Как доказать подобие треугольников в треугольнике: Признаки подобия треугольников — урок. Геометрия, 8 класс.

Содержание

Первый признак подобия | Треугольники

Теорема

(Первый признак подобия треугольников — подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


Дано: ΔABC, ΔA1B1C1,

∠A=∠A1, ∠B=∠B1,

Доказать: ΔABC∼ ΔA1B1C1

Доказательство:

1) По теореме о сумме углов треугольника

∠C=180°-(∠A+∠B), ∠C1=180°-(∠A1+∠B1).

Так как ∠A=∠A1 и ∠B=∠B1, то и ∠C=∠C1.

2) На луче A1B1 отложим отрезок A1B2, A1B2=AB.

3) Через точку B2 проведем прямую B2C2, параллельную прямой B1C1.

4) ∠A1B2C2=∠A

1B1C1 (как соответственные при B2C2 ∥ B1C1 и секущей A1B1).

Значит, ∠A1B2C2=∠B.

5) В треугольниках A1B2C2 и ABC:

  • ∠A1 =∠A,
  • ∠A1B2C2=∠B,
  • A1B2 =AB.

Значит, ΔA1B2C2 = ΔABC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: A1C2=AC.

6) По теореме о пропорциональных отрезках,

   

Так как A1B2 =AB и A1C2=AC, то

   

7) Аналогично доказывается, что

   

8) Таким образом, в треугольниках ABC и A1

B1C1:

∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1,

   

Значит, ΔABC∼ ΔA1B1C1 (по определению подобных треугольников).

Что и требовалось доказать.

При решении задач чаще других используется именно 1-й признак подобия треугольников.

Подобие треугольников и пропорциональные отрезки

Теорема 1:

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

 

Доказательство:

Докажем сначала лемму: Если в \(\triangle OBB_1\) через середину \(A\) стороны \(OB\) проведена прямая \(a\parallel BB_1\), то она пересечет сторону \(OB_1\) также в середине.


 

Через точку \(B_1\) проведем \(l\parallel OB\). Пусть \(l\cap a=K\). Тогда \(ABB_1K\) — параллелограмм, следовательно, \(B_1K=AB=OA\) и \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\). Значит, по второму признаку \(\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Лемма доказана.


 

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть \(OA=AB=BC\), \(a\parallel b\parallel c\) и нужно доказать, что \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\).

 

Таким образом, по данной лемме \(OA_1=A_1B_1\). Докажем, что \(A_1B_1=B_1C_1\). Проведем через точку \(B_1\) прямую \(d\parallel OC\), причем пусть \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\). Тогда \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) — параллелограммы, следовательно, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\). Значит, по первому признаку \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

 

Теорема Фалеса:

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.


 

Доказательство:

Пусть параллельные прямые \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) разбили одну из прямых на отрезки \(a, b, c, d\). Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки \(ka, kb, kc, kd\) соответственно.

 

Проведем через точку \(A_1\) прямую \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) — параллелограмм, следовательно, \(AB=A_1B_2\)). Тогда \(\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2\) по двум углам. Следовательно, \(\dfrac{OA}{A_1B_2}=\dfrac{OA_1}{A_1B_1} \Rightarrow A_1B_1=kb\).

 

Аналогично проведем через \(B_1\) прямую \(q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) и т.д.

 

Наиболее часто встречающиеся подобия треугольников:

 

Теорема 2.

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник.


 

Доказательство:

Т.к. средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон, то \(\dfrac{AB}{A_1B}=\dfrac{CB}{C_1B}=2\).

 

Таким образом, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (\(\angle B\) — общий) \(\triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC\).

 

Теорема 3.

Треугольники, образованные диагоналями трапеции и основаниями, подобны.


 

Доказательство:

Т.к. \(AD\parallel BC \Rightarrow \angle OBC=\angle ODA\). \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные. Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC\sim \triangle AOD\). \circ-\angle BA_1B_1=\angle BAB_1\).

 

Таким образом, по двум углам (\(\angle O\) — общий) \(\triangle OAB\sim \triangle OA_1B_1\).

 

Теорема 7.

Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то:


 

Доказательство:

Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle OKA=\frac12 \buildrel\smile\over{KA}=\angle KBA\).

 

Следовательно, по двум углам (\(\angle O\) — общий) \(\triangle OKA\sim \triangle OKB\).

 

Теорема 8.

Если в окружности две хорды пересекаются, то:


 

Доказательство:

\(\angle A_1AB_1=\angle A_1BB_1\), т.к. опираются на одну и ту же дугу. \(\angle A_1CB=\angle B_1CA\), т.к. они вертикальные. Следовательно, по двум углам \(\triangle A_1BC\sim \triangle B_1C\).

 

Аналогично \(\triangle ABC\sim \triangle A_1B_1C\).

 

Второй признак подобия треугольников / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Подобные треугольники
  5. Второй признак подобия треугольников
Теорема
Доказательство

Дано: АВС и А1В1С1А = А1,

Доказать: АВСА1В1С1

Доказательство:

Рассмотрим АВС и А1В1С1, у которых и А = А1:

Для доказательства теоремы, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что 

В = В1.

Рассмотрим АВС2, у которого 1 = А1, 2 = В1.

АВС2А1В1С1 по первому признаку подобия треугольников, поэтому . С другой стороны, по условию . Из этих двух равенств получаем АС = АС2.

АВС =АВС2 по первому признаку равенства треугольников (АВ — общая сторона, АС = АС2 и А = 1

, поскольку А = А1 и 1 = А1). Отсюда следует, что В = 2, а так как 2 = В1, то В = В1. Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 553, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 559, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 6, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 613, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 626*, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 630, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 849, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 853, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 854, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1270, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5. com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Определение подобных треугольников

Два треугольника называются подобными, если отношения всех их соответствующих сторон равны. Отношение \(k\) соответствующих сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия этих треугольников.

$$ \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} \Leftrightarrow \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}; $$ $$ k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} $$

Первый признак подобия треугольников

Если отношения двух сторон треугольников и равны углы между этими сторонами, то такие треугольники подобны.

$$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}, \, \angle{A}=\angle{A_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$

Второй признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

$$ \angle{A}=\angle{A_1}, \, \angle{B}=\angle{B_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$

Третий признак подобия треугольников

Если отношения всех соответствующих сторон треугольников равны, то такие треугольники подобны.

$$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$

Отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников

Отношение любых двух соответствующих линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия этих треугольников. (Соответствующие линейные элементы – это отрезки подобных фигур, полученные одинаковой конструкцией. Например, медианы треугольников, проведённые к соотвествующим сторонам, радиусы описанных окружностей, периметры, и так далее.)

$$ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1} $$

Параллельные прямые и подобие треугольников

Если стороны двух треугольников лежат на соответственно параллельных или совпадающих прямых, то такие треугольники подобны. В частности, параллельные прямые отсекают от угла, либо вертикальных углов, подобные треугольники.

$$ AB || A_1B1, \, AC || A_1C_1, \, BC ||B_1C_1 \Rightarrow \triangle{ABC} \backsim \triangle{A_1B_1C_1}; $$ $$ AB || A_1B_1, \, D=AA_1 \cap BB_1 \Rightarrow \triangle{ABD} \backsim \triangle{A_1B_1D} $$

Трапеция и подобные треугольники

При пересечении диагоналей трапеции, а также продолжений её боковых сторон, образуются подобные треугольники, прилежащие к основаниям трапеции. Коэффициент подобия в обоих случаях равен отношению оснований трапеции.

$$ \triangle{AOD} \backsim \triangle{COB}, \quad k=\frac{AD}{BC}; $$ $$ \triangle{AED} \backsim \triangle{BEC}, \quad k=\frac{AD}{BC} $$

Игро+матика: Признаки подобия треугольников

   Чтобы доказать, что треугольники подобны необходимо проверить выполняется ли шесть равенств: три равенства соответствующих углов и три равенства пропорциональности сходственных сторон. Это достаточно трудоемкая задача. Но, оказывается, что ее можно значительно упростить, если воспользоваться признаками подобия треугольников.

Признаки подобия треугольников

Название признакаРисунокФормулировка признака
I признак 
подобия треугольников 
по двум углам 
(УУ)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
II признак 
подобия треугольников 
по двум сторонам и углу между ними
(СУС)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
III признак подобия треугольников 
по трём сторонам 
(ССС)
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

  1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник. подобный данному
  2. Треугольники, образованные пересекающимися секущими при двух параллельных прямых 
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. 
  4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
     Научиться находить подобные треугольники и определять, по какому признаку они подобны можно с помощью этого тренажера

Первый признак подобия треугольников

Вспомним, что подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

На одном из предыдущих уроков мы отмечали, что подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств. И сейчас мы познакомимся с первым признаком подобия треугольником.

Теорема (1-й признак подобия треугольников). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

, .

, , ,

, следовательно, .

Так как , то .

Так как , то .

, .

Так как , то .

, .

Следовательно, .

Выше мы доказали, что соответственные углы этих треугольников равны, а значит, они треугольники подобны.

Что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Давайте возьмём некоторый треугольник ABC и проведём прямую MN, параллельную стороне AC.

 как соотв. при  и секущей ,  

 как соотв. при  и секущей , 

следовательно,  по 1-му признаку.

Также из доказанного признака следует, что прямоугольные треугольники подобны по острому углу.

Действительно. Если у прямоугольных треугольников ABC и A1B1C1 угол А равен углу А1, то  по 1-му признаку.

А теперь давайте посмотрим на следующие треугольники и найдём среди них подобные.

Итак, треугольники а и в подобны по первому признаку, так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника.

Треугольники д и е являются подобными, так как они прямоугольные и у них острые углы равны.

И у нас остались треугольники б и г. Так как сумма углов треугольника равна ста восьмидесяти градусам, то несложно найти градусную меру третьего угла треугольника б. Она равна 40º. А тогда эти треугольники подобны по двум углам, то есть по первому признаку.

Задача. На стороне  параллелограмма отмечена точка . Прямые  и  пересекаются в точке . Найдите  и , если  см,  см,  см,  см.

Решение.

Рассмотрим  и .

 как вертикальные,  как внутр. накрест лежащие  при  и секущей . 

Значит,  по 1-му признаку.

, то есть .

, ,  (см).

 см.

, ,  (см).

Ответ:  см;  см.

Задача. На рисунке  см,  см,  см, а . Найдите .

Решение.

 

Рассмотрим  и .

 по условию задачи,  – общий.  

Значит,  по 1-му признаку.

, ,   (см).

Ответ:  см.

Итак, на уроке мы доказали первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Убедились, что прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. А также, что прямоугольные треугольники подобны по острому углу.

Кроме этого решили задачи на закрепление нового материала.

Подобие треугольников пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. а) подготовительный этап

Урок 40. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. С. b. a. h. С. bc. Н. ac. А. В. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на 2 подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Признак подобия прямоугольных треугольников. Два прямоугольных треугольника подобны, если у них есть по равному острому углу. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если Свойство 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Слайд 28 из презентации «Геометрия «Подобные треугольники»» . Размер архива с презентацией 232 КБ.

Геометрия 8 класс

краткое содержание других презентаций

«Решение задач на теорему Пифагора» — Треугольник АВС равнобедренный. Практическое применение теоремы Пифагора. АВСД – четырехугольник. Площадь квадрата. Найти ВС. Доказательство. Основания равнобедренной трапеции. Рассмотреть теорему Пифагора. Площадь четырехугольника. Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

«Нахождение площади параллелограмма» — Основание. Высота. Определение высоты параллелограмма. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Площадь параллелограмма. Найдите площадь треугольника. Свойства площадей. Устные упражнения. Найдите площадь параллелограмма. Высоты параллелограмма. Найдите периметр квадрата. Площадь треугольника. Найдите площадь квадрата. Найдите площадь прямоугольника. Площадь квадрата.

««Квадрат» 8 класс» — Чёрный квадрат. Задания для устной работы по периметру квадрата. Площадь квадрата. Признаки квадрата. Квадрат среди нас. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат. Сумка с квадратным основанием. Устные задачи. Сколько квадратов изображено на рисунке. Свойства квадрата. Богатый торговец. Задания для устной работы по площади квадрата. Периметр квадрата.

«Определение осевой симметрии» — Точки, лежащие на одном перпендикуляре. Начертите две прямые. Построение. Постройте точки. Подсказка. Фигуры, не обладающие осевой симметрией. Отрезок. Пропущенные координаты. Фигура. Фигуры, имеющие более двух осей симметрии. Симметрия. Симметрия в поэзии. Постройте треугольники. Оси симметрии. Построение отрезка. Построение точки. Фигуры, обладающие двумя осями симметрии. Народы. Треугольники. Соразмерность.

«Определение подобных треугольников» — Многоугольники. Пропорциональные отрезки. Отношение площадей подобных треугольников. Два треугольника называются подобными. Условия. Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине. Допустим, надо определить расстояние до столба. Третий признак подобия треугольников. Построим какой — нибудь треугольник. АВС. Треугольники АВС и АВС равны по трем сторонам. Определение высоты предмета.

