График неравенства: Показательные неравенства — как решать? Примеры, методы решения и свойства

Содержание

Показательные неравенства — как решать? Примеры, методы решения и свойства

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательных неравенств

Показательными считаются неравенства, которые включают в себя показательную функцию. Другими словами, это неравенства с переменной в показателе степени: af(x) > ag(x), af(x) < ag(x).

Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.

Для изучения этой темы стоит повторить:

И, конечно, для решения тригонометрических и логарифмических показательных неравенств также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.

Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = ax, где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а больше и меньше единицы. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.

При этом заметьте — значения а всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2-2 = 4, 2-4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.

Для любых а и х верно неравенство ax > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.

Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:

  • af(x) > ag(x) <-> f(x) > g (x), когда функция возрастает, т. е. а > 1;
  • af(x) > ag(x) <-> f(x) < g (x), когда функция убывает, т. е. 0 < а < 1.

На этом свойстве показательных неравенств так или иначе основываются все методы решения, и сейчас мы разберемся, как им пользоваться.

Как решать показательные неравенства

Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости…

Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:

3х > 9

Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:

3х > 32

х > 2

Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:

0,5х > 0,52

Проверим, верно ли в таком случае х > 2.

0,52 = 0,25;

0,53 = 0, 125 и т. д.

Как видите, на самом деле в этом случае х < 2. Неудивительно, если вспомнить, о чем мы писали в самом начале, когда рисовали графики возрастающей и убывающей показательной функции.

Если а > 1, то ax > an <-> a > n, и при решении неравенства можно просто убрать одинаковые основания степени.

Если 0 < а < 1, то ax > an <-> a < n, т. е. одинаковые основания по-прежнему можно убрать, но при этом необходимо поменять знак неравенства.

Если a = 1, то решений нет, т. к. единица в любой степени равна сама себе.

Наконец, если рассмотреть случай, когда а < 0, получится неопределенность. Допустим:

(-3)х > 9

(-3)х > 32

Логичное, на первый взгляд, предположение, что х > 2, не выдержит проверки, потому что:

х = 3 -> (-3)

3 = -27

х = 4 -> (-3)4 = 81

х = 5 -> (-3)5 = -243

Если продолжить этот ряд, знаки будут чередоваться, и наш корень будет попеременно то меньше, то больше 2. Поэтому для ясности всегда предполагается, что основание степени — положительное число.

Это были общие правила, а сейчас рассмотрим разные виды показательных неравенств и примеры с решениями.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Решая показательные уравнения, вы наверняка первым делом исследовали их на возможность приведения к одинаковым основаниям или одинаковым степенным функциям. Так вот, с неравенствами можно делать то же самое! Помните лишь о смене знака, если основание степени меньше единицы. И да пребудет с вами сила. 😎

Попробуем на примере несложного показательного неравенства с разными основаниями.

Пример 1

3х < 243

3х < 35

Поскольку 3 больше 1, знак не меняем:

х < 5

Ответ: х (5; +∞).

Пример 2

(1/2)х > √8

(1/2)х > 23/2

(1/2)х > (1/2)-3/2

х < -3/2, обратите внимание — мы поменяли знак, поскольку 1/2 < 1.

Ответ: х ∈ (-∞; -3/2).

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Снова давайте вспомним, как аналогичный метод применялся к показательным уравнениям. Если все переменные имели общий множитель, его можно было обозначить новой переменной — в итоге у нас, как правило, получалось квадратное уравнение. Нужно было лишь найти дискриминант и произвести обратную замену. И снова алгоритм решения показательных неравенств будет совершенно таким же.

Пример 1

9х + 27 < 12 × 3х

Наименьший общий множитель в данном случае будет 3х, обозначим его новой переменной у и перенесем все слагаемые в левую сторону.

9х + 27 < 12 × 3х

(3х)2— 12 × 3х + 27 < 0

3х = у

y2 — 12y + 27 < 0

3 < y < 9

Пришло время выполнить обратную замену.

3 < 3х < 9

31 < 3х < 32

Поскольку 3 > 1, мы не меняем знак.

1 < х < 2

Ответ: х ∈ (1;2).

Пример 2

2sin2x — 5 sinx + 2 < 0

Это более сложное показательное неравенство, но и в нем можно угадать скрытое уравнение квадратичной функции — достаточно заменить sinx на новую переменную.

sinx = y

2y2— 5y + 2 < 0

y = 2

y = 1/2

1/2 < y < 2

Произведем обратную замену:

1/2 < sinx < 2

Поскольку sinx и так меньше 1, а значит, точно меньше 2, мы можем отбросить правую часть неравенства и сосредоточиться только на левой.

1/2 < sinx

Воспользуемся формулой х c (arcsina + 2πn; π — arcsina + 2πn), n ∈ z

х c (arcsin 1/2 + 2πn; π — arcsin 1/2 + 2πn), n ∈ z

х c (π/6 + 2πn; π — π/6 + 2πn), n ∈ z

х c (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), n ∈ z

Ответ: х ∈ (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), n ∈ z

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Как вы, наверное, помните из предыдущего курса алгебры, рациональные показательные неравенства — это такие, в которых левая и правая часть представляют собой дробно-рациональные функции. Метод их решения таков: нужно перенести все в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решаем уравнение, отмечаем все корни на оси и применяем метод интервалов (если забыли, что это такое — повторите).

Важно помнить: если в числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители с переменной, сокращать их нельзя.

Пример 1

Преобразуем неравенство указанным выше способом:

(обратите внимание, мы избавились от минуса в числителе и поменяли знак неравенства).

Поскольку выражение 2х + 2 в любом случае будет больше нуля, мы можем смело его исключить из неравенства.

(2х— 2) × (2х— 1/2) × (2х— 3) > 0

1/2 < 2х < 2

2х > 3

и

-1 < х < 1

х > log23

Ответ: х ∈ (-1;1) U (log23; +∞)

Пример 2

Обозначим 3х через новую переменную y:

3х = y, при условии что 3х > 0.

Применим метод интервалов и получим:

y c (1/3; 3)

Вернем на место нашу старую переменную:

3-1 < 3х <= 3

Поскольку 3 больше 1, знаки не меняем:

-1 < х <= 1

Ответ: х ∈ (-1;1).

Однородные показательные неравенства

Однородными называются такие показательные неравенства, где в каждом слагаемом сумма степеней одинакова.

Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.

Пример 1

4х — 2 × 5 — 2х × 5х > 0

2 × 2х — 2 × 5 — 2х × 5х > 0

В левой части неравенства мы видим однородные функции относительно 2х и 5х. Следовательно, можно разделить обе части на 2 или 5. Выберем 5, т. е. 25х. В итоге у нас получится:

Если обозначить (2/5)х новой переменной y, получим квадратное неравенство:

y2— y — 2 > 0

y1 > 2

y2 < -1

Исходя из этого, у нас образуется следующее неравенство:

Поскольку 2/5 меньше 1, функция убывающая и мы должны поменять знак:

х < log2/52

Ответ: х ∈ (-∞; log2/52).

Пример 2

Но где здесь одинаковая сумма степеней? Сейчас будет:

Ответ: х ∈ (-∞; +∞) / (-2; 3)

Неравенства, решаемые графическим методом

Этот метод решения показательных неравенств — самый наглядный, и для многих он может показаться самым простым. Нужно лишь построить графики функций, заданных в левой и правой части выражения, а затем посмотреть, в какой точке они пересекаются. Если бы мы имели дело с уравнением, эта точка стала бы корнем.

Но поскольку мы рассматриваем неравенства, нужно будет выделить искомую область. Для неравенства f(x) > g(x) это будет та область, где график функции f(x) находится выше.

Пример 1

2х <= 3-х

Итак, нам нужны графики двух функций: 2х и 3 — х, а также точка их пересечения.

Очевидно, что точкой пересечения является х = 1, при этом график функции 2х ниже в области от -∞ до 1.

Ответ: х ∈ (-∞; 1).

Пример 2

(1/2)х > х + 3

Начертим графики этих двух функций, чтобы найти точку пересечения.

Искомой точкой будет х = -1, а областью, где функция (1/2)х находится выше — диапазон от -∞ до -1.

Ответ: х ∈ (-∞; — 1).

Решение Неравенств через Метод Интервалов

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется. 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, <, ≤, ≥.

Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.

Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать. 2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.

  • Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.

    Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.



  • Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.

  • Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

    Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.

    В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.

    Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −. 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

    • Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
    • Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
    • Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D < 0), то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c.

    Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. 2 — 5x + 6 ≥ 0.

    Как решаем:


    1. Разложим квадратный трехчлен на множители.

      Неравенство примет вид:

      (х — 3) * (х — 2) ≥ 0


    2. Проанализируем два сомножителя:

      Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х < 0 это выражение отрицательно: х — 3 < 0, а при х > 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.

      Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

      Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

      В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.


    3. Построим чертеж.

    4. Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.

      х < 0 — на этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = -1. Подставляем:

      (-1 — 3) * (-1 — 2) = -4 * (-3) = 12

      12 > 0

      Вывод: при х < 0 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0.

      Отобразим эти данные на чертеже:


      2 < x < 3 — на этом интервале ситуация не меняется, значит, для того, чтобы определить ситуацию нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 2,5.

      Подставляем:

      • (2,5 — 3) (2,5 — 2) = -0,5 * 0,5 = — 0,25 < 0

      Вывод: при 2 < x < 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) < 0. Отметим на чертеже:


      х > 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

      Подставляем:

      • (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0

      Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.


    5. Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.

      Если (х — 3) * (х — 2) > 0:

      (x — 3) * (x + 3/2) > 0.

      Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

      Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.


    Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

    Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.

    Как решить неравенство методом интервалов нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:


    Ответ: -3 < x < -2.

    Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:


    Как решаем:


    1. Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:

    2. Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:

    3. Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).

      Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. 2-x-3<0

      тож самое.ищем корни

      D=1-4*4*(-3)=49

      Х1 и х2=1+ или — корень из 49 все делим на 2

      х1=(1-7)\2=-3

      х2=(1+7)\2=4

      раскладываем на множители:4(х+3)(х-4)<0

      отмечаем на числовой прямой числа -3 и 4

      Ответ:(-3;4)

    4. Дан график функции

      y=x²-4x

      Используя график, решите неравенство x²>4x


      Решение: x² > 4x
      x² — 4x > 0
      Значит нас интересуют такие значения х,  при которых функция положительна.
      Смотрим на график, данная  функция положительна на двух интервалах:
        ( — бесконечность;  0 )  и  ( 4 ; + бесконечность)

      ОТВЕТ: 

      ( — бесконечность;  0 ) V  ( 4 ; + бесконечность)  ,
    5. На рисунке изображен график функции

      y= x² — x — 6

      Используя график, решите неравенство

      x² — x — 6 > 0


      Решение: Если решать это задание, используя график, то решением неравенства будет та часть параболы, где ветви параболы выше оси OX. 2
      Решение: Решение ниже в приложении, где из рисунка видно, что
      Ответе:
      $$ 0
    6. Mathway | Популярные задачи

      1 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 50
      2 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 45
      3 Вычислить 5+5
      4 Вычислить 7*7
      5 Разложить на простые множители 24
      6 Преобразовать в смешанную дробь 52/6
      7 Преобразовать в смешанную дробь 93/8
      8 Преобразовать в смешанную дробь 34/5
      9 График y=x+1
      10 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 128
      11 Найти площадь поверхности сфера (3)
      12 Вычислить 54-6÷2+6
      13 График y=-2x
      14 Вычислить 8*8
      15 Преобразовать в десятичную форму 5/9
      16 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 180
      17 График y=2
      18 Преобразовать в смешанную дробь 7/8
      19 Вычислить 9*9
      20 Risolvere per C C=5/9*(F-32)
      21 Упростить 1/3+1 1/12
      22 График y=x+4
      23 График y=-3
      24 График x+y=3
      25 График x=5
      26 Вычислить 6*6
      27 Вычислить 2*2
      28 Вычислить 4*4
      29 Вычислить 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
      30 Вычислить 1/3+13/12
      31 Вычислить 5*5
      32 Risolvere per d 2d=5v(o)-vr
      33 Преобразовать в смешанную дробь 3/7
      34 График y=-2
      35 Определить наклон y=6
      36 Перевести в процентное соотношение 9
      37 График y=2x+2
      38 График y=2x-4
      39 График x=-3
      40 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+5x+6=0
      41 Преобразовать в смешанную дробь 1/6
      42 Преобразовать в десятичную форму 9%
      43 Risolvere per n 12n-24=14n+28
      44 Вычислить 16*4
      45 Упростить кубический корень 125
      46 Преобразовать в упрощенную дробь 43%
      47 График x=1
      48 График y=6
      49 График y=-7
      50 График y=4x+2
      51 Определить наклон y=7
      52 График y=3x+4
      53 График y=x+5
      54 График 3x+2y=6
      55 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-5x+6=0
      56 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-6x+5=0
      57 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-9=0
      58 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 192
      59 Оценить с использованием заданного значения квадратный корень 25/36
      60 Разложить на простые множители 14
      61 Преобразовать в смешанную дробь 7/10
      62 Risolvere per a (-5a)/2=75
      63 Упростить x
      64 Вычислить 6*4
      65 Вычислить 6+6
      66 Вычислить -3-5
      67 Вычислить -2-2
      68 Упростить квадратный корень 1
      69 Упростить квадратный корень 4
      70 Найти обратную величину 1/3
      71 Преобразовать в смешанную дробь 11/20
      72 Преобразовать в смешанную дробь 7/9
      73 Найти НОК 11 , 13 , 5 , 15 , 14 , , , ,
      74 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-3x-10=0
      75 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+2x-8=0
      76 График 3x+4y=12
      77 График 3x-2y=6
      78 График y=-x-2
      79 График y=3x+7
      80 Определить, является ли полиномом 2x+2
      81 График y=2x-6
      82 График y=2x-7
      83 График y=2x-2
      84 График y=-2x+1
      85 График y=-3x+4
      86 График y=-3x+2
      87 График y=x-4
      88 Вычислить (4/3)÷(7/2)
      89 График 2x-3y=6
      90 График x+2y=4
      91 График x=7
      92 График x-y=5
      93 Решить, используя свойство квадратного корня x^2+3x-10=0
      94 Решить, используя свойство квадратного корня x^2-2x-3=0
      95 Найти площадь поверхности конус (12)(9)
      96 Преобразовать в смешанную дробь 3/10
      97 Преобразовать в смешанную дробь 7/20
      98 Преобразовать в смешанную дробь 2/8
      99 Risolvere per w V=lwh
      100 Упростить 6/(5m)+3/(7m^2)

      Решение квадратных неравенств через графики

      Речь идет о выражениях, где а ≠ 0 и выражение: ax+ bx + c больше, либо меньше нуля.

      Полезный лайфхак: если «а» отрицательное, то удобнее умножить обе части неравенства на «-1», чтобы в дальнейшем проще работать с параболой, в которой ветви направлены вверх.

      Пример: неравенство: x2 — 2x — 8 < 0

      Найдем ось симметрии:

      x = — b / 2a = — (-2) / 2*1 = 1

      И определи точку вершины, подставив «x» в уравнение: 1*1 — 2*1 — 8 = -9

      Соответственно, точка (1; -9) — это вершина параболы.

      Т.к. a > 0 ветви направлены вверх.

      Точки пересечения параболы с осью абсцисс определим через дискриминант:

      D = (-2)*(-2) — 4*1*(-8) = 36

      x1,2 = (2 ± 6) / 2

      x1,2 = -2; 4

      Можно рисовать график, причем, точно нарисовав только три точки: вершину и пересечение с абсциссой, дальнейшую красоту не так важно наводить:

      Поскольку мы ищем значения y < 0, значит, на графике смотрим, что лежит ниже оси абсцисс. А это часть параболы при значениях x от -2 до 4, это и будет решением нашего неравенства.

      x ∈ (-2; 4)

      Обратите внимание, что мы ставим круглые скобки, так как по условиям у нас указано < , а не ≤.

      Если бы у нас был наоборот знак больше, то мы бы взяли промежутки

      (-∞; -2)  (4; +∞)  , а если знак ≥, то (-∞; -2]  [4; +∞)

      Для проверки вы всегда можете также подставлять в неравенство значения «x» и смотреть полученные значения.

      Например, здесь, подставив 3, получаем: 32 — 2*3 — 8 < 0  

      9 — 6 — 8 < 0

      -5 < 0 то, что нужно.

      Или, подставив, 5: 52 — 2*5 — 8 < 0

      25 — 10 — 8 < 0

      7 < 0  и это уже неподходящее нам по условию значение.

      ​​​​​​​Все квадратные неравенства можно легко решать по этой табличке графическим методом:

      Если вам встречается задание с модулем x:

      x2 + 2|x| — 4 < 24

      То вы строите два графика:

      x2  + 2*(-x) — 4 < 24

      x2  + 2*(x) — 4 < 24

      И смотрите все нужные точки.