Практическая работа по теме « Построение графика производной методом касательных»
Ты уже знаешь, что такое производная? Знаю, тема очень большая и необычная, но надо понять , иначе нет смысла идти дальше. Наверное , у тебя возникло много вопросов, например такие как: за что отвечает угловой коэффициент, почему и где берем tgφ, как связать функцию и ее производную и вообще :что показывает производная, зачем нужно ее изучать? Если возникли трудности на первых уроках при определении производной, то я настоятельно попрошу еще раз вернуться к теме « Производная» Сегодня я предлагаю выполнить практическую работу по теме « Построение графика производной методом касательных» и проанализировать полученные из нее выводы , которые тебе помогут глубже осознать всю связь функции и ее производной
Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке или угловому коэффициенту этой касательной==k
Ты видишь мы провели касательную в точке ( показываю) , потом выберем две точки А и В таким образом чтобы были целыми их координаты, затем достроим до прямоугольного треугольника и найдем тангенс угла наклона касательной по отношению к положительному направлению оси Ox- это угол ВАС; tg∠BAC=AC/BC=5/6=1,2
Значит и производная в точке равна 1,2.
При построении графика производной учтем:
Если касательная параллельна оси Ox, то тангенс угла наклона равен нулю , а значит и значения производной в этих точках равны нулю и эти точки мы построим в первую очередь
Проведем касательные в некоторых точках на промежутках возрастания и убывания функции и определим значения тангенса угла наклона в этих точках касания , а значит их значения производных
Повторим еще раз определение тангенса и обговорим следующее:
Если в определении тангенса мы возьмем прилежащий к углу катет равный единице, тогда значение тангенса , а значит и значение производной в точке будет равно длине противолежащего отрезка. Воспользуемся этим при построении графика производной по данной функции
При построении графика производной наряду с функцией видны « необычные вещи»
Давайте вместе их проанализируем:
Производная функции- это тоже функция, не похожая на исходную, но определяется ею и полностью зависит от нее, между ними есть взаимосвязь. Какая же?
Из графиков видно, что на участках возрастания функции угол между касательной и положительной осью абсцисс тем больше , где больше скорость изменения функции и наоборот: там, где угол уменьшается, скорость изменения меньше. Значит производная показывает скорость изменения функции от точки к точке, т.е производная – это мгновенная скорость. При возрастании функции скорость возрастания производной замедляется и становится равной нулю там , где функция достигает свой максимум. Когда функция достигнет свой максимум она изменит свое направление и достигнет свой минимум ,а значит остановится ,следовательно скорость будет равна нулю.
Сравнивая и анализируя графики функции и ее производной убеждаемся , что при возрастании функции ее производная принимает только положительные значения, а при убывании функции- только отрицательные значения
Данная практическая работа позволяет мне подготовить учащихся к ЕГЭ, где они осознанно видеть взаимосвязь между функцией и ее производной
Применение производных функций — важный элемент в практической части науки и производства. Не зря нас в старшей школе и университете учили строить сложные графики, исследовать и работать над функциями. Без производных и дифференциальных исчислений невозможно было бы рассчитать жизненно важные показатели и величины. Человечество научилось моделировать различные процессы и исследовать их, решать сложные математические задачи. Действительно, математика — царица всех наук, потому что эта наука лежит в основе всех других естественных и технических дисциплин.
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №20. Построение графиков функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- Исследование функций;
- Построение графиков функций;
- Применение производной для решения графических задач.
Глоссарий по теме
Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
Выпуклость вниз.
Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.
Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.
Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).
Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.
Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.
Точка максимума функции. Точку х0называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .
Точка минимума функции. Точку х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .
Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.
Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.
Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2 , из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит вышепроведенного отрезка.
Полная схема построения графика функции:
- Найти область определения функции D(f).
- Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
- Найти асимптоты.
- Найти стационарные и критические точки.
- Найти промежутки монотонности.
- Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
- Найти точки перегиба
- Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Постройте график функции у = х3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.
Решение:
1) D(y) = (-∞; +∞)
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.
3) Асимптот нет
4) f’(x) = 3x2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.
х = 1, х = -1 – стационарные точки.
5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.
f’(x)<0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.
6) Так как в точке х = -1 производная меняет знак с «+» на «-», то х = -1 – точка максимума.
Так как в точке х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 1 – точка минимума.
7) Результаты исследования представим в виде таблицы.
x | (-∞; -1) | -1 | (-1; 1) | 1 | (1; +∞) |
f’(x) | + | 0 | — | 0 | + |
f(x) | 5 | 1 | |||
max | min |
8) Координаты некоторых точек:
9) По полученным данным строим график (рис. 1)
Рисунок 1 – график функции у = х3 – 3х + 3
Пример 2. Постройте график функции, используя подробную схему построения. схему построения.
Решение:
1)
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.
3) х = 1 – вертикальная асимптота
4) , f’(x) = 0 при х = 2, х = 0.
х = 2, х = 0 – стационарные точки.
5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.
f’(x)<0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.
Так как в точке х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», то х = 0 – точка максимума.
Так как в точке х = 2 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 2 – точка минимума.
х = 1 – не является точкой экстремума
6) Найдем интервалы выпуклости функции.
; при функция выпукла вверх.
; при функция выпукла вниз.
7) Результаты исследования представим в виде таблицы.
x | (-∞; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1; 2) | 2 | (2; +∞) |
f’(x) | + | 0 | — | Не сущ. | — | 0 | + |
f’’(x) | — | — | Не сущ. | + | + | ||
f(x) | -4 | Не сущ. | 0 | ||||
max | min |
8) Координаты некоторых точек:
x | -1 | 0,5 | 1,5 | 3 |
f(x) | -4,5 | -4,5 | 0,5 | 0,5 |
9) По полученным данным строим график (рис. 2)
Рисунок 2 – график функции
Дифференциальное исчисление
Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента
Математический анализ
Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент
Элементы высшей математики
Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:
Построение графиков функций
Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для
~ 1 ~ «Признаки монотонности функции»
~ 1 ~ «Признаки монотонности функции» Теорема: Для того чтобы функция f(x), дифференцируемая на a,b возрастала (убывала) на a,b необходимо и достаточно, чтобы x a,b выполнялось неравенство f (x) 0 (f (x)
«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»
В.И. Иванов С.И. Васин
Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный
присутствие функций арксинуса вида arcsin f x
Практическая работа Полное исследование функции и построение графика Цель: закрепить навыки исследования функций и построения графиков Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические
. Преобразуем функцию:, если x
Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств
Тема 9 «Функция. Свойства функций»
Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое
16.2.Н. Производная.
6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение…. 6..0.Н. Производная сложной функции…. 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями…. 7 6..0.Н. Возрастание и убывание
Дифференциальное исчисление
Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной
3. Производная функции
. Производная функции Актуальность темы Понятие производной одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки
Урок на тему: Построение графиков.
Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали
3. Дифференцирование функций
lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ‘ d, где f ‘ и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X — внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические
Примерные практические задания:
Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения
Математика (БкПл-100, БкК-100)
Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 5. Исследование функций с помощью производных 1 1. Понятие о производных высших порядков Опр. Пусть дана функция f(x)
Примерные практические задания:
Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения
Математический анализ. Лекция 3.4
Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
6 Общая схема исследования функции
5 6 Общая схема исследования функции Исследование дважды дифференцируемой функции будем проводить по следующей схеме. Находим область определения функции D( f.. Определяем точки разрыва функции.. Находим
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные
Степенная функция. Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия.
Степенная функция Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Если k=2, то y=x 2 квадратичная функция, ее график парабола.
Построение графика функции по особенным точкам включает в себя исследование самой функции: определение области допустимых значений аргумента, определение области изменения функции, определение четности или нечетности функции, определение точек разрыва функции, нахождение интервалов знакопостоянства функции, нахождение асимптот графика функции. С помощью первой производной можно определить интервалы возрастания (убывания) функции, наличие точек экстремума. По второй производной можно определить интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции, а также точки перегиба. При этом считаем, что если в некоторой точке xoкасательная к графику функции выше кривой, то график функции в этой точке имеет выпуклость; если же касательная ниже кривой, то график функции в этой точке имеет вогнутость.
Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x) = x³/(x²+3)
1. Исследование функции.
а) Область допустимых значений аргумента: (-∞,+∞).
б) Область изменения функции: (-∞, +∞).
в) Функция является нечетной, т.к. y(-x) = -y(x),т.е. график функции симметричен относительно начала координат.
г) Функция является непрерывной, точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.
д) Нахождение уравнения наклонной асимптоты y(x) = k∙x + b, где
k = 
/xи b = 
В данном примере параметры асимптоты соответственно равны:
k = 
, т.к. старшая степень числителя и знаменателя одинаковые, равные трем, а отношение коэффициентов при этих старших степенях равно единице. При x→+∞ для вычисления предела использовали третий замечательный предел.
b = 
= 
= 0, при вычислении предела при x→+∞ воспользовались третьим замечательным пределом. Итак, график данной функции имеет наклонную асимптоту y=x.
2. Исследование функции с помощью 1-ой производной.
y´= [x²∙(9+x²)]/(x²+3)² —производная вычислена с помощью формулы дифференцирования частного.
а) Определяем нули производной и точки разрыва, приравнивая соответственно числитель и знаменатель производной нулю: y´=0,еслиx=0.Точек разрыва 1-я производная не имеет.
б) Определяем интервалы знакопостоянства производной, т.е. интервалы монотонности функции: при -∞<x≤0,производная положительна, следовательно, функция возрастает; при 0≤x<+∞,производная продолжает оставаться положительной, т.е. функция так же возрастает.
3. Исследование функции с помощью 2-ой производной.
Используя формулу дифференцирования частного и произведя алгебраические преобразования, полечим: y´´ = [6x∙(9-x²)]/(x²+3)³
а) Определяем нули 2-ой производной и интервалы знакопостоянства: y´´ = 0,если x=0иx=+3. Точек разрыва у 2-ой производной нет.
б) Определим интервалы закопостоянства 2-ой производной, т.е. интервалы выпуклости или вогнутости графика функции. При -∞<x<-3и при0<x<3вторая производная y´´>0, т.е. график функции вогнутый. При —3<x<0и при3<x<+∞вторая производная y´´<0,т.е. график функции выпуклый. Так как в точках x=0и x=+3вторая производная равна нулю, а ее знак меняется, то эти точки являются точками перегиба графика функции (рис.4).
Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Исследование функции.
а) Область допустимых значений: (-∞,0)U(0,+∞).
б) Область изменения функции: (-∞,+∞).
в) Функция не является ни четной, ни нечетной.
г) Данная функция имеет точку разрыва 2-ого рода при x=0.
д) Нахождение асимптот. Т.к. функция имеет точку разрыва 2-ого рода при x=0, то следовательно, функция имеет вертикальную асимптоту x=0.Наклонных или горизонтальных асимптот данная функция не имеет.
2.Исследование функции с помощью 1-ой производной.
Преобразуем функцию, произведя все алгебраические действия. В результате вид функции значительно упростится: y(x)=x²-x-1+(1/x).От суммы слагаемых очень просто брать производную и получим: y´ = 2x – 1 –(1/x²).
а) Определяем нули и точки разрыва 1-ой производной. Приводим выражения для 1-ой производной к общему знаменателю и, приравняв числитель, а затем и знаменатель нулю, получим: y´=0приx=1, y´ —не существуетприx=0.
б) Определим интервалы монотонности функции, т.е. интервалы знакопостоянства производной. При -∞<x<0и0<x≤1первая производнаяy´<0,следовательно, функция убывает. При 1≤x<∞первая производнаяy´>0,следовательно, функция возрастает. В точке x=1первая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Минимум пологий, т.к. при x=1производнаяy´=0.
3.Исследование функции по 2-ой производной.
y´´= 2 + 2/x³. По 2-ой производной определим интервалы выпуклости или вогнутости графика функции, а также, если они имеются, точки перегиба. Приведем выражение для второй производной к общему знаменателю, а затем, приравнивая нулю поочередно числитель и знаменатель, получим: y´´=0при x=-1, y´´-не существуетпри x=0.
При -∞<x≤-1и при 0<x<+∞, y´´>0 –график функции вогнутый. При -1≤x<0– график функции выпуклый. Т.к. в точке x=-1вторая производная меняет знак с плюса на минус, то точка x=-1 –точка перегиба графика функции (рис.5).
рис. 4 рис. 5
Пример: исследовать функцию и построить ее график y(x) = ln (x²+4x+5)
1.Исследование функции.
а) Область допустимых значений аргумента: логарифмическая функция существует только для аргументов строго больше нуля, следовательно, x²+4x+5>0 –это условие выполняется при всех значениях аргумента, т.е. О.Д.З. – (-∞, +∞).
б) Область изменения функции: (0, +∞). Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма, и приравниваем функцию нулю: ln((x+2)²+1) =0.Т.е. функция обращается в ноль при x=-2.График функции будет симметричен относительно прямой x=-2.
в) Функция непрерывная, точек разрыва не имеет.
г) Асимптот у графика функции нет.
2.Исследование функции с помощью 1-ой производной.
Используя правило дифференцирования сложной функции, получим: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
а) Определим нули и точки разрыва производной: y´=0, при x=-2. Точек разрыва первая производная не имеет.
б) Определяем интервалы монотонности функции, т.е. интервалы знакопостоянства первой производной: при -∞<x<-2производнаяy´<0,следовательно, функция убывает;при -2<x<+∞ производнаяy´>0,следовательно, функция возрастает. Так как производная в точке x=-2меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум (пологий).
3.Исследование функции по 2-ой производной.
Представим первую производную в следующем виде: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²).Воспользовавшись формулой дифференцирования частного, получим выражение для второй производной: y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
а) Определим интервалы знакопостоянства второй производной. Так как знаменатель 2-ой производной всегда неотрицателен, то знак второй производной определяется только числителем. y´´=0при x=-3иx=-1.
При -∞<x<-3и при-1<x<+∞вторая производная y´´<0,следовательно, график функции на этих интервалах выпуклый. При -3<x<-1вторая производная y´´>0,следовательно, график функции на этом интервале – вогнутый. Точки x=-3и x=-1 – точки перегиба графика функции, т.к. в этих точках происходит перемена знаки второй производной, а сама вторая производная обращается в ноль (рис.6).
Пример: исследовать функцию и построить график y(x) = x²/(x+2)²
1.Исследование функции.
а) Область допустимых значений аргумента (-∞, -2)U(-2, +∞).
б) Область изменения функции [0, +∞), при x=0, y=0.
в) Функция не является ни четной, ни нечетной.
г) Функция не является непрерывной, точка x=-2 – точка разрыва второго рода.
д) Вертикальная асимптота x=-2,горизонтальная асимптота y=1.
2.Исследование функции с помощью первой производной.
Используя формулу дифференцирования частного, получим y´= 4x/(x+2)³.
а) Определяем нули и точки разрыва производной: y´=0при x=0, y´-не существует при x=-2.
б) Определим интервалы монотонности функции, т.е. интервалы знакопостоянства производной: при -∞<x<-2и при 0≤x<+∞первая производная y´>0, т.е. функция возрастает; при-2<x≤0первая производная y´<0,т.е. функция убывает. Так как в точке x=0первая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке минимум (пологий, т.к. y´=0).
3.Исследование функции по второй производной.
Воспользовавшись формулой дифференцирования частного, получим выражение для второй производной: y´´= (8-8x)/[(x+2)²]².
а) Определим нули и интервалы знакопостоянства второй производной. Т.к. знаменатель дроби всегда положителен, то знак второй производной полностью определяется числителем. При -∞<x<-2и при-2<x≤1вторая производнаяy´´>0, следовательно, график функции на этих интервалах – вогнутый; при1≤x<+∞вторая производная y´´<0, следовательно, график функции на этом интервале имеет выпуклость. При переходе через точку x=1, знак второй производной меняется с плюса на минус, т.е. эта точка является точкой перегиба графика функции. При x→+∞график функции асимптотически приближается к своей горизонтальной асимптоте y=1снизу. При x→ -∞, график приближается к своей горизонтальной асимптоте сверху (рис.7).
рис. 6 рис.
- Товары
- Клиенты
- Случаи использования
- Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
- Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
- предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
- работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
- Талант Нанимать технический талант
- реклама Связаться с разработчиками по всему миру
Чтение производного графика — важная часть учебной программы AP Calculus. Типичные проблемы исчисления включают в себя заданную функцию или график функции и поиск информации о точках перегиба, наклоне, вогнутости или существовании производной.
Производная существует?
Во-первых, глядя на график, мы должны знать, существует ли вообще производная функции.В нашем производном блоге об этом есть немного больше информации.
Три ситуации, когда производной не существует
Нет производной, если есть разрыв на кривой.
Это любое время, когда в кривой происходит разрыв, когда две части кривой не соединяются.
Виды разрывов:
Есть съемный разрыв. Представьте линейную функцию, такую как y = x + 3. Если бы мы добавили ограничение, где x не определен при x = 0, у нас был бы такой разрыв.
Существует бесконечный разрыв. Это происходит, когда у нас есть какое-либо уравнение, в котором существует разрыв между двумя непрерывными участками кривой из-за асимптот, достигающих бесконечности. Например, пусть у = 3 / (х-2). Обратите внимание, у нас есть две вертикальные асимптоты, которые не соединяются.
Наконец, у нас есть разрыв скачка. Это происходит с кусочными функциями, где две секции просто не соединяются.
Производная не существует там, где есть острый угол.
Это часто происходит с проблемами абсолютной стоимости. Давайте посмотрим на график y = √x 2
При x = 0 производной нет, потому что у нас крутой изгиб кривой.
Наконец, нет производной, где есть вертикальный разрез графика.
Если есть вертикальный разрез графика, наклон не определен; следовательно, производная не существует.
Чтение производного графика.
Глядя на график, мы должны быть в состоянии быстро проследить уклон на любом участке и получить приблизительное представление о том, каким должен быть уклон.Это позволяет легко сопоставить граф с его производной.
Глядя на первый график, вы можете определить, какой из трех приведенных ниже графиков является производной?
f ‘(x):
а
б
c
Несколько ключей для получения правильного ответа. Мы должны сразу увидеть, что это какая-то тригонометрическая функция. Мы знаем, что наклон функции равен 0 в нескольких точках; поэтому график производной должен проходить через ось х в некоторой точке.Также, глядя на график, мы должны увидеть, что это происходит где-то между -2,5 и 0, а также между 0 и 2,5. Одного этого достаточно, чтобы увидеть, что последний график является правильным ответом.
Построение графика функции на основе производной и двойной производной.
Производная и двойная производная говорит нам несколько ключевых моментов о графике:
(Хорошая практика AP: Как мы можем определить, минимальная она или максимальная?)
Ниже приведен график производной функции f (x).
Вот график функции. Можем ли мы увидеть, как они соответствуют?
Возможность читать графики производной и знать, какой должна быть общая форма исходной функции, является важной частью учебной программы AP Calculus. Убедитесь, что вы знаете, как определить точки перегиба, локальные минимумы и максимумы и где функция увеличивается или уменьшается.
О Захари
Захари — бывший инженер-механик и преподаватель физики, математики и компьютерных наук в старшей школе.Он закончил Университет Макгилла в 2011 году и провел время в автомобильной промышленности в Детройте, прежде чем перейти к образованию. Он преподавал и репетиторство в течение последних пяти лет, но вы также можете найти его в приключениях, чтении, скалолазании и путешествиях, когда появляется такая возможность.
Политика комментирования блогов Magoosh: Чтобы создать лучший опыт для наших читателей, мы одобрим и ответим на комментарии, относящиеся к статье, достаточно общие, чтобы быть полезными для других студентов, краткими и хорошо написанными! 🙂 Если ваш комментарий не был одобрен, скорее всего, он не соответствует этим рекомендациям.Если вы студент Premium Magoosh и хотите более персонализированный сервис, вы можете воспользоваться вкладкой «Справка» на панели инструментов Magoosh. Спасибо!
,Итак, вы, возможно, запомнили все производные правила. Вы можете получить f ‘(x) из f ( x ) независимо от сложности этой функции. Но как вы оцениваете производные прямо из графика?
Как мы увидим в этой обзорной статье, это всего , склона, , !
Наклон производных мер
Давайте начнем с фундаментальной связи между производными и графиками функций.
Производное значение f ‘(a) равно наклону касательной к графику y = f ( x ) при x = a .
Я рекомендую сначала прояснить идею касательных линий. Вот несколько ресурсов, которые могут помочь.
Пример — Оценка производных с использованием касательных линий
Используйте информацию на графике f ( x ) ниже, чтобы оценить значение f ‘(1).
График параболы с касательной к точке (1, 1).
Решение
Помните, производные значения — это уклоны! Таким образом, f ‘(1) равно наклону касательной линии, прикрепленной к графику, при x = 1.
Все, что нужно, это две точки на линии, чтобы определить наклон. Легко определить одну точку, потому что она также находится на графике для самого : (1, 1). Затем мы смотрим вдоль касательной, пока не найдем другую точку, координаты которой легко оценить.Попробуйте найти точку, которая пересекает «пересечение», потому что тогда оно будет иметь целочисленные координаты. Например, (2, 3) или (3, 5), или (0, -1) и т. Д.
Я собираюсь выбрать (3, 5) в качестве моей второй точки. Однако, если вы выберете любую другую точку, если она находится на касательной линии, тогда ваш ответ должен быть (или очень близко) к моему.
Затем используйте формулу наклона ( RISE over RUN ), чтобы вычислить наклон касательной линии.
Следовательно, f ‘(1) = 2.
Увеличение, Уменьшение и Поворот вокруг
Хорошо, поэтому первый пример мог быть довольно простым. Как трудно это может получить?
Иногда нам приходится оценивать всех производных значений! Другими словами, учитывая график функции f ( x ), должна быть возможность нарисовать график f ‘( x ).
Для дифференцируемых функций нужно помнить три вещи.
- Если f увеличивается на интервале, то f ‘> 0 (выше оси x ) в этом интервале.
- Если f уменьшается на интервале, то f ‘<0 (ниже оси x ) в этом интервале.
- Если f плавно поворачивается в точке x = a , то f ‘( a ) = 0 (пересекая ось x ).
Пример — оценка графика производного
Нарисуйте график производной функции, график которой показан ниже.
Решение
Сначала определите две точки поворота: в x = -2 и 0.Это означает, что f ‘(-2) = f ‘ (0) = 0.
Затем определите интервалы, на которых график увеличивается и уменьшается. Когда f увеличивается, мы имеем f ‘> 0. Когда f уменьшается, мы имеем f ‘ <0.
График функции дает информацию о ее производной … если вы знаете, как ее анализировать.
График ниже показывает оригинал в черном и эскиз его производной в синем.
Обратите внимание, как синяя кривая соответствует описанию f ‘.
- Синяя кривая выше оси x всякий раз, когда f увеличивается.
- Синяя кривая находится ниже оси x всякий раз, когда f уменьшается.
- Синяя кривая пересекает ось x всякий раз, когда f имеет точку поворота.
недифференцируемых точек
Методы оценки производных до сих пор игнорировали существенную проблему.Что происходит, когда функция не может иметь производное значение в данной точке?
Любая точка x = a , в которой f ‘( a ) не существует, называется точкой недифференцируемости.
Если a является такой точкой, то на графике f ‘будет либо дыра, либо разрыв при x = a .
Три вещи могут вызвать такое поведение.
- Первоначальная функция не определена или прерывистая.
- На графике исходной функции есть угловая точка.
- Касательная линия вертикальная.
Давайте рассмотрим три ситуации в следующем примере.
Пример — Оценка производных с недифференцируемыми точками
Нарисуйте график производной следующей функции.
Решение
На этом графике много чего происходит!
- Существует вертикальная асимптота при x = -5.Поскольку f на данный момент не определено, мы знаем, что производное значение f ‘(-5) не существует.
- График подходит к острому углу при x = 5. Производные не существуют в угловых точках.
- Возвышение при x = 8. Производное значение становится бесконечным при острие.
Помимо этих важных ориентиров, есть также одна точка поворота, x = 0. Давайте проанализируем, что происходит в промежутках между особыми точками.
Но что именно происходит около x = -5, 5 и 8?
При x = -5 исходный график следует вертикальной асимптоте. По определению, значения функций приближаются к ∞ или -∞, чем ближе x достигает -5. В результате функция становится бесконечно крутой при x → -5. Бесконечная крутизна означает бесконечные значения наклона, поэтому f ‘также должны иметь вертикальную асимптоту при x = -5.
Далее, угловая точка в x = 5 представляет очень внезапное изменение направления.Вместо плавного поворота функция мгновенно меняет курс. Это означает, что при пересечении x = 5 произойдет скачок производного значения.
(Для получения дополнительной информации о разрывных скачках и связанных с ними темах, ознакомьтесь с: AP Calculus Review: Discontinuities.)
Наконец, есть бугорков при x = 8. На бугре касательная линия графика становится настолько крутой, что она фактически вертикальна. Это означает, что наклон бесконечен, и снова будет вертикальная асимптота на графике f ‘.
Давайте сейчас все соберем. Синий график представляет собой всего лишь эскиз производной кривой (не на 100% точный, но достаточно близкий для наших целей).
Обратите внимание не только на странное поведение вблизи каждой точки разрыва, но также на то, как значения производных выше оси x , когда f, увеличивается, и ниже оси, когда f уменьшается.
Эскиз производной сложной функции. Оригинал в черном цвете; производная в синем.
Заключение
Важно знать, как определить производную функции только на основе ее графика. К счастью, экзамены AP Calculus не потребуют от вас наброска самой производной кривой, но могут попросить вас выбрать, какой вариант ответа лучше всего соответствует этому.
Используйте плавные точки поворота в качестве ориентиров. Убедитесь, что вы понимаете странное поведение в недифференцируемых точках. И заполните детали, проанализировав, где f увеличивается и уменьшается.
О Шон Олт
Шон получил степень доктора математических наук в Университете штата Огайо в 2008 году (Go Bucks !!). В 2002 году он получил степень бакалавра по математике в области компьютерных наук в колледже Оберлина. Кроме того, Шон получил степень бакалавра наук. из Оберлинской консерватории в том же году, по специальности музыкальная композиция. Шон все еще любит музыку — почти так же, как математика! — и он (думает, что он) может играть на пианино, гитаре и басу.Шон преподавал и обучал студентов по математике около десяти лет и надеется, что его опыт поможет вам добиться успеха!
Политика комментирования блогов Magoosh: Чтобы создать лучший опыт для наших читателей, мы одобрим и ответим на комментарии, относящиеся к этой статье, достаточно общие, чтобы быть полезными для других студентов, краткими и хорошо написанными! 🙂 Если ваш комментарий не был одобрен, скорее всего, он не соответствует этим рекомендациям. Если вы студент Premium Magoosh и хотите более персонализированный сервис, вы можете воспользоваться вкладкой «Справка» на панели инструментов Magoosh.Спасибо!
,GraphPad Prism 7 Кривая Руководство по установке
Prism предлагает Plot функциональный анализ, но фактически не анализирует никаких данных. Скорее он генерирует кривые из уравнения, которое вы выбираете, и параметров, которые вы вводите.
Как: построить функцию
1. Начните с любой таблицы данных или графика, нажмите «Анализ», откройте папку «Создать кривую» и выберите «Построить функцию».
2.На первой вкладке (Функция) выберите уравнение, начальные и конечные значения X и количество кривых, которые вы хотите построить.
3. На второй вкладке (Параметры) выберите, хотите ли вы также построить первую производную, вторую производную или интеграл функции. «Кривая» на самом деле представляет собой набор координат X и Y, которые определяют серию точек, соединенных для формирования кривой. Вы можете выбрать количество отрезков, которые будут определять кривую. Нет особых оснований для изменения значения по умолчанию (150), если вы не хотите отображать только часть кривой на некоторых графиках, в этом случае вам следует увеличить это значение.
4.На третьей вкладке (Значения параметров) введите значения параметров (или щелкните значок рыболовного крючка для анализа анализа или информационных констант).
Советы по построению функции
Построение семейства кривых
Если вы решите построить более одной кривой (выбор на первой вкладке), остальная часть диалога будет работать немного иначе.
В нижней части второй вкладки (Параметры) выберите, хотите ли вы пометить каждую кривую вручную (введите метки в верхней части третьей вкладки) или используйте значение одного из параметров.
В верхней части третьей вкладки перечислены все кривые, которые вы будете генерировать. Выберите одну или несколько из этих кривых (или нажмите «выбрать все»), а затем введите значения параметров ниже. Часто вам нужно сначала нажать «выбрать все» и ввести большинство параметров. Затем щелкните по одной кривой за раз и введите значение параметра, которое изменяется между кривыми.
Построение каждой кривой на отдельном графике
По умолчанию Prism создаст график, содержащий все кривые на одном графике.Если вы хотите, чтобы каждая кривая была на графике, перейдите в таблицу результатов, нажмите «Создать» и выберите «График существующих данных». В появившемся диалоговом окне выберите один график для каждого набора данных (в этом контексте набор данных является кривой).
Если вы планируете увеличить масштаб и построить только часть кривой
Кривая по умолчанию определяется как 150 отрезков. Это создает гладкую кривую. Но если вы затем измените диапазон значений X, показанных на графике, будет видна только часть этих отрезков, и кривая может показаться грубой.Чтобы устранить эту проблему, вернитесь в диалоговое окно параметров, перейдите на вкладку «Параметры» и увеличьте число сегментов линии до гораздо большего значения.
Объединение двух кривых на одном графике
Приведенный ниже график объединяет две построенные функции на одном графике. В первый раз, когда я построил функцию, я выбрал распределение Гаусса с X в диапазоне от -3 до 3. Я установил среднее значение 0,0, SD — 1,0, а амплитуду — 100,0 (произвольно, поскольку я спрятал эту ось). , Затем я повторил этот анализ, но на этот раз установил диапазон X от 1.От 3 до 3,0 Я поместил обе кривые на один график (Изменить. Добавить наборы данных — помните, что кривая, сгенерированная этим анализом, является «набором данных» для Prism). Для более короткой кривой я решил создать заливку области.
,