4. Решение графически систем уравнений, содержащих показательную функцию.

Слайд 8. Найти значение выражения х+ у,если (х;у) является решением системы уравнений.

Решение:

-параллельный перенос на 1 единицу влево.

- параллельный перенос на 2 единицы влево.

х=-1, у=1

х+ у=0.

Рисунок15.
Ответ: 0.

5. Решение уравнений, содержащих параметры.

Наиболее сложные задания содержатся в группе С.

Слайд 9. Найдите все значения р, при которых уравнение

имеет единственный корень.

Решение:

Пусть 3^х=t, t>0.

3t (3t²-6t) + 9t – 5 = p.

Введем функцию f(t) = 9t³ -18t² + 9t – 5.

Исследуем функцию с помощью производной и построим ее график.

f ‘(x) =27t² – 36t + 9.

Найдем стационарные точки: f ‘(x)=0.

27t² – 36t + 9 = 0.

3t² – 4t + 1 = 0.

t₁=1, t₂=.

f()=9=-2+3-5=,

f(1)=9-18+9-5= — 5.

График функции f(t) = 9t³ -18t² + 9t – 5 изображен на рисунке. Уравнение имеет 1 корень при р = -5 и р> .

Рисунок16.

Графическая иллюстрация решения выполнена с использованием программы “Advanced Grapher”.

Рисунок17.

Слайд 10.

Домашнее задание:

1).

2).

3).Найдите все значения р, при которых уравнение

имеет ровно два корня.

6. Самостоятельная работа (при наличии времени).

Решить графически неравенство.

1).. Ответ: (-;2].

2). . Ответ: (-1;0)

7. Итоги урока

По мере изучения курса алгебры постоянно возрастает применение функционально-графических методов, что позволяет быстро и красиво решать многие уравнения и неравенства Единого Государственного экзамена.

urok.1sept.ru

Графики функций, содержащих модуль

Иоганн Бернулли

Цели урока:

• общеобразовательные: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию знаний по теме «Графики функций, содержащие знак модуля»; создать условия контроля усвоения знаний и умений.
• развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы обобщения, сравнения, выделения главного; развитию математического кругозора, мышления, речи, внимания, памяти.
• воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, организованности, формировать положительную мотивацию учения, развивать учебно-познавательную деятельность, коммуникативность.

• Область определения функции y= ( x² + 3x – 4) × | x – 7 |

x – 7

a) x ≥ 0 ; б) х – любое число; в) х ≠ -7; х ≠ 7; г) х ≠ 7.

• Область определения функции y= ( x² + 3x – 4) × | x – 7 |

x – 7

a) x ≥ 0 ; б) х – любое число; в) х ≠ -7; х ≠ 7; г) х ≠ 7.

• Область определения функции y= ( x² + 3x – 4) × | x – 7 |

x – 7

a) x ≥ 0 ; б) х – любое число; в) х ≠ -7; х ≠ 7; г) х ≠ 7.

2. Функция y = x² — 10x +21 имеет нули

а) 7; 3 б) -7; 3 в) 7; -3 г) -7; -3.

• Область определения функции y= ( x² + 3x – 4) × | x – 7 |

x – 7

a) x ≥ 0 ; б) х – любое число; в) х ≠ -7; х ≠ 7; г) х ≠ 7.

2. Функция y = x² — 10x +21 имеет нули

а) 7; 3 б) -7; 3 в) 7; -3 г) -7; -3.

• Область определения функции y= ( x² + 3x – 4) × | x – 7 |

x – 7

a) x ≥ 0 ; б) х – любое число; в) х ≠ -7; х ≠ 7; г) х ≠ 7.

2. Функция y = x² — 10x +21 имеет нули

а) 7; 3 б) -7; 3 в) 7; -3 г) -7; -3.

• Вершиной параболы y= x² — 4x – 5 является точка

а) (2; 9) б) ( -2; 9) в) ( 2; -9) г) ( -2; -9).

• Область определения функции y= ( x² + 3x – 4) × | x – 7 |

x – 7

a) x ≥ 0 ; б) х – любое число; в) х ≠ -7; х ≠ 7; г) х ≠ 7.

2. Функция y = x² — 10x +21 имеет нули

а) 7; 3 б) -7; 3 в) 7; -3 г) -7; -3.

• Вершиной параболы y= x² — 4x – 5 является точка

а) (2; 9) б) ( -2; 9) в) ( 2; -9) г) ( -2; -9).

