таблица производных и интегралов

Правила дифференцирования и

Некоторые тригонометрические

интегрирования

формулы:

а)

Правила дифференцирования

1

sin2 x + cos2 x = 1; 1 − sin2 x = cos2 x;

1 − cos2 x = sin2 x.

1

Производная суммы:

2

sin2 x = 1 − cos 2x , cos2

x = 1 + cos 2x ,

(u ± v )’ = u ‘± v ‘

2

2

2

Производная произведения:

3

1

(u v )’

= u ‘ v + u v ‘

sin α sin β = 2 (cos(α

− β) − cos(α + β))

3

(

)

‘

= c u ‘

4

1

c u

sin α cos β = 2 (sin(α − β) + sin(α + β))

Производная частного:

5

1

u l

=

u ‘ v −u v ‘

cos α cos β = 2 (cos(α

+ β) + cos(α − β))

v2

v

5

Сложная функция:

Формулы сокращённого умножения

((f (ϕ(x)))’ = f ‘ϕ ϕ ‘(x)

б)

Правила интегрирования

1

(a ±b)2 = a2 ± 2ab +b2

1

∫(

f (x) ± g(x) dx =

∫

f (x)dx ±

∫

g(x

)

2

∫k f (x)dx = k ∫f (x)dx

2

a2 −b2 = (a −b)(a +b)

3

∫f (ax +b)dx =

=

1 ∫f (ax +b)d(ax +b)

a

4

∫f (ϕ(x)) ϕ ‘(x)dx ± ∫f (ϕ(x))dϕ(x

3

(a ±b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ±b3

a3 ±b3 = (a ±b)(a2 ab +b2 )

5

Интегрирование по частям

∫u dv = u v − ∫v du

Взаимосвязь между интегрированием и дифференцированием

Производная неопределенного интеграла. Первая основная теорема математического анализа

Сейчас мы обсудим удивительную взаимосвязь, которая существует между интегрированием и дифференцированием. Связь между этими двумя действиями аналогична в какой-то мере связи между операциями возведения в квадрат и извлечения квадратного корня. Если мы возведем положительное число в квадрат и затем возьмем положительное значение квадратного корня, то в результате опять получим исходное число. Аналогичным образом, если мы возьмем неопределенный интеграл от некоторой непрерывной функции f, мы получим новую функцию, производная которой даст нам опять исходную функцию f. Например, если f(x) = x², то неопределенный интеграл A(x) определяется следующим образом
$A(x)=\int\limits_c^x f(t) \ dt = \int\limits_c^x t^2 \ dt = \frac{x^3}{3} — \frac{c^3}{3},$
где c — константа интегрирования. Дифференцируя эту функцию, мы получаем A'(x) = x² = f(x). Этот пример — хорошая иллюстрация важной теоремы, лежащей в основе математического анализа. Она формулируется следующим образом:

Теорема о производной интеграла по верхнему пределу

Пусть функция f интегрируема на [a, x] для любого x на промежутке [a, b]. Пусть c удовлетворяет условию a ≤ c ≤ b . Определим новую функцию A следующим образом:
$A(x)=\int\limits_c^x f(t) \ dt, \qquad \qquad a \leq x \leq b$
Тогда A'(x) существует в каждой точке x из открытого интервала (a, b), где f непрерывна, и для таких x мы имеем
(5.1)           A'(x) = f(x).
Сначала приведем геометрическую иллюстрацию истинности этой теоремы, а затем проведем строгое аналитическое доказательство.

Геометрическая иллюстрация. На рисунке 5.1 изображен график функции f на промежутке [a, b]. Здесь h положительно, и
$\int\limits_x^{x+h} f(t) \ dt = \int\limits_c^{x+h} f(t) \ dt — \int\limits_c^x f(t) \ dt = A(x+h) — A(x)$
Здесь функция непрерывна на интервале [x, x + h]. Следовательно, по теореме о среднем значении для интегралов, получим
A(x + h) — A(x) = hf(Z), где x ≤ z ≤ x + h.
Следовательно,
(5.2)            [A(x + h) — A(x)]/h = f(z),

Поскольку x ≤ z ≤ x + h, получаем, что f(z) → f(x) когда h → 0 для всех положительных значений. Аналогичные рассуждения справедливы, если h → 0 для всех отрицательных значений. Следовательно, A'(x) существует и равно f (x).
Эти рассуждения предполагали, что функция f непрерывна в некоторой окрестности точки x. Однако формулировка теоремы требует непрерывности только в точке x. Следовательно, для доказательства теоремы при этом, более слабом, условии, мы должны использовать иной метод.

Аналитическое доказательство. Пусть функция непрерывна в точке x. В этой точке определим следующее выражение
[A(x + h) — A(x)]/h
Для доказательства теоремы необходимо доказать, что это выражение стремится к пределу f(x), когда h → 0. Числитель этого выражения имеет вид:
$A(x+h) — A(x) = \int\limits_c^{x+h} f(t) \ dt — \int\limits_c^x f(t) \ dt = \int\limits_x^{x+h} f(t) \ dt.$
Если в последний интеграл подставить выражение f(t) =f(x) + [f(t) -f(x)] , получаем
откуда находим
(5.3) $\frac{A(x+h) — A(x)}{h} = f(x) + \frac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} [f(t) — f(x)] \ dt $
Следовательно, для завершения доказательства (5.1) нужно доказать, что
$\lim\limits_{h\rightarrow 0} \ \frac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} [f(t) — f(x)] \ dt = 0$
Эта часть доказательства использует условие непрерывности в точке x.
Обозначим второе слагаемое в правой части (5.3) через G(h). Необходимо доказать, что G(h) -f 0 когда h —f 0. Используя определение предела, мы должны показать, что для дюбого ε > 0 существует δ > 0 такое, что
(5.4)          |G(h)| Из непрерывности функции f в точке x следует, что если дано ε, то существует положительное δ такое, что
(5.5)           |f(t) -f(x)| когд

Интегралы Краткий курс лекций

Калужский филиал МГТУ им. Н.Э.Баумана

Кафедра высшей математики

Составитель Ю.В.Обрубов

Калуга — 2012

Неопределенный интеграл.

В дифференциальном исчислении основной задачей является нахождение производной дифференциала от данной функции.

В интегральном исчислении основной задачей является обратная задача – отыскание функции F(x) по заданной ее производнойf(x) или дифференциалуf(x)dx, т.е. для данной функцииf(x) надо найти такую функциюF(x), что:

или

Опр.

Функция F(x) называется первообразной для функцииf(x) если на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняются равенства

или

Например, для функции , то первообразная

будет т.к.

Легко видеть, что еслиF(x) первообразная функции для функцииf(x), то функция (F(x)+C) тоже является первообразной для функцииf(x), так как.

Опр.

Если функцияF(x) является первообразной для функцииf(x), то выражениеF(x)+Cназывается неопределенным интегралом от функцииf(x) и обозначается символом

Функция F(x) называется подынтегральной функцией,f(x)dx–подынтегральным выражением.

Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется интегрированием.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

Для доказательства достаточно найти производные от левой и прав

ой частей этого равенства

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Для доказательства найдем производные от левой и правой частей равенства

6. Если функция F(x) является первообразной для функцииf(x)

первообразной для функции f(x), то функция

является первообразной для функцииf(ax+b) или, если

, то

Для доказательсва найдем производные от левой и правой частей равенства

Таблица интегралов.

Таблица интегралов получается непосредственно из определения и таблицы производных

1. n-1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Заметим, что последних формул нет в таблице производных. Однако непосредсвенным дифференцированием функций, стоящих в правых частях равенств они легко могут быть доказаны.

Например формула 12:

Аналогично проверяются остальные формулы:

Непосредственное интегрирование.

Пользуясь таблицей интегралов и различными алгебраическими или трансцендентными преобразованиями подынтегральных функций можно вычислить многие интегралы.

Например:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Интегрирование методом подстановки.