«Решение теоремы Пифагора» — Части окон. Простейшее доказательство. Хаммураби. Диагональ. Полноценное доказательство. Доказательство методом вычитания. Пифагорейцы. Доказательство методом разложения. История теоремы. Диаметр. Доказательство методом дополнения. Доказательство Эпштейна. Кантор. Треугольники. Последователи. Приложения теоремы Пифагора. Теорема Пифагора. Формулировка теоремы. Доказательство Перигаля. Применение теоремы.

Сегодня вашему вниманию предлагается еще одна презентация по удивительному и загадочному предмету — геометрии. В этой презентации мы вас познакомим со новым свойством геометрических фигур, в частности, с понятием пропорциональных отрезков в прямоугольных треугольниках.

Для начала следует вспомнить, что же такое треугольник? Это простейший многоугольник, состоящий из трех вершин, соединенных тремя отрезками. Прямоугольным называют треугольник, у которого один из углов равняется 90 градусам. Более подробно с ними вы уже знакомились в наших предыдущих учебных материалах, представленных вашему вниманию.

Итак, возвращаясь к нашей сегодняшней теме, по порядку обозначим, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из угла 90 градусов, делит его на два треугольника, которые подобны как между собой, так и с исходным. Все интересующие вас рисунки и графики приведены в предложенной презентации, к ним и рекомендуем обращаться, сопровождая описываемым объяснением.

Графический пример вышеописанного тезиса можно увидеть на втором слайде. Исходя из первого признака подобия треугольников, треугольники подобны, так как имеют два одинаковых угла. Если указать более подробно, то высота, опущенная на гипотенузу, образует с ней прямой угол, то есть уже есть одинаковые углы, также каждый из образованных углов имеет и исходным по одному общему углу. Итог — два угла, равных друг другу. То есть треугольники подобны.

Также обозначим, что же под собой подразумевает понятие «среднее пропорциональное» или «среднее геометрическое»? Это некий отрезок XY для отрезков AB и CD, когда он равняется квадратному корню произведения их длин.

Из чего также вытекает, что катет прямоугольного треугольника является средним геометрическим между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, то есть другого катета.

Еще одним из свойств прямого треугольника является то, что его высота, проведенная из угла 90 о, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу. Если вы обратитесь к, предложенной вашему вниманию, презентации и другим материалам, то увидите, что там приведено доказательство указанного тезиса в очень простой и доступной форме. Ранее мы уже доказали, что полученные треугольники подобны между собой и с исходным треугольником. Затем, используя соотношение катетов данных геометрических фигур, приходим к тому, что высота прямоугольного треугольника прямо пропорциональна квадратному корню произведения отрезков, которые образовались в результате опущения высоты с прямого угла исходного треугольника.

Последним в презентации указано то, что катет прямоугольного треугольника является средним геометрическим для гипотенузы и ее отрезка, находящегося между катетом и высотой, проведенной из угла, равного 90 градусам. Этот случай следует рассматривать с той стороны, что указанные треугольники подобны между собой, и катет одного из них получается гипотенузой другого. Но более подробно вы с этим познакомитесь, изучив предложенные материалы.

Цели урока:

  1. ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков;
  2. рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла;
  3. формировать у учащихся навыки использования изученной темы в процессе решения задач.

Тип урока: урок изучения нового материала.

План:

  1. Оргмомент.
  2. Актуализация знаний.
  3. Изучение свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла:
    – подготовительный этап;
    – введение;
    – усвоение.
  4. Введение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
  5. Усвоение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
  6. Доказательство следствий:
    – высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;
    – катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
  7. Решение задач.
  8. Подведение итогов.
  9. Постановка домашнего задания.

Ход урока

I. ОРГМОМЕНТ

– Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Все готовы к уроку?

Начинаем работу.

II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

– С каким важным математическим понятием вы познакомились на предыдущих уроках? (с понятием подобия треугольников)

– Давайте вспомним, какие два треугольника называются подобными? (два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника )

– Чем мы пользуемся при доказательстве подобия двух треугольников? (

– Сформулируйте эти признаки (формулируют три признака подобия треугольников)

III.

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВА ВЫСОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА

а) подготовительный этап

– Ребята, посмотрите пожалуйста на первый слайд. (Приложение ) Здесь изображены два прямоугольных треугольника – и . и – высоты и соответственно. .

Задание 1. а) Определите, подобны ли и .

– Что мы используем при доказательстве подобия треугольников? (признаки подобия треугольников)

(первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)

. (Две пары: 1. ∟В= ∟В1 (прямые),2. ∟A= ∟A 1)

– Сделайте вывод.(по первому признаку подобия треугольников ~)

Задание 1. б) Определите, подобны ли и .

– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников )

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары (т.к. треугольники прямоугольные, то достаточно одной пары равных углов: ∟A= ∟A 1 )

– Сделайте вывод. (по первому признаку подобия треугольников заключаем, что данные треугольники подобны).

В результате беседы слайд 1 выглядит так:

б) открытие теоремы

Задание 2.

– Определите, подобны ли и , и . В результате беседы выстраиваются ответы, которые отражены на слайде.

– На рисунке было указано, что . Использовали ли мы эту градусную меру при ответах на вопросы заданий? (Нет, не использовали )

– Ребята, сделайте вывод: на какие треугольники разделяет прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла? (делают вывод)

– Возникает вопрос: а будут ли эти два прямоугольных треугольника, на которые высота разбивает прямоугольный треугольник, подобны между собой? Давайте попробуем найти пары равных углов.

В результате беседы выстраивается запись :

– А теперь давайте сделаем полный вывод.(ВЫВОД: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных

– Т. о. мы с вами сформулировали и доказали теорему о свойстве высоты прямоугольного треугольника.

Установим структуру теоремы и сделаем чертеж. Что в теореме дано и что нужно доказать? Учащиеся записывают в тетрадь:

– Докажем первый пункт теоремы для нового рисунка. Какой признак подобия будем использовать и почему? (Первый, т.к. в теореме ничего неизвестно о сторонах треугольников)

– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (В данном случае достаточно одной пары: ∟A-общий)

– Сделайте вывод. Треугольники подобны. В результате показывается образец оформления теоремы

– Второй и третий пункты распишите дома самостоятельно.

в) усвоение теоремы

– Итак, сформулируйте еще раз теорему (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)

– Сколько пар подобных треугольников в конструкции «в прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла» позволяет найти эта теорема? (Три пары )

Ученикам предлагается следующее задание:

IV.

ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

– А теперь мы изучим с вами новое понятие.

Внимание!

Определение. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) между отрезками AB и CD , если

(записывают в тетрадь).

V. УСВОЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ

– Теперь обратимся к следующему слайду.

Задание 1. Найдите длину среднего пропорционального отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 16 см.

– Что дано в задаче? (Два отрезка и их длины: MN = 9 см, KP = 16 см )

– Что нужно найти? (Длину среднего пропорционального этих отрезков )

– Какой формулой выражается среднее пропорциональное и как мы его найдем?

(Подставляем данные в формулу и находим длину ср.проп.)

Задание №2. Найдите длину отрезка AB, если среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см и CD = 100 см

– Что дано в задаче? (длина отрезка CD = 100 см и среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см)

– Что нужно найти в задаче? (Длину отрезка AB)

– Как будем решать задачу? (Запишем формулу среднего пропорционального отрезков AB и СD, выразим из нее длину AB и подставим данные задачи. )

VI. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ

– Молодцы, ребята. А теперь давайте вернемся к подобию треугольников, доказанному нами в теореме. Сформулируйте еще раз теорему. (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному )

– Давайте вначале будем использовать подобие треугольников и . Что из этого следует? (По определению подобия стороны пропорциональны сходственным сторонам )

– Какое равенство получится при использовании основного свойства пропорции? ()

– Выразите СD и сделайте вывод (;.

Вывод : высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой )

– А теперь докажите самостоятельно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. 0-\angle ACD=\angle A\]

Следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны.

Теорема доказана.

Среднее пропорциональное

Теорема 3

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.

Доказательство.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Теорема 4

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Признак подобия прямоугольных треугольников

Введем для начала признак подобия прямоугольных треугольников. 0-\angle ACD=\angle A\]

Следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны.

Теорема доказана.

Среднее пропорциональное

Теорема 3

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.

Доказательство.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Теорема 4

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

похожих треугольников — доказательство, определение и теоремы (видео)

Подобные треугольники (определение, доказательство и теоремы)

Сходство в математике не означает того же, что сходство в повседневной жизни. Подобные треугольники — это треугольники одинаковой формы, но с разными размерами сторон.

  1. Определение похожих треугольников
  • Проверка аналогичных треугольников
  • Теоремы подобия треугольника
  • Определение похожих треугольников

    Мороженое с шоколадной крошкой и мороженое с шоколадной крошкой похожи, но не одинаковы.Слово «подобный» используется повседневно, но не так, как мы используем его в математике.

    В геометрии две формы похожи , если они одинаковой формы, но разных размеров. У вас может получиться квадрат со сторонами 21 см и квадрат со сторонами 14 см; они были бы похожи. Равносторонний треугольник со сторонами 21 см и квадрат со сторонами 14 см не похожи друг на друга, потому что это разные формы.

    Подобные треугольники легко идентифицировать, потому что к треугольникам можно применить три теоремы.Эти три теоремы, известные как Угол — Угол (AA) , Сторона — Угол — Сторона (SAS) и Сторона — Сторона — Сторона (SSS) , являются надежными методами определения сходства в треугольниках.

    1. Угол — Угол (AA)
    2. Сторона — Угол — Сторона (SAS)
    3. Сторона — Сторона — Сторона (SSS)

    Соответствующие углы

    В геометрии соответствие означает, что конкретная часть одного многоугольника точно соответствует аналогичной части другого.Даже если два треугольника ориентированы по-разному друг от друга, если вы можете повернуть их, чтобы ориентироваться одинаково и увидеть, что их углы одинаковы, вы можете сказать, что эти углы совпадают.

    Три теоремы подобия в треугольниках зависят от соответствующих частей. Вы смотрите на один угол одного треугольника и сравниваете его с таким же углом другого треугольника.

    Пропорции

    Сходство связано с пропорцией. Треугольники легко оценить на предмет пропорциональных изменений, которые делают их похожими.Их сравнительные стороны пропорциональны друг другу; их соответствующие углы идентичны.

    Вы можете установить отношения для сравнения длин сторон двух треугольников. Если соотношения совпадают, соответствующие стороны подобны друг другу.

    Уголок в комплекте

    Включенный угол относится к углу между двумя парами соответствующих сторон. Вы не можете сравнить две стороны двух треугольников, а затем перепрыгнуть на угол, который не находится между этими двумя сторонами.

    Доказательство аналогичных треугольников

    Вот два равных треугольника. Чтобы облегчить вам жизнь, мы сделали их оба равносторонними треугольниками.

    △ FOX сравнивают с △ HEN. Обратите внимание, что ∠O на △ FOX соответствует ∠E на △ HEN. Оба ∠O и ∠E составляют , включая углы между сторонами FO и OX на △ FOX и сторонами HE и EN на HEN.

    Side FO конгруэнтен боковому HE; сторона OX конгруэнтна стороне EN, а ∠O и ∠E — входящие конгруэнтные углы.

    Два равносторонних треугольника одинаковые, за исключением букв.Они одинакового размера, поэтому представляют собой одинаковых треугольников . Если бы они оба были равносторонними треугольниками, но сторона EN была бы вдвое длиннее стороны HE, это были бы треугольника, аналогичные .

    Теоремы подобия треугольника

    Угол-угол (AA) Теорема

    Угол-угол (AA) говорит, что два треугольника подобны, если у них есть две пары соответствующих углов, которые совпадают. Два треугольника могут быть на больше, чем на , чем аналогичные; они могли быть идентичными.Для AA все, что вам нужно сделать, это сравнить две пары соответствующих углов.

    Примерка Угол-Угол

    Вот два разносторонних треугольника △ JAM и △ OUT. Мы уже отметили два внутренних угла каждого треугольника с помощью сокращения геометрии для сравнения: маленьких косых черт. Одна косая черта для внутреннего A и такая же косая черта для внутреннего U означает, что они совпадают. Обратите внимание, что ∠M совпадает с ∠T, потому что на каждом из них есть две маленькие косые черты.

    Поскольку ∠A конгруэнтно ∠U, а ∠M конгруэнтно ∠T, теперь у нас есть две пары конгруэнтных углов, поэтому теорема AA утверждает, что эти два треугольника подобны.

    Уловки торговли

    Остерегайтесь уловок из учебников, онлайн-заданий и учителей математики. Иногда треугольники ориентированы по-разному, когда вы на них смотрите. Возможно, вам придется повернуть один треугольник, чтобы увидеть, сможете ли вы найти две пары соответствующих углов.

    Еще одна проблема: два угла измеряются и идентифицируются на одном треугольнике, но два разных угла измеряются и идентифицируются на другом.

    Поскольку каждый треугольник имеет только три внутренних угла, по одному каждому из идентифицированных углов должен быть конгруэнтным.Вычитая измеренные идентифицированные углы каждого треугольника из 180 °, вы можете узнать меру недостающего угла. Затем вы можете сравнить любые два соответствующих угла для сравнения.

    Боковой угол-сторона (SAS) Теорема

    Вторая теорема требует точного порядка: сторона, затем включенный угол, затем следующая сторона. Теорема Side-Angle-Side (SAS) гласит, что если две стороны одного треугольника пропорциональны двум соответствующим сторонам другого треугольника, и соответствующие им углы совпадают, эти два треугольника подобны.

    Попытка бокового угла

    Вот два треугольника, расположенных бок о бок и ориентированных одинаково. △ RAP и △ EMO определили стороны размером 37 дюймов на △ RAP и 111 дюймов на EMO, а также стороны 17 на △ RAP и 51 дюйм на EMO. Обратите внимание, что угол между указанными измеренными сторонами одинаков для обоих треугольников: 47 °.

    Отношение 37/111 совпадает с соотношением 17/51? Да; два соотношения пропорциональны, так как каждое из них упрощается до 1/3.Эти два треугольника похожи друг на друга с одинаковым углом наклона.

    Теорема Сторона-Сторона-Сторона (SSS)

    Последняя теорема — Side-Side-Side или SSS . Эта теорема утверждает, что если два треугольника имеют пропорциональные стороны, они подобны. Это может показаться большим скачком, игнорирующим их углы, но подумайте об этом: единственный способ построить треугольник со сторонами, пропорциональными сторонам другого треугольника, — это скопировать углы.

    Пробуем бок-бок-бок

    Вот два треугольника: △ FLO и △ HIT. Обратите внимание, мы не определили внутренние углы. Стороны △ FLO имеют длину 15, 20 и 25 см. Стороны △ HIT имеют длину 30, 40 и 50 см.

    Задайте соотношения сторон и оцените их:

    1530 = 12

    2040 = 12

    2550 = 12

    Все они имеют одинаковое соотношение при упрощении. Их всех 12. Итак, даже не зная внутренних углов, мы знаем, что эти два треугольника похожи, потому что их стороны пропорциональны друг другу.

    Краткое содержание урока

    Теперь, когда вы изучили этот урок, вы можете определять и идентифицировать похожие фигуры, и вы можете описать требования к треугольникам, чтобы они были похожими (они должны иметь либо две конгруэнтные пары соответствующих углов, либо две пропорциональные соответствующие стороны с включенными соответствующими угол конгруэнтный, или все соответствующие стороны пропорциональны).

    Вы также можете применить три теоремы подобия треугольников, известные как Угол — Угол (AA), Сторона — Угол — Сторона (SAS) или Сторона — Сторона — Сторона (SSS), чтобы определить, похожи ли два треугольника.

    Следующий урок:

    Постулаты конгруэнтности треугольника

    Геометрия — похожие треугольники

    Определение

    Два треугольника подобны, если соответствующие углы совпадают и если отношение соответствующих сторон равно постоянный. Если треугольники \ (\ bigtriangleup ABC \) и \ (\ bigtriangleup DEF \) равны аналогично, мы можем записать это соотношение как

    \ [\ bigtriangleup ABC∼ \ bigtriangleup DEF. \]

    Разница между подобными и совпадающими треугольниками состоит в том, что похожие треугольники не обязательно должны быть одинакового размера.

    \ (\ cong \) congruence такая же форма и такой же размер

    \ (\ sim \) подобие такая же форма

    Теорема о пропорциональности треугольника

    Интерактивная помощь в доказательстве теоремы о пропорциональности треугольника.

    Поперечная линия — это линия, пересекающая две или несколько линий.

    Теорема: Трансверсаль, параллельная одной из сторон в треугольнике две другие стороны делятся пропорционально.

    Доказательство: Все, что вам нужно знать, чтобы доказать теорему состоит в том, что площадь треугольника равна \ [A = \ frac {w \ cdot h} {2} \]

    где \ (w \) — ширина, а \ (h \) — высота треугольника. Сравните площади трижды!

    1. Создайте треугольник \ (poly1 = \ bigtriangleup AED \) и треугольник \ (poly2 = \ bigtriangleup BED \). Обозначим через \ (poly1 \) и \ (poly2 \) площади треугольников. Каково соотношение \ (poly1 \) и \ (poly2 \)? Подтвердите свой ответ!

    2. Создайте треугольник \ (poly3 = \ bigtriangleup DEC \).Каково соотношение \ (poly3 \) и \ (poly1 \)? Подтвердите свой ответ!

    3. Каково соотношение \ (poly3 \) и \ (poly2 \)? Подтвердите свой ответ!

    4. Покажите, что \ (\ dfrac {a} {b} = \ dfrac {c} {d} \)!

    Следствие теоремы о пропорциональности

    Следствие: Трансверсаль, параллельная стороне треугольника. определяет новый меньший треугольник, похожий на исходный треугольник.

    Проба:

    Покажите, что соответствующие углы в двух треугольниках совпадают (равны).

    Затем покажите, что \ [\ frac {a + b} {a} = \ frac {c + d} {c} \]

    Нарисуйте еще одну поперечину параллельно другой стороне

    и покажем, что \ [\ frac {a + b} {a} = \ frac {c + d} {c} = \ frac {AB} {DE} \]

    Три случая, которые дают сходство

    Сторона-угол-Сторона (SAS) Если две стороны в треугольнике совпадают отношение к двум соответствующим сторонам другого треугольника, и если включенные углы в обоих треугольниках одинаковые, значит, треугольники похожи.

    Проба

    Поместите точку \ (G \) так, чтобы \ (AG = DE \).
    Нарисуйте \ (GH \) так, чтобы \ (GH \) был параллелен \ (BC \).

    Теперь \ (\ bigtriangleup AGH∼ \ bigtriangleup ABC \).

    Покажите, что \ (AH = DF \)!

    Тогда случай сравнения Side-Angle-Side дает \ (\ bigtriangleup AGH≅ \ bigtriangleup DEF \) и доказательство сделано.

    Доказательства двух других случаев аналогичны.

    Сторона-Сторона-сторона (SSS) Если три пары соответствующих сторон находятся в такое же соотношение, тогда треугольники похожи.

    Угол-угол-угол (AA) Если углы в треугольнике совпадают (равны) соответствующим углам другого треугольника, то треугольники равны похожий.

    Также обратите внимание, что достаточно, чтобы два угла были равны (почему?).

    Теорема о биссектрисе угла

    Прямая, проходящая через C, параллельна AB.

    Теорема: В треугольнике \ (\ bigtriangleup ABC \) проводится биссектриса угла в точке \ (B \). Биссектриса угла пересекает \ (AC \) в точке \ (D \).Теорема биссектрисы угла утверждает, что:

    \ [\ frac {AB} {AD} = \ frac {BC} {CD} \]

    Проба: Проведите линию, параллельную от \ (AB \) до \ (C \). Пусть \ (E \) — пересечение новой прямой и биссектрисы угла. Объясните почему:

    1. \ (\ угол ABD = \ угол CED \)

    2. треугольник \ (\ bigtriangleup BCE \) — равнобедренный треугольник, поэтому \ (BC = CE \).

    3. \ (\ угол BDA = \ угол CDE \)

    4. \ (\ bigtriangleup ABD \ sim \ bigtriangleup CED \)

    5. \ (\ dfrac {AB} {AD} = \ dfrac {CE} {CD} \)

    6. \ (\ dfrac {AB} {AD} = \ dfrac {BC} {CD} \)

    Упражнения

    Упражнение 1

    Высоты в треугольниках

    \ (AC \) параллельно \ (EF \).\ (AB \) параллельно \ (DF \). Высоты \ (h \), \ (h_1 \), \ (h_2 \) и \ (h_3 \) перпендикулярны высоты в треугольниках. Докажи то, что видишь!

    Упражнение 2

    Середины четырехугольника

    Синие точки — это середины с каждой стороны. Докажи то, что видишь!

    похожих треугольников — Подтверждение сходства треугольников

    Подтверждение сходства треугольников

    Представьте, что вы попали в ловушку, которая бросает вас и вашу маленькую собачку посреди странной новой земли. Чтобы попасть домой, вы должны доказать, что два треугольника похожи. Как ты это сделаешь?

    Просто щелкните пятками три раза и скажите: «Нет места лучше, чем мой класс геометрии. Нет места лучше, чем мой класс геометрии. Нет места лучше, чем мой класс геометрии».

    Если бы только!

    Здесь, в реальном мире, есть три метода, которые мы можем использовать, чтобы доказать, что два треугольника похожи. К счастью, они на похожи на , о которых мы уже узнали.Видите, что мы там делали? Разве мы не прикол?

    Когда мы впервые увидели эти методы, они выглядели как полезные рабочие, ухаживающие за подходящими свиньями и вспахивающие равные поля. Теперь они пугало, оловянный человечек и лев, и все они помогают вам добраться до волшебника подобия в конце Дороги из желтого кирпича. Они могут выглядеть как одни и те же теоремы (в некоторых случаях они даже имеют одни и те же имена), но это не одно и то же. Те другие были примерно совпадающими треугольниками, а эти — примерно похожими треугольниками.

    Первый метод доказательства сходства — это постулат Side-Side-Side (SSS) . Вот что говорится о похожих треугольниках:

    Если три стороны двух треугольников пропорциональны по длине, то треугольники подобны.

    Пример задачи

    Докажите, что эти треугольники похожи.

    Заявление Причина
    1. DO = 8, WI = 6 Дано
    2. OR = 12, IZ = 9 Дано
    3. RD = 16, ZW = 12 Дано
    4. Алгебра
    5. ∆ DOR ~ ∆ WIZ Постулат Сторона-Сторона-Сторона (4)


    Второй способ доказать сходство треугольников — это постулат угла-угла (AA) . Это выглядит примерно так:

    Если два треугольника имеют две пары совпадающих углов, то треугольники подобны.

    Пример задачи

    Докажите, что эти треугольники похожи.

    Заявление Причина
    1. ∠ T ≅ ∠ M Приведено (на рисунке)
    2.70 ≅ TNI MNA Теорема о вертикальных углах
    3. ∆ TIN ~ ∆ MAN Постулат угла-угла (1, 2)


    Есть еще один способ доказать, что два треугольника подобны : постулат Боковой угол-сторона (SAS) .SAS — это приятное сочетание AA и SSS. В некотором роде летающие обезьяны — это смесь птиц и обезьян, за исключением того, что SAS намного более цивилизован и не подчиняется приказам водорастворимой ведьмы. Мы думаем.

    По сути, он говорит следующее:

    Если две стороны пропорциональны, а угол между этими двумя сторонами конгруэнтен, то треугольники подобны.

    Пример задачи

    Докажите, что эти треугольники похожи.

    Свойство замещения . m∠ W = 35, m∠ K = 35
    Заявление Причина
    1. WI = 12, WC = 15, KE = 8, KD = 10 Учитывая
    2. Алгебра
    3. Свойство замещения
    Учитывая
    5. ∠ W ≅ ∠ K Переходное свойство
    6. ∆ WIC ~ ∆ KED Боковой угол Сторона (3, 5)

    Площадь подобных треугольников — формула, теорема, доказательство, примеры

    Два треугольника называются подобными, если один может быть получен из другого путем равномерного масштабирования.Отношение площади двух одинаковых треугольников равно квадрату отношения любой пары соответствующих сторон подобных треугольников. Если два треугольника подобны, это означает, что: Все соответствующие пары углов равны и все соответствующие стороны пропорциональны. Однако, чтобы быть уверенным, что два треугольника похожи, нам не обязательно иметь информацию обо всех сторонах и всех углах.

    Для похожих треугольников не только их углы и стороны имеют общие отношения, но также пропорционально отношение их периметра, высоты, биссектрисы угла, площади и других аспектов.Давайте изучим и поймем связь между площадью подобных треугольников в следующих разделах.

    Теорема о площади подобных треугольников

    Теорема о площадях схожих треугольников помогает установить взаимосвязь между площадями двух схожих треугольников. В нем говорится, что «Отношение площадей двух одинаковых треугольников равно квадрату отношения любой пары их соответствующих сторон». Рассмотрим следующий рисунок, на котором показаны два похожих треугольника ΔABC и ΔDEF.

    Согласно теореме для площади подобных треугольников, Площадь ΔABC / Площадь ΔDEF = (AB) 2 / (DE) 2 = (BC) 2 / (EF) 2 = (AC) 2 / (DF) 2 . Мы поймем доказательство этой теоремы в следующем разделе.

    Доказательство теоремы о площади подобных треугольников

    Заявление: Отношение площадей двух одинаковых треугольников равно квадрату отношения любой пары соответствующих им сторон.

    Дано: Рассмотрим два треугольника ΔABC и ΔDEF, такие что ΔABC∼ΔDEF

    Доказать: Площадь ΔABC / Площадь ΔDEF = (AB) 2 / (DE) 2 = (BC) 2 / (EF) 2 = (AC) 2 / ( DF) 2

    Конструкция: Нарисуйте высоты AP и DQ по сторонам BC и EF соответственно, как показано ниже:

    Доказательство: Поскольку, B = ∠E, [∵ ΔABC ~ ΔDEF] и,
    ∠APB = ∠DQE….. [∵ AP и DQ перпендикулярны по сторонам BC и EF соответственно ⇒ Оба угла равны 90º]

    По свойству подобия треугольников АА можно отметить, что ΔABP и ΔDEQ равноугольные.

    Следовательно, ΔABP ~ ΔDEQ

    Таким образом, AP / DQ = AB / DE

    Это также означает, что

    AP / DQ = BC / EF —— (1) …. [∵ ΔABC∼ΔDEF ⇒ AB / DE = BC / EF]

    Таким образом,

    Площадь (ΔABC) / Площадь (ΔDEF) = [(1/2) × BC × AP] / [(1/2) × EF × DQ]
    = (BC / EF) × (AP / DQ)
    = (BC / EF) × (BC / EF)…. [из (1)]
    ⇒ Площадь (ΔABC) / Площадь (ΔDEF) = (BC / EF) 2

    Аналогично, мы можем показать, что,

    Площадь ΔABC / Площадь ΔDEF = (AB) 2 / (DE) 2 = (BC) 2 / (EF) 2 = (AC) 2 / (DF) 2

    Сложный вопрос:

    Принято, что ΔABC ~ ΔXYZ. Площадь ΔABC составляет 45 кв. Единиц, а площадь ΔXYZ — 80 кв. Единиц. YZ = 12 шт. Найти БК? Подсказка: используйте теорему для площади подобных треугольников.

    Важные примечания относительно площади подобных треугольников

    • Отношение площадей двух одинаковых треугольников равно квадрату отношения любой пары соответствующих им сторон.
    • Для аналогичных треугольников ΔABC и ΔDEF, Площадь ΔABC / Площадь ΔDEF = (AB) 2 / (DE) 2 = (BC) 2 / (EF) 2 = (AC) 2 / (DF) 2
    • Все соответствующие пары углов равны, и все соответствующие стороны пропорциональны для подобных треугольников.

    Связанные темы по площади похожих треугольников

    Часто задаваемые вопросы об области подобных треугольников

    Какова площадь подобных треугольников?

    Площадь двух одинаковых треугольников имеет отношение с отношением соответствующих сторон подобных треугольников. Согласно теореме о площади подобных треугольников, мы можем утверждать, что «отношение площадей двух одинаковых треугольников равно квадрату отношения любой пары их соответствующих сторон».

    Каковы соотношения площадей подобных треугольников?

    Отношение площадей двух одинаковых треугольников равно квадрату отношения любой пары соответствующих сторон подобных треугольников. Например, для любых двух одинаковых треугольников ΔABC и ΔDEF,
    Площадь ΔABC / Площадь ΔDEF = (AB) 2 / (DE) 2 = (BC) 2 / (EF) 2 = (AC) 2 (DF) 2 .

    Как соотносятся площадь двух одинаковых треугольников с длиной сторон?

    Отношение площадей двух одинаковых треугольников равно квадрату отношения любой пары соответствующих сторон подобных треугольников.

    У похожих треугольников одинаковая площадь?

    Подобные треугольники будут иметь отношение площадей, равное квадрату отношения их пары соответствующих сторон. Значит, площади двух треугольников не обязательно равны. Но учтите, что конгруэнтные треугольники всегда имеют равные площади.

    Как найти области двух одинаковых треугольников?

    Площади подобных треугольников могут быть решены путем соотнесения их отношения с отношением пары соответствующих сторон.Для любых двух одинаковых треугольников отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон.

    Что такое теорема о площадях подобных треугольников?

    Теорема о площадях одинаковых треугольников утверждает, что «отношение площадей двух одинаковых треугольников равно квадрату отношения любой пары их соответствующих сторон»

    Как доказать теорему для площадей одинаковых треугольников?

    Теорема для площадей одинаковых треугольников может быть доказана путем построения высот для обоих треугольников и сравнения полученной площади с отношением соответствующих сторон обоих одинаковых треугольников.Чтобы понять доказательство подробно, обратитесь к разделу Доказательство теоремы о площадях подобных треугольников на этой странице.

    7.9: Сходство SAS — K12 LibreTexts

    Треугольники подобны, если две пары сторон пропорциональны, а включенные углы совпадают.

    Теорема подобия SAS

    По определению, два треугольника подобны, если все их соответствующие углы равны конгруэнтности и их соответствующие стороны пропорциональны. Нет необходимости проверять все углы и стороны, чтобы определить, похожи ли два треугольника.Фактически, если вы знаете только, что две пары сторон пропорциональны, а их углы совпадают, этого достаточно, чтобы знать, что треугольники подобны. Это называется теоремой подобия SAS .

    SAS Теорема подобия: Если две стороны в одном треугольнике пропорциональны двум сторонам другого треугольника и , включенный угол в обоих конгруэнтен, то два треугольника подобны.

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

    Если \ (\ dfrac {AB} {XY} = \ dfrac {AC} {XZ} \) и \ (\ angle A \ cong \ angle X \), то \ ( \ Дельта ABC \ sim \ Дельта XYZ \).

    Что, если бы вам дали пару треугольников, длину двух сторон и величину угла между этими двумя сторонами? Как вы могли бы использовать эту информацию, чтобы определить, похожи ли два треугольника?

    Пример \ (\ PageIndex {1} \)

    Определите, похожи ли следующие треугольники. Если да, напишите теорему и утверждение подобия.

    Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

    Решение

    Мы видим, что \ (\ angle B \ cong \ angle F \), и это оба включенных угла.Нам просто нужно убедиться, что стороны вокруг углов пропорциональны.

    \ (\ begin {align} \ dfrac {AB} {DF} & = \ dfrac {12} {8} = \ dfrac {3} {2} \\ \ dfrac {BC} {FE} & = \ dfrac { 24} {16} = \ dfrac {3} {2} \ end {align} \)

    Так как отношения совпадают \ (\ Delta ABC \ sim \ Delta DFE \) по теореме подобия SAS.

    Пример \ (\ PageIndex {2} \)

    Определите, похожи ли следующие треугольники. Если да, напишите теорему и утверждение подобия.

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)

    Решение

    Треугольники не похожи, потому что угол не является включенным углом для обоих треугольников.

    Пример \ (\ PageIndex {3} \)

    Эти два треугольника похожи? Откуда вы знаете?

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

    Решение

    Мы знаем, что \ (\ angle B \ cong \ angle Z \), потому что они оба являются прямыми углами и \ (\ dfrac {10} {15} = \ dfrac {24} {36} \). Итак, \ (\ dfrac {AB} {XZ} = \ dfrac {BC} {ZY} \) и \ (\ Delta ABC \ sim \ Delta XZY \) от SAS.

    Пример \ (\ PageIndex {4} \)

    Есть ли на рисунке похожие треугольники? Откуда вы знаете?

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \)

    Решение

    \ (\ angle A \) является общим для \ (\ Delta EAB \) и \ (\ Delta DAC \), поэтому он конгруэнтен сам себе.Посмотрим, \ (\ dfrac {AE} {AD} = \ dfrac {AB} {AC} \).

