называются подобными. Их можно прибавлять и отнимать:

Пример 2.6. Упростить:

Пример 2.7. Сложить радикалы:

Пример 2.8. Выполнить действие:

Заметим, что равенство  не выполняется. В этом можно убедиться на таком примере:

Приведем примеры умножения радикалов.

Пример 2.9.

Аналогично освобождаются от кубических иррациональностей в знаменателе:

Рассмотрим более сложные примеры рационализации знаменателей:

Чтобы перемножить радикалы с разными степенями, их сначала превращают в радикалы с одинаковыми степенями.

Пример 2.10. Перемножим радикалы:

Во время умножения радикалов можно использовать формулы сокращенного умножения. Например:

Если радикалы находятся в знаменателе дроби, то, используя свойства радикалов, можно избавиться от иррациональности. 

Пример 2.11. Рационализируем знаменатели дробей

Выражения  называются сопряженными. Произведение сопряженных выражений не содержит радикалов:

Это свойство используется для рационализации знаменателей.

Пример 2.12. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:

3. Вычисление иррациональных выражений

С помощью свойств корней можно упрощать и вычислять иррациональные выражения. 

Пример 3.1. Вычислить

Выполним последовательно действия:

Пример 3.2. Вычислить:

Выполним действия.

Часто используется формула двойного радикала:

Пример 3.3. Исходя из формулы (8) находим:

Пример 3.4. Вычислить

Исходя из формулы (8) находим:

Окончательно получаем:

Аналогично вычисляются кубические корни. Имеем:

Возводим обе части равенства в куб:

Сравнивая выражения при √с, получаем однородную систему уравнений:

Поделив уравнение почленно, приходим к уравнению для z = y/x:

Пример 3.5. Вычислить значение радикала

После возведения в куб уравнения приходим к системе уравнений:

Поделив почленно первое уравнение на второе, получим уравнение для z= y/x:

По схеме Горнера находим корень z = — ½

Из системы уравнений и уравнения y/x = — ½ находим x = 2,  y = -1. Итак, 

Пример 3.6. Вычислить .

Возьмем .

Возведя обе части уравнения в куб, получаем откуда вытекает система уравнений

Система уравнений имеет очевидное решение x= 1, y= 1.

Поэтому .

Вычисляем радикал

Окончательно имеем a = — 1.

Пример 3.7. Вычислить

Поскольку 

Дальше имеем:

Итак, a = — 2.

Пример 3.8. Вычислить

Возведем уравнение в куб, воспользовавшись равенством .

Получили для x кубическое уравнение

или x³ – 3x – 18 = 0,

имеет корни 

Во множестве действительных чисел имеем корень x = 3.

4. Оценки для радикалов

Если 

Это неравенство можно использовать для доведения неровностей, которые содержат радикалы.

Пример 4.1. Доказать, что .

Возведя неравенство в шестую степень, получим очевидное неравенство

Можно приводить радикалы к одной и то й же самой степени :

Пример 4.2. Оценим  .

Поскольку

 

При преобразовании неравенств можно использовать символ V, понимая под ним знаки « > », « < », или « ». 

Пример 4.3. Какое число больше 

.

Поскольку 

На этом все. Напоминаю, что Вы можете записываться ко мне на занятия в расписании, я с радостью помогу Вам с любыми вопросами по математике или высшей математике.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Свойства степеней

Свойства степеней. Разъяснения

\begin{align} & 1-3.\ x^1=x,\ x^0=1,\ x^{-1}=\frac{1}{x}\ \end{align}

Рассмотрим первые 3 свойства на примере числа 5.

Пример
\begin{align} & 5^2\\ \end{align}	\begin{align} & 1×5×5\\ \end{align}	\begin{align} & 25\\ \end{align}
\begin{align} & 5^1\\ \end{align}	\begin{align} & 1×5\\ \end{align}	\begin{align} & 5\\ \end{align}
\begin{align} & 5^0\\ \end{align}	\begin{align} & 1\\ \end{align}	\begin{align} & 1\\ \end{align}
\begin{align} & 5^{-1}\\ \end{align}	\begin{align} & 1÷5\\ \end{align}	\begin{align} & \frac{1}{5}\\ \end{align}
\begin{align} & 5^{-2}\\ \end{align}	\begin{align} & 1÷5÷5\\ \end{align}	\begin{align} & \frac{1}{25}\\ \end{align}

\begin{align} & 4.\ x^m x^n=x^{m+n}\ \end{align}

x^mxⁿ сколько раз мы должны умножить x? Ответ: вначале m-раз, потом n-раз, итого m+n раз

\begin{align} & x^2 x^3=(xx)(xxx)=xxxxx=x^5\ \end{align}

\begin{align} & 5.\ \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\ \end{align}

x^m/xⁿ сколько раз мы должны умножить x? Ответ: вначале m-раз умножить, затем n-раз поделить, итого m-n раз умножить

\begin{align} & \frac{x^5}{x^2}=\frac{xxxxx}{xx}=xxx=x^3\ \end{align}

\begin{align} & 6.\ (x^m)^n=x^{mn}\ \end{align}

x^mxⁿ сколько раз мы должны умножить x? Ответ: вначале m-раз, потом полученный результат n-раз, итого m×n раз

\begin{align} & (x^3)^4=(xxx)^4=(xxx)(xxx)(xxx)(xxx)=xxxxxxxxxxxx=x^12\ \end{align}

\begin{align} & 7.\ (xy)^n=x^n y^n\ \end{align}

Рассмотрим свойство на примере:

\begin{align} & (xy)^3=(xy)(xy)(xy)=xyxyxy=xxxyyy=(xxx)(yyy)=x^3 y^3\ \end{align}

\begin{align} & 8.\ \left ( \frac{x}{y} \right )^n=\frac{x^n}{y^n}\ \end{align}

Рассмотрим свойство на примере:

\begin{align} & \left ( \frac{x}{y} \right )^3=\left ( \frac{x}{y} \right )\left ( \frac{x}{y} \right )\left ( \frac{x}{y} \right )=\frac{(xxx)}{(yyy)}=\frac{x^3}{y^3}\ \end{align}

calcs.su