2.Квадратичная функция y=x² — Функции и их графики

В уравнении квадратичной функции:

a – старший коэффициент

b – второй коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

 Точки, обозначенные зелеными кружками – это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

В процессе решения квадратного уравнения находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2

. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следующий важный параметр графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

 

Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии паработы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

График функции y x 2 4x 1.

Исследование функции и построение графика

«Натуральный логарифм» — 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» — У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» — 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а

«Квадратичная функция и её график» — Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» — 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

К сожалению, не все студенты и школьники знают и любят алгебру, но готовить домашние задания, решать контрольные и сдавать экзамены приходится каждому. Особенно трудно многим даются задачи на построение графиков функций: если где-то что-то не понял, не доучил, упустил — ошибки неизбежны. Но кому же хочется получать плохие оценки?

Не желаете пополнить когорту хвостистов и двоечников? Для этого у вас есть 2 пути: засесть за учебники и восполнить пробелы знаний либо воспользоваться виртуальным помощником — сервисом автоматического построения графиков функций по заданным условиям. С решением или без. Сегодня мы познакомим вас с несколькими из них.

Лучшее, что есть в Desmos.com, это гибко настраиваемый интерфейс, интерактивность, возможность разносить результаты по таблицам и бесплатно хранить свои работы в базе ресурса без ограничений по времени. А недостаток — в том, что сервис не полностью переведен на русский язык.

Grafikus.ru

Grafikus.ru — еще один достойный внимания русскоязычный калькулятор для построения графиков. Причем он строит их не только в двухмерном, но и в трехмерном пространстве.

Вот неполный перечень заданий, с которыми этот сервис успешно справляется:

• Черчение 2D-графиков простых функций: прямых, парабол, гипербол, тригонометрических, логарифмических и т. д.
• Черчение 2D-графиков параметрических функций: окружностей, спиралей, фигур Лиссажу и прочих.
• Черчение 2D-графиков в полярных координатах.
• Построение 3D-поверхностей простых функций.
• Построение 3D-поверхностей параметрических функций.

Готовый результат открывается в отдельном окне. Пользователю доступны опции скачивания, печати и копирования ссылки на него. Для последнего придется авторизоваться на сервисе через кнопки соцсетей.

Координатная плоскость Grafikus.ru поддерживает изменение границ осей, подписей к ним, шага сетки, а также — ширины и высоты самой плоскости и размера шрифта.

Самая сильная сторона Grafikus.ru — возможность построения 3D-графиков. В остальном он работает не хуже и не лучше, чем ресурсы-аналоги.

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y.

Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В золотой век информационных технологий мало кто будет покупать миллиметровку и тратить часы для рисования функции или произвольного набора данных, да и зачем заниматься столь муторной работой, когда можно построить график функции онлайн. Кроме того, подсчитать миллионы значений выражения для правильного отображения практически нереально и сложно, да и несмотря на все усилия получится ломаная линия, а не кривая. Потому компьютер в данном случае – незаменимый помощник.

Что такое график функций

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, например, выражение y = 2x + 1 устанавливает связь между множествами всех значений x и всех значений y, следовательно, это функция. Соответственно, графиком функции будет называться множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному выражению.

На рисунке мы видим график функции y = x . Это прямая и у каждой ее точки есть свои координаты на оси X и на оси Y . Исходя из определения, если мы подставим координату X некоторой точки в данное уравнение, то получим координату этой точки на оси Y .

Сервисы для построения графиков функций онлайн

Рассмотрим несколько популярных и лучших по сервисов, позволяющих быстро начертить график функции.

Открывает список самый обычный сервис, позволяющий построить график функции по уравнению онлайн. Umath содержит только необходимые инструменты, такие как масштабирование, передвижение по координатной плоскости и просмотр координаты точки на которую указывает мышь.

Инструкция:

1. Введите ваше уравнение в поле после знака «=».
2. Нажмите кнопку «Построить график» .

Как видите все предельно просто и доступно, синтаксис написания сложных математических функций: с модулем, тригонометрических, показательных — приведен прямо под графиком. Также при необходимости можно задать уравнение параметрическим методом или строить графики в полярной системе координат.

В Yotx есть все функции предыдущего сервиса, но при этом он содержит такие интересные нововведения как создание интервала отображения функции, возможность строить график по табличным данным, а также выводить таблицу с целыми решениями.

Инструкция:

1. Выберите необходимый способ задания графика.
2. Введите уравнение.
3. Задайте интервал.
4. Нажмите кнопку «Построить» .

Для тех, кому лень разбираться, как записать те или иные функции, на этой позиции представлен сервис с возможностью выбирать из списка нужную одним кликом мыши.

Инструкция:

1. Найдите в списке необходимую вам функцию.
2. Щелкните на нее левой кнопкой мыши
3. При необходимости введите коэффициенты в поле «Функция:» .
4. Нажмите кнопку «Построить» .

В плане визуализации есть возможность менять цвет графика, а также скрывать его или вовсе удалять.

Desmos безусловно – самый навороченный сервис для построения уравнений онлайн. Передвигая курсор с зажатой левой клавишей мыши по графику можно подробно посмотреть все решения уравнения с точностью до 0,001. Встроенная клавиатура позволяет быстро писать степени и дроби. Самым важным плюсом является возможность записывать уравнение в любом состоянии, не приводя к виду: y = f(x).

Инструкция:

1. В левом столбце кликните правой кнопкой мыши по свободной строке.
2. В нижнем левом углу нажмите на значок клавиатуры.
3. На появившейся панели наберите нужное уравнение (для написания названий функций перейдите в раздел «A B C»).
4. График строится в реальном времени.

Визуализация просто идеальная, адаптивная, видно, что над приложением работали дизайнеры. Из плюсов можно отметить огромное обилие возможностей, для освоения которых можно посмотреть примеры в меню в верхнем левом углу.

Сайтов для построения графиков функций великое множество, однако каждый волен выбирать для себя исходя из требуемого функционала и личных предпочтений. Список лучших был сформирован так, чтобы удовлетворить требования любого математика от мала до велика. Успехов вам в постижении «царицы наук»!

Рекомендуем также

Функция у = х в квадрате (Y =X2), 7 класс, урок по алгебре

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Функция – это зависимость одной переменной от другой.

График функции – графическое изображение функции.

Свойства функции

• Область определения функции – все значения, которые может принимать независимая переменная.
• Область значений функции – все значения, которые может принимать зависимая переменная.
• Нули функции – значение независимой переменной, при которой зависимая переменная равна 0. 2$

  Внимательно посмотрим на формулу y = x² и попытаемся описать словами примерный вид будущего графика.

  1. Так как y ≥ 0, то весь график не может располагаться ниже оси OX.

  2. График симметричен относительно оси OY. Нам достаточно построить график для положительных значений x, а затем зеркально отразить его для отрицательных значений x.

  Найдем несколько значений y:

  Построим эти точки (см. рис. 1).

  Если мы попробуем соединить их пунктирной линией, как показано на рис. 1 , то некоторые значения функции не попадут на эти линии, например, точки A (x = 0,5; y = 0,25) и B (x=2,5; y=6,25). Даже если мы построим очень много точек и соединим их маленькими прямыми отрезками, всегда найдутся значения y, не попадающие на эти отрезки. Поэтому точки надо соединять плавной кривой линией (см. рис. 2).

  
  

  Теперь осталось зеркально отразить график для отрицательных значений x (см. рис. 3). Такая кривая называется параболой. Точка О (0;0) называется вершиной параболы. Симметричные кривые называются ветвями параболы.

  
  

  Примеры

  I. Дизайнеру надо покрасить часть стены дома в форме квадрата со сторонами 2,7 метра. Специальная краска для стен продается в фасовке из расчета одна банка на 1 м². Не проводя вычисления, выясни, сколько банок краски надо купить, что бы после окрашивания не осталось лишних не распечатанных банок.

  Решение:
  1. Построим параболу.
  2. Найдем на параболе точку А, у которой координата x=2,7 (см. рис. 4).
  3. Мы видим, что в этой точке значение функции больше 7, но меньше 8. Значит, дизайнеру потребуется минимум 8 банок краски.

  II. Построить график функции у= (х + 1)².

  Найдем несколько значений y.

  Построим эти точки и прямую x= -1, параллельную оси OY. Очевидно, что построенные точки симметричны относительно этой прямой. В результате у нас получится такая же парабола, только смещенная влево по оси OX (см. рис.5).
  

  Функции y=x2 и y=x3 и их графики

  Вопросы занятия:

  ·  рассмотреть функцию y = x², её свойства и график;

  ·  рассмотреть функцию y = х³, её свойства и график.

  Материал урока

  На одном из предыдущих уроков мы с вами познакомились с линейной функцией, которую можно задать формулой вида:

  Также вспомним, что графиком линейной функции является прямая.

  На этом уроке мы рассмотрим  функции:

  А точнее, мы научимся строить графики этих функций и выясним некоторые их свойства.

  Начнём с того, что выразим формулой зависимость площади квадрата от длины его стороны.

  Таким образом, зависимость площади квадрата от его стороны является примером функции.

  Давайте построим график этой функции.

  Составим таблицу значений x, y.

  Далее полученные точки изобразим на координатной плоскости и проведём через них плавную линию.

  Обратите внимание, что этот график неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси игрек.

  Теперь выясним некоторые свойства функции y = x².

  Из последнего свойства графика следует, что точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси игрек.

  Теперь давайте выразим формулой зависимость объёма куба от длины его ребра.

   Если мы будем менять длину ребра, то и его объём будет меняться.

  Зависимость объёма куба от длины его ребра является примером функции.

  Построим график этой функции. Для этого придадим несколько значений аргументу икс и вычислим соответствующие значения функции.

  Изобразим точки с полученными координатами на координатной плоскости и проведём через них плавную линию.

  Обратите внимание, что этот график можно неограниченно продолжать справа от оси игрек вверх и слева от оси игрек вниз.

  Поговорим о свойствах функции игрек равняется икс в кубе.

  Следовательно, точки графика, которые имеют противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат.

  В повседневной жизни представление о параболе дают нам, например, траектории прыжков животных, радуга. Тросы висячего моста напоминают нам параболы.

  Также параболу часто можно встретить в архитектуре.

  Программа передач телеканала Беларусь 2

  Вторник 21 декабря

  06:00 «Включайся!» Утреннее шоу (12+)

  09:00 Телебарометр

  09:05 «Семейные истории». Докудрама (16+)

  10:10 «Экстрасенсы-детективы». Реалити-шоу (16+)

  11:15 Детективный сериал «Братья по крови 2» (16+)

  13:15 Камень, ножницы, бумага (16+)

  13:50 Мелодраматический сериал «Женский доктор 4» (16+)

  14:55 «Богиня шопинга. Экстремальный сезон». Реалити-шоу (16+)

  15:55 Ничего себе ньюз (12+)

  16:00 «ПИН_КОД». Интерактивный молодежный проект (12+)

  16:55 «Башня». Интеллектуально-развлекательное шоу (12+)

  17:45 Телебарометр

  17:50 Премьера. «Орел и Решка. 10 лет». Тревел-шоу (16+)

  18:55 «Клон». Мелодраматический сериал (16+)

  19:55 Сериал «Слепая» (16+)

  21:10 Спортлото 6 из 49, КЕНО

  21:15 Мелодраматический сериал «Женский доктор 4» (16+)

  22:15 Детективный сериал «Братья по крови 2» (16+)

  00:20 «Экстрасенсы-детективы». Реалити-шоу (16+)

  Внеклассный урок — Функции y = ax2 + n, y = a(x – m)2, y = a(x – m)2 + n. Функция y = ax2 + n. Функция y = a(x – m)2. График функций y = ax2 + n и y = a(x – m)2. Ф

  Функции  y = ax² + n,  y = a(x – m)²,  y = a(x – m)² + n

   

  График функции  y = ax² + n.

