Домашнее задание

1 уровень

Решите биквадратные уравнения:
1) х⁴ + х² — 2 = 0;
2) х⁴ — 3х² — 4 = 0.

2 уровень

2. Разложить на множители:

1) х⁴ — 12х²  + 32;
2) 256х⁴  — 32х² +1=0.

3 уровень

1. Решите биквадратные уравнения:
1) х⁴  — 18х² + 81=0;
2)  х⁴ — 20х²  + 96;
3)  х⁴  — 9х² = 0.

Способы решения квадратных уравнений | Творческие проекты и работы учащихся

Варианты решения квадратных уравнений

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения (Приложение 1).

Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно остановимся на каждом из них.

1 способ

Решим уравнение

х2 + 10х — 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х — 24 = х2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х — 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х2 + 10х — 24 = 0.

Решим уравнение х2 + 6х — 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 +

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х — 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х — 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 — 32 — 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х + 3)2 — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 — 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3 способ: решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) — b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 — 4ac,

2ax + b = ± √ b2 — 4ac,

2ax = — b ± √ b2 — 4ac,

Примеры. Сколько корней имеет уравнение?

а) 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 — 4ac = 72 — 4 • 4 • 3 = 49 — 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b2 — 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х2 — 4х + 1 = 0,

а = 4, b = — 4, с = 1, D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 • 4 • 1= 16 — 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 — 4ac = 0, то уравнение

ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 — 4ac = 32 — 4 • 2 • 4 = 9 — 32 = — 13 , D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 — 4ac < 0,

уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4 способ: решение уравнений с использованием теоремы Виета.

х2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = — p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

Например, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 иx2 = 1, так какq = 2 > 0 иp = — 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0;

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Пример: x2 + 4x – 5 = 0; x1 = — 5 иx2 = 1, так какq= — 5 < 0 иp = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 иx2 = — 1, так какq = — 9 < 0 иp = — 8 < 0.

5 способ: решение уравнений способом «переброски»( Приложение 2).

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6 способ: свойства коэффициентов квадратного уравнения (Приложение 2)

А.Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1

х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a • x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = — b/a,

x1x2 = 1• c/a.

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = — а + b/a= -1 – c/a,

x1x2 = — 1• ( — c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что м требовалось доказать.

Примеры.

1) Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней.

Пример.

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 =7± 8,

Ответ: х1 = 15; х2 = -1.

7 способ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = — px — q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

Искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + bх + с=0, и проходит через точки А (0;1) и С (0; ) на оси ординат. [5, c.34]

Возможны следующие случаи:

• прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
• прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
• прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4.

Ответ: х1 = — 1; х2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х — 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8 способ:: решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Найти корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). [5, c.34]

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 — корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD.

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример. Решим уравнение х2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х1 = — 1; х2 = 3.

9 способ: решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990) [ 3, c.83] .

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 11):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корниz1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).

(рис.12)

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 иz2 = 0,5.

3) Для уравнения

z2 — 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откудаz1 = 5t1 = 3,0 иz2 = 5t2 = 22,0.

10 способ: геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя

х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где у2 + 6у = 16,

или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаему2 — 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3)2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = — 2.

Заключение

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней. Здесь мы остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое.

Но это вопросы уже следующих работ. В результате изучения новых способов решения квадратных уравнений мы получили возможность решать уравнения не только по формуле, но и более интересными способами. Решили множество уравнений, изучили программу «Advanced Grapher». Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи.

Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. Данная исследовательская работа может быть использована учителями математики на уроках и элективных курсах по математике при изучении темы «Квадратные уравнения» (Приложения 1-3), учениками для расширения и углубления знаний по решению квадратных уравнений. Любой учащийся, используя эту исследовательскую работу, может самостоятельно изучить данную тему (Приложения 1-2).

Литература

1. Алимов, Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. / Пробный учебник для 6-8 классов средней школы. — М., Просвещение, 1981.
2. Арутюнян, Е.Б.Занимательная математика/ Е.Б. Арутюнян Москва «Аст – пресс» 1999.
3. Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.
4. Глейзер, Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М., Просвещение, 1982.
5. Окунев , А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. / Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.
6. Пресман, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.
7. Соломник , В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.
8. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение,
9. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры/ Л.Ф. Пичурин. Москва «Просвещение» 1990г.
10. Энциклопедический словарь юного математика. – 2-е издание, испр. и доп. – М.:Педагогика, 1989.
11. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика.- М.: Аванта+, 1999.
12. Ресурсы сети Интернет.
13. Программы «Advanced Grapher» и «Открытая математика».

цена, характеристика и фото на СтройДисконт

Основной особенностью сотового поликарбоната SKYGLASS является сочетание высокого качества и доступной цены. Являясь оптимальным выбором в большинстве областей применения, сотовый поликарбонат SKYGLASS сохраняет на должном уровне все технические характеристики, имея при этом достаточно невысокую стоимость.

Кроме того, стоит отметить дополнительные преимущества сотового поликарбоната SKYGLASS, которые гарантируют длительный срок службы в любых сферах его применения:

• отлично пропускает световые лучи и рассеивает их;
• обладает шумо- и теплоизоляцией;
• пластичен;
• обладает повышенной ударопрочностью;
• долговечен;
• легкий – в 16 раз легче стекла, однако обладает такими же светопропускными свойствами;
• при повреждении не образует осколков;
• вязкая структура позволяет легко изгибаться даже в холодном состоянии;
• легко монтируется с помощью специальных профилей из поликарбоната или алюминия.

Защита поликарбоната SKYGLASS:

• Все листы поликарбоната SKYGLASS имеют маркировочную защитную плёнку, которой отмечена сторона с УФ защитой.
• Особенности производства сотового поликарбоната SKYGLASS позволяют добиться максимально высоких технических и механических характеристик, которые обеспечивают в дальнейшем отличные эксплуатационные свойства.

Технические характеристики сотового поликарбоната SKYGLASS

• Толщина панели в миллиметрах 10
• Масса 1 м2: 1,15 кг
• Расстояние между ячейками: 11 мм
• Светопропускание для прозрачного: 84 %
• Минимальный радиус изгиба: 1,95 м
• Коэффициент теплопередачи, К: 2,8 Вт/м²·°С
• Звукопоглощение: 20 дБ
• Коэффициент линейного расширения: 0,067 мм/м·°С
• Водопоглощение за 24 часа: 0,35 %
• Ударная стойкость: 2,9 Дж
• Стандартная ширина листа – 2,1 м.; Стандартная длина листа – 12 м.
• Внутренний диаметр скрутки 12м листа 90-100см

Поликарбонат SKYGLASS рекомендуется применять:

• в строительстве — малые архитектурные формы, светопрозрачные конструкции, дизайн интерьеров в бщественных, промышленных и жилых зданиях;
• в рекламе и дизайне — световая реклама, витрины, стенды и др.;
• в сельском хозяйстве — теплицы, зимние сады, оранжерее и, др.

Дискриминант квадратного уравнения

Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax² + dx + c = 0. В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.

Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:

-Уравнения в которых только один корень.
-Уравнения с двумя разными корнями.
-Уравнения в которых корней нет совсем.

Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения.

Допустим наше уравнение ax² + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения —

D = b² — 4 ac

И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:

— Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.
— Когда D равно нулю, имеется только один корень.
— Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.
Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.

Рассмотрим для наглядности:

Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.

1) х² — 8х + 12 = 0
2 )5х² + 3х + 7 = 0
3) х²-6х + 9 = 0

Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.
а = 1, b = -8, c = 12
D = (-8)² — 4 * 1 * 12 = 64 — 48 = 16
Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.

Делаем тоже самое со вторым уравнением
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3² — 4 * 5 * 7 = 9 — 140 = — 131
Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.

Следующее уравнение разложим по аналогии.
а = 1, b = -6, с = 9
D = (-6)²— 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0
как следствие имеем один корень в уравнении.

Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.

Рассмотрим еще один пример:

1) х² — 2х — 3 = 0
2) 15 — 2х — х² = 0
3) х² + 12х + 36 = 0

Раскладываем первое
а = 1, b = -2, с = -3
D =(-2) ² — 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем их
х₁ = 2+?16/2 * 1 = 3, х₂ = 2-?16/2 * 1 = -1.

Раскладываем второе
а = -1, b = -2, с = 15
D = (-2)² — 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:
х₁ = 2+?64/2 * (-1) = -5, х₂ = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Раскладываем третье
а = 1, b = 12, с = 36
D = 12 ² — 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один корень
х = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Решать данные уравнения не сложно.

Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как

1х² + 9х = 0
2х² — 16 = 0

Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.

_{Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.}

Форматы А1, A2, A0 (1189 х 841 мм), метрические (ISO), форматы А1, А2, А0, JIS (B1, B2, B3), Дюймовые архитектурные ARCH, инженерные ANSI, DIN, Чему равны размеры формата А1?

Инженерные системы Seiko LP-1020
Форматы бумаги для печати
А0	1189 x 841 мм	ANSI E	44 x 34″
А1	841 х 594 мм	ANSI D	34 x 22″
А2	594 х 420 мм	ANSI C	22 x 17″
А3	420 х 297 мм	ANSI B	17 x 11″
А4	297 х 210 мм	ANSI A	11 x 8,5″
MAP B1	1000 х 700 мм	DIN B1	1000 x 707 мм
MAP B2	700 х 500 мм	DIN B2	707 х 500 мм
30 x 42 «	30 x 42″	DIN B3	500 х 353 мм
Нестандартный размер		Длина от 75 до 10000 мм Ширина от 50 до 914 мм
Поддерживаемая ширина рулонов
A-серия			MAP-серия
A0	841 мм	В1	700 мм
A1	594 мм	В2	500 мм
A2	420 мм		DIN-серия
A3	297 мм	В1	707 мм
9х12″-серия		В2	500 мм
36″	914,4 мм		China-серия
24″	609,6 мм	А0	914 мм
18″	457,2 мм	А0	910 мм
12″	304. 8 мм	А0	900 мм
8,5х11″-серия		А0	800 мм
34″	683,6 мм	А1	620 мм
22″	558,8 мм	А1	610 мм
17″	431.8 мм	А2	450 мм
11″	279,4 мм	А2	440 мм
30х42″-серия		А3	310 мм
30″	762 мм	А3	297 мм
Форматы оригиналов для сканирования
A-серия
Распознаваемые листовые форматы		Распознаваемая ширина оригинала
A0 портрет	1189 x 841 мм	841 мм	Минимальная длина оригинала 210 мм Максимальная длина оригинала 10000 мм
A1 портрет /альбом	841 х 594 мм	594 мм
A2 портрет /альбом	594 х 420 мм	420 мм
A3 портрет /альбом	420 х 297 мм	297 мм
A4 портрет /альбом	297 х 210 мм	210 мм
9 х 12-серия
Распознаваемые листовые форматы		Распознаваемая ширина оригинала
E портрет	1219 x 914 мм (48×36″)	914 мм	Минимальная длина оригинала 210 мм Максимальная длина оригинала 10000 мм
D портрет /альбом	914 х 610 мм (36×24″)	610 мм
C портрет /альбом	610 х 457 мм (24×18″)	457 мм
B портрет /альбом	457 х 305 мм (18×12″)	305 мм
A портрет /альбом	305 х 228 мм (12×9″)	228 мм
8,5 х 11-серия
Распознаваемые листовые форматы		Распознаваемая ширина оригинала
E портрет	1117 x 863 мм (44×34″)	863 мм	Минимальная длина оригинала 210 мм Максимальная длина оригинала 10000 мм
D портрет /альбом	863 х 559 мм (34×22″)	559 мм
C портрет /альбом	559 х 432 мм (22×17″)	432 мм
B портрет /альбом	432 х 279 мм (17×11″)	279 мм
A портрет /альбом	279 х 216 мм (11×8,5″)	216 мм
30 х 42-серия
Распознаваемые листовые форматы		Распознаваемая ширина оригинала
30 х 42 портрет	1067 x 762 мм (42×30″)	914 мм	Минимальная длина оригинала 210 мм Максимальная длина оригинала 10000 мм
MAP-серия
Распознаваемые листовые форматы		Распознаваемая ширина оригинала
B1 портрет	1000 x 700 мм	700 мм	Минимальная длина оригинала 210 мм Максимальная длина оригинала 10000 мм
B2 портрет /альбом	700 х 500 мм	500 мм
DIN-серия
Распознаваемые листовые форматы		Распознаваемая ширина оригинала
B1 портрет	1000 x 707 мм	707 мм	Минимальная длина оригинала 210 мм Максимальная длина оригинала 10000 мм
B2 портрет /альбом	707 х 500 мм	500 мм
B3 портрет /альбом	500 х 353 мм	353 мм
China-серия
Распознаваемая ширина оригинала
914 мм	620 мм	440 мм	Минимальная длина оригинала 210 мм Максимальная длина оригинала 10000 мм
910 мм	610 мм	310 мм
900 мм	450 мм	297 мм
880 мм

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

1. 1 Факторинг x ² -x-12

Первый член: x ² его коэффициент равен 1.
Средний член, -x, его коэффициент -1.
Последний член, «константа», равен -12

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -12 = -12

Шаг-2: Найдите два множителя -12, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -1.

Шаг 3: Перепишите полином, разделяющий средний член, используя два фактора, найденные на шаге 2 выше, -4 и 3
x ² — 4x + 3x — 12

Шаг 4: сложите первые 2 члена, вычитая одинаковые множители:
x • (x-4)
Складываем последние 2 члена, вычитая общее факторы:
3 • (x-4)
Шаг 5: сложите четыре члена шага 4:
(x + 3) • (x-4)
Какой желаемый фактор ion

Уравнение в конце шага 1:

 (x + 3) • (x - 4) = 0
 

Шаг 2:

Теория — Истоки продукта:

2.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

 
 Решение уравнения с одной переменной: 
 
 2.2 Решите: x + 3 = 0 
 
 Вычтем 3 из обеих частей уравнения: 
 x = -3 
 
 
 
 Решение уравнения с одной переменной: 
 
 2.3 Решите: x-4 = 0 
 
 Добавьте 4 к обеим сторонам уравнения: 
 x = 4 
 
 
 
 Дополнение: Решение квадратного уравнения напрямую 
 
 Решение x  2  -x-12 = 0 напрямую 
 Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу
 
 Парабола, найдя вершину: 
 3.1 Найдите вершину y = x  2  -x-12
 Параболы имеют наибольшее значение или самая низкая точка называется Вершиной.Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).
 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
 Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
 Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна 0.5000
 Подставляя в формулу параболы 0,5000 для x, мы можем вычислить координату y: 
 y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 12,0 
 или y = -12,250
 Парабола, графическая вершина и пересечение по оси X: 
 Корневой график для: y = x  2  -x-12 
 Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0,50} 
 Вершина в точке {x, y} = {0,50, -12,25} 
 x -Переходы ( Roots): 
 Корень 1 при {x, y} = {-3.00, 0.00} 
 Корень 2 при {x, y} = {4.00, 0.00}
 Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
 3.2 Решение x  2  -x-12 = 0, завершив Квадрат.
 Добавьте 12 к обеим сторонам уравнения: 
 x  2  -x = 12
 Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2, и возведите его в квадрат. давая 1/4
 Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения: 
 В правой части мы имеем: 
 12 + 1/4 или, (12/1) + (1/4) 
 Общий знаменатель две дроби равны 4. Сложение (48/4) + (1/4) дает 49/4 
 Таким образом, сложив обе стороны, мы, наконец, получаем: 
 x  2  -x + (1/4) = 49/4
 Сложение 1/4 превратила левую часть в полный квадрат: 
 x  2  -x + (1/4) = 
 (x- (1/2)) • (x- (1/2)) = 
 ( x- (1/2))  2  
 Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Так как 
 x  2  -x + (1/4) = 49/4 и 
 x  2  -x + (1/4) = (x- (1/2))  2  
 то по закону транзитивности, 
 (x- (1/2))  2  = 49/4
 Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1
 Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
 Обратите внимание, что квадратный корень из 
 (x- (1/2))  2  равен 
 (x- (1/2))  2/2  = 
 (x- (1/2))  1  = 
 x- (1/2)
 Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 3.2.1 получаем: 
 x- (1/2) = √ 49/4
 Добавьте 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить: 
 x = 1/2 + √ 49/4
 Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
 x  2  — x — 12 = 0 
 имеет два решения: 
 x = 1/2 + √ 49/4 
 или 
 x = 1/2 — √ 49/4
 Обратите внимание, что √ 49/4 можно записать как 
 √ 49 / √ 4, что равно 7/2 
 Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 
 3.3 Решение x  2  -x-12 = 0 по квадратичной формуле.
 Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как: 
   
 — B ± √ B  2  -4AC 
 x = ———————— 
 2A
 В нашем случае A = 1 
 B = -1 
 C = -12
 Соответственно B  2  — 4AC = 
 1 — (-48) = 
 49
 Применение квадратичной формулы:
 1 ± √ 49 
 x = ————— 
 2
 Можно ли упростить √ 49?
 Да! Разложение на простые множители 49 равно 
 7 • 7 
 Чтобы можно было удалить что-то из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i. е. второй корень).
 √ 49 = √ 7 • 7 = 
 ± 7 • √ 1 = 
 ± 7
 Итак, теперь мы смотрим на: 
 x = (1 ± 7) / 2
 Два реальных решения:
 x = ( 1 + √49) / 2 = (1 + 7) / 2 = 4.000
 или:
 x = (1-√49) / 2 = (1-7) / 2 = -3.000
 Были найдены два решения : 
 x = 4
 x = -3
 решить: 2 / x = 12 | Wyzant Спросите эксперта 
 Здравствуйте, Татьяна (и другие, интересующиеся этим вопросом).
 Вы задали вопрос (я исправил орфографию и заглавные буквы в цитате):
 Решить: 2 / x = 12
 Возможные ответы: 6, 24, 1/6, 1/24
 Во-первых, удивительно по двум причинам, что вы задали этот вопрос, а не кричали на вас. Вот они:
 1. Предлагаются четыре возможных ответа, поэтому методом проб и ошибок вы можете попробовать каждый из них и получить ответ быстрее, чем разместите вопрос здесь,
 и,
 2.Цифры довольно простые, поэтому вы можете почти угадать ответ, даже если не было предложено никаких вариантов.
 При этом позвольте мне заверить вас, что я считаю, что вы не ленитесь и что этот вопрос представляет для вас настоящую трудность. Итак, я подумал об этом и, учитывая желание WyzAnt, чтобы репетиторы,
 … Помните, как их ответы могут помочь ученику в долгосрочной перспективе. Отвечать на вопросы так, чтобы учащийся понял, как прийти к ответу, предпочтительнее, чем просто дать ответ,
 Я задумался о возможных причинах.
 1. Возможно, вы не знаете, что означает слово «решить». Вы можете найти это в Интернете или в словаре.
 2. Вам не хватило пиццы. Приобретите или приготовьте несколько круглых пицц. Разрежьте их на 2,3,4,5,6,12 клинья и оставьте 1 неразрезанный. Сколько кусочков пиццы, разрезанных на 2, уместится поверх всей пиццы? Если вы съели один кусок, какая часть от целого останется? Сколько кусочков пиццы, разрезанных на 12 частей, может поместиться в 1 кусок пиццы, разрезанный на 6? Задавайте себе аналогичные вопросы, пока не поймете дроби. Если вы устали от пиццы, съедите вишневый пирог или используйте бумажные тарелки или плотную бумагу для изображения пирогов и изучения дробей.
 3. Вы можете не понимать части дроби или обозначение: 2 / x = 12. Число 2 — это числитель, который указывает количество частей целого, которое у вас есть. Линия — это «vinculum», что означает «разделить на». «X» — знаменатель. Он сообщает, сколько частей находится во всем объекте.
 3. Итак, посмотрим на уравнение еще раз.
 Решить: 2 / x = 12 
 4. Изложите это словами (подсказки см. В пункте 3. выше).
 Две части, которые у нас есть,  , разделенное на x частей в целом, равняется двенадцати частям. 
 5. Поместите в другой формат,
 Дано 2 ÷ x = 12, найти x.
 Вы можете это решить? Если нет, замените x маленькой рамкой или буквой «?» И посмотрите, сможете ли вы это сделать. Тогда это будет больше похоже на математическую задачу начальной школы.
 2 ÷? = 12
 Теперь вы можете использовать правила математики или алгебры, чтобы переместить двойку на другую сторону и оставить вопросительный знак или квадрат отдельно.Умножьте обе стороны на неизвестное (x, квадрат или вопросительный знак, в зависимости от используемой вами записи. Здесь мы вернемся к использованию x.
 2 = 12x
 Разделим обе стороны на 12: 2 = 12x 
 12 12 
 Так как 12 делится на 2 и 12, то правая часть равна 2 больше 12, а правая часть равна 1x, или 1/6 = x.
 6. Попробуйте это:
 2 / х = 12
 2 = 12 
 x 1
 Перекрестное умножение: 2 умножить на 1 = 12x
 или, 2 = 12 x.
 Разделите обе стороны на 2. Что вы получите?
 снова 2/2, поэтому остается только 1/6. поэтому x = 1/6
 Попробуйте это:
 Если 2/12 = 1x, и, поскольку 2/2 = 1, то правая часть здесь просто x.
 Уменьшить дробь 2/12.
 1/6 = х
 По принципу тождественности,
 х = 1/6
 7. Если это все еще сбивает с толку или просто для развлечения, вы можете поиграть в игры с дробями.Если вы свяжетесь со мной, я поделюсь с вами некоторыми из них.
 8. Вернитесь сейчас и изучите тестовый навык. Попробуйте вставить каждый ответ и посмотрите, что вы получите.
 Решить: 2 / x = 12 
 возможные ответы: 6, 24, 1/6, 1/24
 Для этого вы можете сделать диаграмму.
 Если x: _ | Уравнение: ________ | __ Да, если работает, Нет, если нет ____
 6 | |
 24 | |
 1/6 | |
 1/24 | |
 9.Было бы полезно выучить список общеупотребительных дробей или их эквивалентов, чтобы в будущем быстрее решать математические задачи. Точно так же вы можете изучать квадраты и кубы до 20. Это в конечном итоге поможет вам с такими тестами, как SAT, NCLEX. MCAT, помимо прочего, также поможет вам в работе и даже в покупках.
 10. Если все это не поможет, вы можете пройти тестирование на трудности с обработкой информации, и они могут научить вас некоторым приемам, которые помогут вам во всех ваших исследованиях. В этом вам поможет школьный консультант или академический декан.
 Удачи. Буду признателен, если вы сообщите мне, помогло ли вам это обсуждение и была ли какая-то конкретная часть более полезной. Спасибо.
  Цитаты из вопроса, который вы задали в WyzAnt. Математические символы взяты из Википедии. 
 (c) JSS 2013. При необходимости свяжитесь с доктором J для получения разрешений.
 Решение логарифмических уравнений — объяснения и примеры 
 Как вы хорошо знаете, логарифм — это математическая операция, обратная возведению в степень.Логарифм числа сокращается как « log ».
  Прежде чем мы сможем решить логарифмические уравнения, давайте сначала познакомимся со следующими правилами логарифмов: 
 Правило произведения гласит, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов. Первый закон представлен как;
 ⟹ log  b  (x) + log  b  (y) = log  b  (xy)
 Разность двух логарифмов x и y равна отношению логарифмов.
 ⟹ log  b  (x) — log  b  (y) = log (x / y)
 ⟹ log  b  (x)  n  = n log  b  (x)
 ⟹ log  b  x = (log  a  x) / (log  a  b)
 Логарифм любого положительного числа по основанию этого числа всегда равен 1. 
 b  1  = b ⟹ log  б  (б) = 1.
 Пример:
 Логарифм от числа 1 до любого ненулевого основания всегда равен нулю.
 b  0  = 1 ⟹ журнал  b  1 = 0.
 Как решать логарифмические уравнения? 
 Уравнение, содержащее переменные в показателях степени, известно как экспоненциальное уравнение. Напротив, уравнение, которое включает логарифм выражения, содержащего переменную, называется логарифмическим уравнением.
 Цель решения логарифмического уравнения — найти значение неизвестной переменной.
  В этой статье мы узнаем, как решить два общих типа логарифмических уравнений, а именно: 
 Уравнения, содержащие логарифмы на одной стороне уравнения.
 Уравнения с логарифмами на противоположных сторонах от знака равенства.
 Как решить уравнения с односторонним логарифмом? 
 Уравнения с логарифмами на одной стороне принимают логарифм  b  M = n ⇒ M = b  n .
  Чтобы решить этот тип уравнений, выполните следующие действия: 
 Упростите логарифмические уравнения, применив соответствующие законы логарифмов.
 Перепишите логарифмическое уравнение в экспоненциальной форме.
 Теперь упростим показатель степени и решим переменную.
 Проверьте свой ответ, подставив его обратно в логарифмическое уравнение. Обратите внимание, что приемлемый ответ логарифмического уравнения дает только положительный аргумент.
   Пример 1  
 Журнал решения  2  (5x + 7) = 5
  Решение 
 Перепишите уравнение в экспоненциальную форму
 журнала  2  (5x + 2  5  = 5x + 7
 ⇒ 32 = 5x + 7
 ⇒ 5x = 32-7
 5x = 25
 Разделите обе стороны на 5, чтобы получить
 x = 5
   Пример 2  
 Решите относительно x в логарифме (5x -11) = 2
  Решение 
 Поскольку основание этого уравнения не дано, мы принимаем основание 10.
 Теперь измените логарифм в экспоненциальной форме.
 ⇒ 10  2  = 5x — 11
 ⇒ 100 = 5x -11
 111 = 5x
 111/5 = x
 Следовательно, x = 111/5 — это ответ.
   Пример 3  
 Журнал решения  10  (2x + 1) = 3
  Решение 
 Перепишите уравнение в экспоненциальной форме
 log  10  (2x + 1) = 3n⇒ 2x = 3n⇒ + 1 = 10  3 
 ⇒ 2x + 1 = 1000
 2x = 999
 Разделив обе стороны на 2, получим;
 х = 499.5
 Проверьте свой ответ, подставив его в исходное логарифмическое уравнение;
 ⇒ log  10  (2 x 499,5 + 1) = log  10  (1000) = 3, поскольку 10  3  = 1000
   Пример 4  
 Evaluate ln (4x -1) = 3
  Решение 
 Перепишем уравнение в экспоненциальной форме как;
 ln (4x -1) = 3 ⇒ 4x — 3 = e  3 
 Но, как известно, e = 2,718281828
 4x — 3 = (2.718281828)  3  = 20.085537
 x = 5.271384
   Пример 5  
 Решите логарифмическое уравнение log  2  (x +1) — log  2  (x — 4) = 3
65
 Решение 
 Сначала упростите логарифмы, применив правило частного, как показано ниже.
 журнал  2  (x +1) — журнал  2  (x — 4) = 3 ⇒ log  2  [(x + 1) / (x — 4)] = 3
 Теперь перепишите уравнение в экспоненциальной форме
 ⇒2  3  = [(x + 1) / (x — 4)]
 ⇒ 8 = [(x + 1) / (x — 4)]
 Перемножьте уравнение крест-накрест
 ⇒ [(x + 1) = 8 (x — 4)]
 ⇒ x + 1 = 8x -32
 7x = 33 …… (Сбор одинаковых терминов)
 x = 33/7
   Пример 6  
 Решите относительно x, если log  4  (x) + log  4  (x -12) = 3
  Решение 
 Упростите логарифм, используя следующее правило произведения;
 журнал  4  (x) + журнал  4  (x -12) = 3 ⇒ log  4  [(x) (x — 12)] = 3
 ⇒ log  4  (x  2  — 12x) = 3
 Преобразуйте уравнение в экспоненциальную форму.
 ⇒ 4  3 =  x  2  — 12x
 ⇒ 64 = x  2  — 12x
 Поскольку это квадратное уравнение, мы решаем его факторизацией.
 x  2  -12x — 64 ⇒ (x + 4) (x — 16) = 0
 x = -4 или 16
 Когда x = -4 подставляется в исходное уравнение, мы получаем отрицательный ответ что мнимое. Поэтому 16 — единственное приемлемое решение.
 Как решить уравнения с логарифмами с обеих сторон уравнения? 
 Уравнения с логарифмами по обе стороны от знака равенства принимают log M = log N, что совпадает с M = N.
 Процедура решения уравнений с логарифмами по обе стороны от знака равенства.
 Если логарифмы имеют общую основу, упростите задачу, а затем перепишите ее без логарифмов.
 Упростите, собирая одинаковые члены и решая переменную в уравнении.
 Проверьте свой ответ, вернув его в исходное уравнение. Помните, что приемлемый ответ приведет к положительному аргументу.
   Пример 7  
 Журнал решения  6  (2x — 4) + журнал  6 ( 4) = журнал  6  (40)
  Решение 
 Сначала упростите логарифм.
 журнал  6  (2x — 4) + журнал  6  (4) = журнал  6  (40) ⇒ log  6  [4 (2x — 4)] = журнал  6  (40)
 Теперь опустите логарифмы
 ⇒ [4 (2x — 4)] = (40)
 ⇒ 8x — 16 = 40
 ⇒ 8x = 40 + 16
 8x = 56
 x = 7
   Пример. 8  
 Решите логарифмическое уравнение: log  7  (x — 2) + log  7  (x + 3) = log  7  14
  Решение 
 Упростите уравнение, применив правило произведения .
 Лог  7  [(x — 2) (x + 3)] = log  7  14
 Отбросьте логарифмы.
 ⇒ [(x — 2) (x + 3)] = 14
 Распределите ФОЛЬГУ, чтобы получить;
 ⇒ x  2  — x — 6 = 14
 ⇒ x  2  — x — 20 = 0
 ⇒ (x + 4) (x — 5) = 0
 x = -4 или x = 5
 когда x = -5 и x = 5 подставляются в исходное уравнение, они дают отрицательный и положительный аргумент соответственно. Поэтому x = 5 — единственное приемлемое решение.
   Пример 9  
 Журнал решения  3  x + log  3  (x + 3) = log  3  (2x + 6)
  Решение 
 Учитывая уравнение; log  3  (x  2  + 3x) = log  3  (2x + 6), отбросьте логарифмы, чтобы получить; 
 ⇒ x  2  + 3x = 2x + 6 
 ⇒ x  2  + 3x — 2x — 6 = 0 
 x  2  + x — 6 = 0 ……………… (Квадратное уравнение) 
 Фактор множителя квадратное уравнение получить;
 (x — 2) (x + 3) = 0 
 x = 2 и x = -3
 Проверяя оба значения x, мы получаем x = 2, что является правильным ответом.
   Пример 10  
 Журнал решения  5  (30x — 10) — 2 = log  5  (x + 6)
  Решение 
 log  5  (30x — 10) — 2 = log  5  (x + 6)
 Это уравнение можно переписать как;
 ⇒ log  5  (30x — 10) — log  5  (x + 6) = 2
 Упростим логарифмы
 log  5  [(30x — 10) / (x + 6)] = 2
 Записать логарифм в экспоненциальной форме.
 ⇒ 5  2  = [(30x — 10) / (x + 6)]
 ⇒ 25 = [(30x — 10) / (x + 6)]
 При перекрестном умножении получаем;
 ⇒ 30x — 10 = 25 (x + 6)
 ⇒ 30x — 10 = 25x + 150
 ⇒ 30x — 25x = 150 + 10
 ⇒ 5x = 160
 x = 32
 Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок 
 Раздел 6: Решение полиномиальных уравнений с помощью факторинга | Общественный колледж Хьюстона 
 Решите квадратные уравнения с помощью свойства нулевого фактора 
 Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать в форме
 топор  2  + bx + c = 0
, где  a, b  и  c  — действительные числа с a 0.
  ax  2  + bx + c = 0  называется стандартной формой квадратного уравнения. Иногда нам, возможно, придется переставить члены уравнения, чтобы привести его в стандартную форму. Единственное требование здесь — чтобы в уравнении было x  2 . Мы гарантируем, что этот член будет присутствовать в уравнении, требуя ≠ 0.
 Однако обратите внимание, что это нормально, если  b  и / или  c  равны нулю.
  Следующие уравнения являются примерами квадратных уравнений.
 1.
 2k2 + 4k + 1 = 0
 a = 2, b = 4, c = 1
 2.
 x2 — 12x = 0
 а = 1, б = — 12, в = 0
 3.
 t2 = 81
 а = 1, б = 0, в = — 81
 4.
 (y + 1) (y — 7) = 1
 a = 1, b = — 6, c = — 8 (Подсказка: расширяйте и собирайте термины).

  Собственность нулевого фактора 
 
 Решение с использованием факторинга Как следует из заголовка, мы будем решать квадратные уравнения здесь путем факторинга.Для этого нам понадобится следующий факт.
 Если  ab  = 0, то либо  a  = 0, либо  b  = 0.
 Этот факт называется свойством нулевого фактора  или принципом нулевого фактора . Все, что говорит свойство, — это то, что если произведение двух членов равно нулю, то по крайней мере один из членов должен быть равен нулю для начала. Обратите внимание, что это свойство будет работать ТОЛЬКО, если продукт равен нулю. Рассмотрим следующий продукт.
  ab = 6 
 В этом случае нет оснований полагать, что  a  или  b  будет 6.
  Например, мы могли бы иметь a = 2 и b = 3. Так что не злоупотребляйте этим фактом! 
 Чтобы решить квадратное уравнение путем факторизации, мы сначала должны переместить все члены в одну сторону уравнения.
 Это служит двум целям. Во-первых, он придает квадратичности форму, которую можно разложить на множители. Во-вторых, и это, вероятно, более важно, чтобы использовать свойство нулевого фактора, у  ДОЛЖЕН  иметь ноль на одной стороне уравнения.
 Если у нас нет нуля на одной стороне уравнения, мы не сможем использовать свойство нулевого фактора.
 
  Пример 1: Решите следующее уравнение путем факторизации. х2 — х = 12 
  Решение. 
 Сначала соберите все с одной стороны уравнения, а затем разложите на множители.
 x  2  — x — 12 = 0 (x — 4) (x + 3) = 0
 
 Теперь у нас есть произведение двух членов, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из следующих должен
 быть правдой.
 x — 4 = 0  ИЛИ  x + 3 = 0
 x = 4  ИЛИ  x = — 3
 
 Обратите внимание, что каждое из них является линейным уравнением, которое достаточно легко решить.Это говорит нам о том, что у нас есть два решения уравнения: x = 4 и x = — 3. Как и в случае с линейными уравнениями, мы всегда можем проверить наши решения, вставив решение обратно в уравнение. Мы проверим x = — 3, а другое оставим вам для проверки.
 (- 3)  2  — (- 3) = 12?
 9 + 3 = 12?
 12 = 12 ОК
 Итак, это действительно было решение.
 
  Пример 2: Решите следующее уравнение путем факторизации.
 4 мес  2  — 1 = 0
  Решение. 
 Разложите уравнение на множители. 4  м   2  — 1 = 0
 (2 м — 1) (2 мес. + 1) = 0
 Теперь примените свойство нулевого фактора. Свойство нулевого фактора говорит нам, что
 2 м — 1 = 0 ИЛИ 2 м + 1 = 0
 2 м = 1 ИЛИ 2 м = — 1
 
 Опять же, мы обычно решаем их в уме, но нам нужно было сделать по крайней мере одну детально.Итак, у нас есть два решения уравнения.
  Пример 3: Решите следующее уравнение путем факторизации. 
 5x³ — 5×2 — 10x = 0
 
  Решение. 
 Первое, что нужно сделать, это как можно больше разложить это уравнение на множители. В данном случае это означает, что сначала нужно выделить наибольший общий фактор. Вот факторизованная форма этого уравнения.
 5x (x  2  — x — 2) = 0
 5x (x — 2) (x + 1) = 0
 
 Теперь свойство нулевого фактора все еще сохраняется.В данном случае произведение трех членов равно нулю. Единственный способ, при котором этот продукт может быть равен нулю, — это если один из членов равен нулю. Это означает, что 5x = 0 — ›x = 0
 x — 2 = 0 — ›x = 2
 x + 1 = 0 — ›x = — 1
 
 Итак, у нас есть три решения этого уравнения. Итак, при условии, что мы можем разложить многочлен на множители, мы всегда можем использовать это как метод решения. Проблема, конечно, в том, что факторинг иногда бывает непросто. 
 
  Проверьте свои знания, открыв действие «Проверьте себя».{2} -10х + 24.
 9x-36- \ left (x-6 \ right) \ times 7 = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Используйте свойство распределения, чтобы умножить x-4 на 9 .
 9x-36- \ left (7x-42 \ right) = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Используйте свойство распределения, чтобы умножить x-6 на 7.
 9x-36-7x + 42 = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Чтобы найти противоположность 7x-42, найдите противоположность каждого члена.
 2x-36 + 42 = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Объедините 9x и -7x, чтобы получить 2x.{2} -3x \ right) + \ left (-7x-21 \ right).
 x \ left (-x-3 \ right) +7 \ left (-x-3 \ right)
 Выносим за скобки x в первой и 7 во второй группе.
 \ left (-x-3 \ right) \ left (x + 7 \ right)
 Выносите за скобки общий член -x-3, используя свойство распределения.
 x = -3 x = -7
 Чтобы найти решение уравнения, решите -x-3 = 0 и x + 7 = 0.
 x = -7
 Переменная x не может быть равна -3.
 \ left (x-4 \ right) \ times 9- \ left (x-6 \ right) \ times 7 = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Переменная x не может быть равно какому-либо из значений -3,4,6, так как деление на ноль не определено.{2} -10х + 24.
 9x-36- \ left (x-6 \ right) \ times 7 = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Используйте свойство распределения, чтобы умножить x-4 на 9 .
 9x-36- \ left (7x-42 \ right) = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Используйте свойство распределения, чтобы умножить x-6 на 7.
 9x-36-7x + 42 = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Чтобы найти противоположность 7x-42, найдите противоположность каждого члена.
 2x-36 + 42 = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Объедините 9x и -7x, чтобы получить 2x.{2} -4ac}} {2a}.
 x = \ frac {- \ left (-10 \ right) ± \ sqrt {100-4 \ left (-1 \ right) \ left (-21 \ right)}} {2 \ left (-1 \ right )}
 Квадрат -10.
 x = \ frac {- \ left (-10 \ right) ± \ sqrt {100 + 4 \ left (-21 \ right)}} {2 \ left (-1 \ right)}
 Умножить -4 раза -1.
 x = \ frac {- \ left (-10 \ right) ± \ sqrt {100-84}} {2 \ left (-1 \ right)}
 Умножить 4 раза -21.
 x = \ frac {- \ left (-10 \ right) ± \ sqrt {16}} {2 \ left (-1 \ right)}
 Добавьте 100 к -84.
 x = \ frac {- \ left (-10 \ right) ± 4} {2 \ left (-1 \ right)}
 Извлеките квадратный корень из 16.
 x = \ frac {10 ± 4} {2 \ left (-1 \ right)}
 Противоположность -10 равна 10.
 x = \ frac {10 ± 4} {- 2}
 Умножение 2 раза -1.
 x = \ frac {14} {- 2}
 Теперь решите уравнение x = \ frac {10 ± 4} {- 2}, когда ± плюс. Добавьте 10 к 4.
 x = \ frac {6} {- 2}
 Теперь решите уравнение x = \ frac {10 ± 4} {- 2}, когда ± — минус. Вычтем 4 из 10.
 x = -7 x = -3
 Уравнение решено.
 x = -7
 Переменная x не может быть равна -3.{2} -10х + 24.
 9x-36- \ left (x-6 \ right) \ times 7 = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Используйте свойство распределения, чтобы умножить x-4 на 9 .
 9x-36- \ left (7x-42 \ right) = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Используйте свойство распределения, чтобы умножить x-6 на 7.
 9x-36-7x + 42 = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Чтобы найти противоположность 7x-42, найдите противоположность каждого члена.
 2x-36 + 42 = \ left (x + 3 \ right) \ left (x + 9 \ right)
 Объедините 9x и -7x, чтобы получить 2x.{2}} = \ sqrt {4}
 Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.
 x = -3 x = -7
 Вычтем 5 из обеих частей уравнения.
 x = -7
 Переменная x не может быть равна -3.
 Если вы дадите мыши бесплатные печатные формы cookie 
 20 октября 2018 г. · Вы можете использовать их в качестве отправной точки при создании сертификатов на рождественскую тематику. Кроме того, их можно использовать для открыток, приглашений или даже праздничных украшений. На таких бордюрах обычно присутствуют рождественские изображения и значки, такие как огни, снежинки и падуб.Когда вы делаете свои собственные бордюры на Рождество, вы можете использовать бесплатный клипарт.
 Это позволяет вам писать письма, статьи, рассказы, отчеты и другие вещи проще и быстрее. Если у вас есть принтер, вы можете легко написать письмо другу или члену семьи, распечатать его и отправить им. Вы можете сохранить свои письменные документы на домашнем компьютере и иметь легкий доступ к ним, когда они вам снова понадобятся. Учащиеся изучают книгу Лауры Иоффе Нумерофф «Если вы дадите мышке печенье», используя различные техники, начиная с прогулки по картинкам и заканчивая тем, что ученики сидят вместе на общем ковре для чтения.Покажите студентам обложку книги «Если вы дадите мышке печенье» и прочтите заголовок с вопросом: «Тогда . ..
 Откройте для себя весь наш ассортимент книг на Waterstones.com. Приобретайте онлайн с бесплатной доставкой по Великобритании для заказов на сумму более 25 фунтов стерлингов или нажмите & Собирайте в течение нескольких часов waterstones.com
 Найдите последние книги из серии «Если вы дадите …», включая «Если вы дадите мышке печенье» и «Если вы дадите мышке домовой!» Книги о мышах. С Днем Святого Валентина, Мышь! Вам нужен компьютер, чтобы попасть в прекрасную страну чудес Диснея.Вы можете решать головоломки с Микки Маусом, собирать яблоки с деревьев и даже наряжать своих любимых приятелей! Выбирайте из множества симпатичных нарядов, разных цветов и стилей одежды. Или поиграйте в игру в стиле «Где Уолдо» и попытайтесь найти свидание Минни!
 Презентация на тему: «Если вы дадите мышке печенье» — стенограмма презентации 14 И есть вероятность, что если он попросит стакан молока, он захочет подать печенье. 15 Конец.
 Смотреть сериал «Если вы дадите мышке печенье» онлайн kisscartoon.Краткое содержание: В серии статей «Если вы дадите мышке печенье», основанной на любимых книгах Лауры Нумерофф и Фелисии Бонд, мы познакомимся с Мышью, Свинью, Лосем, Собакой и Кошкой и их любимыми людьми. Первые условные рассказы. Смешанные условные игры, рабочие листы и песни. 62 Рождественских и новогодних PDF-файла и многие другие праздничные обучающие идеи. Если вы найдете здесь что-нибудь полезное и захотите еще, пожалуйста, поддержите TEFLtastic.
 Ваш поставщик аптек, товаров для здоровья и благополучия, а также фототоваров.Пополняйте рецепты онлайн, заказывайте товары для доставки или самовывоза и создавайте фото-подарки.
 Если голодный мышонок появляется на пороге вашего дома, вы можете дать ему печенье. И если вы дадите ему печенье, он попросит стакан молока. Он захочет посмотреть в зеркало, чтобы убедиться, что у него нет молочных усов, а затем он попросит ножницы, чтобы подстричь себя … Младенец, растение, лимон, персик, банан, кисть, звезда, гора, дерево, шиллинг, король, официант, королева, мужчина, мужчина, женщина, женщина, глаз, полка, ящик, город, мальчик, гусь, часы, мышь, платье, игрушка, овца, зуб, ребенок, вол, а.
 Соленое озеро действующая компания | ЕСЛИ ВЫ ДАЛИ МЫШЬ — ПЕЧЕНЬЕ ЕСЛИ ДАЛИ МЫШЬ — ПЕЧЕНЬЕ Сводка История начинается с того, что главный герой, Мальчик, рассказывает аудитории об одном очень насыщенном событиями дне — дне, когда Мышь пришла в его дом. В тот день Бой решил остаться дома и почитать свой новый комикс, а его мать пошла навестить его тетю Роуз.
 Печать. Leer en español … легко взглянуть на технологические компании и заметить столы для настольного футбола, тележки с пивом и много бесплатной еды. Но такие объекты — только часть картины…. потом они победили … Приведенные ниже списки даны для понимания образности таких идиом, а не для активного использования. В большинстве случаев изучающим язык лучше использовать простые нейтральные фразы вместо этих интересных и ярких выражений. тихий, как мышь; все еще как мышь.
 Математика и естественные науки: как использовать плитки алгебры для разложения квадратичных трехчленов: с картинками! 
 
 Плитки алгебры — самые крутые мелочи. Это замечательный практический инструмент, который можно использовать для визуального представления многих вопросов алгебры, от решения уравнений до умножения биномов и разложения квадратичных трехчленов на множители.Новичок в алгебре плиток? Посмотрите мое обучающее видео по плиткам алгебры здесь. 
 В этом посте я хочу сосредоточиться на последней теме — использовании плиток алгебры для разложения квадратичных трехчленов. Плитки алгебры — прекрасный способ познакомить и попрактиковать эту концепцию. Они исключают много догадок из факторинга, особенно для трехчленов, которые нелегко разложить на множители другими методами. 
 
 Ниже приведены 4 примера того, как использовать плитки алгебры для факторизации, начиная с трехчлена, где A = 1 (и значения B и C положительные), и заканчивая трехчленом с A> 1 (и отрицательными B и / или значения C).
 
 Вот посмотрите на плитки в этом посте: 
 В моем наборе плиток алгебры плитки одинакового размера двусторонние с + на одной стороне и — на другой. Вы можете получить аналогичный эффект, распечатав этот бесплатный набор элементов алгебры для печати на бумаге Astrobrights (или склейте 2 листа бумаги разного цвета друг за другом перед тем, как разрезать). 
 
  Как бы я ни любил резать-резать-резать ламинат, учитель г-жа Бейкер проверила это, и резка ламината хорошо работает для армирования бумажных плиток алгебры. 
 
 Давайте перейдем к примерам!
  Пример 1 : 
 Фактор 
 x    2  + 5x + 6  
 Факторизация этого трехчлена — хорошее место для начала, потому что значение A равно 1, а значения B и C положительны. На этом примере мы сможем получить хорошее представление о том, как работают плитки алгебры. 
 
   Требуется :  
 1 x  2  плитка 
 5 прямоугольных x плитки 
 6 + плитки 
 Здесь у нас есть все плитки, которые нам понадобятся, чтобы разложить этот трехчлен на множители.Теперь осталось просто собрать пазл. 
 Сначала я попробовал (x + 4) (x + 1). Это использовало все прямоугольные плитки x, но не все плитки +. Для правильного разложения трехчлена все плитки должны соответствовать друг другу, чтобы получился идеальный прямоугольник. 
 Затем я попробовал (x + 2) (x + 3), что позволило уместить все 6 плиток +. 
 
  x  2  + 5x + 6 множителей к (x + 2) (x + 3). 
  Пример 2 : 
 Множитель 2x 
 2  + 3x + 1 
 Плитки алгебры отлично подходят для разложения квадратичных трехчленов, где значение A не равно 1.Мне всегда нравился метод AC для разложения этих трехчленов на множители, но даже я признаю, что разложение с помощью алгебраических плиток в этом случае намного лучше. 
 
   Необходимо :  
 2 x  2  плитки 
 3 прямоугольных x плитки 
 1 + плитка 
 Здесь у нас есть все плитки, которые нам нужны, чтобы разложить этот трехчлен на множители. С трехчленами, где все значения A, B и C положительны, мы начинаем и заканчиваем с одинаковым количеством плиток. (Через минуту, когда мы разложим на множители трехчлена, где B и / или C отрицательны, подход будет немного другим.) 
 Размещение плиток алгебры в (x + 1) (2x + 1) позволило всем плиткам уместиться вместе в красивый аккуратный прямоугольник. 
 
  2x  2  + 3x + 1 множители на (x + 1) (2x + 1). 
  Пример 3 : 
 Множитель x 
 2  — x — 12 
 Когда мы множим квадратичные трехчлены с отрицательными числами, мы не можем начинать и заканчивать с одинаковым количеством плиток. Возможно, нам придется добавлять несколько нулевых пар по ходу дела. В случае x  2  — x — 12 наше значение B равно -1.
 
   Требуется (для начала) :  
 1 x  2  плитка 
 1 прямоугольная плитка -x 
 12 — плитки 
 Поскольку не было возможности создать прямоугольник, который подходил бы к этим 12 плиткам, нам потребовалось добавить несколько дополнительных пар нулей (по одной на каждый прямоугольник + и — x). 
 
 Мы можем это сделать, потому что: 
 
 -1 + 0 = -1 или 
 -2 + 1 = -1 или 
-3 + 2 = -1 …. и так далее … 
 
 Путем добавления равное количество прямоугольных плиток + и — x, мы не меняем значение B трехчлена.По-прежнему -1. 
 Здесь у нас есть 3 прямоугольных плитки -x и 2 прямоугольных плитки x. По-прежнему недостаточно для размещения этих 12 плиток, хотя значение B по-прежнему представляется как -1. 
 Мы получили! Нам потребовалось 4 прямоугольных плитки -x и 3 прямоугольных плитки x, чтобы уместить все 12 плиток. -4 + 3 — = 1, поэтому мы не меняли значение B трехчлена. 
 
  x  2  — x — 12 множителей к (x — 4) (x + 3). 
  Пример 4 : 
 Множитель 2x 
 2  + x — 3
 Использование плиток алгебры очень полезно при факторизации квадратичных трехчленов, где значение A больше 1, а B и / или C отрицательны.Плитки делают процесс намного более интуитивным!
   Необходимо (для запуска) : 
 2 x  2  плитки
 1 прямоугольный x плитка
 3 — плитки
 
 Сразу очевидно, что у нас недостаточно деталей, чтобы сделать красивый, ровный прямоугольник.