Пусть требуется найти интеграл

Заменим переменную в подынтегральном выражении, положив вместе где непрерывная вместе со своими производными функциями. Получим

После интегрирования по переменной tперейдем к прежней переменнойx, вновь воспользовавшись формулойx=(t)

Например

Сделаем замену переменной, положив , тогда интеграл примет вид

На практике чаще всего удобнее применять замену не в виде

x=(t), а в видеt=(x).

Покажем это на примерах :

1.Найти

Положим , отсюда выразим х и найдем dx

,

Тогда

2.

Полагаем , тогда

3.

Положим sin(x)=tтогдаcos(x)dx=dt

Дифференцирование и интегрирование: определение, понятие, формы

Дифференцирование и интегрирование представляют собой уравнение, содержащее производные. Последние, если придерживаться математическим свойствам, разделяются на обычные и частные. Производные представляют скорость изменения, а дифференциальное уравнение описывает взаимосвязь между величиной, которая постоянно видоизменяется в процессе решения, образуя новые переменные.

Профессор университета с легкостью сориентируется в сложных операциях с интегралами, преобразует их в одно целое, а потом докажет исчисления обратным методом. Однако возможность быстро вспоминать детали сложных формул доступна не каждому человеку, потому рекомендуется освежить память или открыть для себя новый материал.

Значение и основное применение

В научной литературе производная определяется, как скорость, подверженная преобразованию функции на основе одной из ее переменных. Дифференциация — это сущность исчисления, которую можно сравнить с началом поисков касательной к точке. Как известно, последняя имеет различные виды и требует вычислительных формул для поиска. Предположим, вам требуется найти наклон касательной к графику в точке Р. Как это сделать? Достаточно провести дугообразную полосу через обозначенный объект и поднять ее вверх, пока мы не получим секущуюся линию.

Функция f в х называется дифференцируемой в точке х = а, если производная f ‘(а) существует на каждом обозначении ее области. Продемонстрируем пример:

f '(а) = lim (h=0) × f(а + h) – f(а)/h

Для того чтобы уравнение подвергнуть дифференцированию и интегрированию функций так, что ее расположение станет возможным в любой точке x, она не должна прерываться. Заранее построив схематичное изображение вы сможете убедиться в достоверности утверждения. Именно по этой причине область f ‘(х) определяется существованием ее пределов.

Предположим, что у = f(х) – функция из х, то производная от f(х) задается как dy/dx. Также она определяется, как линейное уравнение, где необходимо найти необходимые данные по у.

Однако, если мы ищем производную от у в первом случае, то в следующем предстоит найти f(x) от x.

d/dx × (f(x)) la или df/dx la

Следовательно, обозначение скорости изменения функции f(x) относительно x в точке a, лежащей на ее поверхности.

Если известна производная f’, которая дифференцируема в своей области, то мы можем найти ее значение f. В интегральном исчислении мы называем f антипроизводной или примитивом функции f ‘. Метод его расчета известен, как антидифференцирование или интеграция.

Виды и формы

Уравнение с одним или несколькими членами, которое включает производные зависимой переменной по независимой, известно, как дифференциал. Иначе говоря, он состоит из множества числовых значений, обычных или частных, подвергающихся изменениям в процессе решения.

На данный момент существуют следующие типы дифференциальных уравнений.

Обыкновенные. Простое равенство, напрямую зависящее от переменной:

dy/dx + 5x = 5y

С частными производными:

dy/dx + dy/dt = x3-t3

d2y/dx2 – c2 × d2y/dt2

Старшего коэффициента. Данному виду характерно участие в порядке дифференциального уравнения, как продемонстрировано на примере ниже, где он равен 3. Число считается наивысшим из присутствующих:

d3y/dx2 + 5 × dy/dx + y = √x

Функции могут иметь несколько видов, однако, предпочтительным является использование одинарной кавычки с характерными формулами интегрирования и дифференцирования.

y’ = dy/dx

y’’ = d2y/dx2

y’’’ = d3y/dx3

Линейное. Переменная, фигурирующая в уравнении, возводится в степень единицы. График такого вида функций обычно является прямой линией. Например, (3x + 5), но (x³ + 4x²) не относится к данному типу, поскольку требует другого решения.

dy/dx + xy = 5x

Нелинейное. Любое интегрирование и дифференцирование рядов с двойственными способами получения равенства – относятся к рассматриваемому виду:

d2y/dx2- ln y = 10

Методы быстрого получения результата

Недостаточно рассмотреть форму, чтобы разобраться как справиться и применить на практике полученные знания. В настоящее время существует несколько способов решения дифференциального уравнения.

Это:

1. Разделение переменной. Выполняется, когда пример можно изобразить в качестве dy / dx = f(y) g(x). Особенность заключается в том, что f и g – функции, принадлежащие к своим значениям. Благодаря этому, задачу следует преобразить: 1/ f(y) dy = g(x) dx. И только после перейти к следующему пункту.
2. Метод интегрирующего фактора. Используется, когда пример имеет вид dy / dx + р(x) y = q(x), где р и q являются функциями только x.

Дифференциальный вычисления первого порядка выглядят, как y’+ Р(х) y = Q (x), поскольку они содержат необходимые функции и производную от y. Последующее увеличение в наименовании действует по тому же принципу. Например, производные от неизвестной функции, могут оказаться как частными, так и обычными.

Неопределенные интегралы

Если вам предоставлена скорость вашего велосипеда, когда вы отправились на прогулку, в зависимости от времени — сможете ли вы рассчитать пройденное расстояние, используя данные о потраченных минутах? Данная задача выглядит непосильной ношей, однако интегралы помогут справиться с этими свойствами максимально эффективно, получив результат.

Научная литература акцентирует внимание на том, что они являются обратной стороной дифференцирования. Действительно, интеграция — это метод сложения вещей. Он соединяет частички между собой, создавая нечто новое – целое. Главное в любом схожем примере: найти неопределенные интегралы и проверить результаты интегрирования дифференцированием. Это поможет избежать лишних ошибок.

Если вы собираетесь искать площадь любой случайной кривой, например, y=f(x), то воспользуйтесь рассматриваемым методом. Помните, что только внимательность спасет вас от ошибки.

Формулы для решения

Так, познакомившись с основной концепцией дифференцирования и интегрирования — обратного вычисления через функции, необходимо кратко рассмотреть некоторые основы. Они приведены ниже.

Основные правила вычисления

Такие интегрированные функции, как f (x) легко перевести в равенство, если представить уравнение, как: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Здесь F (x) называется антипроизводной или примитивной. f(x) — подынтегральная функция. dx – выступает, как дополнительный числовой агент. С — интегрированная или произвольная постоянная. x – выступает в зависимости от стороны равенства.

Из приведенного выше утверждения, можно сделать вывод, что интегрирование и дифференцирование рядов – два противоположных друг от друга процесса. Вместе они выступают, как одна из видов операций, направленная на получение итогового результата, выполняемого над самим уравнением.

Теперь, когда мы больше знаем об особенностях исчисления, рекомендуется выделить преимущественные отличия, необходимые для дальнейшего понимания:

1. Дифференцирование и интегрирование способны одновременно удовлетворять правилам линейности.
2. Операции направлены на поиск максимально точного решения, однако, предполагают ограничения для их определения.
3. При дифференцировании полиномиального примера результат на 1 меньше, чем степень функции, тогда как в случае интегрирования полученный результат преобразуется в другой, действуя по противоположной схеме.
4. Два вида решения, как говорилось ранее, являются противоположными друг другу. Они вычисляются по формулам интегрирования и дифференцирования.
5. Производная любой функции уникальна, но, с другой стороны, два интеграла, в одном примере, могут отличаться на константу. Именно это правило представляет главную сложность во время выполнения задач.
6. Имея дело с производными, мы можем рассматривать производные в точке. Почти как и в интегралах они предоставляют функции по интервалу.
7. Геометрически производная описывает скорость изменения величины по отношению к другой, в то время как неопределенный интеграл представляет кривую. Она распложена в параллельном направлении, а также имеет касательные во время пересечения неровных линий с иными, ортогональными к оси, представляющей переменную.

Методы сложения

Если вы столкнулись с проблемой, как применяется суммирование для математических операций дифференцирования интегрирования, следует тщательно ознакомиться с основными формулами. Они являются аксиомой в обучении, потому используются повсеместно. Обратите внимание, во время применения на собственных примерах, формулы верны, только если начинаются с i = 1.

Решение «по частям»

Порой функция требует нестандартного подхода, чтобы добраться до конечного результата и удовлетворить условиям равенства. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов основано на идентичности, которая выражается: ∫ f(x) g’(x) dx = f (x) g(x) - ∫ f’(x) g(x) dx

Алгоритм рассматриваемой методики, выглядит следующим образом:

1. Выразить интегрированную функцию как произведение двух выражений. Обозначим одно из них f (x), другое g′ (x).
2. Теперь приступить к выявлению двух других формул, которые возможно применить при выполнении первого пункта. Ряд изменится. Дифференцированием преобразуем f ′(x), чтобы получить выражения f (x). Приступаем к другой части — g (x) интегрируется в g′(x). При этом, dx остается в изначальной форме и не используется.
3. Вставьте полученные выражения в формулу по частям. На этом процедура заканчивается, и теперь вы можете попытаться оценить новый интеграл справа, поскольку он стал значительно проще для понимания.

Ранее данные метод задействовал интегрирования по частям с помощью матрицы. Способ увенчался успехом, но занимал много времени, потому в настоящее время он применяется реже, в особых случаях, когда решение практически невозможно найти. Для этого достаточно поместить f и g′ в первую строку и вычислить f ′ и g во второй.

Зачем нужна интеграция по частям?

Ситуации случаются разные. Порой решения оказываются куда сложнее, чем на первый взгляд. Потому следует выделить основные проблемы, нередко встречающиеся при почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов. Рассмотрим два основных правила.

Во-первых, ту часть, которую мы намереваемся интегрировать, то есть выбранную для g ′(x), мы должны иметь возможность преобразовать. Сделать это важно максимально быстро. Дело в том, что сложное интегрирование для g редко приводит к улучшенному интегралу, повышая сложность. Все это негативно сказывается на свободе наших действий во время решений, а также зависит от степеней, синусов и косинусов. Пусть поиск правильного ответа займет время, но приведет к правильному, нежели запутанному.

Во-вторых, все остальное, то есть часть, которую мы намерены дифференцировать и обозначим F, должна заметно выделиться после преобразования. После несложной процедуры мы заметим, что новый интеграл окажется более упрощенным, чем предшественник.

Так, когда мы объединяем два правила и используем его при решении, то получаем возможность воспользоваться дифференцированием и интегрированием степенных функций, которые имеет смысл рассматривать по частям.

Существует и способ удаление x, позволяющий эффективно задействовать преобразования в различных ситуациях. Например, мы можем легко интегрировать, умножив функцию на полином, который мы сокращаем с помощью дифференцирования.

∫ x2 sin(3x) dx

∫ x7 cos(x) dx

∫x4 e4x dx

В качестве f мы берем степень x (в более общем случае — многочлен), а также используем g’. Очевидно, что каждое дифференцирование уменьшает степень числа на единицу, потому, если в примере она достаточно высокая – примените почленное интегрирование несколько раз. Это поможет сократить время.

Сложность некоторых уравнений

В данном случае речь идет о дифференцировании и интегрировании степенных рядов. Функцию можно рассматривать так, как будто x – является областью интервала сходимости точек. Правда метод подойдет далеко не всем. Дело в том, что любые функции могут быть выражены в виде степенных рядов, преобразовываясь в линейную структуру и наоборот.

Например, дано e_x. Мы может выразить его в качестве уравнения, которое на самом деле является просто бесконечным полиномом. Степенной ряд легко заметить, вычислив, но он не всегда эффективен.

Определенный интеграл как предел суммы

Посмотрите на следующее графическое интегрирование и дифференцирование.

Для того чтобы легко понимать сложную функцию, достаточно тщательно разобраться в ней. Оценим область PRSQP между кривой у = f (x), осью х и координатами «x = а» и «x = b». Теперь разделите интервал [а, b] на ‘n’ равных подинтервалов, обозначенных следующим образом: [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ]…. [xn - 1 , xn ].

Где x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, x3 = a + 3h… .. xr = a + rh и xn = b = a + nh или n = (b - a) / h. (1). Отметим, что при n → ∞ h → 0.

Рассматриваемое пространство PRSQP является суммой всех «n» подобластей, где каждая определена на определенной посредственности [х_r-1 , х_r ], r = 1, 2, 3… n. При правильном подходе, данные функции можно подвергнуть дифференцированию и интегрированию для быстрого решения.

Теперь посмотрите на ABDM на рисунке. На его основе целесообразно сделать следующее наблюдение о площадях: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Также отметим, что при h → 0 или х_r — х_r-1 → 0 все три области становятся практически равными друг другу. Следовательно, мы имеем:

sn = h [f(x0) + f(x1) + f(x2) + …. f(xn – 1)] = h r=0∑n–1 f(xr) (2)

или Sn = h [f(x1) + f(x2) + f(x3) + …. f(xn)] = h r=1∑n f(xr) (3)

В данном случае s_n и S_n обозначают сумму площадей всех нижних и верхних прямоугольников, поднятых над интервалами [х_r–1, х_r] для r = 1, 2, 3,…, n соответственно. Чтобы представить это в перспективе, уравнение (1) можно переписать в виде:

sn < площадь области (PRSQP) < Sn … (4)

Кроме того, предполагается, что предельные значения (2) и (3) одинаковы в обоих случаях, и общим является лишь площадь под кривой. В итоге мы имеем:

limn → ∞ Sn = limn → ∞ sn = области PRSQP = ∫ab f(x) dx … (5)

Площадь также является предельным значением пространства, которое находится между прямоугольниками ниже кривой и над кривой. Для удобства следует обратить внимание на высотку фигуры, равную кривой на левом краю каждого подинтервала. Следовательно, уравнение переписывается в конечный вариант:

∫ab f(x) dx = limn → ∞ h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n – 1}h)]

или ∫ab f(x) dx = (b – a) limn → ∞ (1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n – 1}h)]

Заключение

Дифференцирование и интегрирование отличается между собой рядом свойств, формул и противоположными изменениями. Одно не может преобразоваться в другое без помощи. Если дифференциация помогает найти производную, то интеграция выполняет совершенно другое действие. Она добавляет некоторые части, способна помочь со степенями, сокращая их или усовершенствовать пример, упростив.

Также она применяется для проверки дифференцированных уравнений. Иначе говоря – они действуют, как единое целое, что не могут сосуществовать раздельно, поскольку дополняют друг друга. Применяя правила, зная множество методик, теперь вы гарантированно решите сложные задачи.

Зависящий от параметра интеграл — Википедия

Рассмотрим две функции:

F(x)=∫ax(∫cdf(x,y)dy)dx{\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx}

G(x)=∫cd(∫axf(x,y)dx)dy{\displaystyle G(x)=\int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{x}f(x,y)\,dx\right)\,dy}

dFdx=∫cdf(x,y)dy{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy}

dGdx=∫cd(ddx∫axf(x,y)dx)dy=∫cdf(x,y)dy{\displaystyle {\frac {dG}{dx}}=\int \limits _{c}^{d}\left({\frac {d}{dx}}\int \limits _{a}^{x}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy}

dFdx≡dGdx{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}\equiv {\frac {dG}{dx}}} на [a;b]{\displaystyle [a;b]}, следовательно F(x)≡G(x)+C{\displaystyle F(x)\equiv G(x)+C}.

Так как F(a)=0,G(a)=∫cd0dy=0{\displaystyle F(a)=0,\;G(a)=\int \limits _{c}^{d}0\;dy=0}, то C=0{\displaystyle C=0} и F(x)≡G(x){\displaystyle F(x)\equiv G(x)} На [a;b]{\displaystyle [a;b]}. Подставляя x=b{\displaystyle x=b} получаем условие теоремы.