Грани пирамиды. Вершина пирамиды. Ребра пирамиды равны.

Пирамида — это многогранник —  трехмерная геометрическая форма с плоскими гранями и прямыми ребрами. Что отличает пирамиду от других типов многогранников, так это то, что основание пирамиды является многоугольником, а все остальные грани являются треугольниками. Как видно из рисунка ниже, каждая сторона основания образует одну сторону треугольника, соединяющего основание пирамиды с ее вершиной.

 Грани имеют одну общую вершину — вершину пирамиды — и их число будет равно числу сторон, образующих основание. Пирамида с основанием, имеющим \(n\) сторон, будет иметь \(N+1\) граней т. е. один базовый многоугольник и \(N\) треугольных сторон. Многоугольник также будет иметь \(2n\) ребер и \(N + 1\) вершин. Обратите внимание, что существует особый тип пирамиды, называемый тетраэдром, для которого основание также является треугольником. Тетраэдры обладают определенными особыми свойствами, о которых мы поговорим в другой статье. В этой статье мы обсудим свойства пирамиды.

 

Немного истории о пирамидах

Пирамиды в Гизе, недалеко от Каира, Египет

Различные цивилизации по всему миру за последние три тысячи лет построили пирамидальные структуры. Вероятно, самой известной и, безусловно, одной из самых больших является большая Пирамида в Гизе, на окраине Каира в Египте. Большая Пирамида, также известная как Пирамида Хуфу или Пирамида Хеопса, является самой большой и, вероятно, самой старой из нескольких пирамид на месте Гизы. Считается, что она была построена около четырех с половиной тысяч лет назад как гробница фараона Хуфу. В течение нескольких тысяч лет это было самое большое рукотворное сооружение в мире, и это единственное из оригинальных чудес древнего мира, все еще существующих. Большая Пирамида, как и многие другие египетские пирамиды, имеет квадратное основание и по форме похожа на иллюстрацию выше.

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Теоретический материал — Объемы и площади

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д.

                                                      

                                                 Пирамида                                          Усеченная Пирамида

                            SO – высота пирамиды                                         ОО1 – высота пирамиды

                            SF – апофема пирамиды                                       Ff – апофема пирамиды

              Свойства пирамиды:

          Если все боковые рёбра равны, то:

• вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
• также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

         Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны.

Тетраэдр — правильный многогранник, имеет 4 грани, которые являются правильными треугольниками. Вершин у тетраэдра 4, к каждой верши

Пирамида ℹ️ определение, свойства и признаки многогранника, виды, формулы нахождения площади поверхности, объема, высоты, углов, онлайн-калькулятор

Пирамида — объёмная фигура, обладающая характеристиками, которые позволяют легко рассчитать основные параметры: площадь поверхности граней и занимаемый ей объём пространства. 

Пирамида является одной из основных фигур в геометрии. О её особенностях рассказано в статье.

Определение пирамиды в геометрии

Эта стереометрическая фигура включает в себя часть пространства, отделённую плоскими многоугольниками: произвольным в основании и гранями — треугольниками, содержащими общую вершину и отрезок в виде общей стороны с ним.

Элементы пирамиды

Элементами этой геометрической фигуры являются:

1. Место, куда сходятся все боковые грани фигуры, является вершиной.

2. Многоугольник, от каждой стороны которого отходят треугольные грани, носит название основания. Например, оно может быть шестиугольным.

3. Треугольники, соединяющиеся у вершины, с общей стороной с основанием, носят название боковых граней. У них противоположная вершина совпадает с точкой вершины пирамиды.

4. Высота фигуры представляет собой вертикальный отрезок, ограниченный многоугольником основания и вершиной.

5. На каждом треугольнике боковой стороны можно указать апофему. Она опускается от вершины по грани до ребра основания, будучи к нему перпендикулярной.

6. Боковыми ребрами называют те отрезки, которые соединяют соседние боковые грани.

7. У пирамиды может быть несколько диагональных сечений. Они включают в себя диагональ многоугольника вместе с вершиной пирамиды.

Виды пирамид

Такие фигуры могут относиться к различным видам, в зависимости от типа основания и расположения вершины.

Можно указать следующие разновидности пирамид:

1. Правильной она будет в том случае, если в основании лежит правильный многоугольник. Проекция вершины на многоугольник основания должна приходиться на центр. Тетраэдр рассматривается как одна из разновидностей правильной пирамиды.

2. У прямоугольной фигуры одна из граней находится в плоскости, перпендикулярной многоугольнику, лежащему в основании.

3. Усеченная — это часть фигуры, находящаяся между пересекающей плоскостью и многоугольником основания. Причём эта плоскость должна располагаться горизонтально.

Свойства пирамиды

У этой объёмной геометрической фигуры имеются следующие свойства при условии равенства боковых рёбер:

• круг возможно описать вокруг многоугольника основания;

• угол, под которым наклонены боковые грани, будет таким же.

В том случае, когда треугольные грани имеют одни и те же углы с основанием, возможно сделать вывод о том, что их рёбра одинаковы.

Свойства правильной пирамиды

У такой фигуры можно отметить особые свойства. 

Вот их список:

1. У правильной пирамиды все боковые треугольники одинаковы.

2. Каждая из них является равнобедренным треугольником.

3. Внутрь любой такого типа пирамиды можно вписать сферу. При этом она будет касаться основания и всех граней, имея с каждой из этих сторон по одной общей точке.

4. Снаружи возможна сфера, касающаяся всех вершин.

5. Нетрудно вычислить площадь поверхности такой фигуры. Для этого надо умножить длину периметра многоугольника, находящегося в её основании, на половину длины апофемы.

6. Особым случаем является ситуация, когда у вписанной и описанной сфер центры совпадают. В этом случае можно утверждать, что если сложить все плоские углы у боковых граней, то их сумма будет равна числу «Пи». При этом, для того чтобы узнать величину каждого из них, достаточно эту величину разделить на количество граней.

Формулы объема и площади поверхности пирамиды с примерами расчета



Вычислить объём можно с использованием следующей формулы.

V = (S * h) / 3,

где используются такие обозначения:

Полную площадь поверхности можно вычислить как сумму площадей основания и всех боковых треугольников.




Пример решения задачи

Если стороны основания составляют 3 см, а боковые рёбра — 4 см, то по теореме Пифагора можно определить высоту фигуры. 

Сначала по теореме Пифагора находят длину половины диагонали. Она будет равна корню квадратному из 18 (4,25 см), так как является диагональю квадрата. 



Здесь рассматривается четырехугольная пирамида.

По теореме Пифагора находим высоту. Она будет равна примерно 4,5 см.

Площадь основания составляет 3 * 3 = 9 кв. см. Нужно учесть, что это квадрат со стороной 3 см. Подставив значения в формулу для объёма, получим следующее.

V = (1 / 3) * 9 * 4,5 = 13,5 куб. см.

Для расчёта площади поверхности надо узнать площадь квадратного основания и треугольных боковых сторон. Для этого сначала по теореме Пифагора находят длину апофемы. Она будет равна 4,27 см. 

Каждая боковая сторона имеет площадь 12,81 кв. см, а основание — 9 кв. см. Сложив площади всех граней, получим 60,24 кв. см. Посчитать площадь поверхности можно, рассмотрев развертку фигуры.




Пирамида — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к навигации Перейти к поиску

Пирамида:

• Пирамида (геометрия) — тип многогранников.
• Пирамида (архитектура) — вид архитектурного сооружения в форме пирамиды.
  • Энергетическая пирамида — конструкция пирамидальной формы, предназначенная для аккумулирования (концентрации) гипотетической аномальной (паранормальной) духовной (психической) энергии. Встречается также в культуре нью-эйдж и эзотерике.
• Финансовая пирамида — способ получения дохода за счёт постоянного расширяющегося привлечения денежных средств.
• Пирамидальная схема — способ получения дохода за счёт постоянного привлечения новых участников.
• Пирамида (бильярд) — официальное название игры в русский бильярд.
• Пирамида — элемент художественной, силовой и пластической акробатики, групповое расположение акробатов, которые, поддерживая друг друга, образуют сложные фигуры.
• Пирамидка — головоломка, прототипом которой был кубик Рубика.
• Пирамида изображения — класс иерархических структур данных, созданных для задач машинного зрения.

Схемы и диаграммы

• Пирамида здорового питания — диаграмма, схематическое представление принципа здорового питания.
• Пирамида знаний — условная классификация наработанного поколениями уровня и охвата знаний человечества, которые схематично отображаются в виде уровней этой фигуры.
• Пирамида потребностей — общеупотребительное название иерархической модели потребностей человека, представляющей собой упрощённое изложение идей американского психолога А. Маслоу.

Географические объекты

• Пирамида — русский шахтёрский посёлок на Шпицбергене.
• Пирамиды — село в Бутурлиновском районе Воронежской области.

Художественные произведения

• «Пирамида» — роман британского писателя У. Голдинга.
• «Пирамида» — роман русского писателя Л. М. Леонова.
• «Пирамида» — роман русского писателя Б. Е. Бондаренко.
• «Пирамида» — роман албанского писателя И. Кадаре.
• «Пирамиды» — роман Терри Пратчетта.
• «Пирамида-1» — историко-документальная книга об узбекском уголовном деле, в ходе которого к уголовной ответственности было привлечено практически всё высшее руководство Узбекской ССР.

Телевидение и кино

• Пирамида — порнографический фильм Пьера Вудмана (1996).
• Пирамида — фильм ужасов производства Кинообъединения «Двадцатый век Фокс» (2014).
• ПираМММида — российский фильм режиссёра Эльдара Салаватова. В основу сюжета положена книга Сергея Мавроди «Пирамида» (2011).
• Строительство Великой пирамиды — телевизионный фильм режиссёра Джонатана Стэмпа (2002).

Прочее

• «Пирамида» — фонтан в Нижнем парке Петергофа.
• «Пирамида» — команда КВН из Владикавказа.
• «Пирамида» — один из первых павильонов пейзажной части Екатерининского парка в Царском Селе.
Скрытая категория:

Предложения со словосочетанием ГРАНИ ПИРАМИДЫ

Неточные совпадения

Естественно, приближённые, подгоняемые постоянным присутствием халифа, который желал убедиться в правдивости старинных преданий о несметных сокровищах, спрятанных в пирамиде забытыми фараонами, выбрали для своей попытки точку в центре этой грани. Необычная деталь: по четырём сторонам света ориентированы не грани, а углы пирамиды. С помощью спутниковых снимков стало понятно, что грани некоторых пирамид имели едва заметную выпуклость или вогнутость, подобно огромной параболической антенне. Вот он выглядит как несколько синих тороидов, но через миг на их месте возникает алая пирамида со вспухающими на гранях изумрудными шарами. Гранит и мрамор пошли на облицовку коридоров и камер, а саму пирамиду сложили из нуммулитового известняка, доставшегося нам в наследство от третичного периода (эпоха эоцена). Классические плотно сбитые клавиши в форме усечённых пирамид, чуть вогнутых на верхней грани, — с мягким глубоким ходом, отчётливым откликом на нажатие и тихим приятным звуком, это самое нажатие сопровождающим. Проблема, однако, заключается в том, что мировая экономика может оказаться вовсе не пирамидой, одинаково устойчиво лежащей на любой из своих граней, а куклой-неваляшкой, рано или поздно возвращающейся в исходное положение. Камера расположена в самом сердце пирамиды, она равноудалена от всех её граней и находится почти что в центре между основанием и вершиной. Или забыл ты, что у нас есть сила и инструменты, режущие гранит, как мягкий воск, обращающие в пепел всякое препятствие и поднимающие тяжести, равные весу пирамиды, как копну соломы? Нижняя часть бриллианта также имеет форму пирамиды, боковая поверхность которой покрыта системой трехи четырёхугольных граней, но сильно вытянутой формы. Преломляясь в гранях стеклянной пирамиды, белый разлагается на все цвета спектра. Великие пирамиды имеют треугольные грани, иллюстрируя идею, которую вы обнаружите на многих их памятниках. Придерживая получившиеся квадратики левой рукой, правой возьмите уголок получившегося «капюшона» и, отгибая его от себя, накройте им совмещённые квадраты — у вас получится пирамида с двумя гранями. Люди исцеляются, посетив пирамиды, исполняются заветные мечты паломников и туристов, жизнь начинает играть новыми гранями. Пропорции пирамиды строго рассчитаны по древнейшей формуле: соотношение диаметра и высоты — 1, 62, а грани чётко ориентированы на четыре стороны света. Через несколько шагов слуги халифа, согнувшись, миновали нависший твёрдый опускающийся камень и вошли в большое помещение, которое располагалось в самом сердце пирамиды и находилось на равном расстоянии от всех граней. Заряжание воды от пирамидальных структур производится фокусированием природных (космических) излучений, проходящих через грани или стороны пирамиды, в зону положительной или отрицательной зарядки. Так, может быть, древние строители пирамид неслучайно тащили за тридевять земель именно гранит? С помощью спутниковых снимков удалось выяснить, что грани некоторых пирамид имели едва заметную выпуклость или вогнутость, подобно огромной параболической антенне. Геометрические тела: прямоугольный параллелепипед, цилиндр, конус, пирамида. Грани, вершины, рёбра. Треугольник выглядел как пирамида, и энергия, вращаясь по его граням с приличной скоростью, образовывала шар. По внешнему виду коронка напоминает усечённую пирамиду, боковая поверхность которой имеет трёх — и четырёхугольные грани. Всесторонний «герой» — вершина пирамиды, основанием которой служит вся «натура человека», а не одна грань этой натуры, одна какая-либо страсть. Если грани египетских пирамид чётко сориентированы по сторонам света, а сфинкс встречает взглядом восходящее на востоке солнце, то как же остальные пирамиды? Позже, когда ступени пирамиды приобрели окончательную форму, а грани стали ровными и гладкими, получила распространение другая идея. — Пирамида это многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. С этой точки зрения идеальным является алмаз, кристалл которого имеет форму тетраэдра — пирамиды, все четыре грани которой представляют собой равносторонние треугольники. Над опустевшим полем боя теперь поднималась лишь исполинская зелёная пирамида из висящих каждый сам по себе смарагдовых кристаллов; на до блеска отполированных гранях длилась причудливая пляска изумрудных огней. Шарообразные кусты были обезглавлены; грани самшитовых пирамид утратили идеальную форму, иссечённые беспорядочными ударами; верхушки конусов были срублены, а цилиндры превратились в груды ломаных сучьев. Затем из этой точки мысленно направьте поочерёдно три луча по диагонали вверх, соответственно граням этой второй (перевёрнутой) пирамиды, два луча вбок и вперёд, один сзади по центру тела, до уровня груди, где расположено основание этой пирамиды. Нагромождение высоких пирамид, каждая из граней которых рассечена надвое лестницей, уходящей круто вверх, к плоской вершине, где находится алтарь — это ступени в небо, к богам. Куб состоит также из шести пирамид, основаниями которых служат его грани, а вершины встречаются в центре. При строительстве пирамиды использовался гранит, мрамор и известняк.

Пирамида | LAMPA — онлайн-учебник, который каждый может улучшить

:cut Узнать доказательства некоторых свойств

Докажем, что боковые ребра равны друг другу. Каждое боковое ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника, два катета которого — это высота пирамиды и отрезок, соединяющий центр основания с одной из вершин основания. Поскольку основание — это правильный многоугольник, то все такие отрезки равны — они являются радиусами окружности, описанной вокруг этого многоугольника. Поэтому все эти прямоугольные треугольники равны (равенство прямоугольных треугольников по двум катетам). Поэтому боковые ребра тоже равны друг другу.

Из этого свойства напрямую следует, что все боковые грани — равнобедренные треугольники, притом равные друг другу (признак равенства треугольников по трем сторонам: боковые ребра равны друг другу и ребра основания равны друг другу). То есть всебоковые грани равны друг другу.

Остальные свойства можете попробовать доказать самостоятельно. Для того, чтобы доказать, что боковые грани одинаково наклоненые к плоскости основания и что ребра одинаково наклонены к плоскости основания, нужно знать, что такое угол между плоскостями и угол между прямой и плоскостью. Об этом рассказывается в уроке Основные теоремы стереометрии

Частный случай пирамиды, который бы заинтересовал Платона, — это правильный тетраэдр.

Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.

Площадь поверхности, объем, высоту и другие элементы правильного тетраэдра можно найти, если знать, чему равно ребро правильного тетраэдра. Зная только лишь длину одного ребра правильного тетраэдра, мы знаем о нем все.

Для правильного тетраэдра выполняются следующие свойства:

• Все 444 грани правильного тетраэдра — равносторонние треугольники;
• Все двугранные углы (углы между двумя гранями) тетраэдра равны друг другу;
• Все высоты тетраэдра, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке и проходят через центры противоположных граней;
• Точка пересечения высот совпадает с центром вписанной и описанной окружности;
• Высоты делятся точкой пересечения в отношении 3:13:13:1, считая от вершины;
• Противоположные ребра тетраэдра перпендикулярны друг другу.

Теперь запишем основные формулы. Если сторона тетраэдра равна aaa, то тогда

• площадь его поверхности равна S=3a2S=\sqrt{3}a^2S=3​a2;
• объем равен V=212a3V=\frac{\sqrt{2}}{12} a^3V=122​​a3;
• высота равна h=23ah=\sqrt{\frac{2}{3}} ah=32​​a;
• радиус вписанной сферы равен r=612ar=\frac{\sqrt{6}}{12} ar=126​​a;
• радиус описанной сферы равен R=64aR=\frac{\sqrt{6}}{4} aR=46​​a.

Заучивать все формулы без разбора — это довольно бесполезное занятие. Формулы, записанные выше, используются не так часто, и при этом их можно легко вывести из основных формул.

Например, площадь поверхности правильного тетраэдра можно найти, если умножить площадь равностороннего треугольника со стороной aaa на число граней тетраэдра: 4⋅34a24\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^24⋅43​​a2.

Площадь равностороннего треугольника тоже легко вывести, используя следующую формулу площади треугольника: S=12absinγS=\frac{1}{2} ab\sin \gammaS=21​absinγ (эту формулу знать обязательно!). С ее помощью легко найти площадь равностороннего треугольника: S=12a2sin60∘=12a232=34a2S=\frac{1}{2} a^2 \sin 60^{\circ}=\frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2S=21​a2sin60∘=21​a223​​=43​​a2.

В стереометрии важно понимать, как связаны друг с другом различные элементы тел, и помнить основные формулы планиметрии, такие как формула площади треугольника и параллелограмма. Выучите самые основные формулы стереометрии, такие как формула объема пирамиды и призмы, и научитесь выводить все остальные формулы.

Очень часто ключом к решению является первый шаг, который позволит свести задачу по стереометрии к планиметрии.