  Графиком функции y = ax2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0, или на –n единиц вниз, если n < 0.

   Пояснение.

  Например, надо построить график функции y = 2x² + 4.
  Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x², перемещается на четыре единицы вверх по оси y. Разумеется, при этом все значения y закономерно увеличиваются на 4.

  Вот таблица значений функции y = 2x²:

  x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
  y	32	18	8	2	0	2	8	18	32

   А вот таблица значений y = 2x² + 4:

  x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
  y	36	22	12	6	4	6	12	22	36

   Мы видим по таблице, что вершина параболы второй функции на 4 единицы выше вершины  параболы первой (ее координаты 0;4). А значения y второй функции на 4 больше значений y первой функции.

   

  График функции  y = a(x – m)².

  Графиком функции y = a(x – m)2 является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси x на m единиц вправо, если m>0, или на –m, если m<0.

   Пояснение.

  Например, надо построить график функции y = 2(x – 6)².
  Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x², перемещается на шесть единиц вправо вдоль оси x (на графике – красная парабола).

   
   

  График функции y = a(x – m)² + n.

  Две функции приводят нас к третьей функции: y = a(x – m)² + n.

  Графиком функции y = a(x – m)2 + n является парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на m единиц вправо или влево и сдвига вдоль оси y на n единиц вверх или вниз.

   Пояснение:

  Например, надо построить график функции y = 2(x – 6)² + 2.
  Это значит, что парабола, которая является графиком функции y = 2x², перемещается на 6 единиц вправо (значение m) и на 2 единицы вверх (значение n). Красная парабола на графике – результат этих перемещений.

   
   
   

  2 + k , где (h, k) = вершина и ось симметрии x = h .

  Уравнение y = (x — 7) (x + 3).

  Записываем уравнение в виде y = x ² — 4x — 21.

  Вышеприведенное уравнение представляет собой параболу.

  Запишите уравнение в стандартной форме уравнения параболы.

  Чтобы преобразовать выражение [x ² — 4x — 21] в трехчлен полного квадрата , сложите и вычтите (половина коэффициента x ) ²

  Здесь x коэффициент = — 4.2 + k , где (h, k) = вершина и ось симметрии x = h .

  Вершина (h, k) = (2, — 25) и ось симметрии x = 2.

  Составьте таблицу значений, чтобы найти упорядоченные пары, удовлетворяющие уравнению.

  Выберите значения для x и найдите соответствующие значения для y .

  х	y = (x — 2) 2 -25	(х, у)
  — 4	y = (- 4-2) 2 -25 = (- 6) 2 -25 = 36-25 = 11	(- 4, 11)
  — 3	y = (- 3 — 2) 2 — 25 = (- 5) 2 — 25 = 25 — 25 = 0	(- 3, 0)
  — 2	y = (- 2 — 2) 2 — 25 = (- 4) 2 — 25 = 16 — 25 = — 9	(- 2, — 9)
  — 1	y = (- 1-2) 2 -25 = (- 3) 2 -25 = 9-25 = — 16	(- 1, — 16)
  0	y = (0 — 2) 2 — 25 = (- 2) 2 — 25 = 4 — 25 = — 21	(0, — 21)
  2	y = (2 — 2) 2 — 25 = (0) 2 — 25 = — 25	(2, — 25)
  4	y = (4-2) 2 -25 = (2) 2 -25 = 4-25 = — 21	(4, — 21)
  6	y = (6-2) 2 -25 = (4) 2 -25 = 16-25 = — 9	(6, — 9)
  8	y = (8-2) 2 -25 = (6) 2 -25 = 36-25 = 11	(8, 11)

  Графическое отображение линейных неравенств

  Это график линейного неравенства:

  
  Неравенство y ≤ x + 2

  Вы можете увидеть линию y = x + 2, а заштрихованная область — это место, где y меньше или равно x + 2

  Линейное неравенство

  Линейное неравенство похоже на линейное уравнение (например, y = 2x + 1 ). ..

  … но у него будет неравенство типа <,>, ≤ или ≥ вместо = .

  Как построить график линейного неравенства

  Сначала нарисуйте линию «равно», затем заштрихуйте нужную область.

  Есть три шага:

  • Измените уравнение так, чтобы «y» находилось слева, а все остальное — справа.
  • Постройте линию « y = » (сделайте ее сплошной линией для y≤ или y≥ и пунктирной линией для y < или y> )
  • Затенение над линией для «больше чем» ( y> или y≥ )
    или ниже линии для «меньше чем» ( y < или y≤ ).

  Попробуем примеры:

  Пример: y≤2x-1

  1. Неравенство уже имеет «y» слева и все остальное справа, поэтому нет необходимости переставлять

  2. График y = 2x-1 (сплошная линия, потому что y≤ включает , равное )

  3. Заштрихуйте область ниже (поскольку y на меньше или равно)

  Пример: 2y — x ≤ 6

  1. Нам нужно будет переставить это так, чтобы «y» находилось слева само по себе:

  Начать с: 2y — x ≤ 6

  Добавьте x к обеим сторонам: 2y ≤ x + 6

  Разделить все на 2: y ≤ x / 2 + 3

  2. Теперь постройте y = x / 2 + 3 (сплошная линия, потому что y≤ включает , равное )

  3. Заштрихуйте область ниже (поскольку y на меньше или равно)

  Пример: y / 2 + 2> x

  1.Нам нужно будет переставить это так, чтобы «y» находилось слева само по себе:

  Начать с: y / 2 + 2> x

  Вычтем 2 с обеих сторон: y / 2> x — 2

  Умножить все на 2: y> 2x — 4

  2. Теперь постройте y = 2x — 4 (пунктирная линия, потому что y> не включает равно)

  3. Закрасьте область выше (поскольку y на больше )

  Пунктирная линия показывает, что неравенство не включает линию y = 2x-4 .

  Два особых случая

  У вас также может быть горизонтальная или вертикальная линия:

  Здесь показано, где y меньше 4 (от линии y = 4 вниз, но не включая ее) Обратите внимание, что у нас есть пунктирная линия, чтобы показать, что она не включает где y = 4	В этом даже нет y! Он имеет линию x = 1 и закрашен для всех значений x, превышающих (или равных) 1

  Графические функции абсолютных значений | Purplemath

  Purplemath

  Принятие абсолютного значения отрицательного числа делает его положительным. По этой причине графики функций абсолютных значений имеют тенденцию не совсем походить на графики линейных функций, которые вы уже изучили. Однако из-за того, как ведут себя абсолютные значения, важно включать отрицательные входные данные в вашу T-диаграмму при построении графиков функций абсолютных значений. Если вы не выберете значения x , которые поместят отрицательные значения внутри абсолютного значения, вы обычно будете вводить себя в заблуждение относительно того, как выглядит график.

  Например, предположим, что ваш класс проходит следующую викторину:

  MathHelp.com

  Один из других учеников делает то, что обычно делает: он выбирает только положительные значения x для своей Т-диаграммы:

  Затем он набирает свои очки:

  Эти точки хороши, насколько они позволяют, но их недостаточно; они не дают точного представления о том, как должен выглядеть график. В частности, они не содержат никаких «минусовых» входов, поэтому легко забыть, что эти столбцы абсолютных значений что-то означают . В результате ученик забывает учесть эти столбцы и рисует ошибочный график:

  НЕПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ!

  Аааааи … он просто завалил викторину.

  Но вы поосторожнее.Вы помните, что графики абсолютных значений включают абсолютные значения, и что абсолютные значения влияют на «минусовые» входные данные. Итак, вы выбираете значения x , которые ставят «минус» внутри абсолютного значения, и выбираете еще несколько точек. Ваш T-график выглядит примерно так:

  Затем вы наносите свои очки:

  . .. и, наконец, вы соединяете точки:

  У вас есть правильный график:

  Правильный ответ!

  Ааааанд… вы только что успешно прошли викторину. Хорошая работа!

  ---

  Хотя графики абсолютных значений имеют тенденцию выглядеть так, как показано выше, с «локтем» посередине, это не всегда так. Однако, если вы видите график с таким изгибом, вы должны ожидать, что уравнение графика, вероятно, включает в себя абсолютное значение. Во всех случаях вам следует позаботиться о том, чтобы выбрать хороший диапазон значений x , потому что три соседних значения x почти наверняка не дадут вам достаточно информации, чтобы нарисовать достоверное изображение.

  Примечание. Полосы абсолютных значений позволяют оценивать введенные значения как всегда неотрицательные (то есть положительные или нулевые). В результате «V» на приведенном выше графике возникла там, где знак внутри был равен нулю. Когда x было меньше –2, выражение x + 2 было меньше нуля, и столбцы абсолютных значений перевернули эти «минусовые» значения из-под оси x наверх. Когда x равняется –2, аргумент (то есть выражение внутри столбцов) равен нулю.Для всех значений x справа от –2 аргумент был положительным, поэтому столбцы абсолютных значений ничего не меняли.

  Другими словами, графически столбцы абсолютных значений занимают этот график:

  … и перевернул «минус» (зеленый на графике) снизу оси x наверх. Замечание, где аргумент столбцов абсолютного значения будет равен нулю, может быть полезным для проверки правильности построения графика.

  ---

  Эта функция почти такая же, как и предыдущая.

  Однако аргумент предыдущего выражения абсолютного значения был x + 2. В этом случае только x находится внутри столбцов абсолютного значения. Этот аргумент будет равен нулю, когда x = 0, поэтому я должен ожидать увидеть локоть в этой области. Кроме того, поскольку «плюс два» находится за пределами столбцов абсолютных значений, я ожидаю, что мой график будет выглядеть как обычный график абсолютных значений (представляющий собой букву «V» с изгибом в начале координат), но смещенный вверх на две единицы. .

  Сначала я заполню свою Т-диаграмму, выбирая по ходу некоторые отрицательные значения x :

  Затем нарисую точки и заполню график:

  ---

  Партнер

  ---

  Поскольку столбцы абсолютных значений всегда показывают неотрицательные значения, может возникнуть соблазн предположить, что графики абсолютных значений не могут опускаться ниже оси x . Но могут:

  • График

    y = — | x + 2 |

  Эта функция является своего рода противоположностью первой функции (выше), потому что в выражении абсолютного значения в правой части уравнения стоит «минус». Из-за этого «минуса» все положительные значения, представленные столбцами абсолютных значений, будут переключены на отрицательные значения.Другими словами, я должен ожидать, что этот график будет иметь изгиб в точке (–2, 0), как и первый график выше, но остальная часть графика будет перевернута вверх дном, чтобы оказаться ниже оси x .

  Сначала я заполню свою Т-диаграмму:

  Потом делаю свой график:

  ---

  Также не предполагайте, что какой-либо график абсолютных значений всегда будет находиться только на одной стороне оси x . Графики могут пересекаться:

  • График

    y = — | x | + 2

  Моя Т-диаграмма:

  … и мой график:

  ---

  URL: https: // www.purplemath.com/modules/graphabs.htm

  Графические линейные уравнения с двумя переменными — Элементарная алгебра

  Цели обучения

  К концу этого раздела вы сможете:

  • Определите взаимосвязь между решениями уравнения и его графика.
  • Постройте линейное уравнение, нанеся точки.
  • График вертикальных и горизонтальных линий.

  Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

  1. Оценить, когда.
     Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  2. Решить в общем.
     Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

  Распознать взаимосвязь между решениями уравнения и его графика

  В предыдущем разделе мы нашли несколько решений уравнения. Они перечислены на (Рисунок). Итак, упорядоченные пары, и являются некоторыми решениями уравнения.Мы можем построить эти решения в прямоугольной системе координат, как показано на (Рисунок).

  Обратите внимание, как точки идеально совпадают? Соединяем точки линией, чтобы получился график уравнения. См. (Рисунок). Обратите внимание на стрелки на концах каждой стороны линии. Эти стрелки указывают на продолжение линии.

  Каждая точка на линии является решением уравнения. Кроме того, каждое решение этого уравнения представляет собой точку на этой прямой. Пункты , а не на линии, не являются решениями.

  Обратите внимание, что точка с координатами находится на линии, показанной на (Рисунок). Если вы подставите и в уравнение, вы обнаружите, что это решение уравнения.

  Итак, дело в решении уравнения. (Фраза «точка с координатами» часто сокращается до «точка».)

  Значит, это не решение уравнения. Следовательно, дело не в контуре. См. (Рисунок). Это пример поговорки: «Картинка стоит тысячи слов.Линия показывает вам всех решений уравнения. Каждая точка на линии — это решение уравнения. И каждое решение этого уравнения находится на этой линии. Эта линия называется графиком уравнения.

  График линейного уравнения

  График линейного уравнения представляет собой линию.

  • Каждая точка на линии является решением уравнения.
  • Каждое решение этого уравнения представляет собой точку на этой прямой.

  Используйте график, чтобы решить, будет ли каждая упорядоченная пара:

  • решение уравнения.
  • на линии.

  ⓐ ⓑ

  ⓐ да, да ⓑ да, да

  Используйте график, чтобы определить, составляет ли каждая заказанная пара:

  • решение уравнения
  • по линии

  ⓐ ⓑ

  ⓐ нет, нет ⓑ да, да

  Построение линейного уравнения по точкам

  Есть несколько методов, которые можно использовать для построения графика линейного уравнения. Метод, который мы использовали для построения графиков, называется построением точек или методом построения точек.

  Как построить уравнение по точкам

  Постройте уравнение, нанеся точки.

  Постройте уравнение, отмечая точки:.

  Постройте уравнение, отмечая точки:.

  Действия, которые необходимо предпринять при построении линейного уравнения путем нанесения точек, приведены ниже.

  Постройте линейное уравнение путем нанесения точек.

  1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Разложите их в виде таблицы.
  2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают. Если нет, внимательно проверьте свою работу.
  3. Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

  Это правда, что для определения линии нужны только две точки, но использование трех точек — хорошая привычка. Если вы нанесете только две точки, и одна из них неверна, вы все равно можете нарисовать линию, но она не будет представлять решения уравнения.Это будет неправильная линия.

  Если вы используете три точки, а одна неверна, точки не выровняются. Это говорит о том, что что-то не так, и вам нужно проверить свою работу. Посмотрите на разницу между частью (a) и частью (b) на (Рисунок).

  Приведем еще один пример. На этот раз мы покажем последние два шага в одной сетке.

  Изобразите уравнение.

  Решение

  Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Здесь, опять же, проще выбрать значения для.Вы понимаете почему?
  

  Перечислим точки на (Рисунок).
  

  Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.
  

  Постройте уравнение, отмечая точки:.

  Постройте уравнение, отмечая точки:.

  Когда уравнение включает дробь в качестве коэффициента, мы все равно можем подставлять любые числа вместо. Но математика будет проще, если мы сделаем «правильный» выбор значений.Таким образом, мы избежим дробных ответов, которые сложно построить точным графиком.

  Изобразите уравнение.

  Решение

  Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Поскольку в этом уравнении дробь является коэффициентом, мы будем тщательно выбирать значения. Мы будем использовать ноль в качестве одного варианта и кратное 2 для других вариантов. Почему значения, кратные 2, являются хорошим выбором?
  

  Точки показаны на (Рисунок).

  Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.
  

  Изобразите уравнение.

  Изобразите уравнение.

  Пока что все уравнения, которые мы построили, были выражены в терминах. Теперь изобразим уравнение с одной и той же стороной и на одной стороне. Посмотрим, что получится в уравнении. Если в чем ценность?

  Эта точка имеет дробную часть для координаты x , и, хотя мы можем построить график этой точки, трудно быть точным, указав дроби. Помните, что в этом примере мы тщательно выбирали значения для, чтобы вообще не отображать дроби.Если мы решим уравнение для, будет легче найти три решения уравнения.

  Решения для, и показаны на (Рисунок). График представлен на (Рисунок).

  Можете ли вы определить точку, которую мы нашли, спустив на линию?

  Изобразите уравнение.

  Изобразите уравнение.

  Изобразите уравнение.

  Если вы можете выбрать любые три точки для построения линии, как вы узнаете, совпадает ли ваш график с тем, который показан в ответах в книге? Если точки пересечения графиков осей x и y совпадают, графики совпадают!

  Уравнение на (Рисунок) было записано в стандартной форме, с обеими и на одной и той же стороне.Мы решили это уравнение всего за один шаг. Но для других уравнений в стандартной форме это не так просто решить, поэтому мы оставим их в стандартной форме. Мы все еще можем найти первую точку для построения, позволяя и решая для. Мы можем построить вторую точку, позволив, а затем решив для. Затем мы построим третью точку, используя другое значение для или.

  Изобразите уравнение.

  Решение

  Мы перечисляем упорядоченные пары на (Рисунок). Нанесите точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию. См. (Рисунок).

  Изобразите уравнение.

  Изобразите уравнение.

  Вертикальные и горизонтальные линии графика

  Можно ли построить уравнение только с одной переменной? Просто и нет, или просто без? Как мы составим таблицу значений, чтобы получить точки для построения?

  Рассмотрим уравнение. Это уравнение имеет только одну переменную,. Уравнение говорит, что всегда равно , поэтому его значение не зависит от. Независимо от того, что есть, ценность всегда есть.

  Итак, чтобы составить таблицу значений, впишите все значения. Затем выберите любые значения для. Поскольку не зависит от, вы можете выбрать любые номера, которые вам нравятся. Но чтобы соответствовать точкам на нашем координатном графике, мы будем использовать 1, 2 и 3 для координат y . См. (Рисунок).

  Постройте точки из (Рисунок) и соедините их прямой линией. Обратите внимание на (рисунок), что мы построили вертикальную линию .

  Вертикальная линия

  Вертикальная линия — это график уравнения вида.

  Линия проходит через ось x в точке.

  Изобразите уравнение.

  Изобразите уравнение.

  Изобразите уравнение.

  Что делать, если в уравнении есть, но нет? Давайте изобразим уравнение в виде графика. На этот раз значение y — является константой, поэтому в этом уравнении не зависит от. Заполните 4 для всех (рисунок), а затем выберите любые значения для. Мы будем использовать 0, 2 и 4 для координат x .

  График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке 4. См. (Рисунок).

  Горизонтальная линия

  Горизонтальная линия — это график уравнения вида.

  Линия проходит через ось y в точке.

  Постройте уравнение

  Изобразите уравнение.

  Изобразите уравнение.

  Уравнения для вертикальных и горизонтальных линий очень похожи на уравнения типа В чем разница между уравнениями и?

  В уравнении есть и и.Значение зависит от значения. Координата y изменяется в соответствии со значением. Уравнение имеет только одну переменную. Значение постоянно. Координата y всегда равна 4. Она не зависит от значения. См. (Рисунок).

  Обратите внимание: на (Рисунок) уравнение дает наклонную линию, а дает горизонтальную линию.

  График и в той же прямоугольной системе координат.

  Решение

  Обратите внимание, что в первом уравнении есть переменная, а во втором — нет.См. (Рисунок). Два графика показаны на (Рисунок).

  График и в той же прямоугольной системе координат.

  График и в той же прямоугольной системе координат.

  Ключевые понятия

  • Построение линейного уравнения по точкам
    1. Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Разложите их в виде таблицы.
    2. Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают.Если нет, внимательно проверьте свою работу!
    3. Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

  Повседневная математика

  Стоимость дома на колесах. Робинсоны арендовали дом на колесах на неделю, чтобы поехать в отпуск. Аренда дома на колесах стоила им 594 фунта плюс 0,32 фунта за милю, поэтому линейное уравнение дает стоимость проезда в километрах. Рассчитайте стоимость аренды за проезд 400, 800 и 1200 миль, а затем нарисуйте линию.

  ? 722,? 850,? 978
  

  Еженедельный заработок. В художественной галерее, где он работает, Сальвадору платят 200 фунтов в неделю плюс 15% от продаж, которые он совершает, поэтому уравнение дает сумму, которую он зарабатывает на продаже произведений искусства в долларах. Подсчитайте сумму, которую Сальвадор зарабатывает от продажи 900, 1600 и 2000 фунтов стерлингов, а затем изобразите эту линию.

  Письменные упражнения

  Объясните, как выбрать три значения x , чтобы составить таблицу для построения графика линии.

  В чем разница между уравнениями вертикальной и горизонтальной линии?

  Самопроверка

  ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

  ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

  Координатные плоскости и графики, функции

  Прямоугольная система координат пара перпендикулярных координатных линий, называемые координатными осями, которые размещаются Так что они пересекаются в своих истоках.

  Обозначение осей буквами x и y это обычное соглашение, но любые буквы могут использоваться. Если буквы x и y используются для обозначения оси координат, затем получившаяся плоскость называется xy-plane . В приложениях это обычное дело использовать буквы, отличные от x и y, показано в На следующих рисунках, как uv-plane и ts-plane .

  Заказанная пара

  Под упорядоченной парой действительных чисел мы понимаем два действительных числа в заданном порядке.Каждую точку P в координатной плоскости можно связать с уникальной упорядоченной парой действительных чисел, проведя через P две линии, одну перпендикулярную оси x, а другую — оси y.

  Например, если мы возьмем (a, b) = (4,3), то на координатной плоскости

  Построить точку P (a, b) означает разместить точку с координатами (a, b) в координатной плоскости. . Например, нанесены разные точки.

  В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами.Они пронумерованы против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

  .

  Определение графа

  График уравнения с двумя переменными x и y — это набор точек в плоскости xy, координаты которых являются членами набора решений этого уравнения

  Пример: начертите график y = x ²

  Это аппроксимация графика y = x ² . В общем, только с техникой

  из расчета, что истинная форма графика может быть установлена.

  Пример: начертите график y = 1 / x

  Поскольку 1 / x не определено, когда x = 0, мы можем построить только точки, для которых x ≠ 0

  Пример: найти все точки пересечения
  (a) 3x + 2y = 6
  (b) x = y ² -2y
  (c) y = 1 / x

  Решение:

  3x + 2y = 6 x-точек пересечения

  Установить y = 0 и найти x 3x = 6 или x = 2

  — это требуемая точка пересечения по оси x.

  — это требуемая точка пересечения по оси Y.

  Аналогичным образом вы можете решить часть (b), часть (c) решена здесь

  у = 1 / х

  x-перехватчики

  Установить y = 0

  1 / x = 0 => x не определено. Тогда никаких пересечений по оси Y

  Установить x = 0

  y = 1/0 => y не определено => точка пересечения y отсутствует

  На следующем рисунке точки (x, y), (-x, y), (x, -y) и (-x, -y) образуют углы прямоугольника.

  • симметрично относительно оси x, если для каждой точки (x, y) на графике точка (x, -y) также находится на графике.

  • симметрично относительно оси y, если для каждой точки (x, y) на графике точка (-x, y) также находится на графике.

  • симметрично относительно начала координат, если для каждой точки (x, y) на графике точка (-x, -y) также находится на графике.

  Определение:

  График в плоскости xy функции f определяется как график уравнения y = f (x)

  Пример: 1

  Нарисуйте график f (x) = x + 2

  у = х + 2

  график f (x) = x + 2

  Пример: 2 Нарисуйте график функции f (x) = | x |

  y = | x |

  х	y = x 2	(х, у)
  0	0	(0,0)
  1	1	(1,1)
  2	4	(2,4)
  3	9	(3,9)
  –1	1	(-1,1)
  -2	4	(-2,4)
  -3	9	(-3,9)
  Х	у = 1 / х	(х, у)
  1/3	3	(1 / 3,3)
  1/2	2	(1 / 2,2)
  1	1	(1, 1)
  2	1/2	(2,1 / 2)
  3	1/3	(3,1 / 3)
  -1/3	-3	(-1/3, -3)
  -1/2	-2	(-1/2, -2)
  –1	–1	(-1, -1)
  -2	-1/2	(-2, -1/2)
  -3	-1/3	(-3, -1 / 3)

  | x | знак равно

  x, если x ≥ 0, т. е.е. x неотрицателен -x, если x

  График совпадает с линией y = x для x > 0 и с линией y = -x

  для x <0.

  график f (x) = -x

  Объединяя эти два графика, получаем

  график f (x) = | x |

  Пример: 4 Нарисуйте график

  t (x) = (x ² — 4) / (x — 2) =

  = ((х — 2) (х + 2) / (х — 2)) =

  = (х + 2) х ≠ 2

  Следовательно, эту функцию можно записать как

  y = x + 2 x ≠ 2

  График h (x) = x ² -4 Или x — 2

  график y = x + 2 x ≠ 2

  Пример: 4 Нарисуйте график

  г (х) =

  1, если x ≤ 2 x + 2, если x> 2

  Графические функции переводчиками

  — Предположим, что график f (x) известен

  — Тогда мы можем найти графики

  у = е (х) + с

  у = е (х) — с

  y = f (x + c)

  y = f (x — c)

  y = f (x) + c график f (x) переводит

  UP по c единиц

  y = f (x) — c график f (x) переводит

  ВНИЗ по c единиц

  y = f (x + c) график f (x) переводит

  СЛЕВА по c единиц

  y = f (x — c) график f (x) переводит

  СПРАВА по c единиц

  Пример: 5 Нарисуйте

  график y = f (x) = | x — 3 | + 2

  Перевести график y = | x | 3 единицы ВПРАВО, чтобы получить график

  y = | x-3 |

  Перевести график y = | x — 3 | 2 единицы к UP, чтобы получить график y = | x — 3 | + 2

  Пример: 8

  Нарисуйте график

  y = x ² — 4x + 5

  — завершить квадрат

  y + 4 = (x ² — 4x + 5) + 4 y = (x ² — 4x + 4) + 5 — 4

  у = (х — 2) ² + 1

  В этой форме мы видим, что график может быть получен путем перевода графика y = x ² вправо на 2 единицы из-за x — 2 и вверх на 1 из-за +1.

  y = x ² — 4x + 5

  Отражения

  (-x, y) — отражение (x, y) относительно оси y

  (x, -y) — отражение (x, y) относительно оси x

  Графики y = f (x) и y = f (-x) являются отражениями друг друга относительно оси y

  Графики y = f (x) и y = -f (x) являются отражениями друг друга относительно оси x

  График можно получить путем отражения и перевода:

  — Нарисуйте график

  — Отразите его вокруг оси Y, чтобы получить график

  .

  — Переведите этот график вправо на 2 единицы, чтобы получить график

  Вот график

  Если f (x) умножить на положительную константу c

  График f (x) сжимается по вертикали, если 0

  График f (x) растягивается по вертикали, если c> 1

  Кривая не является графиком y = f (x) для любой функции f

  Перемещение графика

  Перемещение графика

  Переместите график, напишите уравнение

  А. Переместить график на 2 единицы вверх

  Переместите исходный график y = x до 2 шт. Результирующий график y = x + 2.

  Переместите исходный график y = Abs (x) до 2 шт. Результирующий график y = Abs (x) +2.

  Переместите исходный график y = x 2 до 2 шт.Результирующий график y = х 2 +2

  Переместите исходный график y = sin (x) до 2 шт. Результирующий график y = 2 + sin (x).

  Переместите исходный график y = x 3 до 2 шт. Результирующий график y = х 3 +2.

  Переместить исходный график круга х 2 + у 2 = 4 на 2 единицы. Полученный график представляет собой круг x 2 + (у-2) 2 = 4.

  Переместить исходный график эллипса x 2 /9 + y 2 /4 = от 1 до 2 единиц. Результирующий график — это эллипс x 2 /9 + (y-2) 2 /4 = 1

  Переместите исходный график гиперболы x 2 /9 — y 2 /4 = от 1 до 2 единиц. Результирующий график — это гипербола х 2 /9 — (у-2) 2 /4 = 1

  Переместите исходный график экспоненты функция y = 2 x до 2 единиц.Результирующий график представляет собой экспоненциальную функцию у = 2 х + 2.

  Сдвинуть график вправо 2 ед . :

  Переместить оригинал график г = x вправо на 2 единицы.Результирующий график: y = x- 2 .

  Переместить оригинал график г = lxl вправо 2 шт. Результирующий график: y = lx-2l.

  Переместить оригинал график г = x 2 вправо на 2 единицы.Результирующий график у = (х — 2) 2 .

  Переместить оригинал график г = sin (x) вправо на 2 единицы. Результирующий график г = грех (х-2).

  Переместить оригинал график г = x 3 вправо на 2 единицы. Результирующий график: y = (x ‘2) 3 .

  Переместить оригинал график круга x 2 + y 2 = 9 до правые 2 шт. Полученный график представляет собой окружность (x — 2) 2 + y 2 = 9 .

  Переместить оригинал график эллипса x 2 /9 + y 2 /4 = 1 вправо 2 шт. Результирующий график — эллипс (x-2) 2 /9 + y 2 /4 = 1

  Переместить оригинал график гиперболы x 2 / 9 — y 2 /4 = 1 вправо 2 шт. Результирующий граф — гипербола (х — 2) 2 /9 — y 2 / 4 = 1

  Переместить оригинал график экспоненциальной функции y = 2 x вправо 3 шт.Полученный график представляет собой экспоненциальную функцию . г = 2 (x- 3 ) .

  Назад к Паттерны математики
  Для загрузки Материалы Дона
  Mathman home

  Как отразить график по оси X

  Отражение по оси X

  Прежде чем мы перейдем к отражениям по оси Y, убедитесь, что вы освежили свою память о том, как выполнять простые вертикальные и горизонтальные переводы.

  Как отражать по оси X:

  Одно из самых простых преобразований, которое можно выполнить с помощью простых функций, — это его отражение по оси x или другой горизонтальной оси. В потенциальном тестовом вопросе это можно сформулировать по-разному, поэтому убедитесь, что вы понимаете следующие термины как еще один способ сказать «выполнить отражение по оси x»:

  1) График y = −f (x) y = -f (x) y = −f (x)

  2) График −f (x) -f (x) −f (x)

  3) Отражение по оси xxx

  Для этого процесс чрезвычайно прост: для любой функции, какой бы сложной она ни была, просто выберите легко определяемые координаты, разделите координату y на (-1), а затем заново постройте график. эти координаты.Вот и все!

  Лучший способ попрактиковаться в рисовании отражений по оси Y — это выполнить пример задачи:

  Пример:

  Учитывая график y = f (x) y = f (x) y = f (x), как показано, набросок y = −f (x) y = -f (x) y = −f (x).

  Помните, единственный шаг, который мы должны сделать перед построением графика отражения −f (x) -f (x) −f (x), — это просто разделить y-координаты легко определяемых точек на нашем графике выше на (- 1). Когда мы говорим «легко определяемые точки», это означает просто точки, для которых вы знаете значения x и y , точно .Не выбирайте точки, в которых вам нужно оценить значения, так как это излишне усложняет задачу. Ниже приведены несколько изображений, которые помогут вам наглядно представить, как решить эту проблему.

  Шаг 1. Знайте, что мы отражаемся поперек оси x

  Поскольку нас попросили построить отражение –f (x) f (x) f (x), очень важно, чтобы вы поняли, что это означает, что нас просят построить отражение по оси x. При рисовании отражений по осям xxx и yyy очень легко запутаться в некоторых обозначениях.Поэтому перед решением любой проблемы с отражением убедитесь, что вы знаете, что вас просят сделать.

  Шаг 2: Определите точки, которые легко определить

  Помните, выберите несколько точек (обычно достаточно 3), которые легко выделить, что означает, что вы точно знаете, каковы значения x и y. В этом случае давайте выберем (-2, -3), (-1, 0) и (0,3).

  Выберите три точки и график

  Шаг 3. Разделите эти точки на (-1)

  Хотя значения xxx остаются прежними, все, что нам нужно сделать, это разделить значения yyy на (-1)!

  Разделите значения y на -1

  Шаг 4: Нанесите новые точки

  Постройте новые точки после деления значений y на -1

  И все! Все просто, правда?

  Что такое ось симметрии:

  В некоторых случаях вам будет предложено выполнить горизонтальные отражения поперек оси симметрии, которая не является осью x.Но прежде чем мы перейдем к решению этой проблемы, важно знать, что мы подразумеваем под «осью симметрии». Ось симметрии — это просто горизонтальная линия, по которой мы выполняем отражение. Это может быть ось x или любая горизонтальная линия с уравнением yyy = constant, например yyy = 2, yyy = -16 и т. Д.

  Как найти ось симметрии:

  Нахождение оси симметрии, как и построение самих отражений, также является простым процессом. В этом случае все, что нам нужно сделать, это выбрать ту же точку как на функции, так и на ее отражении, посчитать расстояние между ними, разделить его на 2 и посчитать это расстояние от одного из графиков. Это потому, что, по его определению, ось симметрии , точно в середине функции и ее отражения.

  Лучший способ попрактиковаться в нахождении оси симметрии — это решить задачу-пример.

  Пример:

  Найдите ось симметрии для двух функций, показанных на изображениях ниже.

  График A для отражения через ось x График B для отражения через ось x

  Опять же, все, что нам нужно сделать для решения этой проблемы, — это выбрать одну и ту же точку в обеих функциях, посчитать расстояние между ними, разделить на 2 и затем добавить это расстояние к одной из наших функций.Давайте выберем исходную точку для этих функций, так как с ней легче всего работать.

  Расстояние до одной и той же точки в двух функциях

  Теперь, посчитав расстояние между этими двумя точками, вы должны получить ответ 2 единицы. Последний шаг — разделить это значение на 2, что даст нам 1. Теперь мы знаем, что наша ось симметрии находится точно на на одну единицу, на ниже начала координат верхней функции или выше начала координат нижней функции.