Логарифмическая функция, ее свойства и график

Логарифмической функцией называется функция вида , где

Логарифмическая функция является обратной к показательной функции .

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой

.

На этом интерактивном чертеже представлены графики функций  и .

Исследуйте зависимость свойств функции от значения числа :

Обратите внимание:

• при функция не определена;
• график логарифмической функции  всегда проходит через точку с координатами

Итак, при  график функции имеет такой вид:

 

При  график функции выглядит так:

 

Свойства логарифмической функции:

1.Область определения:  

2. Множество значений:

— принимает любое действительное значения.

3. При функция убывает, то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:

если , то .

4. При

функция  возрастает, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

если , то .

5. График показательной функции всегда проходит через точку с координатами

6. Поведение при :

При :

при

При

:

при

То есть график функции имеет вертикальную асимптоту .

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

ege-ok.ru

Функция y=logax, ее свойства и график (продолжение). Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Логарифмическая функция базируется на понятии логарифма и свойства показательной функции , где  (основание степени а больше нуля и не равно единице).

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Примеры:

Напомним основное правило: чтобы получить число, стоящее под логарифмом, необходимо основание логарифма возвести в степень – значение логарифма:

Напомним важные особенности и свойства показательной функции.

Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :

Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы

Такая функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы

Такая функция монотонно убывает на всей своей области определения.

В любом случае, показательная функция монотонна, принимает все положительные значения и, в силу своей монотонности, каждое положительное значение достигает при единственном значении аргумента. То есть, каждое конкретное значение

 функция достигает при единственном значении аргумента , корнем уравнения  и есть логарифм:

По сути, мы получили обратную функцию. Прямая функция – это когда у нас есть независимая переменная х (аргумент), зависимая переменная у (функция), мы задали значение аргумента и по нему получаем значение функции. Обратная функция: пусть независимой переменной будет у, ведь мы уже оговорили, что каждому положительному значению у соответствует единственное значение х, определение функции соблюдается. Тогда х становится зависимой переменной.

Вывод:

Для монотонной прямой функции  существует обратная функция . Суть функциональной зависимости не изменится, если мы введем переобозначение:

Получаем:

Но нам привычнее обозначать независимую переменную за х, а зависимую – за у:

Таким образом, мы получили логарифмическую функцию.

Используем общее правило получения обратной функции для конкретной показательной функции .

Заданная функция монотонно возрастает (согласно свойствам показательной функции), значит, существует обратная ей функция. Напоминаем, что для ее получения необходимо выполнить два действия:

Выразить х через у:

Поменять местами х и у:

         

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:

Рис. 3. Графики  функций  и

Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.

Решим задачу при

Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:

Выразить х через у:

Поменять местами х и у:

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:

Рис. 4. Графики  функций  и

Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.

У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций  и .

Рис. 5. Графики функций  (слева) и (справа)

Свойства прямой (показательной) функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает;

Выпукла вниз.

Свойства обратной (логарифмической) функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает;

Выпукла вверх.

Обратим внимание, что область определения и область значений прямой и обратной функции меняются местами. Кроме того, если прямая функция возрастает, то и обратная возрастает. И, наконец, если прямая функция выпукла вниз, то обратная – вверх.

Таким образом, мы подтвердили связь прямой и обратной функции.

Итак, мы изучили логарифмическую функцию и ее связь с показательной функцией. На следующем уроке мы продолжим рассматривать логарифмическую функцию и научимся решать типовые задачи.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Edu.glavsprav.ru (Источник).
2. Nado5.ru (Источник).
3. Uztest.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 504, 505, 507;

2. Укажите область определения функции, обратной к заданной, не записывая ее:

а) ; б) ; в) ; г)

3. Укажите область значений функции, прямой относительно заданной, не записывая ее:

а) ; б) ; в) ; г) ;

 

interneturok.ru

Логарифмическая функция ее свойства и график

Логарифмическая функция

Что такое логарифмическая функция?

Логарифм икс по основанию «а»

Логарифмическая функция

y = log_ax

т.е. логарифм икс по основанию «а».

Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции.

Свойства логарифмической функции зависят от значения основания a.

Свойства логарифмической функции при a > 1

Свойства логарифмической функции при a > 1:

1. Функция y = log_ax является ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию «а» возрастает на промежутке — от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = log_ax — интервал от нуля до плюс бесконечности;
4. Область значений функции y = log_ax — вся числовая прямая.

График логарифмической функции при a = 2

График функции y = log_ax при a = 2:

Свойства логарифмической функции при 0 < a < 1

Свойства логарифмической функции при 0 < a < 1:

1. Функция y = log_ax является ни четной, ни нечетной;
2. Функция логарифм икс по основанию «а» убывает на промежутке — от нуля до плюс бесконечности;
3. Область определения функции y = log_ax — интервал от нуля до плюс бесконечности;
4. Область значений функции y = log_ax — вся числовая прямая.

График логарифмической функции при a = 0,5

График функции y = log_ax при a = 0,5:

График функции y = log_ax построить вы можете сами прямо сейчас с помощью построителя графиков. Выберете в нём вид функции «Логарифмическая: y = k * log_ax + b», и нажмите кнопку «Построить график».

www.sbp-program.ru

Элементарные функции. Логарифмическая функция | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалыФункции и графики

Функция (где , ) называется логарифмической функцией с основанием .

Конечно, хорошо бы вспомнить сначала  определение логарифма.

График логарифмической функции можно построить используя тот факт, что функция обратна показательной функции . Поэтому можно построить график показательной функции , после чего отобразить его симметрично относительно прямой .

И все же, как произвести построение, скажем, графика без предварительного построения графика показательной функции?

Мы должны перебирать различные значения и, подставляя в формулу, найти соответствующие значения .

Так вот согласно определению логарифма, например, – это такая степень числа 2, в которую нужно возвести это основание 2, чтобы получить 8, то есть так как .

Руководствуясь этим правилом мы и заполняем всю таблицу (можно бы в эту таблицу дописать и такие значения , как 8, 16,…):

Получаем следующий график функции:

Если мы возьмем функцию  , то график будет выглядеть так:

Свойства логарифмической функции

Свойства логарифмов смотрим здесь

egemaximum.ru

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где,. Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при.

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда .

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6– красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.

• Область определения логарифмической функции: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.

• Область значений: .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Логарифмическая функция убывает на всей области определения.

• Функция вогнутая при .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальных асимптот нет.

• Функция проходит через точку (1;0).

К началу страницы

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ().

Покажем графики логарифмических функций – синяя линия,– красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.

• Область определения: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.

• Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал .

• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

• Функция возрастает при .

• Функция выпуклая при .

• Точек перегиба нет.

• Горизонтальных асимптот нет.

• Функция проходит через точку (1;0).

К началу страницы

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т — период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют «синусоида».

Свойства функции синус y = sinx.

• Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .

• Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .

• Функция обращается в ноль при , где, Z – множество целых чисел.

• Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .

• Функция синус — нечетная, так как .

• Функция убывает при , возрастает при.

• Функция синус имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках.

• Функция y = sinx вогнутая при , выпуклая при.

• Координаты точек перегиба .

• Асимптот нет.

К началу страницы

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют «косинусоида») имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

К началу страницы

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют «тангенсоида») имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

К началу страницы

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют «котангенсоида»):

Свойства функции котангенс y = ctgx.

К началу страницы

studfile.net

Логарифмическая функция

Понятие логарифмической функции

Для начала вспомним, что же вообще такое логарифм.

Определение 1

Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $a >1$. Эта функция возрастает, непрерывна и отображает действительную ось на интервал $(0,+\infty )$. Тогда, по теореме о существовании обратной непрерывной функции, у нее в множестве $Y=(0,+\infty )$ существует обратная функция $x=f^{-1}(y)$, которая также непрерывна и возрастает в $Y$ и отображает интервал $(0,+\infty )$ на всю действительную ось. Эту обратную функцию называют логарифмической функцией по основанию $a\ (a >1)$ и обозначается $y={{log}_a x\ }$.

Теперь рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=a^x$, где $0

Таким образом, мы определили логарифмическую функцию при всех возможных значениях основания $a$. Рассмотрим далее два этих случая отдельно.

Функция $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Рассмотрим свойства данной функции.

1. Область определения — интервал $(0,+\infty )$;

2. Область значения — все действительные числа;

3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$ пересечений нет.

   При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

5. Функция положительна, при $x\in (1,+\infty )$ и отрицательна, при $x\in (0,1)$

6. $y’=\frac{1}{xlna}$;

7. Точки минимума и максимума:

   \[\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет\]

   Точек максимума и минимума нет.

8. Функция возрастает на всей области определения;

9. $y^{»}=-\frac{1}{x^2lna}$;

10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[-\frac{1}{x^2lna}Функция выпукла на всей области определения;

11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=-\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty ,\ $;

12. График функции (Рис. 1).

Рисунок 1. График функции $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Функция $y={{log}_a x\ }, \ 0

Рассмотрим свойства данной функции.

1. Область определения — интервал $(0,+\infty )$;

2. Область значения — все действительные числа;

3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$ пересечений нет.

   При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

5. Функция положительна, при $x\in (0,1)$ и отрицательна, при $x\in (1,+\infty )$

6. $y’=\frac{1}{xlna}$;

7. Точки минимума и максимума:

   \[\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет\]

   Точек максимума и минимума нет.

8. Функция убывает на всей области определения;

9. $y^{»}=-\frac{1}{x^2lna}$;

10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[-\frac{1}{x^2lna}>0\]

    Функция вогнута на всей области определения;

11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;

12. График функции (Рис. 2).

Примеры исследования и построения логарифмических функций

Пример 1

Исследовать и построить график функции $y=2-{{log}_2 x\ }$

1. Область определения — интервал $(0,+\infty )$;

2. Область значения — все действительные числа;

3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$ пересечений нет.

   При $y=0$, $2-{{log}_2 x\ }=0,\ x=4.$ Пересечение с осью $Ox$: (4,0).

5. Функция положительна, при $x\in (0,4)$ и отрицательна, при $x\in (4,+\infty )$

6. $y’=-\frac{1}{xln2}$;

7. Точки минимума и максимума:

   \[-\frac{1}{xln2}=0-корней\ нет\]

   Точек максимума и минимума нет.

8. Функция убывает на всей области определения;

9. $y^{»}=\frac{1}{x^2ln2}$;

10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[\frac{1}{x^2ln2} >0\]

    Функция вогнута на всей области определения;

11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;

12. График функции:

Рисунок 3.

spravochnick.ru

Логарифм — свойства, формулы, график

Определение логарифма

Логарифм с основанием a

– это функция  y(x) = log_a x, обратная к показательной функции с основанием a:   x(y) = a ^y.

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: .

Десятичный логарифм

– это логарифм по основанию числа 10:   lg x ≡ log₁₀ x.

Натуральный логарифм

– это логарифм по основанию числа e:   ln x ≡ log_e x.

2,718281828459045…;
.

Графики логарифма

Графики логарифма y = log_a x при различных значениях основания a.

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. Слева изображены графики функции y = log_a x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

См. также «Определение и доказательство свойств логарифма».

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Область определения	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Область значений	– ∞ < y < + ∞	– ∞ < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет	нет
	+ ∞	– ∞
	– ∞	+ ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование

– это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.

Потенцирование

– это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b, имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a.

Если    ,   то   

Если    ,   то   

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n — целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 26-03-2014   Изменено: 03-12-2018

1cov-edu.ru