Ромб и квадрат. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Ромб – это частный случай параллелограмма, поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма. Однако есть и специфические свойства, о которых пойдёт речь. Но для начала сформулируем одно из определений ромба.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Сформулируем и докажем теорему о свойствах ромба.

Теорема

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (являются биссектрисами углов) (см. Рис. 1).

Дано:

 – ромб

Доказать:

.

Доказательство:

Рис. 1

Рассмотрим :  – середина  (так как ромб является параллелограммом, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам). Кроме того, из определения ромба следует, что . Значит, треугольник  – равнобедренный;

 является медианой этого треугольника, проведённой к основанию, а, значит, и биссектрисой, и высотой. Из этого следует, что:

, то есть диагонали ромба перпендикулярны;

, то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов (равенство остальных углов можно доказать аналогично).

Доказано.

Ещё один частный случай параллелограмма – квадрат.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. А именно:

• все углы квадрата прямые;
• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делят углы квадрата пополам.

Теперь рассмотрим несколько задач, в которых встречаются ромб и квадрат.

Задача 1.

В ромбе одна из диагоналей равна стороне (см. Рис. 2). Найти:

а) углы ромба;

б) углы между диагоналями и сторонами.

 

Дано:  – ромб; .

Найти: а) ; б) .

Решение:

Рис. 2

а)  (так как у ромба все стороны равны). Значит, треугольник  – равносторонний. Отсюда следует, что угол . Так как в любом параллелограмме сумма соседних углов равна , то .

Ответ: .

б) По доказанной выше теореме:

. Аналогично получаем, что .

Ответ: .

Задача 2.

Найти периметр ромба , в котором , а меньшая диагональ равна . Найти периметр ромба.

 

Дано:

 – ромб;  .

Найти:

Решение:

Рис. 3

Рассмотрим треугольник , в нём: . Значит, данный треугольник равнобедренный, угол при вершине у него равен

, два других угла при основании равны, поэтому данный треугольник – равносторонний. Значит: . Так как в ромбе все стороны равны, то периметр ромба равен: .

Ответ: .

Задача 3.

Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен

.

Дано:  – ромб, .

Найти:

Решение:

 

Рис. 4

Вспомним, что в любом параллелограмме противоположные углы, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна . Из этого следует, что:

. Теперь воспользуемся доказанной вначале теоремой: .

Ответ:

Задача 4.

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:

а) его диагонали взаимно перпендикулярны;

б) его диагонали являются биссектрисами углов.

 

а) Дано:  – параллелограмм, .

Доказать:

 – ромб.

Доказательство:

Рис. 5

Рассмотрим треугольник : в нем  является одновременно и высотой (так как диагонали перпендикулярны), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит,  – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что:

. То есть  – ромб.

Доказано.

б) Дано:  – параллелограмм,  – биссектрисы углов параллелограмма.

Доказать:  – ромб.

Доказательство:

Рис. 6

Рассмотрим треугольник : в нем  является одновременно и биссектрисой (так как диагонали являются биссектрисами углов), и медианой (так как диагонали в любом параллелограмме точкой пересечения делятся пополам). Значит,  – равнобедренный. Из этого следует, что: . Если теперь воспользоваться тем, что в параллелограмме противоположные стороны равны, получаем, что: . То есть,  – ромб.

Доказано.

Задача 5.

Докажите, что ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом.

Дано:  – ромб,   

Доказать:  – квадрат.

Доказательство:

Рис. 7

Вспомним, что квадрат – это одновременно прямоугольник и ромб. Если говорить о сформулированном строгом определении, то квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Равенство сторон следует из того, что данный четырёхугольник – ромб. Осталось доказать, что он является ещё и прямоугольником. По условию:  (у любого параллелограмма противоположные углы равны). Кроме того, сумма соседних углов параллелограмма равна . Значит: . Отсюда мы получаем, что  – прямоугольник, а значит, и квадрат.

Доказано.

На этом уроке мы изучили ромб и квадрат, а также рассмотрели их свойства и решили различные задачи, в которых встречаются ромб и квадрат.

На следующих уроках мы обобщим полученные знания о четырёхугольниках.

На этом уроке мы изучили ромб и квадрат, а также рассмотрели их свойства и решили различные задачи, в которых встречаются ромб и квадрат.

На следующих уроках мы обобщим полученные знания о четырёхугольниках.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических наук «Открытый урок» (Источник).
2. Narod.ru (Источник).
3. Xvatit.com (Источник).

 

Домашнее задание

1. № 55(а, б), 56(а, б) Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
2. Найти углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, разность которых равна .
3. Найти углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как .
4. Доказать, что прямоугольник, у которого диагонали перпендикулярны, – квадрат.

interneturok.ru

Прямоугольник, ромб, квадрат. Геометрия, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Периметр прямоугольника Сложность: лёгкое	2
2.	Cторона квадрата Сложность: лёгкое	1
3.	Параллельные прямые Сложность: лёгкое	4
4.	Элементы квадрата Сложность: лёгкое	3
5.	Периметр ромба Сложность: лёгкое	1
6.	Вопросы о свойствах прямоугольника Сложность: лёгкое	1
7.	Вопросы о свойствах и признаках прямоугольника Сложность: лёгкое	2
8.	Стороны прямоугольника, дано их отношение и Р Сложность: лёгкое	2
9.	Диагонали ромба Сложность: лёгкое	1
10.	Углы ромба Сложность: лёгкое	2
11.	Периметр прямоугольника Сложность: лёгкое	3
12.	Вопросы о свойствах и признаках квадрата Сложность: среднее	2
13.	Стороны прямоугольника, дано их соотношение и P Сложность: среднее	3
14.	Углы между диагональю и сторонами прямоугольника Сложность: среднее	3
15.	Меньшая диагональ ромба Сложность: среднее	3
16.	Угол ромба, дан угол между диагональю и стороной ромба Сложность: среднее	3
17.	Острый угол ромба, дана разность углов Сложность: среднее	3
18.	Углы ромба (уравнение) Сложность: среднее	3
19.	Угол ромба, дан угол между высотой и стороной ромба Сложность: среднее	3
20.	Угол ромба, если меньшая диагональ равна стороне Сложность: среднее	3
21.	Элементы треугольника, образованного диагональю и стороной ромба Сложность: среднее	3
22.	Угол между диагоналями прямоугольника Сложность: среднее	3
23.	Квадрат, вписанный в прямоугольный треугольник Сложность: сложное	1
24.	Доказательство с использованием свойств квадрата Сложность: сложное	1

www.yaklass.ru

Урок геометрии по теме «Ромб». 8-й класс

Урок геометрии – это, во-первых, знание теории и, во-вторых, правильное и разумное применение этой теории на практике.

Данный урок – это урок объяснения нового материала.

Цель урока: формирование понятия “ромб”, изучение свойств ромба и применение их при решении задач.

Тип урока: комбинированный.

Задачи урока.

Образовательная:

• знать определение ромба;
• отличать ромб от других четырехугольников;
• знать, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Развивающая:

• развивать умения рационально мыслить: анализировать, систематизировать, обобщать, делать выводы;
• формировать культуру письменной и устной математической речи;
• формировать у учащихся наблюдательность.

Воспитательная:

• воспитывать трудолюбие, усердие в достижении цели;
• воспитывать умение общаться, помогать друг другу.

Оборудование урока: компьютер, проектор, презентация, доска.

Раздаточный материал.

1. Комплекты четырехугольников (у каждого ученика на столах).
2. Пять фигур ромба различного размера (для каждой группы).
3. Карточка-план работы.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин.)
2. Проверка домашнего задания (5 мин.)
3. Актуализация знаний. Сообщение темы урока (7 мин.)
4. Изучение нового материала (7 мин.)
5. Закрепление нового материала (6 мин.)
6. Решение задач (7 мин.)
7. Рефлексия (3 мин.)
8. Оценивание (1 мин.)
9. Домашнее задания (1 мин.)

Ход урока

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

— Ребята, слушаю ваши вопросы по-домашнему задания.

— Выполним маленькую проверочную работу по готовым чертежам, для того чтобы проверить как вы справились с домашней работы. Выполняем в тетрадях для самостоятельных работ. Время на выполнение 5 мин.

Слайд 2. Презентация

3. Актуализация знаний. Сообщение темы урока.

— Ребята откройте тетради, запишите число и классная работа. Сегодня на уроке рассмотрим фигуру, обладающую интересными свойствами.

Выполним построение (один учащийся у доски остальные в тетрадях):

– проведите отрезок AB = 3 см;

– проведите отрезок CD = 5 см так, чтобы CD |  AB, AB∩CD=0, AO=OB, CO=OD;.

(Все данные записаны на Слайде 3)

– соедините AC, BC, CD, AD;

– какая фигура получилась? (Четырехугольник)

– какие четырехугольники нам уже известны? (Параллелограмм и прямоугольник)

– какой четырехугольник называется параллелограммом?

– какой четырехугольник называется прямоугольником?

– какой фигурой является получившийся четырехугольник, параллелограммом или прямоугольником? (Параллелограммом)

– измерьте с помощью линейки все стороны получившегося параллелограмма

– какой вывод можно сделать после измерения? (Все стороны параллелограмма равны)

– итак, ребята, параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

– тема нашего сегодняшнего урока: Ромб и его свойства.

– запишите тему в тетрадь и определение, которое мы получили. Слайд 4

4. Изучение нового материала

— Ребята, сейчас разделимся на 5 групп (каждый ряд: первая и вторая парта, третья и четвертая парта) для того чтобы, Вы сами вывели свойства ромба и в дальнейшем применяли их для решения задач.

— Каждой группе выдается план работы (у всех групп одинаковый) и один ромб (в каждой группе разного размера).

— Работаете по представленному плану, в конце работы отвечает представитель группы. Время работы 7 мин.

План работы	Предполагаемые ответы
Рассмотрите Δ ABC. Определите его вид. Сравните AO и OB. Сравните CO и OD. Что можно сказать о CO по отношению к AB. Что можно сказать про диагонали ромба? Сравните L ACO и L OCB. Чем является отрезок CO в Δ ABC? Что можно сказать про отрезки: AO угла CAD, DO угла ADB, BO угла CBD? Сделайте выводы о диагоналях ромба из пунктов 6–8?	Равнобедренный AO = OB CO = OD CO | AB Они пересекаются под прямым углом L ACO = L OCB. CO – биссектриса AO – биссектриса L  CAD, DO – биссектриса L  ADB, BO – биссектриса L  CBD. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Выступление представителей:

– какие выводы о диагоналях ромба вы получили из своей работы? (Отвечает каждая группа)

– выводы, которые вы сделали, называются свойства ромба. Запишите их в тетрадь.

Слайд 4

Свойства ромба:

• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Запись в тетради:

5. Закрепление нового материала

— Ребята, рассаживаемся по своим местам. У вас на столе лежит комплект четырехугольников и вам необходимо самостоятельно выполняют задания, записанные на доске Слайде 5, выполняете эту работу для того, чтобы мне увидеть, как Вы усвоили материал урока. Время работы 6 мин.

На слайде:

Задания для выполнения	Критерии оценивания
1. Выберите из представленных четырехугольников ромб. Приложите его к тетради и обведите. 2. Измерьте стороны ромба. Запишите в тетрадь. 3. Проведите диагонали ромба. Запишите, чему они равны.	“5” — все задания выполнены правильно, обозначения без ошибок, записи аккуратны. “4” — все задания выполнены правильно, обозначения содержат ошибки, запись не аккуратна. “3” — не все задания выполнены правильно, обозначения содержат ошибки, запись не аккуратна.

— Теперь поменяйтесь тетрадями с соседом по парте и проверьте работу, выставите оценку по критерию записанными на доске, а рядом с оценкой поставьте фамилию проверяющего. (Выставляют оценки по критериям (Слайд 6), записанным на доске).

— Ребята, теперь немного разомнемся.

Время тратить мы не будем, поднимаем кверху руки,
Опускаем их на плечи, продолжаем дальше вместе.
Поднимаем, опускаем, от урока отдыхаем.

Руки вверх над головой, смотрим все перед собой,
Позвоночник выпрямляем, локти сводим, распрямляем,
Организм оздоровляем, кислородом наполняем.

Чтобы ноги поразмять, будем дружно приседать,
Встали, кверху потянулись, повторили, улыбнулись.
Заряд бодрости поможет нам опять урок продолжить.

6. Решение задач

— Применим полученные знания о свойствах ромба для решения задач по готовым чертежам. Один учащийся на доске, остальные в тетрадях, обращая внимание на правильное оформление решения.

Задача 1. Слайд 7

Задача 2. Слайд 8

7. Рефлексия.

Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на Слайде 9:

сегодня я узнал…

было интересно…

было трудно…

я выполнял задания…

я понял, что…

теперь я могу…

я почувствовал, что…

я приобрел…

я научился…

у меня получилось …

я смог…

я попробую…

меня удивило…

мне захотелось…

8. Оценивание с комментарием.

9. Домашнее задание.

Слайд 10

Пункт 55 (стр. 71), стр. 81 № 35 (обязательно для всех).

Составить кроссворд по теме: “Четырехугольники”, не менее 5 слов. (На дополнительную оценку)

urok.1sept.ru