Х 5 х 2 0: Решите неравенство (x-5)*(x+2)

6> 0 \ подразумевает

— 1

0

а также

— 1

1> — x 1> — x 2> 0 ⟹ 1> — x 1> — x 2> 0 ⟹ 1> -x_1> -x_2> 0 \ подразумевает

2> 1 — x 1> 1 — x 2> 1 ⟹ 2> 1 — x 1> 1 — x 2> 1 ⟹ 2> 1-x_1> 1-x_2> 1 \ подразумевает

1 2

Умножая (4) (4) \\ (4) \ \ и (5) (5) \ \ (5) \ \ получаем

0

(1 — x 1) (x 5 1 + x 4 1 + x 3 1 + x 2 1 + x 1 + 1) 1 — x 1

x 5 1 + x 4 1 + x 3 1 + x 2 1 + x 1 + 1

f (x 1)

поэтому f (x) f (x) \ \ f (x) \ \ монотонно возрастает, когда x ∈ (- 1, 0) x ∈ (- 1, 0) \ \ x \ in (-1,0)

что в конечном итоге доказывает, что ff \ \ f \ \ монотонно возрастает во всех интервалах (- ∞, — 1), (- 1, 0) (- ∞, — 1), (- 1, 0) (- \ infty, — 1), \ \ (-1,0) \ \ и (0, + ∞) (0, + ∞) \ (0, + \ infty) \ \, и поскольку ff \ \ f \ \ является полиномиальной функцией, она всюду непрерывно, и мы можем заключить, что ff \ \ f \ \ монотонно возрастает всюду в RR \ R, что в итоге дает нам

∀ x ∈ R, f ′ (x)> 0 ⟹ ∀ x ∈ R, f ′ (x)> 0 ⟹ \ forall x \ in \ R \, \ \ f ‘(x)> 0 \ влечет

f ′ (x) ≠ 0 ⟹ f ′ (x) ≠ 0 ⟹ f ‘(x) \ neq 0 \ подразумевает

5 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 ≠ 0 5 x 4 + 4 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 ≠ 0 \ в штучной упаковке {5x ^ 4 + 4x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x + 1 \ neq 0}

К сожалению, на этот раз нет реальных решений для вас 🙂

Содержание

Уравнения / math5school.

ru

 

 

Немного теории

При решении и исследовании олимпиадных уравнений, помимо обычных школьных методов:

  • подстановки,
  • замены переменкой,
  • разложения на множители и других преобразований,

иногда используются соображения монотонности:

если функция у = f (x) – строго возрастает или строго убывает, то уравнения

f (p (x)) = f ( q (x))  и  p (x) = q (x)

равносильны.

При решении уравнений и систем уравнений иногда бывают полезны:

  • геометрическая интерпретация,
  • учёт области допустимых значений переменной или области значений функций, входящих в уравнение,
  • соображения симметрии,
  • идеи цикличности,
  • выход на линейную комбинацию между переменными  и др.

 

Задачи с решениями

1. Решить уравнение:

а) (1 + х + х2) (1 + х + х2 + . . . + х10) = (1 + х + х2 + . . . + х6)2.

б) (x2 – x + 1)4 – 10x(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0.

в) (x + 1)63 + (x + 1)62 (x – 1) + (x + 1)61 (x – 1)2 + . . . + (x – 1)63 = 0.

Решение

а) Так как х = 1 – не корень, то умножим обе части уравнения на (х – 1)2. Получим:

3 – 1) (х11 – 1) = (х7 – 1)2,

х11 – 2х7 + х3 = 0,

х4 – 1)2 = 0,

х1 = 0,

х2 = –1,

х

3 = +1 – посторонний корень, возникший в результате умножения на (х – 1)2.

Ответ: 0 и –1.

 

б) Пусть  y = (x2 – x + 1)2,  тогда  y2 – 10x2y + 9x4 = 0.  Решив это уравнение относительно y, получим:  

y1 = 9x2,  y2 = x2.  

Итак, данное уравнение свелось к двум следующим:

(x2 – x + 1)2 = 9x2  и  (x2 – x + 1)2 = x2,

то есть к четырём квадратным уравнениям: 

x2 – x + 1 = 3x,  x2 – x + 1 = – 3x,  x2 – x + 1 = x,  x2 – x + 1 = – x,

решить которые не представляет труда. 

Ответ:  –1, 1,  2 – √3,  2 + √3.

 

в) Умножив обе части уравнения на

(x + 1) – (x – 1) = 2, 

получим  

(x + 1)64 – (x – 1)64 = 0. 

Отсюда  

(x + 1) = ± (x – 1), 

то есть  x = 0.

Ответ: x = 0.

 

2. Решить уравнение:

sin x = х2 + х + 1.

Решение

Если х0 не принадлежит числовому промежутку [–1; 0], то  х02 + х0 + 1 > 1 > sin х0.

Если же х0 принадлежит промежутку [–1; 0], то  х02 + х0 + 1 > 0,  а  sin х0

Значит, для любого действительного значения х0 имеет место  sin х002 + х0 + 1,  и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

 

3. Сколько корней имеет уравнение:

(7√10 + 5√11) х2 – (10√10 + 13√11) х + 4√10 + 7√11 = 0?

Решение

Рассмотрим функцию

f (x) = (7√10 + 5√11) х2 – (10√10 + 13√11) х + 4√10 + 7√11.

Это квадратичная функция, графиком которой есть парабола, направленная ветвями вверх. Так как

f (1) = √10 – √11 

то парабола пересекает ось х в двух точках, а уравнение f (x) = 0 имеет два корня.

Ответ: два корня.

 

4. Известно, что уравнение  ax5 + bx4 + c = 0  имеет три различных корня. Докажите, что и  уравнение  cx5 + bx + a = 0  также имеет три различных корня.

Решение

Число  x = 0  не может быть корнем уравнения  

ax5 + bx4 + c = 0,

так как иначе  c = 0,  и уравнение имеет не более двух различных корней, что противоречит условию.  Разделив обе части этого уравнения на x5, получаем, что

a + b/x + c/x5 = 0.

Следовательно, если x1, x2 и x3 – различные корни уравнения  ax5 + bx4 + c = 0,  то 1/x11/x2 и 1/x3 – различные корни уравнения  

cx5 + bx + a = 0.

 

5. При каком положительном значении p уравнения  3x2 – 4px + 9 = 0  и  x2 – 2px + 5 = 0  имеют общий корень?

Решение

Общий корень указанных уравнений должен быть и корнем уравнения  

(3x2 – 4px + 9) – 3(x2 – 2px + 5) = 0,

равносильного уравнению

2px – 6 = 0.

Значит, х = 3/p.  Подставив это значение х, например, во второе уравнение, получим  9/p2 = 1,  откуда  p = 3.

Ответ: 3. 

 

6. Решить уравнение:

5х + 12х = 13х.

Решение

Способ 1.

Легко заметить, что, по крайней мере, одно решение это уравнение имеет, это х = 2. Докажем, что других решений нет. Запишем данное уравнение в виде:

(5/13)x + (12/13)x = 1.

Если x

(5/13)х > (5/13)2,  (12/13)х > (12/13)2

и, следовательно,

(5/13)x + (12/13)x > (5/13)2 + (12/13)2 = 1.

Аналогично, если x > 2, то

(5/13)x + (12/13)x5/13)2 + (12/13)2 = 1.

Итак, х = 2 – единственный корень.

 

Способ 2.

Записав уравнение в виде

(5/13)x + (12/13)x = 1,

видим, что имеет единственное решение х = 2. Действительно, число х = 2  удовлетворяет   уравнению. С другой стороны, функция

f (х) = (5/13)x + (12/13)x

является строго убывающей, потому что является суммой двух строго убывающих функций, и, следова­тельно, значение 1 принимает только один раз при х = 2.

 

Способ 3.

Можно ввести обозначения:

5/13 = sin α, 

12/13 = cos α.

Тогда уравнение

(5/13)x + (12/13)x = 1,

равносильное исходному, примет следующий вид:

(sin α)x + (cos α)x = 1,

а это уравнение имеет единственное решение х = 2.

Ответ: 2.

 

7. Решить уравнение:

а) 8х (3х + 1) = 4.

б) 4 lg x – 32 + x lg 4 = 0.

Решение

а) Число х = 1/3 является решением данного уравнения. Докажем, что других решений нет.

При х > – 1/3 функции

у1 (х) = 8х  и  у2 (х) = 3х + 1

принимают положительные значения и возрастают, следовательно, их произведение (левая часть уравнения) также является возрастающей функцией.

Поэтому на промежутке (– 1/3; + ∞) уравнение не может иметь более одного решения.

Далее, при х – 1/3 имеем у1(х) > 0, у2(х) 0, а значит,  у1(х) · у2(х) 0.  

Поэтому на промежутке (– ∞; – 1/3] уравнение не имеет решений. Таким образом, получаем единственное решение: 1/3.

Ответ: 1/3.  

 

б) Область допустимых значений х является  х > 0  и х ≠ ±1.  Имеет место

4 lg x = x lg 4 .

Для доказательства этого равенства достаточно прологарифмировать обе части равенства по основанию 10. В таком случае

4 lg x – 32 + 4 lg x = 0,

4 lg x = 16,

4 lg x = 42,

lg x = 2,

х = 100.

Ответ: 100.

 

8. Докажите, что уравнение :

а) х10 – х7 + х2 – х + 1 = 0  не имеет действительных корней;

б) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0  для любых действительных значений a, b, c имеет хотя бы одно решение;

в) х4 + 5х3 + 6х2 – 4х – 16 = 0  имеет ровно два решения.

Решение

а) Рассмотрим функцию

f (х) = х10 – х7 + х2 – х + 1.

При х0 ∈ (– ∞; 0] имеем f (х0) > 0.

При х0 ∈ (0; 1) имеем f (х0) = (1 – х0) + (х02 – х07) + х010 > 0.

При х0 ∈ [1; + ∞) имеем f (х0) = (х010 – х07) + (х

02 – х0) + 1 > 0.

Значит для любого действительного х0 верно, что f (х0) > 0 и, следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

 

б) Обозначим

f (x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a).

Без ограничения общности можно считать, что а b с.

Если а = b или b = с, то  f (b) = (b – c)(b – a) = 0.

Если же а 0.

Так как функция f(x) непрерывна, то существует такое число х0 из промежутка (а; b), что

f(x0) = 0,

что и требовалось доказать.

Замечание. Это уравнение можно встретить в задаче с несколько иной формулировкой на странице Квадратный трёхчлен.

 

в) Докажем, что функция

f (x) = х4 + 5х3 + 6х2 – 4х – 16

принимает значение 0 ровно в двух точках. Для этого исследуем производную этой функции

f′(x) = 4х3 + 15х2 + 12х – 4 = (x + 2)2(4х – 1).

При х 1/4 имеет место неравенство f′(x)

при х > 1/4 – неравенство f′(x) > 0. Поэтому функция f(x) убывает па интервале (– ∞; 1/4) и возрастает на интервале (1/4; + ∞).

Поскольку

f (–10) > 0,  f (10) > 0  и  f (1/4)

то на каждом из двух указанных интервалов функция f (х) однажды принимает значение 0, а уравнение f (х) = 0 имеет ровно два решения, что и требовалось доказать.

 

9. Сколько корней на отрезке  [0, 1]  имеет уравнение  8x (1 – 2x2) (8x4 – 8x2 + 1) = 1?

Решение

Заметим, что  

8x4 – 8x2 + 1 = 2(2x2 – 1)2 – 1.  

Сделав замену  x = cos φ, исходное уравнение перепишем в виде: 

8 cos φ cos 2φ cos 4φ = – 1.

Умножая обе части на sin φ, получим 

sin 8φ = – sin φ, 

8φ = – φ + 2kπ  или  8φ = π + φ + 2kπ,

то есть

x = cos 2kπ/9   или   x = cos (π/7 + 2kπ/7). 

На отрезке  [0, 1]  лежат четыре корня уравнения:  

cos /9, cos /9, cos π/7  и  cos /7

(корень  x = 1  – посторонний, он возник при умножении на sin φ).

Замечание: Всего указанное уравнение 7-й степени имеет 7 корней: к указанным в решении добавляются еще 

cos /3 = – ½,  cos /9 = – cos π/9  и  cos /7 = – cos /7

Ответ: Четыре корня.

 

10. Решить уравнение:

а) х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = 0:

б) х4 – 4х3 – 1 = 0.

Решение

а) Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого представим её в виде:

х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = (х2 + ах + b) (х2 + cх + d),

где a, b, c, d подберём методом неопределённых коэффициентов. Имеем:

х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = х4 + (a + c) x3 + (b + d + ac) x2 + (ad + bc) x + bd.

Одно из решений системы

a + c = 8,

b + d + ac = 18,

ad + bc = 11,

bd = 2;

подбираем методом подбора:

a = 5, b = 2, c = 3, d = 1,

(находить все её решения не обязательно). Значит,

х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = (х2 + 5х + 2) (х2 + 3х + 1),

а исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

х2 + 5х + 2 = 0  и  х2 + 3х + 1 = 0,

решение которых элементарно.

Ответ: х1,2 = –5 ±√17/2,  х3,4 = –3 ±√5/2.

 

б) Введём новую переменную

t = x – 1,  x = t + 1,

и получим

(t + 1)4 – 4(t + 1)3 – 1 = 0,

t4 – 6t2 – 8t – 4 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого представим её в виде:

t4 – 6t2 – 8t – 4 = (t2 + а)2 – (bt + c)2,

где a, b, c подберём методом неопределённых коэффициентов. Имеем:

t4 – 6t2 – 8t – 4 = t4 + (2a + b2) t2 – 2bc t + a2 – c2.

Найдём одно из решений системы

2a – b2 = –6,

bc = 4,

a2 – c2 = –4.

Решая эту систему находим:

а = –2,  b = √2,  с = 2√2 .

Значит,

t4 – 6t2 – 8t – 4 = (t2 – 2)2 – (√2t + 2√2)2 = (t2 – √2t – 2√2 – 2) (t2 + √2t + 2√2 – 2) = 0,

а уравнение

t4 – 6t2 – 8t – 4 = 0

равносильно совокупности уравнений:

t2 – √2t – 2√2 – 2 = 0  и  t2 + √2t + 2√2 – 2 = 0,

первое из которых имеет корни:

t1,2 = √2 ± √10 + 8√2/2 ,

а второе корней не имеет.

И, наконец, x1,2 = t1,2 + 1 = √2 ± √10 + 8√2/2 + 1 =  2 + √2 ± √10 + 8√2/.

Ответ: x1,2 = 2 + √2 ± √10 + 8√2/2.

 

Задачи без решений

1. Решить уравнение  2 sin х = 5х2 + 2х + 3.

 

2. Решить уравнение  x3 + x2 + x + 1/3 = 0.

 

3. Решить уравнение  4√1 – x + 4√1 + x = 4.

 

4. Сколько действительных корней имеет уравнение  х13 = а (1 + х14)  для каждого действительного а?

 

5. Доказать, что уравнение  x – а sin x – b = 0  при 0

 

Тепловая камера 5,5 х 5,5 х 2,0

Элемент Ш (мм) Д (мм) В (мм) Масса (тонн) Кол-во элементов Цена за элемент от (руб)
ВБК-5,5/900х630 1430 5780 600 5,4 2 33 500
ВБК-5,5 1430 5780 600 5,7 2

34 500

НБК-5,5-1 1530 6020 450 6,0 2 34 500
НБК-5,5-2 1430 6020 450 5,6 2 34 500
СБК-5,5 2000 6020 790 8,8 2 48 950
СПК-5,5-1         2 33 500

 

Тепловые камеры повсеместно применяются при строительстве тепловых сетей.
В различных видах трубопроводов тепловые камеры используются для защиты от замерзания в зимний период.

Мат греющий Теплолюкс ProfiMat ССТ 180 Вт (0,5 х 2 м) в комплекте с гофротрубкой

Мат греющий Теплолюкс ProfiMat ССТ 180 Вт (0,5х2 м) в комплекте с гофротрубкой на основе двужильного экранированного нагревательного кабеля предназначен для напольного обогрева помещений. Применять напольные нагревательные маты можно только в слое плиточного клея или цементной стяжки. Маты не предназначены для открытой установки. В основе мата лежит нагревательный кабель, закрепленный на стеклосетке. С одной стороны кабель оснащен соединительной муфтой и установочным проводом, с другой – концевой муфтой. Удельная мощность 1 кв. метра мата составляет 180 Вт, стандартная ширина мата – 0,5 метров. Цвет оболочки нагревательного кабеля может быть одно- или двухцветным без изменения потребительских свойств изделия.

Греющий мат применяется для обеспечения комфортной температуры поверхности пола и в качестве основного обогрева помещений. В комплектацию, кроме самого мата, входит также монтажная гофротрубка с заглушкой. Применять электрический теплый пол Теплолюкс ProfiMat можно с практически любым напольным покрытием: керамической плиткой, керамогранитом, ламинатом, линолеумом. Изготавливается греющий мат с применением уникальной пришивной технологии, отличается надежностью, пожизненной гарантией и потребительскими качествами. Купить мат греющий Теплолюкс ProfiMat ССТ 180 Вт (0,5х2 м) в комплекте с гофротрубкой можно в интернет-магазине VerDOM.ru по самой выгодной цене с доставкой.

Категория:
Страна
Россия
Производитель
ССТ
Серия
Теплолюкс ProfiMat 180-1,0
Категория
электрический теплый пол
Применение
комфортный пол и основной обогрев
Тип
нагревательный мат
Общая мощность
180 Вт
Мощность 1 кв. метра
180 Вт
Площадь обогрева
1 кв. метр
Длина
2 м
Ширина
0,5 м
Рабочий ток
0,86 А
Сопротивление
257-297 Ом
Напряжение питания
~220 В ± 10%
Длина установочного провода
2 м ± 0,1 м
Степень защиты
IPX7
Способ подключения
двужильный
Тип монтажа
в плиточный клей, в стяжку
Тип покрытия
плитка, ковролин, ламинат, линолеум, паркетная доска
Помещение
коридор, кухня, санузел, жилая комната
Кабель
медные многопроволочные жилы
Толщина кабеля
4 мм
Экран кабеля
алюмолавсановая лента
Основа мата
стеклосетка
Гарантия
60 лет
Срок службы
60 лет
Ширина
14 см

Особенности и преимущества нагревательных матов ССТ Теплолюкс ProfiMat:
  • Уникальная пришивная технология;
  • Для напольных покрытий: керамическая плитка, керамогранит, ламинат, линолеум;
  • Идеален для холодных помещений; надежен;
  • Испытан под 15-кратной нагрузкой 3 600 В;
  • 100% контроль качества;
  • Пожизненная гарантия;
  • Премия «Лучшее для жизни»;
  • Многопроволочные жилы защищены от излома и ухудшения контакта в муфте;
  • Экран из алюмолавсановой ленты – важный элемент безопасности, который почти полностью гасит электромагнитное излучение;
  • Для изоляции и оболочки кабеля выбраны самые современные импортные материалы с улучшенными характеристиками и увеличенным сроком службы.

Состав нагревательного мата:

Монтаж электрического теплого пола ССТ:

Комплектация:
  • нагревательный мат Теплолюкс ProfiMat;
  • паспорт;
  • инструкция;
  • монтажная трубка с заглушкой.

Внешний вид и комплектация могут быть изменены производителем без специального уведомления.

Промах с пенальти не помешал сборной Уэльса обыграть Турцию на Евро :: Евро-2020 :: РБК Спорт

Встреча завершилась со счетом 2:0. Кроме того, Гарет Бэйл не реализовал пенальти

Читайте нас в

Новости Новости

Фото: Игроки сборной Уэльса (Naomi Baker/Getty Images)

Футболисты сборной Уэльса обыграли команду Турции в матче группового этапа чемпионата Европы.  Встреча прошла на Олимпийском стадионе в Баку и завершилась со счетом 2:0.

Голы забили Аарон Рэмзи (41-я минута) и Коннор Робертс (90+5).

На 61-й минуте лидер сборной Уэльса Гарет Бэйл не реализовал пенальти. Он стал первым игроком, не попавшим в створ ворот с пенальти на чемпионате Европы после Рауля в 2000 году (не считая серий послематчевых пенальти).

Позднее в среду в группе А свою игру проведут сборные Италии и Швейцарии. Матч начнется в Риме в 22:00 мск.

Что происходит на Евро. День девятый

Валлийцы во второй раз принимают участие в финальной стадии чемпионата Европы, на турнире 2016 года они вышли в полуфинал и стали обладателями бронзовых медалей. Лучшим достижением турецкой сборной является бронза Евро-2008.

В первом туре сборная Турции крупно проиграла итальянцам (0:3), а валлийцы сыграли вничью со швейцарцами (1:1). В заключительном туре пройдут матчи Италия — Уэльс и Швейцария — Турция, игры состоятся 20 июня.

Чемпионат Европы проходит в 11 городах и завершится 11 июля. Игры турнира принимают Санкт-Петербург, Амстердам, Баку, Будапешт, Бухарест, Глазго, Копенгаген, Лондон, Мюнхен, Рим и Севилья.

Больше новостей о спорте вы найдете в нашем Telegram-канале.

Автор

Иван Витченко

Выпущен «убийца» самого маленького Raspberry Pi Zero, но гораздо мощнее и всего за $15

| Поделиться Микро-ПК Zero компании Radxa, выполненный в форм-факторе Zero, обладает четырьмя вычислительными ARM-ядрами с частотой 2,0 ГГц, встроенной графикой и 4 ГБ оперативной памяти. При цене $15 новинка имеет значительно большую производительность нежели ближайший 10-долларовый конкурент Raspberry Pi Zero с одним ARM-ядром.

Четыре ядра в формате USB-стика

Компания Radxa, которая специализируется на выпуске сверхкомпактных одноплатных компьютеров (Single Board Computer, SBC), объявила о разработке новой модели микро-ПК Radxa Zero в форм-факторе Zero (65 х 30 х 5 мм). Помимо компьютерной платы, разработчики Radxa также обещают широкий ассортимент опциональных дополнений для наращивания производительности и функциональности системы, включая беспроводной модуль стандарта Wi-Fi 5.

Несмотря на сравнимые габариты Radxa Zero и популярного микро-ПК британской некоммерческой организации Raspberry Pi Foundation (RPF) – Pi Zero W, новинка Radxa оснащена 4-ядерным ARM-процессором с тактовой частотой 2 ГГц – против одного ARM-ядра с частотой 1 ГГц у конкурента, при этом розничная цена этих систем составляет $15 и $10 соответственно.

Наличие у Radxa Zero стандартного 40-контактного порта расширения GPIO обеспечивает совместимость платы с периферией экосистемы Raspberry Pi, однако пока только электрически – для запуска этих компонентов предварительно придется создать соответствующее ПО.

Как ранее сообщал CNews, самым компактным одноплатным компьютером Raspberry Pi Foundation (RPF) на сегодняшний день является Raspberry Pi Pico по цене $4. Его габариты составляют всего 21 х 51 мм, однако используемый в нем процессор RP2040 (два ядра ARM Cortex-M0+ с тактовой частотой до 133 МГц), выпускаемый с соблюдением норм 40 нм техпроцесса, значительно уступает процессорам других моделей микро-ПК Raspberry Pi и конкурентов по производительности и функциональным возможностям.

Крохотный Radxa Zero и его экосистема

В основе микро-ПК Radxa Zero находится ARM-процессор S905Y2 производства компании Amlogic, который оснащен четырьмя 64-битными ядрами Cortex-A53 с тактовой частотой 2,0 ГГц и встроенной графикой ARM Mali-G31 MP2 GPU. Этот процессор, ближайшая модификация которого (Amlogic S905Y), в частности, используется в ТВ-приставках Xiaomi TV, производится с соблюдением 12 нм норм техпроцесса.

Одноплатный ПК Radxa Zero

Базовая модель Radxa Zero – та самая, что стоит $15, комплектуется 512 МБ оперативной памяти LPDDR4 (аналогично Raspberry Pi Zero) и беспроводным модулем Ampak AP6212, обеспечивающим поддержу беспроводных стандартов Wi-Fi 4 и Bluetooth 4. Модификация с 1 ГБ оперативной памяти обойдется уже на $5 дороже.

Две следующие, более дорогие модификации Radxa Zero поставляются в комплекте с беспроводным модулем Ampak AP6256, обеспечивающим поддержку беспроводных сетей стандарта Wi-Fi 5. Модификация Radxa Zero с 2 ГБ оперативной памяти LPDDR4 и 8GB встроенной памяти eMMC обойдется в $30, топовая комплектация с 4 ГБ LPDDR4 и 16 ГБ памяти eMMC оценена в $45.

Почему цифровые двойники становятся мэйнстримом в энергетике

Новое в СХД

Плата Radxa Zero оснащена двумя портами USB-C, один из которых поддерживает стандарт USB 3. 0, второй – USB 2.0 OTG (у Raspberry Pi Zero – два порта micro USB), слотом MicroSD, а также разъемом micro HDMI с поддержкой стандарта HDMI 2.1 и вывода видео с качеством до 4K 60 Гц. Система также поддерживает аппаратное декодирование видео h365/VP9 с качеством [email protected]

Radxa Zero имеет встроенный крипто-движок и поддержку внешней антенны. Из минусов системы: в отличие от Raspberry Pi Zero, у Radxa Zero отсутствует порт MIPI CSI для подключения внешней камеры из арсенала модулей Raspberry Pi Camera.

Дальнейшие планы компании Radxa

Разработчики Radxa заявили, что микро-ПК Radxa Zero может работать под управлением операционной системы Android и «ряда других ОС». Разработчики также провели испытания системы под ОС Armbian/Twister OS и пока что назвали ее своей «официально поддерживаемой ОС».

В то же время, поддержка Raspberry Pi OS на Radxa Zero не планируется, что на первых порах значительным образом ограничит использование экосистемы Raspberry Pi с этой системой.

Пробная партия из 100 ПК Radxa Zero

В Radxa прогнозируют начало массового производства Radxa Zero приблизительно через восемь недель. На сегодняшний день разработчики Radxa объявили о готовности 100 образцов Radxa Zero. Часть из них будет разослана бесплатно разработчикам-добровольцам, которые согласились помочь компании в портировании низкоуровневого ПО для поддержки сторонней периферии.

Владимир Бахур



Когда у КБГУ появится свой TikTok-канал? Решено на «LEADER HUB 2:0»

Сотрудники управления по информационной политике Кабардино-Балкарского государственного университета им. Х.М. Бербекова приняли участие в работе инновационной образовательной площадки по обучению базовым компетенциям будущего «LEADER HUB 2:0», организованной АНО «Центр Новой молодежной политики» в одном из красивейших уголков страны – курорте «Красная поляна» Краснодарского края.

Образовательная программа, реализованная Центром развития бизнеса «Деловая сфера» и экспертом Digital Marketing, руководителем проекта «Reputation Lab» Никитой Прохоровым, была посвящена теме управления репутацией организации в сети Интернет и построению команды для решения задач управления репутацией.

В процессе обучения были рассмотрены основные инструменты и техники управления репутацией (организации или проекта) в сети, изучена пошаговая технология поведения сотрудников организации в интернет-пространстве, показаны примеры технологии создания нестандартной рекламной компании для организации или проекта.

От КБГУ на образовательном форуме работали заместитель начальника Управления по информационной политике КБГУ Михаил Сенич и руководитель Медиацентра КБГУ Джамиля Бечелова. Они представили коллегам структуру вуза, его сильные стороны, составляющие основу его устойчивой положительной репутации, охарактеризовали действующую схему работы по продвижению позитивного имиджа университета.

Так, например, в 2020 году в КБГУ было создано управление по информационной политике, целью которого является координация деятельности всех структур, занимающихся и влияющих на информационную, имиджевую политику вуза, совершенствование этой деятельности. В состав УИП КБГУ входят три отдела: пресс-служба, отвечающая за официальные медиа-коммуникации и сайт вуза, Медиацентр, курирующий все социальные сети университета, и отдел информационного контроля, занимающийся мониторингом состояния информационного поля КБГУ.

Экспертами форума такая структура была признана близкой к идеальной, о чем свидетельствует и продвижение вуза в рейтингах медиаактивности (2 место по СКФО, руководитель вуза в ТОП-50 рейтинга медиа-заметности по РФ) и низкие баллы репутационного риска по данным системы комплексного анализа новостей SCAN-Interfax.

Однако технологии продвижения бренда вуза и управления репутацией ежегодно корректируются, в обиход плотно вошли такие понятия, как вирусный маркетинг, взрывной пиар, поведенческая экономика, SMM и SERM-аудит. Для работы в этом поле необходимо не только построение слаженной команды управления репутацией в сети, но и знание базовых правил публичных коммуникаций в меняющейся информационной среде.

Спикер – Никита Прохоров, являясь консультантом таких организаций, как РАНХиГС, ОГУ, Университет Синергия, и таких успешных проектов, как COLISIUM, Skillbox, Нетология, Бизнес Молодость, Уральская Интернет Неделя, провел вводную лекцию по мониторингу, работе с негативом, практикам распространения позитива, брендингу, SERM, аудиту репутации организации, объяснил базовые правила ведения аккаунта социальных сетей для представителей организации.

«Вузы обучают детей, они обучают наши будущие поколения и очень важно, чтобы именно вузы умели себя правильно позиционировать, правильно продвигать свой бренд и привлекать максимально нужную именно для них аудиторию родителей и абитуриентов, потому что если не с вузов начнётся правильный интернет-маркетинг, то откуда он может ещё начаться? Поэтому очень хорошая практика, когда вузы привлекают к этой деятельности своих студентов, стажеров, которые разбираются в современных интернет-коммуникациях и модных социальных сетях.

Я сторонник школы правильного блоггинга, я услышал о наработках КБГУ в Instagram, ваши ребята из вуза представили проект медиа-лаборатории социального блоггинга, и меня это порадовало.

Надо понимать, что в самом, например, TikTokе нет ничего плохого. Почему TikTok так популярен именно у молодой аудитории? Не потому что аудитория плохая или TikTok плохой, а потому что в TikTok максимально структурированная, простая для восприятия информация.

Вот сейчас у молодёжи, к примеру, какой самый доминирующий тип восприятия? – Цифровой. Дигиталы – это те, кто способен воспринимать структурированную короткую информацию. В TikTok все видео 30 – 40 – 50 секунд, где сложно запутаться, сложно что-то не понять. А ещё TikTok – про веселье, про позитив. Им не нужны какие-то политические разборки, проблемы, споры, это соцсеть, в которой люди отдыхают. Я уверен, что в скором времени эта соцсеть будет становиться более и более популярной.

Пока ещё есть предвзятое впечатление, что в TikTok отсталая аудитория но если посмотреть, какие продвинутые блогеры и бизнесмены сделали большие прибыли именно в TikTok, то это впечатление будет меняться. Там есть и правильный качественный экспертный контент, и литературные продюсеры, там есть крупные бизнесмены, продвигающие образовательные услуги.

Поэтому то, что КБГУ стремится не только качественно модерировать официальный сайт, но и развивается в Instagram и собирается развиваться в TikTok – это очень правильное решение», – отметил Никита Прохоров.

Все участники образовательной программы «LEADER HUB 2:0» создали пошаговый план действий управления репутацией в сети для своих организаций, защитили его перед коллегами, получили качественный фидбек от экспертов и сертификаты о прохождении образовательной программы.

«Для меня было несколько важных открытий на этом интенсиве. Во-первых – это, собственно говоря, проверенные на практике инструкции Никиты Прохорова по управлению репутацией, во-вторых – сменил отношение к социальным сетям и по приезде заведу себе аккаунт в Тик-Токе, а в ближайшее время совместно с медиацентром КБГУ мы продумаем и откроем аккаунт вуза в этой сети. Ну и, безусловно, новые умные, полезные контакты – открытие новых связей с коллегами из других вузов», ­– оставил свой отзыв о программе Михаил Сенич.

Решение квадратных уравнений с факторингом

Purplemath

Этот урок охватывает множество способов решения квадратичных вычислений, таких как извлечение квадратного корня, вычисление квадрата и использование квадратичной формулы. Но начнем с решения по факторингу.

(Прежде чем перейти к теме решения квадратных уравнений, вы уже должны знать, как разложить квадратные выражения на множители.Если нет, сначала рассмотрите, как учитывать квадратичный фактор.)

Вы уже разложили квадратные выражения на множители. Новым здесь является то, что квадратное выражение является частью уравнения, и вам предлагается найти значения переменной, которые делают уравнение истинным. Вот как это работает:

MathHelp.com

  • Решите (
    x — 3) ( x — 4) = 0 с помощью факторизации.

Хорошо, эта квадратичная для меня уже учтена. Но как мне использовать эту факторизацию для решения уравнения?

Для решения квадратичных вычислений путем факторинга мы используем нечто, называемое «Свойство нулевого произведения». Это свойство говорит о том, что кажется довольно очевидным, но только после того, как нам на это указали; а именно:

Свойство нулевого произведения: если мы умножаем две (или более) вещи вместе и результат равен нулю, то мы знаем, что по крайней мере одна из тех вещей, которые мы умножили, также должно быть равно нулю.Другими словами, единственный способ получить ноль при умножении двух (или более) множителей состоит в том, чтобы один из множителей был равен нулю.

Итак, если мы умножаем два (или более) множителя и получаем нулевой результат, то мы знаем, что по крайней мере один из множителей сам был равен нулю. В частности, мы можем установить каждый из факторов равным нулю и решить полученное уравнение для одного решения исходного уравнения.

Мы можем сделать полезный вывод о факторах (а именно, что один из этих факторов должен был быть равен нулю, поэтому мы можем установить факторы равными нулю), только если сам продукт равен нулю.Если произведение факторов равно на все, что ненулевое, то мы не можем сделать какое-либо заявление о значениях факторов.

Следовательно, при решении квадратных уравнений путем факторизации мы должны всегда иметь уравнение в форме «(квадратное выражение) равно (нулю)», прежде чем мы будем пытаться решить квадратное уравнение путем факторизации.

Возвращение к упражнению:

Принцип нулевого фактора говорит мне, что хотя бы один из факторов должен быть равен нулю.Поскольку хотя бы один из коэффициентов должен быть равен нулю, я могу установить каждый из коэффициентов равным нулю:

x — 3 = 0 или x — 4 = 0

Это дает мне простые линейные уравнения, которые легко решить:

И эти два значения — то решение, которое они ищут:

Обратите внимание, что « x = 3, 4» означает то же, что и « x = 3 или x = 4»; единственная разница — это форматирование.Формат « x = 3, 4» является более распространенным.


  • Решите
    x 2 + 5 x + 6 = 0 и проверьте.

Это уравнение уже имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», но, в отличие от предыдущего примера, оно еще не учтено. Я ДОЛЖЕН сначала разложить на множители квадратичный, потому что только когда я УМНОЖДАЮ и получаю ноль, я могу что-либо сказать о факторах и решениях.Я не могу сделать никаких выводов об отдельных членах квадратичной без учета разложения (например, 5 x или 6), потому что я могу добавить много всего, что в сумме равно нулю.

Итак, первое, что мне нужно сделать, это фактор:

x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2) ( x + 3)

Теперь я могу переформулировать исходное уравнение в терминах произведения факторов, при этом произведение равно нулю:

Теперь я могу решить каждый фактор, установив каждый из них равным нулю и решив получившиеся линейные уравнения:

x + 2 = 0 или x + 3 = 0

x = –2 или x = — 3

Эти два значения являются решением исходного квадратного уравнения.Итак, мой ответ:

Я еще не закончил, потому что в исходном упражнении мне предлагалось «проверить», что означает, что мне нужно вставить свои ответы обратно в исходное уравнение и убедиться, что оно получилось правильным. В этом случае я буду вставлять выражение в левой части исходного уравнения и проверять, что я получаю правую часть; а именно с 0:

проверка x = –3:

[–3] 2 + 5 [–3] + 6

9–15 + 6

9 + 6–15

15–15

0

проверка x = –2:

[–2] 2 + 5 [–2] + 6

4–10 + 6

4 + 6 — 10

10–10

0


Когда в упражнении указано, что вы должны решить «и проверить» вышеуказанное «plug-n-chug», они ищут вас, чтобы показать, что вы включили свой ответ в исходное упражнение и получили что-то, что сработало правильно.Выше, где я показал свои чеки, все, что им нужно. Но делайте свою работу аккуратно!

Между прочим, вы можете использовать эту технику «проверки», чтобы проверить свои ответы на любое «решающее» упражнение. Так, например, если вы не уверены в своем ответе на вопрос «фактор и решение» в следующем тесте, попробуйте включить свои ответы в исходное уравнение и убедиться, что ваши решения приводят к истинным утверждениям.


Это уравнение не в форме «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я пока не могу его решить.Первое, что мне нужно сделать, это перебрать все термины с одной стороны, а с другой — ноль. Только тогда я могу разложить на множители и решить:

x 2 — 3 = 2 x

x 2 — 2 x — 3 = 0

( x — 3) ( x + 1) = 0

x — 3 = 0, x + 1 = 0

x = 3, x = –1

Тогда мое решение:


  • Решить (
    x + 2) ( x + 3) = 12.

Студенты часто видят уравнения такого типа и говорят:

«Круто! Это уже учтено! Я установлю множители равными 12 и решу, чтобы получить x = 10 и x = 9. Это было легко!»

Да, это было легко; это тоже было неправильно. Очень-очень неправильно.

Помимо того факта, что ни (10 + 2) (10 + 3), ни (9 + 2) (9 + 3) не равно 12, мы никогда не должны забывать, что мы должны иметь «(квадратичное) равно (нулю)», прежде чем мы сможем решить по факторингу.

Возвращение к упражнению:

Каким бы соблазнительным это ни казалось, я не могу приравнять каждый из множителей в левой части уравнения к другой части уравнения и решить. В противном случае я бы получил совершенно неправильную путаницу.

Вместо этого мне сначала нужно умножить и упростить левую часть, затем вычесть 12 из левой и повторно разложить на множители. Только тогда я смогу решить.

( x + 2) ( x + 3) = 12

x 2 + 5 x + 6 = 12

x 2 + 5 x — 6 = 0

( x + 6) ( x — 1) = 0

x + 6 = 0, x — 1 = 0

x = –6, x = 1

Тогда мое решение:


Эту двухчленную квадратичную легче разложить на множители, чем предыдущие квадратичные: я сразу вижу, что могу разложить на множители x из обоих членов, взяв за основу x .Это дает мне:

Очень распространенная ошибка, которую делают ученики на этом этапе, — это «решить» уравнение для « x + 5 = 0» путем деления на x . Но это неверный шаг. Почему? Потому что мы не можем делить на ноль. Как это здесь играет роль?

При делении на коэффициент x делается неявное предположение, что x не равно нулю.Для такого предположения нет абсолютно никаких оснований! И такое предположение привело бы к потере половины нашего решения этого уравнения.

Возвращение к упражнению:

Мне нужно помнить, что фактор может содержать только переменную без добавления к другим терминам; в частности, « x » — вполне допустимый коэффициент. Мне нужно установить и коэффициентов равными нулю, а затем решить два результирующих линейных уравнения:

x ( x + 5) = 0

x = 0, x + 5 = 0

x = 0, x = –5

Тогда мое решение:


В предыдущем примере было два члена, и его было легко разложить на множители.Есть еще один случай двухчленной квадратичной системы, который мы можем разложить на множители. Это только немного сложнее:

Это уравнение имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я могу его решить путем факторизации. Но как это учесть? Заметив, что это разница квадратов. Применим формулу разности квадратов, которую выучил:

x 2 — 4 = 0

( x — 2) ( x + 2) = 0

x — 2 = 0, x + 2 = 0

x = 2, x = –2

Тогда мое решение:


Примечание. Приведенное выше решение также можно отформатировать как « x = ± 2».Это произносится как « x равно плюс-минус 2».

В последнем примере, приведенном выше, на следующей странице мы расскажем, как вычислить квадратный корень.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений путем факторизации. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить с учетом факторинга», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или перейдите к следующей странице.)

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad.htm

систем линейных уравнений

систем линейных уравнений

Часто бывает необходимо посмотреть на несколько функций одного и того же независимого Переменная.Рассмотрим предыдущий пример, где x — количество произведенных товаров. и продано, была независимой переменной в трех функциях: функции затрат, функция дохода и функция прибыли.

В целом там может быть:

n уравнений

v переменные

Решение систем уравнений

Есть четыре метода решения систем линейных уравнений:

а.графическое решение

б. алгебраическое решение

c. метод исключения

d. метод замещения

Графическое решение

Пример 1

даны являются два следующих линейных уравнения:

f (x) = y = 1 + 0,5x

f (x) = y = 11 — 2x

Постройте график первого уравнения , найдя две точки данных.Установив сначала x, а затем y равны нулю, можно найти точку пересечения y на вертикальная ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.

Если x = 0, тогда f (0) = 1 + .5 (0) = 1

Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 1 + .5x

-,5x = 1

х = -2

Результирующий точки данных: (0,1) и (-2,0)

Постройте график второго уравнения , найдя две точки данных.От установив сначала x, а затем y равным нулю, можно найти точку пересечения y по вертикальной оси и точка пересечения x по горизонтальной оси.

Если x = 0, тогда f (0) = 11-2 (0) = 11

Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 11 — 2x

2x = 11

х = 5,5

Результирующий точки данных: (0,11) и (5.5,0)

В точке пересечения двух уравнений x и y имеют одинаковые значения. На графике эти значения можно прочитать как x = 4 и y = 3.

Пример 2

даны являются два следующих линейных уравнения:

f (x) = y = 15 — 5x

f (x) = y = 25 — 5x

Постройте график первого уравнения , найдя две точки данных.Установив сначала x, а затем y равны нулю, можно найти точку пересечения y на вертикальная ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.

Если x = 0, тогда f (0) = 15-5 (0) = 15

Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 15 — 5x

5x = 15

х = 3

Результирующий точки данных: (0,15) и (3,0)

Постройте график второго уравнения , найдя две точки данных.От установив сначала x, а затем y равным нулю, можно найти точку пересечения y по вертикальной оси и точка пересечения x по горизонтальной оси.

Если x = 0, тогда f (0) = 25-5 (0) = 25

Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 25 — 5x

5x = 25

х = 5

Результирующий точки данных: (0,25) и (5,0)

Из графика видно, что эти линии не пересекаются.Они параллельны. У них одинаковый наклон. Нет однозначного решения.

Пример 3

даны являются два следующих линейных уравнения:

21x — 7y = 14

-15x + 5y = -10

Переписать уравнения, поместив их в форму пересечения наклона.

Первый уравнение становится

7y = -14 + 21x

у = -2 + 3х

Второй уравнение становится

5лет = -10 + 15x

у = -2 + 3х

Изобразите любое уравнение, найдя две точки данных.Установив сначала x, а затем y равный нулю, можно найти точку пересечения y по вертикали ось и точку пересечения x на горизонтальной оси.

Если x = 0, тогда f (0) = -2 +3 (0) = -2

Если y = 0, тогда f (x) = 0 = -2 + 3x

3x = 2

х = 2/3

Результирующий точки данных: (0, -2) и (2 / 3,0)

Из графика видно, что эти уравнения эквивалентны.Там — бесконечное количество решений.

Алгебраическое решение

Этот метод будет проиллюстрирован с помощью анализа спроса и предложения. Этот Тип анализа заимствован из работ великого английского экономиста Альфреда Маршалл.

Q = количество и P = цена

P (s) = функция предложения и P (d) = функция спроса

При построении графика цена откладывается на вертикальной оси. Таким образом, цена — это зависимая переменная.Было бы логичнее рассматривать количество как зависимая переменная, и этот подход использовал великий французский экономист, Леон Вальрас. Однако по соглашению экономисты продолжают строить графики, используя Анализ Маршалла, который называют крестом Маршалла.

Цель состоит в том, чтобы найти равновесную цену и количество, т. Е. Решение где цена и количество будут иметь одинаковые значения в функции предложения и функция цены.

Q E = равновесная величина P E = равновесная цена

Для равновесия
предложение = спрос
или P (s) = P (d)

Учитывая следующие функции

П (т) = 3Q + 10 и P (d) = -1 / 2Q + 80

Приравняйте уравнения друг к другу и решите относительно Q.

P (т) = 3Q + 10 = -1 / 2Q + 80 = P (d)

3.5Q = 70

Q = 20 Равновесное количество 20.

Подставьте это значение вместо Q в любое уравнение и решите для P.

P (т) = 3 (20) + 10

П (т) = 70

П (г) = -1/2 (20) + 80

П (г) = 70 Цена равновесия — 70.


Метод исключения

Этот метод включает удаление переменных из уравнений. Переменные удаляются последовательно, пока не останется только одна последняя переменная, т.е. пока не будет одно уравнение с одним неизвестным. Затем это уравнение решается для одного неизвестного. Затем решение используется для нахождения второго последняя переменная. Процедура повторяется, добавляя обратно переменные в качестве их решений. найдены.

Пример 1

2х + 3у = 5

-5x — 2y = 4

Порядок действий: удалить y.Коэффициенты при y не совпадают в два уравнения, но если бы они были, можно было бы сложить два уравнения и члены y будут сокращаться. Однако это возможно через умножение каждого уравнения, чтобы заставить члены y иметь одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.

Шаг 1: Умножьте первое уравнение на 2, а второе уравнение умножьте на 3. Это дает

4х + 6у = 10

-15x — 6y = 12

Шаг 2: Сложите два уравнения.Это дает

-11x = 22

х = -2

Шаг 3: Решить относительно y в любом из исходных уравнений

2 (-2) + 3у = 5

3 года = 9

г = 3 или

-5 (-2) — 2y = 4

10 — 2 года = 4

2y = 6

г = 3

Альтернативная процедура: удалить x.Коэффициенты при x не совпадают в двух уравнениях, но если бы они были, можно было бы добавить два уравнения и члены y будут сокращаться. Однако возможно путем умножения каждого уравнения, чтобы заставить члены x равняться имеют одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.

Шаг 1: Умножьте первое уравнение на 5, а второе уравнение умножьте на 2. Это дает

10x + 15y = 25

-10x — 4y = 8

Шаг 2: Сложите два уравнения.Это дает

11лет = 33

y = 3

Шаг 3: Решить относительно x в любом из исходных уравнений

2x + 3 (3) = 5

2x = -4

х = -2 или

-5x — 2 (3) = 4

— 5x = 10

х = -2

Пример 2

2x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 2

4x 1 — 4x 2 — 3x 3 = 7

3x 1 — 3x 2 — 2x 3 = 5

В этом примере есть три переменные: x 1 , x 2 и х 3 .Одна из возможных процедур — удалить первый x 1 , , чтобы исключить следующие x 2 , а затем найти x 3 . Значение, полученное для x 3 , используется для решения x 2 и наконец, значения, полученные для x 3 и x 2 , используются для решить относительно x 1 .

Процедура Часть A Сначала удалите x 1 .

Шаг 1 Умножение первое уравнение на 2 и вычтите второе уравнение из первого уравнение.Это дает

4x 1 + 10x 2 + 14x 3 = 4 первое уравнение

4x 1 — 4x 2 — 3x 3 = 7 второе уравнение

14x 2 + 17x 3 = -3 второе уравнение вычитается из первого

Шаг 2 Умножение первое уравнение на 3, третье уравнение умножьте на 2 и вычтите третье уравнение из первого уравнения.Это дает

6x 1 + 15x 2 + 21x 3 = 6 первое уравнение

6x 1 — 6x 2 — 4x 3 = 10 третье уравнение

21x 2 + 25x 3 = -4 третье уравнение вычитается из первого

Процедура, часть B Второе удаление x 2 . Из Части А осталось два уравнения. Из этих двух уравнений исключить х 2 .

14x 2 + 17x 3 = -3 первое уравнение

21x 2 + 25x 3 = -4 второе уравнение

Шаг 1 Умножение первое уравнение на 21, второе уравнение умножьте на 14. и вычтите второе уравнение из первого уравнения.Это дает

294x 2 + 357x 3 = -63 первое уравнение

294x 2 + 350x 3 = -56 второе уравнение

7x 3 = -7 второе уравнение вычитается из первого

х 3 = -1

Часть C Решите относительно x 2 , вставив значение, полученное для x 3 в любое уравнение из части B.

14x 2 + 17 (-1) = -3

1 4x 2 = 14

х 2 = 1 или

21x 2 + 25 (-1) = -4

21x 2 = 21

х 2 = 1

Часть D Решите относительно x 1 , вставив полученные значения x 2 andx 3 в любом из трех исходных уравнений.

2x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 2 первое исходное уравнение

2x 1 + 5 (1) + 7 (-1) = 2

2x 1 = 4

x 1 = 2 или

4x 1 — 4x 2 — 3x 3 = 7 секунд исходное уравнение

4x 1 — 4 (1) — 3 (-1) = 7

4x 1 = 8

х 1 = 2 или же

3x 1 — 3x 2 — 2x 3 = 5 третье исходное уравнение

3x 1 — 3 (1) -2 (-1) = 5

3x 1 = 6

х 1 = 2

Метод замещения

Это включает выражение одной переменной через другую до тех пор, пока не будет одно уравнение с одним неизвестным.Затем это уравнение решается для этого один неизвестный. Затем результат используется для определения переменной, которая была выражается через переменную, решение которой было только что найдено.

Пример

12x — 7лет = 106 первое уравнение

8x + У = 82 второе уравнение

Решите второе уравнение для y, а затем подставьте полученное значение y в первое уравнение.

г = 82 — 8x второе уравнение, решенное относительно y

12x — 7 (82 — 8х) = 106 первое уравнение переписано в x

12x — 574 + 56x = 106

68x = 680

х = 10

Подставьте полученное значение x в любое из исходных эквивалентов.

12x — 7лет = 106 первое уравнение

12 (10) — 7лет = 106

7лет = 14

г = 2

8 (10) + У = 82 второе уравнение

г = 2

[индекс]


вопросов по алгебре с решениями и пояснениями для 9 класса

Представлены подробные решения и полные пояснения к вопросам алгебры 9 класса.

  1. Упростите следующие алгебраические выражения.
    1. — 6x + 5 + 12x -6
    2. 2 (х — 9) + 6 (-x + 2) + 4x
    3. 3x 2 + 12 + 9x — 20 + 6x 2 — x
    4. (х + 2) (х + 4) + (х + 5) (- х — 1)
    5. 1,2 (х — 9) — 2,3 (х + 4)
    6. (x 2 y) (xy 2 )
    7. (-x 2 y 2 ) (xy 2 )
    Решение
    1. Сгруппируйте похожие термины и упростите.
      — 6x + 5 + 12x -6 = (- 6x + 12x) + (5-6)
      = 6x — 1
    2. Раскройте скобки.
      2 (x — 9) + 6 (-x + 2) + 4x = 2x — 18 — 6x + 12 + 4x
      Группируйте термины и упрощайте.
      = (2x — 6x + 4x) + (- 18 + 12) = — 6
    3. Сгруппируйте похожие термины и упростите.
      3x 2 + 12 + 9x — 20 + 6x 2 — x
      = (3x 2 + 6x 2 ) + (9x — x) + (12-20)
      = 9x 2 + 8x — 8
    4. Раскройте скобки.
      (х + 2) (х + 4) + (х + 5) (- х — 1)
      = x 2 + 4x + 2x + 8 — x 2 — x — 5x — 5
      Сгруппировать похожие термины.
      = (x 2 — x 2 ) + (4x + 2x — x — 5x) + (8-5)
      = 3
    5. Разверните и сгруппируйте.
      1,2 (х — 9) — 2,3 (х + 4)
      = 1,2x — 10,8 — 2,3x — 9,2
      = -1,1x — 20
    6. Перепишем следующим образом.
      (x 2 y) (xy 2 ) = (x 2 x) (y y 2 )
      Используйте правила экспоненты.
      = x 3 y 3
    7. Перепишите выражение следующим образом.
      (-x 2 y 2 ) (xy 2 ) = — (x 2 x) (y 2 y 2 )
      Используйте правила экспоненты.
      = — x 3 y 4

  2. Упростите выражения.
    1. (a b 2 ) (a 3 b) / (a ​​ 2 b 3 )
    2. (21 x 5 ) / (3 x 4 )
    3. (6 x 4 ) (4 y 2 ) / [(3 x 2 ) (16 y)]
    4. (4х — 12) / 4
    5. (-5x — 10) / (x + 2)
    6. (x 2 — 4x — 12) / (x 2 — 2 x — 24)
    Решение
    1. Используйте экспоненциальные правила, чтобы сначала упростить числитель.
      (a b 2 ) (a 3 b) / (a ​​ 2 b 3 ) = (a 4 b 3 ) / (a ​​ 2 b 3 )
      Перепишите следующим образом.
      (a 4 / a 2 ) (b 3 / b 3 )
      Используйте правило частного экспонент для упрощения.
      = 2
    2. Перепишите следующим образом.
      (21 x 5 ) / (3 x 4 ) = (21/3) (x 5 / x 4 )
      Упростить.
      = 7 х
    3. (6 x 4 ) (4 y 2 ) / [(3 x 2 ) (16 y)]
      Умножьте члены в числителе и знаменателе и упростите.
      (6 x 4 ) (4 y 2 ) / [(3 x 2 ) (16 y)] = (24 x 4 y 2 ) / (48 x 2 y)
      Перепишите следующим образом.
      = (24/48) (x 4 / x 2 ) (y 2 / y)
      Упростить.
      = (1/2) x 2 y
    4. Выносим множитель 4 в числитель.
      (4х — 12) / 4 = 4 (х — 3) / 4
      Упростить.
      = х — 3
    5. Выносим множитель -5 в числитель.
      (-5x — 10) / (x + 2) = — 5 (x + 2) / (x + 2)
      Упростить.
      = — 5
    6. Разложите на множители числитель и знаменатель следующим образом.
      (x 2 — 4x — 12) / (x 2 — 2x — 24) = [(x — 6) (x + 2)] / [(x — 6) (x + 4)]
      Упростить.
      = (x + 2) / (x + 4), для всех x не равно 6

  3. Решите относительно x следующие линейные уравнения.
    1. 2х = 6
    2. 6х — 8 = 4х + 4
    3. 4 (х — 2) = 2 (х + 3) + 7
    4. 0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2,3
    5. — х / 5 = 2
    6. (х — 4) / (- 6) = 3
    7. (-3x + 1) / (x — 2) = -3
    8. х / 5 + (х — 1) / 3 = 1/5
    Решение
    1. Разделите обе части уравнения на 2 и упростите.
      2x / 2 = 6/2
      х = 3
    2. Добавьте 8 к обеим сторонам и сгруппируйте похожие термины.
      6х — 8 + 8 = 4х + 4 + 8
      6х = 4х + 12
      Добавить — 4 раза в обе стороны и сгруппировать термины.
      6x — 4x = 4x + 12 — 4x
      2x = 12
      Разделите обе стороны на 2 и упростите.
      х = 6
    3. Раскройте скобки.
      4х — 8 = 2х + 6 + 7
      Добавьте 8 к обеим сторонам и сгруппируйте похожие термины.
      4х — 8 + 8 = 2х + 6 + 7 + 8
      4х = 2х + 21
      Добавить — 2x в обе стороны и сгруппировать термины.
      4x — 2x = 2x + 21 — 2x
      2x = 21
      Разделите обе стороны на 2.
      х = 21/2
    4. Добавьте 1,6 к обеим сторонам и упростите.
      0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2.3
      0,1 х — 1,6 + 1,6 = 0,2 х + 2,3 + 1,6
      0,1 х = 0,2 х + 3,9
      Добавьте — 0,2 x в обе стороны и упростите.
      0,1 х — 0,2 х = 0,2 х + 3,9 — 0,2 х
      — 0,1 х = 3,9
      Разделите обе части на — 0,1 и упростите.
      х = — 39
    5. Умножьте обе стороны на — 5 и упростите.
      — 5 (- х / 5) = — 5 (2)
      х = — 10
    6. Умножьте обе стороны на — 6 и упростите.
      (-6) (х — 4) / (- 6) = (-6) 3
      х — 4 = — 18
      Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите.
      х = — 14
    7. Умножьте обе стороны на (x — 2) и упростите.
      (x — 2) (- 3x + 1) / (x — 2) = -3 (x — 2)
      Развернуть правый термин.
      -3x + 1 = -3x + 6
      Добавьте 3x к обеим сторонам и упростите.
      — 3x + 1 + 3x = — 3x + 6 + 3x
      1 = 6
      Последнее утверждение неверно, и уравнение не имеет решений.
    8. Умножьте все члены на НОК 5 и 3, что равно 15.
      15 (x / 5) + 15 (x — 1) / 3 = 15 (1/5)
      Упрощайте и расширяйте.
      3x + 15x — 15 = 3
      Сгруппируйте термины и решите.
      18 х = 3 + 15
      18 х = 18
      х = 1

  4. Найдите реальные решения следующих квадратных уравнений.
    1. 2 х 2 — 8 = 0
    2. х 2 = -5
    3. 2x 2 + 5x — 7 = 0
    4. (х — 2) (х + 3) = 0
    5. (х + 7) (х — 1) = 9
    6. х (х — 6) = -9
    Решение
    1. Разделите все термины на 2.
      2 x 2 /2 — 8/2 = 0/2
      и упростить
      x 2 — 4 = 0
      Фактор правой стороны.
      (х — 2) (х + 2) = 0
      Решите относительно x.
      x — 2 = 0 или x = 2
      x + 2 = 0 или x = -2
      Набор решений {-2, 2}
    2. Данное уравнение x 2 = -5 не имеет реального решения, поскольку квадрат действительных чисел никогда не бывает отрицательным.
    3. Разложите левую часть на множители следующим образом.
      2x 2 + 5x — 7 = 0
      Фактор
      (2x + 7) (x — 1) = 0
      Решите относительно x.
      2x + 7 = 0 или x — 1 = 0
      x = — 7/2, x = 1, набор решений: {- 7/2, 1}
    4. Решите для x.
      (х — 2) (х + 3) = 0
      x — 2 = 0 или x + 3 = 0 Набор растворов
      : {-3, 2}
    5. Разверните левую часть.
      x 2 + 6x — 7 = 9
      Перепишите приведенное выше уравнение с правой частью, равной 0.
      х 2 + 6x — 16 = 0
      Фактор левой стороны.
      (х + 8) (х — 2) = 0
      Решите относительно x.
      x + 8 = 0 или x — 2 = 0 Набор растворов
      : {-8, 2}
    6. Разверните левую часть и перепишите так, чтобы правая сторона была равна нулю.
      x 2 — 6x + 9 = 0
      Фактор левой стороны.
      (х — 3) 2 = 0
      Решите относительно x.
      х — 3 = 0 Набор растворов
      : {3}

  5. Найдите любые реальные решения для следующих уравнений.
    1. х 3 -1728 = 0
    2. х 3 = — 64
    3. √x = -1
    4. √x = 5
    5. √ (х / 100) = 4
    6. √ (200 / х) = 2
    Решение
    1. Перепишем уравнение как.
      х 3 = 1728
      Возьмите кубический корень с каждой стороны.
      (x 3 ) 1/3 = (1728) 1/3
      Упростить.
      х = (1728) 1/3 = 12
    2. Возьмите кубический корень с каждой стороны.
      (x 3 ) 1/3 = (- 64) 1/3
      Упростить.
      х = — 4
    3. Уравнение √x = — 1 не имеет действительного решения, потому что квадрат действительного числа больше или равен нулю.
    4. Выровняйте обе стороны.
      (√x) 2 = 5 2
      Упростить.
      х = 25
    5. Выровняйте обе стороны.
      (√ (x / 100)) 2 = 4 2
      Упростить.
      х / 100 = 16
      Умножьте обе стороны на 100 и упростите.
      х = 1600
    6. Выровняйте обе стороны.
      (√ (200 / x)) 2 = 2 2
      Упростить.
      200 / х = 4
      Умножьте обе стороны на x и упростите.
      х (200 / х) = 4 х
      200 = 4 х
      Решите относительно x.
      х = 50

  6. Оцените для данных значений a и b .
    1. a 2 + b 2 , для a = 2 и b = 2
      | 2a — 3b | , для a = -3 и b = 5
    2. 3a 3 — 4b 4 , для a = -1 и b = -2
    Решение
    1. Замените a и b их значениями и оцените.
      для a = 2 и b = 2
      a 2 + b 2 = 2 2 + 2 2 = 8
    2. Установите a = — 3 и b = 5 в данном выражении и оцените.
      | 2a — 3b | = | 2 (-3) — 3 (5) | = | -6 — 15 | = | -21 | = 21
    3. Установите a = — 1 и b = -2 в данном выражении и оцените.
      3a 3 — 4b 4 = 3 (-1) 3 — 4 (-2) 4 = 3 (-1) — 4 (16) = — 3-64 = — 67

  7. Решите следующие неравенства.
    1. х + 3 <0
    2. х + 1> -x + 5
    3. 2 (х — 2) <- (х + 7)
    Решение
    1. Добавьте -3 к обеим сторонам неравенства и упростите.
      х + 3 — 3 <0 - 3
      х <-3
    2. Добавьте x к обеим сторонам неравенства и упростите.
      х + 1 + х> — х + 5 + х
      2x + 1> 5
      Добавьте -1 к обеим сторонам неравенства и упростите.
      2x + 1-1> 5-1
      2x> 4
      Разделите обе стороны на 2.
      х> 2
    3. Разверните скобки и сгруппируйте похожие термины.
      2х — 4 <- х - 7
      Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите.
      2х — 4 + 4 <- х - 7 + 4
      2x <- x - 3
      Добавьте x к обеим сторонам и упростите.
      2х + х <- х - 3 + х
      3x <- 3
      Разделите обе стороны на 3 и упростите.
      х <- 1

  8. При каком значении постоянной k квадратное уравнение x 2 + 2x = — 2k имеет два различных действительных решения?
    Решение
    Сначала находим записанное уравнение с правой частью, равной нулю.
    x 2 + 2x + 2k = 0
    Теперь вычислим дискриминант D квадратного уравнения.
    D = b 2 — 4 a c = 2 2 — 4 (1) (2k) = 4-8 k
    Чтобы решение имело два различных действительных решения, D должно быть положительным.Следовательно
    4-8 k> 0
    Решите неравенство, чтобы получить
    к <1/2
  9. При каком значении постоянной b линейное уравнение 2 x + b y = 2 имеет наклон, равный 2?
    Решение
    Решите относительно y и определите наклон
    б у = — 2 х + 2
    у = (- 2 / б) х + 2 / б
    наклон = (- 2 / b) = 2
    Решите уравнение (- 2 / b) = 2 для б
    (- 2 / б) = 2
    -2 = 2 б
    b = — 1
  10. Какова точка пересечения оси y линии — 4 x + 6 y = — 12 ?
    Решение
    Задайте x = 0 в уравнении и решите относительно y.
    — 4 (0) + 6 y = — 12
    6 лет = — 12
    y = — 2
    y точка пересечения: (0, — 2)
  11. Каков отрезок оси x линии — 3 x + y = 3 ?
    Решение
    Задайте y = 0 в уравнении и решите относительно x.
    — 3 х + 0 = 3
    х = -1
    x перехват: (-1, 0)
  12. Какая точка пересечения линий x — y = 3 и — 5 x — 2 y = — 22 ?
    Решение
    Точка пересечения двух прямых является решением уравнений обеих прямых.Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нам нужно решить систему уравнений x — y = 3 и -5 x — 2 y = -22 одновременно. Уравнение x — y = 3 можно решить относительно x, чтобы получить
    х = 3 + у
    Заменим x на 3 + y в уравнении — 5 x — 2 y = -22 и решим относительно y
    -5 (3 + у) — 2 у = — 22
    -15-5 лет — 2 года = — 22
    -7 лет = — 22 + 15
    -7 г = — 7
    у = 1
    Заменим x на 3 + y в уравнении -5 x — 2 y = — 22 и решим относительно y
    х = 3 + у = 3 + 1 = 4
    Точка пересечения: (4, 1)
  13. При каком значении константы k линия -4 x + k y = 2 проходит через точку (2, -3) ?
    Решение
    Чтобы линия прошла через точку (2, -3) , упорядоченная пара (2, -3) должна быть решением уравнения прямой.Мы заменяем x на 2 и d y на — 3 в уравнении.
    — 4 (2) + k (-3) = 2
    Решите относительно k, чтобы получить
    к = — 10/3
  14. Каков наклон прямой с уравнением y — 4 = 10 ?
    Решение
    Запишите данное уравнение в форме пересечения наклона y = m x + b и укажите наклон m.
    у = 14
    Это горизонтальная линия, поэтому наклон равен 0.
  15. Каков наклон прямой с уравнением 2 x = -8 ?
    Решение
    Вышеприведенное уравнение можно записать как
    х = — 4
    Это вертикальная линия, поэтому наклон не определен.
  16. Найдите точки пересечения оси x и y линии с помощью уравнения x = — 3 ?
    Решение
    Выше изображена вертикальная линия с точкой пересечения x, заданной только
    (-3, 0)
  17. Найдите точки пересечения x и y прямой с помощью уравнения 3 y — 6 = 3 ?
    Решение
    Данное уравнение можно записать в виде
    у = 3
    Выше представлена ​​горизонтальная линия с точкой пересечения y, заданной только
    (0, 3)
  18. Каков наклон прямой, параллельной оси x?
    Решение
    Прямая, параллельная оси x, является горизонтальной линией, и ее наклон равен 0.
  19. Каков наклон прямой, перпендикулярной оси x?
    Решение
    Линия, перпендикулярная оси x, является вертикальной линией, и ее наклон не определен.

Дополнительные ссылки и ссылки

Математика для средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Математика для средней школы (10, 11 и 12 классы) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами Домашняя страница
пожаловаться на это объявление

Факторинговые квадратные уравнения — методы и примеры

Есть ли у вас представление о факторизации многочленов ? Поскольку теперь у вас есть базовая информация о многочленах, мы узнаем, как решать квадратичные многочлены с помощью факторизации.

Прежде всего, давайте быстро рассмотрим квадратное уравнение . Квадратное уравнение — это многочлен второй степени, обычно в форме f (x) = ax 2 + bx + c, где a, b, c, ∈ R, и a ≠ 0. Термин «a» означает называется старшим коэффициентом, а «c» — абсолютным членом f (x).

Каждое квадратное уравнение имеет два значения неизвестной переменной, обычно называемых корнями уравнения (α, β). Мы можем получить корни квадратного уравнения, разложив уравнение на множители.

По этой причине факторизация является фундаментальным шагом на пути к решению любого уравнения в математике. Давай выясним.

Как разложить квадратное уравнение на множители?

Факторизация квадратного уравнения может быть определена как процесс разбиения уравнения на произведение его факторов. Другими словами, мы также можем сказать, что факторизация — это обратное умножению.

Для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 путем факторизации используются следующие шаги :

  • Разверните выражение и удалите все дроби, если необходимо.
  • Переместите все члены в левую часть знака равенства.
  • Факторизуйте уравнение, разбив средний член.
  • Приравняйте каждый коэффициент к нулю и решите линейные уравнения

Пример 1

Решить: 2 (x 2 + 1) = 5x

Раствор

Разверните уравнение и переместите все члены влево от знака равенства.

⟹ 2x 2 — 5x + 2 = 0

⟹ 2x 2 — 4x — x + 2 = 0

⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0

⟹ (х — 2) (2x — 1) = 0

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите

⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ x = 2 или x = 1212

Следовательно, решения x = 2, 1/2.

Пример 2

Решить 3x 2 — 8x — 3 = 0

Раствор

3x 2 — 9x + x — 3 = 0

⟹ 3x (x — 3) + 1 (x — 3) = 0

⟹ (x — 3) (3x + 1) = 0

⟹ x = 3 или x = -13

Пример 3

Решите следующее квадратное уравнение (2x — 3) 2 = 25

Раствор

Разложите уравнение (2x — 3) 2 = 25, чтобы получить;

⟹ 4x 2 — 12x + 9-25 = 0

⟹ 4x 2 — 12x — 16 = 0

Разделите каждый член на 4, чтобы получить;

⟹ x 2 — 3x — 4 = 0

⟹ (х — 4) (х + 1) = 0

⟹ x = 4 или x = -1

Существует множество методов факторизации квадратных уравнений.В этой статье мы сделаем акцент на том, как разложить квадратные уравнения на множители, в которых коэффициент при x 2 равен 1 или больше 1.

Следовательно, мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы получить правильные множители для данного квадратного уравнения.

Факторинг, когда коэффициент x

2 равен 1

Чтобы разложить квадратное уравнение на множители вида x 2 + bx + c, старший коэффициент равен 1. Вам нужно определить два числа, произведение и сумма которых равны c и b соответственно.

СЛУЧАЙ 1: Когда оба значения b и c положительны

Пример 4

Решите квадратное уравнение: x 2 + 7x + 10 = 0

Перечислите множители 10:

1 × 10, 2 × 5

Определите два фактора, произведя 10 и сумму 7:

1 + 10 ≠ 7
2 + 5 = 7.

Проверьте множители, используя свойство распределения умножения.

(x + 2) (x + 5) = x 2 + 5x + 2x + 10 = x 2 + 7x + 10

Коэффициенты квадратного уравнения: (x + 2) (x + 5)

Приравнивание каждого коэффициента к нулю дает;

х + 2 = 0 ⟹x = -2

х + 5 = 0 ⟹ х = -5

Следовательно, решение x = — 2, x = — 5

Пример 5

x 2 + 10x + 25.

Раствор

Определите два фактора с помощью произведения 25 и суммы 10.

5 × 5 = 25 и 5 + 5 = 10

Проверьте факторы.

x 2 + 10x + 25 = x 2 + 5x + 5x + 25

= х (х + 5) + 5х + 25

= х (х + 5) + 5 (х + 5)

= (х + 5) (х + 5)

Следовательно, x = -5 — это ответ.

СЛУЧАЙ 2: Когда b положительно, а c отрицательно

Пример 6

Решить x 2 + 4x — 5 = 0

Раствор

Напишите множители -5.

1 × –5, –1 × 5

Определите факторы, произведение которых равно — 5, а сумма равна 4.

1 — 5 ≠ 4
–1 + 5 = 4

Проверьте факторы, используя свойство распределения.

(x — 1) (x + 5) = x 2 + 5x — x — 5 = x 2 + 4x — 5
(x — 1) (x + 5) = 0

x — 1 = 0 ⇒ x = 1 или
x + 5 = 0 ⇒ x = -5

Следовательно, x = 1, x = -5 — решения.

СЛУЧАЙ 3: Когда оба значения b и c отрицательны

Пример 7

x 2 — 5x — 6

Раствор

Запишите множители — 6:

1 × –6, –1 × 6, 2 × –3, –2 × 3

Теперь определите факторы, произведение которых равно -6, а сумма равна –5:

.

1 + (–6) = –5

Проверьте коэффициенты с помощью распределительного свойства.

(x + 1) (x — 6) = x 2 — 6 x + x — 6 = x 2 — 5x — 6

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;
(х + 1) (х — 6) = 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1, или
x — 6 = 0 ⇒ x = 6

Следовательно, решение x = 6, x = -1

СЛУЧАЙ 4: Когда b отрицательно, а c положительно

Пример 8

x 2 — 6x + 8 = 0

Раствор

Запишите все множители 8.

–1 × — 8, –2 × –4

Определите факторы, произведение которых равно 8, а сумма равна -6
–1 + (–8) ≠ –6
–2 + (–4) = –6

Проверьте коэффициенты с помощью распределительного свойства.

(x — 2) (x — 4) = x 2 — 4 x — 2x + 8 = x 2 — 6x + 8

Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите выражение, чтобы получить;

(х — 2) (х — 4) = 0

x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
x — 4 = 0 ⇒ x = 4

Пример 9

Разложить на множители x 2 + 8x + 12.

Раствор

Запишите множители 12;

12 = 2 × 6 или = 4 × 3
Найдите множители, сумма которых равна 8:

2 + 6 = 8
2 × 6 ≠ 8

Используйте свойство распределения для проверки факторов;

= x 2 + 6x + 2x + 12 = (x 2 + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6)

= х (х + 6) +2 (х + 6) = (х + 6) (х + 2)

Приравняйте каждый множитель к нулю, чтобы получить;

(х + 6) (х + 2)

х = -6, -2

Факторинг, когда коэффициент x

2 больше 1

Иногда старший коэффициент квадратного уравнения может быть больше 1.В этом случае мы не можем решить квадратное уравнение, используя общие множители.

Следовательно, нам нужно рассмотреть коэффициент при x 2 и множители при c, чтобы найти числа, сумма которых равна b.

Пример 10

Решить 2x 2 — 14x + 20 = 0

Раствор

Определите общие множители уравнения.

2x 2 — 14x + 20 ⇒ 2 (x 2 — 7x + 10)

Теперь мы можем найти множители (x 2 — 7x + 10).Поэтому запишите множители 10:

.

–1 × –10, –2 × –5

Определите факторы, сумма которых — 7:

1 + (–10) ≠ –7
–2 + (–5) = –7

Проверьте коэффициенты, применив распределительное свойство.

2 (x — 2) (x — 5) = 2 (x 2 — 5 x — 2x + 10)
= 2 (x 2 — 7x + 10) = 2x 2 — 14x + 20

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите;
2 (х — 2) (х — 5) = 0

x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
x — 5 = 0 ⇒ x = 5

Пример 11

Решить 7x 2 + 18x + 11 = 0

Раствор

Запишите множители 7 и 11.

7 = 1 × 7

11 = 1 × 11

Примените свойство распределения для проверки факторов, как показано ниже:

(7x + 1) (x + 11) ≠ 7x 2 + 18x + 11

(7x + 11) (x + 1) = 7x 2 + 7x + 11x + 11 = 7x 2 + 18x + 11

Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;

7x 2 + 18x + 11 = 0
(7x + 11) (x + 1) = 0

х = -1, -11/7

Пример 12

Решить 2x 2 — 7x + 6 = 3

Раствор

2x 2 — 7x + 3 = 0

(2x — 1) (x — 3) = 0

x = 1/2 или x = 3

Пример 13

Решить 9x 2 + 6x + 1 = 0

Раствор

Разложите на множители, чтобы получить:

(3x + 1) (3x + 1) = 0

(3x + 1) = 0,

Следовательно, x = −1 / 3

Пример 14

Разложить на множители 6x 2 — 7x + 2 = 0

Решение

6x 2 — 4x — 3x + 2 = 0

Факторизуйте выражение;

⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0

⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0

⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ 3x = 2 или 2x = 1

⟹ x = 2/3 или x = ½

Пример 15

Разложить на множители x 2 + (4 — 3y) x — 12y = 0

Раствор

Разверните уравнение;

x 2 + 4x — 3xy — 12y = 0

Факторизация;

⟹ х (х + 4) — 3у (х + 4) = 0

х + 4) (х — 3у) = 0

⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0

⟹ x = -4 или x = 3y

Таким образом, x = -4 или x = 3y

Практические вопросы

Решите следующие квадратные уравнения путем факторизации:

  1. 3x 2 — 20 = 160 — 2x 2
  2. (2х — 3) 2 = 49
  3. 16x 2 = 25
  4. (2x + 1) 2 + (x + 1) 2 = 6x + 47
  5. 2x 2 + x — 6 = 0
  6. 3x 2 = x + 4
  7. (х — 7) (х — 9) = 195
  8. x 2 — (a + b) x + ab = 0
  9. x 2 + 5 x + 6 = 0
  10. x 2 — 2 x — 15 = 0

Ответы

  1. 6, -6
  2. -2, 5
  3. — 5/4, 5/4
  4. -3, 3
  5. -2, 3/2
  6. -1, 4/3
  7. -6, 22
  8. а, б
  9. –3, –2
  10. 5, — 3
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение уравнения абсолютных значений

Далее мы узнаем, как решить уравнение абсолютного значения .Чтобы решить такое уравнение, как [latex] | 2x — 6 | = 8 [/ latex], мы замечаем, что абсолютное значение будет равно 8, если количество внутри столбцов абсолютного значения равно [latex] 8 [/ latex] или [латекс] -8 [/ латекс]. Это приводит к двум различным уравнениям, которые мы можем решить независимо.

