Извлечь корень: Что значит извлечь корень. Извлечение корня

Содержание

Что значит извлечь корень. Извлечение корня

Желательно инженерный – такой, в котором имеется кнопочка со знаком корня: «√». Обычно для извлечения корня достаточно набрать само число, а потом нажать на кнопку: «√».

В большинстве современных мобильных телефонов имеется приложение «калькулятор» с функцией извлечения корня. Порядок нахождения корня числа с помощью телефонного калькулятора аналогичен вышеизложенному.
Пример.
Найти из 2.
Включаем калькулятор (если он выключен) и последовательно нажимаем кнопки с изображением двойки и корня («2» «√»). Нажимать на клавишу «=», как правило, не нужно. В результате получаем число типа 1,4142 (количество знаков и «округленность» зависит от разрядности и настроек калькулятора).
Примечание: при попытке найти корень калькулятор обычно выдает об ошибке.

Если есть доступ к компьютеру, то найти корень числа очень просто.
1. Можно воспользоваться приложением «Калькулятор», имеющемся практически на любом компьютере.

Для Windows ХР эту программу можно запустить следующим образом:
«Пуск» — «Все программы» — «Стандартные» — «Калькулятор».
Вид лучше установить «обычный». Кстати, в отличие от реального калькулятора кнопка для извлечения корня помечена как «sqrt», а не «√».

Если добраться до калькулятора указанным способом не , то можно запустить стандартный калькулятор «вручную»:
«Пуск» — «Выполнить» — «calc».
2. Для нахождения корня числа можно также воспользоваться некоторыми программами, установленными на компьютере. Кроме того, программы собственный встроенный калькулятор.

Например, для приложения MS Excel можно проделать следующую последовательность действий:
Запускаем MS Excel.

Записываем в любую клетку число, из которого нужно извлечь корень.

Помещаем указатель клетки на другое место

Нажимаем кнопочку выбора функции (fx)

Выбираем функцию «КОРЕНЬ»

В качестве аргумента функции указываем клетку с числом

Нажимаем «ОК» или «Еnter»
Преимуществом данного способа является то, что теперь достаточно ввести в клетку с числом любое значение, как в с функцией тут же появляется .
Примечание.
Имеется несколько других, более экзотических способа найти корень числа. Например, «уголком», с помощью логарифмической линейки или таблиц Брадиса. Однако, в этой статье эти методы не рассматриваются ввиду их сложности и практической бесполезности.

Видео по теме

Источники:

  • как находить корень числа

Иногда возникают ситуации, когда приходится выполнять какие-либо математические вычисления, в том числе извлекать корни квадратные и корни большей степени из числа. Корень степени «n» из числа «a» представляет собой число, n-я степень которого и есть число «a».

Инструкция

Чтобы найти корень «n» из , сделайте следующее.

Нажмите на своем компьютере «Пуск» — «Все программы» — «Стандартные». Затем войдите в подраздел «Служебные» и выберите «Калькулятор». Можете сделать это вручную: нажмите «Пуск», введите «calk» в строку «выполнить» и нажмите «Enter». Откроется . Для извлечения корня квадратного из какого-либо числа, введите это в строку калькулятора и нажмите кнопку с надписью «sqrt». Калькулятор произведет извлечение из введенного числа корня второй степени, называемого квадратным.

Для того чтобы извлечь корень, степень которого выше второй, нужно воспользоваться другим видом калькулятора. Для этого в интерфейсе калькулятора нажмите кнопку «Вид» и в меню выберите строку «Инженерный» или «Научный». Этот вид калькулятора имеет необходимую для вычисления корня n-й степени функцию.

Для извлечения корня третьей степени (), на «инженерном» калькуляторе наберите нужное число и нажмите кнопку «3√». Для получения корня, степень которого выше 3-й, наберите нужное число, нажмите кнопку со значком «y√x» и затем введите число – показатель степени. После этого нажмите знак равенства (кнопка «=») и вы получите искомый корень.

Если на вашем калькуляторе отсутствует функция «y√x», следующее.

Для извлечения кубического корня введите подкоренное выражение, потом поставьте в чек боксе, который расположен рядом с надписью «Inv», отметку. Этим действием вы переведете функции кнопок калькулятора на обратные, т. е., щелкнув по кнопке для возведения в куб, вы произведете извлечение корня кубического. На кнопке, которая вам

Корнем n -ой степени натурального числа a называется такое число, n -ая степень которого равна a . Корень обозначается так: . Символ √ называется знаком корня или знаком радикала , число a подкоренное число , n

показатель корня .

Действие, посредством которого находится корень данной степени, называется извлечением корня .

Так как, согласно определению понятия о корне n -ой степени

то извлечение корня — действие, обратное возведению в степень , при помощи которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a .

Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.

Поэтому для проверки правильности проведённого действия, можно найденный корень возвести во вторую степень и, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.

Рассмотрим извлечение квадратного корня и его проверку на примере. Вычислим или (показатель корня со значением 2 обычно не пишут, так как 2 — это самый маленький показатель и следует помнить, что если над знаком корня нет показателя, то подразумевается показатель 2), для этого нам нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получится 49. Очевидно, что таким числом является 7, так как

7 · 7 = 7 2 = 49.

Вычисление квадратного корня

Если данное число равно 100 или меньше, то квадратный корень из него можно вычислить с помощью таблицы умножения . Например квадратный корень из 25 — это 5, потому что 5 · 5 = 25.

Теперь рассмотрим способ нахождения квадратного корня из любого числа без использования калькулятора. Для примера возьмём число 4489 и начнём поэтапно вычислять.

  1. Определим, из каких разрядов должен состоять искомый корень. Так как 10 2 = 10 · 10 = 100, а 100 2 = 100 · 100 = 10000, то становится ясно, что искомый корень должен быть больше 10 и меньше 100, т.е. состоять из десятков и единиц.
  2. Находим число десятков корня. От перемножения десятков получаются сотни, в нашем числе их 44, поэтому корень должен содержать столько десятков, чтобы квадрат десятков давал приблизительно 44 сотни. Следовательно в корне должно быть 6 десятков, потому что 60 2 = 3600, а 70 2 = 4900 (это слишком много). Таким образом мы выяснили, что наш корень содержит 6 десятков и несколько единиц, так как он находится в в диапазоне от 60 до 70.
  3. Определить число единиц в корне поможет таблица умножения. Посмотрев на число 4489, мы видим, что последняя цифра в нём 9.
    Теперь смотрим в таблицу умножения и видим что 9 единиц может получится только при возведении в квадрат чисел 3 и 7. Значит корень числа будет равен 63 или 67.
  4. Проверяем полученные нами числа 63 и 67 возводя их в квадрат: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

На кружке показала, как в столбик можно извлекать квадратные корни. Вычислить корень можно с произвольной точностью, найти сколько угодно цифр в его десятичной записи, даже если он получается иррациональным. Алгоритм запомнился, а вопросы остались. Непонятно было, откуда взялся метод и почему он дает верный результат. В книжках этого не было, а может, просто не в тех книжках искала. В итоге, как и многое из того, что на сегодняшний день знаю и умею, вывела сама. Делюсь своим знанием здесь. Кстати сказать, до сих пор не знаю, где приведено обоснование алгоритма)))

Итак, сначала на примере рассказываю, “как работает система”, а потом объясняю, почему она на самом деле работает.

Возьмем число (число взято “с потолка”, только что в голову пришло).

1. Разбиваем его цифры на пары: те, что стоят слева от десятичной запятой, группируем по две справа налево, а те, что правее – по две слева направо. Получаем .

2. Извлекаем квадратный корень из первой группы цифр слева — в нашем случае это (ясно, что точно корень может не извлекаться, берем число, квадрат которого максимально близок к нашему числу, образованному первой группой цифр, но не превосходит его). В нашем случае это будет число . Записываем в ответ — это старшая цифра корня.

3. Возводим число, которое стоит уже в ответе — это — в квадрат и вычитаем из первой слева группы цифр — из числа . В нашем случае остается .

4. Приписываем справа следующую группу из двух цифр: . Число , которое уже стоит в ответе, умножаем на , получаем .

5. Теперь следите внимательно. Нам нужно к числу справа приписать одну цифру , и число умножить на , то есть на ту же самую приписанную цифру. Результат должен быть как можно ближе к , но опять-таки не больше этого числа. В нашем случае это будет цифра , ее записываем в ответ рядом с , справа. Это следующая цифра в десятичной записи нашего квадратного корня.

6. Из вычитаем произведение , получаем .

7. Далее повторяем знакомые операции: приписываем к справа следующую группу цифр , умножаем на , к полученному числу > приписываем справа одну цифру, такую, чтобы при умножении на нее получилось число, меньшее , но наиболее близкое к нему –– это цифра –– следующая цифра в десятичной записи корня.

Вычисления запишутся следующим образом:

А теперь обещанное объяснение. Алгоритм основан на формуле

Комментариев: 50

  1. 2 Антон:

    Слишком сумбурно и запутано. Разложите всё по пунктам и пронумеруйте их. Плюс: объясните откуда в каждом действии мы подставляем нужные значения. Никогда раньше не вычислял корень в столбик – разобрался с трудом.

  2. 5 Юлия:
  3. 6 :

    Юлия, 23 на данный момент записано справа, это две первые (слева) уже полученные цифры корня, стоящие в ответе. Умножаем на 2 согласно алгоритму. Повторяем действия, описанные в пункте 4.

  4. 7 zzz:

    ошибка в “6. Из 167 вычитаем произведение 43 * 3 = 123 (129 нада), получаем 38.”
    непонятно как после запятой получилось 08…

  5. 9 Федотов Александр:

    А ещё в докалькуляторную эпоху нас в школе учили не только квадратный, но и кубический корень в столбик извлекать, но это более нудная и кропотливая работа. Проще было таблицами Брадиса воспользоваться или логарифмической линейкой, которую мы уже в старших классах изучали.

  6. 10 :

    Александр, Вы правы, можно извлекать в столбик и корни больших степеней. Я собираюсь написать как раз о том, как находить кубический корень.

  7. 12 Сергей Валентинович:

    Уважаемая Елизавета Александровна! Мной в конце 70-х разработана схема автоматического (т.е. не подбором) вычисления квадр. корня на арифмометре “Феликс”. Если заинтересуетесь, могу выслать описание.

  8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

    (((Извлечение квадратного корня в столбик)))
    Алгоритм упрощается, если использовать 2-ную систему счисления, которую изучают в информатике, но полезно и в математике. А.Н. Колмогоров в популярных лекциях для школьников приводил этот алгоритм. Его статью можно найти в “Чебышёвском сборнике” (Математический журнал, ищите ссылку на него в интернете)
    К случаю сказать:
    Г.Лейбниц в свое время носился с идеей о переходе от 10-ной системы счисления к двоичной из-за ее простоты и доступности для начинающих (младших школьников). Но устоявшиеся традиции ломать это все равно что лбом ломать крепостные ворота: можно, но бесполезно. Вот и получается как по наиболее цитируемому в былые времена бородатому философу: традиции всех мертвых поколений подавляют сознание живых.

    До следующих встреч.

  9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

    ))Сергей Валентинович, да, мне интересно…((

    Бьюсь об заклад, что это вариация под “Феликс” Вавилонского метода извлечения коня квадратного методом последовательных приближений. Этот алгоритм был перекрыт методом Ньютона (метод касательных)

    Интересно, не ошибся ли я в прогнозе?

  10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Да, алгоритм в двоичной системе должен быть проще, это довольно очевидно.

    О методе Ньютона. Может, оно и так, но все равно интересно

  11. 20 Кирилл:

    Спасибо большое. А алгоритма так и нету, неизвестно откуда он взялся, но результат правильный получается. СПАСИБО БОЛЬШОЕ! Долго искал это)

  12. 21 Александр:

    А каким образом пойдёт извлечение корня из числа, где вторая слева-направо группа весьма мала? к примеру, любимое всеми число 4 398 046 511 104 . после первого вычитания не получается продолжить всё по алгоритму. Объясните пожалуйста.

  13. 22 Алексей:

    Да, знаю этот способ. Я, помню, вычитал его в книге “Алгебра” какого-то старого издания. Тогда еще по аналогии сам вывел, как так же в столбик извлекать кубический корень. Но там уже сложнее: каждая цифра определяется уже не в одно (как для квадратного), а в два вычитания, да еще там каждый раз надо перемножать длинные числа.

  14. 23 Артем:

    В примере извлечения квадратного корня в столбик из 56789,321 имеются опечатки. Группа цифр 32 приписана дважды к числам 145 и 243, в числе 2388025 вторую 8 необходимо заменить на 3. Тогда последнее вычитание следует записать так: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Дополнительно, при делении остатка на увеличенное в два раза значение ответа (без учета запятой), получим добавочное количество значащих цифр (47975/(2*238305) = 0.100658819…), которые следует дописать к ответу (√56789,321 = 238,305… = 238,305100659).

  15. 24 Сергей:

    По всей видимости алгоритм пришел из книги Исаака Ньютона “Всеобщая арифметика или книга о арифметических синтезе и анализе”. Вот выдержка из неё:

    ОБ ИЗВЛЕЧЕНИИ КОРНЕЙ

    Чтобы извлечь из числа квадратный корень, прежде всего следует поставить над его цифрами через одну, начиная с единиц, точки. Затем следует в частном или в корне написать цифру, квадрат которой равен или ближайший по недостатку к цифрам или цифре, предшествующим первой точке. После вычитания этого квадрата остальные цифры корня будут последовательно найдены посредством деления остатка на удвоенную величину уже извлеченной части корня и вычитания всякий раз из остатка квадрата последней найденной цифры и ее удесятеренного произведения на названный делитель.

  16. 25 Сергей:

    Поправьте ещё название книги “Всеобщая арифметика или книга оБ арифметических синтезе и анализе”

  17. 26 Александр:

    Спасибо за интересный материал. Но мне этот метод представляется несколько более сложным, чем нужно, например, школьнику. Я применяю более просто метод, основанный на разложении квадратичной функции с помощью первых двух производных. Формула его такая:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, где
    А1 – целое число, квадрат которого ближе всего к х;
    А2 – дробь, в числителе х-А1, в знаменателе 2*А1.
    Для большинства чисел, встречающихся в школьном курсе, этого достаточно, чтобы получить результат с точностью до сотых.
    Если нужен более точный результат, берем
    А3 – дробь, в числителе А2 в квадрате, в знаменателе 2*А1+1.
    Конечно, для применения нужна таблица квадратов целых чисел, но это в школе не проблема. Запомнить эту формулу достаточно просто.
    Меня, правда, смущает, что А3 я получил опытным путем в результате экспериментов с электронной таблицей и не вполне понимаю, почему этот член имеет такой вид. Может, подскажете?

  18. 27 Александр:

    Да, я тоже рассматривал эти соображения, но дьявол кроется в деталях. Вы пишете:
    “поскольку a2 и b отличаются уже довольно мало”. Вопрос именно стоит, насколько мало.
    Эта формула хорошо работает на числах второго десятка и гораздо хуже (не до сотых, только до десятых) на числах первого десятка. Почему так происходит уже трудно понять без привлечения производных.

  19. 28 Александр:

    Я уточню, в чем я вижу преимущество предложенной мной формулы. Она не требует не вполне естественного разбиения чисел на пары цифр, которое, как показывает опыт, часто выполняется с ошибками. Смысл ее очевиден, а для человека, знакомого с анализом, тривиален. Хорошо работает на числах от 100 до 1000, наиболее часто встречающихся в школе.

  20. 29 Александр:

    Кстати, я немного покопался и нашел точное выражение для А3 в моей формуле:
    А3= А22 /2(A1+A2)

  21. 30 vasil stryzhak:

    В наше время, повсеместного использования вычислительной техники, вопрос извлечения квадратного коня из числа с практической точки зрения не стоит. Но для любителей математики, несомненно, представляют интерес различные варианты решения данной задачи. В школьной программе способ данного вычисления без привлечения дополнительных средств должен иметь место наравне с умножением и делением в столбик. Алгоритм вычисления должен быть не только запоминаемым, но и понятным. Классический метод, предоставленный в данном материале для обсуждения с раскрытием сущности, в полной мере соответствует вышеназванным критериям.
    Существенным недостатком предлагаемого Александром способа является использование таблицы квадратов целых чисел. Каким большинством чисел встречающихся в школьном курсе она ограничена автор умалчивает. Что касается формулы, то в целом она мне импонирует в виду относительно высокой точностью вычисления.

  22. 31 Александр:

    для 30 vasil stryzhak
    Я ни о чем не умолчал. Таблица квадратов предполагается до 1000. В мое время в школе ее просто заучивали наизусть и она была во всех учебниках математики. Я в явном виде назвал этот интервал.
    Что до вычислительной техники, то она не применяется, в основном, на уроках математики, если только не идет специально тема применения калькулятора. Калькуляторы сейчас встроены в устройства, запрещенные к применению на ЕГЭ.

  23. 32 vasil stryzhak:

    Александр, спасибо за разъяснение!Я считал,что для предлагаемого метода теоретически необходимо помнить или пользоваться таблицей квадратов всех двузначных чисел.Тогда для подкоренных чисел не входящих в интервал от 100 до 10000 можно использовать прием их увеличения или уменьшения на необходимое количество порядков переносом запятой.

  24. 33 vasil stryzhak:
  25. 39 АЛЕКСАНДР:

    МОЯ ПЕРВАЯ ПРОГРАММА НА ЯЗЫКЕ “ЯМБ” НА СОВЕТСКОЙ МАШИНЕ “ИСКРА 555″ БЫЛА НАПИСАНА ДЛЯ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЛА ПО АЛГОРИТМУ ИЗВЛЕЧЕНИЯ В СТОЛБИК! а сейчас забыл как извлекать в ручную!

Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.

Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.

Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.

Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.

Приступим.

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .


Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

Допустим, нам нужно извлечь корень n -ой степени из числа a , при этом число a содержится в таблице n -ых степеней. По этой таблице находим число b такое, что a=b n . Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n -ой степени.

В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683 . Находим число 19 683 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27 , следовательно, .


Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .

Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.

Разберемся с этим при решении примеров.

Пример.

Извлеките квадратный корень из 144 .

Решение.

Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .

Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.

Разложим 144 на простые множители:

То есть, 144=2·2·2·2·3·3 . На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2 . Следовательно, .

Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .

Ответ:

Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

Пример.

Вычислите значение корня .

Решение.

Разложение на простые множители подкоренного числа 243 имеет вид 243=3 5 . Таким образом, .

Ответ:

Пример.

Является ли значение корня целым числом?

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.

Ответ:

Нет.

Извлечение корней из дробных чисел

Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Разберем пример извлечения корня из дроби.

Пример.

Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .

Решение.

По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5 , а квадратный корень из знаменателя равен 13 . Тогда . На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169 завершено.

Ответ:

Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

Пример.

Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .

Решение.

Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000 . Тогда . Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13= (2·3·13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , то и . Осталось лишь завершить вычисления .

Ответ:

.

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел : чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите значение корня .

Решение.

Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

Приведем краткую запись решения: .

Ответ:

.

Порязрядное нахождение значения корня

В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =05 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9 , вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5 . Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

Так значение разряда единиц равно 2 (так как 2 2 5 ). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9 , сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5 :

Так как 2,2 2 5 , то значение разряда десятых равно 2 . Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =02 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

Определим его значение.

Так как 10 3 2 151,186 , то значение разряда десятков равно 1 . Переходим к единицам.

Таким образом, значение разряда единиц равно 2 . Переходим к десятым.

Так как даже 12,9 3 меньше подкоренного числа 2 151,186 , то значение разряда десятых равно 9 . Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

Список литературы.

  • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Как извлечь квадратный корень? — Журнал Квантик — LiveJournal

А между прочим, в прошлых выпусках тоже были интересные статьи. Например, вы сумеете извлечь квадратный корень без всякой электроники, «на кончике пера»?

Такие арифметические действия, как сложение, вычитание, умножение и деление, вы наверняка уже давно освоили и при желании можете провести их без помощи калькулятора. Однако, в арсенале мaтематика есть ещё несколько операций с числами. Об одной из них — о квадратном корне — и пойдёт речь в этой статье.

По определению, арифметическим квадратным корнем из числа x называется такое положительное число y, что y⋅y=y2=x (говорят, что <<y в квадрате равен x>>). Обозначают это так: y=x. Вычислить корень (или, как говорят, извлечь корень) из некоторых чисел легко, вспомнив таблицу умножения: 4=2, 9=3 и так далее.

Квадратный корень удобно представлять себе следующим образом. Пусть есть квадрат с площадью a квадратных см, тогда его сторона равна a см. И правда, ведь если сторона квадрата a см, то его площадь будет равна a⋅a=a квадратных см. Поскольку у большего квадрата и сторона длиннее, то сразу получаем очень важный для нас факт:

если a>b, то a>b.

Рассмотрим четыре рядом стоящих одинаковых квадратика со стороной 1 (1 см, 1 дюйм, 1 м — это всё равно).

Очевидно, что синяя фигура — квадрат. Его площадь равна половине площади большого квадрата, то есть 4/2=2. Если сторона заштрихованного квадрата y, то y⋅y=2, значит y=2.

Калькулятор говорит, что 2=1.41421356⁢…. Многоточие означает, что цифры после запятой продолжаются до бесконечности. Как же калькулятор мог получить этот ответ? Сейчас расскажу.

Основная идея состоит в том, чтобы зажать 2 между числом, меньшим его, и числом, большим его (то есть поместить его в <<загон>>), а потом постепенно этот <<загон>> сужать. Так как 1<2<4, мы можем утверждать, что 1<2<2. Для сужения <<загона>> воспользуемся методом деления пополам (или, научно говоря, дихотомией). А именно, разделим отрезок между 1 и 2 пополам — получим два возможных <<загона>> 1,1.5 и 1.5,2. Искомый 2 будет находиться в одном из них. Так как 1.52=2.25>2, то 1<2<1.5; значит, 2 лежит в <<загоне>> 1,1.5 Снова поделим отрезок пополам — получим два возможных <<загона>>: 1,1.25 и 1.25,1.5. Потом выясним, в какой из половин лежит 2 (так же как и в прошлый раз, сравнив 1. 252 и 2). И так далее… Будем всё ближе подбираться к 2.

Получаем I инструкцию по вычислению 2:


  1. Пусть мы уже знаем, что 2 находится в <<загоне>> a,b;

  2. Находим его середину a+b2 — она будет одним из концов нового <<загона>>;

  3. Если a+b22>2, то новым <<загоном>> будет a,a+b2, а если же неравенство в другую сторону, то — a+b2,b.

  4. Если <<загон>> все ещё кажется слишком широким, идём к пункту 1. Иначе выдаём в качестве ответа середину <<загона>>.

Способ вычисления 2 вроде бы придумали. Но когда мы примерно вычисляем что-либо, нас всегда интересует, а
насколько сильно мы можем ошибаться? Только что мы подсчитали, что 1<2<1.5. А это означает, что если мы скажем, что 2=1.25, то ошибёмся не более, чем на 0.25. В таком случае 1.25 называют приближенным значением, а 0.25 — погрешностью. Чем меньше погрешность, тем точнее вычисления. Сколько же раз надо проделать деление пополам (будем называть его шагом), чтобы погрешность стала меньше, например, одной сотой? Заметим, что погрешность равна попросту половине длины <<загона>>. А эта длина, в свою очередь, каждый раз уменьшается вдвое. Пусть мы проделали n шагов. Тогда погрешность будет равна 12⋅12⁢⋯⁢12 (произведение n+1 дроби). Чтобы это число стало меньше одной сотой, достаточно взять n=6.

На самом деле количество шагов можно сильно уменьшить. Пусть есть два числа a>2 и b>2. Тогда a⋅b>2⋅2=2. Если же a<2 и b<2, то a⋅b<2⋅2=2 (см. рисунок справа). Значит, если произведение двух разных чисел равно 2, то одно из них больше 2, а другое меньше. Иными словами, если x>2, то 2x<2. И наоборот: если x<2, то 2x>2. Короче это можно сказать так:

2 всегда лежит между x и 2x.

Именно на этом соображении и будет основана модификация нашего способа.

Теперь, выяснив, что 2 лежит либо в 1,1.5, либо в 1.5,2, можно не возводить 1. 5 в квадрат, а сразу сузить <<загон>> для 2 ещё сильнее: сказать, что 2 находится между 1.5 и 21.5. При этом мы пока даже не знаем, какое из этих двух чисел больше! Но это, конечно, легко выяснить: 2:1.5=2:32=43=1.333…. Продолжим: у нас есть <<загон>> 1.333⁢…,1.5. Так же, как и раньше, находим его середину: 12⁢32+43=1712=1.4166⁢…. Аналогично предыдущему шагу, можем заключить, что 2 находится между 1712 и 21712=2417=1.411764. Получили новый <<загон>> 2417,1712. Его длина равна 1712-2417=0.0049. И вот уже на втором шаге мы получаем погрешность меньше одной сотой!

Получаем II инструкцию по вычислению 2:


  1. Пусть мы уже знаем, что 2 находится в <<загоне>> a,b;

  2. Находим его середину a+b2 (как и в старом способе) — она будет одним из концов нового загона;

  3. Так как 2 находится между a+b2 и 2a+b2=4a+b, объявляем новым <<загоном>> отрезок между a+b2 и 4a+b;

  4. Если погрешность нас устраивает, выдаём в качестве ответа середину <<загона>>. Погрешность же будет равна половине длины <<загона>>. Если погрешность все ещё слишком большая — идём к пункту 1.


Теперь вы знаете достаточно, чтобы выполнить
Упражнение. Найдите 3 и 5 с погрешностью меньше одной сотой.

Когда вы решите его, сразу поймёте, что теперь можете извлечь квадратный корень почти из чего угодно. Кроме, пожалуй, отрицательных чисел. Но это уже совсем другая история…

Пересчитывать будете? Как извлечь корень 13-й степени из 200-значного числа за считанные секунды: Из жизни: Lenta.ru

85 877 066 894 718 045 602 549 144 850 158 599 202 771 247 748 960 878 023 151 390 314 284 284 465 842 798 373 290 242 826 571 823 153 045 030 300 932 591 615 405 929 429 773 640 895 967 991 430 381 763 526 613 357 308 674 592 650 724 521 841 103 664 923 661 204 223.

А вам слабо?

Прочитали? Запомнили число? Нет? Странно. А сколько в нем было цифр, не обратили внимания? Тоже нет? Ну а хотя бы четное оно было или нечетное, скажете, не подсматривая? Опять нет? А простое или
составное?

А сколько времени вам понадобилось для того, чтобы прочесть предыдущие два абзаца? Если вы просто пробегали глазами, то несколько секунд, если всерьез пытались ответить на вопросы — то больше, может быть, даже минута. Человеку-калькулятору Алексису Лемэру нужно примерно столько же времени, чтобы безошибочно извлечь из этого числа корень тринадцатой степени. В уме. Это включая ознакомление с числом и оглашение ответа. Количество цифр Лемэру, правда, подсчитывать не надо — он и так заранее знает, что их ровно двести.

Двести — потому что сто для Лемэра — это слишком просто, корень 13-й степени из стозначного числа он научился находить менее, чем за четыре секунды, и решил, что дальше совершенствоваться уже некуда.

Тринадцатый корень

Извлечение корня 13-й степени из очень больших чисел — традиционная форма соревнований по быстрым вычислениям в уме. Найти корень сложнее, чем возвести в степень — это нельзя сделать напрямую, перемножив числа в столбик. Почему именно 13-й?

На самом деле сложность вычисления определяется не столько степенью корня, сколько длиной числа: чем оно длиннее, тем труднее найти ответ. Но и степень корня имеет значение: от нее зависит, во-первых, количество потенциально подходящих, но ошибочных ответов, во-вторых, количество заранее известных закономерностей, которым будет подчиняться ответ.

Шаг алгоритма извлечения квадратного корня в столбик Изображение с сайта guidescope.com.

Lenta.ru

Задания подбираются так, чтобы ответ являлся целым числом. Например, для стозначного числа ответом теоретически могут являться 7992563 числа: от 41246264 до 49238826 (все прочие числа при возведении в тринадцатую степень дают не стозначное число). Для двухсотзначного таких возможностей во много раз больше: 393544396177593 (без малого четыреста триллионов). Поэтому у профессионалов извлечение корня из стозначного числа считается забавой для начинающих, а вот из двухсотзначного — уже нормальным заданием.

Количество потенциальных ответов зависит от степени корня сложным образом. «Официальный сайт корня 13-й степени» приводит такую шкалу сложности для некоторых степеней: 10>15>12>13=17=137=23=7>667>9=19>11=31>101>1001>4>3>2>1. Особенно трогательно смотрится единица в конце (корень первой степени — это, разумеется, само число).

13 — простое число, поэтому вычисление корня нельзя свести к пошаговому нахождению более простых корней. Например, корень девятой степени из 512 (для тех, кто не знает его наизусть, конечно) можно вычислить, найдя корень третьей степени — 8, а затем найдя корень третьей степени из него — 2. С тринадцатью такой номер не пройдет.

Никаким особым закономерностям «тринадцатый» корень тоже не подчиняется. Можно разве что отметить, что последняя цифра корня всегда совпадает с последней цифрой числа, из которого он извлекается. Это помогает, но не очень.

До недавнего времени книга рекордов Гиннесса фиксировала замечательные результаты по извлечению корня, однако сейчас прекратила, обосновав это тем, что сложность задачи зависит еще и от числа, случайно выданного в качестве задания: для каких-то чисел она проще, для каких-то — сложнее. Пока непонятно, как можно было бы стандартизовать эту сложность, поэтому книга временно прекратила официальную регистрацию рекордов.

Кто такие рекордсмены и как они это делают

Был предложен один из таких тестов: понять, каким образом при пересечении куба плоскостью может получиться шестиугольник. Это не очень сложно, сказал Колмогоров (Андрей Николаевич — гениальный математик, великий российский ученый — прим «Ленты.ру»), но каждый претендующий на то, чтобы выбрать математику профессией, должен уметь представить себе соответствующий чертеж. А уж кто не умеет, тому разумно поискать другую профессию. Тут Колмогоров дал всем минуты три для самостоятельного решения, после чего нарисовал на доске куб и стал пересекать его плоскостью. Как он ни старался, шестиугольник у него не получился. Он слегка разозлился, стер куб и перешел к следующей теме.
В. А. Успенский, «Колмогоров, каким я его помню».

Последние замечательные результаты в области быстрых вычислений в уме принадлежат французу Алексису Лемэру и австрийцу немецкого происхождения Герту Миттрингу. Интересно, что их деятельность в обычной жизни явно связана с их поразительными способностями: 27-летний Лемэр занимается искусственным интеллектом, а 41-летний Миттринг — проблемами одаренных детей.

Один из предыдущих держателей рекорда, ныне покойный голландец Виллем (Вим) Клейн, зарабатывал на жизнь непосредственно своим искусством. Сначала он выступал в составах различных трупп вместе с огнеглотателями, человеком-змеей и прочими циркачами, затем читал занимательные лекции, а затем с конца пятидесятых до середины семидесятых годов работал ни много ни мало в ЦЕРНе «живым компьютером» — «программистом и числовым аналитиком». Клейн по заказам физиков проводил сложные вычисления в уме, с распространением компьютеров начал помогать составлять программы.

Как находить корни (в уме, на бумаге, на компьютере) — учит специальный раздел математики, теория чисел. Клейна, Миттринга, Лемэра и им подобных можно назвать практиками чисел. Разумеется, практики чисел могут не только вычислять корни — они могут проводить и другие вычисления, запоминать огромные объемы информации (необязательно только числовой) и заниматься прочей гимнастикой чистого разума.

Как они это делают? Во-первых, знают и, что еще более важно, чувствуют (одно дело — знать механически, другое — глубоко понимать) специальные алгоритмы (при необходимости — придумывают сами). Знают на память таблицы квадратов, кубов, логарифмов (которые тоже могут пригодиться при вычислении корня). Во-вторых, ежедневно тренируют память, устный счет и прочие необходимые навыки. В-третьих, видимо, обладают некоторыми врожденными способностями, которые обычные люди приобрести не в состоянии.

Лемэр говорит, что воспринимает числа не просто как ряды цифр. Логично — за четыре секунды невозможно даже вдумчиво прочитать стозначное число цифру за цифрой. Он воспринимает число целостно и «видит» ответ — наверное, без совершения всех необходимых промежуточных операций. Числа ассоциируются у него со словами, со зрительными образами — короче говоря, мозг работает особым образом.

Подобным образом человек, выучивший в школе таблицу умножения, решивший без калькулятора несколько тысяч примеров и обладающий хоть какими-то способностями к устному счету, может изумлять тех, кто таблицы умножения не знает и без калькулятора считать не умеет. Просто разница в умениях не столь поразительна, как в случае с практиками чисел типа Лемэра.

Интересно, что такие способности могут сочетаться и с обычным интеллектом, и с высоким, и с низким: известно множество примеров идиотов-гениев — людей с низкими или даже патологическими низкими умственными способностями, которые, однако, демонстрируют в чем-то одном, вроде извлечения корней из огромных чисел, поразительные способности.

Основная задача человеческого интеллекта — скорее не в этом, а в умении делать обобщения, проводить аналогии, видеть похожее в непохожем, необычное в обычном (и обычное в необычном), наконец, заниматься творчеством.

А корень тринадцатой степени из числа, приведенного в начале статьи, кстати, равен 2396232838850303. Пересчитывать будете?

Кубический корень. Извлечение кубического корня

  • Главная
  • Калькуляторы
  • Математика
  • Арифметика
  • Кубический корень. Извлечение кубического корня

Кубический корень из a, обозначающийся как 3√a или как a1/3 — решение уравнения x3 = a (обычно подразумеваются вещественные решения).

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел.

Онлайн калькулятор для расчета кубического корня для положительных и отрицательных чисел.

Алгоритм извлечения кубического корня

Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.

  1. Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становиться больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
  2. Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание. Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
  3. Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой a. Вычислите по формуле 300× a2× x+30× a × x2+x3 такое число x, что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное x справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
  4. Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле 300 × a2 × x+30 × a × x2+x3 и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.
В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Больше интересного в телеграм @calcsbox

Извлечение квадратного корня

Извлечение квадратного корня

Напомним, что квадратное уравнение имеет стандартную форму Любое квадратное уравнение в форме ax2 + bx + c = 0, где a , b и c — действительные числа и a 0. если он равен 0:

, где a , b и c — действительные числа и a 0. Решение такого уравнения называется корневым решением квадратного уравнения в стандартной форме.. Квадратные уравнения могут иметь два действительных решения, одно действительное решение или не иметь реального решения. Если квадратное выражение слева множители, то мы можем решить его путем факторизации. Обзор шагов, используемых для решения с помощью факторинга, следующий:

Шаг 1: Выразите квадратное уравнение в стандартной форме.

Шаг 2: Разложите квадратное выражение на множители.

Шаг 3: Примените свойство нулевого произведения и установите каждый переменный коэффициент равным 0.

Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения.

Например, мы можем решить x2−4 = 0, разложив на множители следующим образом:

Двумя решениями являются −2 и 2. Цель этого раздела — разработать альтернативный метод, который можно использовать для простого решения уравнений, в которых b = 0, что дает форму

Уравнение x2−4 = 0 находится в этой форме и может быть решено путем выделения x2 вначале.

Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения, мы получим следующее:

Здесь мы видим, что x = −2 и x = 2 являются решениями полученного уравнения. В общем, это описывает свойство квадратного корня для любого действительного числа k , если x2 = k, то x = ± k .; для любого действительного числа к ,

Обозначение «±» читается как «плюс или минус» и используется как компактное обозначение, обозначающее два решения.Следовательно, утверждение x = ± k указывает, что x = −k или x = k. Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения называется извлечением корней Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения.

Пример 1: Решить: x2−25 = 0.

Решение: Начните с выделения квадрата.

Затем примените свойство квадратного корня.

Ответ: Решения — 5 и 5.Чек предоставляется читателю.

Конечно, предыдущий пример можно было бы так же легко решить с помощью факторинга. Тем не менее, он демонстрирует метод, который можно использовать для решения уравнений в этой форме, которые не учитывают факторы.

Пример 2: Решить: x2−5 = 0.

Решение: Обратите внимание, что квадратное выражение слева не учитывается. Мы можем извлечь корни, если сначала выделим главный член x2.

Примените свойство квадратного корня.

Для полноты проверьте, что эти два действительных решения решают исходное квадратное уравнение. Как правило, проверка не является обязательной.

Ответ: Решения — 5 и 5.

Пример 3: Решить: 4×2-45 = 0.

Решение: Начните с изоляции x2.

Примените свойство квадратного корня, а затем упростите.

Ответ: Решения — 352 и 352.

Иногда квадратные уравнения не имеют реального решения.

Пример 4: Решить: x2 + 9 = 0.

Решение: Начните с изоляции x2.

После применения свойства квадратного корня остается квадратный корень отрицательного числа. Следовательно, у этого уравнения нет реального решения.

Ответ: Реального решения нет

Обратитесь к этому процессу, чтобы найти уравнения с заданными решениями вида ± k .

Пример 5: Найдите уравнение с решениями −23 и 23.

Решение: Начните с возведения в квадрат обеих частей следующего уравнения:

Наконец, вычтите 12 из обеих частей и представьте уравнение в стандартной форме.

Ответ: x2−12 = 0

Попробуй! Решить: 9×2−8 = 0.

Ответ: x = −223 или x = 223

Рассмотрите возможность решения следующего уравнения:

Чтобы решить это уравнение путем факторизации, сначала возведите в квадрат x + 2, а затем представьте его в стандартной форме, равной нулю, путем вычитания 25 из обеих частей.

Фактор

, а затем примените свойство нулевого произведения.

Два решения: −7 и 3.

Когда уравнение имеет такую ​​форму, мы можем получить решения за меньшее количество шагов, извлекая корни.

Пример 6: Решите: (x + 2) 2 = 25.

Решение: Решите, извлекая корни.

На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и упростите каждое по отдельности.

Ответ: Решения −7 и 3.

В дополнение к меньшему количеству шагов этот метод позволяет нам решать уравнения, которые не учитывают множители.

Пример 7: Решите: (3x + 3) 2−27 = 0.

Решение: Начните с выделения квадрата.

Затем извлеките корни и упростите.

Решите относительно x .

Ответ: Решения: −1−3 и −1 + 3.

Пример 8: Решить: 9 (2x − 1) 2−8 = 0.

Решение: Начните с выделения квадратного множителя.

Примените свойство квадратного корня и решите.

Ответ: Решения 3−226 и 3 + 226.

Попробуй! Решите: 3 (x − 5) 2−2 = 0.

Ответ: 15 ± 63

Пример 9: Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.

Решение:

Диагональ любого прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Таким образом, применима теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы:

Решить.

Здесь мы получаем два решения, w = −25 и w = 25. Поскольку в задаче запрашивалась длина прямоугольника, мы игнорируем отрицательный ответ. Кроме того, мы рационализируем знаменатель и представим наши решения без каких-либо радикалов в знаменателе.

Обратно подставить, чтобы найти длину.

Ответ: Длина прямоугольника составляет 455 футов, а ширина — 255 футов.

Основные выводы

  • Решите уравнения вида ax2 + c = 0, извлекая корни.
  • Извлечение корней включает выделение квадрата и последующее применение свойства квадратного корня. После применения свойства квадратного корня у вас есть два линейных уравнения, каждое из которых можно решить. Обязательно упростите все радикальные выражения и при необходимости рационализируйте знаменатель.

Тематические упражнения

Часть A: Извлечение квадратного корня

Решите, разложив на множители, а затем вычислив корни.Проверить ответы.

1. x2−36 = 0

2. x2-81 = 0

3. 4y2−9 = 0

4. 9y2−25 = 0

5. (x − 2) 2−1 = 0

6. (x + 1) 2−4 = 0

7. 4 (y − 2) 2−9 = 0

8. 9 (y + 1) 2−4 = 0

9. −3 (t − 1) 2 + 12 = 0

10. −2 (t + 1) 2 + 8 = 0

11. (x − 5) 2−25 = 0

12. (x + 2) 2−4 = 0

Решите, извлекая корни.

13. x2 = 16

14. x2 = 1

15. y2 = 9

16. y2 = 64

17. x2 = 14

18. x2 = 19

19. y2 = 0,25

20. y2 = 0,04

21. x2 = 12

22. x2 = 18

23. 16×2 = 9

24. 4×2 = 25

25. 2t2 = 1

26.3t2 = 2

27. x2−100 = 0

28. x2−121 = 0

29. y2 + 4 = 0

30. y2 + 1 = 0

31. x2−49 = 0

32. x2−925 = 0

33. y2−0.09 = 0

34. y2−0,81 = 0

35. x2−7 = 0

36. x2−2 = 0

37. x2−8 = 0

38. t2−18 = 0

39. x2 + 8 = 0

40.х2 + 125 = 0

41. 16×2−27 = 0

42. 9×2-8 = 0

43. 2y2−3 = 0

44. 5y2−2 = 0

45. 3×2−1 = 0

46. 6×2−3 = 0

47. (x + 7) 2−4 = 0

48. (x + 9) 2−36 = 0

49. (2y − 3) 2-81 = 0

50. (2у + 1) 2−25 = 0

51. (x − 5) 2−20 = 0

52. (x + 1) 2−28 = 0

53.(3t + 2) 2−6 = 0

54. (3т − 5) 2−10 = 0

55,4 (y + 2) 2−3 = 0

56. 9 (y − 7) 2−5 = 0

57,4 (3x + 1) 2−27 = 0

58. 9 (2x − 3) 2−8 = 0

59. 2 (3x − 1) 2 + 3 = 0

60,5 (2x − 1) 2−3 = 0

61,3 (y − 23) 2−32 = 0

62. 2 (3y − 13) 2−52 = 0

Найдите квадратное уравнение стандартной формы со следующими решениями.

63. ± 7

64. ± 13

65. ± 7

66. ± 3

67. ± 35

68. ± 52

69. 1 ± 2

70,2 ± 3

Решите и округлите решения до ближайшей сотой.

71. 9x (x + 2) = 18x + 1

72. x2 = 10 (x2−2) −5

73. (x + 3) (x − 7) = 11−4x

74.(x − 4) (x − 3) = 66−7x

75. (x − 2) 2 = 67−4x

76. (x + 3) 2 = 6x + 59

77. (2x + 1) (x + 3) — (x + 7) = (x + 3) 2

78. (3x − 1) (x + 4) = 2x (x + 6) — (x − 3)

Составьте алгебраическое уравнение и используйте его для решения следующих задач.

79. Если 9 вычесть из четырех квадратов числа, то результат будет 3. Найдите число.

80. Если из квадрата числа вычесть 20, то получится 4.Найдите номер.

81. Если 1 прибавить к троекратному квадрату числа, то получится 2. Найдите число.

82. Если 3 прибавить к двукратному квадрату числа, получится 12. Найдите число.

83. Если квадрат имеет площадь 8 квадратных сантиметров, найдите длину каждой стороны.

84. Если круг имеет площадь 32π квадратных сантиметра, найдите длину радиуса.

85.Объем правого кругового конуса составляет 36π кубических сантиметров при высоте 6 сантиметров. Найдите радиус конуса. (Объем правого кругового конуса равен V = 13πr2h.)

86. Площадь поверхности сферы составляет 75π квадратных сантиметров. Найдите радиус сферы. (Площадь поверхности сферы определяется как SA = 4πr2.)

87. Длина прямоугольника в 6 раз больше его ширины. Если площадь составляет 96 квадратных дюймов, найдите размеры прямоугольника.

88. Основание треугольника вдвое больше его высоты. Если площадь составляет 16 квадратных сантиметров, то найдите длину его основания.

89. Квадрат имеет площадь 36 квадратных единиц. На какую равную величину необходимо увеличить стороны, чтобы получить квадрат с удвоенной заданной площадью?

90. Круг имеет площадь 25π квадратных единиц. На какую величину нужно увеличить радиус, чтобы создать круг с удвоенной заданной площадью?

91.Если стороны квадрата равны 1 единице, то найдите длину диагонали.

92. Если стороны квадрата равны 2 единицам, найдите длину диагонали.

93. Диагональ квадрата составляет 5 дюймов. Найдите длину каждой стороны.

94. Диагональ квадрата составляет 3 дюйма. Найдите длину каждой стороны.

95. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 10 футов, найдите размеры прямоугольника.

96. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ 8 футов, найдите размеры прямоугольника.

97. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ 5 метров, то найдите размеры прямоугольника.

98. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.

99. Высота в футах объекта, падающего с 9-футовой лестницы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 9, где t представляет время в секундах после падения объекта.Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Подсказка: когда объект ударяется о землю, высота равна 0.)

100. Высота в футах объекта, сброшенного с 20-футовой платформы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 20, где t представляет время в секундах после того, как объект был сброшен. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю?

101. Высота в футах объекта, падающего с вершины 144-футового здания, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 144, где t измеряется в секундах.

а. Сколько времени потребуется, чтобы достичь половины расстояния до земли, 72 фута?

г. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?

Округлите до сотых долей секунды.

102. Высота в футах объекта, сброшенного с самолета на высоте 1600 футов, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 1,600, где t — в секундах.

а. Сколько времени нужно, чтобы добраться до земли на половину дистанции?

г.Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?

Округлить до сотых долей секунды .

Часть B: Обсуждение

103. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корень. Поделитесь им и решением на доске обсуждений.

104. Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.

105. Объясните своими словами, как решить, извлекая корни.

106. Выведите формулу диагонали квадрата через его стороны.

ответов

1: −6, 6

3: −3/2, 3/2

5: 1, 3

7: 1/2, 7/2

9: -1, 3

11: 0, 10

13: ± 4

15: ± 3

17: ± 1/2

19: ± 0.5

21: ± 23

23: ± 3/4

25: ± 22

27: ± 10

29: Реального решения нет

31: ± 2/3

33: ± 0,3

35: ± 7

37: ± 22

39: Реального решения нет

41: ± 334

43: ± 62

45: ± 33

47: −9, −5

49: −3, 6

51: 5 ± 25

53: −2 ± 63

55: −4 ± 32

57: -2 ± 336

59: Реального решения нет

61: 4 ± 326

63: x2−49 = 0

65: x2−7 = 0

67: x2−45 = 0

69: x2−2x − 1 = 0

71: ± 0. 33

73: ± 5,66

75: ± 7,94

77: ± 3.61

79: −3 или 3

81: −33 или 33

83:22 сантиметра

85:32 сантиметра

87: Длина: 24 дюйма; ширина: 4 дюйма

89: −6 + 62≈2,49 ед.

91: 2 шт.

93: 522 дюйма

95: Длина: 45 футов; ширина: 25 футов

97: Длина: 3102 метра; ширина: 102 метра

99: 3/4 секунды

101: а.2,12 секунды; б. 0,88 секунды

Польза и побочные эффекты для сердца

Астрагал веками использовался в традиционной китайской медицине. Его часто пропагандируют из-за его воздействия на иммунную систему, печень и сердечно-сосудистую систему. Тем не менее, мало исследований, позволяющих предположить, что астрагал может помочь защитить сердце у людей. Необходимы дополнительные исследования, прежде чем эксперты смогут дать какие-либо четкие рекомендации по использованию астрагала для здоровья сердца.

Астрагал также был протестирован на рак груди, простуду, гепатит и рак легких.Некоторые предварительные исследования предполагают возможную пользу. Но, как и в случае с пользой для сердца, необходимы дополнительные медицинские исследования, чтобы понять, может ли астрагал помочь с этими другими проблемами со здоровьем.

Что такое астрагал?

Астрагал также называют хуан-ци или молочной викой. Его получают из фасоли или бобовых. Хотя существует несколько видов астрагала, большинство добавок к астрагалу содержат Astragalusmbranaceus . Говорят, что эта трава обладает множеством преимуществ для здоровья при различных заболеваниях, в том числе для сердца.

Считается, что астрагал стимулирует иммунную систему. Он обладает антиоксидантным действием, подавляя выработку свободных радикалов. В организме свободные радикалы повреждают клетки и связаны со многими проблемами со здоровьем, связанными со старением. Однако не существует известного способа полностью остановить свободные радикалы.

Для чего используется астрагал?

Астрагал — это натуральная пищевая добавка, которая используется при различных заболеваниях. Например, он используется для лечения простуды, инфекций верхних дыхательных путей, фибромиалгии и диабета.Некоторые сторонники астрагала используют его из-за возможной пользы для сердца. Они утверждают, что это может защитить от болезней сердца. Он также используется для уменьшения общей слабости.

Сторонники также говорят, что астрагал стимулирует селезенку, печень, легкие, кровеносную и мочевыделительную системы. Он также используется для лечения остеоартрита, астмы и нервных состояний, а также для снижения уровня сахара в крови и артериального давления.

Однако существует ограниченное количество доказательств его эффективности.

Есть ли побочные эффекты у астрагала?

Астрагал обычно принимают в сочетании с другими травяными добавками.При правильном применении астрагал кажется очень безопасным и не вызывает побочных эффектов. Очень высокие дозы могут подавить иммунную систему. Поэтому вам следует избегать использования астрагала, если вы принимаете препараты, подавляющие иммунитет.

Беременным и кормящим женщинам нельзя использовать корень астрагала. Если у вас заболевание иммунной системы, такое как рассеянный склероз, волчанка, ревматоидный артрит или другое аутоиммунное заболевание, вам не следует использовать корень астрагала.

Как и в случае с любой другой травяной добавкой, всегда проконсультируйтесь с врачом, прежде чем принимать корень астрагала.

Двойное слепое рандомизированное плацебо-контролируемое исследование

Cureus. 2019 сен; 11 (9): e5797.

Редактор мониторинга: Александр Муасевич и Джон Р. Адлер

, 1 , 2 , 3 , 4 и 5

Deepak Langade

1 Фармакология, Д.Ю. Медицинский факультет Университета Патил, Нави Мумбаи, IND

Субодх Канчи

2 Фармакология, Институт медицинских наук Ведантаа, Палгар, IND

Jaising Salve

3 Внутренняя медицина, Госпиталь Пракрути, Мумбаи, IND

Khokan Debnath

4 Семейная медицина, Госпиталь Пракрути, Мумбаи, IND

Дхрув Амбегаокар

5 Фармакология, Д. Школа медицины университета Я. Патил, Нави Мумбаи, IND

1 Фармакология, Д.Ю. Медицинский факультет Университета Патил, Нави Мумбаи, IND

2 Фармакология, Институт медицинских наук Ведантаа, Палгар, IND

3 Внутренняя медицина, Госпиталь Пракрути, Мумбаи, IND

4 Семейная медицина, Госпиталь Пракрути, Мумбаи, IND

5 Фармакология, Медицинский факультет Университета Д. Ю. Патил, Нави Мумбаи, IND

Автор, ответственный за переписку.

Поступило 13.09.2019 г .; Принято 28 сентября 2019 г.

Эта статья цитируется в других статьях в PMC.

Abstract

Introduction

Бессонница — распространенное нарушение сна, которое может серьезно повлиять на физическое и психическое здоровье человека.Большинство доступных в настоящее время лекарств от бессонницы обладают побочными эффектами. Следовательно, альтернативные лечебные травы могут быть эффективными при лечении бессонницы. Ашваганда, проверенная «Расаяна» из древней Аюрведы, обладает необходимым потенциалом для лечения бессонницы.

Цель

Определить эффективность и безопасность экстракта корня Ашваганды у пациентов с бессонницей и тревогой.

Методы

Это было рандомизированное двойное слепое плацебо-контролируемое исследование, проведенное в больнице Пракрути, Калва, Махараштра, Индия.В общей сложности 60 пациентов были случайным образом разделены на две группы: тестовую (n = 40) и плацебо (n = 20) в соотношении рандомизации 2: 1. Исследуемый продукт представлял собой капсулу, содержащую 300 мг экстракта корня ашваганды полного спектра полного спектра, а плацебо представляло собой идентичную капсулу, содержащую крахмал. Обе процедуры проводились дважды в день с молоком или водой в течение 10 недель. Актиграфия сна (Respironics Philips) использовалась для оценки латентности начала сна (SOL), общего времени сна (TST), эффективности сна (SE) и пробуждения после наступления сна (WASO). Другими оценками были общее время нахождения в постели (журнал сна), умственная активность при вставании, качество сна, шкала Питтсбургского индекса качества сна (PSQI) и шкала оценки тревожности Гамильтона (HAM-A).

Результаты

Два пациента, по одному из каждой группы, не завершили исследование, и набор данных по протоколу (n = 58) включал 29 и 19 пациентов из теста и плацебо, соответственно. Исходные параметры были аналогичными в двух группах на исходном уровне. Задержка засыпания улучшилась как в тесте, так и в плацебо через 5 и 10 недель.Тем не менее, SOL был значительно короче (p, 0,019) через 10 недель с тестом [29,00 (7,14)] по сравнению с плацебо [33,94 (7,65)]. Кроме того, значительное улучшение показателей SE наблюдалось с Ашвагандхой, которая составляла 75,63 (2,70) для теста на исходном уровне и увеличивалась до 83,48 (2,83) через 10 недель, тогда как для плацебо баллы SE изменились с 75,14 (3,73) на исходном уровне до 79,68 ( 3.59) через 10 недель. Аналогичным образом, значительное улучшение качества сна наблюдалось при использовании теста по сравнению с плацебо (p, 0. 002). Значительное улучшение наблюдалось во всех других параметрах сна, то есть SOL, SE, PSQI и тревоге (баллы HAM-A) при лечении экстрактом корня ашваганды в течение 10 недель.

Заключение

Экстракт корня ашваганды — это натуральное соединение, которое вызывает сонливость, хорошо переносится и улучшает качество сна и задержку наступления сна у пациентов с бессонницей в дозе 300 мг экстракта дважды в день. Это может быть потенциально полезно для улучшения параметров сна у пациентов с бессонницей и тревогой, но требует дальнейших крупномасштабных исследований.

Ключевые слова: ашваганда, бессонница, тревога, задержка начала сна, актиграфия, бодрствование после наступления сна, эффективность сна Сон — это обязательная часть жизни, которая естественным образом омолаживает нас физиологически, биохимически, а также на клеточном и молекулярном уровне. В среднем более 30% жизни человека тратится на сон [1].Помимо омоложения, сон напрямую связан с правильным функционированием центральной нервной системы, поддержанием артериального давления, метаболизмом, катаболизмом, регулированием температуры, консолидацией памяти и рядом других важных физиологических функций [2]. В последнее время бессонница или бессонница стали обычным заболеванием, которое затрагивает большую часть населения мира и ухудшает общее состояние здоровья и психическое благополучие. Клинически бессонница характеризуется трудностями с засыпанием или поддержанием сна или их комбинацией, а также нарушением повседневных функций.Клиническими критериями, определяющими бессонницу, являются средняя латентность сна более 30 минут, бодрствование после начала сна более 30 минут, эффективность сна менее 85% от общего времени сна менее 6,5 часов [3]. Бессонница часто приводит к утомляемости, истощению энергии, снижению концентрации и повышенной раздражительности. Исследования этиологических и патофизиологических факторов, проводимые на протяжении десятилетий, показывают, что начало и прогресс бессонницы зависят от множества факторов, включая генетические, когнитивные и поведенческие, физиологические, биохимические и экологические [4].Влияние кумулятивного эффекта этих факторов часто приводит к другим физиологическим и клиническим осложнениям, таким как активация вегетативной нервной системы (ВНС) из-за изменения частоты сердечных сокращений, колебаний температуры тела, изменения метаболизма, отклонения функции гормональной оси, такой как гипоталамо-гипофиз-надпочечники. ось. Прогноз возникновения и развития бессонницы спорен и широко варьируется от случая к случаю. Заболевание может быть вызвано множеством факторов, включая стресс, беспокойство, астму, изменение гормонального цикла, изменение образа жизни и другие болезненные состояния, такие как рак [3].Связь бессонницы с хроническими заболеваниями, такими как ожирение, диабет 2 типа, сердечно-сосудистые заболевания, неврологические проблемы, включая перепады настроения, повышенную смертность, подтверждена имеющейся литературой [5]. Исследование показывает, что более 80% населения мира используют экстракты растений в качестве лекарств для оказания первичной медико-санитарной помощи [6,7]. Ашваганда, встречающаяся в Индии и Южной Азии, является уважаемой травой в традиционной индийской Аюрведе, в науке известной как Withania somnifera (L.) Dunal. Это член семейства пасленовых [8].Практикующие Аюрведу считают ашвагандху универсальным и ценным лекарственным средством из-за широкого использования различных частей растений для лечения различных заболеваний. В Аюрведе Ашваганда веками использовалась как «Расаяна» и адаптоген [9].

Было проведено множество исследований экстрактов корня Ашваганды. Исследования in vitro экстрактов корня ашваганды продемонстрировали его нейропротекторное, противовоспалительное и хондропротекторное действие [10,11]. Эксперименты на животных моделях показали кардиозащитный, иммуномодулирующий, антидиабетический и нейропротекторный эффекты экстрактов корня Ашваганды [12-15].Клинические исследования, проведенные в различных условиях, показывают, что экстракт корня Ашваганды улучшает сексуальные возможности как у мужчин, так и у женщин, помогает в снижении и управлении стрессом и тревогой, улучшает память и познавательные способности у здоровых взрослых и пациентов с биполярным расстройством [16-20]. Эта многофункциональная трава также увеличивает мышечную силу, размер мышц и способствует их восстановлению [21].

В настоящем исследовании мы исследовали влияние порошка экстракта корня Ашваганды по сравнению с плацебо на пациентов с бессонницей в качестве естественного решения растущей проблемы бессонницы. Цикл сон-бодрствование контролировали с помощью устройств актиграфии, которые были простыми и эффективными, помимо анализа журналов сна. Данные научной литературы свидетельствуют о том, что параметры сна, оцениваемые с помощью актиграфии сна, включают латентность начала сна (SOL), общее время сна (TST), эффективность сна (SE) и пробуждение после наступления сна (WASO) [22]. Актиграфия сна — это проверенный инструмент, который стал обычной практикой наряду со стандартными журналами сна для исследований сна. Опросник с самооценкой, такой как индекс качества сна Питтсбурга (PSQI), использовался для измерения качества и нарушений сна у взрослых.PSQI включает семь компонентов: субъективное качество сна, латентность сна, продолжительность сна, привычная эффективность сна, нарушения сна, употребление снотворных и дневная дисфункция за последний месяц [23]. Шкала оценки тревожности Гамильтона (HAM-A), используемая в нашем исследовании, является еще одной важной первой оценочной шкалой, разработанной для измерения тяжести симптомов тревоги. HAM-A состоит из 14 элементов и лечит как психологические, так и соматические симптомы [24].

Материалы и методы

Цели исследования

Основная цель заключалась в том, чтобы сравнить эффекты экстракта корня ашваганды и плацебо на SOL, оцененные с помощью актиграфии.Вторичные цели включают сравнение эффектов экстракта корня ашваганды и плацебо: i) на общее время сна (TST), пробуждение после начала сна (WASO) и эффективность сна (SE), оцененные с помощью актиграфии; ii) качества сна с использованием индекса качества сна Питтсбурга (PSQI), умственной активности при вставании и качества сна с использованием журналов сна; iii) по шкале тревожности с использованием шкалы Гамильтона-тревожности (HAM-A) (рисунок).

Дизайн исследования

Это было рандомизированное двойное слепое плацебо-контролируемое исследование, проведенное с ноября 2014 года по март 2015 года.В общей сложности 60 пациентов с бессонницей были рандомизированы в соотношении 2: 1 для приема экстракта корня Ашваганды (капсула KSM 66) или аналогичного плацебо в течение 10 недель. Исследование было проведено в соответствии с Хельсинкской декларацией (поправка 1989 г.), а протокол исследования был одобрен Комитетом по институциональной этике (справочный номер: ECR / 66 / Inst / MH / 2013), больница Snehal, Thane, от 30 октября 2014 г. Этика Уведомления комитета (EC) выполнялись в соответствии с руководящими принципами надлежащей клинической практики (GCP), выпущенными CDSCO, и этическими руководящими принципами для биомедицинских исследований на людях, выпущенными Индийским советом медицинских исследований (ICMR).В этом исследовании соблюдались рекомендации Консолидированных стандартов отчетности об испытаниях (CONSORT) по разработке и составлению отчетов о контролируемых испытаниях. Письменное информированное согласие было получено от всех участников до включения в исследование. Перед получением согласия каждому пациенту подробно разъясняли цель исследования и ожидаемый результат.

Участники исследования

Популяция исследования включала 60 участников в возрасте от 18 до 60 лет. Участники были отобраны из нескольких амбулаторных клиник и приглашены в исследовательский центр (Госпиталь Пракрути, Калва, Тан, Мумбаи, Индия).Участники были проинформированы об исследовании и были оценены главным исследователем на соответствие критериям включения / исключения. В исследование были включены пациенты мужского и женского пола в возрасте от 18 до 60 лет, которым был поставлен диагноз бессонницы на основании диагностического и статистического руководства (DSM-IV). Пациенты включались в исследование при индексе массы тела от 16,5 до 30 кг / м 2 . Еще одним требованием включения было способность пациентов понимать дневник сна и их готовность заполнять дневник сна и следовать другим процедурам, требуемым протоколом исследования.Учитывались только те пациенты, которым требуется более 30 минут, чтобы заснуть, и которые сообщают о субъективном общем времени сна ≤ 6,5 часов за ночь. Кроме того, еще одним критерием включения было обычное время отхода ко сну между 20:30 и полуночью. Участники были исключены, если они не могли соблюдать протокол исследования. Исключались также случаи, когда субъект имел в анамнезе судороги или значительную травму головы, страдал расстройством сна, отличным от первичной бессонницы, включая синдром беспокойных ног и апноэ во сне.Те, кто путешествовал через четыре или более часовых поясов, работал в ночное время или по сменам в предыдущие семь дней до начала исследования, не учитывались. Субъекты, которые планировали работать в ночное время или следовали вахтовым сменам в течение периода исследования, и те, кто принимал какие-либо лекарства на регулярной основе, были исключены. Были исключены участники с клинически значимыми эндокринными, метаболическими, почечными, печеночными, сердечно-сосудистыми, желудочно-кишечными, респираторными, гематологическими или неврологическими заболеваниями и с любыми психическими расстройствами, которые потенциально могут привести к бессоннице.Лица, злоупотребляющие психоактивными веществами более года, употребляющие алкоголь и табак, также считались неприемлемыми.

Процедуры исследования

В этом 10-недельном исследовании информированное согласие каждого субъекта было получено после скрининга и до включения в исследование. Участники были тщательно обследованы на предмет истории болезни, общего физического состояния и жизненно важных параметров. После включения участников оценивали параметры эффективности для оценки сна, включая актиграфию сна (Respironics Philips), PSQI, шкалу HAM-A, умственную активность при вставании, качество сна и журнал сна [23,24].Параметры безопасности оценивались на основании всех зарегистрированных нежелательных явлений.

Тестируемым продуктом, использованным в этом исследовании, была капсула KSM-66 Ashwagandha, патентованный экстракт корня (300 мг) ашваганды (Withania somnifera Dunal), производимый компанией Ixoreal Biomed Inc., Лос-Анджелес, Калифорния, США. Продукт светло-желтого цвета с наибольшей концентрацией витанолидов (5%>). Плацебо представляло собой порошок крахмала, который был идентичен тестируемым капсулам. И тестируемый продукт, и плацебо были покрыты капсулой точной формы, размера и цвета.Номер партии тестируемого продукта был KSM / 14/270, который был изготовлен в августе 2014 года. Для вмешательства использовались капсулы

, содержащие либо экстракт корня Ашваганды (тест), либо плацебо. Участникам было рекомендовано принимать по одной капсуле два раза в день, запивая молоком или водой, в течение 10 недель. Все субъекты были оценены на этапе скрининга, на исходном уровне, на 5-й и 10-й неделях с оценкой результатов. Физическое обследование и жизненные параметры участников исследования отслеживались во время каждого визита.Было проведено общее обследование и подробный мониторинг дыхательной системы, сердечно-сосудистой системы, опорно-двигательного аппарата, пищеварительной системы и нервной системы каждого испытуемого. Кроме того, измерения систолического артериального давления, диастолического артериального давления, частоты пульса, частоты дыхания и температуры тела субъектов записывались при каждом посещении.

Результатом исследования были параметры актиграфии (латентность начала сна, общее время сна, бодрствование после начала сна), баллы PSQI и HAM-A, умственная активность и качество сна, а также общее время нахождения в постели (TIB) (рис. ).

Актиграфия сна

Мониторинг покоя и активности проводился с помощью актиграфии сна, неинвазивной сенсорной процедуры, при которой носимая часть устройства может быть помещена на запястье на все время исследования для записи движения. Процедура подтверждена золотым стандартом ночной полисомнограммы.

SOL, TST, WASO и SE были параметрами, оцененными с помощью актиграфии. Клинически период перехода от полного бодрствования к легкому сну обозначается как SOL.Эта стадия часто включает начальную стадию сна с медленным движением глаз (NREMS). TST — это фактическое время сна в период сна. Общее время сна — это совокупный результат сна с быстрым движением глаз (REMS) и NREMS за весь период сна. WASO — это продолжительность, в течение которой человек не спит после определенного начала сна. По сути, оценка WASO учитывает конкретную фазу бодрствования, не имеющую продолжительности до начала сна. SE относится к фактическому времени, затраченному на сон (общее время сна), по сравнению с общим временем, проведенным в постели.

Расчетные данные, хранящиеся в устройствах актиграфии, были переданы в компьютер для отображения и анализа периода бодрствования и сна для всех испытуемых. Зарегистрированным пациентам рекомендовалось как минимум три дня непрерывного использования актиграфа, чтобы получить исчерпывающее представление о характере сна пациента.

Общее время в постели

Общее время в постели оценивалось по индивидуальному журналу сна, который представлял собой ежедневную письменную запись о характере сна человека.Журнал содержал информацию о времени выхода на пенсию и вставании, времени нахождения в постели, предполагаемом общем периоде сна, количестве и продолжительности прерываний сна, качестве сна, дневном сне, употреблении лекарств или напитков с кофеином в день и характере бодрствования.

Питтсбургский индекс качества сна (PSQI)

PSQI — это опросник, который заполняется самостоятельно, в результате субъективно оценивается качество и характер сна путем оценки результатов семи компонентов качества сна, т.е.е., субъективное качество сна, латентный период сна, продолжительность сна, обычная эффективность сна, нарушения сна, прием препаратов, способствующих засыпанию, и дневная дисфункция в течение месяца [23]. Суммарный общий балл семи компонентов оценивает качество сна пациента, которое варьируется от 0 до 21. Чем выше балл, тем хуже качество сна.

Шкала оценки тревожности Гамильтона (HAM-A)

HAM-A представлена ​​14 пунктами [24]. Каждый элемент индивидуально включает в себя группу симптомов.Эта шкала оценивает как психическую тревогу, так и соматическую тревогу, включая психическое возбуждение и психологический дистресс; и физические жалобы, связанные с тревогой, соответственно. Оценка по каждому пункту варьируется от 0 до 4; выше оценка — тяжелая ситуация. Общий балл варьируется от 0 до 56. По этой шкале оценка <17 указывает на легкую степень тяжести, 18–24 - от легкой до средней степени тяжести, а 25–30 - от умеренной к тяжелому состоянию.

Умственная активность при вставании

После пробуждения утром умственная активность оценивалась по трехбалльной шкале для оценки восприятия пациентом настороженности, где 1 означает бдительность, 2 означает легкую сонливость и 3 означает очень сильную сонливость. сонный.

Качество сна

Общее качество сна оценивалось по семибалльной шкале, как оно воспринимается пациентом после пробуждения утром. Оценка оценивалась следующим образом: 1 = отлично, 2 = очень хорошо, 3 = хорошо, 4 = удовлетворительно, 5 = плохо, 6 = очень плохо и 7 = очень плохо.

Оценка безопасности

Клиническая безопасность и переносимость оценивались на основании нежелательных явлений, о которых сообщали пациенты во время последующего наблюдения или во время клинической оценки. Регистрировались нежелательные явления, их тяжесть, продолжительность и связь с исследуемым препаратом.

Размер выборки и рандомизация

Это было предварительное исследование, и в него планировалось включить 60 пациентов. Размер выборки не был основан на каких-либо статистических расчетах или предположениях. Набранные 60 пациентов были рандомизированы в соотношении 2: 1. Таким образом, 40 пациентов были включены в экспериментальную группу (тестируемый препарат капсулы Ашваганда) и 20 пациентов были рандомизированы в контрольную группу (группа плацебо).

Рандомизация проводилась с использованием программного обеспечения для ПК (Rando 1.2 Р. Равендран, 2004). Исследуемые и контрольные продукты были упакованы таким образом, чтобы материалы для экспериментальных и контрольных исследований были идентичны по внешнему виду. На упаковках был код, чтобы скрыть природу лекарств, а на этикетке был указан серийный номер пациента, который являлся идентификатором исследования. После включения участников им была предоставлена ​​упаковка исследуемых лекарств с соответствующим серийным номером. Коды рандомизации были предоставлены в отдельном запечатанном конверте для каждого участника, и конверт открывался исследователем после того, как субъекты были зарегистрированы и получили серийный номер.Участники не знали о своих групповых заданиях в этом испытании. Ослепли и исследователи и клиницисты.

Статистический анализ

Все данные о включенных пациентах были собраны, как определено в протоколе исследования, то есть во время исходной оценки, на 5-й и 10-й неделе. Данные были проанализированы в соответствии с их рандомизированной группой, независимо от соблюдения режима лечения или любых других отклонений от протокола. Все статистические анализы были выполнены с использованием программы на базе Windows Stata IC / 13 (StataCorp LLC, США).Анализ проводился в наборах данных как по намерению лечить (ITT), так и по протоколу (PP). Полученный результат анализа и баллы представлены здесь как средние значения с 1 стандартным отклонением (SD) и 95% доверительным интервалом (CI). Исходные баллы сравнивались с баллами после лечения по различным шкалам с использованием теста Фридмана (повторные измерения) внутри группы. Две группы сравнивали на предмет различий с использованием одностороннего дисперсионного анализа (ANOVA). Все испытания проводились с использованием двусторонних тестов на альфа 0.05.

Парные сравнения были выполнены в каждой группе для сравнения исходных оценок с оценками последующего наблюдения (пять недель и 10 недель). Непараметрические тесты на умственную активность и качество сна сравнивались между интервалами сбора данных с использованием теста Краскела-Уоллиса и критерия хи-квадрат.

Результаты

В общей сложности 85 участников были отобраны и оценены на соответствие критериям отбора на начальном этапе, из которых 25 участников не соответствовали критериям отбора (рисунок). Остальные 60 участников прошли рандомизацию и были разделены на две группы: экспериментальную и контрольную в соотношении 2: 1.Два участника (по одному из каждой группы) вышли из исследования из-за несоблюдения правил актиграфии (рисунок). Анализ был продолжен с использованием данных для остальных 58 участников посредством анализа по протоколам (PP). В таблице (приложения) представлен план исследования.

CONSORT потоковое представление включения, распределения, наблюдения и анализа пациентов для данного исследования

CONSORT: сводные стандарты отчетности по испытаниям

Демография

Демография пациентов представлена ​​в таблице.

Таблица 1

Демография зарегистрированных пациентов

ИМТ: индекс массы тела

Ашваганда Плацебо ANOVA
Среднее значение SD Среднее значение Среднее значение SD 95% C. I. F p
Набор данных Intent-to-treatment (ITT) (n = 60)
N 408
Возраст (лет.) 38,83 5,00 37,23 — 40,42 40,00 6,21 37,09 — 42,90 0,626 0,432
ИМТ (кг / кв. м) — 28,00 25,89 6,02 23,07 — 28,71 0,695 0,408
Набор данных по протоколу (PP) (n = 48) 39 19
Возраст (лет.) 38,97 4,97 37,36 — 40,59 40,05 6,37 36,98 — 43,12 0,498 0,483
ИМТ (кг / кв. — 28,00 25,28 5,50 22,62 — 27,93 1,834 0,181
% 908 Пол (М / Ж)
Набор данных ITT 31/9 77. 5% / 22,5% 16/4 80,0% / 20,0% 0,8261
Набор данных PP 31/8 79,5% / 20,5% 78,9% / 21,1% 0,9263

Две группы были схожи по возрасту, индексу массы тела (ИМТ) и гендерному распределению на исходном уровне.

Параметры сна и результаты актиграфии

Параметры сна регистрировались с помощью часов для актиграфии при скрининге, исходном уровне, 5-й и 10-й неделях (таблица), и все значения времени выражены в минутах.Исходно средние (SD) баллы SOL и средние баллы WASO для тестовой группы составляли 41,61 (6,84) и 42,69 (14,66) соответственно. Для контрольной группы значения составили 41,94 (6,98) и 44,00 (12,43) соответственно. Через 10 недель оценочные баллы по SOL и WASO составили 29,00 (7,14) и 33,05 (14,36), соответственно, зарегистрированные для экспериментальной группы. Для контрольной группы это было 33,94 (7,65) и 40,00 (12,26).

Таблица 2

Параметры сна с актиграфией у пациентов, завершивших исследование

SD ) — 6,84 30,2619 0,08 .00 (42,72) 29840 29840 мин.6 73,36 — 76,51 10838
Ашваганда (n = 39) Плацебо (n = 19) ANOVA
95% С.I. Среднее (SD) 95% C.I. F Sig.
Задержка перехода в спящий режим (мин)
Базовый уровень 41,62 (6,84) 3 0,030 0,864
5 недель 35,18 (7,04) 32,90 — 37,46 38. 11 (7,01) 34,73 — 41,48 2,215 0,142
10 недель 29,00 (7,15) 26,68 — 31,32 33,95 (7,66)
Общее время сна (мин)
Базовый уровень 261,77 (34,78) 250,49 — 273,04 242,41 — 283,59 0,014 0,907
5 недель 290,92 (35,61) 279,38 — 302,47 276,16 — 90,11 39
10 недель 311,62 (35,81) 300,01 — 323,22 292,37 (42,47) 271,90 — 312,84 3,265 0,076
Исходный уровень 42.69 (14,67) 37,94 — 47,45 44,00 (12,43) 38,01 — 49,99 0,112 0,740
5 недель 38,21 (14,42) 35.96 — 47.72 0.895 0.348
10 недель 33.05 (14.36) 28.40 — 37.71 40.00 (12.27) 34.09 — 45.98

0 в постели (мин)

Исходный уровень 346. 08 (44,48) 331,66 — 360,50 348,95 (47,81) 325,90 — 371,99 0,051 0,823
5 недель 364,31 (45,23) 349 332,87 — 379,34 0,403 0,528
10 недель 373,67 (45,04) 359,07 — 388,27 366,32 (46,85) 343,7840.567
Эффективность сна
Исходный уровень 75,63 (2,70) 74,76 — 76,51 0,573
5 недель 79,91 (2,67) 79,04 — 80,77 77,35 (3,56) 75,64 — 79,07 9,356 0,003
недель 8349 (2,84) 82,57 — 84,41 79,68 (3,59) 77,95 — 81,41 19,265 <0,0001

После завершения исследования на 10-й неделе наблюдалось значительное снижение WASO оценки в экспериментальной группе относительно контрольной группы. Эффект от лечения очевиден по результату.

В случае общего времени сна среднее значение на исходном уровне составило 261,76 (34,78) для экспериментальной группы и 263.00 (42,72) для контрольной группы. В конце исследования зарегистрированные баллы составили 311,61 (35,80) для экспериментальной группы и 292,36 (42,46) для контрольной группы, соответственно. В отличие от результатов SOL и WASO, в экспериментальной группе было зарегистрировано значительное увеличение TST, TIB и SE по сравнению с контрольной группой. Результаты дисперсионного анализа параметров сна между группами и внутри групп представлены в таблице (приложения).

Результат предполагает, что среднее общее время сна значительно увеличилось в экспериментальной группе после лечения.В продолжение вышеупомянутых наблюдений, среднее изменение общего времени нахождения в постели (TIB) было отмечено выше в экспериментальной группе лечения по сравнению с аналогами, получавшими плацебо (контроль). Исходно общее время нахождения в постели составляло 346,08 (44,48) для экспериментальной группы и 348,94 (47,81) для контрольной. В конце исследования (10-я неделя) полученное общее время нахождения в постели было зарегистрировано как 373,66 (45,03) для экспериментальной группы и 366,31 (46,84) для группы плацебо или контрольной группы. Среднее значение SE на исходном уровне было 75.63 (2,70) для опытной группы и 75,14 (3,73) для контрольной группы. Задокументированные значения в конце исследования составили 83,48 (2,83) для экспериментальной группы и 79,68 (3,58) для контрольной группы, соответственно. Разница в средних изменениях между двумя группами лечения была статистически значимой (P <0,001).

Сравнительный анализ был проведен между плацебо и тестовой группой, чтобы понять различия в производительности участников между различными параметрами сна, такими как SOL, TST, TIB и эффективность сна, как представлено в таблице.Значения стандартного отклонения между исходными измерениями параметров и неделей 5 и 10 предполагают существенные различия наряду со значительным влиянием тестируемого продукта в конце исследования. Отличное улучшение наблюдалось в отношении TST, TIB и общей эффективности сна в экспериментальной группе.

Цифры — представляют тенденцию, наблюдаемую на протяжении всего исследования для рассматриваемых параметров, то есть SOL, TST, WASO, TIB и SE, соответственно.

Задержка начала сна (минуты)

Эффективность сна (актиграфия)

Пробуждение после начала сна (минуты)

Общее время в постели (минуты)

Результаты PSQI

Высший балл PSQI Изменения для тестовой группы были задокументированы в конце исследования по сравнению с исходными значениями.Средний балл PSQI на исходном уровне составлял 13,07 (1,51) и 9,15 (1,82) в конце исследования для тестовой группы. Для сравнения, средний PSQI для контрольной группы, зарегистрированный на исходном уровне, составлял 13,47 (1,38), а в конце исследования — 11,8 (1,46). Таблица и рисунок демонстрируют оценки PSQI обеих групп на исходном уровне, на 5-й и 10-й неделе. Наблюдалось значительное снижение показателей PSQI экспериментальной группы по сравнению с контрольной группой. Постепенное снижение показателей PSQI заметно на рисунке для обеих групп.Сравнительная оценка также показывает, что лечение порошком экстракта корня Ашваганды показало лучший результат по сравнению с группой плацебо.

Общее время сна (минуты)

Таблица 3

Оценка качества сна (PSQI)

ANOVA
Ашваганда (n = 39) Плацебо (n = 19)
Среднее (СО) 95% ДИ Среднее (СО) 95% C.I. F Sig.
Исходный уровень 13,08 (1,51) 12,59 — 13,57 13,47 (1,39) 12,80 — 14,29 0,927 0,340
8 5 недель 12,63 (1,50) 11,91 — 13,35 15,054 <0,0001
10 недель 9,15 (1,83) 8,56 — 9,75 11. 84 (1,46) 11,14 — 12,55 31,221 <0,0001

Индекс качества сна Питтсбурга (PSQI)

Исходы тревожности

Для определения шкалы тревожности Гамильтона. Наблюдалось значительное снижение оценки HAM-A для экспериментальной группы по сравнению с контрольной группой. Исходно баллы по шкале HAM-A составляли 23,58 (3,15) и 23,42 (3,00) для экспериментальной и контрольной групп соответственно.На 10 неделе баллы по шкале HAM-A составили 18,48 (3,47) и 21,52 (3,22) соответственно. Таблица и рисунок демонстрируют оценки HAM-A обеих групп на исходном уровне, на 5-й и 10-й неделе. Лечение Ашвагандой привело к сравнительно более низким значениям, чем у аналогов плацебо.

Таблица 4

Показатели тревоги (HAM-A)

Ашваганда (n = 39) Плацебо (n = 19) ANOVA
95% С. I. Среднее (SD) 95% C.I. F Sig.
Исходный 23,59 (3,15) 22,57 — 24,61 23,42 (3,01) 21,97 — 24,87 0,038 0,847 19840
5 недель 22,37 (3,22) 20,82 — 23,92 3,437 0,069
10 недель 18,49 (3,48) 17.36 — 19,61 21,53 (3,22) 19,97 — 23,08 10,222 0,002

Умственная активность при пробуждении и качестве сна

Превосходное сенсорное восприятие при приемлемом активном внимании считается умственным осознаванием. Отмечается более низкая бдительность из-за истощения, недостатка энергии, сонливости и т. Д., Тогда как альтернативные условия могут позволить человеку быть наиболее активным. Психическая активность при вставании у пациентов, рассматриваемых в этом исследовании, оценивалась как бдительность (1 балл), легкая сонливость (2 балла) и очень сонливость (3 балла).Данные по умственной активности представлены в таблице.

Таблица 5

Умственная активность при вставании (% пациентов)

908 408
Ашваганда (n = 39) Плацебо (n = 19) U-тест Манна-Уитни
% % 2 p
Базовая линия 10. 3% 4 21,1% 0,019 0,890
Слегка сонный 23 59,0% 8 42,1% 42,1% 30,8% 7 36,8%
5 недель
Alert39. 1% 10 52,6% 0,910 0,340
Слабая сонливость 11 28,2% 6 31,6% 31,6% 7,7% 3 15,8%
10 недель
Alert392% 10 52,6% 1,839 0,175
Слегка сонливость 11 28,2% 7 36,8% 2,6% 2 10,5%

Больше пациентов с Ашвагандой были бдительными по сравнению с плацебо через пять недель (p, 0,340) и 10 недель (p, 0. 175). Постепенное улучшение от исходного уровня к окончательной оценке на десятой неделе было отмечено в обеих группах.

Качество сна оценивалось по шкале, указанной в разделе о методах. Статистические результаты проверки непараметрических гипотез на пациентах по протоколу представлены в таблице. Качество сна постепенно улучшается в группе, получавшей ашваганда, тогда как в группе плацебо улучшения не наблюдается. Лучшее улучшение при тестируемом лечении по сравнению с плацебо можно увидеть, поскольку значение p снизилось за период исследования (исходный уровень, p = 0.697; пять недель, p = 0,281 и через 10 недель, p = 0,002).

Таблица 6

Качество сна (% пациентов)

. 4% %
Ашваганда (n = 39) Плацебо (n = 19) U-тест Манна-Уитни
% % 2 p
Базовый уровень 8 42,1%
Очень плохо 7 17,9% 4 21,1%
Очень хорошо 1 2.4% 6 31,6%
Плохое 13 33,3% 8 42,1%
Низкое3%
Отлично 1 2,6% 0 0,0% 9,481 0,002
Очень хорошо 839 Очень хорошо 8394% 6 31,6%
Плохо 6 15,4% 8 42,1%
Очень плохо 39 738 7% 3 15,8%

Результаты безопасности

Ни один из пациентов не сообщил о каких-либо побочных эффектах в течение периода исследования.

Обсуждение

Бессонница стала глобальной проблемой из-за современного городского образа жизни и других социально-экономических изменений. Недавнее глобальное исследование показывает, что бессонница стала распространенной проблемой, основными причинами которой являются жалобы на связанный стресс, апноэ во сне и гормональный дисбаланс.Часто хроническая усталость, эндокринологические проблемы, истощение энергии, недостаток внимания являются начальными исходами хронической бессонницы, за которой следует болезнь, связанная с легкими или тяжелыми болезненными состояниями, включая артериальное давление, депрессию, почечную недостаточность, когнитивные нарушения, диабет, сердечно-сосудистые заболевания и другие. . Уменьшение средней продолжительности сна и увеличение ежедневного стресса служат первым триггером бессонницы. Часто бессонницу становится клинически сложно идентифицировать и охарактеризовать, изучение истории болезни может помочь в понимании факторов, способствующих заболеванию, поведенческое лечение также рекомендовано Байссом [1].

Нынешняя линия лечения бессонницы является дискретной, и практикующие врачи пытались найти несколько вариантов, чтобы противостоять ситуации. Диапазон лечения варьируется от традиционных лекарств, таких как психоневрологические препараты, когнитивно-поведенческой терапии бессонницы (КПТ-I), точной медицины и альтернативных медицинских подходов. Ранее был предпринят ряд мер по борьбе с хронической бессонницей, включая нефармакологическое лечение, ограничение времени отхода ко сну, использование антагонистов рецепторов в отношении системы орексина при бессоннице во сне [25,26].Не было обнаружено, что ни одна из этих стратегий обеспечивает окончательное решение для хронических состояний бессонницы или бессонницы с началом сна. Обычные препараты для сна вызывают возвратную бессонницу и синдром отмены, тогда как у пожилых пациентов часто наблюдается снижение когнитивных функций. Таким образом, альтернативная медицина может предоставить разумное решение в этом отношении. Были рекомендованы различные методы использования альтернативной медицины, включая индивидуальные терапевтические испытания с применением растительных продуктов [27].

Среди различных альтернативных подходов к борьбе с бессонницей, лечение травами показало многообещающие.Ряд травяных источников показали разумный результат, включая Ашвагандху. Применение Ашваганды наряду с традиционной аюрведической системой также дало желаемый результат [28]. Доказанная эффективность и безопасность использования Ашваганды в клинических исследованиях были задокументированы ранее, включая репродуктивные проблемы, стресс и беспокойство, кардиореспираторную выносливость и другие заболевания [16,18,29].

Настоящее исследование является первым отчетом в направлении клинических исследований, в котором проводится научное клиническое исследование для понимания влияния экстракта корня ашваганды на качество сна в рассматриваемой популяции пациентов.В это исследование были включены различные параметры сна, а также уровень тревожности в течение 10-недельного периода лечения, а результаты сравнивались с плацебо с помощью рандомизированного двойного слепого контролируемого клинического исследования. При использовании экстракта корня ашваганды у пациентов, страдающих бессонницей, по сравнению с группой плацебо наблюдалось значительное улучшение различных компонентов качества сна, латентного периода начала сна и снижения тревожности. Kaushik et al. сообщили, что активный ингредиент листьев ашваганды, такой как триэтиленгликоль, может вызывать сон у мышей за счет сокращения латентного периода начала сна NREM [30].

Настоящее 10-недельное исследование сообщает о продемонстрированном влиянии значительного улучшения параметров сна SOL, SE, PSQI и параметров тревоги HAM-A. Полученные различия с группой плацебо были обнаружены статистически значимыми, что свидетельствует о существенном влиянии Ашваганды на улучшение сна и снижение беспокойства субъектов.

Ограничения

Размер адаптированной выборки исследования был достаточно большим для получения статистических выводов, но не достаточным, чтобы сделать общий вывод о влиянии использованной добавки.Большое рандомизированное контролируемое исследование может дать дополнительную информацию, касающуюся безопасности и эффективности растительного продукта для всей популяции. Более того, хотя у включенных в исследование субъектов были проблемы со сном, ни у одного из них не было психологического или какого-либо другого системного заболевания. Исследования, в которых использовался более широкий набор клинических данных, были бы полезными. Аналогичным образом следует увеличить продолжительность исследования, чтобы понять долгосрочное влияние Ашваганды на пациентов с бессонницей и тревогой.

Выводы

Известно, что доступные традиционные методы лечения бессонницы вызывают лекарственную зависимость и вызывают побочные эффекты.Экстракт ашваганды — это натуральное соединение, вызывающее сонливость, хорошо переносится и улучшает качество сна и задержку наступления сна у пациентов с бессонницей в дозе 300 мг экстракта дважды в день. Это может быть потенциальным кандидатом для лечения бессонницы и беспокойства.

Благодарности

Авторы благодарят Ixoreal Biomed Inc., Лос-Анджелес, Калифорния, США, за предоставленный экстракт корня ашваганды KSM-66, использованный в исследовании.

Приложения

Таблица 7

График исследования

Day ± 2 дня X √
Визит V1 V2 V3 V4
Day Day Day Day Day Day 10 недель ± 2 дня
Информированное согласие X X X
Демографические данные и история болезни X
Скрининг и регистрация X X X
Физикальное обследование и жизненно важные параметры Выдача лекарств X X
Actiwatch (актиграфия сна)
Индекс качества сна Питтсбурга (PSQI)
Hamilton X40840 √ Шкала оценки тревожности
Психическая настороженность при вставании X
Качество сна 8 √ √ Log X
Соответствие лекарственным средствам X X
Побочные эффекты √ 9038 9038 Сопутствующие заболевания X X X
Сопутствующие лекарства
Завершение / прекращение исследования X X X

Таблица 8

Таблица ANOVA для параметров сна в наборе данных PP4 WASO22 (n = 9 Пробуждение после засыпания; ANOVA: дисперсионный анализ; PP: По протоколу.

47839 8408

9038 Время (мин.) — 5 недель

мин. 908 Группы — 10 недель 10745. 879 между группами034 40
Сумма квадратов df Среднее квадратическое F Sig.
Задержка начала сна (мин.) — базовый уровень между группами 1,408 1 1,408 0,030 0,864
Итого 2657.586 57
Задержка начала сна (мин. ) — 5 недель Между группами 109,363 1 109,363 8 2.215 908 Группы 2765,533 56 49,385
Итого 2874,897 57
Вкл.) — 10 недель Между группами 312,708 1 312,708 5,847 0,019
Внутри групп 2994,947 56 538,481 9038

57
Общее время сна (мин. ) — Исходное значение Между группами 19,353 1 19.353 .014 0,907
Внутри групп 78826,923 56 1407,624
Всего 839 78839 9038 Между группами 2785,273 1 2785,273 1,898 0,174
Внутри групп 82183. 296 56 1467,559
Всего 84968,569 57
1 4732.762 3,265 0,076
Внутри групп 81179.652 56 1449.637 85840
Всего414 57
WASO (мин. ) — базовый уровень Между группами 21.847 1 21.847 .30847 . 56 195,684
Всего 10980.155 57
WASO (мин.) — 5 недель Между группами 168,994 1 168,994 .895 0,348
Внутри групп 10576,885 56 57
WASO (мин.) — 10 недель Между группами 616.878 1 616.878 3,276 0,076
Внутри группы 10545,897 56 188,320
Всего 11162.776 9038

9040 (мин.) — Базовый уровень

Между группами 105,266 1 105,266 0,051 0,823
Внутри групп 116343. 717 56 2077,566
Всего 116448,983 57
8 Между группами (мин. 1 859,558 .403 0,528
Внутри групп 119558,097 56 2134,966
Всего655 57
Время в постели (мин. ) — 10 недель Между группами 690,349 1 690,349 . 116588.772 56 2081.942
Итого 117279.121 57
1 3,034 .322 0,573
Внутри групп 527,412 56 9,418
Эффективность сна (SE) — 5 недель Между группами 83,290 1 83,290 9,356 0,003
Внутри групп 498. 508 56 8.902
Всего 581,798 57
908
Эффективность сна между группами (SE839) 184,805 19,265 <0,0001
Внутри групп 537,192 56 9,593
Всего 997 57

Примечания

Содержание, опубликованное в Cureus, является результатом клинического опыта и / или исследований, проведенных независимыми лицами или организациями. Cureus не несет ответственности за научную точность или надежность данных или выводов, опубликованных в данном документе. Весь контент, опубликованный в Cureus, предназначен только для образовательных, исследовательских и справочных целей. Кроме того, статьи, опубликованные в Cureus, не должны считаться подходящей заменой рекомендаций квалифицированного специалиста в области здравоохранения.Не пренебрегайте и не избегайте профессиональных медицинских консультаций из-за материалов, опубликованных в Cureus.

Авторы заявили об отсутствии конкурирующих интересов.

Этика человека

Согласие было получено всеми участниками этого исследования. Комитет по институциональной этике, больница Снехал, Тейн, Махараштра, Индия, выдал одобрение KSM / Ins / Ad / 2014 dt. 30.10.2014. Одобрение Независимого комитета по этике (НЭК) было получено в виде письма от 30 октября 2014 г. от комитета по институциональной этике, больница Снехал, Тейн, Махараштра, Индия.

Этика животных

Животные: Все авторы подтвердили, что в этом исследовании не участвовали животные или ткани.

Список литературы

2. Бессонница и смертность: метаанализ. Ловато Н., Lack L. Sleep Med Rev.2019; 43: 71–83. [PubMed] [Google Scholar] 5. Фитопрепараты, используемые при лечении хронической бессонницы, и их влияние на сон: обзор. Харрис Т., Никлес Дж. Дж. Дополнение Med Alt Healthcare. 2018; 6: 555680. [Google Scholar] 6.Aloyia citriodora Palau (вербена лимонная) для пациентов с бессонницей: рандомизированное двойное слепое плацебо-контролируемое клиническое испытание эффективности и безопасности. Афрасиабиан Ф., Ардакани М.М., Рахмани К. и др. Phytother Res. 2019; 33: 350–359. [PubMed] [Google Scholar] 7. Обзор биологической активности и потенциальной пользы для здоровья чая из перечной мяты (Mentha piperita L.) McKay DL, Blumberg JB. Phytother Res. 2006. 20: 619–633. [PubMed] [Google Scholar] 9. Withania somnifera: индийский женьшень. Kulkarni SK, Dhir A. Prog Neuropsychopharmacol Biol Psychiatry.2008. 32: 1093–1105. [PubMed] [Google Scholar] 10. Водный экстракт корня Withania somnifera ингибирует образование фибрилл амилоида b in vitro. Кумар С., Харрис Р.Дж., Сил С.Дж., Окелло Э.Дж. Phytother Res. 2012; 26: 113–117. [PubMed] [Google Scholar] 11. Взаимосвязь между хондропротекторным и противовоспалительным действием корня Withania somnifera и сульфата глюкозамина на остеоартрозный хрящ человека in vitro. Сумантран В.Н., Чандваскар Р., Джоши А.К., Боддул С., Патвардхан Б., Чопра А., Ваг УФ. Phytother Res.2008; 22: 1342–1348. [PubMed] [Google Scholar] 12. Механизм кардиозащитного действия Withania somnifera при экспериментально индуцированном инфаркте миокарда. Моханти I, Арья Д.С., Динда А., Талвар К.К., Джоши С., Гупта С.К. Basic Clin Pharmacol Toxicol. 2004. 94: 184–190. [PubMed] [Google Scholar] 14. Влияние Withania somnifera на чувствительность к инсулину у крыс с инсулинозависимым сахарным диабетом. Анвер Т., Шарма М., Пиллай К.К., Икбал М. Базовый Clin Pharmacol Toxicol. 2008. 102: 498–503. [PubMed] [Google Scholar] 15.Нейропротекторные эффекты Withania somnifera Dunal: возможный механизм. Бхатнагар М., Шарма Д., Салви М. Neurochem Res. 2009; 34: 1975–1983. [PubMed] [Google Scholar] 16. Клиническая оценка сперматогенной активности экстракта корня ашваганды (Withania somnifera) у олигоспермических самцов: пилотное исследование. Ambiye VR, Langade D, Dongre S, Aptikar P, Kulkarni M, Dongre A. Evid Based Complement Alternat Med. 2013; 2013: 6. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 17. Эффективность и безопасность экстракта корня ашваганды (Withania somnifera) в улучшении сексуальной функции у женщин: пилотное исследование.Донгре С., Лангаде Д., Бхаттачарья С. Biomed Res Int. 2015; 2015: 9. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 18. Проспективное рандомизированное двойное слепое плацебо-контролируемое исследование безопасности и эффективности высококонцентрированного экстракта полного спектра корня ашваганды в снижении стресса и беспокойства у взрослых. Чандрасекхар К., Капур Дж., Анишетти С. Индиан Дж. Психол Мед. 2012; 34: 255–262. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 19. Эффективность и безопасность экстракта корня ашваганды (Withania somnifera (L.) Dunal) для улучшения памяти и когнитивных функций.Choudhary D, Bhattacharyya S, Bose S. J Diet Suppl. 2017; 14: 599–612. [PubMed] [Google Scholar] 20. Рандомизированное плацебо-контролируемое дополнительное исследование экстракта Withania somnifera для когнитивной дисфункции при биполярном расстройстве. Chengappa KN, Bowie CR, Schlicht PJ, Fleet D, Brar JS, Jindal R.J Clin Psychiatry. 2013; 74: 1076–1083. [PubMed] [Google Scholar] 21. Изучение влияния добавки Withania somnifera на мышечную силу и восстановление: рандомизированное контролируемое исследование. Ванкхеде С., Лангаде Д., Джоши К., Синха С.Р., Бхаттачарья С.J Int Soc Sports Nutr. 2015; 12:43. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 22. Использование актиграфии для оценки нарушений сна и нарушений циркадного ритма сна и бодрствования: систематический обзор Американской академии медицины сна, метаанализ и оценка GRADE. Смит М.Т., МакКрэй С. С., Чунг Дж., Мартин Дж. Л., Харрод К. Г., Хилд Дж. Л., Карден К. А.. J Clin Sleep Med. 2018; 14: 1209–1230. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 23. Индекс качества сна Питтсбурга: новый инструмент для психиатрической практики и исследований.Buysse DJ, Reynolds CF, Monk TH, Berman SR, Kupfer DJ. Psychiatry Res. 1989; 28: 193–213. [PubMed] [Google Scholar] 25. Когнитивные и поведенческие методы лечения бессонницы: метаанализ. Стратен А. В., Зверде ТВД, Клейбоер А., Куйперс П., Морин С. М., Ланси Дж. Сон Мед Ред. 2018; 38: 3–16. [PubMed] [Google Scholar] 26. Нефармакологическое лечение хронической бессонницы. Морин С.М., Хаури П.Дж., Эспи, Калифорния, Шпильман А.Дж., Байси Диджей, Бутзин Р.Р. Спать. 1999; 22: 1134–1156. [PubMed] [Google Scholar] 27. Альтернативные средства от бессонницы: предлагаемый метод для индивидуальных терапевтических испытаний.Ромеро К., Гопараджу Б., Руссо К., Вестовер МБ, Бьянч М.Т. Nat Sci Sleep. 2017; 9: 97–108. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 29. Эффективность Ашваганды (Withania somnifera [L.] Dunal) в улучшении кардиореспираторной выносливости у здоровых взрослых спортсменов. Чоудхари Б., Шетти А., Лангаде Д.Г. Аю. 2015; 36: 63–68. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 30. Триэтиленгликоль, активный компонент листьев ашваганды (Withania somnifera), отвечает за индукцию сна. Каушик М.К., Каул С.К., Вадхва Р., Янагисава М., Ураде Ю.PloS One. 2017; 12: 172508. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

Эффективность и безопасность экстракта корня ашваганды (Withania somnifera) при бессоннице и тревоге: двойное слепое рандомизированное плацебо-контролируемое исследование

Введение Бессонница — распространенное нарушение сна, которое может серьезно повлиять на физическое и психическое здоровье человека. Большинство доступных в настоящее время лекарств от бессонницы обладают побочными эффектами. Следовательно, альтернативные лечебные травы могут быть эффективными при лечении бессонницы. Ашваганда, проверенная «Расаяна» из древней Аюрведы, обладает необходимым потенциалом для лечения бессонницы. Цель: определить эффективность и безопасность экстракта корня Ашваганды у пациентов с бессонницей и тревожностью. Методы. Это было рандомизированное двойное слепое плацебо-контролируемое исследование, проведенное в больнице Пракрути, Калва, Махараштра, Индия. В общей сложности 60 пациентов были случайным образом разделены на две группы: тестовую (n = 40) и плацебо (n = 20) в соотношении рандомизации 2: 1. Исследуемый продукт представлял собой капсулу, содержащую 300 мг экстракта корня ашваганды полного спектра полного спектра, а плацебо представляло собой идентичную капсулу, содержащую крахмал.Обе процедуры проводились дважды в день с молоком или водой в течение 10 недель. Актиграфия сна (Respironics Philips) использовалась для оценки латентности начала сна (SOL), общего времени сна (TST), эффективности сна (SE) и пробуждения после наступления сна (WASO). Другими оценками были общее время нахождения в постели (журнал сна), умственная активность при вставании, качество сна, шкала Питтсбургского индекса качества сна (PSQI) и шкала оценки тревожности Гамильтона (HAM-A). Результаты. Два пациента, по одному из каждой группы, не завершили исследование, а набор данных по протоколу (n = 58) включал 29 и 19 пациентов из теста и плацебо, соответственно.Исходные параметры были аналогичными в двух группах на исходном уровне. Задержка засыпания улучшилась как в тесте, так и в плацебо через 5 и 10 недель. Тем не менее, SOL был значительно короче (p, 0,019) через 10 недель с тестом [29,00 (7,14)] по сравнению с плацебо [33,94 (7,65)]. Кроме того, значительное улучшение показателей SE наблюдалось с Ашвагандой, которое составляло 75,63 (2,70) для теста на исходном уровне и увеличилось до 83,48 (2,83) через 10 недель, тогда как для плацебо баллы SE изменились с 75,14 (3.73) на исходном уровне до 79,68 (3,59) через 10 недель. Аналогичным образом, значительное улучшение качества сна наблюдалось при использовании теста по сравнению с плацебо (p, 0,002). Значительное улучшение наблюдалось во всех других параметрах сна, то есть SOL, SE, PSQI и тревоге (баллы HAM-A) при лечении экстрактом корня ашваганды в течение 10 недель. Заключение Экстракт корня ашваганды — это натуральное соединение, обладающее способностью вызывать сон, хорошо переносимое и улучшающее качество сна и задержку наступления сна у пациентов с бессонницей в дозе 300 мг экстракта дважды в день.Это может быть потенциально полезно для улучшения параметров сна у пациентов с бессонницей и тревогой, но требует дальнейших крупномасштабных исследований.

Ключевые слова: актиграфия; беспокойство; ашваганда; бессонница; эффективность сна; задержка начала сна; просыпаться после засыпания.

Экстракт корня одуванчика

Одуванчик — это хорошо известное и ценное растение с долгой историей использования в традиционных лечебных травах во всем мире.Хотя одуванчик производится в промышленных масштабах, он растет практически во всем мире. В то время как широко известное растение живучие и хорошо растет в различных климатических условиях, оно дает более крепкие корни на влажных, богатых и глубоких почвах. Свежий корень одуванчика, используемый в нашем экстракте, органически выращивается в Соединенных Штатах.

Taraxacum officinale — это многолетнее растение с солнечной цветочной головкой, состоящей из сотен крошечных цветков, глубоко срезанных листьев, образующих базальную розетку, и толстого стержневого корня, коричневого снаружи и белого внутри.Цветки одуванчика, принадлежащие к семейству сложноцветных, закрываются вечером или в пасмурную погоду и снова раскрываются утром, как и его двоюродная сестра календула. Когда цветок закрыт, он может напоминать нос свиньи, отсюда одно из его общих названий — морда свиньи. Натурализованный во всем мире одуванчик обычно растет вдоль дорог и на лужайках как обычный сорняк.

Одуванчик тысячелетиями использовался в традиционной китайской медицине (ТКМ), аюрведе, традиционной арабской медицине с десятого века и других народных методах лечения.Исторически это растение использовалось как тонизирующее средство, съедобная пища, а также в пиве и винах с травами. В Соединенных Штатах различные культуры коренных народов считали одуванчик ценным съедобным продуктом и использовали корень для здорового функционирования желудочно-кишечного тракта в качестве альтернативного средства и для местного применения. Согласно традиционной китайской медицине, одуванчик считается энергетически сладким, сушащим и охлаждающим веществом, и его часто использовали для отвода тепла от печени. Он также использовался в традиционной китайской медицине из-за его благотворного воздействия на желудок и легкие, а также для улучшения настроения.Одуванчик традиционно использовался во многих медицинских системах для поддержания здоровья пищеварительной и желудочно-кишечного тракта. *

Молодую зелень одуванчика часто добавляют в салаты, супы и весенние песто из-за их слегка горьковатого хруста. Старые листья обжаривают и обрабатывают так же, как шпинат, или сушат и превращают в чай. Корень одуванчика обычно собирают весной или осенью и заваривают в виде чая из одуванчика, превращают в смеси травяного чая, превращают в экстракт одуванчика или добавляют в рецепты по уходу за телом.

Наш экстракт одуванчика изготовлен из свежих органических корней и органического зернового спирта. Слегка горьковатый и землистый по вкусу, он может быть добавлен к ряду экстрактов, включая экстракт корня лопуха, экстракт крапивы и экстракт корня винограда Орегон. Добавьте настойку одуванчика в воду или сок или добавьте оздоровительный эффект в чашку чая с кофеином или травяного чая, такого как классический чай, весенний зеленый чай или чай с чакрой 5 th .

Состав
Органический зерновой спирт, дистиллированная вода и свежий органический корень одуванчика.

Упаковка и доставка
• 1 унция, 2 унции и 4 унции. экстракты поставляются во флаконах из янтарного стекла с пипеткой.
• 8 унций. и 16 унций. Размеры поставляются во флаконах из янтарного стекла с пластиковой навинчивающейся крышкой и не включают пипетку.
• 32 унции. экстракты поставляются в пластиковых флаконах с пластиковой завинчивающейся крышкой.

Обратите внимание: Все объемы по 8 унций. и крупнее изготавливаются на заказ. Пожалуйста, дайте еще три дня на обработку.

Меры предосторожности
Меры предосторожности неизвестны.Мы рекомендуем вам проконсультироваться с квалифицированным практикующим врачом перед использованием растительных продуктов, особенно если вы беременны, кормите грудью или принимаете какие-либо лекарства.

* Это утверждение не было проверено Управлением по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов. Этот продукт не предназначен для диагностики, лечения или предотвращения каких-либо заболеваний. Только для образовательных целей.

СО2 экстракт корня имбиря | Растительная терапия

Чтобы просмотреть варианты доставки, перейдите к любому товару и нажмите «Оценить доставку» или добавьте товары в корзину.По мере прохождения процедуры оформления заказа вам будет указано стоимость доставки. Если вам не нравится стоимость доставки, вы можете отменить свой заказ до того, как ваш платеж будет обработан.

  • Бесплатная доставка (Бесплатная для всех розничных клиентов в США. Ориентировочная доставка 2-5 рабочих дней. Доставка в тот же день, если заказ размещен до 12:00 MST.)
  • USPS Priority Mail (Обновление всего за 4,99 доллара США. Ориентировочная доставка 2 — 3 рабочих дня.)
  • Экспресс-почта USPS (Стоимость будет указана при оформлении заказа.Приблизительная доставка 1-2 рабочих дня.)
  • FedEx 2 дня (Стоимость будет указана при оформлении заказа. Ориентировочная доставка 2 рабочих дня.)
  • FedEx Overnight (Стоимость будет указана при оформлении заказа. Ориентировочная доставка 1 рабочий день.)

* ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: Наше ежедневное время доставки — 12:00 PM MST. Если вы сделаете заказ после 12:00 PM MST, ваш заказ может быть отправлен на следующий рабочий день. Расчетные сроки доставки указаны в рабочих днях и не включают выходные.Пожалуйста, внимательно выбирайте способ доставки во время оформления заказа, чтобы ваш заказ был доставлен в нужную вам дату.

Мы отправляем по всему миру. Расчетное время международной доставки составляет 7-21 рабочий день. Чтобы увидеть наши очень доступные тарифы на доставку, перейдите к любому товару и нажмите «Рассчитать стоимость доставки» или добавьте товары в корзину. По мере прохождения процедуры оформления заказа вам будет указано стоимость доставки. Если вам не нравится стоимость доставки, вы можете отменить свой заказ до того, как ваш платеж будет обработан.

Бесплатная международная доставка

**
  • Канада розничные покупатели получают бесплатную доставку при покупке на сумму 75 долларов и более. Все посылки отправляются с уплаченными пошлинами, таможенными пошлинами и налогами.
  • Бельгия, Хорватия, Дания, Эстония, Финляндия, Франция, Германия, Гибралтар, Гонконг, Венгрия, Ирландия, Израиль, Италия, Япония, Латвия, Литва, Люксембург, Малайзия, Мальта, Нидерланды, Новая Зеландия, Португалия, Россия , Сингапур, Южная Корея, Испания, Швеция и Швейцария розничных покупателя получают бесплатную доставку при покупке на сумму 75 долларов и более. Все посылки отправляются без уплаты пошлин, таможенных пошлин и налогов. Покупатель несет ответственность за оплату доставки.
  • Великобритания розничные покупатели получают бесплатную доставку при покупке на сумму 75 долларов и более. Все посылки отправляются с уплаченными пошлинами, таможенными пошлинами и налогами.
  • Бразилия к сожалению, в настоящее время мы приостановили будущие поставки в Бразилию.

** ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: Бесплатная международная доставка не включает нашу оптовую категорию и все отдельные товары, вес которых превышает 4.4 фунта. Plant Therapy выберет способ доставки для международных отправлений, для которых предусмотрена бесплатная доставка.

Наша цель — помочь вам и вашей семье жить более счастливой и здоровой жизнью, в том числе обеспечить, чтобы вы были полностью удовлетворены своей покупкой. Если по какой-либо причине вы недовольны своим продуктом Plant Therapy, мы предлагаем 100% гарантию возврата денег в течение 90 дней с момента покупки. Прошло больше 90 дней? Не волнуйтесь, мы по-прежнему будем рады зачислить на ваш счет сумму возврата.

Заполните форму ЗДЕСЬ , чтобы начать процесс возврата. Обработка возврата может занять до 5 рабочих дней.

Обратите внимание, что при оптовых заказах не действуют дополнительные рекламные акции, и они не суммируются с другими скидками. Обратите внимание, что массовые заказы не подлежат возврату, замене, обмену или возмещению. Если по какой-либо причине вы чувствуете, что есть проблемы с качеством вашего наливного масла, сообщите об этом оптовым специалистам в течение 10 дней с момента доставки и отправьте небольшой образец обратно для тестирования.
При утвержденном оптовом возврате с исправными дефектами или повреждениями взимается комиссия за возврат в размере 20%.

Оптовая торговля: 1-888-912-6293
Электронная почта: [электронная почта защищена]
Часы работы: понедельник-четверг с 6:00 до 17:00. и пятница с 6:00 до 16:00.

Удаление зуба — Удаление остаточного корня зуба хирургическим путем

Когда остатки корня зуба остаются в результате неполного предшествующего удаления, удаление этого остаточного корня покрывается настоящим Кодексом стоматологической процедуры.

С процедурной точки зрения хирургическое удаление остаточного корня зуба — несложное мероприятие. Ваш стоматолог назначит местный анестетик, чтобы обезболить пораженную область, или, если вы слишком беспокоитесь о процедуре, вам может назначить обезболивающее. Затем стоматолог сделает разрез вдоль линии десен, создав так называемый «хирургический лоскут». Этот «лоскут» ткани позволяет стоматологу получить доступ к кости на той стороне челюсти, которая окружает корень зуба.

После создания лоскута вашему стоматологу, вероятно, понадобится хирургический наконечник, чтобы аккуратно отслоить кость, чтобы обеспечить доступ к остаточному корню для удаления.После того, как корень станет видимым, если остаточный корень не может быть извлечен целиком, его, возможно, потребуется сегментировать (или вырезать), чтобы удалить.

После сегментации стоматологу, вероятно, придется «раскачивать» корень взад и вперед, чтобы облегчить его удаление. Это делается либо с помощью щипцов, либо с помощью стоматологического инструмента, известного как «подъемник», который похож на обычный рычаг и чем-то напоминает небольшую отвертку с плоской головкой.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск