График функции целой части числа – «Функции с целой и дробной частью. Применение функций у = [х], у = {х}, у = (х), у = Γх l, у = {{х}} к решению задач.». Скачать бесплатно и без регистрации.

Posted on by alexxlab

Содержание

Функция целая часть числа | Алгебра

Определение

Целой частью действительного числа x (x∈R) называется наибольшее целое число, не превосходящее x.

Целую часть числа x обозначают символом [x].

[x] читают «антье от x».

Обозначение [x] в 1808 году ввёл К. Гаусс.

В частности, если n — целое число (n∈Z), то [n]=n.

Примеры.

Вычислить целую часть числа:

7,8; 0,12; -0,7; -4,92; 15 2/3; 5/7; -3/11; 8; -50.

Решение:

Фактически вычисление целой части числа x представляет собой округление до ближайшего к числу x целого числа в меньшую сторону (то есть округление с недостатком).

[7,8]=7;

[0,12]=0;

[ -0,7]= -1;

[-4,92]= -5;

   

   

   

[8]=8;

[-50]= -50.

 

Определение

Функцию, ставящую в соответствие каждому значению x его целую часть — число [x], называют целой частью числа x и обозначают y=[x] .

Функция целая часть числа определена для любого действительного x (x∈R).

Область значений функции y=[x] — множество целых чисел (y∈Z).

Утверждение.

Для любого k∈Ζ [x+k]=[x]+k.

Доказательство:

Пусть [x]=m.

По определению целой части числа

m≤x<m+1,

m+k≤x+k<(m+k)+1.

Отсюда [x+k]=m+k=[x]+k.

Что и требовалось доказать.

График функции y=[x]

 

Стрелки на графике показывают, что правые концы отрезков не принадлежат графику.

Другой вариант показать, что левые концы отрезков принадлежат графику, а правые — не принадлежат, выделить их, соответственно, закрашенными и выколотыми точками:

 

Как решить уравнение с целой частью числа?

Простейшее уравнение [x]=a имеет решения только при целых значениях a. Если a∉Ζ, уравнение не имеет решений.

При a∈Ζ решения уравнения [x]=a удовлетворяют условию a≤x<a+1.

Примеры.

1) [x]=7

7≤x<7+1, то есть 7≤x<8.

Ответ запишем в виде числового промежутка (в данном случае, полуинтервала).

Ответ: x∈[7;8).

2) [x]=3,2.

Это уравнение не имеет решений, так как 3,2∉Ζ.

3) [7,2-0,5x]= -3

-3≤7,2-0,5x<-3+1

-3≤7,2-0,5x<-2.

Прибавим почленно к каждой части неравенства -7,2. Знаки неравенства при этом не изменятся:

-3-7,2≤-0,5x<-2-7,2

-10,2≤-0,5x<-9,2.

Умножим каждую часть неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

20,4≥x>18,4

18,4<x≤20,4.

Ответ: x∈(18,4; 20,4].

4)2x-3[x]=9.

Выразим целую часть числа числа [x]:

   

Отсюда

   

   

Таким образом, x∈[-9;-6) и

   

На промежутке [-9;-6) [x] принимает три значения.

1. При x∈[-9;-8) [x]= -9.

Подставив в равенство (*) [x]= -9, найдём x:

   

Так как -9∈[-9;-8), то x= -9 — корень уравнения.

2. При x∈[-8;-7) [x]= -8, откуда

   

-7,5∈[-8;-7), поэтому x= -7,5 — корень уравнения.

3. При x∈[-7;-6) [x]= -7, и

   

-6∉[-7;-6), значит x= -6 не является корнем уравнения.

Ответ: -9; -7,5.

www.algebraclass.ru

Функция «Целая часть числа» ее свойства и график

Функция «Целая часть числа» ее свойства и график

Функция «Целая часть числа», ее свойства и график

Функция целая часть числа имеет вид y = [x].

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств (непрерывности множества действительных чисел, дискретности множества целых чисел и бесконечности обоих множеств). Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел

D([x]) = R.

2. Функция ни четная, ни нечетная. Область определения функции симметрична относительно начала координат, но если [x] = a, то [-x] = -(a+1), т.е. не выполняется ни условие четности ( f (-x) = f (x) ), ни условие нечетности ( f (-x) = — f (x) ).

3. Функция y = [x] не периодическая.

4. Множество значений функции y = [x], это множество целых чисел (по определению целой части числа)

E ([x]) = Z .

5. Функция неограничена, так как множество значений функции — все целые числа, множество целых чисел неограничено.

6. Функция разрывна. Все целые значения x — точки разрыва первого рода с конечным скачком равным 1. В каждой точке разрыва имеется

непрерывность справа.

7. Функция принимает значение 0 для всех x, принадлежащих интервалу [0;1), что следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8. Учитывая свойства целой части числа функция y = [x] принимает отрицательные значения при x меньших нуля, и положительные значения при x больших 1.

9. Функция y = [x] кусочно — постоянная и неубывающая.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Так как функция y = [x] постоянна на каждом интервале [n ; n+1), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.

12. График функции.

kus-lin.narod.ru

Функция [X] (целая часть X)

Функция [x] равна наибольшему целому числу, превосходящемуx (x – любое действительное число). Например:

Функция [x] имеет «точки разрыва»: при целых значениях x она «изменяется скачком».

На рис.2 дан график этой функции, причем левый конец каждого из горизонтальных отрезков принадлежит графику (жирные точки), а правый – не принадлежит.

Попробуйте доказать, что если каноническое разложение числа n! есть

, то

Аналогичные формулы имеют место для

Зная это, легко определить, например, сколькими нулями оканчивается число 100! Действительно, пусть . Тогда

и .

Следовательно, 100! Делится на , т.е. оканчивается двадцатью четырьмя нулями.

Фигуры из кусочков квадрата

К числу полезных и увлекательных развлечений относится составление фигур из семи кусочков квадрата, разрезанного в соответствии с рис.3, (а), причем при составлении заданных фигур должны быть использованы все семь кусочков, и они должны налегать, даже частично, друг на друга.

На рис. 4 приведены симметричные фигуры1. Попробуйте сложить эти фигуры из частей квадрата, изображенного на рис. 3, (а).

(а) (b)

Рис.3

Рис. 4

Из этих же чертежей можно складывать и многие другие фигуры (например, изображения различных предметов, животных и т.п.).

Менее распространенным вариантом игры является составление фигур из кусочков квадрата, изображенного на рис. 3, (b).

Магические квадраты

Магические квадрат «n2-квадратом» назовем квадрат, разделенный на

n2 клеток, заполненных первыми n2 натуральными числами так, что суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном или вертикальном ряду, а также на любой из диагоналей квадрата, равны одному и тому же числу

Если одинаковы лишь суммы чисел, стоящих в любом горизонтальном и вертикальном ряду, то квадрат называется полумагическим.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Магический 42 –квадрат назван именем Дюрера, математика и художника XVIвека, изображавшего квадрат на известной картине «Меланхолия».

Кстати, два нижних средних числа этого квадрата образуют число 1514-дату создания картины.

Существует лишь восемь девятиклеточных магических квадратов. Два из них, являющиеся зеркальным изображением друг друга, приведены на рисунке; остальные шесть могут быть получены из этих квадратов вращение их вокруг центра на 90°, 180°, 270°

2. Нетрудно полностью исследовать вопрос о магических квадратов при n=3

Действительно,S3 = 15 , и существует лишь восемь способов представления числа 15 в виде суммы различных чисел (от единицы до девяти):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Заметим, что каждое из чисел 1, 3, 7, 9 входит в две, а каждое из чисел 2, 4, 6, 8 – в три указанные суммы и лишь число 5 входит в четыре суммы. С другой стороны, из восьми трехклеточных рядов: трех горизонтальных, трех вертикальных и двух диагональных – через каждую из угловых клеток квадрата проходит по три, через центральную клетку по четыре и через каждую из остальных клеток по два ряда. Следовательно, число 5 должно обязательно стоять в центральной клетке, числа 2, 4, 6, 8 – в угловых клетках, а числа 1, 3, 7, 9 – в остальных клетках квадрата.

studfile.net

Целая часть числа Википедия

График функции «пол» (целая часть числа) График функции «потолок»

В математике, целая часть вещественного числа x{\displaystyle x} — округление x{\displaystyle x} до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление x{\displaystyle x} до ближайшего целого в большую сторону.

Содержание

  • 1 Обозначения и примеры
  • 2 Определения
  • 3 Свойства
    • 3.1 Пол и потолок как функции вещественной переменной
    • 3.2 Связь функций пол и потолок
    • 3.3 Пол/потолок: неравенства
    • 3.4 Пол/потолок: сложение
    • 3.5 Пол/потолок под знаком функции
    • 3.6 Пол/потолок: суммы
    • 3.7 Разложимость в ряд
  • 4 Применение
    • 4.1 Количество цифр в записи числа
    • 4.2 Округление
    • 4.3 Бинарная операция mod
    • 4.4 Дробная часть
    • 4.5 Количество целых точек промежутка
    • 4.6 Теорема Рэлея о спектре
  • 5 В информатике
    • 5.1 В языках программирования
    • 5.2 В системах вёрстки
  • 6 Примечания
  • 7 См. также
  • 8 Литература

Обозначения и примеры[ | ]

Впервые квадратные скобки ([x]{\displaystyle [x]}) для обозначения целой части числа x{\displaystyle x} использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности[1]. Это обозначение считалось стандартным[2], пока

ru-wiki.ru

Целая часть Википедия

График функции «пол» (целая часть числа) График функции «потолок»

В математике, целая часть вещественного числа x{\displaystyle x} — округление x{\displaystyle x} до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление x{\displaystyle x} до ближайшего целого в большую сторону.

Содержание

  • 1 Обозначения и примеры
  • 2 Определения
  • 3 Свойства
    • 3.1 Пол и потолок как функции вещественной переменной
    • 3.2 Связь функций пол и потолок
    • 3.3 Пол/потолок: неравенства
    • 3.4 Пол/потолок: сложение
    • 3.5 Пол/потолок под знаком функции
    • 3.6 Пол/потолок: суммы
    • 3.7 Разложимость в ряд
  • 4 Применение
    • 4.1 Количество цифр в записи числа
    • 4.2 Округление
    • 4.3 Бинарная операция mod
    • 4.4 Дробная часть
    • 4.5 Количество целых точек промежутка
    • 4.6 Теорема Рэлея о спектре
  • 5 В информатике
    • 5.1 В языках программирования
    • 5.2 В системах вёрстки
  • 6 Примечания
  • 7 См. также
  • 8 Литература

Обозначения и примеры[ | ]

Впервые квадратные скобки ([x]{\displaystyle [x]}) для обозначения целой части числа x{\displaystyle x} использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности[1]. Это обозначение считалось стандартным[2], пока Кеннет Айверсон в

ru-wiki.ru

Целая часть числа — это… Что такое Целая часть числа?


Целая часть числа

График целой части

В математике, целая часть, антье (фр. entier) или функция «пол» (англ. floor) — это функция, определённая на множестве вещественных чисел и принимающая целочисленные значения. Целая часть числа x обычно обозначается через \lfloor x\rfloor или [x] и определяется как наибольшее целое число, не превосходящее x:

\lfloor x\rfloor = \max \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \le x \}.

Примеры

Свойства

  • Целая часть x всегда удовлетворяет неравенству:
x-1 &amp;lt; \lfloor x \rfloor \le x.

Нули функции

В промежутке [0;1) значение функции равно нулю.

См. также

Литература

  • М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Целан П.
  • Целе (графство)

Смотреть что такое «Целая часть числа» в других словарях:

  • Целая часть числа —         см. Дробная и целая части числа …   Большая советская энциклопедия

  • ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ — числа x (антье) (франц. entier) наибольшее целое число ?x; обозначается ЦЕЛЕ (Celje) город в Словении. Ок. 40 тыс. жителей (1990). Цинкоплавильный завод; металлообрабатывающая, химическая, деревообрабатывающая промышленность. Руины крепости 15 18 …   Большой Энциклопедический словарь

  • Целая часть — График функции «пол» (целая часть числа) …   Википедия

  • целая часть — числа х (антье) (франц. entier), наибольшее целое число ≤х; обозначается [х]. Так, [5,6] = 5,[ 1/2] =  1. * * * ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ числа x (антье) (франц. entier), наибольшее целое число Јx; обозначается [x]. Так, [5,6] = 5, [ 1/2] = 1 …   Энциклопедический словарь

  • ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ — числа х, антье (франц. entier целый), наибольшее целое число =< х; обозначается [х]. Так, [5.6] = 5, [ 1/2] = 1 …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ — числа х (антье) (франц. entier), наибольшее целое число =<х; обозначается [х]. Так, [5,6]=5,[ 1/2] = 1 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Числа с плавающей запятой — Плавающая запятая  форма представления действительных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее… …   Википедия

  • Числа с плавающей точкой — Плавающая запятая форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто… …   Википедия

  • Числа с фиксированной точкой — Число с фиксированной запятой формат представления вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа. При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой , где z цена младшего разряда. Простейший пример арифметики с… …   Википедия

  • Прямой код (представление числа) — Прямой код способ представления двоичных чисел с фиксированной запятой в компьютерной арифметике. Главным образом используется для записи положительных чисел. Содержание 1 Представление числа в прямом коде 1.1 Примеры …   Википедия

dic.academic.ru

Целая часть — это… Что такое Целая часть?

График функции «пол» (целая часть числа) График функции «потолок»

В математике, целая часть вещественного числа  — округление до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление до ближайшего целого в большую сторону.

Обозначения и примеры

Для целой части числа долгое время использовалось обозначение , введенное Гауссом[источник не указан 1264 дня]. Ни понятия функции потолок, ни специального обозначения для нее не существовало. В 1962 году Кеннет Айверсон предложил округления числа до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» и обозначать и соответственно [1].

В современной математике используются оба обозначения, и , однако существует тенденция перехода к терминологии и обозначениям Айверсона. Одна из причин этого — потенциальная неоднозначность понятия «целая часть числа»[1]. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но возможны два мнения на то, как определить целую часть числа −2,7. В соответствии с данным в этой статье определением , однако в некоторых калькуляторах имеется функция целой части числа INT, для отрицательных чисел определяемая как INT(-x) = -INT(x), так что INT(-2,7) = −2. В терминологии Айверсона отсутствуют возможные неоднозначности:

Определения

Функция пол определяется как наибольшее целое, меньшее или равное :

Функция потолок определяется как наименьшее целое, большее или равное :

Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число) [2]:

Свойства

Везде ниже обозначают вещественные числа, а  — целые.

Пол/потолок как функции вещественной переменной

Функции пол/потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:

Пол/потолок — кусочно-постоянные функции.

Функции пол/потолок имеют разрывны во всех целочисленных точках, это разрывы первого рода со скачком, равным единице.

При этом, функция пол является:

Функция потолок является:

Связь функций пола и потолка

Для произвольного [3]

Для целого пол и потолок совпадают:

Если  — не целое, то потолок ровно на единицу выше пола:

Функции пола и потолка являются отражениями друг друга от обеих осей:

Пол/потолок: неравенства

Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами [2]:

Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.

Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:

Пол/потолок: сложение

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [4]:

Предыдущее равенство, вообще говоря, не выполняется, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

Пол/потолок под знаком функции

Имеет место следующее предложение:[5]

Пусть  — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:

Тогда

всякий раз, когда определены .

В частности,

если и  — целые числа, и .

Пол/потолок: суммы

Если  — целые числа, , то [6]

Вообще, если  — произвольное вещественное число, а  — целое положительное, то

Имеет место более общее соотношение [7]:

Так как правая часть этого равенства симметрична относительно и , то справедлив следующий закон взаимности:

Разложимость в ряд

Тривиальным образом функция Антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:

где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду

который расходится.

Применение

Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи числа

Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно [8]

Округление

Ближайшее к целое число может быть определено по формуле

Бинарная операция mod

Операция «остаток по модулю», обозначаемая , может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если  — произвольные вещественные числа, и , то неполное частное от деления на равно

,

а остаток

Дробная часть

Дробная часть вещественного числа по определению равна

Количество целых точек промежутка

Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами и , то есть количество целых чисел , удовлетворяющий неравенству

В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно

.

Это есть точек в замкнутом промежутке с концами и , равное .

Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже [9].

(Через обозначена мощность множества ).

Первые три результата справедливы при всех , а четвертый — только при .

Теорема Рэлея о спектре

Пусть и  — положительные иррациональные числа, связанные соотношением [10]

Тогда в ряду чисел

каждое натуральное встречается в точности один раз. Иными словами, последовательности

и ,

называемые последовательностями Бетти (англ.), образуют разбиение натурального ряда.[11]

В информатике

В языках программирования

Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().

В системах вёрстки

В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка , , , существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.

Примечания

  1. ↑ 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
  2. ↑ 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90.
  3. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 89.
  4. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90-91.
  5. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 93.
  6. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 108.
  7. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 112-117.
  8. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 91.
  9. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 95-96.
  10. ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 99-100.
  11. ↑ А. Баабабов «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант. — 1999. — № 4. — С. 36-38.

См. также

Литература

  • Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3
  • М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.

biograf.academic.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *