Деление смешанных чисел: правило, примеры
В этой статье мы рассмотрим правило, по которому выполняется деление смешанных чисел. Как делить смешанные числа? Как разделить целое число на смешанную дробь? Как делить целое число на смешанную дробь и как смешанную дробь разделить на целое число? Ответы на эти вопросы вы будете знать после прочтения материала.
Деление смешанного числа на смешанное число
Деление смешанного числа на смешанное число удобнее всего свести к делению обыкновенных дробей. Как выглядит правило деления смешанных чисел? Сформулируем его.
Правило деления смешанных чиселЧтобы разделить смешанное число на смешанное число, нужно:
- Перевести делимое и делитель из смешанных чисел в вид обыкервенных дробей.
- Выполнить деление обыкновенных дробей.
Перейдем к примеру и разберем ход его решения.
Пример 1. Деление смешанного числа на смешанное числоПосле перевода смешанных чисел в неправильные дроби, получаем:
1135=1·35+135=3635
367=3·7+67=277
Теперь делим обыкновенные дроби и сокращаем результат:
3635÷277=3635·727=4·15·3=415.
На этом деление смешанных чисел окончено.
1135÷367=415.
Деление смешанного числа на натуральное число
В данном случае в обыкновенную дробь нужно переводить только делимое смешанное число. Ведь любое натуральное число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.
Пример 2. Деление смешанного числа на натуральное числоРазделим смешанное число 334 на натуральное число 75.
Переходим от смешанного числа к обыкновенной неправильной дроби:
334=3·4+34=154
Осуществляем деление и сокращаем:
334÷75=154÷75=154·75=120
На этом деление смешанного числа на натуральное число окончено.
Деление натурального числа на смешанное число
Как и в предыдущем пункте, такое деление сводится к переводу смешанного числа в обыкновенную дробь.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать заданиеЕдинственное отличие состоит в том, что раньше мы переводили в вид обыкновенной дроби делимое, а теперь будем обращать делитель.
Пример 3. Деление натурального числа на смешанное числоРазделим натуральное число 40 на смешанное число 8310.
Переведем делимое в вид обыкновенной дроби:
8310=8·10+310=8310
Теперь выполняем деление:
40÷8310=40÷8310=40·1083=40083.
Данная неправильная дробь несократима. Для удобства, можно перевести ее обратно в смешанное число
40083=46883.
Это и есть результат деления.
Деление смешанного числа на обыкновенную дробь
Как и все предыдущие случаи, деление смешанного числа на обыкновенную дробь также сводится к делению обыкновенных дробей. В любой непонятной ситуации переводите смешанное число в обыкновенную дробь!
Разделим смешанное число 2845 на дробь 2815.
Переводим делимое также в вид обыкновенной дроби:
2845=2·45+845=9845.
Делим, сокращаем и получаем ответ:
9845÷2815=9845·1528=983·28=9884=76=116
2845÷2815=116.
Смешанные числа (дроби), формулы и онлайн калькуляторы
Определение
Число, записанное в виде суммы натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом.
Рациональная дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если же числитель дроби равен или больше ее знаменателя, то дробь называется неправильной.
Пример
$\frac{3}{5}$ — правильная дробь;
$\frac{5}{3}$ — неправильная дробь.
Правильная дробь меньше единицы, неправильная — больше или равна единице.
Чтобы выделить наибольшее целое число, содержащееся в неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Если деление выполняется без остатка, то взятая неправильная дробь равна частному.
Слишком сложно?
Смешанные числа (дроби) не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Если деление выполняется с остатком, то неполное частное дает искомое целое число, остаток стает числителем искомой дробной части, а знаменатель совпадает со знаменателем неправильной дроби.
Пример
Задание. Представить неправильную дробь $\frac{16}{5}$ в виде суммы целого числа и правильной дроби.
Решение. Делим 16 на 5, получаем частное 3 и остаток 1. То есть $\frac{16}{5}=3+\frac{1}{5}$
Данное выражение можно было получить и так:
$\frac{16}{5}=\frac{15+1}{5}=\frac{15}{5}+\frac{1}{5}=3+\frac{1}{5}$
Число, записанное в виде суммы натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом.
Пример
$\frac{16}{5}=3+\frac{1}{5}=3 \frac{1}{5}$
Число $3 \frac{1}{5}$ является смешанным числом или смешанной дробью.
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.
Пример
Задание. Записать смешанное число $4 \frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби.
Решение. $4 \frac{3}{5}=\frac{4 \cdot 5+3}{5}=\frac{23}{5}$
Читать следующую тему: десятичные дроби.
Смешанные дроби. Правильные и неправильные дроби, формулы и примеры решений
Содержание:
Правильные и неправильные дроби
Например.
Дробь $\frac{11}{23}$ является правильной,
так как ее числитель, равный 11, меньше, чем знаменатель, который равен 23: 11
Определение
Дробь называется неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Например. Дробь $\frac{23}{11}$ — неправильная, так как 23 > 11 . Дробь $\frac{3}{3}$ — неправильная, так как числитель дроби равен ее знаменателю.
Смешанные дроби
Определение
Числа, в состав которых входит целое число и правильная дробь, называются смешанными числами.
Целое число называют целой частью смешанного числа, а правильная дробь называется дробной частью смешанного числа.
Например. Для смешанной дроби $3 \frac{11}{23}=3+\frac{11}{23}$ число 3 — целая часть, $\frac{11}{23}$ — дробная.
Неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа, для этого нужно числитель поделить на знаменатель. Полученное неполное частное будет целой частью смешанной дроби, остаток — числителем дробной части, а знаменатель исходной неправильной дроби — знаменателем дробной части.
Пример
Задание. Записать неправильную дробь $\frac{20}{3}$ в виде смешанной.
Решение. Поделим числитель дроби — 20 на ее знаменатель — 3 (то есть выделим целую часть):
Итак, получаем, что $\frac{20}{3}=20 : 3=$ 6 (остаток 2). А тогда искомая смешанная дробь
$\frac{20}{3}=6 \frac{2}{3}$
Ответ. $\frac{20}{3}=6 \frac{2}{3}$
Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, надо целую часть умножить на знаменатель дробной части, к полученному числу прибавить числитель дробной части и записать эту сумму в числитель, а знаменатель дробной части оставить без изменений.
Слишком сложно?
Правильные и неправильные дроби. Смешанные дроби не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!Пример
Задание.
Смешанное число
8$\frac{2}{3}$ записать в виде неправильной дроби.
Решение. $8 \frac{2}{3}=\frac{8 \cdot 3+2}{3}=\frac{26}{3}$
Ответ. $8 \frac{2}{3}=\frac{26}{3}$
Читать следующую тему: сравнение дробей.
Электронный справочник по математике для школьников арифметика дробь числитель дроби знаменатель дроби правильная дробь неправильная дробь смешанное число выделение целой части основное свойство дроби сокращение дробей несократимая дробь
Дробь. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Содержание
Дробь. Числитель и знаменатель дроби
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дробью называют одну или несколько одинаковых долей (частей) предмета или некоторой величины.
Дробь записывают при помощи двух натуральных чисел, одно из которых стоит над горизонтальной чертой, а второе – под нею.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число, стоящее над чертой, называют числителем дроби. Число, стоящее под чертой, называют знаменателем дроби.Числитель и знаменатель называют членами дроби.
Знаменатель дроби показывает, на сколько одинаковых долей мы делим предмет или величину, а числитель дроби показывает, сколько таких долей взято.
Например, дробь
у которой числитель равен 8 , а знаменатель равен 17 , означает, что предмет или величину мы делим на 17 равных долей (частей) и берем 8 таких долей.
ПРИМЕР 1. В классе 25 учеников, из которых посещают театральный кружок. Сколько учеников ходят в театральный кружок?
РЕШЕНИЕ. Для решения примера нужно 25 учеников разделить на 5 частей и взять 2 таких части.
ОТВЕТ. 10 учеников.
ПРИМЕР 2. Турист в первый день похода прошел намеченного маршрута, а во второй день – оставшиеся 24 километра. Сколько всего километров прошел турист?
| 1 день |
| 1 день |
| 1 день |
| 2 день |
| 2 день |
| 2 день |
| 2 день |
Рис. 1
Из рисунка 1 видно, что 24 километра составляют 4 из 7 частей маршрута. Таким образом, 1 часть маршрута равна
24 : 4 = 6 (км) ,
а весь маршрут равен
(км) .
ОТВЕТ. 42 километра.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если не указано, от какого предмета или какой величины берется дробь, то считают, что дробь взята от числа 1 .
Термин дробь имеет синонимы: простая дробь, обыкновенная дробь, рациональная дробь, дробное число.
Правильные и неправильные дроби.
Смешанные числаОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если у дроби числитель меньше знаменателя, то ее называют правильной дробью. В противном случае – неправильной дробью.
Из этого определения, в частности, вытекает, что правильная дробь меньше единицы, а неправильная — больше единицы или равна единице.
ПРИМЕР 3
– правильная дробь, и – неправильные дроби.
Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби. Эту операцию называют выделением целой части из неправильной дроби и осуществляют при помощи деления с остатком числителя неправильной дроби на знаменатель.
ПРИМЕР 4 .
Число является примером смешанного числа. Целое число 2 и правильную дробь называют целой и дробной частью смешанного числа соответственно.
Любое смешанное число всегда можно обратить в неправильную дробь, например,
Основное свойство дроби, сокращение дробей, несократимая дробь
Основным свойством дроби называют следующее
УТВЕРЖДЕНИЕ. Дробь превращается в равную дробь, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Операцию, при которой числитель и знаменатель дроби делят на одно и то же число, называют сокращением дроби.
ПРИМЕР 5.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Если числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, то такую дробь называют несократимой.
При помощи сокращений любую дробь можно превратить в равную ей несократимую дробь.
Десятичные дроби и смешанные числа в разных системах счисления
Автор — Лада Борисовна Есакова.
Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую обычно не вызывает проблем. А вот необходимость перевести десятичную дробь или смешанное число (число с целой и дробной частью) из системы в систему часто ставит в тупик даже сильных учеников.
1. Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой.
Для перевода смешанного числа в десятичную систему из любой другой следует пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа налево от младшего целого разряда. Разряды дробной части нумеруются слева направо от -1 в убывающем порядке. Теперь представим число в виде суммы произведений его цифр на основание системы в степени разряда числа и ответ готов.
Пример 1.
Переведите число 105,4 из восьмеричной системы в десятичную.
Решение:
Пронумеруем целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1 :
Посчитаем сумму произведений цифр числа на 8 (основание системы) в степени разряда числа:
Ответ:
2. Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую.
Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной 0 или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой.
Пример 2
Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых.
Решение:
Умножаем дробь 0,816, а затем дробную часть произведения (0,632) на 2 и выписываем целые части, начиная с первой:
Ответ:
Пример 3.
Переведите десятичное число 0,8125 в восьмеричную систему.
Решение:
Умножаем дробь 0,8125, а затем дробную часть произведения (0,5) на 8 и выписываем целые части, начиная с первой:
Ответ:
3. Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую
Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой.
Пример 4.
Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?
Решение:
Переведем целую часть числа в двоичную систему:
Переведем дробную часть числа в двоичную систему:
Соединим целую и дробную части:
14,12510 = 1110,0012
Количество единиц равно 4.
Ответ: 4
Дробные выражения — Математика в колледже
Десятичная дробь. Целая часть. Десятичная точка.
Десятичные знаки. Свойства десятичных дробей.
Периодическая десятичная дробь. Период.
Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционнойсистеме, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставитсядесятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками.
П р и м е р .
Одно из преимуществ десятичных дробей – они легко приводятся к виду обыкновенных: число после десятичной точки (в нашем случае 5047) – это числитель; знаменатель же равен n–ой степени 10, где n — количество десятичных знаков (в нашем случае n = 4):
Если десятичная дробь не содержит целой части, то перед десятичной точкой ставится ноль:
Свойства десятичных дробей.
1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули:
13.6 =13.6000.
2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные
в конце десятичной дроби:
0.00123000 = 0.00123 .
Внимание! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!
| 3. | Десятичная дробь возрастает в 10, 100, 1000 и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:
3.675 —> 367.5 (дробь возросла в 100 раз). |
| 4. | Десятичная дробь уменьшается в 10, 100, 1000 и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:
1536.78 —> 1.53678 (дробь уменьшилась в 1000 раз). |
Эти свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом. Период записывается в скобках. Например, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).
П р и м е р . Если разделить 47 на 11, то получим 4.27272727… = 4.(27).
Сложение и вычитание десятичных дробей.
Умножение десятичных дробей.
Деление десятичных дробей.
Сложение и вычитание десятичных дробей. Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел.
Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.
П р и м е р .
Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило:количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.
Замечание: до простановки десятичной точки в произведении нельзя отбрасывать нули в конце!
П р и м е р .
Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0.0197056.
Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на целое число
Если делимое меньше делителя, записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.
П р и м е р . Разделить 1.328 на 64.
Р е ш е н и е :
Деление одной десятичной дроби на другую.
Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом. Теперь выполняем деление, как в предыдущем случае.
П р и м е р . Разделить 0.04569 на 0.0006.
Р е ш е н и е. Переносим десятичные точки на 4 позиции вправо и делим 456.9 на 6:
1.2.2. Десятичные дроби
Глава 1. Арифметика
1.2.
1.2.2.
Дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и вообще , может быть записана в виде десятичной дроби.
Например, Аналогично можно записывать неправильную дробь и смешанное число, например По сути, десятичное число – просто удобная форма записи дроби с указанными знаменателями.
Рассмотрим десятичную дробь 3,1415. Имеем:
Таким образом, в десятичной дроби 3,1415 содержится 3 единицы, 1 десятая, 4 сотых, 1 тысячная, 5 десятитысячных. Вообще, в десятичной дроби может быть сколько угодно разрядов: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные, стотысячные и т. д.
Рассмотренную дробь можно записать так:
Ясно, что верно и обратное: десятичная дробь не изменится, если отбросить нули, стоящие справа в конце неё.
Например,
(нули, не стоящие в конце числа, отбрасывать нельзя).
Перечислим, как с десятичными числами можно проводить известные нам арифметические операции.
|
Модель 1.9. Сложение и вычитание десятичных дробей |
Сложение и вычитание. Сложение и вычитание десятичных чисел производится точно так же, как сложение и вычитание целых чисел, нужно только записывать одноимённые разряды один под одним. Например,
| 1 |
Умножение. Умножение десятичных дробей проводится следующим образом. Перемножаем данные числа, как целые, не обращая внимания на запятые. Затем ставим в произведении запятую по следующему правилу: число знаков после запятой в произведении равно сумме чисел знаков после запятой во всех сомножителях. Заметим, что до постановки запятой отбрасывать знаки нельзя.
|
Модель 1.10. Умножение и деление десятичных дробей |
Вычислить 0,225 ∙ 0,04.
|
225 ∙ 4 = 900. Число знаков после запятой должно быть 3 + 2 = 5. Приписывая к 900 нули слева (00900), отделяем справа пять знаков. Получаем 0,009. Итак, 0,225 ∙ 0,04 = 0,009. |
В частности, из этого правила следует, что десятичная дробь увеличится в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если запятую перенести через один, два, три и т. д. разряда вправо.