    \ (\ begin {align} \ dfrac {9} {9 + 3} & = \ dfrac {12} {12 + 5} \\ \ dfrac {9} {12} & = \ dfrac {3} {4} \ neq \ dfrac {12} {17} \ qquad \ text {Эти два треугольника не похожи.} \ end {align} \)

    Пример \ (\ PageIndex {5} \)

    Из примера 4, чему должен соответствовать \ (BC \) для \ (\ Delta EAB \ sim \ Delta DAC \)?

    Решение

    В итоге мы получили соотношение \ (\ dfrac {9} {12} = \ dfrac {3} {4} \ neq \ dfrac {12} {17} \).AC должно быть равно 16, так что \ (\ dfrac {12} {16} = dfrac {3} {4} \). \ (AC = AB + BC \) и \ (16 = 12 + BC \). \ (BC \) должно равняться 4.

    Дополнительные ресурсы

    Видео: совпадающие и похожие треугольники

    Действия: Вопросы для обсуждения схожести SAS

    Учебные пособия: Учебное пособие по сходству многоугольников

    Практика: Сходство SAS

    Реальный мир: сходство треугольников

    Доказательство теоремы Пифагора (с использованием подобных треугольников)

    Знаменитая теорема Пифагора гласит, что для прямоугольного треугольника

    • (длина ножки A ) 2 + (длина ножки B ) 2 = (длина гипотенузы) 2
    • Или чаще, a 2 + b 2 = c 2
    Существует множество доказательств теоремы Пифагора.Многие из них включают изображение, на котором перемещаются треугольники и квадраты. Вот тот, в котором используются похожие треугольники.

    Демонстрация

    Докажите теорему Пифагора, используя аналогичные треугольники.

    Сначала возьмем наш треугольник и проведем линию

    .
    • перпендикулярно стороне AB
    • , который проходит через точку C.

    (линии, которые это делают, называются высотами)

    Мы обозначим точку, где наша высота пересекает линию AB, как точку D

    .

    Теперь у нас есть много сторон для маркировки


    Наш исходный треугольник имел 3 стороны


    • Сторона напротив ∠B будет иметь длину b
    • .
    • Сторона поперек ∠A будет иметь длину а
    • Сторона напротив ∠C будет иметь длину c

    Точка D разделяет AB на два сегмента, AD и DB

    • AB будет иметь длину d
    • DB будет иметь длину e

    Line CD также требует длины

    Это дает нам три треугольника

    Итак, что мы можем сказать об этих трех треугольниках?

    Давайте посмотрим на ACE и ABC. Оба имеют угол 90 °, и ∠CAB и .∠CAE имеют одинаковый угол. Если у них два равных угла, то по критерию сходства АА треугольники подобны. Убедившись, что вы записали заявление о подобии, можно сказать, что соответствующие углы конгруэнтны.

    • ΔABC ~ ΔACE (Δ-общий угол — другой угол — угол 90 °)

    Давайте посмотрим на CEB и ABC. Оба имеют угол 90 °, и ∠CBA и .∠CBE имеют одинаковый угол. Если у них два равных угла, то по критерию сходства АА треугольники подобны.Убедившись, что вы записали заявление о подобии, можно сказать, что соответствующие углы конгруэнтны.

    • ΔABC ~ ΔCBE (Δ-другой угол — общий угол — угол 90 °)

    Наконец, если углы ABC совпадают с углами ACE и CBE, то по переходному свойству углы ACE и CBE подобны

    Таким образом, все 3 треугольника совпадают.

    Если ABC подобен ACE, то стороны пропорциональны. Это означает

    Если ABC похожа на CBE, то стороны пропорциональны.Это означает

    Остальное — алгебра.

    ~~~~~~~

    Вот как это сделать в двухколоночной пробе

    Переходное свойство подобных треугольников — стенограмма видео и урока

    Переходное свойство

    Переходное свойство утверждает, что если a = b и b = c , то a = c . Итак, с помощью переходного свойства я могу сказать, что если Джо мальчик, а мальчики высокие, то Джо высокий.Свойство транзитивности помогает соединять фрагменты информации вместе.

    В алгебре свойство транзитивности помогает решать задачи. Если у вас было два разных выражения, которые равнялись одному и тому же, вы можете использовать транзитивное свойство, чтобы помочь вам связать разные выражения. Например, если у вас было x = 3 + 4 y и у вас было 3 + 4 y = z , то вы можете применить переходное свойство и установить соединение, которое x = z .

    Три похожих треугольника

    В геометрии вы можете применить свойство транзитивности к подобным треугольникам для создания соединений. Посмотрим, как это работает. Начнем с трех треугольников. Мы рисуем треугольник A, а затем треугольник B, который похож на треугольник A. Затем мы берем треугольник B, а затем рисуем треугольник C, который похож на треугольник B. Итак, теперь у нас есть три треугольника: треугольник A, треугольник B, и треугольник C. Мы знаем, что треугольник A подобен треугольнику B, а треугольник B подобен треугольнику C.

    Применение транзитивного свойства

    Применяя транзитивное свойство, мы можем сказать, что треугольник A подобен треугольнику C. Почему мы можем так говорить? Поскольку если треугольник A похож на треугольник B, а треугольник B похож на треугольник C, то это означает, что единственная разница между всеми тремя треугольниками — это их размер, и все они похожи друг на друга. Следовательно, я могу связать, что треугольник A также похож на треугольник C.

    Это транзитивное свойство может помочь нам решить проблемы, связанные с аналогичными треугольниками.Например, если у нас есть три треугольника, где треугольник A похож на треугольник B, а треугольник B похож на треугольник C, мы можем использовать свойство транзитивности, чтобы помочь нам вычислить измерение углов. Если мы хотим узнать размер верхнего угла треугольника A и нам дано, что верхний угол треугольника C равен 50 градусам, мы можем использовать свойство транзитивности и сказать, что треугольник A также похож на треугольник C и, следовательно, верхний угол треугольника A также составляет 50 градусов.

    Резюме урока

    Что мы узнали? Мы узнали, что подобных треугольника — это треугольники, единственное отличие которых — размер.Переходное свойство помогает создавать связи, говоря, что если a = b и b = c , то a = c . Это транзитивное свойство может быть применено к группе похожих треугольников, когда мы говорим, что если треугольник A похож на треугольник B, а треугольник B похож на треугольник C, то треугольник A похож на треугольник C. Мы можем использовать это свойство, чтобы помочь нам найти угловые измерения. Если мы хотим найти угловые измерения треугольника A, мы можем использовать угловые измерения треугольника C, применив переходное свойство.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск