Обзор методов вычисления интегралов по времени и пространству

Интегрирование — один из важнейших математических инструментов, особенно в численном моделировании. Например, дифференциальные уравнения в частных производных обычно выводятся из интегральных уравнений сохранения. Когда возникает необходимость численного решения уравнения в частных производных, интегрирование также играет важную роль. В этой статье приведен обзор методов и подходов интегрирования, доступных в COMSOL Multiphysics, а также конкретные примеры их использования.

Важность интегралов

В COMSOL используется метод конечных элементов, который преобразует описывающее некоторый процесс уравнение в частных производных в интегральное уравнение — другими словами, в слабую форму (weak form). При детальном и глубоком изучении формулировок, используемых в интерфейсах COMSOL, вы обнаружите, что множество граничных условий реализованы через интегралы. В качестве наиболее характерных примеров можно привести условия Total heat flux (Общий тепловой поток) или Floating potential (Плавающий потенциал)

. {t_1}\int_{\Omega}F(u)\ \mathrm{d A} \mathrm{d} t

где [t_0,t_1] — это временной интервал, \Omega — это пространственная область, а F(u) — это произвольное выражение, включающее зависимую переменную u и произвольные функции от нее, в том числе производные по пространству, времени, а также любой другой величине.

Наиболее удобный способ вычисления интегралов — использование узла Derived Values (Расчет выражений) в разделе Results (Результаты) ленты Ribbon или дерева модели (Лента Ribbon отсутствует в том случае, если ваш компьютер работает не под управлением ОС Windows®).

Добавление операций расчета пространственных интегралов по объему, поверхности или линии в узле Derived Values (Расчет выражений)

Вы можете обратиться к любому доступному решению, выбрав соответствующий набор данных (data set). В поле Expression (Выражение) вводится подынтегральная функция, включающая зависимые или производные переменные. Для данных расчета во временной области пространственный интеграл вычисляется на каждом временном шаге.

В качестве альтернативы, в окне Settings (Настройки) узла Data Series Operations (Операции с массивами данных) можно выбрать опцию Integral (Интегрирование), что позволит вычислить общий пространственно-временной интеграл.

Пример настроек вычисления интегралов по поверхности (Surface Integration) с дополнительным вычислением интеграла по времени в разделе Data Series Operations.

Оператор Average (Усреднение) — еще одна операция в разделе Derived Values, связанная с вычислением интегралов. Оператор вычисляет интеграл и делит его на объем, площадь или длину выбранной области. Операция Averageв узле Data Series Operations аналогично вводит деление на продолжительность временного диапазона. Операторы узла Derived Values — важный инструмент, однако их можно использовать только во время постобработки, а значит с их помощью можно рассчитать далеко не любой интеграл. Именно поэтому в COMSOL представлены другие более мощные и гибкие инструменты для вычисления интегралов.

2. Стационарное и нестационарное решение (в момент времени 100 секунд) представлены на иллюстрациях ниже.

Стационарное решение, нажмите на изображение для увеличения.
Нестационарное решение (для момента времени 100 секунд), нажмите на изображение для увеличения.

Вычисление пространственного интеграла с использованием операторов узла Component Coupling

Операторы узла Component Coupling (Сопряжение компонентов) используются в тех случаях, когда, например, в одном выражении объединяются несколько интегралов, или интегралы требуются в процессе вычислений, или требуется множество контурных интегралов. Операторы данного узла определяются в разделе Definitions (Определения). На этом этапе режультат использования оператора не просчитывается, а указываются только их название и выборки областей.

Добавление операторов через узел Component Couplings

В нашем примере мы для начала хотим вычислить пространственный интеграл для стационарного распределения температуры, равный

\int_{\Omega}T(x,y)\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 301. 65

В пакете COMSOL оператор вычисления интеграла по умолчанию получает имя intop1.

Окно настроек оператора интегрирования.
Расчет результата интегрирования через оператор.

Теперь давайте рассмотрим, как оператор интегрирования может использоваться непосредственно в процессе расчета модели. С его помощью мы могли бы, например, выяснить, какая нагревательная мощность потребуется для получения средней температуры 303.15 К, то есть температуры, на 10 К превышающей температуру окружающей среды. Прежде всего нам необходимо вычислить разницу между требуемым и действительным средними значениями. Среднее значение вычисляется путем деления интеграла от T на интеграл от постоянной функции 1, который равен площади области. Нетрудно догадаться, что вычисление подобного вида легко выполнить с помощью представленного в COMSOL оператора

Average (Усреднение), см. комментарии выше. По умолчанию данный оператор получает название aveop1. 2. Т.е. полученное значение можно задать в качестве граничного условия для общего входящего теплового потока, чтобы средняя температура в рассматриваемой области стала равна 303.15 К.

Вычисление неопределенного интеграла посредством оператора интегрирования

В своих обращениях в службу поддержки пользователи часто задают один и тот же вопрос: как рассчитать неопределенный пространственный интеграл? Для этой цели нам также пригодится оператор интегрирования, задаваемый через Component Couplings. Нахождение неопределенного интеграла — операция, обратная дифференцированию. Неопределенный интеграл позволяет вычислять площади произвольных областей, ограниченных графиками функций. Одна из самых важных прикладных задач — вычисление вероятностей в статистическом анализе. Для того чтобы это продемонстрировать, мы зафиксируем y=0 и обозначим неопределенный интеграл от T(x,0) как u(x). Это значит, что \frac{\partial u}{\partial x}=T(x,0). Тогда неопределенный интеграл имеет вид

u(\bar x) = \int_0^{\bar x}T(x,0)\mathrm{d} x

Здесь мы используем \bar x, чтобы отличать переменную интегрирования от внешней переменной. 1T(x,0)\cdot(x\leq\bar x)\ \mathrm{d} x

Во-вторых, нам понадобится оператор вычисления интеграла, который будет действовать на нижней границе области из примера. Давайте обозначим его как intop2. В-третьих, мы должны отличать переменную интегрирования от внешней переменной. Принятые обозначения для такого случая: x называется источником (source), а \bar x — точкой назначения (destination). При использовании операторов интегрирования доступен встроенный оператор dest, который позволяет явно оглашать, что соответствующее выражение не относится к переменным интегрирования. Точнее, это значит, что в COMSOL \bar x=dest(x). Объединив логическое выражение с оператором dest, мы получим выражение вида T*(x<=dest(x)), которое является именно тем входным выражением, которое требуется для intop2. Объединив все вместе, мы можем вычислить неопределенный интеграл, воспользовавшись выражением intop2(T*(x<=dest(x))). Результат данной операции можно проиллюстрировать следующим графиком:

Как построить график неопределенного интеграла с помощью оператора интегрирования, оператора dest и логического выражения.

В пакете COMSOL дополнительно доступны еще два оператора вычисления интеграла, а именно общая проекция (general projection) и линейная проекция (linear projection). Эти операторы можно использовать для получения множества контурных интегралов в любом направлении в области. Другими словами, вычисление интеграла производится только вдоль одного измерения. В результате мы получаем функцию размерности на единицу меньше, чем размерность области. Для двухмерного примера результатом будет одномерная функция, которая может быть рассчитана на любой границе. Более подробная информация об использовании данных операторов будет представлена в одной из следующих публикаций в нашем компоративном блоге.

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

Наиболее гибким способом вычисления пространственных интегралов является техника с добавлением дополнительного PDE-интерфейса. Давайте вспомним пример выше с неопределенным интегралом и предположим, что мы хотим вычислить неопределенный интеграл не только для y=0. Данная задача может быть сформулирована в виде дифференциального уравнения в частных производных

\frac{\partial u}{\partial x}=T(x,y)

с граничным условием типа Дирихле u=0 на левой границе. Расчет такого уравнения проще всего реализовать в физическом (математическом) интерфейсе Coefficient Form PDE (Дифференциальное уравнение в частных производных, коэффициентная форма записи), который потребует следующих настроек:

Вычисление пространственного интеграла посредством дополнительного PDE-интерфейса.

Зависимая переменная u представляет собой неопределенный интеграл по x и доступна в процессе расчета модели и в постобработке. Помимо гибкости, дополнительным преимуществом данного подхода является точность, так как интеграл рассчитывается не вспомогательными инструментами на основе уже определенного распределения переменной, а непосредственно в процессе расчета с учетом алгоритмов оценки погрешностей и т. {100}T(x,y,t)\ \mathrm{d} t

На поверхностном графике ниже представлен результирующий интеграл, являющийся функцией пространственных переменных (x,y):

Использование оператора timeavg – оператора вычисления интеграла по времени.

Схожие операторы существуют для вычисления интегралов на сферических зонах, а именно ballint, circint, diskint и sphint.

Вычисление временного интеграла посредством дополнительного физического интерфейса

В случае если временные интегралы нужно использовать непосредственно в модели в процессе расчета, вам будет необходимо задать их как дополнительные зависимые переменные. Аналогично представленному выше примеру с интерфейсом Coefficient Form PDE, это можно сделать, добавив ODE-интерфейс из раздела Mathematics. Предположим, например, что на каждом временном шаге требуется вычислять интеграл от величины общего теплового потока на промежутке от старта до текущего момента, который показывает накопленную энергию. Переменная для общего теплового потока рассчитывается в COMSOL автоматически и называется ht.tfluxMag. Интеграл может быть вычислен как дополнительная зависимая переменная с помощью узла Distributed ODE (Распределенное обыкновенное дифференциальное уравнение) интерфейса Domain ODEs and DAEs. Правой частью (источниковым членом) для доменного ОДЕ должна выступать подынтегральная функция, что и показано на иллюстрации ниже.

Использование дополнительного ODE-интерфейса для вычисления интеграла по времени.

В чем польза подобной техники? Полученный интеграл можно повторно использовать в других физических интерфейсах, поля в которых могут зависеть от накопленной в системе энергии. Более того, полученный резултат будет мгноменно доступен для всех видов постобработки, что удобнее и быстрее, чем использование встроенных операторов. Рекомендуем ознакомится с моделью Carbon Deposition in Hetereogeneous Catalysis (Образование сажевых отложений при гетерогенном катализе), в которой ОДЕ в области используется для вычисления пористости катализатора при наличии химических реакций в виде нестационарной полевой переменной.

Вычисление интеграла от аналитических функций и выражений

До сих пор мы демонстрировали, каким образом вычислять интеграл от искомых переменных в процессе расчета или при постобработке. Но не касались случая взятия интегралов от аналитических функций или выражений. Для этой операции в среде COMSOL доступен встроенный оператор integrate(expression, integration variable, lower bound, upper bound).

Выражение может представлять собой любую одномерную функцию, например sin(x). При этом допускается включение дополнительных переменных, например sin(x*y). Второй параметр определяет, по какой переменной вычисляется интеграл. Например, integrate(sin(x*y),y,0,1) выдает функцию переменной x, потому что интегрирование выполняется только по переменной y. Обратите внимание, что данный оператор также может использоваться для работы с аналитическими функциями, заданными в узле Definitions (Определения) текущего компонента.

Добавление аналитической функции.
Вычисление интеграла от аналитической функции.

Материалы для дальнейшего изучения

%d0%b1%d1%80%d0%b0%d1%82%d1%8c%20%d0%b8%d0%bd%d1%82%d0%b5%d0%b3%d1%80%d0%b0%d0%bb — со всех языков на все языки

Все языкиРусскийАнглийскийИспанский────────Айнский языкАканАлбанскийАлтайскийАрабскийАрагонскийАрмянскийАрумынскийАстурийскийАфрикаансБагобоБаскскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийБурятскийВаллийскийВарайскийВенгерскийВепсскийВерхнелужицкийВьетнамскийГаитянскийГреческийГрузинскийГуараниГэльскийДатскийДолганскийДревнерусский языкИвритИдишИнгушскийИндонезийскийИнупиакИрландскийИсландскийИтальянскийЙорубаКазахскийКарачаевскийКаталанскийКвеньяКечуаКиргизскийКитайскийКлингонскийКомиКомиКорейскийКриКрымскотатарскийКумыкскийКурдскийКхмерскийЛатинскийЛатышскийЛингалаЛитовскийЛюксембургскийМайяМакедонскийМалайскийМаньчжурскийМаориМарийскийМикенскийМокшанскийМонгольскийНауатльНемецкийНидерландскийНогайскийНорвежскийОрокскийОсетинскийОсманскийПалиПапьяментоПенджабскийПерсидскийПольскийПортугальскийРумынский, МолдавскийСанскритСеверносаамскийСербскийСефардскийСилезскийСловацкийСловенскийСуахилиТагальскийТаджикскийТайскийТатарскийТвиТибетскийТофаларскийТувинскийТурецкийТуркменскийУдмуртскийУзбекскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийФарерскийФинскийФранцузскийХиндиХорватскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧеркесскийЧерокиЧеченскийЧешскийЧувашскийШайенскогоШведскийШорскийШумерскийЭвенкийскийЭльзасскийЭрзянскийЭсперантоЭстонскийЮпийскийЯкутскийЯпонский

 

Все языкиРусскийАнглийскийИспанский────────АймараАйнский языкАлбанскийАлтайскийАрабскийАрмянскийАфрикаансБаскскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийВенгерскийВепсскийВодскийВьетнамскийГаитянскийГалисийскийГреческийГрузинскийДатскийДревнерусский языкИвритИдишИжорскийИнгушскийИндонезийскийИрландскийИсландскийИтальянскийЙорубаКазахскийКарачаевскийКаталанскийКвеньяКечуаКитайскийКлингонскийКорейскийКрымскотатарскийКумыкскийКурдскийКхмерскийЛатинскийЛатышскийЛингалаЛитовскийЛожбанМайяМакедонскийМалайскийМальтийскийМаориМарийскийМокшанскийМонгольскийНемецкийНидерландскийНорвежскийОсетинскийПалиПапьяментоПенджабскийПерсидскийПольскийПортугальскийПуштуРумынский, МолдавскийСербскийСловацкийСловенскийСуахилиТагальскийТаджикскийТайскийТамильскийТатарскийТурецкийТуркменскийУдмуртскийУзбекскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийФарерскийФинскийФранцузскийХиндиХорватскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧаморроЧерокиЧеченскийЧешскийЧувашскийШведскийШорскийЭвенкийскийЭльзасскийЭрзянскийЭсперантоЭстонскийЯкутскийЯпонский

Приемы взятия сложных интегралов | Дмитpий Hecтepук

Интегралы, что может быть веселее? Ну, возможно не для всех, но все же, я уже давно ничего не постил такого сугубо математического, так что попробую. Этот пост – про то как брать «сложные» интегралы. Этот пост подразумевает что читатель учился таки в школе и знает тривиальные подходы (например, интегрирование по частям). В посте мы будем обсуждать только интегралы Римана, а не интегралы Лебега-Стилтьеса, Ито, Скорохода и так далее (хотя я бы с удовольствием, чесслово).

Весь этот пост — маленькая выборка рецептов или «паттернов» которые можно взять в копилку и потом применять. Пост рекомендуется читать на high-DPI дисплее дабы предотвратить глазное кровотечение. Я предупредил.

Переход к полярным координатам

Начнем с немного избитого метода — перехода к полярным координатам. Примечательно, что переход к полярным координатам можно применять даже там где, казалось бы, речь о декартовых координатах не идет вообще. Например, неопределенный интеграл Гаусса не имеет аналитического решения, а вот определенный интеграл .

Доказать это можно вот как: сначала, чтобы применить преобразование координат, мы вводим две переменные интегрирования и так что

Декартовы координаты можно выразить через полярные вот так:

Интегрирование от до в декартовой системе координат — это то же, что интегрирование от до и от до .

В результате получим следующее:

Этот же подход может применять и в 3-х измерениях с использованим сферических координат .

Геометрические интерпретации

Вообще, «скатывание в геометрию» порой приносит плоды. Вот например допустим вам надо посчитать

Уверен, многие из вас знают что у этого интеграла есть аналитическое решение , поэтому посчитать определенный интеграл не составляет труда. Но на самом деле, этот интеграл можно посчитать даже без этого знания.

Представьте круг с радиусом с центром . Длина дуги этого круга с центральным углом равна , а если круг единичный – то просто . Тогда

где  — это произвольная переменная интегрирования.

При таком раскладе, подынтегральное выражение равно , но мы можем его усложнить, например

Далее, делаем подстановку

Тем самым, получаем

Допустим что . Тогда , а поскольку отмеряет нам ровно четверть круга (длина всего единичного круга ), мы моментально получаем результат

По аналогии с этим результатом можно получить и другие, разбивая круг на разное количество отрезков, например

и так далее.

Разбиение диапазона интегрирования

Допустим вам надо посчитать

Для взятия этого интеграла, разобъем диапазон интегрирования на два, т.к. .

Займемся сначала первым интегралом, т.е. . Сделаем подстановку . Получим

То есть внезапно оказалось, что поставленная переменная выполняет такую же функцию что и . Другими словами, а это значит что мы автоматически получаем значение искомого интеграла:

Разбиениe на четное и нечетное

Вот нужно вам например посчитать

Давайте сделаем несколько замен:

Теперь нам нужно посчитать , и вот тут начинается самое интересное. Мы переписываем как сумму четной и нечетной функции:

Многие спросят «а так вообще можно?» — на самом деле да, и вот почему. Возьмите и воткните в определение выше вместо . Вы получите

благодаря свойствам четности и нечетности функций. Следовательно, мы можем выразить четную и нечетную сторону функции как

и

Так-то. Соответственно, наш интеграл можно переписать как

Как видно выше, нечетная функция пропала полностью, осталась только четная сторона, т.к.

Ладно, вам уже наверное надоело ждать сути этого примера. Так вот, у нас есть формула , дайвате воткнем в эту формулу . Мы получим

Но мы-то знаем, что  — четная функция, поэтому можно переписать как

Это какое-то месиво и непонятно что с ним делать. Но с другой стороны посмотрите, у нас в формуле присутствует . Давайте вспомним, что и мы получим

Ну вот и всё — наша страшная дробь выше уже совсем не страшная т.к. числитель и знаменатель равны, а это значит что

а сам интеграл теперь легко посчитать:

Хотите ещё?

Я на самом деле понял, что по объему для одного поста вполне достаточно. Сорри если что написал не так — я по-русски прочитал ровно нуль математических книг (чего и вам советую), так что терминология может страдать.

Существует еще вагон разных трюков, так что, если интересно, советую глянуть соответствующую литературу. Удачи! ■

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

Похожее

Что такое интеграл и зачем мне знать это — T&P

IMAGE 1287 NOT FOUND

Иллюстрация: Максим Чатский

Представьте, что у нас есть какая-то функция зависимости чего-то от чего-то.

Например, вот так примерно можно на графике представить скорость моей работы в зависимости от времени суток:

Скорость я измеряю в строках кода в минуту, в реальной жизни я программист.

Объем работы — это скорость работы умножить на время. То есть если я пишу 3 строки в минуту, то в час получается 180. Если у нас есть такой график, можно узнать, сколько работы я сделал за день: это площадь под графиком. Но как это посчитать?

Разделим график на столбики равной ширины величиной в час. А высоту этих столбиков сделаем равной скорости работы в середине этого часа.

Площадь каждого столбика по отдельности легко посчитать, надо умножить его ширину на высоту. Получается, что площадь каждого столбика — это сколько примерно я работы сделал за каждый час. А если просуммировать все столбики, то получится примерная моя работа за день.

Проблема в том, что результат получится примерный, а нам нужно точное число. Разобьем график на столбики по полчаса:

На картинке видно, что это уже гораздо ближе к тому, что мы ищем.

Так уменьшать отрезки на графике можно до бесконечности, и каждый раз мы все ближе и ближе будем подходить к площади под графиком. А когда ширина столбиков будет стремиться к нулю, тогда сумма их площадей будет стремиться к площади под графиком. Это и называется интегралом и обозначается вот так:

В этой формуле f(x) означает функцию, которая зависит от величины x, а буквы a и b — это отрезок на котором мы хотим найти интеграл.

Зачем это нужно?

Ученые стараются все физические явления выразить в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, дальше уже можно при помощи нее посчитать что угодно. А интеграл — это один из основных инструментов работы с функциями.

Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.

Нет, зачем мне это нужно?

Да низачем — просто так, из любопытства. На самом деле интегралы входят даже в школьную программу, но не так много людей вокруг помнят, что это такое.

Двойные и тройные интегралы

Двойные и тройные интегралы даются трудно всем студентам. Одна из причин — это отсутствие возможности качественно строить области интегрирования.
Из воображения их брать удается не многим специалистам. Что касается нахождения объемов, образованных пересечением плоскостей, то здесь эта проблема становится еще большей.
Другое дело, что часто кратные интегралы начинают изучать когда студенты только что научились находить определенные интегралы.
Всем Вам помогут в учебе готовые ответы индивидуальной работы.
Приведенные ниже 10 примеров научат Вас решать задание разной сложности.

ВАРИАНТ — 19

Двойной интеграл

ЗАДАНИЕ 1.14 Поменять порядок интегрирования в двойном интеграле:

Решение: Из интеграла выписываем область интегрирования, которая ограничена кривыми

где (y — 1)²=1 — x², x²+(y — 1)²=1.
Получили нижний полукруг с центром в точке O (0;1) и радиусом R=1.
Выражаем полученные функции через переменную y:
, отсюда перед радикалом стоит знак «+» поскольку часть круга находится в правой (положительной по x) части полплоскости;
y=e^x, отсюда x=ln (y).
Выполняем построение рисунка к задаче, это служит доброй подсказкой при выполнении заданий

Как изменять пределы интегрирования Вас по-видимому учили.
Если не все знают, то просто мнимо проведите прямую и выпишите закон за которым изменяются края при прохождении кривой снизу вверх, или слева направо. Таким образом Вы будете знать и количество областей разбития, и функции, которые ограничивают площадь или объем тела.
При изменении порядка интегрирования нашу область разбили на две области: D=D₁+D₂.
Расставим пределы интегрирования в каждой области:

Еще раз внимательно пересмотрите рисунок и попробуйте проанализировать почему так.
При изменении порядка интегрирования получим два двойных интеграла
На этом и все объяснения к первой задаче.

 

ЗАДАНИЕ 2.13 Найти площадь плоской фигуры, заданной следующими условиями, : xy=1, xy=2, 6y=7-x.
Решение: Сначала выполняем построение кривых, чтобы понять площадь какой фигуры ищем

Дальше видим, что область интегрирования нужно разбивать на три части.
Есть другой вариант, более легкий с точки зрения практической реализации.
Можно найти площадь между двумя красными кривыми и от нее отнять площадь в области D₂ между красной и синей кривыми. В результате получим разницу двух двойных интегралов.
Но здесь пойдем более длинным по пути, описанный попробуйте реализовать самостоятельно.
Первое, что нам нужно — это определить в каких точках графика кривые пересекают друг друга.
Найдем точки пересечения графиков 1 и 3 функций:
складываем систему из двух уравнений

и находим решение 

Пересечение второй и третьей функций дают систему уравнений

для определения двух точек

Заданную область будем разбивать на три области: D=D₁+D₂+D₃.
Расставим пределы интегрирования в каждой области:

Через двойной интеграл вычисляем площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми:
Интеграл в итоге дает много логарифмов, которые группируем.
Приближенно площадь поверхности равна 1,12 единиц квадратных.

ЗАДАНИЕ 3.12 Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями:
D: y=2x³, y=0, x=1.
Решение: Найдем точки пересечения графиков заданных функций : 2x³=0, x=0.
Изобразим графически область интегрирования

Расставим пределы в заданной области D:

Вычислим двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями:
Напомним, что это есть лишь двойной интеграл.
Площадь имеет место лишь в тех случаях, когда функция интегрирования равна единице.

 

ЗАДАНИЕ 4.11 Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты:

Решение: Запишем область интегрирования, которая ограничена кривыми

где
Получили круг с центром в точке O (0;0) и радиусом ровным ругаю из трех (верхняя половина).
Изобразим полукруг в декартовой и полярной системе координат

Перейдем к полярной системе координат (СК), используя следующую замену переменных :

Следует помнить, что дополнительно нужно вычислить якобиан перехода от декартовой к полярной СК:

Он важен, поскольку на него нужно домножити подинтегральную функцию, выраженную в новых координатах
Найдем вид подинтегральной функции в полярной системе координат :

Запишем пределы интегрирования в полярной СК:

Осталось вычислить двойной интеграл:

Интеграл равен I=7*Pi/3.
То, что интеграл содержит число Pi лишь подтверждает правильность вычислений, ведь для круговых форм это распространено.

 

ЗАДАНИЕ 5.10 Вычислить площадь области D, ограниченной указанными линиями:
D: y=x²+2, x=2, y=x

Решение: Расставим пределы в заданной области D:

Построим кривые, чтобы представить фигуру площадь которой мы ищем.

Здесь есть два варианта: сложный — когда внутренний интеграл за переменной x предусматривает нахождение площади, через сумму двойных интегралов по 2 или 3 областям.
Мы же пойдем легким по пути и определим площадь заштрихованной фигуры с помощью одного двойного интеграла.
Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной указанными линиями:

Площадь равна S=14/3 единиц квадратных.
Как видите — выбор порядка интегрирования может существенно сэкономить время при написании контрольной работы, на экзамене или практических заданиях. Для сравнения попробуйте вычислить первым временем и сравнить масштаб выполненных работ.

 

ЗАДАНИЕ 6.9 Используя двойной интеграл, вычислить, перейдя к полярным координатам, площадь плоской фигуры : (x²+y²)²=a²(2x²+3y²).
Решение: Один из предыдущих примеров содержал переход к полярной системе координат :

и был найден якобиан переходу I=r.
Определим пределы интегрирования :

Пределы интегрирования:
Их легко определить в полярной СК — радиус изменяется от нуля к кривой, которая ограничивает площадь, а угол изменяется от 0 до 360 градусов.
Это Вы должны знать при вычислении подобных заданий.
Вычислим площадь плоской фигуры:

Под интегралом пришлось понижать степень синуса за известной тригонометрической формулой. На пратиці Вы такие случаи рассматривали, то же здесь мы Вам ничего нового не открываем.

 

ЗАДАНИЕ 7.8 Найти объем тела, заданного поверхностями, что его ограничивают:
y=7-x²-z², , y=0.
Решение: Половину 3d рисунка тела изобразим графически — это хорошая подсказка, которая развивает воображение.

Вычислим объем тела, которое ограничивает эти две поверхности (то есть рисунок разрезали пополам для наглядного отражения)+ снизу плоскостью y=0.
Чтобы упростить интегралы объем тела найдем как разницу объемов параболоида и конуса (см. рис.).

Расставим пределы в заданной области D₁ (круг радиусом ):

Найдем объем параболоида:

При нахождении двойного интегралу целесообразно перейти к полярной СК, поскольку обе фигуры образованы вращением кривой вокруг оси Oy.
Расставим пределы в области D₂ (круг радиусом R=1):

Вычислим объем конуса:

Он равен V=Pi/3 единиц кубических.
Здесь также во время интегрирования перешли к полярной СК.
Последним шагом найдем объем тела, которое находится между параболоидом и конусом, :
Разница объемов равна V=145*Pi/6=75,88 единиц кубических.

 

Тройной интеграл

ЗАДАНИЕ 8.7 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена указанными поверхностями:
V: y=2x, y=1 , x+y+z=3.
Нарисовать область интегрирования.
Решение: В плоскости Oxy уравнение прямых запишем следующим образом: y=1, x=y/2, x=3-y.
Уравнение плоскости в пространстве запишем в виде: z=3-y-x.
Построим пространственный рисунок тела и его проекцию в декартовую плоскость
Как видно из рисунку область тела D, что проектируется на плоскость Oxy, разбивается на две части:
D=D₁+D₂, поэтому пределы интегрирования расставляем следующим образом:

На основе проведенного анализа записываем пределы в тройной интеграл
Внимательно разберите как изменятся пределы, если интегрировать за переменной y во внутреннем интеграле.
Легко убедиться, что получим сумму из трех тройных интегралов.

ЗАДАНИЕ 9.6 Вычислить тройные интегралы: где область интегрирования ограничена:
Решение: Область являет собой параллелепипед, который изображен ниже

Это значительно упрощает интегрирование
Детали вычислений хорошо расписаны в формулах, потому здесь важно лишь правильно подставить пределы и не ошибиться при грустит.

 

ЗАДАНИЕ 10.5 Используя тройной интеграл, вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Нарисовать область интегрирования.
Решение: Прежде всего выполняем построение к условию, в крайнем случае старайтесь схематически нарисовать область интегрирования

Дальше записываем пределы интегрирования, учитывая выполненный рисунок:

Через тройной интеграл находим объем тела:

Превращения не сложны и их разберите самостоятельно.
Объем ровный 16 куб. од.
На этом индивидуальная работа из повторных интегралов выполнена.
Больше примеров на двойные и тройные интегралы Вы можете найти в следующих материалах.

Решение интеграла от ln(x) — видео и расшифровка урока

Приложение

Применим эти шаги к интегралу от ln( x ). Мы знаем, что у нас есть две функции: ln( x ) и 1. Поскольку производная от ln( x ) хорошо известна как 1/ x , было бы неплохо, если u = ln ( х ). Точно так же интеграл от 1 хорошо известен как x + C , где C — константа.Таким образом, мы положим dv = 1 dx . Важно отметить, что мы не включаем константы при нахождении различных интегралов в процессе решения. Это связано с тем, что константы, которые будут появляться повсюду, будут обработаны в конце процесса, когда у нас будет наша окончательная константа.

На данный момент мы фактически завершили шаги 1 и 2, и у нас есть u , du , v и dv .

и = пер( х )	дв = 1 дх
дю = (1/ х ) дх	v = х

Все, что нам нужно сделать сейчас, это подставить результаты в нашу формулу и упростить.

Решение

Мы видим, что интеграл от ln( x ) равен x ln( x ) — x + C .

Интегрирование по частям

Итак, мы нашли интеграл от ln( x ), но использование интегрирования по частям может быть для вас новым и может вызвать некоторые вопросы. Чтобы исправить это, давайте подробнее рассмотрим интегрирование по частям.

Как мы уже говорили, интегрирование по частям используется для нахождения интеграла произведений функций. На самом деле мы можем вывести формулу интегрирования по частям из правила произведения для производных. Давайте посмотрим, как это делается.

Начнем с формулы продукта для деривативов.

Далее мы интегрируем обе стороны функции. Вы можете задаться вопросом, почему, но этот подход будет становиться все более и более ясным по мере нашего продвижения вперед.

Мы можем довольно легко упростить левую часть этого уравнения. Поскольку нахождение интеграла от чего-то равносильно нахождению антипроизводной, мы имеем, что интеграл от производной f ( x ) * g ( x ) равен f ( x ). )* г ( x ) + С . Опять же, мы можем отбросить константу, потому что константы, которые появляются по мере нашего продвижения, будут обработаны в конце процесса, где все они закончатся как одна константа.Таким образом имеем следующее:

Теперь по приведенной выше формуле интегрирования по частям находим интеграл от u dv . Если мы возьмем u = f ( x ) и dv = g ‘ ( x ) d x , вы заметите какой-нибудь из интегралов в нашей формуле 5, которые похожи на 900 у дв ? Итак, взглянув на уравнение, последний интеграл имеет функцию f , умноженную на производную функции g . Ага! Этот интеграл был бы интегралом u dv , где u равно f ‘ ( x ), а dv равно g ( x ). Поэтому найдем этот интеграл по полученной формуле.

Хорошо, у нас есть формула. Однако подождите секунду. Это не похоже на нашу первоначальную интеграцию с помощью формулы частей. Не волнуйтесь! Мы можем сделать здесь несколько замен, и все станет кристально чистым.

u = f ‘( x )	дв = г ‘ дх
дю = ф ‘ ( х ) дх	v = г ( x )

Подставив их в формулу, мы получим следующее:

Вот эта формула! Теперь мы видим, откуда берется формула интегрирования по частям и почему мы можем ее использовать. Если все детали в выводе формулы не были полностью ясны, это нормально, если вы признаете, что она была получена из правила произведения для производных.

Знание происхождения формулы может улучшить наше понимание самой формулы и помочь нам определить связи между различными математическими понятиями и идеями. Теперь вы не только знаете, как найти интеграл от ln( x ), но также знаете, почему мы можем использовать для этого процесс интегрирования по частям.

Чему равен интеграл от f(x)? — Блог Magoosh

Интегрирование, наряду с дифференцированием, является одной из двух основных операций в исчислении. В то время как дифференциация — это инструмент, который позволяет нам исследовать скорость изменений, интеграл — это инструмент, который позволяет нам складывать бесконечно малые части целого.

Подробнее об интеграции

Лучше всего изучить интеграцию на примере. Представьте, что у нас есть неправильная форма, площадь которой мы хотели найти. Если бы мы разделили фигуру на правильные прямоугольники, мы могли бы сложить площади всех прямоугольников и найти приблизительную площадь всей фигуры.

Если бы мы теперь взяли эти прямоугольники и делали их все тоньше и тоньше, наша аппроксимация площади целого становилась бы все более и более точной. В конце концов, поскольку прямоугольники стали бесконечно малы (а вместе с тем их бесконечное количество), мы вполне могли найти площадь исходной формы. Это то, что позволяет сделать инструмент интеграции. Поэтому он используется для поиска таких понятий, как смещение, площадь и объем.

Интегрирование очень тесно связано с дифференцированием через Фундаментальную теорему исчисления.(Это будет обсуждаться в отдельной статье в ближайшее время). В своей простейшей форме операция интегрирования противоположна дифференцированию. Поэтому он сначала вводится в классы исчисления в виде первообразной.

Что такое первообразная?

Первообразная функции — это новая функция, производная которой возвращает нас к исходной функции. Например, если у нас есть функция f(x) = 3x ² , первообразная будет F(x) = x ³ + c (где c — константа), потому что производная F(x) дает вернемся к нашей исходной функции.Это также известно как неопределенный интеграл.

Обозначения для неопределенных интегралов следующие:

Например:

Мы должны заметить, что в конце нашей интеграции есть небольшое «dx». Это означает, что мы берем наш интеграл «по x». Это тот же dx, который мы видим в верхней части нашего обозначения дифференцирования. Когда мы изучаем исчисление с несколькими переменными, это становится очень важным.

Мы также должны заметить букву с в конце F(x).Это представляет константу. Мы должны поставить это здесь, потому что без внешней информации мы не знаем, какой может быть эта константа. Когда мы берем производную от F(x), независимо от того, каково значение c, оно исчезнет.

 

Наряду с неопределённым интегралом существует ещё и определённый интеграл.

Что такое определенный интеграл?

Определенный интеграл в двух измерениях дает площадь, которая существует под кривой между двумя конечными точками.

 

Например, возьмем функцию f(x) = -x ² +10 и конечные точки [-2, 2].Мы могли бы найти площадь под этой кривой, используя неопределенный интеграл.

Интеграция — это очень мощный инструмент, позволяющий решать широкий круг задач. Вернитесь в ближайшее время, чтобы увидеть наши сообщения в блоге о том, как определять различные интегралы, как использовать наш калькулятор для решения задач интеграции и для практики интегральных задач AP.

Гарантированно улучшите свой результат SAT или ACT. Начните свою 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep сегодня!

• Закари — бывший инженер-механик, а нынешний школьный учитель физики, математики и информатики. Он окончил Университет Макгилла в 2011 году и работал в автомобильной промышленности в Детройте, прежде чем перейти к образованию. Он преподает и занимается репетиторством в течение последних пяти лет, но вы также можете найти его в приключениях, чтении, скалолазании и путешествиях, когда появляется возможность.

  Просмотреть все сообщения

Кстати, Magoosh может помочь вам подготовиться к экзаменам SAT и ACT.{3} — 1}{\ln t} \, dt.∫01​lntt3−1​dt.

---

Этот интеграл кажется устойчивым к стандартным методам интегрирования, таким как интегрирование по частям, u-подстановка и т. д. Мы хотели бы использовать для его вычисления дифференцирование под знаком интеграла.

Как выбрать функцию для дифференцирования под знаком интеграла? Появление ln⁡t\ln tlnt в знаменателе подынтегральной функции весьма нежелательно, и мы хотели бы от него избавиться. x \ln t,dxd​tx=txlnt, поэтому дифференцирование числителя по показателю степени похоже на то, что мы я хотел бы сделать.{1} = \frac{1}{x+1}.g′(x)=∫01​∂x∂​lnttx−1​dt=∫01​lnttxlnt​dt=x+1tx+1​∣∣∣ ∣∣​01​=x+11​. Отсюда следует, что g(x)=ln⁡∣x+1∣+Cg(x) = \ln|x+1| + Cg(x)=ln∣x+1∣+C для некоторой константы CCC.

Чтобы определить CCC, обратите внимание, что g(0)=0g(0) = 0g(0)=0, поэтому 0=g(0)=ln⁡1+C=C0 = g(0) = \ln 1 + C = C0=g(0)=ln1+C=C. Следовательно, g(x)=ln⁡∣x+1∣g(x) = \ln|x+1|g(x)=ln∣x+1∣ для всех xxx таких, что интеграл существует. В частности, g(3)=ln⁡4=2ln⁡2g(3) = \ln 4 = 2\ln 2g(3)=ln4=2ln2. □_\квадрат□​

В примере часть подынтегральной функции была заменена переменной, а полученная функция изучена с помощью дифференцирования под знаком интеграла.{\infty} \cos tu \, du,0=g′(t)=∫0∞​costudu, что абсурдно. Проблема в том, что функция f(x,t)=sin⁡tx/xf(x,t) = \sin tx/xf(x,t)=sintx/x не является непрерывно дифференцируемой (рассмотрим ∂f/∂t\ частичное f/\partial t∂f/∂t при x=0x=0x=0), что требовалось в изложенных выше предположениях.

4π4\pi4π 2π2\pi2π π\piπ 0

Вычислить определенный интеграл: ∫02πecos⁡θcos⁡(sin⁡θ) dθ.{t \cos\theta} \cos(t\sin\theta) \, d\thetaf(t)=∫02π​etcosθcos(tsinθ)dθ

и используем дифференцирование под знаком интеграла.

Интегральное исчисление — формулы, методы, примеры

Интегральное исчисление помогает найти первообразные функции. Эти первообразные также называются интегралами функции. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием. Обратным процессом нахождения производных является нахождение интегралов.Интеграл функции представляет собой семейство кривых. Нахождение как производных, так и интегралов составляет фундаментальное исчисление. В этом разделе мы рассмотрим основы интегралов и вычисления интегралов.

Что такое интегральное исчисление?

Интегралы — это значения функции, найденные в процессе интегрирования. Процесс получения f(x) из f'(x) называется интегрированием. Интегралы присваивают номера функциям таким образом, что описывают задачи перемещения и движения, проблемы площади и объема и т. д., возникающие при объединении всех небольших данных.Зная производную f’ функции f, мы можем определить функцию f. Здесь функция f называется первообразной или интегралом от f’.

Пример: Дано: f(x) = x ² .

Производная f(x) = f'(x) = 2x = g(x)

, если g(x) = 2x, то антипроизводная g(x) = ∫ g(x) = x ² 

Определение интеграла

F(x) называется первообразной или интегралом Ньютона-Лейбница или примитивной функции f(x) на интервале I. F'(x) = f(x) для каждого значения x в I.

Интеграл — это представление площади области под кривой. Мы аппроксимируем фактическое значение интеграла, рисуя прямоугольники. Определенный интеграл функции можно представить как площадь области, ограниченной ее графиком данной функции между двумя точками прямой. Площадь области находят, разбивая ее на тонкие вертикальные прямоугольники и применяя нижний и верхний пределы, площадь области суммируют.b f(x) dx\) = f(b) — f(a). Это известно как определенный интеграл от f в диапазоне [a,b], где a — нижний предел, а b — верхний предел.

Типы интегралов

Интегральное исчисление используется для решения задач следующих типов.

а) задача о нахождении функции, если задана ее производная.

б) задача нахождения площади, ограниченной графиком функции при заданных условиях. Таким образом, интегральное исчисление делится на два типа.

• Определенные интегралы (значения интегралов определенные)
• Indefinite Integrals (значение интеграла неопределенно с произвольной константой, C)

Неопределенные интегралы

Это интегралы, не имеющие ранее существовавшего значения пределов; тем самым делая окончательное значение интеграла неопределенным. ∫g'(x)dx = g(x) + c. Неопределенные интегралы относятся к семейству параллельных кривых.

Определенные интегралы

Определенные интегралы имеют предсуществующее значение пределов, что делает конечное значение интеграла определенным.b f(x) dx = f(b) — f(a)\)

Свойства интегрального исчисления

Изучим свойства неопределенных интегралов, чтобы работать над ними.

• Производная интеграла — это само подынтегральное выражение. ∫ f(x) dx = f(x) +C
• Два неопределенных интеграла с одной и той же производной приводят к одному и тому же семейству кривых, поэтому они эквивалентны. ∫ [ f(x) dx -g(x) dx] =0
• Интеграл суммы или разности конечного числа функций равен сумме или разности интегралов отдельных функций.∫ [ f(x) dx+g(x) dx] = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
• Константа вынесена за знак интеграла. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx, где k ∈ R.
• Два предыдущих свойства объединяются, чтобы получить форму: ∫ [k\(_1\)f\(_1\)(x) + k\(_2\)f\(_2\)(x) +. .. k \(_n\)f\(_n\)(x)] dx = k\(_1\)∫ f\(_1\)(x)dx + k\(_2\)∫ f\(_2\)(x )dx+ … k\(_n\) ∫ f\(_n\)(x)dx

Интегральные формулы

Мы можем запомнить формулы производных некоторых важных функций.Вот соответствующие интегралы этих функций, которые запоминаются как стандартные формулы интегралов.

• ∫ x ⁿ dx=x ⁿ⁺¹ /n+1+C, где n ≠ -1
• ∫ дх =х+С
• ∫ cosxdx = sinx+C
• ∫ sinxdx = -cosx+C
• ∫ сек ² x dx = tanx+C
• ∫ cosec ² x dx = -cotx+C
• ∫ сек ² x dx = tanx+C
• ∫ secx tanxdx = secx+C
• ∫ cscx cotx dx = -cscx+C
• ∫1/(√(1-x ² ))= sin ^-1 x + C
• ∫-1/(√(1-x ² ))= cos ^-1 x + C
• ∫1/(1+x ² )= тангенс ^-1 x + C
• ∫-1/(1+x ² )= детская кроватка ^-1 x + C
• ∫1/(x√(x ² -1))= сек ^-1 x + C
• ∫-1/(x√(x ² -1))= cosec ^-1 x + C
• ∫ e ^x dx=e ^x  + C
• ∫dx/x=ln|x| + С
• ∫ a ^x dx=a ^x /ln a + C

Методы нахождения интегралов

Существует несколько методов нахождения неопределенных интегралов. Известные методы:

Нахождение интегралов методом подстановки

Методом подстановки найдено несколько интегралов. Если u является функцией x, то u’ = du/dx.

∫ f(u)u’ dx = ∫ f(u)du, где u = g(x).

Нахождение интегралов путем интегрирования по частям

Если две функции имеют вид произведения, интегралы находятся методом интегрирования по частям.

∫f(x)g(x) dx = f(x)∫ g(x) dx — ∫ (f'(x) ∫g(x) dx) dx.

Нахождение интегралов путем интегрирования с помощью дробей

Интегрирование рациональных алгебраических функций, числитель и знаменатель которых содержат положительные целые степени x с постоянными коэффициентами, производится путем их разложения на частные дроби.

Чтобы найти ∫ f(x)/g(x) dx, разложите эту неправильную рациональную функцию на правильную рациональную функцию и затем проинтегрируйте.

∫f(x)/g(x) dx = ∫ p(x)/q(x) + ∫ r(x)/s(x), где g(x) = a(x) . с(х)

Приложения интегрального исчисления

Используя интегрирование, мы можем найти расстояние, зная скорость. Определенные интегралы представляют собой мощный инструмент для нахождения площади под простыми кривыми, площади, ограниченной кривой и линией, площади между двумя кривыми, объема твердых тел.2)дх\)

= х ² /2- х ³ /3

= 1/2-1/3

= 1/6 кв.

Важные примечания

• Примитивное значение функции, найденное в процессе интегрирования, называется интегралом.
• Интеграл — это математический объект, который можно интерпретировать как площадь или обобщение площади.
• При интегрировании полиномиальной функции степень интеграла увеличивается на 1.

☛ Также проверьте:

Часто задаваемые вопросы по интегральному исчислению

Что такое интегралы?

Интегралы — это значения функции, найденные в процессе интегрирования. Интеграл определяется как площадь области под кривой, представленной в виде функции y = f(x).

Как называется символ интеграла?

Целочисленный символ ∫. Это означает, что она ограничена пределом от низшего к высшему и что интегралы представляют собой площадь кривой под графиком функции.

Какие существуют типы интегралов?

Интегралы бывают двух типов: определенный интеграл и неопределенный интеграл. Определенные интегралы ограничены пределами. Неопределенные интегралы не привязаны к ранее существовавшим значениям.

Может ли интеграл иметь два ответа?

Да, неопределенный интеграл может иметь бесконечные ответы в зависимости от значения постоянного члена; а определенный интеграл будет постоянной величиной.

Для чего используется двойной интеграл?

Двойной интеграл используется для вычисления площадей областей, нахождения объемов данной поверхности, а также среднего значения любой заданной функции в плоской области.

Как найти интегралы?

Нахождение интегралов — это операция, обратная нахождению производных. Некоторые интегралы запоминаются как формулы. Например, ∫ x ⁿ = x ⁿ⁺¹ / (n+1) + C. Таким образом, x ⁶ = x ⁶⁺¹ / 6+1 = x ⁷ / 7 + C. В некоторых интегралах используются методы интегрирования по частям, интегрирования по неполным дробям, метода подстановки и т. д.

Как использовать интегралы с помощью тригонометрии?

Используйте тригонометрические тождества и упростите функцию до интегрируемой функции, а затем примените формулы и примените процедуры интегрирования, чтобы найти интегралы с помощью тригонометрии.

Что такое интеграл от sin x?

Интеграл от синуса x равен -cos x + C. ∫ sin x dX = -cos x + C.

Для чего используется интегральное исчисление?

Мы используем определенные интегралы, чтобы найти площадь под кривой или между кривыми, которые определяются функциями, мы находим их неопределенные интегралы, используя формулы и методы, а затем находим их разность интегралов, применяя пределы. {N}.{2}}\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}\) и \(\left.\frac{dw}{dz}\right|_{z=0}=-\frac {1}{\sqrt[3]{3}\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}.\) Известно, что решение этого дифференциального уравнения с этими граничными условиями является функция Эйри

Сначала преобразуйте это ОДУ в стандартную форму, установив \(\mathbf{y}=\left[\frac{dw}{dz},w\right]\) и \(t=z\). Таким образом, дифференциальное уравнение принимает вид

\[\begin{split}\frac{d\mathbf{y}}{dt}=\left[\begin{array}{c} ty_{1}\\ y_{0}\end{массив}\right] =\left[\begin{массив}{cc} 0 & t\\ 1 & 0\end{массив}\right]\left[\begin{массив}{c} y_{0}\\ y_{1}\ конец{массив}\справа]=\влево[\начало{массив}{cc} 0 & t\\ 1 & 0\конец{массив}\справа]\mathbf{y}.{t}\mathbf{A}\left(\tau\right)d\tau\right)\mathbf{y}\left(0\right),\]

Однако в этом случае \(\mathbf{ A}\left(t\right)\) и его интеграл не коммутируют.

Это дифференциальное уравнение можно решить с помощью функции solve_ivp . Требуется производная fprime , промежуток времени [t_start, t_end] и вектор начальных условий, y0 , в качестве входных параметров и возвратов объект, поле y которого представляет собой массив с последовательными значениями решения, как столбцы. Таким образом, начальные условия даны в первом выходном столбце.

Как видно solve_ivp определяет свои временные шаги автоматически, если нет указано иное. Сравнить решение solve_ivp с airy функция вектор времени, созданный с помощью solve_ivp , передается в функцию airy .

Решение solve_ivp со стандартными параметрами показывает большое отклонение к воздушной функции.Чтобы свести к минимуму это отклонение, относительное и абсолютное можно использовать допуски.

Чтобы указать определенные пользователем моменты времени для решения solve_ivp , solve_ivp предлагает две возможности, которые также можно использовать дополнительно. Прохождение t_eval опция вызова функции solve_ivp возвращает решения этих моментов времени of t_eval в своем выводе.

Если матрица функции Якобиана известна, ее можно передать в solve_ivp для достижения лучших результатов. Однако имейте в виду, что метод интеграции по умолчанию RK45 не поддерживает матрицы якобиана, поэтому другой метод интегрирования быть избранным. Одним из методов интегрирования, поддерживающих матрицу Якобиана, является метод for пример Radau метод следующего примера.

Решение системы с ленточной матрицей Якоби

odeint можно сказать, что якобиан полосатый . Для большого система дифференциальных уравнений, которая, как известно, является жесткой, это может значительно повысить производительность.2 — (f + k)v \\ \конец{разделение}\конец{разделение}\]

, где \(D_u\) и \(D_v\) — коэффициенты диффузии компоненты \(u\) и \(v\) соответственно, а \(f\) и \(k\) являются константами. (Для получения дополнительной информации о системе см. http://groups.csail.mit.edu/mac/projects/amorphous/GrayScott/)

Примем граничные условия Неймана (т. е. «отсутствие потока»):

\[\frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x}(0,t) = 0, \quad \frac{\partial u}{\partial x}(L,t) = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x}(L,t) = 0\]

Чтобы применить метод прямых, мы дискретизируем переменную \(x\), определяя равномерно распределенная сетка из \(N\) точек \(\left\{x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}\right\}\), с \(x_0 = 0\) и \(x_{N-1} = L\). 2 — (f + k)v_{N-1} \конец{разделить}\конец{разделить}\]

Наша полная система \(2N\) обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид (1) для \(k = 1, 2, \ldots, N-2\) вместе с (2) и (3).

Теперь мы можем приступить к реализации этой системы в коде. Мы должны объединить \(\{u_k\}\) и \(\{v_k\}\) в один вектор длины \(2N\). Два очевидных варианта \(\{u_0, u_1, \ldots, u_{N-1}, v_0, v_1, \ldots, v_{N-1}\}\) и \(\{u_0, v_0, u_1, v_1, \ldots, u_{N-1}, v_{N-1}\}\). Математически это не имеет значения, но выбор влияет на то, как эффективно odeint может решить систему.Причина в том, как порядок влияет на структуру ненулевых элементов матрицы Якоби.

Когда переменные упорядочены как \(\{u_0, u_1, \ldots, u_{N-1}, v_0, v_1, \ldots, v_{N-1}\}\), шаблон ненулевых элементов матрицы Якоби равен

\[\begin{split}\begin{smallmatrix} * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * \\ * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & ) & * & * \\ \конец{маленькая матрица}\конец{разделение}\]

Шаблон Якоби с чередующимися переменными как \(\{u_0, v_0, u_1, v_1, \ldots, u_{N-1}, v_{N-1}\}\) равно

\[\begin{split}\begin{smallmatrix} * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * \\ \конец{маленькая матрица}\конец{разделение}\]

В обоих случаях нетривиальных диагоналей всего пять, но когда переменные чередуются, пропускная способность намного меньше. То есть главная диагональ и две диагонали сразу выше и два сразу под главной диагональю ненулевые диагонали. Это важно, потому что входы мю и мл odeint — верхняя и нижняя полосы пропускания Матрица Якоби. Когда переменные чередуются, мю и мл равно 2. Когда переменные сложены с \(\{v_k\}\) после \(\{u_k\}\), верхний а более низкие значения пропускной способности равны \(N\).

Приняв это решение, мы можем написать функцию, которая реализует систему дифференциальных уравнений.

Сначала мы определяем функции для источника и реакции количество участников системы:

 по определению G(u, v, f, k):
    вернуть f * (1 - u) - u*v**2

def H(u, v, f, k):
    возврат -(f + k) * v + u*v**2
 

Далее мы определяем функцию, которая вычисляет правую часть системы дифференциальных уравнений:

 по определению Grayscott1d(y, t, f, k, Du, Dv, dx):
    """
    Дифференциальные уравнения для одномерных уравнений Грея-Скотта. 

    ОДУ выводятся методом прямых."""
    # Векторы u и v чередуются в y. Мы определяем
    # представления u и v путем нарезки y.
    и = у [:: 2]
    v = у[1::2]

    # dydt — это возвращаемое значение этой функции.
    dydt = np.empty_like(y)

    # Точно так же, как u и v являются представлениями чередующихся векторов
    # в y, dudt и dvdt представляют собой чередующиеся выходные данные
    # векторы в dydt.
    дудт = дыдт[::2]
    двдт = ддт[1::2]

    # Вычислить du/dt и dv/dt. Конечные точки и внутренние точки
    # обрабатываются отдельно.dudt[0] = G(u[0], v[0], f, k) + Du * (-2,0*u[0] + 2,0*u[1]) / dx**2
    dudt[1:-1] = G(u[1:-1], v[1:-1], f, k) + Du * np.diff(u,2) / dx**2
    dudt[-1] = G(u[-1], v[-1], f, k) + Du * (- 2.0*u[-1] + 2.0*u[-2]) / dx**2
    dvdt[0] = H(u[0], v[0], f, k) + Dv * (-2,0*v[0] + 2,0*v[1]) / dx**2
    dvdt[1:-1] = H(u[1:-1], v[1:-1], f, k) + Dv * np.diff(v,2) / dx**2
    dvdt[-1] = H(u[-1], v[-1], f, k) + Dv * (-2.0*v[-1] + 2.0*v[-2]) / dx**2

    вернуться
 

Мы не будем реализовывать функцию для вычисления якобиана, но сообщим odeint , что матрица Якоби ленточная. Это позволяет лежащей в основе решатель (LSODA), чтобы избежать вычисления значений, которые, как ему известно, равны нулю. Для большого системы, это значительно повышает производительность, как показано в после сеанса ipython.

Сначала мы определяем необходимые входы:

 В [30]: rng = np.random.default_rng()

В [31]: y0 = rng.standard_normal(5000)

В [32]: t = np.linspace(0, 50, 11)

В [33]: f = 0,024

В [34]: k = 0,055

В [35]: Du = 0,01

В [36]: Dv = 0,005

В [37]: dx = 0,025
 

Расчет времени без использования ленточной структуры матрицы Якоби:

 В [38]: %timeit sola = odeint(grayscott1d, y0, t, args=(f, k, Du, Dv, dx))
1 петля, изн 3: 25.2 с на петлю
 

Теперь установите ml=2 и mu=2 , поэтому odeint знает, что матрица Якоби окольцован:

 В [39]: %timeit solb = odeint(grayscott1d, y0, t, args=(f, k, Du, Dv, dx), ml=2, mu=2)
10 циклов, лучший из 3: 191 мс на цикл
 

Это немного быстрее!

Давайте удостоверимся, что они вычислили один и тот же результат:

 В [41]: np. allclose(sola, solb)
Исход[41]: Верно
 

5.2 Определенный интеграл — Исчисление Том 1

Цели обучения

• 5.2.1 Дайте определение определенного интеграла.
• 5.2.2 Объясните термины подынтегральная функция, пределы интегрирования и переменная интегрирования.
• 5.2.3 Объясните, когда функция является интегрируемой.
• 5.2.4 Опишите связь между определенным интегралом и чистой площадью.
• 5.2.5 Используйте геометрию и свойства определенных интегралов для их вычисления.
• 5.2.6 Вычислить среднее значение функции.

В предыдущем разделе мы определили площадь под кривой в терминах сумм Римана:

A=limn→∞∑i=1nf(xi*)Δx.A=limn→∞∑i=1nf(xi*)Δx.

Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы функция f(x)f(x) была непрерывной и неотрицательной. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить понятие площади под кривой к более широкому набору функций посредством использования определенного интеграла.

Определение и обозначение

Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности f(x)f(x) и определяем определенный интеграл следующим образом.

Определение

Если f(x)f(x) — функция, определенная на интервале [a,b],[a,b], определенный интеграл от f от a до b равен

∫abf(x)dx=limn→∞∑i=1nf(xi*)∆x,∫abf(x)dx=limn→∞∑i=1nf(xi*)∆x,

(5.8)

при наличии ограничения. Если этот предел существует, функция f(x)f(x) называется интегрируемой на [a,b],[a,b] или является интегрируемой функцией.

Символ интеграла в предыдущем определении должен показаться вам знакомым.Мы видели подобное обозначение в главе о приложениях производных, где мы использовали неопределенный целочисленный символ (без a и b выше и ниже) для обозначения первообразной. Хотя обозначения неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям определенных интегралов, они не совпадают. Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы рассмотрим, как связаны эти понятия. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница, которого часто считают одним из первооткрывателей исчисления наряду с Исааком Ньютоном. Символ интегрирования ∫ представляет собой удлиненную букву S, что указывает на сигму или суммирование. В определенном интеграле выше и ниже символа суммы находятся границы интервала [a,b].[a,b]. Числа a и b являются x -значениями и называются пределами интегрирования; в частности, a — нижний предел, а b — верхний предел. Чтобы пояснить, мы используем слово предел двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Во-первых, мы говорим о пределе суммы при n→∞.n→∞. Во-вторых, границы региона называются пределами интегрирования .

Мы называем функцию f(x)f(x) подынтегральной функцией, а dx указывает, что f(x)f(x) является функцией относительно x , называемой переменной интегрирования. Обратите внимание, что, как и индекс в сумме, переменная интегрирования является фиктивной переменной и не влияет на вычисление интеграла.Мы можем использовать любую переменную, которая нам нравится, в качестве переменной интегрирования:

∫abf(x)dx=∫abf(t)dt=∫abf(u)du∫abf(x)dx=∫abf(t)dt=∫abf(u)du

Ранее мы обсуждали тот факт, что если f(x)f(x) непрерывна на [a,b],[a,b], то предел limn→∞∑i=1nf(xi*)∆xlimn→∞∑ i=1nf(xi*)∆x существует и единственно. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

Теорема 5.1

Непрерывные функции интегрируемы

Если f(x)f(x) непрерывна на [a,b],[a,b], то f интегрируема на [a,b].[а, б].

Функции, не являющиеся непрерывными на [a,b][a,b], все же могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, интегрируемы функции с конечным числом скачков на отрезке.

Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана. Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для формирования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, недостаточно принять предел, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности.Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина наибольшего подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления, не получая при этом особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана.

Пример 5.7

Вычисление интеграла с использованием определения

Используйте определение определенного интеграла для вычисления ∫02x2dx.∫02x2dx. Используйте приближение правой конечной точки, чтобы сгенерировать сумму Римана.

Решение

Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем a=0a=0 и b=2.b=2. Для i=0,1,2,…,n,i=0,1,2,…,n пусть P={xi}P={xi} будет правильным разбиением [0,2].[0, 2]. Затем

Δx=b−an=2n.Δx=b−an=2n.

Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для получения сумм Римана, для каждого i нам нужно вычислить значение функции в правой конечной точке интервала [xi−1,xi].[xi−1,xi] . Правый конец интервала равен xi,xi, а поскольку P является обычным разделом,

xi=x0+i∆x=0+i[2n]=2in.xi=x0+i∆x=0+i[2n]=2in.

Таким образом, значение функции в правой конечной точке интервала равно

f(xi)=xi2=(2in)2=4i2n2. f(xi)=xi2=(2in)2=4i2n2.

Тогда сумма Римана принимает вид

∑i=1nf(xi)Δx=∑i=1n(4i2n2)2n=∑i=1n8i2n3=8n3∑i=1ni2.∑i=1nf(xi)Δx=∑i=1n(4i2n2)2n=∑i= 1n8i2n3=8n3∑i=1ni2.

Используя формулу суммирования для ∑i=1ni2,∑i=1ni2, мы имеем

∑i=1nf(xi)Δx=8n3∑i=1ni2=8n3[n(n+1)(2n+1)6]=8n3[2n3+3n2+n6]=16n3+24n2+8n6n3=83+4n+ 86n2.∑i=1nf(xi)Δx=8n3∑i=1ni2=8n3[n(n+1)(2n+1)6]=8n3[2n3+3n2+n6]=16n3+24n2+8n6n3=83+ 4н+86н2.

Теперь, чтобы вычислить определенный интеграл, нам нужно взять предел как n→∞.n→∞. Получаем

∫02x2dx=limn→∞∑i=1nf(xi)Δx=limn→∞(83+4n+86n2)=limn→∞(83)+limn→∞(4n)+limn→∞(86n2)=83+0 +0=83.∫02x2dx=limn→∞∑i=1nf(xi)∆x=limn→∞(83+4n+86n2)=limn→∞(83)+limn→∞(4n)+limn→∞(86n2 )=83+0+0=83.

Контрольно-пропускной пункт 5.7

Используйте определение определенного интеграла для вычисления ∫03(2x−1)dx.∫03(2x−1)dx. Используйте приближение правой конечной точки, чтобы сгенерировать сумму Римана.

Вычисление определенных интегралов

Вычисление определенных интегралов таким образом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Далее в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без ограничения сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем затем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси x .

Пример 5,8

Использование геометрических формул для вычисления определенных интегралов

Используйте формулу площади круга, чтобы вычислить ∫369−(x−3)2dx.∫369−(x−3)2dx.

Решение

Функция описывает полукруг радиусом 3. Найти

∫369−(x−3)2dx,∫369−(x−3)2dx,

мы хотим найти площадь под кривой на интервале [3,6].[3,6]. Формула площади круга: A=πr2. A=πr2. Площадь полукруга равна половине площади круга, или A=(12)πr2.А=(12)πr2. Заштрихованная область на рис. 5.16 покрывает половину полукруга, или A=(14)πr2.A=(14)πr2. Таким образом,

∫369−(x−3)2=14π(3)2=94π≈7,069.∫369−(x−3)2=14π(3)2=94π≈7,069. Фигура 5.16 Значением интеграла функции f(x)f(x) на интервале [3,6][3,6] является площадь заштрихованной области.

Контрольно-пропускной пункт 5,8

Используйте формулу площади трапеции, чтобы вычислить ∫24(2x+3)dx.∫24(2x+3)dx.

Площадь и определенный интеграл

Когда мы определили определенный интеграл, мы сняли требование неотрицательности f(x)f(x).Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда f(x)f(x) отрицательна?

Сетевая подписанная область

Вернемся к сумме Римана. Рассмотрим, например, функцию f(x)=2−2x2f(x)=2−2×2 (показанную на рис. 5.17) на интервале [0,2].[0,2]. Используйте n=8n=8 и выберите {xi*}{xi*} в качестве левой конечной точки каждого интервала. Постройте прямоугольник на каждом подынтервале высоты f(xi*)f(xi*) и ширины Δ x . Когда f(xi*)f(xi*) положительна, произведение f(xi*)Δxf(xi*)Δx, как и прежде, представляет собой площадь прямоугольника.Однако когда f(xi*)f(xi*) является отрицательным, произведение f(xi*)Δxf(xi*)Δx представляет отрицательных площади прямоугольника. Тогда сумма Римана становится равной

. ∑i=18f(xi*)Δx=(Площадь прямоугольников над осью x)−(Площадь прямоугольников под осью x)∑i=18f(xi*)Δx=(Площадь прямоугольников над осью x)−( Площадь прямоугольников ниже оси x)

Фигура 5.17 Для частично отрицательной функции сумма Римана равна площади прямоугольников над осью x за вычетом площади прямоугольников под осью x .

Принимая предел как n→∞,n→∞, сумма Римана приближается к площади между кривой над осью x и осью x , за вычетом площади между кривой ниже оси x и ось x , как показано на рисунке 5. 18. Затем

∫02f(x)dx=limn→∞∑i=1nf(ci)Δx=A1−A2.∫02f(x)dx=limn→∞∑i=1nf(ci)Δx=A1−A2.

Величина A1-A2A1-A2 называется чистой областью со знаком.

Фигура 5.18 В пределе определенный интеграл равен площади A ₁ за вычетом площади A ₂ или чистой площади со знаком.

Обратите внимание, что чистая область со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если область над осью x больше, чистая область со знаком положительна. Если область ниже оси x больше, чистая площадь со знаком будет отрицательной. Если области выше и ниже оси x равны, чистая область со знаком равна нулю.

Пример 5,9

Поиск области со знаком сети

Найдите чистую площадь со знаком между кривой функции f(x)=2xf(x)=2x и осью x на интервале [−3,3]. [−3,3].

Решение

Функция создает прямую линию, образующую два треугольника: один от x=−3x=−3 до x=0x=0, а другой от x=0x=0 до x=3x=3 (рис. 5.19). Используя геометрическую формулу площади треугольника A=12bh,A=12bh, площадь треугольника A ₁ над осью равна

, где 3 — основание, а 2(3)=62(3)=6 — высота. Площадь треугольника A ₂ ниже оси равна

А2=12(3)(6)=9,А2=12(3)(6)=9,

, где 3 — основание, а 6 — высота.Таким образом, чистая площадь равна

∫−332xdx=A1−A2=9−9=0.∫−332xdx=A1−A2=9−9=0.

Фигура 5.19 Площадь над кривой и под осью x равна площади под кривой и над осью x .

Анализ

Если A ₁ — это площадь выше оси x , а A ₂ — это площадь ниже оси x , то чистая площадь равна A1−A2. A1−A2. Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

Контрольно-пропускной пункт 5,9

Найдите чистую площадь со знаком f(x)=x−2f(x)=x−2 на интервале [0,6],[0,6], как показано на следующем рисунке.

Общая площадь

Одним из применений определенного интеграла является нахождение смещения по заданной функции скорости. Если v(t)v(t) представляет скорость объекта как функцию времени, то площадь под кривой говорит нам, насколько далеко объект находится от своего исходного положения. Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно далее в этой главе.А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.

Когда скорость постоянна, площадь под кривой равна скорости, умноженной на время. Эта идея уже очень знакома. Если автомобиль удаляется от своего начального положения по прямой со скоростью 70 миль в час в течение 2 часов, то он находится на расстоянии 140 миль от своего первоначального положения (рис. 5.20). Используя интегральное представление, мы имеем

∫0270dt=140.∫0270dt=140. Фигура 5.20 Площадь под кривой v(t)=75v(t)=75 говорит нам, насколько далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

В контексте смещения чистая площадь со знаком позволяет учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится на 120 миль к северу от своего начального положения. Если затем автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рис. 5.21). Опять же, используя интегральное представление, мы имеем

∫0260dt+∫25−40dt=120−120=0,∫0260dt+∫25−40dt=120−120=0.

В этом случае смещение равно нулю.

Фигура 5.21 Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.

Предположим, мы хотим узнать, какое расстояние проезжает машина независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью x , независимо от того, находится ли эта область выше или ниже оси. Это называется общая площадь.

Графически проще всего представить общую площадь путем сложения площадей над осью и площадей под осью (вместо вычитания площадей под осью, как мы сделали с чистой площадью со знаком).Чтобы выполнить это математически, мы используем функцию абсолютного значения. Таким образом, общий путь, пройденный автомобилем, равен

∫02|60|dt+∫25|−40|dt=∫0260dt+∫2540dt=120+120=240.∫02|60|dt+∫25|−40|dt=∫0260dt+∫2540dt=120+120=240.

Формально объединяя эти идеи, мы формулируем следующие определения.

Определение

Пусть f(x)f(x) — интегрируемая функция, определенная на отрезке [a,b].[a,b]. Пусть A ₁ представляют собой площадь между f(x)f(x) и осью x , лежащей на выше оси , и пусть A ₂ представляют площадь между f(x)f (x) и ось x , которая лежит на ниже оси . Затем чистая область со знаком между f(x)f(x) и осью x задается как

∫abf(x)dx=A1−A2.∫abf(x)dx=A1−A2.

Общая площадь между f(x)f(x) и осью x равна

∫ab|f(x)|dx=A1+A2.∫ab|f(x)|dx=A1+A2.

Пример 5.10

Нахождение общей площади

Найдите общую площадь между f(x)=x−2f(x)=x−2 и осью x на интервале [0,6].[0,6].

Решение

Вычислите точку пересечения x как (2,0)(2,0) (установите y=0,y=0, найдите x ).Чтобы найти общую площадь, возьмите площадь под осью x на подинтервале [0,2][0,2] и добавьте ее к площади над осью x на подинтервале [2,6] [2,6] (рис. 5.22).

Фигура 5. 22 Общая площадь между линией и осью абсцисс над [0,6][0,6] равна A ₂ плюс A ₁ .

У нас есть

∫06|(x−2)|dx=A2+A1.∫06|(x−2)|dx=A2+A1.

Тогда по формуле площади треугольника получаем

A2=12bh=12·2·2=2A2=12bh=12·2·2=2 A1=12bh=12·4·4=8.A1=12bh=12·4·4=8.

Общая площадь равна

А1+А2=8+2=10.А1+А2=8+2=10.

Контрольно-пропускной пункт 5.10

Найдите общую площадь между функцией f(x)=2xf(x)=2x и осью x на интервале [−3,3].[−3,3].

Свойства определенного интеграла

Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также обладают свойствами, относящимися к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим позже в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

Правило: свойства определенного интеграла

1. 
   ∫aaf(x)dx=0∫aaf(x)dx=0

   (5.9)

   
   Если пределы интегрирования одинаковы, интеграл представляет собой прямую и не содержит площади.
2. 
   ∫baf(x)dx=-∫abf(x)dx∫baf(x)dx=-∫abf(x)dx

   (5.10)

   
   Если пределы меняются местами, то перед интегралом ставится знак минус.
3. 
   ∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+ ∫abg(x)dx

   (5.11)

   
   Интеграл суммы равен сумме интегралов.
4. 
   ∫ab[f(x)−g(x)]dx=∫abf(x)dx−∫abg(x)dx∫ab[f(x)−g(x)]dx=∫abf(x) dx−∫abg(x)dx

   (5.12)

   
   Интеграл разности есть разность интегралов.
5. 
   ∫abcf(x)dx=c∫abf(x)∫abcf(x)dx=c∫abf(x)

   (5.13)

   
   вместо константы c . Интеграл от произведения константы на функцию равен произведению константы на интеграл от функции.
6. 
   ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx

   (5. 14)

   
   Хотя эта формула обычно применяется, когда c находится между a и b , формула верна для всех значений a , b и c при условии, что f(x)f(x) равно интегрируема на наибольшем интервале.

Пример 5.11

Использование свойств определенного интеграла

Используйте свойства определенного интеграла, чтобы выразить определенный интеграл f(x)=−3×3+2x+2f(x)=−3×3+2x+2 на интервале [−2,1][−2,1] в виде суммы трех определенных интегралов.

Решение

Используя интегральную запись, мы имеем ∫−21(−3×3+2x+2)dx.∫−21(−3×3+2x+2)dx. Мы применяем свойства 3. и 5., чтобы получить

∫−21(−3×3+2x+2)dx=∫−21−3x3dx+∫−212xdx+∫−212dx=−3∫−21x3dx+2∫−21xdx+∫−212dx.∫−21(−3×3+2x+2) dx=∫−21−3x3dx+∫−212xdx+∫−212dx=−3∫−21x3dx+2∫−21xdx+∫−212dx.

Контрольно-пропускной пункт 5.11

Используйте свойства определенного интеграла, чтобы выразить определенный интеграл f(x)=6×3−4×2+2x−3f(x)=6×3−4×2+2x−3 на интервале [1,3][1,3] в виде суммы четырех определенных интегралов.

Пример 5.12

Использование свойств определенного интеграла

Если известно, что ∫08f(x)dx=10∫08f(x)dx=10 и ∫05f(x)dx=5,∫05f(x)dx=5, найти значение ∫58f(x) dx.∫58f(x)dx.

Решение

По собственности 6.,

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx. ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.

Таким образом,

∫08f(x)dx=∫05f(x)dx+∫58f(x)dx10=5+∫58f(x)dx5=∫58f(x)dx.∫08f(x)dx=∫05f(x)dx+∫ 58f(x)dx10=5+∫58f(x)dx5=∫58f(x)dx.

Контрольно-пропускной пункт 5.12

Если известно, что ∫15f(x)dx=−3∫15f(x)dx=−3 и ∫25f(x)dx=4,∫25f(x)dx=4, найти значение ∫12f( х)dx.∫12f(x)dx.

Сравнительные свойства интегралов

Иногда изображение может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования. Интуитивно можно сказать, что если функция f(x)f(x) выше другой функции g(x),g(x), то площадь между f(x)f(x) и осью x больше площади между g(x)g(x) и осью x .Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны независимо от того, являются ли ab.a>b. Однако следующие свойства относятся только к случаю a≤b,a≤b и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов.

Теорема 5.2

Теорема сравнения

1. Если f(x)≥0f(x)≥0 для a≤x≤b,a≤x≤b, то
   ∫abf(x)dx≥0.∫abf(x)dx≥0.
2. Если f(x)≥g(x)f(x)≥g(x) для a≤x≤b,a≤x≤b, то
   ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx.∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx.
3. Если m и M такие константы, что m≤f(x)≤Mm≤f(x)≤M для a≤x≤b,a≤x≤b, то
   m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a). m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a).

Пример 5.13

Сравнение двух функций за заданный интервал

Сравните f(x)=1+x2f(x)=1+x2 и g(x)=1+xg(x)=1+x на интервале [0,1].[0,1].

Решение

Графическое представление этих функций необходимо, чтобы понять, как они сравниваются на интервале [0,1].[0,1]. Первоначально при построении графика на графическом калькуляторе f(x)f(x) кажется выше g(x)g(x) везде. Однако на интервале [0,1],[0,1] графики кажутся наложенными друг на друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале [0,1]g(x)[0,1]g(x) выше f(x).f(x). Две функции пересекаются в точках x=0x=0 и x=1x=1 (рис. 5.23).

Фигура 5.23 (a) Функция f(x)f(x) появляется над функцией g(x)g(x), за исключением интервала [0,1][0,1] (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это яснее.

Из графика видно, что на интервале [0,1],g(x)≥f(x). [0,1],g(x)≥f(x). Сравнивая интегралы по указанному интервалу [0,1],[0,1], мы также видим, что ∫01g(x)dx≥∫01f(x)dx∫01g(x)dx≥∫01f(x)dx ( Рисунок 5.24). Тонкая, заштрихованная красным область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами на интервале [0,1].[0,1].

Фигура 5.24 (a) График показывает, что на интервале [0,1],g(x)≥f(x),[0,1],g(x)≥f(x), где равенство выполняется только на концах интервал.(b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

Среднее значение функции

Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, средней оценки за тест. Предположим, вы получили следующие результаты тестов на уроке алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша оценка за семестр — это среднее значение результатов тестов, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все баллы и разделив их на количество баллов. В этом случае имеется шесть тестовых баллов. Таким образом,

89+90+56+78+100+696=4826≈80,33,89+90+56+78+100+696=4826≈80,33.

Таким образом, ваш средний балл за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B− в большинстве школ.

Предположим, однако, что у нас есть функция v(t)v(t), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени t , и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция v(t)v(t) принимает бесконечное число значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции.

Пусть f(x)f(x) непрерывна на интервале [a,b][a,b] и пусть [a,b][a,b] разбит на n подинтервалов шириной Δx=(b −а)/n.∆x=(b−a)/n. Выберите представитель xi*xi* в каждом подинтервале и вычислите f(xi*)f(xi*) для i=1,2,…,n.i=1,2,…,n. Другими словами, рассматривайте каждый f(xi*)f(xi*) как выборку функции на каждом подынтервале. Тогда среднее значение функции может быть аппроксимировано как

. f(x1*)+f(x2*)+⋯+f(xn*)n,f(x1*)+f(x2*)+⋯+f(xn*)n,

, что в основном является тем же выражением, которое используется для вычисления среднего значения дискретных значений.

Но мы знаем Δx=b−an,Δx=b−an, поэтому n=b−aΔx,n=b−aΔx, и мы получаем

f(x1*)+f(x2*)+⋯+f(xn*)n=f(x1*)+f(x2*)+⋯+f(xn*)(b−a)Δx.f(x1 *)+f(x2*)+⋯+f(xn*)n=f(x1*)+f(x2*)+⋯+f(xn*)(b−a)∆x.

Следуя алгебре, числитель представляет собой сумму, представленную в виде ∑i=1nf(xi*),∑i=1nf(xi*), и мы делим на дробь. Чтобы разделить на дробь, инвертируйте знаменатель и умножьте. Таким образом, приблизительное значение среднего значения функции равно

∑i=1nf(xi*)(b−a)Δx=(Δxb−a)∑i=1nf(xi*)=(1b−a)∑i=1nf(xi*)Δx.∑i=1nf(xi*)(b−a)Δx=(Δxb−a)∑i=1nf(xi*)=(1b−a)∑i=1nf(xi*)Δx.

Это сумма Римана. Затем, чтобы получить точное среднее значение , возьмите предел, поскольку n стремится к бесконечности. Таким образом, среднее значение функции равно

. 1b−alimn→∞∑i=1nf(xi)∆x=1b−a∫abf(x)dx. 1b−alimn→∞∑i=1nf(xi)∆x=1b−a∫abf(x)dx.

Определение

Пусть f(x)f(x) непрерывна на интервале [a,b].[a,b]. Тогда среднее значение функции f(x)f(x) (или f _ave ) на [a,b][a,b] равно

fave=1b−a∫abf(x)dx.fave=1b−a∫abf(x)dx.

Пример 5.14

Нахождение среднего значения линейной функции

Найдите среднее значение f(x)=x+1f(x)=x+1 на интервале [0,5].[0,5].

Решение

Сначала постройте график функции на указанном интервале, как показано на рис. 5.25.

Фигура 5,25 На графике показана площадь под функцией f(x)=x+1f(x)=x+1 на [0,5].[0,5].

Область представляет собой трапецию, лежащую на боку, поэтому мы можем использовать формулу площади трапеции A=12h(a+b),A=12h(a+b), где h представляет высоту, а a и b представляют собой две параллельные стороны. Затем

∫05x+1dx=12h(a+b)=12·5·(1+6)=352.∫05x+1dx=12h(a+b)=12·5·(1+6)=352.

Таким образом, среднее значение функции равно

. 15−0∫05x+1dx=15·352=72,15−0∫05x+1dx=15·352=72.

Контрольно-пропускной пункт 5.13

Найдите среднее значение f(x)=6−2xf(x)=6−2x на интервале [0,3].[0,3].

Раздел 5.2 Упражнения

В следующих упражнениях выразите пределы в виде интегралов.

60 .

limn→∞∑i=1n(xi*)∆xlimn→∞∑i=1n(xi*)∆x на [1,3][1,3]

61 .

limn→∞∑i=1n(5(xi*)2−3(xi*)3)∆xlimn→∞∑i=1n(5(xi*)2−3(xi*)3)∆x над [0, 2][0,2]

62 .

limn→∞∑i=1nsin2(2πxi*)∆xlimn→∞∑i=1nsin2(2πxi*)∆x на [0,1][0,1]

63 .

limn→∞∑i=1ncos2(2πxi*)∆xlimn→∞∑i=1ncos2(2πxi*)∆x на [0,1][0,1]

В следующих упражнениях, учитывая L _n или R _n , как указано, выразите их пределы как n→∞n→∞ в виде определенных интегралов, определяя правильные интервалы.

64 .

Ln=1n∑i=1ni−1nLn=1n∑i=1ni−1n

65 .

Rn=1n∑i=1ninRn=1n∑i=1nin

66 .

Ln=2n∑i=1n(1+2i−1n)Ln=2n∑i=1n(1+2i−1n)

67 .

Rn=3n∑i=1n(3+3дюйма)Rn=3n∑i=1n(3+3дюйма)

68 .

Ln=2πn∑i=1n2πi−1ncos(2πi−1n)Ln=2πn∑i=1n2πi−1ncos(2πi−1n)

69 .

Rn=1n∑i=1n(1+in)log((1+in)2)Rn=1n∑i=1n(1+in)log((1+in)2)

В следующих упражнениях оцените интегралы функций, изображенных на графике, используя формулы для площадей треугольников и кругов и вычитая площади ниже оси x .

70 . 72 . 74 .

В следующих упражнениях вычислите интеграл, используя формулы площади.

76 .

∫03(3−x)dx∫03(3−x)dx

77 .

∫23(3−x)dx∫23(3−x)dx

78 .

∫−33(3−|x|)dx∫−33(3−|x|)dx

79 .

∫06(3−|x−3|)dx∫06(3−|x−3|)dx

80 .

∫−224−x2dx∫−224−x2dx

81 .

∫154−(x−3)2dx∫154−(x−3)2dx

82 .

∫01236−(x−6)2dx∫01236−(x−6)2dx

83 .

∫−23(3−|x|)dx∫−23(3−|x|)dx

В следующих упражнениях используйте средние значения в левой ( L ) и правой ( R ) конечных точках для вычисления интегралов кусочно-линейных функций с графиками, которые проходят через заданный список точек за указанные интервалы.

84 .

{(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)}{(0,0),(2,1) ,(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)} свыше [0,8][0,8]

85 .

{(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)}{(0,2),(1,0) ,(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)} свыше [0,8][0,8]

86 .

{(−4,−4),(−2,0),(0,−2),(3,3),(4,3)}{(−4,−4),(−2,0 ),(0,−2),(3,3),(4,3)} более [−4,4][−4,4]

87 .

{(−4,0),(−2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)}{(−4,0),(− 2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)} свыше [−4,4][−4,4]

Предположим, что ∫04f(x)dx=5∫04f(x)dx=5 и ∫02f(x)dx=−3, ∫02f(x)dx=−3 и ∫04g(x)dx=−1 ∫04g(x)dx=−1 и ∫02g(x)dx=2.∫02g(x)dx=2. В следующих упражнениях вычислите интегралы.

88 .

∫04(f(x)+g(x))dx∫04(f(x)+g(x))dx

89 .

∫24(f(x)+g(x))dx∫24(f(x)+g(x))dx

90 .

∫02(f(x)−g(x))dx∫02(f(x)−g(x))dx

91 .

∫24(f(x)−g(x))dx∫24(f(x)−g(x))dx

92 .

∫02(3f(x)−4g(x))dx∫02(3f(x)−4g(x))dx

93 .

∫24(4f(x)−3g(x))dx∫24(4f(x)−3g(x))dx

В следующих упражнениях используйте тождество ∫−AAf(x)dx=∫−A0f(x)dx+∫0Af(x)dx∫−AAf(x)dx=∫−A0f(x)dx+∫0Af(x) dx для вычисления интегралов.

94 .

∫−ππsint1+t2dt∫−ππsint1+t2dt (Подсказка:sin(−t)=−sin(t))(Подсказка:sin(−t)=−sin(t))

95 .

∫−ππt1+costdt∫−ππt1+costdt

В следующих упражнениях найдите чистую площадь со знаком между f(x)f(x) и осью x.

96 .

∫13(2−x)dx∫13(2−x)dx ( Подсказка: Посмотрите на график f .)

97 .

∫24(x−3)3dx∫24(x−3)3dx ( Подсказка: Посмотрите на график f .)

В следующих упражнениях, учитывая, что ∫01xdx=12,∫01x2dx=13, ∫01xdx=12, ∫01x2dx=13 и ∫01x3dx=14,∫01x3dx=14, вычислите интегралы.

98 .

∫01(1+x+x2+x3)dx∫01(1+x+x2+x3)dx

99 .

∫01(1−x+x2−x3)dx∫01(1−x+x2−x3)dx

100 .

∫01(1−x)2dx∫01(1−x)2dx

101 .

∫01(1−2x)3dx∫01(1−2x)3dx

102 .

∫01(6x−43×2)dx∫01(6x−43×2)dx

103 .

∫01(7−5×3)dx∫01(7−5×3)dx

В следующих упражнениях используйте теорему сравнения.

104 .

Покажите, что ∫03(x2−6x+9)dx≥0,∫03(x2−6x+9)dx≥0.

105 .

Покажите, что ∫−23(x−3)(x+2)dx≤0,∫−23(x−3)(x+2)dx≤0.

106 .

Покажите, что ∫011+x3dx≤∫011+x2dx.∫011+x3dx≤∫011+x2dx.

107 .

Покажите, что ∫121+xdx≤∫121+x2dx.∫121+xdx≤∫121+x2dx.

108 .

Покажите, что ∫0π/2sintdt≥π4.∫0π/2sintdt≥π4. (Подсказка:sint≥2tπ(Подсказка:sint≥2tπ над [0,π2])[0,π2])

109 .

Покажите, что ∫−π/4π/4costdt≥π2/4.∫−π/4π/4costdt≥π2/4.

В следующих упражнениях найдите среднее значение f _ave из f между a и b и найдите точку c , где f(c)=fave. f(c)= любимый.

110 .

f(x)=x2,a=−1,b=1f(x)=x2,a=−1,b=1

111 .

f(x)=x5,a=-1,b=1f(x)=x5,a=-1,b=1

112 .

f(x)=4−x2,a=0,b=2f(x)=4−x2,a=0,b=2

113 .

f(x)=(3−|x|),a=−3,b=3f(x)=(3−|x|),a=−3,b=3

114 .

f(x)=sinx,a=0,b=2πf(x)=sinx,a=0,b=2π

115 .

f(x)=cosx,a=0,b=2πf(x)=cosx,a=0,b=2π

В следующих упражнениях аппроксимируйте среднее значение, используя суммы Римана L ₁₀₀ и R ₁₀₀ . Как ваш ответ соотносится с точным данным ответом?

116 .

[T] y=ln(x)y=ln(x) на интервале [1,4];[1,4]; точное решение — ln(256)3−1.ln(256)3−1.

117 .

[T] y=ex/2y=ex/2 на интервале [0,1];[0,1]; точное решение равно 2(e−1).2(e−1).

118 .

[T] y=tanxy=tanx на интервале [0,π4];[0,π4]; точное решение 2ln(2)π. 2ln(2)π.

119 .

[T] y=x+14−x2y=x+14−x2 на интервале [−1,1];[−1,1]; точное решение π6.π6.

В следующих упражнениях вычислите среднее значение, используя левые суммы Римана L _N для N=1,10,100.N=1,10,100. Как точность соотносится с заданным точным значением?

120 .

[T] y=x2−4y=x2−4 на интервале [0,2];[0,2]; точное решение -83,-83.

121 .

[T] y=xex2y=xex2 на интервале [0,2];[0,2]; точное решение 14(e4−1).14(e4−1).

122 .

[T] y=(12)xy=(12)x на интервале [0,4];[0,4]; точное решение 1564ln(2).1564ln(2).

123 .

[T] y=xsin(x2)y=xsin(x2) на интервале [−π,0];[−π,0]; точное решение — cos(π2)−12π.cos(π2)−12π.

124 .

Предположим, что A=∫02πsin2tdtA=∫02πsin2tdt и B=∫02πcos2tdt.B=∫02πcos2tdt. Покажите, что A+B=2πA+B=2π и A=B.A=B.

125 .

Предположим, что A=∫−π/4π/4sec2tdt=πA=∫−π/4π/4sec2tdt=π и B=∫−π/4π/4tan2tdt.B=∫−π/4π/4tan2tdt. Покажите, что A−B=π2.A−B=π2.

126 .

Показать, что среднее значение sin2tsin2t по [0,2π][0,2π] равно 1/2. Без дальнейших вычислений определить, равно ли также среднее значение sin2tsin2t по [0,π][0,π] до 1/2.

127 .

Покажите, что среднее значение cos2tcos2t по [0,2π][0,2π] равно 1/2,1/2. Без дальнейших вычислений определите, равно ли среднее значение cos2(t)cos2(t) по [0,π][0,π] 1/2,1/2.

128 .

Объясните, почему графики квадратичной функции (параболы) p(x)p(x) и линейной функции ℓ(x)ℓ(x) могут пересекаться не более чем в двух точках. Предположим, что p(a)=ℓ(a)p(a)=ℓ(a) и p(b)=ℓ(b),p(b)=ℓ(b), и что ∫abp(t)dt> ∫abℓ(t)dt.∫abp(t)dt>∫abℓ(t)dt.Объясните, почему ∫cdp(t)>∫cdℓ(t)dt∫cdp(t)>∫cdℓ(t)dt всякий раз, когда a≤c 129 .

Предположим, что парабола p(x)=ax2+bx+cp(x)=ax2+bx+c открывается вниз (a<0)(a<0) и имеет вершину y=−b2a>0. y=− б2а>0. Для какого интервала [A,B][A,B] ∫AB(ax2+bx+c)dx∫AB(ax2+bx+c)dx максимально возможно?

130 .

Предположим, [a,b][a,b] можно разделить на подынтервалы a=a0

1. Объясните, почему ∫abf(t)dt=A1+A2+⋯+AN. ∫abf(t)dt=A1+A2+⋯+AN.
2. Затем объясните, почему |∫abf(t)dt|≤∫ab|f(t)|dt.|∫abf(t)dt|≤∫ab|f(t)|dt.

131 .

Предположим, что f и g — непрерывные функции такие, что ∫cdf(t)dt≤∫cdg(t)dt∫cdf(t)dt≤∫cdg(t)dt для каждого подинтервала [c,d][c ,d] из [a,b].[a,b]. Объясните, почему f(x)≤g(x)f(x)≤g(x) для всех значений x .

132 .

Предположим, что среднее значение f по [a,b][a,b] равно 1, а среднее значение f по [b,c][b,c] равно 1, где a а<в<б. Покажите, что среднее значение f по [a,c][a,c] также равно 1.

133 .

Предположим, что [a,b][a,b] можно разделить. беря a=a0 f по каждому подынтервалу [ai−1,ai]=1[ai−1,ai] =1 равно 1 для каждого i=1,…,Ni=1,…,N. Объясните, почему среднее значение f по [a,b][a,b] также равно 1.

134 .

Предположим, что для каждого i таких, что 1≤i≤N1≤i≤N, имеется ∫i−1if(t)dt=i.∫i−1, если(t)dt=i. Покажите, что ∫0Nf(t)dt=N(N+1)2.∫0Nf(t)dt=N(N+1)2.

135 .

Предположим, что для каждого i таких, что 1≤i≤N1≤i≤N, имеется ∫i−1if(t)dt=i2.∫i−1if(t)dt=i2. Покажите, что ∫0Nf(t)dt=N(N+1)(2N+1)6.∫0Nf(t)dt=N(N+1)(2N+1)6.

136 .

[T] Вычислить левую и правую суммы Римана L ₁₀ и R ₁₀ и их среднее значение L10+R102L10+R102 для f(t)=t2f(t)=t2 по [0, 1]. [0,1]. Учитывая, что ∫01t2dt=0,33–,∫01t2dt=0.33–, до скольких знаков после запятой верна L10+R102L10+R102?

137 .

[T] Вычислить левую и правую суммы Римана, L ₁₀ и R ₁₀ , и их среднее значение L10+R102L10+R102 для f(t)=(4−t2)f(t )=(4−t2) над [1,2].[1,2]. Учитывая, что ∫12(4−t2)dt=1,66–, ∫12(4−t2)dt=1,66–, до скольких знаков после запятой будет точным выражение L10+R102L10+R102?

138 .

Если ∫151+t4dt=41,7133…,∫151+t4dt=41,7133…, чему равно ∫151+u4du?∫151+u4du?

139 .

Оцените ∫01tdt∫01tdt, используя суммы левых и правых конечных точек, каждая с одним прямоугольником. Как среднее этих сумм левой и правой конечных точек соотносится с фактическим значением ∫01tdt?∫01tdt?

140 .

Оценка ∫01tdt∫01tdt путем сравнения с площадью одного прямоугольника высотой, равной значению t в средней точке t=12. t=12. Как эта средняя оценка соотносится с фактическим значением ∫01tdt?∫01tdt?

141 .

Из показанного графика sin(2πx)sin(2πx):

1. Объясните, почему ∫01sin(2πt)dt=0.∫01sin(2πt)dt=0.
2. Объясните, почему вообще ∫aa+1sin(2πt)dt=0∫aa+1sin(2πt)dt=0 для любого значения a .
   

142 .

Если f является 1-периодическим (f(t+1)=f(t)),(f(t+1)=f(t)), нечетным и интегрируемым по [0,1],[0 ,1], всегда ли верно, что ∫01f(t)dt=0?∫01f(t)dt=0?

143 .

Если f является 1-периодическим и ∫01f(t)dt=A,∫01f(t)dt=A, обязательно ли верно, что ∫a1+af(t)dt=A∫a1+af(t) dt=A для всех A ?

Интеграл (неопределенный) — Веб-формулы

Для данной функции f(x) антипроизводной f(x) является любая функция F(x) такая, что
F´(x) = f(x)

If F (x) является любой первообразной (или примитивной функцией) f(x) , тогда наиболее общая первообразная f(x)   называется неопределенным интегралом и обозначается,

  ∫f (x)dx = F(x) + c , где c — константа

В этом определении ∫ называется интегральным символом, f(x) называется подынтегральным выражением, x называется переменной интегрирования, а « c » называется константой интегрирования и может принимать любое действительное значение. Присваивая разные значения c, мы получаем разные значения интеграла.

Свойства неопределенных интегралов. dx = — ∫ f(x) dx
4. ∫ [f(x) ± F(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫F(x) dx
5. Правило подстановки:
Если u = g(x) — дифференцируемая функция, областью значений которой является интервал I, а f непрерывна на I, то
∫f(g(x))g´(x)dx = ∫f(u )du
 

Стандартная замена
1.Для термов вида x ² + a ² или квадратного корня из x ² + a ² поставьте x = a tan θ или a cot θ.
2. Для термов вида x ² — a ² или квадратного корня из x ² — a ² положим x = a sec θ или cosec θ.
3. Для термов вида ² — x ² или квадратного корня из ² — x ² поставьте x = a sin θ или cos θ.

4. Если присутствуют оба

,  , то положим x = a cos θ.

5. Для типа положим x = a cos

² q + b sin ² q.

6. Если n не равно минус единице, интеграл от u

ⁿ du получается прибавлением единицы к показателю степени и делением на новый показатель степени. Это называется общей формулой мощности.
 
где C — постоянная интегрирования.

7. Интегрирование по частям:  Если u и v две функции от x, то интеграл от произведения этих двух функций равен:

Этот метод в основном используется, когда подынтегральная функция является произведением двух функций.

Примечание: При применении вышеприведенного правила необходимо соблюдать осторожность при выборе первой функции (u) и второй функции. Если обе функции непосредственно интегрируемы, то первая функция выбирается таким образом, чтобы производная полученной таким образом функции под знаком интеграла была легко интегрируема. Обычно мы используем следующий порядок предпочтений для первой функции. (Обратный, Логарифмический, Алгебраический, Тригонометрический, Экспоненциальный) . В этом порядке функция слева всегда выбирается первой.Это правило называется ILATE.

В свойствах не указаны интегралы произведений и частных. Причина этого проста. Как и в случае с производными, каждое из следующих действий НЕ будет работать.
∫ [f(x) × F(x)] dx ≠ ∫f(x) dx × ∫F(x) dx
и
∫ [f(x) / F(x)] dx ≠ ∫ [f(x) dx] / ∫ [F(x) dx]

Пример 1. Вычисление интеграла

Решение : 

Be будьте осторожны, чтобы не думать о третьем члене как о x в степени для целей интегрирования.Использование этого правила на третьем сроке НЕ будет работать. Третий член — это просто логарифм. Кроме того, не волнуйтесь о 15. 15 — это просто константа, поэтому ее можно вынести из интеграла. Другими словами, вот что мы сделали для интегрирования третьего слагаемого.

Пример 2: Рассчитать неопределенный интеграл

Решение:

Пример 3: ∫ (1-2x ² ) ³ DX
Решение:
∫ (1-2x ² ) ³ dx

Если мы допустим u=1-2x ² и n=3 , то du= — 4xdx . Но в данном подынтегральном выражении нет x . Легко вставить -4 в подынтегральную функцию и компенсировать это, поставив -1/4 перед знаком интеграла, но ничего нельзя сделать с отсутствующим множителем x . Поэтому мы расширяем (1-2x ² ) ³ и интегрируем почленно.
∫ (1-2x ² ) ³ дх
= ∫ [1 ³ — 3 (1 ² ) (2x ² ) + 3 (1) (2x ² ) ² — (2x ² ) ³ ] DX
= ∫ (1 — 6x ² + 12x ⁴ — 8x ⁶ ) DX
= ∫ (1 — 6x ² + 12x ⁴ — 8x ⁶ ) DX
= x – 6x ³ /3 + 12x ⁵ /5 – 8x ⁷ /7 + C
=x – 2x ³ + 12x ^{5 / 77 + 903x 4 /92 – 8}  

.