Пример 2Число 34,0945876 увеличится в 1000 раз, если мы напишем 34094,5876.
Десятичная дробь уменьшится в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если запятую перенести через один, два, три и т. д. разряда влево.
Пример 3Число 3409458,76 уменьшится в 100 раз, если мы напишем 34094,5876.
Деление. Деление десятичной дроби на натуральное число производится так же, как и натурального числа на натуральное. Запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части.
Пример 4Разделить 18,75 : 15.
Итак, 18,75 : 15 = 1,25. |
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых.
Пример 5Разделить 0,806 : 31.
Итак, 0,806 : 31 = 0,026. |
Для того чтобы разделить десятичную дробь (или целое число) на десятичное дробь, нужно отбросить запятую в делителе; в делимом же переносим запятую вправо на столько знаков, сколько их было в дробной части делителя (в случае необходимости в конце делимого приписывают нули). После чего делим полученное число на натуральное.
Пример 6Разделить 9,43 : 0,23.
Итак, 9,43 : 0,23 = 41. |
Пусть дана некоторая десятичная дробь, например 34,2741.
Если приписать справа (после запятой) к ней любое число нулей, то, как известно, значение этой дроби не изменится:
| 5 |
Если у десятичной дроби после запятой содержится бесконечно много знаков, то такая дробь называется бесконечной десятичной дробью. Справедлива важная теорема:
Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. |
Рассмотрим, например, дробь и будем делить числитель на знаменатель, постепенно получая десятичные знаки. При этом для нас будет важным то, что число 2 можно представить в виде 2,000…
Получаем:
| 6 |
Значит,
Если записать последовательно все получающиеся при этом делении остатки, то получится:
| 13, 11, 8, 12, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7, 2, 3, 13, … |
Если же период не начинается сразу после запятой, а ему предшествуют несколько цифр, то такая десятичная дробь называется смешанной периодической. Например, 0,234(2837468).
|
Модель 1.11. Обыкновенные и десятичные дроби |
Оказывается, что можно провести и обратную операцию, а именно, по любой десятичной дроби найти обыкновенную дробь, ей равную. Как это делается, покажем на примере.
Пример 7Обратить в обыкновенную дробь число 0,(15).
|
Обозначим искомую дробь через x: x = 0,(15). Умножим x на такое число, кратное 10, чтобы запятая переместилась ровно на период. В нашем случае нужно x умножить на 100. Имеем
Ответ. |
Пример 8
Обратить в обыкновенную дробь число 2,14(21).
|
Обозначим искомую дробь через x: x = 2,14(21). Ясно, что число x можно представить в виде x = 2,14 + 0,01 · 0,(21). По определению десятичной дроби имеем:
Перевод числа y = 0,(21) в обыкновенную дробь выполним как в предыдущем примере:
Окончательно получаем:
Ответ: |
Все дроби вида m/n, где m – целое число, а n – натуральное, могут быть представлены в виде конечных или периодических десятичных дробей. |
Выясним, как можно сравнивать десятичные дроби. Из всего вышесказанного следует, что сумма, разность, произведение и частное двух десятичных дробей снова будут десятичной дробью.
Говорят, что десятичная дробь a больше другой десятичной дроби b, и обозначают этот факт так: a > b, если разность a – b – положительное число. Говорят, что десятичная дробь a меньше другой десятичной дроби b, и обозначают этот факт так: a < b, если разность (a – b) – отрицательное число. На десятичные дроби совершенно аналогично переносятся понятия отношений ≤ и ≥. Также сохраняется геометрическая интерпретация чисел. Так дроби соответствует точка на числовой оси, которую можно получить следующим образом: нужно отложить вправо от начала координат единичный отрезок два раза, затем отложить ещё длины этого отрезка. Если рассмотреть точку, симметричную данной относительно начала координат, то получим точку, которая соответствует числу
| 7 |
Аналогично можно поступить с десятичными дробями. Так, десятичному числу 3,14 отвечает точка на координатной прямой, которая получается следующим образом. Нужно от начала координат отложить три раза единичный отрезок, после отложить один раз отрезок длины от единичного; затем отложить отрезок длины единичного. Полученная точка и соответствует числу 3,14.
| 8 |
Деление смешанных чисел — определение, факты и примеры
Учитесь с помощью полной программы обучения математике K-5
Деление смешанных чисел
Дробь — это часть целого.
Квадрат делится поровну на 4 части, 3 части заштрихованы. То есть заштрихованы 3 из 4 закрашенных частей. Итак, дробь равна 3 ⁄ 4 .
Деление 3 ⁄ 4 на 6 может быть показано как:
Доля, заштрихованная зеленым, составляет одну шестую дроби 3 ⁄ 4 .
То есть 3 ⁄ 4 x 1 ⁄ 6 = 1 ⁄ 8 .
Таким образом, это одна восьмая всей площади.
Когда делитель представляет собой дробь, скажем, 3 ⁄ 4 ÷ 1 ⁄ 4 , ясно, что в трех четвертых входят 3 1/4.
Итак, 3 ⁄ 4 ÷ 1 ⁄ 4 = 3.
Чтобы разделить одну дробь на другую, умножьте делимое на величину, обратную делителю. |
Смешанные числа — это комбинации целых и дробных чисел.
Примеры : 1 1 ⁄ 2 , 5 3 ⁄ 4
Обратите внимание, что неписаный знак между целой частью числа и дробной частью является сложением, а не умножением!
1 1 ⁄ 2 стакан молока — это полтора стакана!
Чтобы выполнить любые арифметические операции со смешанными числами, сначала мы преобразуем их в неправильную дробь — дробь, числитель которой больше знаменателя.
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, сначала разделите числитель на знаменатель. Частное будет целой частью числа, а остаток будет числителем дробной части. Знаменатель смешанного числа будет таким же, как и знаменатель неправильной дроби.
Правило деления на дробь остается верным и для смешанных чисел.
Пример 1 : 6 2 ⁄ 5 ÷ 4 ⁄ 11
Сначала преобразуйте 6 2 ⁄ 5 в неправильную дробь.
6 2 ⁄ 5 ÷ 4 ⁄ 11 = 32 ⁄ 5 ÷ 4 ⁄ 11 = 32 ⁄ 5 x 11 ⁄ 4 = 88 ⁄ 5
Теперь, чтобы преобразовать неправильную дробь 885 в смешанное число.
88 ÷ 5 = Q17 R3
Итак, 88 ⁄ 5 = 17 3 ⁄ 5 .
Следовательно, 6 2 ⁄ 5 ÷ 4 ⁄ 11 = 17 3 ⁄ 5 .
Пример 2 : Джанет приготовила 12 1 ⁄ 4 литров лимонада. Она хочет разлить их в бутылки емкостью 1 3 ⁄ 4 литров каждая. Сколько бутылок ей потребуется?
Чтобы найти необходимое количество бутылок, нам нужно найти значение 12 1 ⁄ 4 ÷ 1 3 ⁄ 4 .
Сначала преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби.
Правило деления — умножение на обратное.
49 ⁄ 4 ÷ 7 ⁄ 4 = 49 ⁄ 4 x 7 ⁄ 4 = 7
Следовательно, Джанет потребуется 7 бутылок для наполнения лимонада.
Интересные факты
|
Умножение и деление смешанных чисел
Результаты обучения
- Умноженные числа и дроби
- Разделить целое число на дробь
- Разделите смешанное число на целое число
В предыдущем разделе вы узнали, как умножать и делить дроби.
Во всех примерах использовались правильные или неправильные дроби. Что происходит, когда вас просят умножить или разделить смешанные числа? Помните, что мы можем преобразовать смешанное число в неправильную дробь. И вы узнали, как это сделать в Visualize Fractions.
Пример
Умножение: [латекс] 3 \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {5} {8} [/ latex]
Решение:
| [латекс] 3 \ frac {1} {3} \ cdot \ frac {5} {8} [/ латекс] | |
| Преобразуйте [латекс] 3 \ frac {1} {3} [/ latex] в неправильную дробь. | [латекс] \ frac {10} {3} \ cdot \ frac {5} {8} [/ латекс] |
| Умножить. | [латекс] \ frac {10 \ cdot 5} {3 \ cdot 8} [/ латекс] |
| Найдите общие факторы. | [латекс] \ frac {\ color {красный} {2} \ cdot 5 \ cdot 5} {3 \ cdot \ color {красный} {2} \ cdot 4} [/ latex] |
| Удалите общие множители. | [латекс] \ frac {5 \ cdot 5} {3 \ cdot 4} [/ латекс] |
| Упростить. | [латекс] \ frac {25} {12} [/ латекс] |
Обратите внимание, что мы оставили ответ как неправильную дробь, [latex] \ frac {25} {12} [/ latex], и не преобразовали его в смешанное число.В алгебре предпочтительнее записывать ответы в виде неправильных дробей, а не смешанных чисел. Это позволяет избежать путаницы между [latex] 2 \ frac {1} {12} [/ latex] и [latex] 2 \ cdot \ frac {1} {12} [/ latex].
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть еще один пример умножения смешанного числа на дробь.
Умножение или деление смешанных чисел
- Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби.
- Следуйте правилам умножения или деления дробей.
- Упростите, если возможно.
Пример
Умножьте и запишите ответ в упрощенном виде: [латекс] 2 \ frac {4} {5} \ left (-1 \ frac {7} {8} \ right) [/ latex]
Показать решениеРешение:
| [латекс] 2 \ frac {4} {5} \ left (-1 \ frac {7} {8} \ right) [/ latex] | |
| Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби. | [латекс] \ frac {14} {5} \ left (- \ frac {15} {8} \ right) [/ latex] |
| Умножить. | [латекс] — \ frac {14 \ cdot 15} {5 \ cdot 8} [/ латекс] |
| Найдите общие факторы. | [латекс] — \ frac {\ color {red} {2} \ cdot 7 \ cdot \ color {red} {5} \ cdot 3} {\ color {red} {5} \ cdot \ color {red} { 2} \ cdot 4} [/ latex] |
| Удалите общие множители. | [латекс] — \ frac {7 \ cdot 3} {4} [/ латекс] |
| Упростить. | [латекс] — \ frac {21} {4} [/ латекс] |
В следующем видео мы покажем больше примеров того, как умножать смешанные отрицательные числа.
Пример
Разделите и запишите свой ответ в упрощенном виде: [latex] 3 \ frac {4} {7} \ div 5 [/ latex]
Показать решениеРешение:
| [латекс] 3 \ frac {4} {7} \ div 5 [/ латекс] | |
| Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби. | [латекс] \ frac {25} {7} \ div \ frac {5} {1} [/ латекс] |
| Умножьте первую дробь на величину, обратную второй. | [латекс] \ frac {25} {7} \ cdot \ frac {1} {5} [/ латекс] |
| Умножить. | [латекс] \ frac {25 \ cdot 1} {7 \ cdot 5} [/ латекс] |
| Найдите общие факторы. | [латекс] \ frac {\ color {красный} {5} \ cdot 5 \ cdot 1} {7 \ cdot \ color {красный} {5}} [/ латекс] |
Удалите общие множители. | [латекс] \ frac {5 \ cdot 1} {7} [/ латекс] |
| Упростить. | [латекс] \ frac {5} {7} [/ латекс] |
Пример
Разделить: [латекс] 2 \ frac {1} {2} \ div 1 \ frac {1} {4} [/ latex]
Показать решениеРешение:
| [латекс] 2 \ frac {1} {2} \ div 1 \ frac {1} {4} [/ латекс] | |
| Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби. | [латекс] \ frac {5} {2} \ div \ frac {5} {4} [/ латекс] |
| Умножьте первую дробь на величину, обратную второй. | [латекс] \ frac {5} {2} \ cdot \ frac {4} {5} [/ латекс] |
| Умножить. | [латекс] \ frac {5 \ cdot 4} {2 \ cdot 5} [/ латекс] |
| Найдите общие факторы. | [латекс] \ frac {\ color {красный} {5} \ cdot \ color {красный} {2} \ cdot 2} {\ color {красный} {2} \ cdot 1 \ cdot \ color {красный} {5 }} [/ latex] |
| Удалите общие множители. | [латекс] \ frac {2} {1} [/ латекс] |
| Упростить. | [латекс] 2 [/ латекс] |
В следующем видео представлены еще несколько примеров деления смешанных чисел, целых чисел и дробей.
Разделение дробей на целые числа
Умножьте нижнее число дроби на целое число.
Чтобы разделить дробь на целое число:
- Шаг 1.Умножьте нижнее число дроби на целое число .
- Шаг 2. Упростите дробь (при необходимости)
Пример:
1 2 ÷ 3
Шаг 1. Умножьте нижнее число дроби на целое число:
1 2 × 3
Что равно:
1 6
Шаг 2.
Дробление уже настолько простое, насколько это возможно, поэтому шаг 2 не требуется.
Ответ:
1 2 ÷ 3 = 1 6
С ручкой и бумагой
А вот как это сделать ручкой и бумагой (нажмите кнопку воспроизведения):
Есть ли в этом смысл?
Делает 1 2 ÷ 3 действительно равны 1 6 ?
Посмотрите на пиццу ниже…
Когда половина пиццы делится на 3 равные части, каждый получает шестую часть всей пиццы.
| Половина: | Разделено на 3: | |||
| Ответ: 1 6 |
Другой пример:
Пример:
2 5 ÷ 4
Шаг 1.Умножьте нижнее число дроби на целое число:
2 5 × 4 знак равно 2 20
Шаг 2. Упростим дробь:
2 20 знак равно 1 10
И это все, что нам нужно сделать.
AAA Сейчас
- AAAKnow имеет полный набор из тысяч интерактивные уроки арифметики .
- бесплатно или регистрация не требуется, чтобы практиковать свой math на сайте AAAKnow.com.
- Неограниченная практика доступна по каждой теме, что позволяет
доскональное владение концепциями.
- широкий выбор уроков (от детского сада до восьмого класса). level) позволяет обучению или обзору происходить на текущем уровне каждого человека.
- Немедленная обратная связь предотвращает неправильную практику и обучение методы, что является обычным результатом традиционных домашних заданий и рабочих листов. Практика может продолжаться сколько угодно долго в безопасном формате, который помогает повысить самооценку и уверенность в себе.
- Пожалуйста, попробуйте уроки , нажав на один из оценки вверху или в области темы в левой части страницы.
- Не забудьте добавить сайт в «Любимые места» и рассказать другим о сайт. — отличный способ выучить или повторить математику. .
Что нового в AAA Know?
Веб-сайт AAAMath.com начал свою работу в 2000 году и предлагал бесплатные интерактивные уроки математики по основам арифметики и связанным с ними темам математики для K-8.Мы считали, что этот подход лучше, чем традиционные рабочие листы, потому что он обеспечивает немедленную обратную связь, тогда как рабочие листы позволяют студентам неоднократно практиковать неправильные методы, прежде чем они будут оценены.
AAAKnow.com был зеркалом AAAMath.com, который использовался для обработки высоких нагрузок трафика. По сути, они были одинаковыми. Когда переписывание AAAMath.com в современный формат было завершено, мы решили разместить его на сайте AAAKnow.com. Таким образом люди все еще могли использовать AAAMath.com, если они предпочитают его, и могут опробовать и использовать новый формат, если они предпочитают его.
AAAMath.com
- Использует старый веб-формат.
- Оригинальные уроки
- Не работает с мобильными устройствами
- В основном для настольных компьютеров
- Новые уроки будут ссылками на AAAKnow.com
- Все уроки старого формата будут по-прежнему доступны
- Интерактивные уроки математики
- Без оплаты или регистрации
- Неограниченная практика
- Мгновенная обратная связь предотвращает отработку неправильных методов.
- Отличный способ выучить математику
- Может быть изменен на новый формат в будущем
AAA Сейчас.com
- Использует современный веб-формат.
- Практически одинаковые уроки
- Хорошо работает с мобильными устройствами
- Для любого типа компьютера
- На сайте будут разработаны новые уроки
- Все уроки старого формата будут по-прежнему доступны
- Интерактивные уроки математики
- Без оплаты или регистрации
- Неограниченная практика
- Мгновенная обратная связь предотвращает отработку неправильных методов.
- Отличный способ выучить математику
- Будет и дальше развиваться
Пожалуйста, дайте нам знать, если у вас есть какие-либо предложения или комментарии о веб-сайте AAAKnow.
com, используя форму обратной связи для анонимных комментариев.
Как разделить дроби: целые и смешанные числа
Деление на дроби
На самом деле деление — вторая по простоте операция с дробями.Размножение — самое простое; все, что вам нужно сделать, это умножить сверху для числителя ответов, а затем снизу для получения знаменателя ответов. Что ж, деление включает только один дополнительный шаг: используйте , обратное (, что просто означает перевернуть дробь ) второй дроби и измените операцию на умножение. Не забудьте при необходимости упростить ответ.
Прежде чем мы перейдем к хорошему, давайте рассмотрим четырехэтапный процесс, который мы будем использовать каждый раз, когда нам нужно разделить дроби.
Шаг 1: Перепишите задачу так, чтобы все числа были в форме дроби
Шаг 2: Отразите вторую дробь и измените знак деления на знак умножения
Шаг 3: Умножьте числители, затем умножьте знаменатели вместе
Шаг 4. Упростите (уменьшите), если необходимо (Если вам нужна помощь с упрощением дробей, вы можете проверить наш урок «Упрощение дробей: примеры и пояснения».)
OK. Итак, обрисовав в общих чертах четырехэтапный процесс, вы увидите, что в основном вы «переверните и умножьте».
Теперь давайте посмотрим на эти шаги в действии!
Пример: 2/3 ÷ 3/5
Шаг 1: Все числа уже в дробной форме, так что давайте продолжим.
Шаг 2: Отобразите вторую дробь (одновременно изменив операцию на ‘x’)
Шаг 3: Умножьте сверху числители (2×5) и знаменатели снизу (3×3), чтобы получить дробь 10 / 9.
Шаг 4: Этот ответ упрощается до 1 1/9
Вы можете вспомнить, что вы переворачиваете вторую дробь, вспоминая, что мы учимся умножать, а затем делить; так что деление — «второе».Поскольку мы делим, «вторая» дробь переворачивается.
Довольно просто, правда? Просто переверните и умножьте.
Целые числа
Самое важное, что нужно помнить о целых числах, это то, что все они могут быть записаны как дроби, просто поставив «1» под ним в знаменателе. Итак, целое число 3 можно записать как дробь 3/1. Целое число 123 совпадает с дробью 123/1.
Давайте воспользуемся нашим четырехэтапным процессом для решения этих примеров:
Пример 1: 3 ÷ 2/3
Шаг 1: Поместите все числа в дробную форму.Как мы только что видели, любое целое число можно превратить в дробь, поставив «1» в знаменателе. Итак, у нас есть 3/1 ÷ 2/3
Шаг 2: Переверните и измените знак: 3/1 x 3/2
Шаг 3: Умножьте: (3×3) / (1×2) = 9/2
Шаг 4 : Упростить: 4 1/2
Пример 2: 4/5 ÷ 5
Шаг 1: Переписать: 4/5 ÷ 5/1
Шаг 2: Перевернуть и изменить знак: 4/5 x 1/5
Шаг 3: Умножьте: (4×1) / (5×5) = 4/25
Шаг 4: Упростите: это уже уменьшено, насколько это возможно, поэтому окончательный ответ 4/25.
Смешанные дроби
Вы заметили, что нам пришлось переписать целые числа как дроби, прежде чем мы сможем разделить их на них? Нам нужно сделать что-то подобное со смешанными дробями, прежде чем мы сможем с ними работать.
Первым шагом в делении на смешанные дроби является преобразование смешанной дроби в неправильную дробь путем умножения знаменателя на целое число и добавления этого произведения в числитель, чтобы получить новый числитель. Знаменатель останется прежним.
Пример преобразования смешанной дроби в неправильную дробь: 3 1/2 = (2×3) +1 = 7/2
Пожалуйста, ознакомьтесь с уроком Что такое неправильная дробь: определение и пример Study.com, если вам нужна дополнительная помощь в замене смешанных дробей на неправильные дроби.
Для деления с использованием смешанных дробей мы выполняем тот же четырехэтапный процесс, что и с целыми числами: переписываем, переворачиваем, умножаем, затем упрощаем (если необходимо).
Пример 1: 2 1/3 ÷ 3 1/4
Шаг 1: Переписать: 7/3 ÷ 13/4
Шаг 2: Перевернуть: 7/3 x 4/13
Шаг 3: Умножить: ( 7×4) / (3×13) = 28/39
Шаг 4: Упростить: 28/39 уже в простейшей форме
Давайте попробуем еще один:
Пример 2: 1/2 ÷ 1 1/2
Шаг 1: Перепишите: 1/2 ÷ 3/2
Шаг 2: Переворот: 1/2 x 2/3
Шаг 3: Умножьте: (1×2) / (2×3) = 2/6
Шаг 4: Упростите: 1 / 3
Краткое содержание урока
Одно слово «дробь» может вселить страх в сердца тех, кто боится математики.Дроби не так сложны, как многие думают. Если вы будете следовать нескольким простым правилам, разделить дроби так же просто, как умножить обычные числа.
Шаг 1. Убедитесь, что все указано в дробной форме (смешанные числа необходимо заменить на неправильные дроби).
Шаг 2: Отразите вторую дробь и измените операцию на умножение.
Шаг 3: Умножьте верхнюю часть для нового числителя и снизу для получения нового знаменателя.
Шаг 4: Упростите (при необходимости).
Как умножить и разделить смешанные дроби
Смешанные дроби состоят из целого числа и дроби и представляют собой сумму двух — 3 1/4, например, представляет 3 и одну четвертую. Чтобы умножить или разделить смешанную дробь, преобразуйте ее в неправильную дробь, например 13/4. Затем вы можете умножить или разделить его, как любую другую дробь.
Преобразование смешанных дробей в неправильные дроби
Прежде чем вы сможете умножить или разделить смешанные дроби, вы должны преобразовать смешанные дроби в неправильные дроби .Неправильная дробь, такая как 7/4, равна дроби, числитель которой больше ее знаменателя . Числитель — это верхнее число дроби, а знаменатель — — нижнее число. Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь, умножьте целую числовую часть смешанной дроби на знаменатель дроби, затем добавьте ее в числитель.
Например, чтобы преобразовать смешанную дробь 8 1/3, умножьте целое число 8 на знаменатель 3, получив произведение 24.Добавьте 24 в числитель, чтобы найти эквивалентную неправильную дробь: 25/3. Итак, 8 1/3 = 25/3 .
Числитель и знаменатель умножения
После преобразования смешанных чисел в неправильные дроби вы можете умножить две дроби вместе. Предположим, вы умножаете 3 1/2 на 1 1/3: 3 1/2 равно 7/2, а 1 1/3 равно 4/3, поэтому вы умножаете 7/2 на 4/3. . Чтобы умножить две дроби, умножьте числители вместе, чтобы найти новый числитель, затем умножьте знаменатели вместе, чтобы найти новый знаменатель. В числителе дробей 7 и 4; умноженные вместе, они производят новый числитель, 28. Знаменатели, 2 и 3, умножаются, чтобы получить новый знаменатель, 6. Таким образом, произведение 7/2 на 4/3 равно 28/6.
Разделить дроби
Когда вы делите одну дробь на другую, вы меняете числитель и знаменатель дроби делителя, а затем умножаете. Скажем, вместо умножения 7/2 на 4/3 вы делите 7/2 на 4/3.Поменяйте местами числитель и знаменатель 4/3, получив 3/4, затем умножьте: 7/2 x 3/4 = (7 x 3) / (2 x 4) = 21/8 .
Упростите дроби
После того, как вы разделили или умножили дроби, проверьте, можно ли упростить результат. Вы можете упростить дробь , если числитель и знаменатель можно без остатка разделить на одно и то же число . Например, в 28/6 и 28, и 6 делятся на два. Упростите дробь, разделив числитель и знаменатель на 2, получив 14/3.Не существует числа, на которое можно было бы равномерно разделить 14 и 3, поэтому вы не можете его еще больше упростить.
Преобразовать обратно в смешанную дробь
После упрощения, если у вас все еще есть неправильная дробь, конвертируйте дробь обратно в смешанную дробь.
Для этого разделите числитель на знаменатель. Результатом деления будет целое число смешанной дроби, а остаток будет новым числителем. Например, чтобы преобразовать 14/3 в смешанную дробь, разделите 14 на 3: 3 получится четыре раза на 14 с остатком 2.Итак, 14/3 равно смешанной дроби 4 2/3.
