Метод математической индукции

 

Описание метода

 

Метод математической индукции является одним из наиболее часто встречающихся методов в математике. Допустим требуется доказать некоторое утверждение , которое содержит целочисленный (индукционный) параметр , где . Наиболее часто в качестве параметра используются натуральные числа. Непосредственная проверка утверждения для каждого конкретного значения невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно.

    Метод математической индукции выполняется в три этапа.

    На первом этапе необходимо убедиться в справедливости утверждения для начального значения параметра , т.е. необходимо убедиться в справедливости утверждения . Данный этап метода называется  базой (базисом) индукции.

На втором этапе предполагается, что утверждение справедливо при условии, что . Этот этап метода называется  индукционным предположением.

Если на третьем этапе будет доказано утверждение , то справедливость утверждения будет иметь место для произвольного значения . Отметим, что выполнение третьего этапа метода обычно является наиболее трудоемкой частью метода.

Ниже предлагаются примеры задач, решение которых осуществляется методом математической индукции.

Примеры решения задач

   

 

Пример 1. Доказать, что  

                                        ,                         (1)

где  .

 

    Доказательство. Обозначим  .

    Пусть  , тогда    и из формулы (1) следует  .

    Предположим, что

                                                .                        (2)

    Теперь требуется убедиться в том, что формула (1) выполняется и при , т.е. надо показать, что

                                             .                         (3)

    Из формул (1) и (2) получаем  

,     или    .

    Отсюда следует формула (3). Следовательно, утверждение (1) доказано.

   

 

Пример 2. Доказать, что  

                             ,                         (4)

где  .

 

    Доказательство. Обозначим  .

    Пусть  , тогда    и .

    Пусть и справедлива формула

                                               .                         (5)  

    Пусть  . Докажем, что      или  

                                           .                         (6)

    Так как  , то с учетом индукционного предположения (5) получаем

 .

    Следовательно, формула (6) является доказанной, а рассматриваемое равенство (4) справедливо для произвольных значений .   

 

Пример 3. Доказать, что  

 

                                    ,                         (7)

где  .

 

    Доказательство. Обозначим  .

    Если  , то     и  .

    Предположим, что  

                                                   .                         (8)  

    Докажем,  что   .   

    Из формул (7) и (8) следует, что

.  

    Отсюда вытекает справедливость формулы (7) для произвольных значений .   

   

    Пример 4.  Если числовая последовательность     является геометрической прогрессией, знаменатель которой равен  , то                                                       

                                                              (9)

 

    Доказательство. Обозначим  .

    Если  , то    и  

    Пусть    Необходимо показать, что  

    Так как     и  , то с учетом индукционного предположения имеем

,  

или      

    Отсюда следует справедливость формулы (9).

   

Пример 5.  Доказать, что  

       ,                         (10)

где  .

 

 

    Доказательство.  Обозначим левую часть равенства (10) как  .

    Если  , то    и  .

    Пусть  . Покажем, что  .

    Из определения и  равенства    следует, что

                                         .                         (11)

    Если воспользоваться известной формулой  ,

то из равенства (11) получим  ,   

  или  .

    Отсюда, согласно принципу математической индукции, следует справедливость формулы (10).

   

    Пример 6.  Доказать, что

         ,                         (12)

где  .

 

 

    Доказательство.  Обозначим  .

    Пусть  .  Тогда     и   .

    Предположим, что  ,  и покажем,  что  .

    Поскольку    ,  то   ,  

   или   .

    Формула (12) доказана.

  

   

    Пример 7.  Доказать неравенство

 

                                    ,                         (13)

где  .

 

 

    Доказательство.  Обозначим  .

    Если  , то  , т.е. неравенство (13) выполняется.

    Предположим, что  . Покажем, что  .

    Так как   и  ,  то  .

    Очевидно, что для решения задачи требуется доказать неравенство

                                        ,                         (14)

которое выполняется для произвольных натуральных  .

    Доказательство неравенства (14) будем вести методом от противного. Допустим, что существуют такие значения  , при которых выполняется противоположное неравенство, т.е. имеет место неравенство

                                          .                         (15)

    Преобразуем неравенство (15) следующим образом:

,      или  .

    Поскольку получили числовое противоречие , то неравенство (14) верно. Тем самым доказано

blog.tutoronline.ru

Метод математической индукции — это… Что такое Метод математической индукции?



Метод математической индукции

Математическая индукция — в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Точное описание

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами:

Допустим, что Установлено, что P1 верно. (Это утверждение называется базой индукции.) Для любого n доказано, что если верно Pn, то верно Pn + 1. (Это утверждение называется индукционным переходом.) Тогда все утверждения нашей последовательности верны.

Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, определяющих натуральные числа. Верность метода индукции эквивалентна тому, что в любом подмножестве натуральных чисел существует минимальный элемент.

Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений . Допустим, что Установлено, что P1 верно. Для любого натурального n доказано, что если верны все , то верно и Pn + 1. (Это утверждение называется индукционным переходом.) Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Принцип полной математической индукции также эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.

Примеры

Задача. Доказать, что, каковы бы ни были натуральное n и вещественное q ≠ 1, выполняется равенство

Доказательство. Индукция по n.

База, n = 1:

Переход: предположим, что

тогда

,

что и требовалось доказать.

Комментарий: верность утверждения P_n в этом доказательстве — то же, что верность равенства

См. также

Вариации и обобщения

Литература

• Н. Я. Виленкин Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1976.—48 с
• Л. И. Головина, И. М. Яглом Индукция в геометрии, «Популярные лекции по математике», Выпуск 21, Физматгиз 1961.—100 с.
• Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» Глава I, § 2.
• И. С. Соминский Метод математической индукции. «Популярные лекции по математике», Выпуск 3, Издательство «Наука» 1965.—58 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

• Метод лактационной аменореи
• Метод реплик

Смотреть что такое «Метод математической индукции» в других словарях:

• Принцип математической индукции — Математическая индукция в математике один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 база индукции, а затем… …   Википедия

• Метод индукции — Индукция (лат. inductio наведение) процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не столько через законы логики, а скорее через некоторые… …   Википедия

• МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ — способ построения теории, при к ром в ее основу кладутся нек рые ее положения – аксиомы или постулаты, – из к рых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых д о к а з а т е л ь с т в а м и. Правила, по к рым… …   Философская энциклопедия

• Индуктивный метод — Индукция (лат. inductio наведение) процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не столько через законы логики, а скорее через некоторые… …   Википедия

• ГЕНЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ задания содержания и сущности исследуемого предмета не путем конвенции, идеализации или логического вывода, а с помощью изучения его происхождения (опираясь на изучение причин, приведших к его возникновению, механизм становления). Широко… …   Философия науки: Словарь основных терминов

• Аксиоматический метод —         способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) аксиомы (См. Аксиома), или Постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы (См. Теорема)) должны выводиться… …   Большая советская энциклопедия

• аксиоматический метод —         АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) принятое положение способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

• НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ МЕТОД — один из методов ошибок теории для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Н. к. м. применяется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается …   Математическая энциклопедия

• Математическая индукция — Математическая индукция  один из методов математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала пров …   Википедия

• Индуктивное умозаключение — У этого термина существуют и другие значения, см. Индукция. Индукция (лат. inductio  наведение)  процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки… …   Википедия

dic.academic.ru

Принцип математической индукции — это… Что такое Принцип математической индукции?



Принцип математической индукции

Математическая индукция — в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Точное описание

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами:

Допустим, что Установлено, что P1 верно. (Это утверждение называется базой индукции.) Для любого n доказано, что если верно Pn, то верно Pn + 1. (Это утверждение называется индукционным переходом.) Тогда все утверждения нашей последовательности верны.

Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, определяющих натуральные числа. Верность метода индукции эквивалентна тому, что в любом подмножестве натуральных чисел существует минимальный элемент.

Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений . Допустим, что Установлено, что P1 верно. Для любого натурального n доказано, что если верны все , то верно и Pn + 1. (Это утверждение называется индукционным переходом.) Тогда все утверждения в этой последовательности верны.

Принцип полной математической индукции также эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.

Примеры

Задача. Доказать, что, каковы бы ни были натуральное n и вещественное q ≠ 1, выполняется равенство

Доказательство. Индукция по n.

База, n = 1:

Переход: предположим, что

тогда

,

что и требовалось доказать.

Комментарий: верность утверждения P_n в этом доказательстве — то же, что верность равенства

См. также

Вариации и обобщения

Литература

• Н. Я. Виленкин Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1976.—48 с
• Л. И. Головина, И. М. Яглом Индукция в геометрии, «Популярные лекции по математике», Выпуск 21, Физматгиз 1961.—100 с.
• Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» Глава I, § 2.
• И. С. Соминский Метод математической индукции. «Популярные лекции по математике», Выпуск 3, Издательство «Наука» 1965.—58 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

• Принцип локальности
• Принцип максимума (уравнение теплопроводности)

Смотреть что такое «Принцип математической индукции» в других словарях:

• Метод математической индукции — Математическая индукция в математике один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 база индукции, а затем… …   Википедия

• ИНДУКЦИИ АКСИОМА — утверждение о справедливости для всех хнек рого предиката Р(х), определенного на множестве всех неотрицательных целых чисел, если выполняются следующие условия: 1) справедливо Р(0),2) для любого х, если верно Р(х), то верно и P(x+1). И. а.… …   Математическая энциклопедия

• ИНТУИЦИОНИЗМ — (от позднелат. intuitio, от лат. intueor пристально смотрю) направление в обосновании математики и логики, согласно которому конечным критерием приемлемости методов и результатов этих наук является наглядно содержательная интуиция. Вся математика …   Философская энциклопедия

• Трансфинитные числа — (от Транс… и лат. finitus ограниченный)         обобщённые порядковые числа. Определение Т. ч. опирается на понятие вполне упорядоченного множества (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества). Каждое конечное множество можно сделать… …   Большая советская энциклопедия

• интуиционизм — направление в обосновании математики и логики, согласно которому конечным критерием приемлемости методов и результатов этих наук является наглядно содержательная интуиция. Вся математика должна опираться, согласно И., на интуитивное представление …   Словарь терминов логики

• СОФИЗМ — (греч. sophisma хитрая уловка, измышление) рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению. С. является особым приемом интеллектуального мошенничества,… …   Философская энциклопедия

• ТОЖДЕСТВА ПРОБЛЕМЫ — проблемы эквивалентности, проблемы иден тичности, проблемы равенства с л о в (англ. word problems) – задачи нахождения общего метода (алгоритма), позволяющего для произвольной пары элементов к. л. множества, в к ром определено отношение типа… …   Философская энциклопедия

• Софизм — (от греч. sóphisma уловка, ухищрение, выдумка, головоломка)         умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Аристотель… …   Большая советская энциклопедия

• Трансфинитная индукция —         способ математических доказательств, обобщающий обычный принцип математической индукции (См. Математическая индукция). См. Трансфинитные числа …   Большая советская энциклопедия

• Софизм — (от греч. σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость»)  ложное высказывание, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики …   Википедия

dvc.academic.ru

Математическая индукция — Википедия. Что такое Математическая индукция

Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Формулировка

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: P1,P2,…,Pn,Pn+1,…{\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n},P_{n+1},\ldots }.

Допустим, что Установлено, что P1{\displaystyle P_{1}} верно. (Это утверждение называется базой индукции.) Для любого n доказано, что если верно Pn{\displaystyle P_{n}}, то верно Pn+1{\displaystyle P_{n+1}}. (Это утверждение называется индукционным переходом.) Тогда все утверждения нашей последовательности верны.

Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, определяющих натуральные числа. Верность метода индукции эквивалентна тому, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел существует минимальный элемент.

Принцип полной математической индукции

Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений P1{\displaystyle P_{1}}, P2{\displaystyle P_{2}}, P3{\displaystyle P_{3}}, …{\displaystyle \ldots }. Если для любого натурального n{\displaystyle n} из того, что истинны все P1{\displaystyle P_{1}}, P2{\displaystyle P_{2}}, P3{\displaystyle P_{3}}, …{\displaystyle \ldots }, Pn−1{\displaystyle P_{n-1}}, следует также истинность Pn{\displaystyle P_{n}}, то все утверждения в этой последовательности истинны, то есть (∀n∈N)((∀i∈{1;…;n−1})Pi⟶Pn)⟶(∀n∈N)Pn{\displaystyle (\forall n\in {\mathbb {N} }){\Big (}(\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\longrightarrow P_{n}{\Big )}\longrightarrow (\forall n\in {\mathbb {N} })P_{n}}.

В этой вариации база индукции оказывается излишней, поскольку является тривиальным частным случаем индукционного перехода. Действительно, при n=1{\displaystyle n=1} импликация (∀i∈{1;…;n−1})Pi⟶Pn{\displaystyle (\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\longrightarrow P_{n}} эквивалентна P1{\displaystyle P_{1}}. Принцип полной математической индукции является прямым применением более сильной трансфинитной индукции.

Принцип полной математической индукции также эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.

История

Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю и Герсониду, хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида^[1]. Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году.

Примеры

Задача. Доказать, что, каковы бы ни были натуральное n и вещественное q ≠ 1, выполняется равенство

1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q.{\displaystyle 1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}

Доказательство. Индукция по n.

База, n = 1:

1+q=(1−q)(1+q)1−q=1−q1+11−q.{\displaystyle 1+q={\frac {(1-q)(1+q)}{1-q}}={\frac {1-q^{1+1}}{1-q}}.}

Переход: предположим, что

1+q+⋯+qn=1−qn+11−q,{\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}},}

тогда

1+q+⋯+qn+qn+1=1−qn+11−q+qn+1={\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}+q^{n+1}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}+q^{n+1}=}

=1−qn+1+(1−q)qn+11−q=1−qn+1+qn+1−q(n+1)+11−q=1−q(n+1)+11−q{\displaystyle ={\frac {1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{(n+1)+1}}{1-q}}},

что и требовалось доказать.

Комментарий: истинность утверждения Pn{\displaystyle P_{n}} в этом доказательстве — то же, что истинность равенства

1+q+⋯+qn=1−qn+11−q.{\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}

Вариации и обобщения

Примечания

1. ↑ Nachum L. Rabinovih. Раби Леви бен Гершом и происхождение метода математической индукции = Rabbi Levi ben Gershom and the origins of mathematical induction // Archive for History of Exact Sciences. — 1970. — Вып. 6. — С. 237-248.

Литература

Ссылки

• Видео по методу математической индукции

wiki.sc

Математическая индукция Википедия

Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Формулировка[ | ]

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: P1,P2,…,Pn,Pn+1,…{\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n},P_{n+1},\ldots }.

Допустим, что Установлено, что P1{\displaystyle P_{1}} верно. (Это утверждение называется базой индукц

ru-wiki.ru

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ • Большая российская энциклопедия

МАТЕМАТИ́ЧЕСКАЯ ИНДУ́КЦИЯ, ме­тод до­ка­за­тель­ст­ва ма­те­ма­тич. ут­вер­жде­ний, ос­но­ван­ный на сле­дую­щем прин­ци­пе: ут­вер­жде­ние $A(x)$, за­ви­ся­щее от на­ту­раль­но­го па­ра­мет­ра $x$, счи­та­ет­ся до­ка­зан­ным для всех на­ту­раль­ных $x$, ес­ли до­ка­за­но ут­вер­жде­ние $A(1)$ и для лю­бо­го на­ту­раль­но­го чис­ла $n$ из пред­по­ло­же­ния, что вер­но ут­вер­жде­ние $A(n)$, сле­ду­ет, что вер­но так­же ут­вер­жде­ние $A(n+1)$. Этот прин­цип на­зы­ва­ет­ся прин­ци­пом ма­те­ма­тич. ин­дук­ции.

При­мер. Пусть для лю­бо­го на­ту­раль­но­го чис­ла $n$ тре­бу­ет­ся до­ка­зать фор­му­лу

$1+3+5+…+(2n-1)=n^2.\tag 1$

При $n=1$ эта фор­му­ла да­ёт вер­ное ра­вен­ст­во $1=1^2$. Что­бы до­ка­зать пра­виль­ность фор­му­лы (1) при лю­бом $n$, до­пус­ка­ют, что её уже уда­лось до­ка­зать для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го чис­ла $N$, т. е. пред­по­ла­га­ют, что

$1+3+5+…+(2N-1)=N^2, \tag 2$

и, опи­ра­ясь на это до­пу­ще­ние, до­ка­зы­ва­ют пра­виль­ность фор­му­лы (1) для чис­ла $n=N+1$. В дан­ном слу­чае дос­та­точ­но до­ба­вить к пра­вой и ле­вой час­тям ра­вен­ст­ва (2) сла­гае­мое $2N+ 1$, при этом по­лу­чит­ся ра­вен­ст­во

$1+3+5+…+(2N-1)+(2N+1)=N^2+(2N+1)$.

Т. к. пра­вая часть это­го ра­вен­ст­ва есть $(N+1)^2$, то из спра­вед­ли­во­сти (1) при $n=N$ вы­те­ка­ет спра­вед­ли­вость (1) при $n=N+ 1$ (ка­ко­во бы ни бы­ло $N$), т. е. (1) спра­вед­ли­во при всех на­ту­раль­ных $n$.

До­ка­за­тель­ст­во ут­вер­жде­ния $A(1)$ со­став­ля­ет пер­вый шаг (ба­зис) ин­дук­ции, а до­ка­за­тель­ст­во ут­вер­жде­ния $A(n+1)$ в пред­по­ло­же­нии, что вер­но $A(n)$, на­зы­ва­ет­ся ша­гом ин­дук­ции или ин­дук­ци­он­ным пе­ре­хо­дом. При этом $n$ на­зы­ва­ет­ся па­ра­мет­ром ин­дук­ции, а пред­по­ло­же­ние $A(n)$ при до­ка­за­тель­ст­ве ут­вер­жде­ния $A(n+1)$ на­зы­ва­ет­ся ин­дук­тив­ным пред­по­ло­же­ни­ем.

Прин­цип М. и. яв­ля­ет­ся так­же ос­но­ва­ни­ем для ин­дук­тив­ных оп­ре­де­ле­ний. Про­стей­шим при­ме­ром та­ко­го оп­ре­де­ле­ния яв­ля­ет­ся оп­ре­де­ле­ние свой­ст­ва «быть сло­вом дли­ны $n$ в дан­ном ал­фа­ви­те $𝒜=\{ a_1,a_2,…,a_k \}$». Ба­зис ин­дук­ции: ка­ж­дая бу­к­ва ал­фа­ви­та $𝒜$ есть сло­во дли­ны 1. Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход: ес­ли $E$ – сло­во дли­ны $n$ в $𝒜$, то ка­ж­дое сло­во $Ea_i$, где к сло­ву $E$ спра­ва при­пи­сы­вает­ся бук­ва $a_i$, где $1 ⩽ i ⩽ k$, есть так­же сло­во дли­ны $n+ 1$ в $𝒜$. Ин­дук­ция мо­жет на­чи­нать­ся с $n=0$, т. е. с пус­то­го сло­ва.

М. и. мо­жет при­ме­нять­ся для до­ка­за­тель­ст­ва ут­вер­жде­ний $A(x)$, в ко­то­рых па­ра­метр $x$ про­бе­га­ет то или иное мно­же­ст­во, впол­не упо­ря­до­чен­ное по не­ко­то­ро­му транс­фи­нит­но­му ти­пу; в этом слу­чае го­во­рят о транс­фи­нит­ной ин­дук­ции.

bigenc.ru

метод математической индукции — это… Что такое метод математической индукции?



• метод масок
• метод матричного исчисления

Смотреть что такое «метод математической индукции» в других словарях:

• Метод математической индукции — Математическая индукция в математике один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 база индукции, а затем… …   Википедия

• Принцип математической индукции — Математическая индукция в математике один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 база индукции, а затем… …   Википедия

• Метод индукции — Индукция (лат. inductio наведение) процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не столько через законы логики, а скорее через некоторые… …   Википедия

• МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ — способ построения теории, при к ром в ее основу кладутся нек рые ее положения – аксиомы или постулаты, – из к рых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых д о к а з а т е л ь с т в а м и. Правила, по к рым… …   Философская энциклопедия

• Индуктивный метод — Индукция (лат. inductio наведение) процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не столько через законы логики, а скорее через некоторые… …   Википедия

• ГЕНЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ задания содержания и сущности исследуемого предмета не путем конвенции, идеализации или логического вывода, а с помощью изучения его происхождения (опираясь на изучение причин, приведших к его возникновению, механизм становления). Широко… …   Философия науки: Словарь основных терминов

• Аксиоматический метод —         способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) аксиомы (См. Аксиома), или Постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы (См. Теорема)) должны выводиться… …   Большая советская энциклопедия

• аксиоматический метод —         АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) принятое положение способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

• НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ МЕТОД — один из методов ошибок теории для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Н. к. м. применяется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается …   Математическая энциклопедия

• Математическая индукция — Математическая индукция  один из методов математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала пров …   Википедия

• Индуктивное умозаключение — У этого термина существуют и другие значения, см. Индукция. Индукция (лат. inductio  наведение)  процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки… …   Википедия

dic.academic.ru