Свойства логарифмической функции и ее график – Логарифмическая функция, её свойства и график — урок. Алгебра, 11 класс.

Содержание

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Логарифмической функцией называется функция вида Подготовка к ГИА и ЕГЭ, где Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Логарифмическая функция Подготовка к ГИА и ЕГЭ является обратной к показательной функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

На этом интерактивном чертеже представлены графики функций Подготовка к ГИА и ЕГЭ

и Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

Исследуйте зависимость свойств функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ от значения числа Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

Обратите внимание:

  • при Подготовка к ГИА и ЕГЭ функция не определена;
  • график логарифмической функции  всегда проходит через точку с координатами Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Итак, при Подготовка к ГИА и ЕГЭ график функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ имеет такой вид:

33

 

При Подготовка к ГИА и ЕГЭ график функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ выглядит так:

33

 

Свойства логарифмической функции:

1.Область определения:  Подготовка к ГИА и ЕГЭ

2. Множество значений: Подготовка к ГИА и ЕГЭ - принимает любое действительное значения.

3. При Подготовка к ГИА и ЕГЭ функция Подготовка к ГИА и ЕГЭ убывает, то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:

если Подготовка к ГИА и ЕГЭ

, то Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

4. При Подготовка к ГИА и ЕГЭ функция Подготовка к ГИА и ЕГЭ возрастает, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

если Подготовка к ГИА и ЕГЭ, то Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

5. График показательной функции всегда проходит через точку с координатами Подготовка к ГИА и ЕГЭ

6. Поведение при Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

При Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ при Подготовка к ГИА и ЕГЭ

При Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

при Подготовка к ГИА и ЕГЭ

То есть график функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ имеет вертикальную асимптоту Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.Подготовка к ГИА и ЕГЭ

 

ege-ok.ru

Функция y=logax, ее свойства и график (продолжение). Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Логарифмическая функция базируется на понятии логарифма и свойства показательной функции

, где  (основание степени а больше нуля и не равно единице).

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Примеры:

Напомним основное правило: чтобы получить число, стоящее под логарифмом, необходимо основание логарифма возвести в степень – значение логарифма:

Напомним важные особенности и свойства показательной функции.

Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :

Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы

Такая функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы

Такая функция монотонно убывает на всей своей области определения.

В любом случае, показательная функция монотонна, принимает все положительные значения и, в силу своей монотонности, каждое положительное значение достигает при единственном значении аргумента. То есть, каждое конкретное значение  функция достигает при единственном значении аргумента , корнем уравнения  и есть логарифм:

По сути, мы получили обратную функцию. Прямая функция – это когда у нас есть независимая переменная х (аргумент), зависимая переменная у (функция), мы задали значение аргумента и по нему получаем значение функции. Обратная функция: пусть независимой переменной будет у, ведь мы уже оговорили, что каждому положительному значению у соответствует единственное значение х, определение функции соблюдается. Тогда х становится зависимой переменной.

Вывод:

Для монотонной прямой функции  существует обратная функция . Суть функциональной зависимости не изменится, если мы введем переобозначение:

Получаем:

Но нам привычнее обозначать независимую переменную за х, а зависимую – за у:

Таким образом, мы получили логарифмическую функцию.

Используем общее правило получения обратной функции для конкретной показательной функции

.

Заданная функция монотонно возрастает (согласно свойствам показательной функции), значит, существует обратная ей функция. Напоминаем, что для ее получения необходимо выполнить два действия:

Выразить х через у:

Поменять местами х и у:

         

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:

Рис. 3. Графики  функций  и

Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.

Решим задачу при

Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:

Выразить х через у:

Поменять местами х и у:

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:

Рис. 4. Графики  функций  и

Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.

У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций  и .

Рис. 5. Графики функций  (слева) и (справа)

Свойства прямой (показательной) функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает;

Выпукла вниз.

Свойства обратной (логарифмической) функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает;

Выпукла вверх.

Обратим внимание, что область определения и область значений прямой и обратной функции меняются местами. Кроме того, если прямая функция возрастает, то и обратная возрастает. И, наконец, если прямая функция выпукла вниз, то обратная – вверх.

Таким образом, мы подтвердили связь прямой и обратной функции.

Итак, мы изучили логарифмическую функцию и ее связь с показательной функцией. На следующем уроке мы продолжим рассматривать логарифмическую функцию и научимся решать типовые задачи.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Edu.glavsprav.ru (Источник).
  2. Nado5.ru (Источник).
  3. Uztest.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 504, 505, 507;

2. Укажите область определения функции, обратной к заданной, не записывая ее:

а) ; б) ; в) ; г)

3. Укажите область значений функции, прямой относительно заданной, не записывая ее:

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

interneturok.ru

Логарифмическая функция ее свойства и график

Логарифмическая функция

Что такое логарифмическая функция?

Логарифм икс по основанию "а"

Логарифмическая функция

y = logax

т.е. логарифм икс по основанию "а".

Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции.

Свойства логарифмической функции зависят от значения основания a.

Свойства логарифмической функции при a > 1

Свойства логарифмической функции при a > 1:

1. Функция y = logax является ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "а" возрастает на промежутке - от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = logax - интервал от нуля до плюс бесконечности;
4. Область значений функции y = logax - вся числовая прямая.

График логарифмической функции при a = 2

График функции y = logax при a = 2:

Свойства логарифмической функции при 0 < a < 1

Свойства логарифмической функции при 0 < a < 1:

1. Функция y = logax является ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию "а" убывает на промежутке - от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = logax - интервал от нуля до плюс бесконечности;
4. Область значений функции y = logax - вся числовая прямая.

График логарифмической функции при a = 0,5

График функции y = logax при a = 0,5:

График функции y = logax построить вы можете сами прямо сейчас с помощью построителя графиков. Выберете в нём вид функции "Логарифмическая: y = k * logax + b", и нажмите кнопку "Построить график".

www.sbp-program.ru

Элементарные функции. Логарифмическая функция | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалыФункции и графики

Функция y=log_a x (где a>0, a\neq 1) называется логарифмической функцией с основанием a.

Конечно, хорошо бы вспомнить сначала  определение логарифма.

График логарифмической функции log_a x можно построить используя тот факт, что функция log_a x обратна показательной функции y=a^x. Поэтому можно построить график показательной функции y=a^x, после чего отобразить его симметрично относительно прямой y=x.

график логарифма, логарифмическая функция

И все же, как произвести построение, скажем, графика y=log_2x без предварительного построения графика показательной функции?

Мы должны перебирать различные значения x и, подставляя в формулу, найти соответствующие значения y.

578

Так вот согласно определению логарифма, например, log_28 – это такая степень числа 2, в которую нужно возвести это основание 2, чтобы получить 8, то есть log_28=3, так как 2^3=8.

Руководствуясь этим правилом мы и заполняем всю таблицу (можно бы в эту таблицу дописать и такие значения x, как 8, 16,…):

75564

Получаем следующий график функции:

график логарифма, логарифмическая функция

Если мы возьмем функцию  y=log_{\frac{1}{2}}x, то график будет выглядеть так:

график логарифма, логарифмическая функция

Свойства логарифмической функции

график логарифма, логарифмическая функция, построение логарифмической функции

логарифмическая функция, свойства логарифмов

Свойства логарифмов смотрим здесь

egemaximum.ru

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где,. Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при.

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда .

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6– красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.

  • Область определения логарифмической функции: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.

  • Область значений: .

  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

  • Логарифмическая функция убывает на всей области определения.

  • Функция вогнутая при .

  • Точек перегиба нет.

  • Горизонтальных асимптот нет.

  • Функция проходит через точку (1;0).

К началу страницы

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ().

Покажем графики логарифмических функций – синяя линия,– красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.

  • Область определения: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.

  • Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал .

  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

  • Функция возрастает при .

  • Функция выпуклая при .

  • Точек перегиба нет.

  • Горизонтальных асимптот нет.

  • Функция проходит через точку (1;0).

К началу страницы

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".

Свойства функции синус y = sinx.

  • Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .

  • Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .

  • Функция обращается в ноль при , где, Z – множество целых чисел.

  • Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .

  • Функция синус - нечетная, так как .

  • Функция убывает при , возрастает при.

  • Функция синус имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках.

  • Функция y = sinx вогнутая при , выпуклая при.

  • Координаты точек перегиба .

  • Асимптот нет.

К началу страницы

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

К началу страницы

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

К началу страницы

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):

Свойства функции котангенс y = ctgx.

К началу страницы

studfile.net

Логарифмическая функция

Понятие логарифмической функции

Для начала вспомним, что же вообще такое логарифм.

Определение 1

Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$. Эта функция возрастает, непрерывна и отображает действительную ось на интервал $(0,+\infty )$. Тогда, по теореме о существовании обратной непрерывной функции, у нее в множестве $Y=(0,+\infty )$ существует обратная функция $x=f^{-1}(y)$, которая также непрерывна и возрастает в $Y$ и отображает интервал $(0,+\infty )$ на всю действительную ось. Эту обратную функцию называют логарифмической функцией по основанию $a\ (a >1)$ и обозначается $y={{log}_a x\ }$.

Теперь рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $0

Таким образом, мы определили логарифмическую функцию при всех возможных значениях основания $a$. Рассмотрим далее два этих случая отдельно.

Функция $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Рассмотрим свойства данной функции.

  1. Область определения -- интервал $(0,+\infty )$;

  2. Область значения -- все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

  5. Функция положительна, при $x\in (1,+\infty )$ и отрицательна, при $x\in (0,1)$

  6. $y'=\frac{1}{xlna}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    \[\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет\]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция возрастает на всей области определения;

  9. $y^{''}=-\frac{1}{x^2lna}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[-\frac{1}{x^2lna}Функция выпукла на всей области определения;
  11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=-\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty ,\ $;

  12. График функции (Рис. 1).

График функции $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Рисунок 1. График функции $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Функция $y={{log}_a x\ }, \ 0

Рассмотрим свойства данной функции.

  1. Область определения -- интервал $(0,+\infty )$;

  2. Область значения -- все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

  5. Функция положительна, при $x\in (0,1)$ и отрицательна, при $x\in (1,+\infty )$

  6. $y'=\frac{1}{xlna}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    \[\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет\]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция убывает на всей области определения;

  9. $y^{''}=-\frac{1}{x^2lna}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[-\frac{1}{x^2lna}>0\]

    Функция вогнута на всей области определения;

  11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;

  12. График функции (Рис. 2).

График функции

Примеры исследования и построения логарифмических функций

Пример 1

Исследовать и построить график функции $y=2-{{log}_2 x\ }$

  1. Область определения -- интервал $(0,+\infty )$;

  2. Область значения -- все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, $2-{{log}_2 x\ }=0,\ x=4.$ Пересечение с осью $Ox$: (4,0).

  5. Функция положительна, при $x\in (0,4)$ и отрицательна, при $x\in (4,+\infty )$

  6. $y'=-\frac{1}{xln2}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    \[-\frac{1}{xln2}=0-корней\ нет\]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция убывает на всей области определения;

  9. $y^{''}=\frac{1}{x^2ln2}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[\frac{1}{x^2ln2} >0\]

    Функция вогнута на всей области определения;

  11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;

  12. График функции:

График функции

Рисунок 3.

spravochnick.ru

Логарифм - свойства, формулы, график

Определение логарифма

Логарифм с основанием a
– это функция  y(x) = loga x, обратная к показательной функции с основанием a:   x(y) = a y.

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: .

Десятичный логарифм
– это логарифм по основанию числа 10:   lg x ≡ log10 x.
Натуральный логарифм
– это логарифм по основанию числа e:   ln x ≡ loge x.

2,718281828459045...;
.

Графики логарифма

График логарифмаГрафики логарифма y = loga x при различных значениях основания a.

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. Слева изображены графики функции y = loga x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

См. также «Определение и доказательство свойств логарифма».

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

 
Область определения 0 < x < + ∞ 0 < x < + ∞
Область значений – ∞ < y < + ∞ – ∞ < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает
Нули, y = 0 x = 1 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 нет нет
+ ∞ – ∞
– ∞ + ∞

Частные значения


Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Логарифмирование
– это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование
– это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b, имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a.

Если    ,   то   

Если    ,   то   

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

1cov-edu.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *