График y 2 ax – Функция y=ax2 и ее график

Функция y=ax^2, её график и свойства

Определение:

Квадратичной называют функцию вида:

Графиком квадратичной функции является парабола. Она состоит из двух ветвей и имеет вершину.

Ветви могут быть направлены вверх:

Ветви могут быть направлены вниз:

Квадратичная функция имеет свои свойства. Поговорим о них. В своей вершине квадратичная функция сменяет своё поведение с убывания на возрастание и с возрастания на убывание. Понятно, что областью определения в обоих случаях будет множество всех действительных чисел. Если говорим о нулях функции, то мы имеем ввиду те значения, при которых функция

у=0. Когда находят нули функции по графику, то ищут точки пересечения графика с осью х. Если же находят нули функции по уравнению, то значение функции принимают равное 0. Тем самым получаем квадратное уравнение. Оно может иметь 2, 1 корень или не иметь корней. Соответственно, график может иметь 2 точки пересечения с осью х, 1 точку пересечения с осью х или не пересекать её. Понятно, что нулями квадратичной функции являются корни соответствующего квадратного уравнения. По графику удобно находить промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности функции.

Пример: по графику квадратичной функции опишите её свойства.

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит a>0. Опишем её свойства.

Областью определения и областью значений являются:

Нулями функции являются:

Промежутки знакопостоянства:

Промежутки монотонности:

Заметим, что описать свойства функции по её графику проще, чем по формуле. Поэтому очень важно уметь изображать график функции.

Рассмотрим частный случай квадратичной функции:

Изобразим график этой функции схематично и обратим внимание на некоторые её свойства. Возможны два случая изображения графика.

Областью определения в обоих случаях является:

Область значений:

Функция такого вида обращается в ноль только при х=0, график будет пересекать ось х в одной точке. Первым свойством мы запишем, что если:

Другими словами график такой функции всегда проходит через точку начала координат. Причём эта точка является вершиной параболы.

Если же

то график расположен выше или ниже оси Х.

Если взять противоположные значения аргумента, то видно, что им соответствуют одинаковые значения функции. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Другими словами график функции симметричен относительно оси

у.

Промежутки монотонности:

Заметим, что:

Пример.

В одной координатной плоскости изобразим графики функций:

Составим таблицу значений для первой функции.

Составим таблицу значений для второй функции

Получим два графика, они симметричны относительно оси х.

Рассмотрим пример: изобразим в одной координатной плоскости графики функции:

Составим таблицу значений для функции:

Составим таблицу значений для функции:

Составим таблицу значений для функции:

Изобразим графики этих функций:

График функции у=ах2 можно получить из параболы у=х2 растяжением от оси х в а раз, если а>0, и сжатием к оси х в 1/а раз к оси х, если 0<а<1.

videouroki.net

Внеклассный урок - Квадратичная функция. Функция y = ax2, ее график и свойства

Квадратичная функция. Функция y = ax2, ее график и свойства

 

Квадратичная функция – это функция, которую можно задать формулой вида

                                                 y  =  ax2  +  bx  +  c,

где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел. (Напомним: областью определения функции называется совокупность значений независимой переменной, см.раздел "Функции и их графики")

 

Функция  y = ax2.

Функция y = ax2 – это частный случай квадратичной функции.

Графиком функции y = ax2 является парабола.

 

 

 

Свойства функции  y = ax2 при a > 0:

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат.

 

2. Если x ≠ 0, то y > 0.

График функции расположен в верхней полуплоскости.

 

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Пояснение: допустим, x = –2, y = 8. При x = 2 значение y не меняется и составляет 8.

 

4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) - возрастает.

 

5. Наименьшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0 (см.пункт 1).

Наибольшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток [0; +∞).

 

Свойства функции  y = ax2 при a < 0:

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат.

 

2. Если x ≠ 0, то y < 0.

График функции расположен в нижней полуплоскости.

 

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

График функции представляет собой симметричную фигуру относительно оси y.

Пояснение: допустим,

x = –4, y = –8. При x = 4 значение y не меняется и составляет –8.

