Урок по теме «Построение графиков квадратичной функции с модулем»

Урок по теме «Построение графиков квадратичной функции с модулем»

Учебник А.Г.Мордкович, базовый уровень, 4 — й урок темы «Функция y = ax 2 + bx + c, ее свойства и график»

Быкасов Андрей Иванович,

учитель математики НОУ «Нефтеюганская православная гимназия», г.Нефтеюганск, Тюменская область

Тема : «Построение графиков

квадратичной функции с модулем »

Цель: обобщить знание свойств квадратичной функции и научить применять свойства квадратичной функции при построении графиков квадратичной функции с модулем

Задачи:

• Выявить степень сформированности у учащихся понятия квадратичной функции, её свойств, особенностей её графика.
• Создать условия для формирования умения анализировать, сравнивать, классифицировать графики изученных функций.
• Продолжить развитие умения построения графиков квадратичной функции с модулем , используя программу AGrapher .
• Формировать умение сотрудничать, работая в группе.

Оборудование: проектор, экран , 4 компьютера, программа AGrapher .

Этапы урока

• Организационный
• Мотивация к учебной деятельности.
• Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии (работа с графиками функций).
• Выявление места и причины затруднения.
• Построение проекта выхода из затруднения.
• Реализация построенного проекта.
• Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
• Включение в систему знаний и повторение.
• Рефлексия учебной деятельности. Оценивание работы на уроке.
• Домашнее задание.

1. Организационный

На перемене дети садятся по группам. Группы формируются

на добровольной основе, консультант группы определяется

учителем. Каждой группе выдаются листы контроля

результатов деятельности.

Здравствуйте, ребята! Я рада сегодня вас видеть и очень надеюсь на совместную плодотворную работу. Сегодня мы работаем в группах. В каждой группе мною был назначен консультант, который поможет мне оценить в конце урока каждого из вас. В течение всего урока мы будем накапливать баллы: за каждый правильный, точный и логичный ответ Вы будете получать «+» в таблице, лежащей на вашем столе. Здесь мне будет нужна помощь консультантов. В конце урока мы просуммируем «+» и поставим отметки в зависимости от их количества:

более 8 «+»- «5»

6-7 «+»- «4»

4-5 «+»- «3».

2. Мотивация к учебной деятельности .

Задача этапа: Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Если вы хотите научиться плавать, то смело

входите в воду, а если хотите научиться

решать задачи, то решайте их!

Дьёрдь Пойя

Сегодня нам предстоит решение многих задач, вы видите, как можно научится их решению по мнению известного венгерского математика Д.Пойя. Согласны ли вы, что такой подход применим и к нашему уроку?( Да )

Для начала предлагаю вспомнить, что мы знаем о функциях.

За каждое выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля (максимум 4 балла)

3 . Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии.

1 группа

Запишите формулы и названия функций, которые вы видите на графиках. (Каждые 2 правильно записанные формулы оцениваются «+», максимум 4 балла).

Постройте графики функций:

4 группа

2 группа

Постройте графики функций:

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4 .

№ 1

№ 2

№ 3

№

4

3 группа

Постройте графики функций:

№ 1.

№ 2.

№ 3. №4.

2. 1Актуализация знаний и фиксация з1атруднения в пр№1обном действии.

Задание для первой группы

График №1

График №2

График №3

График №5

График №4

Задание для первой группы

График №6

График №7

График №8

Проверка

1группа

• № 1
• № 2
• № 3
• № 4
• № 5
• № 6
• № 7
• № 8

За каждое правильно выполненные 2 задания, консультант выставляет «+» в лист контроля

Проверка

График №1

График № 3

2группа

График №2

График № 4

За каждое правильно выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля

Проверка

3 группа

График №2

График №3

График №4

График №1

За каждое правильно выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля

Проверка

4 группа

График №1

График №3

График №2

График №4

За каждое правильно выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля

3 . Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии.

• Повторим определение модуля
• Как получаем из функции можно получить функцию ?
• Постройте графики функций

За каждое правильно выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля

3 . Актуализация знаний и фиксация затруднения

в пробном действии.

1 . Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.

2. Зафиксировать актуализированные способы действий в речи.

3. Зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталонах).

Графики каких функций вам знакомы ?( линейная, прямой и обратной пропорциональности, квадратичная, у = )

Как по графику определить вид функции и её формулу? (уметь пользоваться правилами параллельных переносов вдоль осей Ох,Оу, уметь определять коэффициенты, оси симметрии и асимптоты)

Формулы для каких графиков функций вы не смогли определить? Почему?

(последние формулы видим впервые, поэтому не можем определить вид функции и как строить графики)

Давайте попробуем сформулировать цель нашего урока .

(Научиться строить графики нового вида, научиться узнавать их среди других графиков функций, описывать их свойства.)

А я добавлю к вашей цели еще одну: обобщить знание свойств квадратичной функции и научиться применять свойства квадратичной функции в построении графиков с модулем.

Тема урока

«Построение графиков

квадратичной функции с модулем»

4.Построение проекта выхода из затруднения.

• Построим графики квадратичных функций с модулем
• Выполнив практическую работу, сделаем вывод о свойствах графика

и

5. Реализация построенного проекта.

1.Организовать построение нового способа на примере, вызвавшем затруднение. 2.Организовать фиксацию нового способа действия в речи и с помощью эталона.

3. Зафиксировать преодоление возникшего ранее затруднения.

Каждой группе предлагается построить график одной функции в программе AGrapher , описать её свойства по алгоритму:

1

2

6 .Организовать фиксацию нового способа действия в речи и с помощью эталона.

а) Давайте обобщим способы построения графиков функций, в которых выражение, задающее функцию, находится под знаком модуля, в единый алгоритм (строим график функции без модуля, потом часть графика, находящаяся ниже оси Ох, отображается в верхнюю полуплоскость)

б) Давайте обобщим способы построения графиков функций, в которых аргумент находится под знаком модуля, в единый алгоритм. (строим график функции без модуля, потом часть графика, находящаяся правее оси Оу, отображается в левую полуплоскость)

На основании какого математического понятия мы получаем эти новые способы действия ? (На основании определения модуля выражения)

Сравним полученный нами алгоритм с эталоном .

За каждый правильный ответ, консультант выставляет «+» в лист контроля.

6. Алгоритм построения графика квадратичной функции вида (эталон)

1.Строим график функции у = f (х).

2.Часть графика, для которой, значения функции положительны — оставляем без изменения.

3.Часть графика, для которой, значения функции отрицательны – зеркально отображаем в верхнюю полуплоскость.

Алгоритм построения графика квадратичной функции вида (эталон)

1.Строим график функции у = f (х).

2.Часть графика, для которой, значения аргумента положительны — оставляем без изменения.

3.Часть графика, для которой, значения аргумента положительны – зеркально отображаем в левую полуплоскость.

7 . Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Каждой группе выдается задание на построение графиков функций

1 группа

2 группа

3 группа

4 группа

За правильно выполненное задание, консультант выставляет «+» в лист контроля

8. Включение в систему знаний и повторение.

Как построить график квадратичной функции с модулем .(проговаривают алгоритмы)

Графики каких функций мы можем построить с учетом нового знания, полученного сегодня на уроке? (перечисляют функции)

8. Включение в систему знаний и повторение.

Построить графики функций

8. Включение в систему знаний и повторение. (проверка)

1 . 2. 3.

4. 5.

9. Подведение итогов, рефлексия

• Просуммируем «+» и поставим отметки в зависимости от их количества:

более 8 «+» — «5»

6-7 «+» — «4»

4-5 «+» — «3».

В листе контроля укажите, как вы оцениваете свои достижения поставленных целей на этом уроке

1. Затрудняюсь в построении графика без помощи алгоритма

2. Могу построить строить графики функций с модулями

3. Я все понял и могу объяснить другим

10. Домашнее задание

1. Затрудняюсь в построении графика без помощи алгоритма

Выучить определение модуля. Построить графики функций:

2. Могу построить строить графики функций с модулями

3. Я все понял и могу объяснить другим

Самоанализ урока

Тема урока. «Построение графиков квадратичной функции с модулем».

Цель урока: обобщить знание свойств квадратичной функции и научить применять её свойства в п остроении графиков квадратичной функции с модулем.

Урок четвертый в теме «Функция y  = ax 2 + bx + c , ее свойства и график».

Цель урока реализовывалась через формирование у учащихся умения анализировать графики функций и делать выводы. Урок построен в деятельностной технологии обучения.

Обучающиеся знают ряд функций (линейная, обратной пропорциональности, квадратичная, ) умеют определять формулу по графику, умеют строить график, зная формулу.

В ходе урока учащиеся углубляют и расширяют знания о функциях. Учатся обобщать полученные знания и применять их в новых ситуациях. Выполняют исследование свойств графиков с модулем на компьютере при помощи программы AGrapher. Задачи урока были выполнены в ходе организации деятельности учащихся через исследование, сравнение, обобщение графиков различных квадратичных функций с модулем. Для решения задач урока использовала различные формы и методы работы, обучающиеся выполняли самостоятельную работу в группах, выступали с выводами, обобщали знания о функциях. На этапах выявления места и причины затруднений и реализации построенного проекта самостоятельная работа способствовала пониманию как строятся графики функций содержащих модуль

Задачи урока соответствуют особенностям учебного материала.

Самоанализ урока

Содержание учебного материала учитывает возрастные особенности обучающихся и

способствует формированию у школьников компетенций:

• учебно-познавательных: обучающиеся формулировали цель урока; выбирали основание для сравнения и обобщения , делали выводы; оценивали свою работу.
• коммуникативных: приобретали навыки общения, аргументировали свои выводы; выступали с устными комментариями;
• информационных: извлекали необходимую информацию, работая с программой для построения графиков функций, работали над созданием алгоритма построения графиков квадратичной функции с модулем;

Ведущими методами на уроке были частично-поисковый, исследовательский методы. Учащиеся были активны на уроке, работоспособны на всех этапах.

Домашняя работа предложена дифференцированно с учетом уровня усвоения материала и самооценки учащегося.

Считаю, что все используемые на уроке методы, формы, приемы, средства способствовали достижению цели урока.

Цель урока реализована: дети научились строить графики квадратичной функции с модулем и описывать её свойства.

multiurok.ru

Построение графиков квадратичной функции с модулем

Численные методы и программирование. Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона-Рафсона.

«График квадратичной функции с модулем»

Тема урока: «График квадратичной функции с модулем»

Организация и начало урока:

Учащиеся заняли свои места, приготовлены тетради, инструменты.

Сообщение темы, целей и задач урока:

У нас сегодня «бенефис» функции.

Краткая справка по подготовке урока : при подготовке этого урока

ІІІ. Актуализация опорных знаний учащихся:

Дайте определение квадратичной функции.

Функция задана формулой

Координатами вершины параболы являются:

Формулой

По графику функции определите знаки А, в, с, Д

V. Подведение итогов урока и выставление оценок:

Построение графиков квадратичной функции с модулем

График квадратичной функции с модулем

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

От проекта «Инфоурок» с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут — https://infourok. ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины. Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью. Л. Н. Толстой. Выполнила: Асламурзаева Белла, ученица 9 «А» класса, СОШ №46 им. И. Дзусова Руководитель: Дряева М. Г. Преподаватель математики СОШ №46 им. И. Дзусова

Содержание: 1.Введение 2.Основные определения и свойства. 3.Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля. 4.Выводы. 5. Используемая литература.

Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля. Объект исследования: график квадратичной функции. Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Задачи: 1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции. 2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Практическая значимость моей работы заключается: 1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям; 2) в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.

Основные определения и свойства Функция, определяемая формулой у=ах²+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а≠0, называется квадратичной. Абсолютной величиной неотрицательного числа называется само это число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Свойства: 1.|a| ≥0, 2. |a|²= a², 3.|a∙b|=|a|∙|b|, 4. |a/b|=|a|/|b|, b≠0

Построение графика линейной функции, содержащей переменную под знаком модуля. 1)f(x)= |x-1|. x = 1- корень подмодульного выражения. Возьмем x=0, (0<1) и х=2, (2>1). Вычисляя функции в точках 1,0 и 2,получаем график, состоящий из двух отрезков.

2) f(x)= |x-1|+|x-2|. Вычисляя значение функции в точках 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из трех отрезков прямых.

Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля На примере функции у = x ²-6х +5 рассмотрим всевозможные случаи расположения модуля. у = |x 2 – 6х +5| у = | х | 2 – 6х +5 у = х² – 6|х| +5 у = |х|² — 6|х|+5 у = |х² – 6х| +5 у = |х² – 6|х| +5| у = x 2 -|6х + 5| |y|= x 2 – 6х +5

Построим график функции у = |x 2 – 6х +5| Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая: Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая: Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая: Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая: . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. . Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. x ²– 6х +5≥ 0, тогда у= x² – 6х +5.Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой. 2) x² – 6х +5<0, тогда у= -(x ²– 6х +5) или — x² + 6х -5>0, y= — x² + 6х -5.

Рассмотрим график функции у = |х|²– 6х +5 Т. к. |x|²= x² , то функция у = |х|² – 6х +5 совпадает с функцией у = x ²-6х +5 ,а, значит, имеют один и тот же график.

Рассмотрим график функции у = х² – 6|х| +5 Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая: 1)Пусть x≥0, тогда y= х² — 6х +5. Построим параболу у = х² — 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х, т. е. часть, расположенную правее оси Оу. 2)Пусть x<0, тогда y= x² + 6х +5. В той же координатной плос

poiskvstavropole.ru

«Построение графика квадратной функции, содержащей модуль»

Тема: “Построение графика квадратной функции, содержащей модуль”.
(На примере графика функции у = х²— 6x + 3.)

Цель.

• Исследовать расположение графика функции на координатной плоскости в зависимости от модуля.
• Развить навыки построения графика функции, содержащей модуль.

Ход урока.

1. Этап актуализации знаний.

а) Проверка домашнего задания.

Пример 1. Построить график функции у = х² — 6х + 3. Найти нули функции.

Решение.

1. Направление “ветвей” параболы: если а = 1, а > 0, то “ветви” параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы: х= — b/2а = — (-6)/2=3, у(3) = 9 – 18 + 3 = — 6, А(3; -6).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Нули функции: у(х) = 0, х² — 6х + 3 = 0, D = 36 — 4·3 = 36 – 12 = 24, D>0,

x _1,2 = (6 ± )/2 = 3 ± ; В(3 — ;0), С(3 + ;0).

График на рис.1.

Рис.1.

Алгоритм построения графика квадратной функции.

1. Определить направление “ветвей” параболы.

2. Вычислить координаты вершины параболы.

3. Записать уравнение оси симметрии.

4. Вычислить несколько точек.

б) Рассмотрим построение графиков линейных функций, содержащих модуль:

1. у = |х|. График функции на рисунке 2.

Рис. 2.

2.у = |х| + 1. График функции на рисунке 3.

Рис.3.

3. у = |х + 1|. График функции рисунке 4.

Рис.4.

Вывод.

1. График функции у = |х| + 1 получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {0;1}.

2. График функции у = |х + 1| получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {-1;0}.

2.Опирационно-исполнительная часть.

Этап исследовательской работы. Работа в группах.

Группа 1. Построить графики функций:

а) у = х² — 6|x| + 3,

б) у = |х² — 6х + 3|.

Решение.

а)

1.Построить график функции у = х²-6х+3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Оу.

График на рисунке 5.

Рис.5.

б) 1. Построить график функции у = х² — 6х + 3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 6.

Рис. 6.

Вывод.

1. График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Оу.

2. График функции у = |f(x)| получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Ох.

Группа 2.Построить графики функций:

а) у = |x² — 6|x| + 3|;

б) y = |x² — 6x + 3| — 3.

Решение.

а)

1. График функции у = х² + 6x + 3 отображаем относительно оси Оу, получается график функции у = х² — 6|x| + 3.

2. Полученный график отображаем симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 7.

Рис.7.

Вывод.

График функции y = |f (|x|)| получается из графика функции у = f(х), последовательным отображением относительно осей координат.

б)

1. График функции у = х² — 6х + 3 отображаем относительно оси Ох.

2. Полученный график переносим на вектор {0;-3}.

График функции на рисунке 8.

Рис.8.

Вывод. График функции у = |f(x)| + a получается из графика функции у = |f(x)| параллельным переносом на вектор {0,a}.

Группа 3.Построить график функции:

а) у = |x|(х — 6) + 3; б) у = х|x — 6| + 3.

Решение.

а) у = |x| (x — 6) + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = -х² + 6x + 3 при х < 0 для точек у(0) = 3, у( — 1) = — 4.

График функции на рисунке 9.

Рис.9.

б) у = х |х — 6| + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = — х² + 6х + 3 при х 6.

1. Направление “ветвей” параболы: а = — 1, а < 0, “ветви” параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы: х = — b/2a = 3, у(3) =1 2, А(3;12).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Несколько точек: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = — 4.

Строим график функции у = х² — 6х + 3 при х = 7 у(7) = 10.

График на рис.10.

Рис.10.

Вывод. При решении данной группы уравнений необходимо рассматривать нули модулей, содержащихся в каждом из уравнений. Затем строить график функции на каждом из полученных промежутков.

(При построении графиков данных функций каждая группа исследовала влияние модуля на вид графика функции и сделала соответствующие заключения.)

Получили сводную таблицу для графиков функций, содержащих модуль.

Таблица построения графиков функций, содержащих модуль.

Вид функции	Способ построения графика функции
1. у = f(|x|) 2. у = |f(x)| 3. у = |f(|x|)| 4. у = |f(x)| + a	1. Отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно оси Оу. 2. Отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно оси Ох. 3. Последовательно отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно осей координат. 4. Параллельный перенос перенос графика функции у = |f(x)|на вектор {0;а}.

Группа 4.

Построить график функции:

а) у = х² — 5x + |x — 3|;

б) у = |x² — 5x| + x — 3.

Решение.

а) у = х² — 5х + |х — 3|, переходим к совокупности систем:

Строим график функции у = х² -6х + 3 при х 3,
затем график функции у = х² — 4х — 3 при х > 3 по точкам у(4) = -3, у(5) = 2, у(6) = 9.

График функции на рисунке 11.

Рис.11.

б) у = |х² — 5х| + х — 3, переходим к совокупности систем:

Строим каждый график на соответствующем интервале.

График функции на рисунке 12.

Рис.12.

Вывод.

Выяснили влияние модуля в каждом слагаемом на вид графика.

Самостоятельная работа.

Построить график функции:

а) у = |х² — 5х + |x — 3||,

б) у= ||x² — 5x| + х — 3|.

Решение.

Предыдущие графики отображаем относительно оси Ох.

 

Рис.13.

Рис. 14.

Группа.5

Построить график функции: у =| х — 2| (|x| — 3) — 3.

Решение.

Рассмотрим нули двух модулей: x = 0, х – 2 = 0. Получим интервалы постоянного знака.

Имеем совокупность систем уравнений:

Строим график на каждом из интервалов.

График на рисунке 15.

Рис.15.

Вывод. Два модуля в предложенных уравнениях существенно усложнили построение общего графика, состоящего из трех отдельных графиков.

Учащиеся записывали выступления каждой из групп, записывали выводы, участвовали в самостоятельной работе.

3. Задание на дом.

Построить графики функций с различным расположением модуля:

1. у = х² + 4х + 2;

2. у = — х² + 6х — 4.

4. Рефлексивно – оценочный этап.

1.Оценки за урок складываются из отметок:

а) за работу в группе;

б) за самостоятельную работу.

2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?

3. Трудное ли домашнее задание?

Урок окончен.

urok.1sept.ru

Построение графиков квадратичной функции содержащей модуль Актуализация

Построение графиков квадратичной функции, содержащей модуль

Актуализация опорных знаний n n n 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Определение квадратичной функции Алгоритм построения квадратичной функции Как, зная график функции y=f(x) построить графики следующих функций: y=f(-x) y=-f(x) y=f(x+m) y=f(x)+n y=f(x+m)+n y=kf(x) y=|f(x)| y=f(|x|)

Устно Дан график функции y = x 2 – 4 x + 3. Составьте формулу функции, график которой: 1) симметричен данному относительно оси: а) x; б) y; 2) получается из данного параллельным переносом на 3) получается из данного растяжением в 2 раза от оси а) x; б) y 4) получается из данного сжатием в 2 раза к оси а) x; б) y n 1 а) y = –x 2 + 4 x – 3; 1 б) y = x 2 + 4 x + 3 n 2 y = x 2 – 6 x + 6; n n n 3 а) y = 0, 25 x 2 – 2 x + 3; 3 б) y = 2 x 2 – 8 x + 6; 4 а) y = 4 x 2 – 8 x + 3 4 б) y = 0, 5 x 2 – 2 x + 1, 5;

Найдите соответствия:

Построить график функции y=|-2 x 2 +8 x -6| 1. Построим график функции y= -2 x 2 +8 x -6 Ветви параболы направлены вниз Вершина в точке: Ось симметрии: х=2 Нули функции Х 1 =1, Х 2 =3 х 0 1 2 3 4 у -6 -0 2 0 -6 2. отразим части параболы, расположенные в нижней части полуплоскости, симметрично относительно оси абсцисс.

Применение преобразований при построении графика функции Y 2 Построим график функции y =| — 2 x +6 x -2 | 1. Сначала построим график функции y = — 2 x 2+8 x -6 Преобразуем трехчлен: 6 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 2. отразим части параболы, расположенные в нижней части полуплоскости, симметрично относительно оси абсцисс. 1 x

Аналитическое построение Построить график функции y=|x|x По определению модуля: y = x 2 , x>0 — x 2 , x0 x

Построим график функции y=|x 2 -5 x|+x-3 с помощью узловых точек x 2 -5 x=0, x(x-5)=0, x=0 илиx=5 | || x=0 или x=5 разбивают числовую прямую на три промежутка 0 I. x=-1; (-1)2 -5(-1)>0 y=x 2 -5 x+x-3 =x 2 -4 x-3 Строим параболу и выделяем ту часть, которая находится на промежутке II. x=1; 12 -5*10 y=x 2 -4 x-3 Эту параболу уже строили, поэтому выделим ту часть, которая находится на промежутке Выделенные части являются графиком функции ||| 5 x

Постройте графики функций: Вариант 1 а) y=|x 2 -4| б) y=|2 x-x 2 | Вариант 2 а)y=|x 2 -1| б) y=|x 2 +2 x-1| Вариант 3 Вариант 4 а) y=|(x-3)2 -1| б) а) y=|-(x+2)2 +3| y=x 2 -|x-1| б) y=|2+4|x|-x 2|

Проверь себя ! Вариант 1 Вариант 2 а) y=|x 2 -4| а) y=|x 2 -1| б) y=|x 2 +2 x-1| б) y=|2 x-x 2 | Вариант3 Вариант 4 а) y=|(x-3)2 -1| а) y=|-(x+2)2 +3| б) y=x 2 -|x-1| б) y=|2+4|x|-x 2|

Основные преобразования графиков: Ø Ø параллельные переносы; симметрии относительно осей координат; растяжения (сжатия) от (к) осей (осям) координат; преобразования, связанные с модулями.

n n № 1136 а, б Сборник заданий М. Н. Кочагина стр. 138 № 29, № 30 Учебник Ю. Н. Макарычев, алгебра 9

Алгоритм построения графика функции у = ах2 + bх +с. 1. Определить направление ветвей параболы. 2. Найти координаты вершины параболы (т; п). 3. Провести ось симметрии. 4. Определить точки пересечения графика функции с осью Ох, т. е. найти нули функции. 5. Составить таблицу значений функции с учетом оси симметрии параболы.

Перенос вдоль оси ординат n График функции y= f (x) + b при b >0 можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y= f (x) на b единиц вверх. y= x 2 +2 Y 2 1 y=x 2 0 1 n График функции y=f(x)-b при b>0 можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции y=f(x) на b единиц вниз x Y 1 0 1 -2 y=x 2 x y= x 2 -2

Перенос вдоль оси ординат График функции y= f(x)+b при b >0 можно получить так : 1. построить график функции y= f (x) 2. перенести ось абсцисс на b единиц вверх Y n 2 На b вверх 0 0 1 x Y График функции y=f(x)-b при b>0 можно получить так: 1. построить график функции y=f(x) 2 перенести ось абсцисс на единиц вниз n 1 Вниз 0 На b -2 0 x 1 x

Перенос вдоль оси абсцисс n График функции y= f (x + c) можно получить параллельным переносом вдоль оси абсцисс графика функции y= f (x) на |c| единиц влево при c >0. Y y=x 2 1 -2 0 1 x y=(x+2)2 n График функции y=f(x+c) можно получить параллельным переносом вдоль оси абсцисс графика функции y=f(x) на |c| единиц вправо при c

Перенос вдоль оси абсцисс График функции y= f (x + c) при c >0 можно получить так : 1. построить график функции y= f (x) 2. перенести ось ординат на |с| единиц вправо n y 1 0 y График функции y=f(x+c) при c

Сжатие ( растяжение ) графика вдоль оси ординат n График функции y= b f (x) при b>1 можно получить растяжением графика функции y= f (x) вдоль оси ординат y=2 x 2 Y 1 y=x 2 0 1 n График функции y=bf(x) при 0

Симметрия относительно оси абсцисс Чтобы построить график фунуции y= -f(x): 1. Строим график функции y=f(x) 2. Отражаем его симметрично относительно оси абсцисс. y=x 2 0 1 x y=-x 2

график функции y = f(|x|), y = |f(x)| n n график функции y = f(|x|) получается из графика функции y = f(x) следующим преобразованием: 1) точки графика, имеющие неотрицательные абсциссы – неподвижны; 2) точки графика, имеющие отрицательные абсциссы заменяются на точки, полученные из неподвижных отражением относительно оси y. график функции y = |f(x)| получается из графика функции y = f(x) следующим преобразованием: 1) точки графика, имеющие неотрицательные ординаты – неподвижны; 2) точки графика, имеющие отрицательные ординаты, отражаются относительно оси x.

Функция, содержащая операцию « взятие модуля» y Чтобы построить график функции y= |f( x) |: 1. Строим график функции y= f(x), 2. Часть графика, расположенную в верхней полуплоскости сохраняем. 3. Часть графика, расположенную в нижней полуплоскости. отображаем симметрично относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. 0 x

Решение задачи

Решение неравенства графическим способом

Линейная функция

Неравенства : график в помощь

Решение систем

present5.com

План-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме: Построение графика квадратичной функции, содержащей модуль

Урок алгебры в 9-м классе «Построение графика квадратичной функции, содержащей модуль»

Прохорова Лариса Станиславовна  учитель 

Цели урока:

• Исследование расположения графика квадратичной функции в зависимости от модуля.
• Развитие исследовательских умений и навыков самостоятельной работы.
• Развитие умений анализировать и на основе экспериментальных данных делать выводы.
• Применение графиков функций, содержащих модуль, к решению задач.

Оборудование:

• Компьютер учителя
• Мультимедийный проектор
• Экран
• Карточки с заданиями для работы в группах
• Электронные презентации для устной работы, выполненные в Microsoft Power Point.
•  Учебное электронное пособие «Алгебра 7-9» ,серия «Все задачи школьной математики» («Просвещение — Медиа»), содержащее программу-графопостроитель для Microsoft Word «НК- График»

Ход урока.

1. Актуализация знаний

Учитель: Знание свойств функций, умение работать с графиками помогает решать многие задачи, в том числе экзаменационные.

Внимание на экран.

(Демонстрируются слайды презентации с устными заданиями, см. Приложение 1)

   

2. Практическая работа.

Учитель: Каждая группа получила карточку с заданием. В ходе работы необходимо исследовать расположение графика квадратичной функции в зависимости от модуля. Результатом работы должен стать вывод о поведении графика. При анализе полученных результатов , обратите внимание на следующие моменты:

• Какая часть графика не изменилась?
• Что произошло с оставшейся частью графика?

Начать наше исследование мне хочется словами И.Гете:

«Настоящий ученик умеет выводить известное из неизвестного и этим приближаться к учителю».

Карточки с заданиями для групп.

Группа № 1 Построение графика функции вида

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

Ответьте на вопросы:

1. Какая часть графика осталась без изменений?
2. Что произошло с частью графика, расположенной в нижней полуплоскости?

Сформулируйте правило построения графика функции

1. Построить график функции y =….
2. Часть графика ……………………………………………..оставить без изменения
3. Часть графика, расположенную в …………………………………
   отобразить в ……………………………………………………….

Группа №2 Построение графика функции вида

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

y= 

Ответьте на вопросы:

1. Какая часть графика осталась без изменений?
2. Что произошло с частью графика, расположенной в нижней полуплоскости?

Сформулируйте правило построения графика функции

1. Построить функцию………………….
2. ……………………………………………………………………….
3. ………………………………………………………………………

Группа № 3 Построение графика функции вида y=f()

Постройте на одной координатной плоскости графики функций 

y=2x-6x+4
y=2x-6+4

Ответьте на вопросы:

1. Какая часть графика осталась без изменений?
2. Что произошло с частью графика, расположенной правее оси ОY?

Сформулируйте правило построения графика функции y=f() 

1. Построить график функции y=…….
2. Часть графика, расположенную……………………………..
   оставить без изменений и отобразить в …………………………

Группа № 4. Построение графика функции вида y=f()

Постройте на одной координатной плоскости графики функций 

y=2x-6x+4
y=2x-6+4

Ответьте на вопросы: 

1. Какая часть графика осталась без изменений?
2. Что произошло с частью графика , расположенной правее оси ОY?

Сформулируйте правило построения графика функции y=f() 

1. Построить график функции y=…….
2. ……………………………………………………………………………

Группа № 5 Построение графика функции вида y=f()

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

y=-2x+4x+1
y=-2x+4+1

Ответьте на вопросы:

1. Какая часть графика осталась без изменений?
2. Что произошло с частью графика , расположенной правее оси ОY?

Сформулируйте правило построения графика функции y=f() 

1. Построить график функции y=…….
2. ……………………………………………………………………

3. Отчет групп.

Учитель: Приступаем к обсуждению результатов.

Группы №1,№2 работали с функцией вида. Результаты работы посмотрим на экране.

(Группы делают вывод о поведении графика, формулируют правило построения графика функции.Примерные результаты работы групп см. в Приложении 2)

Учитель: Группы №3,№4,№5 работали с функцией вида

(Группы №3,№4,№5 аналогично анализируют итоги своей работы)Пример результата работы одной из групп:

  

4. Применение графиков квадратичной функции с модулем к решению задач.

Учитель: С помощью графиков можно решать уравнения и системы уравнений .

Свободное владение техникой построения графиков помогает решать многие нестандартные задачи и порой являются единственным или наиболее простым средством их решения.

Рассмотрим некоторые такие задания.

Карточки для групп с задачами. 

Группа № 1

Используя график функции y= ,решите неравенства f(x)0

Группа № 2

При каком значении параметра «а» уравнение = а имеет 3 корня? Решите уравнение ,используя графики функций y= и y=a.

Группа №4.

Сколько решений имеет система уравнений? (решите систему графически)

Группа № 3.

Найдите наибольшее целое значение параметра «а» , при котором прямая у=а не имеет общих точек с графиком функции y=2x -6+4

Группа № 5

Найдите наибольшее целое значение параметра «а» при котором уравнение 2x+4+1=а имеет более двух корней (при решении используйте графики функций).

5. Разбор заданий. Отчет групп.

(Результаты демонстрируются на экране, ученики каждой группы представляют решение своих задач. См. Приложение 3)

Пример решения задачи одной из групп:

6. Итог урока.

Учитель: Сегодня в ходе практической работы мы выявили способы построения графика квадратичной функции, содержащей модуль, увидели красоту этих графиков, научились анализировать и делать выводы. Мы также рассмотрели некоторые задачи на применение графиков функций.

Все группы справились с поставленной задачей.

nsportal.ru