4. График функции y = |x – 3| изображён на рисунке

а) б)

в) г)

4. График функции y = |x – 3| изображён на рисунке

а) б)

в) г)

5. Упростить выражение √ х² + 8х + 16

а) упростить нельзя; б) √ (х + 4)² ; в) х + 4 г) | x + 4 | .

5. Упростить выражение √ х² + 8х + 16

а) упростить нельзя; б) √ (х + 4)² ; в) х + 4 г) | x + 4 | .

5. Упростить выражение √ х² + 8х + 16

а) упростить нельзя; б) √ (х + 4)² ; в) х + 4 г) | x + 4 | .

6. Нулями подмодульных выражений для функции

y= |3x-6| + 2|x+1| — ½ |7x+21| являются числа

а) 3; -1; 2 б) -3; -1; 2 в) -2; -½; 3 г) -3; -½; 2.

1. Устная работа.

5. Упростить выражение √ х² + 8х + 16

а) упростить нельзя; б) √ (х + 4)² ; в) х + 4 г) | x + 4 | .

6. Нулями подмодульных выражений для функции

y= |3x-6| + 2|x+1| — ½ |7x+21| являются числа

а) 3; -1; 2 б) -3; -1; 2 в) -2; -½; 3 г) -3; -½; 2.

5. Упростить выражение √ х² + 8х + 16

а) упростить нельзя; б) √ (х + 4)² ; в) х + 4 г) | x + 4 | .

6. Нулями подмодульных выражений для функции

y= |3x-6| + 2|x+1| — ½ |7x+21| являются числа

а) 3; -1; 2 б) -3; -1; 2 в) -2; -½; 3 г) -3; -½; 2.

7. Сколько точек пересечения имеют графики функций

y= x²+4x-3 и y= 9 .

а) 1; б) 3; в) ни одной; г) 2.

5. Упростить выражение √ х² + 8х + 16

а) упростить нельзя; б) √ (х + 4)² ; в) х + 4 г) | x + 4 | .

6. Нулями подмодульных выражений для функции

y= |3x-6| + 2|x+1| — ½ |7x+21| являются числа

а) 3; -1; 2 б) -3; -1; 2 в) -2; -½; 3 г) -3; -½; 2.

7. Сколько точек пересечения имеют графики функций

y= x²+4x-3 и y= 9 .

а) 1; б) 3; в) ни одной; г) 2.

5. Упростить выражение √ х² + 8х + 16

а) упростить нельзя; б) √ (х + 4)² ; в) х + 4 г) | x + 4 | .

6. Нулями подмодульных выражений для функции

y= |3x-6| + 2|x+1| — ½ |7x+21| являются числа

а) 3; -1; 2 б) -3; -1; 2 в) -2; -½; 3 г) -3; -½; 2.

7. Сколько точек пересечения имеют графики функций

y= x²+4x-3 и y= 9 .

а) 1; б) 3; в) ни одной; г) 2.

8. Множество значений функции y= 8-x² .

а) (- ∞ ; 8 ] б) (8; +∞) в) ( — ∞; 8) г) [ 8; + ∞).

5. Упростить выражение √ х² + 8х + 16

а) упростить нельзя; б) √ (х + 4)² ; в) х + 4 г) | x + 4 | .

6. Нулями подмодульных выражений для функции

y= |3x-6| + 2|x+1| — ½ |7x+21| являются числа

а) 3; -1; 2 б) -3; -1; 2 в) -2; -½; 3 г) -3; -½; 2.

7. Сколько точек пересечения имеют графики функций

y= x²+4x-3 и y= 9 .

а) 1; б) 3; в) ни одной; г) 2.

8. Множество значений функции y= 8-x² .

а) (- ∞ ; 8 ] б) (8; +∞) в) ( — ∞; 8) г) [ 8; + ∞).

9. График функции y = f (|x|) получен из y = f (x)

а) при х ≥ 0 график остаётся без изменений;

б) при х ˂ 0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси 0 Y .

10. График функций y = |f(x)| получен из y = f(x) c ледующим образом

а) часть графика, лежащая выше оси ОХ сохраняется;

б) часть графика, лежащая ниже оси ОХ симметрично отображается относительно оси О X .

Леонард Эйлер

Найдите корень уравнения. 2 + √ х² +2х + 1 = 3х + 1

1. Свернуть подкоренное выражение по формулам сокращённого умножения.

2. Используя свойство √ а² = | a | , преобразовать уравнение.

3. Привести уравнение к виду | f(x) | = g (x).

4 . В одной системе координат построить графики функций

y=|f (x)|, y= g(x).

5 . Найти абсциссу точки пересечения графиков.

Николай Иванович Лобачевский

X € ( -2; 4)

Y=4

при х € [ 2; +∞)

Тип рассмотренных заданий

Понял хорошо.

1. Решение уравнений.

Вызывало затруднения.

2. Решение неравенств.

Требуется доработать.

3. Исследование функций.

4. Задачи с параметрами.

multiurok.ru

Урок по теме «Построение графиков квадратичной функции с модулем»

Урок по теме «Построение графиков квадратичной функции с модулем»

Учебник А.Г.Мордкович, базовый уровень, 4 — й урок темы «Функция y = ax 2 + bx + c, ее свойства и график»

Быкасов Андрей Иванович,

учитель математики НОУ «Нефтеюганская православная гимназия», г.Нефтеюганск, Тюменская область

Тема : «Построение графиков

квадратичной функции с модулем »

Цель: обобщить знание свойств квадратичной функции и научить применять свойства квадратичной функции при построении графиков квадратичной функции с модулем

Задачи:

• Выявить степень сформированности у учащихся понятия квадратичной функции, её свойств, особенностей её графика.
• Создать условия для формирования умения анализировать, сравнивать, классифицировать графики изученных функций.
• Продолжить развитие умения построения графиков квадратичной функции с модулем , используя программу AGrapher .
• Формировать умение сотрудничать, работая в группе.

Оборудование: проектор, экран , 4 компьютера, программа AGrapher .

Этапы урока

• Организационный
• Мотивация к учебной деятельности.
• Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии (работа с графиками функций).
• Выявление места и причины затруднения.
• Построение проекта выхода из затруднения.
• Реализация построенного проекта.
• Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
• Включение в систему знаний и повторение.
• Рефлексия учебной деятельности. Оценивание работы на уроке.
• Домашнее задание.

1. Организационный

На перемене дети садятся по группам. Группы формируются

на добровольной основе, консультант группы определяется

учителем. Каждой группе выдаются листы контроля

результатов деятельности.

Здравствуйте, ребята! Я рада сегодня вас видеть и очень надеюсь на совместную плодотворную работу. Сегодня мы работаем в группах. В каждой группе мною был назначен консультант, который поможет мне оценить в конце урока каждого из вас. В течение всего урока мы будем накапливать баллы: за каждый правильный, точный и логичный ответ Вы будете получать «+» в таблице, лежащей на вашем столе. Здесь мне будет нужна помощь консультантов. В конце урока мы просуммируем «+» и поставим отметки в зависимости от их количества:

более 8 «+»- «5»

6-7 «+»- «4»

4-5 «+»- «3».

2. Мотивация к учебной деятельности . Задача этапа: Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Если вы хотите научиться плавать, то смело

входите в воду, а если хотите научиться

решать задачи, то решайте их!

Дьёрдь Пойя

Сегодня нам предстоит решение многих задач, вы видите, как можно научится их решению по мнению известного венгерского математика Д.Пойя. Согласны ли вы, что такой подход применим и к нашему уроку?( Да )

Для начала предлагаю вспомнить, что мы знаем о функциях.

За каждое выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля (максимум 4 балла)

3 . Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии.

1 группа

Запишите формулы и названия функций, которые вы видите на графиках. (Каждые 2 правильно записанные формулы оцениваются «+», максимум 4 балла).

Постройте графики функций:

4 группа

2 группа

Постройте графики функций:

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4 .

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

3 группа

Постройте графики функций:

№ 1.

№ 2.

№ 3. №4.

2. 1Актуализация знаний и фиксация з1атруднения в пр№1обном действии.

Задание для первой группы

График №1

График №2

График №3

График №5

График №4

Задание для первой группы

График №6

График №7

График №8

Проверка

1группа

• № 1
• № 2
• № 3
• № 4
• № 5
• № 6
• № 7
• № 8

За каждое правильно выполненные 2 задания, консультант выставляет «+» в лист контроля

Проверка

График №1

График № 3

2группа

График №2

График № 4

За каждое правильно выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля

Проверка

3 группа

График №2

График №3

График №4

График №1

За каждое правильно выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля

Проверка

4 группа

График №1

График №3

График №2

График №4

За каждое правильно выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля

3 . Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии.

• Повторим определение модуля
• Как получаем из функции можно получить функцию ?
• Постройте графики функций

За каждое правильно выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля

3 . Актуализация знаний и фиксация затруднения

в пробном действии.

1 . Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.

2. Зафиксировать актуализированные способы действий в речи.

3. Зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталонах).

Графики каких функций вам знакомы ?( линейная, прямой и обратной пропорциональности, квадратичная, у = )

Как по графику определить вид функции и её формулу? (уметь пользоваться правилами параллельных переносов вдоль осей Ох,Оу, уметь определять коэффициенты, оси симметрии и асимптоты)

Формулы для каких графиков функций вы не смогли определить? Почему?

(последние формулы видим впервые, поэтому не можем определить вид функции и как строить графики)

Давайте попробуем сформулировать цель нашего урока .

(Научиться строить графики нового вида, научиться узнавать их среди других графиков функций, описывать их свойства.)

А я добавлю к вашей цели еще одну: обобщить знание свойств квадратичной функции и научиться применять свойства квадратичной функции в построении графиков с модулем.

Тема урока

«Построение графиков

квадратичной функции с модулем»

4.Построение проекта выхода из затруднения.

• Построим графики квадратичных функций с модулем
• Выполнив практическую работу, сделаем вывод о свойствах графика

и

5. Реализация построенного проекта.

1.Организовать построение нового способа на примере, вызвавшем затруднение. 2.Организовать фиксацию нового способа действия в речи и с помощью эталона.

3. Зафиксировать преодоление возникшего ранее затруднения.

Каждой группе предлагается построить график одной функции в программе AGrapher , описать её свойства по алгоритму:

1

2

6 .Организовать фиксацию нового способа действия в речи и с помощью эталона.

а) Давайте обобщим способы построения графиков функций, в которых выражение, задающее функцию, находится под знаком модуля, в единый алгоритм (строим график функции без модуля, потом часть графика, находящаяся ниже оси Ох, отображается в верхнюю полуплоскость)

б) Давайте обобщим способы построения графиков функций, в которых аргумент находится под знаком модуля, в единый алгоритм. (строим график функции без модуля, потом часть графика, находящаяся правее оси Оу, отображается в левую полуплоскость)

На основании какого математического понятия мы получаем эти новые способы действия ? (На основании определения модуля выражения)

Сравним полученный нами алгоритм с эталоном .

За каждый правильный ответ, консультант выставляет «+» в лист контроля.

6. Алгоритм построения графика квадратичной функции вида (эталон)

1.Строим график функции у = f (х).

2.Часть графика, для которой, значения функции положительны — оставляем без изменения.

3.Часть графика, для которой, значения функции отрицательны – зеркально отображаем в верхнюю полуплоскость.

Алгоритм построения графика квадратичной функции вида (эталон)

1.Строим график функции у = f (х).

2.Часть графика, для которой, значения аргумента положительны — оставляем без изменения.

3.Часть графика, для которой, значения аргумента положительны – зеркально отображаем в левую полуплоскость.

7 . Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Каждой группе выдается задание на построение графиков функций

1 группа

2 группа

3 группа

4 группа

За правильно выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля

8. Включение в систему знаний и повторение.

Как построить график квадратичной функции с модулем .(проговаривают алгоритмы)

Графики каких функций мы можем построить с учетом нового знания, полученного сегодня на уроке? (перечисляют функции)

8. Включение в систему знаний и повторение.

Построить графики функций

8. Включение в систему знаний и повторение. (проверка)

1 . 2. 3.

4. 5.

9. Подведение итогов, рефлексия

• Просуммируем «+» и поставим отметки в зависимости от их количества:

более 8 «+» — «5»

6-7 «+» — «4»

4-5 «+» — «3».

В листе контроля укажите, как вы оцениваете свои достижения поставленных целей на этом уроке

1. Затрудняюсь в построении графика без помощи алгоритма

2. Могу построить строить графики функций с модулями

3. Я все понял и могу объяснить другим

10. Домашнее задание

1. Затрудняюсь в построении графика без помощи алгоритма

Выучить определение модуля. Построить графики функций:

2. Могу построить строить графики функций с модулями

3. Я все понял и могу объяснить другим

Самоанализ урока

Тема урока. «Построение графиков квадратичной функции с модулем».

Цель урока: обобщить знание свойств квадратичной функции и научить применять её свойства в п остроении графиков квадратичной функции с модулем.

Урок четвертый в теме «Функция y  = ax 2 + bx + c , ее свойства и график».

Цель урока р

multiurok.ru