Элективное занятие «Дробно-квадратичные функции. Классификация графиков»

Тема проекта: Дробно-квадратичные функции. Классификация графиков.

Объект исследования: Изучение свойств дробно-квадратичных функций.

Цель проекта: Исследовать свойства некоторых дробно-квадратичных функций.

Задачи проекта:

1. Обобщить свойства дробно-квадратичных функций.

2. Провести классификацию их графиков.

3. Найти методы построения графиков дробно-квадратичных функций.

Этапы проекта:

1. Экспериментальная часть (выбор функций, их исследование и построение графиков).

2. Обобщение полученной информации, выдвижение гипотез.

3. Попытка доказательства выявленных свойств в общем виде.

4. Заполнение сводной классификационной таблицы.

Результат проекта: таблица разновидностей графиков квадратичных функций.

1. Введение.

Построение графиков функций — одна из интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано y = x², то мы сразу видим параболу; если y = x² – 4 , мы видим параболу, опущенную на четыре единицы; если же y = 4 — x², то мы видим предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу и формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с нами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

На уроках математики мы строим в основном простейшие графики – графики элементарных функций. Только в 11 классе будем строить графики более сложных функций с помощью производной.

Однако графики некоторых сложных функций можно строить без использования производной, т.е. элементарными способами. Именно разложение сложной функции на элементарные и, в дальнейшем, построение графиков таких функций, и заинтересовало нас при более детальном рассмотрении дробно-квадратичных функций.

Дробно-квадратичные функции – это функции, которые в школьных учебниках и популярной литературе встречаются довольно часто. Однако изучение их ограничивается какими-то конкретными функциями. Между тем, классификация графиков таких функций во многом бы облегчила работу учителей и учащихся.

2. Основная часть.

   1. Определение дробно-квадратичной функции.

Дробно-квадратичной называется функция вида

y = ax² + bx + c , где a, b, c, p, q, r –

px² + qx + r таковы, что

в числителе дроби – многочлен 2, 1 или 0 степени, отличный от нуля, а в знаменателе – многочлен 1 или 2 степени. При этом a ≠ 0 и p ≠ 0 одновременно. Также многочлены не пропорциональны и не имеют общих корней, т.е. дробь несократима.

Тогда условно можно разделить все такие функции на две группы:

1группа:

p ≠ 0.

2группа:

, q ≠ 0.

Общность свойств дробно-квадратичной функции диктуется , в первую очередь, наличием или отсутствием корней в знаменателе дроби, т.е. знаком числа D = b² — 4ac. С этим числом связана структура области определения дробно-квадратичных функций.

Поэтому все дробно-квадратичные функции первой группы можно разделить на три подгруппы,
ставя в основу деления условия:

1. D > 0;

2. D = 0;

3. D < 0.

1. 2. Построение графиков некоторых дробно-квадратичных функций.

Пример 1. Построить график функции

. (D> 0).

1. Выделив целую часть, будем иметь

.

2. Дробь изобразим в виде суммы элементарных дробей:

.

3. Построим графики функций:

4. После сложения этих графиков получаем график заданной функции:

(рис. 2)

5. На основании построенного графика проводим исследование данной функции:

x = -1 и x = 3

• E(y) = R

• Экстремумов нет.

• Три промежутка монотонности.

• Асимптоты: х = — 1 , x = 3, y = 1.

Точек пересечения с асимптотами нет.

Пример 2. Построим график функции: y = ( D = 0).

1. Преобразуем данную дробь:

= 1 — = 1 – = 1 — —

2. Построим график каждой из функций у = 1, у = — и у = — .

3. В результате сложения графиков получаем график функции у =

4. Свойства данной функции:

• E(y) = (-∞;2) или (2; +∞)

• Экстремумов нет.

• Два промежутка монотонности.

• Асимптоты:x = 2, y = 2.

Пример 3. Построим график функции у = (D < 0).

1. Преобразуем данную функцию в сумму и произведение элементарных функций:

У = = = 1 + = 1 + (x – 2) ∙ .

2. Построим график каждой из функций

у = 1, у = х – 2, у = , у =

у = (x – 2) ∙

.

X

Y

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

у =

у = х – 2

у = 1

у =

у = (x – 2) ∙

.

3. В результате сложения построенных графиков получаем график исходной функции

у =

4. Свойства данной функции:

• Д(у) = R.

• E(y) = [0,5;2) или (2; 0,5]

• Экстремум один y = 0,5.

Пример 4. И, наконец, рассмотрим функцию 2-ой группы (p = 0? q ≠ 0).

y =

1. Выполняем преобразование:

y = = x + 1 + .

2. Строим график каждого слагаемого:

У = .

У = х + 1

3. Строим график искомой функции путем сложения графиков.

4. Свойства данной функции:

• Д(у) = R, кроме х = — 2.

• E(y) = (-∞;1] или [1; +∞).

• Экстремума два y = 1, у = -3.

• Четыре промежутка монотонности.

• Асимптоты две.

• Точек пересечения с асимптотами нет.

2.3. Построение классификационной таблицы.

В результате исследования нескольких групп графиков нами была составлена классификационная таблица.

Таблица 1

График функции

или

p,  ≠ 0

1. Д (у)

График функции

или

p, ≠ 0

1. Д (у)

2. E (у)

2. E (у)

3. Экстремумы

3. Экстремумы

4. Число промежутков монотонности

4. Число промежутков монотонности

5. Асимптоты графика

5. Асимптоты графика

6. Точки пересечения с асимптотами

6. Точки пересечения с асимптотами

7. Приближение к асимптотам при x

7. Приближение к асимптотам при x

8. Наличие симметрии

8. Наличие симметрии

> 0

Рис. 1

1. R кроме x = t и x = s

Рис 3.

1. R кроме x = t и x = s

2. (-∞; n][m; +∞)

2. (-∞; m](α; +∞) или (-∞; α)  [m; +∞)

3. Два: у = n, у = m (в точках В и С)

3. Один: у = m (точка В)

4. пять

4. четыре

5. x = t, x = s, y = 

5. x = t; x = s

6. Точка А

6. Нет

7. С разных сторон

7. С одной стороны

8. нет

8. Ось симметрии ,

Рис. 2

1. R кроме x = t и x = s

2. R

3. нет

4. три

5. x = t; x = s. y = 

6. нет

7. С разных сторон

8. нет

Таблица 1 (Продолжение)

График функции

или

p,  ≠ 0

1. Д (у)

График функции

или

p, ≠ 0

1. Д (у)

2. E (у)

2. E (у)

3. Экстремумы

3. Экстремумы

4. Число промежутков монотонности

4. Число промежутков монотонности

5. Асимптоты графика

5. Асимптоты графика

6. Точки пересечения с асимптотами

6. Точки пересечения с асимптотами

7. Приближение к асимптотам при x

7. Приближение к асимптотам при x

8. Наличие симметрии

8. Наличие симметрии

= 0

Рис. 4

1. R кроме x = t

Рис 5.

1. R кроме x = t

2. (-∞; m] или [m; +∞)

2. (-∞; α) или (α; +∞)

3. Один: у = m (точка В)

3. Нет

4. три

4. Два

5. x = t; y = 

5. x = t; y = 

6. Точка А

6. Нет

7. С разных сторон

7. С одной стороны

8. нет.

8. Ось симметрии .

< 0

Рис. 6

1. R

Рис 7.

1. R

2. [m; n]

2. [m; ) или (; m]

3. Два: у = m, у = n (точки В и C)

3. Один: у = m (точка В)

4. три

4. два

5. y = 

5. y = 

6. Точка А

6. нет

7. С разных сторон

7. С одной стороны

8. нет (кроме случая, когда А – т. перегиба .

8. Ось симметрии .

Таблица 2

График функции

или

, , q ≠ 0

1. Д (у)

График функции

или

, , q ≠ 0

1. Д (у)

2. E (у)

2. E (у)

3. Экстремумы

3. Экстремумы

4. Число промежутков монотонности

4. Число промежутков монотонности

5. Асимптоты графика

5. Асимптоты графика

6. Точки пересечения с асимптотами

6. Точки пересечения с асимптотами

7. Приближение к асимптотам при x

7. Приближение к асимптотам при x

8. Наличие симметрии

8. Наличие симметрии

Рис. 8

1. R кроме

Рис 9.

1. R кроме

2. (-∞; n] или [m; +∞)

2. R

3. Два: у = m, у = n (точки В и C)

3. Нет

4. четыре

4. Два

5. x = ; y = x + 

5. x = ; y = x + 

6. нет

6. Нет

7. С разных сторон

7. С одной стороны

8. Центр симметрии – точка пересечения асимптот

8. Центр симметрии – точка пересечения асимптот

3. Заключение.

При выполнении проектной работы:

• уточнили понятия дробно-квадратичной функции;

• научились заменять данную функцию суммой и произведением элементарных функций;

• построили графики некоторых функций и исследовали их;

• на основе построенных графиков была составлена сводная классификационная таблица.

4. Список использованной литературы.

1) Крамор В.С.. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. – М.: Просвещение, 1990г.

2) Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Справочник. Графики функций. – Киев: «Наукова Думка», 1979г.

3) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра – 8 класс. Дополнительные главы к школьному учебнику. – М.: Просвещение, 1998г.

4) Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э.. Функции и графики (основные приемы). – М.: Издательство МЦНМО, 2004г.

5) Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса.

6) http://ru.wikipedia.org

Оглавление:

1. Введение с. 4

2. Основная часть с. 5 — 16

2.1 Определение дробно-квадратичной функции с.5 — 6

2.2 Построение графиков некоторых дробно-квадратичных функций

с. 6 – 5

2.3. Построение классификационной таблицы с. 15 – 18

3. Заключение с. 19

4. Список использованной литературы с. 19

Дробно-линейная функция | Математика, которая мне нравится

Равнобочная гипербола

Исследуем функцию, заданную формулой .

Функция строго убывает на и на .

Доказательство. Пусть , и одного знака. Тогда . (см. свойство неравенств 9).

Множество значений функции — .

Доказательство. Пусть . Тогда принадлежит множеству значений функции.

Определение. Множество точек плоскости, которое в какой-либо системе координат является графиком функции , называется равнобочной гиперболой.

График равнобочной гиперболы приведен на рис. 29:

Рис. 29

Равнобочная гипербола симметрична относительно начала координат.

Определение. Функция, график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной функцией.

Пример. — нечетные функции.

Определение. Прямые и называются асимптотами равнобочной гиперболы .

Асимптоты перпендикулярны осям координат и проходят через
точки на этих осях, которые не принадлежат области определения или множеству значений функции .

Преобразования системы координат

1) Изменение направления оси абсцисс

Гипербола — график функции (рис. 30).

Рис. 30

2) Изменение масштаба

Из получаем график функции

   

Из получается график функции

   

Таким образом, график любой функции является равнобочной гиперболой.

Если , нужно взять и получить из .

Если , нужно взять и получить из .

3) Сдвиг вдоль оси абсцисс

Из получим график функции .

4) Сдвиг вдоль оси ординат

Из получим

   

Определение. Дробно-линейной функцией называется функция, заданная формулой

   

где .

Область определения этой функции .

Теорема. График дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

Доказательство. Преобразуем дробь к виду :

   

Нужно взять , , .

Практический прием построения графика дробно-линейной функции

1. Находится запрещенное значение .

2. Находится запрещенное значение функции. Для этого из равенства выражается через .

3. Наносим найденные точки на оси координат и проводим через них прямые, перпендикулярные осям — асимптоты графика.

4. Чтобы определить положение графика по отношению к асимптотам, находим одну точку графика.

5. Находим еще несколько точек и, учитывая, что гипербола симметрична относительно точки пересечения асимптот, строим ее.

Задачи.

1. Постройте графики функций

1) .

2) .

3) .

4) .

2. Для дробно-линейной функции, заданной формулой найдите следующие множества:

1) .

2) .

3) .

3. Изобразите на координатной плоскости фигуры, задаваемые уравнениями и неравенствами:

1) .

2) .

3) .

4) .

4. Вершины и прямоугольника лежат на гиперболе , а стороны прямоугольника параллельны координатным осям. Докажите, что прямая проходит через начало координат.

Применение графиков к решению задач по алгебре и началам анализа в общеобразовательных классах

Дробно-рациональная функция – это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени.

Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.

Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.

Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.

Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.

уравнение вертикальной асимптоты

уравнение горизонтальной асимптоты

уравнение наклонной асимптоты

Пример 1. Построим график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

Дробно-линейная функция имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

горизонтальная асимптота

вертикальная асимптота, т.к.

Точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

при , точка

Получаем график <Рисунок1>

Элементарная математика не располагает средствами исследования всякой дробно-рациональной функции общего вида. Однако некоторые частные виды этих функций могут быть исследованы средствами элементарной математики.

Если степень старшего члена числителя меньше степени старшего члена знаменателя, то рациональная алгебраическая дробь называется правильной.

Если рациональная дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель можно ее представить в виде суммы целого многочлена (частное) и рациональной правильной дроби.

Методами элементарной математики могут быть исследованы функции вида:

а)

б)

в)

г)

и некоторые другие.

Целая часть, полученная при делении числителя на знаменатель, и будет либо горизонтальной асимптотой (как в примере, разобранном выше), либо наклонной асимптотой.

Пример 2 (стр. 141 учебника “Алгебра и начала анализа 10-11 класс” Колмогоров А.Н.)

Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части

1) наклонная асимптота

2)

вертикальная асимптота

3)

функция ни четная, ни нечетная.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

с осью ординат график функции не пересекается, т.к. эта ось есть асимптота.

5) ; ;

6)

7) Построим график <Рисунок2>.

Пример 3 (№295(г) учебника “Алгебра и начала анализа 10-11 класс” Колмогоров А.Н.).

Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

1) наклонная асимптота

2)

вертикальная асимптота

3) функция ни четная, ни нечетная.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

с осью абсцисс график функции не пересекается, т.к. эта ось есть асимптота.

5) ; ;

6)

7) Построим график <Рисунок3>.

Пример 4. Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

1) горизонтальная асимптота

2)

вертикальные асимптоты

3) четная, график функции симметричен относительно оси ординат.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

при , точки и .

5) ; ;

6)

7) Построим график <Рисунок4>.

Пример 5. Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

1) наклонная асимптота

2)

вертикальная асимптота

3) функция нечетная, график функции симметричен относительно начала координат.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точки и

с осью ординат график функции не пересекается.

5) ; ; нет.

6)

7) Построим график <Рисунок5>.

Пример 6. Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

1) наклонная асимптота

2)

вертикальная асимптота

3) функция ни четная, ни нечетная.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

при , точки и

5) ; ;

6)

7) Построим график <Рисунок 6>.

Пример 7. Найти множество значений функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

1) горизонтальная асимптота

2)

3) функция ни четная, ни нечетная.

4) точки пересечения графика с осями координат:

при , точка

при , точки и

5) ; ;

6)

7) Построим график <Рисунок 7>.

Ответ:

Примеры 8–12. (Приложение)

«Дробно-квадратичная функция. Попытка классификации» (учебный исследовательский проект)

Дробно

Дробно-квадратичные функции (ДКФ) – это элементарные функции, которые в школьных учебниках и популярной литературе для абитуриентов встречаются достаточно часто. Описание свойств ДКФ можно найти в статье С.В.Дворянинова и Н.Х.Розова “ Дробно-квадратичная функция в школьном курсе математики” ( “ Математика в школе” №4,1997г.). Однако целью авторов статьи не были ни обобщения, ни доказательство свойств в общем виде. В других же печатных источниках информация о ДКФ не выходит за рамки процедуры исследования конкретных функций и построения их графиков. Вместе с тем классификация графиков ДКФ во многом облегчила бы работу учителей и учащихся, занимающихся исследованием функций. Нам представляется интересным и полезным создать такую классификацию, объединив функции в группы по принципу общности свойств.

Будем считать дробно-квадратичной (в соответствии с определением из выше названной статьи) функцию вида

,

где a, b, c, p, q, r таковы, что в числителе дроби многочлен 2, 1 или 0 степени, отличный от нуля, а в знаменателе многочлен 2 или 1 степени. При этом a и p одновременно не равны нулю. Предполагаем так же, что многочлены не пропорциональны и не имеют общих корней, т.е. дробь не сократима на линейный множитель.

Тогда условно можно разделить все такие функции на две группы.

Первая группа:

  (1)

Вторая группа:

  (2)

Общность свойств ДКФ в первой группе диктуется, в первую очередь, наличием или отсутствием корней в знаменателе дроби, px²+qx+r т.е.знаком числа D= p²-4qr. С этим числом связана структура области определения ДКФ. Поэтому имеет смысл разделить все ДКФ первой группы на три подгруппы, ставя в основу деления условия:

а) D>0; б) D=0; в) D<0.

Делением числителя на знаменатель дроби приведем ДКФ к несколько иному виду.

Первая группа:

 

Вторая группа:

Если ввести для числовых коэффициентов более простые обозначения, то уравнения будут выглядеть следующим образом:

Первая группа:

Вторая группа:

При этом в первой группе возможны две разновидности функций: при

  и при .

Классификацию ДКФ можно представить в форме таблиц (Таблица 1 для функций первой группы и Таблица 2 для функций второй группы).

К сожалению, школьная программа не отводит времени на изучение свойств ДКФ. Однако такую работу можно предложить учащимся в виде коллективного исследовательского проекта.

Работу над проектом можно начать с постановки следующих задач: обобщить свойства ДКФ и провести классификацию их графиков.

Класс делится на 4 группы, каждой из которых предлагается задание по исследованию свойств и выявлению разновидностей графиков ДКФ определенного вида ( Д > 0, Д = 0, Д < 0 и р=0, где D= p²-4qr ).

Выполнение проекта происходит по следующему плану.

1. Экспериментальная часть, где учащиеся каждой группы самостоятельно выбирают 15-20 функций своего вида, исследуют их и выполняют построение графиков.
2. Обобщение полученной информации и выдвижение гипотез. На этом этапе предпринимается попытка выявить виды графиков, которые может иметь данная разновидность функций, высказываются предположения о свойствах функций этого вида. Наличие этих свойств проверяется у нескольких новых функций и, если они подтверждаются, то переходят к следующему этапу.
3. Попытка доказательства выявленных свойств в общем виде (например, наличия симметрии у графиков некоторых разновидностей, наличия точки пересечения графика с асимптотой, определенной структуры области значений ДКФ и.т.п.).
4. Заполнение сводной классификационной таблицы, в которой представлена информация о ДКФ каждого вида (Приложения 1,2). Каждая группа по заданной схеме заполняет таблицу, приводя в ней результаты своих исследований.

В итоге получается таблица разновидностей графиков ДКФ, которую учащиеся могут представить в форме компьютерной презентации, дающей возможность единовременно продемонстрировать аудитории большой объем информации.

Оценка такой работы проводится с участием самих учащихся по следующим показателям: участие в эксперименте, в обобщении результатов и доказательстве свойств, работа по составлению таблицы, участие в работе над компьютерной презентацией, выступление с презентацией.

Работа над таким проектом проводилась нами неоднократно и имеет, на наш взгляд, много преимуществ в сравнении с традиционными формами обучения т.к. в результате ученики приобретают опыт не только в решении задач, но и в их постановке, выходя при этом на качественно иной уровень знания и приобретая бесценный исследовательский опыт.

Приложение (табл. 1, табл. 2)