[латекс] \ begin {array} {lll} 2x — 6 = 8 \ hfill & \ text {или} \ hfill & 2x — 6 = -8 \ hfill \\ 2x = 14 \ hfill & \ hfill & 2x = — 2 \ hfill \\ x = 7 \ hfill & \ hfill & x = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Полезно знать, как решать проблемы, связанные с функциями абсолютного значения.Например, нам может потребоваться определить числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки.

Общее примечание: уравнения абсолютных значений

Абсолютное значение x записывается как [latex] | x | [/ latex]. Он имеет следующие свойства:

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {If} x \ ge 0, \ text {then} | x | = x. \ Hfill \\ \ text {If} x <0, \ text {тогда } | x | = -x. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Для действительных чисел [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс], уравнение вида [латекс] | A | = B [/ латекс] с [латексом] B \ ge 0 [/ latex], будут решения, когда [latex] A = B [/ latex] или [latex] A = -B [/ latex].Если [latex] B <0 [/ latex], уравнение [latex] | A | = B [/ latex] не имеет решения.

Уравнение абсолютного значения в форме [latex] | ax + b | = c [/ latex] имеет следующие свойства:

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {If} c <0, | ax + b | = c \ text {не имеет решения}. \ Hfill \\ \ text {If} c = 0, | ax + b | = c \ text {имеет одно решение}. \ hfill \\ \ text {If} c> 0, | ax + b | = c \ text {имеет два решения}. \ hfill \ end {array} [ / латекс]

Как: решить уравнение абсолютного значения.

  1. Изолировать выражение абсолютного значения по одну сторону от знака равенства.
  2. Если [latex] c> 0 [/ latex], запишите и решите два уравнения: [latex] ax + b = c [/ latex] и [latex] ax + b = -c [/ latex].

Пример 8: Решение уравнений абсолютных значений

Решите следующие уравнения абсолютных значений:

а. [латекс] | 6x + 4 | = 8 [/ латекс]
б. [латекс] | 3x + 4 | = -9 [/ латекс]
гр. [латекс] | 3x — 5 | -4 = 6 [/ латекс]
d. [латекс] | -5x + 10 | = 0 [/ латекс]

Решение

а. [латекс] | 6x + 4 | = 8 [/ латекс]

Напишите два уравнения и решите каждое:

[латекс] \ begin {array} {ll} 6x + 4 \ hfill & = 8 \ hfill & 6x + 4 \ hfill & = — 8 \ hfill \\ 6x \ hfill & = 4 \ hfill & 6x \ hfill & = — 12 \ hfill \\ x \ hfill & = \ frac {2} {3} \ hfill & x \ hfill & = — 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Два решения: [латекс] x = \ frac {2} {3} [/ latex], [latex] x = -2 [/ latex].

г. [латекс] | 3x + 4 | = -9 [/ латекс]

Нет решения, так как абсолютное значение не может быть отрицательным.

г. [латекс] | 3x — 5 | -4 = 6 [/ латекс]

Выделите выражение абсолютного значения и запишите два уравнения.

[латекс] \ begin {array} {lll} \ hfill & | 3x — 5 | -4 = 6 \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & | 3x — 5 | = 10 \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ 3x — 5 = 10 \ hfill & \ hfill & 3x — 5 = -10 \ hfill \\ 3x = 15 \ hfill & \ hfill & 3x = -5 \ hfill \\ x = 5 \ hfill & \ hfill & x = — \ frac {5} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Есть два решения: [латекс] x = 5 [/ latex], [latex] x = — \ frac {5} {3} [/ latex].

г. [латекс] | -5x + 10 | = 0 [/ латекс]

Уравнение установлено равным нулю, поэтому нам нужно написать только одно уравнение.

[латекс] \ begin {array} {l} -5x + 10 \ hfill & = 0 \ hfill \\ -5x \ hfill & = — 10 \ hfill \\ x \ hfill & = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex ]

Есть одно решение: [латекс] х = 2 [/ латекс].

Попробуй 7

Решите уравнение абсолютного значения: [latex] | 1 — 4x | + 8 = 13 [/ latex].

Решение

Решение квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений

Квадратичное уравнение — это уравнение, которое можно записать как

топор 2 + bx + c = 0

, когда 0.

Существует три основных метода решения квадратных уравнений: разложение на множители, использование формулы квадратов и завершение квадрата.

Факторинг

Чтобы решить квадратное уравнение на множители,

  1. Поместите все члены с одной стороны от знака равенства, оставив ноль с другой стороны.

  2. Коэффициент

    .

  3. Установите каждый коэффициент равным нулю.

  4. Решите каждое из этих уравнений.

  5. Проверьте, подставив свой ответ в исходное уравнение.

Пример 1

Решить x 2 — 6 x = 16.

Следуя инструкциям,

x 2 — 6 x = 16 становится x 2 — 6 x — 16 = 0

Коэффициент

.

( x — 8) ( x + 2) = 0

Установка каждого коэффициента на ноль,

Затем проверить,

Оба значения, 8 и –2, являются решениями исходного уравнения.

Пример 2

Решить y 2 = — 6 y — 5.

Устанавливая все члены равными нулю,

y 2 + 6 y + 5 = 0

Коэффициент

.

( y + 5) ( y + 1) = 0

Установка каждого коэффициента на 0,

Для проверки, y 2 = –6 y — 5

Квадратичный с отсутствующим членом называется неполным квадратичным (если не пропущен член ax 2 ).

Пример 3

Решить x 2 — 16 = 0.

Коэффициент

.

Для проверки, x 2 — 16 = 0

Пример 4

Решить x 2 + 6 x = 0.

Коэффициент

.

Для проверки, x 2 + 6 x = 0

Пример 5

Решить 2 x 2 + 2 x — 1 = x 2 + 6 x — 5.

Во-первых, упростите, поместив все термины в одну сторону и комбинируя одинаковые термины.

Теперь фактор.

Для проверки, 2 x 2 + 2 x — 1 = x 2 + 6 x — 5

Квадратичная формула

Многие квадратные уравнения не могут быть решены факторизацией. Обычно это верно, когда корни или ответы не являются рациональными числами. Второй метод решения квадратных уравнений включает использование следующей формулы:

a, b, и c взяты из квадратного уравнения, записанного в его общей форме

топор 2 + bx + c = 0

, где a — это число перед x 2 , b — это число перед x , а c — это число без переменной рядом с ним (a .k.a., «постоянная»).

При использовании формулы квадратного уравнения вы должны знать о трех возможностях. Эти три возможности различаются частью формулы, называемой дискриминантом. Дискриминант — это значение под знаком корня: b 2 — 4 ac . Квадратное уравнение с действительными числами в качестве коэффициентов может иметь следующее:

  1. Два разных действительных корня, если дискриминант b 2 — 4 ac является положительным числом.

  2. Один действительный корень, если дискриминант b 2 — 4 ac равен 0.

  3. Нет реального корня, если дискриминант b 2 — 4 ac является отрицательным числом.

Пример 6

Решить для x : x 2 — 5 x = –6.

Установка всех членов равными 0,

x 2 — 5 x + 6 = 0

Затем замените 1 (который, как предполагается, стоит перед x 2 ), –5 и 6 вместо a , b и c, соответственно в формуле квадратичного уравнения и упростите.

Поскольку дискриминант b 2 — 4 ac положительный, вы получаете два разных действительных корня.

Пример производит рациональные корни. В примере , квадратная формула используется для решения уравнения, корни которого нерациональны.

Пример 7

Найдите и : и 2 = –2y + 2.

Установка всех членов равными 0,

y 2 + 2 y — 2 = 0

Затем замените 1, 2 и –2 на a , b и c, соответственно в формуле корней квадратного уравнения и упростите.

Обратите внимание, что два корня иррациональны.

Пример 8

Решить для x : x 2 + 2 x + 1 = 0.

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения,

Поскольку дискриминант b 2 — 4 ac равен 0, уравнение имеет один корень.

Квадратичная формула также может использоваться для решения квадратных уравнений, корни которых являются мнимыми числами, то есть они не имеют решения в действительной системе счисления.

Пример 9

Найдите x : x ( x + 2) + 2 = 0 или x 2 + 2 x + 2 = 0.

Подставляя в формулу корней квадратного уравнения,

Поскольку дискриминант b 2 — 4 ac отрицательный, это уравнение не имеет решения в действительной системе счисления.

Но если бы вы выразили решение с помощью мнимых чисел, решения были бы такими.

Завершение площади

Третий метод решения квадратных уравнений, который работает как с действительными, так и с мнимыми корнями, называется завершением квадрата.

  1. Запишите уравнение в форму ax 2 + bx = — c .

  2. Убедитесь, что a = 1 (если a ≠ 1, умножьте уравнение на, прежде чем продолжить).

  3. Используя значение b из этого нового уравнения, добавьте к обеим сторонам уравнения, чтобы получить точный квадрат в левой части уравнения.

  4. Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения.

  5. Решите полученное уравнение.

Пример 10

Решить для x : x 2 — 6 x + 5 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a = 1, прибавьте или 9 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

x — 3 = ± 2

Решить.

Пример 11

Найдите y : y 2 + 2 y — 4 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a = 1, добавьте или 1 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

Решить.

Пример 12

Решить для x : 2 x 2 + 3 x + 2 = 0.

Оформить в виде

Поскольку a ≠ 1, умножаем уравнение на.

Добавьте или с обеих сторон.

Извлеките квадратный корень из обеих частей.

В действительной системе счисления нет решения. Вам может быть интересно узнать, что завершение квадратного процесса для решения квадратных уравнений использовалось в уравнении ax 2 + bx + c = 0, чтобы получить квадратную формулу.

Wolfram | Alpha Примеры: Алгебра


Другие примеры

Решение уравнения

Решите уравнения с одной или несколькими переменными как символьно, так и численно.

Решите полиномиальное уравнение:

Решите систему линейных уравнений:

Решите уравнение с параметрами:

Другие примеры


Другие примеры

Полиномы

Решайте, строите и находите альтернативные формы полиномиальных выражений от одной или нескольких переменных.

Вычислить свойства многочлена от нескольких переменных:

Другие примеры


Другие примеры

Рациональные функции

Вычислить разрывы и другие свойства рациональных функций.

Вычислить свойства рациональной функции:

Вычислить частичное разложение дроби:

Другие примеры


Другие примеры

Упрощение

Упростите алгебраические функции и выражения.

Другие примеры


Другие примеры

Матрицы

Находите свойства и выполняйте вычисления с матрицами.

Выполните базовую арифметику с матрицами:

Вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы:

Другие примеры


Другие примеры

Кватернионы

Выполните вычисления в кватернионной системе счисления.

Получите информацию о кватернионе:

Проведите расчеты с кватернионами:

Другие примеры


Другие примеры

Конечные группы

Откройте для себя свойства групп, содержащих конечное число элементов.

Получите информацию о конечной группе:

Спросите о собственности группы:

Сделайте алгебру с перестановками:

Другие примеры


Другие примеры

Конечные поля

Откройте для себя свойства полей, содержащих конечное количество элементов.

Вычислить свойства конечного поля:

Вычислить конкретное свойство:

Другие примеры


Другие примеры

Домен и диапазон

Найдите область и диапазон математических функций.

Вычислить область определения функции:

Вычислить диапазон функции:

Другие примеры

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск