Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Калькулятор для решения систем линейных уравнений 2×2 и 3×3.Решение системы трех линейных уравнений методом Крамера
Решение систем линейных уравнений (правило Крамера)Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
По формулам Крамера получаем
Решение системы трех линейных уравнений методом Гаусса
Разделим первое уравнение системы на 3
Умножим уравнение (**) на 4 и вычтем из второго уравнения, затем умножим уравнение (**) на (-1) и вычтем из третьего уравнения. Получим систему уравнений
Разделим второе уравнений на и получим
Умножим уравнений (***) на и вычтем из третьего уравнения. В результате получаем следующую систему уравнений
Из последнего уравнения находим z=3. Подстaвляя найденное значение во второе уравнение, получаем:
=> y=1.
Подставляя найденные значения y и z в первое уравнение, найдем x => x=5.
Ответ: x=5, y=1, z=3
Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера.
ru.intemodino.com
Уравнение с тремя неизвестными | Математика
62. Одно уравнение с тремя неизвестными. Пусть имеем уравнение
3x + 4y – 2z = 11.
На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:
3x + 12 – 10 = 11,
откуда
3x = 9 и x = 3.
Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть
y = –1 и z = 0.
Тогда получим уравнение:
3x – 4 = 11,
откуда
3x = 15 и x = 5.
Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:
Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.
Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):
Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.
Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:
3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;
x = (11 – 4y + 2z) / 3.
Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.
Возьмем еще уравнение
3x – 5y – 2z = 7.
Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y
–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2
Теперь легко составить таблицу решений:
maths-public.ru
Как решить систему уравнений с тремя переменными
Точка О – центр окружности, ?AOB=72° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах). Точка О – центр окружности, ?ACB=24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).
Примеры систем линейных уравнений: метод решения
Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.
Линейное уравнение
Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.
Виды систем линейных уравнений
Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.
Решить систему уравнений — это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.
Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.
Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.
Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.
Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.
Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.
Простые и сложные методы решения систем уравнений
Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.
Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода
Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.
Решение систем методом подстановки
Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе
Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:
Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.
Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.
Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:
Решение с помощью алгебраического сложения
При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.
Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.
Алгоритм действий решения:
Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.
Способ решения введением новой переменной
Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.
Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относи
poiskvstavropole.ru
Два уравнения с тремя неизвестными
63. Два уравнения с тремя неизвестными. Пусть имеем уравнения:
3x + 4y – 2z = 11
5x + 4y + 2z = 19,
которые надо решить совместно. Мы умеем решать совместно 2 уравнения с двумя неизвестными, почему прежде всего приходит мысль, что здесь одно неизвестное является лишним и что его, вероятно, можно заменить любым числом. И действительно. Если дадим x произвольное значение, например, возьмем x = 7, то получим
21 + 4y – 2z = 11
35 + 4y + 2z = 19,
т. е. 2 уравнения с двумя неизвестными, которые мы умеем решить.
Упростив эти уравнения, получим:
4y – 2z = –10
4y + 2z = –16.
Сложив из по частям, получим:
8y = –26 и y = –3 ¼.
Вычитая из 2-го первое, получим:
4z = –6 и z = –1 ½.
Взяв x = 0, получим:
4y – 2z = 11
4y + 2z = 19.
Решив (так же, как и выше) эти уравнения, получим:
y = 3 ¾; z = 2
Так же для x = 1, получим y = 2 ¾; z = 1 ½ и т. д.
Эти решения можно записать в таблице, причем, как видим, здесь одно неизвестное (у нас x) является независимым переменным, а два других являются зависимыми переменными.
Вот эта таблица:
Итак,
два уравнения с тремя неизвестными имеют бесконечно много решений, причем для получения их надо одному из неизвестных давать произвольные значения.
Чтобы удобнее получать эти решения, можно заранее из данных уравнений определить зависимые переменные через независимое.
Для этой цели перенесем члены 3x и 5x, имеющиеся в наших уравнениях, в правую часть (эти члены, ведь, приходится считать известными), — получим:
4y – 2z = 11 – 3x
4y + 2z = 19 – 5x.
Сложив эти уравнения по частям, получим:
8y = 30 – 8x и y = (30 – 8x) / 8 = (15 – 4x) / 4.
Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:
4z = 8 – 2x и z = (8 – 2x) / 4 = (4 – x) / 2.
Теперь, взяв для x какое-нибудь значение, например, x = 2, легко в уме найдем: y = 1 ¾ и z = 1.
Вот еще пример. Пусть даны уравнения:
2x + y – z = 7
3x + 2y + 4z = 11.
Определим из них x и y через z. Для этого сначала перенесем члены с z в правую часть уравнения:
2x + y = 7 + z и 3x + 2y = 11 – 4z (1).
Обе части первого уравнения умножим на 2:
4x + 2y = 14 + 2z
3x + 2y = 11 – 4z.
Вычтем по частям из 1-го уравнения второе:
x = 3 + 6z (2)
Таким образом мы определили x через z. Затем умножим обе части 1-го уравнения из системы (1) на 3 и обе части 2-го на 2 (чтобы уравнять коэффициенты при x). Получим:
6x + 3y = 21 + 3z
6x + 4y = 22 – 8z.
Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:
y = 1 – 11z (3)
Таким образом определили y через z.
Пользуясь равенствами (2) и (3), легко найти сколько угодно решений данных двух уравнений, причем надо неизвестному z давать произвольные значения. Вот несколько решений:
maths-public.ru