 

4. В промежутке (–∞; 0] функция возрастает, а в промежутке [0; +∞) - убывает.

 

5. Наибольшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0 (см.пункт 1).

Наименьшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток (–∞; 0].

 

 

raal100.narod.ru

Внеклассный урок - Функции y = ax2 + n, y = a(x – m)2, y = a(x – m)2 + n. Функция y = ax2 + n. Функция y = a(x – m)2. График функций y = ax2 + n и y = a(x – m)2. Ф

Функции  y = ax2 + n,  y = a(xm)2,  y = a(xm)2 + n

 

График функции  y = ax

2 + n.

Графиком функции y = ax2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0, или на –n единиц вниз, если n < 0.

 Пояснение.

Например, надо построить график функции y = 2x2 + 4.
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x2, перемещается на четыре единицы вверх по оси y. Разумеется, при этом все значения y закономерно увеличиваются на 4.

Вот таблица значений функции y = 2x2:

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

32

18

8

2

0

2

8

18

32

 А вот таблица значений y = 2x2 + 4:

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

36

22

12

6

4

6

12

22

36

 Мы видим по таблице, что вершина параболы второй функции на 4 единицы выше вершины  параболы первой (ее координаты 0;4). А значения y второй функции на 4 больше значений y первой функции.

 

График функции  y = a(xm)2.

Графиком функции y = a(xm)2 является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси x на m единиц вправо, если m>0, или на –m, если m<0.

 Пояснение.

Например, надо построить график функции y = 2(x – 6)2.
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x2, перемещается на шесть единиц вправо вдоль оси (на графике – красная парабола).

 
 

График функции y = a(xm)2 + n.

Две функции приводят нас к третьей функции: y = a(xm)2 + n.

Графиком функции y = a(xm)2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на m единиц вправо или влево и сдвига вдоль оси y на n единиц вверх или вниз.

 Пояснение:

Например, надо построить график функции y = 2(x – 6)2 + 2.
Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x2, перемещается на 6 единиц вправо (значение m) и на 2 единицы вверх (значение n). Красная парабола на графике – результат этих перемещений.

 
 
 

raal100.narod.ru

Урок 7. функция y = ax2, её график и свойства - Алгебра - 9 класс


Одной из важных функций, к изучению которой мы переходим, является квадратичная функция. Сформулируем определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида игрек равен а икс в квадрате плюс бэ икс, плюс цэ, где икс – независимая переменная или аргумент функции, а, бэ, цэ – некоторые числа, причем а неравно нулю.
Изучение квадратичной функции начнём с частного случая игрек равен а икс в квадрате. При а равном одному формула игрек равен а икс в квадрате принимает вид игрек равен икс в квадрате. С этой функцией вы уже знакомы. Её графиком является парабола.
Изобразим график функции схематично и обратим внимание на некоторые её свойства. Возможны два случая изображения графика. Если коэффициент а больше нуля, то ветви параболы направлены вверх. И если коэффициент а меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз. Областью определения в обоих случаях является множество действительных чисел. Область значений в первом случае равна промежутку от нуля до плюс бесконечности, включая нуль. Во втором случае промежутку от минус бесконечности до нуля, включая нуль.
Функция такого вида обращается в нуль только при икс равном нулю. График будет пересекать ось абсцисс в одной точке. Запишем это свойство. Если икс равен нулю, то игрек равен нулю. График функции всегда проходит через начало координат. Если же икс неравен нулю, то график расположен выше оси икс или ниже оси икс. Заметим, что противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Иными словами, график функции симметричен относительно оси игрек. Значит, ось игрек является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с осью симметрии называют вершиной параболы.
Опишем промежутки монотонности. Если а положительно, то функция убывает в промежутке от минус бесконечности до нуля, включая нуль, и возрастает в промежутке от нуля до плюс бесконечности, включая нуль.
Если а отрицательно, то функция возрастает в промежутке от минус бесконечности до нуля, включая нуль, и убывает в промежутке от нуля до плюс бесконечности.
По графику видно, что в первом случае функция имеет наименьшее значение нуль при икс равном нулю. А наибольшего значения нет. Во втором случае функция имеет наибольшее значение равное нулю при икс равном нулю. А наименьшего значения не имеет.
Таким образом, мы рассмотрели свойства функции вида игрек равен а икс в квадрате.
Потренируемся строить график такой функции. Изобразим в одной координатной плоскости графики следующих функций игрек равен минус одна вторая икс в квадрате и игрек равен ода вторая икс в квадрате.
Составим таблицу значений для первой функции.
Для этого возьмем значение аргумента, равное минус двум. Значение функции будет минус два. При икс равном минус одному игрек равен минус одной второй. При икс равном нулю игрек равен нулю. При икс равном одному игрек равен минус одной второй. При икс равном двум, игрек равен минус двум.
Обратите внимание, противоположным значениям аргумента действительно соответствуют одинаковые значения функции. Отметим полученные пять точек на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Получим параболу, ветви которой направлены вниз.
Составим таблицу значений для второй функции с теми же значениями аргумента. Для значения аргумента, равного минус двум значение функции равно двум. При икс равном минус одному игрек равен одной второй. При икс равном нулю игрек равен нулю. При икс равном одному игрек равен одной второй. При икс равном двум, игрек равен двум. Нанесём на координатную плоскость полученные точки. Соединим их плавной линией. Получим параболу, ветви которой направлены вверх.
Получили два графика. Нетрудно заметить, что они симметричны относительно оси икс.
Сделаем вывод. График функции игрек равен минус эф от икс можно получить из графика функции игрек равен эф от икс с помощью симметрии относительно оси икс.
Рассмотрим ещё один пример. Построим в одной системе координат графики функций игрек равен икс в квадрате, игрек равен двум икс в квадрате и игрек равен одной второй икс в квадрате.
График функции игрек равен икс в квадрате мы строили ранее много раз. Составим таблицу значений и построим параболу.
Составим таблицу значений для функции два икс в квадрате с теми же значениями аргумента. Построим параболу два икс в квадрате. Осталось изобразить график функции игрек равен одной второй икс в квадрате. Составим таблицу значений с теми же значениями икс. Отметим точки и проведем параболу.
Заметим, что график функции два икс в квадрате можно получить из графика функции игрек равен икс в квадрате растяжением от оси абсцисс. А график функции игрек равен одной второй икс в квадрате путем сжатия к оси абсцисс.
Сделаем вывод. График функции игрек равен а эф от икс можно получить из графика функции игрек равен эф от икс с помощью растяжения от оси икс в а раз, если а больше одного, и с помощью сжатия к оси икс в один делённое на а раза, если а больше нуля, но меньше одного.
Сегодня на уроке мы изучили частный случай квадратичной функции игрек равен а икс в квадрате. Выяснили, что её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, если а больше нуля и вниз, если а меньше нуля.
Узнали правила преобразований графика функции, которые используются при построении графика игрек равен а икс в квадрате. Запишем в общем виде. График функции игрек равен минус эф от икс симметричен относительно оси Ох. График функции а эф от икс можно получить растяжением графика игрек равен эф от икс от оси о икс в а раз, если а больше одного. И сжатием к оси о икс, если а больше нуля, но меньше одного.

resh.edu.ru

График функции y=ax^2 +n

Изобразим в одной координатной плоскости графики функций:

Составим таблицы значений для каждой функции:

Запомните. График функции  является параболой, которую можно получить из графика функции  с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n>0, и на -n единиц вниз, если n<0.

Нам известно, что график функции , всегда проходит через точку начала координат, причём она является вершиной параболы. Легко получить, что вершина параболы  будет иметь координаты (0, n). Так как выполняется параллельный перенос относительно оси y вверх или вниз.

Рассмотрим пример:  изобразим график функции , используя шаблон .

Составим таблицу значений:

Соединяем точки и получаем параболу:

Перенесём ключевые точки графика на 3 единицы вниз, проведём через полученные точки параболу.

Используя этот же шаблон, изобразим график функции :

Составим таблицу значений:

Отобразим точки на графике.

Для функции , отобразим возможные ключевые точки графика симметрично относительно оси х.

С помощью параллельного переноса относительно оси у перенесем ключевые точки на 2 единицы вверх:

Получили график функции  из шаблона , с помощью осевой симметрии относительно оси х и параллельного переноса относительно оси у на 2 единицы вверх. Вершина полученной параболы имеет координаты (0,2).

videouroki.net

Квадратичная функция

•Квадратичной функцией называется функция вида y=ax2+bx+c, где a,b,c - числа, причем a≠0.
•Графиком квадратичной функции является парабола.

Чтобы построить график функции y=x2 составим таблицу значений

и построим график, используя полученные точки:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x2 при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции y=-x2 имеет вид:


Итак:
•Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
•Если старший коэффициент a

Второй этап построения графика функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) - это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x)=0.

В случае квадратичной функции y=ax2+bx+c нужно решить квадратное уравнение ax2+bx+c=0.

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: D=b2-4ac, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:
1. Если D2+bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, парабола y=ax2+bx+c не имеет точек пересечения с осью ОХ.
Если a>0,то график функции выглядит примерно так:

2. Если D=0 ,то уравнение ax2+bx+c=0 имеет одно решение, и, следовательно, парабола y=ax2+bx+c имеет одну точку пересечения с осью ОХ.
Если a>0,то график функции выглядит примерно так:

3.Если D>0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два решения, и, следовательно, парабола y=ax2+bx+c имеет две точки пересечения с осью ОХ: ,
Если a>0, то график функции выглядит примерно так:

Значит, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный этап построения графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:



Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один этап построения графика функции – точка пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные моменты построения графика квадратичной функции показаны на рисунке:

tofmal.ru

Функции и Графики - сайт по математике и не только!!! Всё о Математических функциях и их графиках...

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

y = ax2 + bx + c, где a 0. График квадратичной функции - парабола.

Свойства функции и вид её графика определяются, в основном, значениями коэффициента a
и дискриминанта D = b2 - 4ac.

a > 0, D > 0a > 0, D = 0a > 0, D
a D > 0a D = 0a D

РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

  1. ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА:
  2. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ при D > 0 y = ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) при D = 0 y = ax2 + bx + c = a(x - x1)2 при D
СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ НАПРАВЛЕНИЕ ВЕТВЕЙ, ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ И ОСЬ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ,
являющейся графиком функции у = ax2 + bx + c
  • Направление ветвей параболы: при a > 0 ветви направлены вверх при a
  • Координаты вершины параболы: (-b/2a; -D/4a)
  • Ось симметрии параболы - прямая
  • Точки пересечения (касания) графика с осью х: D > 0: (точки пересечения) D = 0: x1 = - b/(2a) (точка касания) D х нет
  • Точка пересечения графика с осью у:(0,c), симметричная ей точка относительно параболы (-b/a;c)
Для построения графика квадратичной функции можно использовать некоторые из указанных характеристик. Например, если уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня, удобно использовать координаты вершины параболы и координаты двух точек пересечения параболы с осью х. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ВЕТВЕЙ, ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ И ОСИ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ Примеры:
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = x2 С помощью выделения полного квадрата любую квадратичную функцию можно представить в виде:
Это свойство позволяет построить график квадратичной функции с помощью элементарных преобразований графика функции y = x2. Построение графика y = a(x - m)2 + n можно произвести в три этапа: Результат преобразования: график функции y = a(x - m)2+n

Примеры:

1. Растяжение графика функции y = x 2 вдоль оси y в 2 раза 2. Параллельный перенос графика функции y = 2x 2 вдоль оси x на 3 вправоПараллельный перенос графика функции
y = 2(x - 3)2 вдоль оси y на 1 вверх.
1. Сжатие графика функции y = x 2 вдоль оси y в 2 раза и преобразование симметрии относительно оси x 2. Параллельный перенос графика функции y = - x 2 вдоль оси x на 2 влевоПараллельный перенос графика функции
y = - (x + 2)2/ 2
Используются технологии uCoz

fgraphiks.narod.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *