Линейные диофантовы уравнения онлайн

Линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида:

В основе нашего калькулятора лежит расширенный алгоритм Евклида, записанный в виде цепной дроби. Однако, в некоторых случаях (например, когда коэффициент ) применяются более простые подходы. Также калькулятор не рассматривает случаи, когда хотя бы один из коэффициентов или равен , так как они приводят к обычному линейному уравнению.

Если коэффициент не делится нацело на , то линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными не имеет решений. Напротив, если делится нацело на , то указанное уравнение имеет бесконечное множество целых решений.

Для решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными сначала необходимо найти частное решение и , а затем записать общее решение, используя формулы:

Рассмотрим пример решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными:

Коэффициенты уравнения: .

Поскольку делится нацело на , то данное уравнение имеет решения в целых числах.

Далее, найдём какое-нибудь конкретное (частное) решение и исходного уравнения. Для этого, сначала необходимо найти частное решение и вспомогательного уравнения с коэффициентом :

а затем умножить найденное частное решение и вспомогательного уравнения на и получить частное решение и исходного уравнения:

Чтобы найти частное решение вспомогательного уравнения используем цепные дроби. Для этого составим дробь , числителем которой будет коэффициент , а знаменателем коэффициент .

Преобразуем данную дробь в цепную дробь:

В полученной цепной дроби отбросим последнюю дробь :

Полученная дробь является отношением частных решений и выбранных с правильным знаком:

Подставляя четыре значения во вспомогательное уравнение, определяем его частное решение:

Теперь, чтобы найти частное решение и исходного уравнения, умножим найденное частное решение и вспомогательного уравнения на :

Используя формулы для общего решения, запишем конечный ответ:

Наш онлайн калькулятор может решить любое линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными с описанием подробного хода решения на русском языке. Чтобы начать работу, необходимо ввести уравнение и задать искомые переменные.

В описании подробного решения встречается функция которая означает — наибольший общий делитель чисел и .

Решение линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных / Хабр

Здравствуйте, уважаемые читатели! Продолжаю серию дилетантских статей о математике.

Сегодня предлагаю поразмышлять над некоторой интересной математической задачкой.

А именно, давайте-ка для разминки решим следующее линейной уравнение:

«Чего сложного?» — спросите вы. Действительно, лишь одно уравнение и целых четыре неизвестных. Следовательно, три переменных есть свободные, а последняя зависит от оных. Так давайте выразим скорее! Например, через переменную

, тогда множество решений следующее:

где

— множество любых действительных чисел.

Что же, решение действительно оказалось слишком тривиальным. Тогда будем нашу задачу усложнять и делать её более интересной.

Вспомним про линейные уравнения с целыми коэффициентами и целыми корнями, которые, собственно, являются разновидностью диофантовых уравнений. Конкретно — наложим на наше уравнение соответствующие ограничение на целочисленность коэффициентов и корней. Коэффициенты при неизвестных у нас и так целые (), а вот сами неизвестные необходимо ограничить следующим:

где

— множество целых чисел.

Теперь решение, полученное в начале статьи, «не проканает», так как мы рискуем получить как рациональное (дробное) число. Так как же решить это уравнение исключительно в целых числах?

Заинтересовавшихся решением данной задачи прошу под кат.

А мы с вами продолжаем. Попробуем произвести некоторые элементарные преобразования искомого уравнения:

Задача выглядит по-прежнему непонятной, в таких случаях математики обычно производят какую-нибудь замену. Давайте и мы с вами её бахнем:

Опа, мы с вами достигли интересного результата! Коэффициент при

у нас сейчас

равен единице

, а это значит, что мы с вами можем выразить эту неизвестную через остальные неизвестные в этом уравнении без всяких делений (чем грешили в самом начале статьи). Сделаем это:

Обращу внимание, что это говорит нам о том, что какие бы не были

(в рамках диофантовых уравнений), всё равно

останется целым числом, и это прекрасно.

Вспоминая, что справедливо говорить, что . А подставив заместо полученный выше результат получим:

Тут мы также видим, что что какие бы не были

, всё равно

останется целым числом, и это по-прежнему прекрасно.

Тогда в голову приходит гениальная идея: так давайте же объявим как свободные переменные, а будем выражать через них! На самом деле, мы уже это сделали. Осталось только записать ответ в систему решений:

Теперь можно лицезреть, что в системе решений

нигде нет деления

, а это значит, что всегда решения будут целочисленными. Попробуем найти частное решение исходного уравнения, положив, к примеру, что

:

Подставим в исходное уравнение:

Тождественно, круто! Давайте попробуем ещё разок на другом примере?

Тут мы видим отрицательный коэффициент, он может доставить нам изрядных проблем, так что давайте от греха избавимся от него заменой

, тогда уравнение будет следующим:

Как мы помним, наша задача сделать такие преобразования, чтобы в нашем уравнении оказалась неизвестная с единичным коэффициентом при ней (чтобы затем выразить её через остальные без любого деления). Для этого мы должны снова что-нибудь взять «за скобку», самое быстрое — это брать коэффициенты из уравнения которые самые близкие к единице. Однако нужно понимать, что за скобку можно взять только лишь то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене).

Итак:

Введем замену

, тогда получим:

Вновь возьмем за скобку и наконец получим в уравнении неизвестную с единичным коэффициентом:

Введем замену

, тогда:

Выразим отсюда нашу одинокую неизвестную

:

Из этого следует, что какие бы

мы не взяли,

все равно останется целым числом. Тогда найдем

из соотношения

:

Аналогичным образом найдем

из соотношения

:

На этом наша система решений созрела — мы выразили абсолютно все неизвестные, не прибегая к делению, тем самым показывая, что решение точно будет целочисленным. Также не забываем, что

, и нам надо ввести обратную замену. Тогда окончательная система решений следующая:

Таким образом, осталось ответить на вопрос — а любое ли подобное уравнение можно так решить? Ответ: нет, если уравнение в принципе нерешаемо. Такое возникает в тех случаях, если свободный член не делится нацело на НОД всех коэффициентов при неизвестных. Иными словами, имея уравнение:

Для его решения в целых числах достаточно выполнение следующего условия:

(где

—

наибольший общий делитель

).

Доказательство

Доказательство в рамках этой статьи не рассматривается, так как это повод для отдельной статьи. Увидеть его вы можете, например, в чудесной книге В. Серпинского «О решении уравнений в целых числах» в §2.

Резюмируя вышесказанное, выпишем алгоритм действий для решения линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных:

1. Проверяем, а решаемо ли уравнение вообще (вышеописанным свойством ). Если ответ положительный — переходим к следующему пункту.
2. Для ускорения процесса поделим все коэффициенты (включая свободный член) на их .
3. Избавляемся от отрицательных коэффициентов в уравнении заменой
4. Проводим серию замен (разваливая некоторые члены уравнения на суммы и объединяя их в скобки) таким образом, чтобы в конце концов один из членов уравнения был с единичным коэффициентов, и мы смогли вывести его без какого либо деления. Помня при этом, что за скобку можно взять только то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене). Наконец, объявляем все переменные, через которые выражена оная, как свободные.
5. Выводим остальные переменные через вышевыведенную (выводим из всех наших замен), не забывая также про обратные замены.
6. Объединяем все в единую систему решений.

В заключение стоит сказать, что также можно добавить ограничения на каждый член уравнения в виде неравенства на оного (тогда к системе решений добавляется система неравенств, в соответствии с которой нужно будет скорректировать ответ), а также добавить ещё чего-нибудь интересное. Ещё не стоит забывать и про то, что алгоритм решения является строгим и поддается записи в виде программы для ЭВМ.

С вами был Петр,
спасибо за внимание.

Решение уравнений в целых числах (Реферат)

СОДЕРЖАНИЕ:

Уравнения с одним неизвестным
Уравнения первой степени с двумя неизвестными
Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными
Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными
Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М
Программа №1 (уравнения с одним неизвестным)

ВВЕДЕНИЕ

Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел — решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.

1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным

(1)

Пусть коэффициенты уравнения и — целые числа. Ясно, что решение этого уравнения

будет целым числом только в том случае, когда нацело делится на . Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений и первое имеет целое решение , а второе в целых числах неразрешимо.

С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение имеет целые решения , ; уравнение в целых числах неразрешимо, так как его корни ,иррациональны.

Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами

(2)

решается легко. Действительно, пусть — целый корень этого уравнения. Тогда

, .

Из последнего равенства видно, что делится без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения

,

только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень . Тем же методом легко показать, что уравнение

в целых числах неразрешимо.

Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.

Урок по теме «Линейные уравнения с двумя переменными»

 Урок по теме «Линейные уравнения с двумя переменными»

Цели:

Образовательные: знакомство с определением линейного уравнения с двумя переменными; с определением решения уравнения с двумя переменными; со способом решения уравнений с двумя переменными; развитие навыка применения аналогии при решении задач;

закрепить знания учащихся о формулах сокращенного умножения.

Развивающие: способствовать развитию математического кругозора, мышления и речи, памяти учащихся.

Воспитательные: воспитывать у учащихся культуру общения, умение оценивать друг друга и давать себе самооценку.

 

Ход урока:

I.            Самостоятельная работа.

1.     Разложите на множители.

1+а-а² –а³ 8-b³+4b-2b²

2.     Найдите значение выражения

2с(с-4)²-с²(2с-10) при с=0,2

(а-4b)(4b+а) при а=1,2, b= -0,6

II.             Изучение нового.

Слово учителя. Пусть известно, что одно из двух чисел на 5 больше другого. Если первое число обозначить буквой x, а второе – буквой y, то соотношение между ними можно записать в виде равенства x-y=5, содержащего две переменные. Такие равенства называются уравнениями с двумя переменными (неизвестными).

Уравнениями с двумя переменными являются равенства:

5x+2y=10 -7x+x=5 x²+y²=20 xy=12

Из этих уравнений первые два имеют вид ax+by=c, где a,b и c – числа. Такие уравнения называются линейными уравнениями с двумя переменными.

— Сформулируйте определение линейного уравнения с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

ax+by=c, где a,b и c – некоторые числа, а x и y –переменные.

Уравнение x-y=5 при x=8, y=3 обращается в верное равенство 8-3=5. Говорят, что пара значений переменных x=8, y=3 является решением этого уравнения.

-Сформулируйте определение решения уравнения с двумя переменными.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Пары значений переменных иногда записывают короче: (8;5). В такой записи на первом месте пишут значение x а на втором-y.

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения (или не имеющие решений), называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:

1.     Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

2.     Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число(не равное нулю), то получится уравнение равносильное данному.

Пример 1. Рассмотрим уравнение 10x+5y=15. Используя свойства уравнений, выразим одну переменную через другую. Для этого сначала перенесем 10x из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 5y=15-10x. Разделим каждую часть этого уравнения на число 5, получим равносильное уравнение y=3-2x. Таким образом, мы выразили одну переменную через другую. Пользуясь этим равенством, для каждого значения x можно вычислить значение y. Если x=2, то y=3-2*2 y=-1.

Если x=-2, то y=3-2*(-2) y=7. Пары чисел (2;-1), (-2;7) – решения данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.

-Используя свойства уравнений, в данном уравнении выразите x через y.

Иногда при решении задачи требуется найти все пары целых чисел или все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению с двумя переменными. В таких случаях говорят, что «надо решить уравнение в целых числах» или «решить уравнение в натуральных числах.

Из истории. Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.

Пример 2. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получилось 20 кг муки?

 

Допустим, что надо взять x пакетов по 3 кг и y пакетов по 2 кг. Тогда 3x+2y=20. Требуется найти все пары натуральных значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению. Получаем:

2y=20-3x

у=10-3/2x

Подставляя в это равенство вместо x последовательно все числа 1,2,3 и т.д., найдем при каких значениях х, значения yявляются натуральными числами. Получаем: (2;7), (4;4), (6;1). Других пар, удовлетворяющих данному уравнению нет. Значит надо взять либо 2и7, либо 4и 4, либо 6 и 1 пакетов соответственно.

3 — ий урок — Самостоятельная работа (20 мин.)

III.            Задания на уроке. №

Задание на дом.№

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скачано с www. znanio.ru

«Уравнения с двумя неизвестными в целых числах. Цепная дробь и алгоритм Евклида

На этапе подготовки к Единому государственному экзамену по математике ученикам старших классов необходимо обратить особое внимание на некоторые темы. В их числе решение уравнений и задач в целых числах. Опыт прошлых лет показал, что такие задания вызвали у выпускников особые затруднения. Поэтому, независимо от уровня подготовки, советуем более тщательно подойти к занятиям, обратившись к нашему порталу.

Сдавайте экзаменационное тестирование на «отлично» вместе со «Школково»!

Наш онлайн-сервис предлагает инновационный метод подготовки к итоговой аттестации. Школьные пособия не всегда находятся под рукой, а разделы в них предусматривают только повторения типовых заданий. Обращаясь к «Школково», ученики не будут испытывать проблем с поиском необходимых правил и формул для решения уравнений в целых числах. Преподаватели нашего онлайн-сервиса тщательно систематизировали и подали в наиболее доступном виде всю информацию по теме. Поэтому ученикам выпускных классов понадобиться минимальное количество времени на повторение пройденных материалов. Кроме того, каждый день школьники смогут получать новую подборку упражнений, соответствующую их текущим знаниям и навыкам.

Мы предлагаем начать с раздела «Теоретическая справка». В нем представлены все необходимые данные для подготовки к выполнению заданий. После этого переходите к разделу «Каталоги». Там вы найдете множество упражнений различного уровня сложности. Список примеров постоянно обновляется и дополняется, поэтому у вас не будет недостатка в новых заданиях. Советуем начать с самых простых и постепенно переходить к более трудным. Таким образом вы сможете выявить свои наиболее слабые стороны и сделать упор на конкретных типах заданий. Если вы видите, что примеры низкого уровня сложности не вызывают у вас никаких проблем, можете пропустить их и приступить к решению уравнений в целых числах уровня ЕГЭ.

Если какой-то пример вызвал особое затруднение, добавьте его в «Избранное». Так вы сможете вернуться к нему позже, заручившись поддержкой преподавателя или попробовать выполнить его самостоятельно после повторения правил.

Для того чтобы подготовка была более результативной, советуем обращаться к порталу «Школково» ежедневно. Уже после нескольких занятий вы заметите, что вам стали просто даваться даже примеры, ранее вызывавшие непонимание и сложности.

Обратите внимание, что на нашем сайте могут проходить подготовку к ЕГЭ абсолютно все желающие. Чтобы сохранить прогресс и каждый день получать индивидуальные задания, зарегистрируйтесь в системе. Желаем приятной подготовки!

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми , в честь древнегреческого математика , который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику . Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод остатков;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

а) 20х + 12у = 2013;

б) 5х + 7у = 19;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

x 0 = 1, y 0 = 2.

5x 0 + 7y 0 = 19,

5(х – x 0) + 7(у – y 0) = 0,

5(х – x 0) = –7(у – y 0).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x 0 = 7k, у – y 0 = –5k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x 0 = 1273·12 = 15276, y 0 = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе ), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

2 х 16, 2 у 16.

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

x 2 + 2y 2 = x 3

или, иначе,

x 2 (x–1) = 2y 2 .

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

Ответ: существует.

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,

и исходное уравнение примет вид

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x 1 , y 1 , z 1 , u 1 нечётны, то x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 не делится даже на 4. Значит,

x 1 = 2x 2 , y 1 = 2y 2 , z 1 = 2z 2 , u 1 = 2u 2 ,

и мы получаем уравнение

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

Ответ: (0; 0; 0; 0).

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

Очевидно, что

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

х 1 = 1, у 1 = 1;

х 2 = 1, у 2 = –1;

х 3 = 3, у 3 = 3;

х 4 = 3, у 4 = –3.

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

Складывая эти неравенства, получим, что

С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

Ответ: (2; 1; 1)

10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

х 1 = 0, у 1 = 0;

х 2 = 0, у 2 = –1;

х 3 = –1, у 3 = 0;

х 4 = –1, у 4 = –1.

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х 5 = 5, х 6 = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

х 5 = 5, у 5 = 2;

х 6 = –6, у 6 = 2.

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

а) ху = х + у + 3;

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

а) 2 х + 1 = у 2 ;

б) 3·2 х + 1 = у 2 .

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Задачи с целочисленными неизвестными

Павловская Нина Михайловна,

учитель математики МБОУ «СОШ № 92

г. Кемерово

Алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющими число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения получили название диофантовых уравнений .

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными трудной является даже задача доказательства существования целочисленных решений. Более того, доказано, что не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.

• Простейшими диофантовыми уравнениями являются уравнения вида

ax + by = c , a ≠ 0; b ≠ 0

Если с = 0 , то решение очевидно х = 0, у = 0.

Если с ≠ 0 , и решение (х 0 ; у 0 ) , то целое число

ax 0 + by 0 делится на d = (a ; b) , поэтому с так же должно делиться на общий делитель a и b .

Например: 3х + 6у = 5 не имеет целых решений, так как (3; 6) = 3, а с = 5 не делится на 3 без остатка.

• Если уравнение ax + by = c имеет решение (х 0 ; у 0 ) , и (a ; b) = 1 , то все решения уравнения задаются формулами х = х 0 + bn; y = у 0 – an, где nлюбое целое решение.

Например: 3х + 5у = 13, (3; 5) = 1, значит уравнение имеет бесконечно много решений, х 0 =1; у 0 =2

Большая (великая) теорема Ферма гласит: уравнение вида не имеет решений в натуральных числах.

Эта теорема была сформулирована итальянским математиком Пьером Ферма более 300 лет назад, а доказана лишь в 1993 году.

Метод разложения на множители .

1) Решить в целых числах уравнение

x + y = xy.

Решение. Запишем уравнение в виде

(x — 1)(y — 1) = 1.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1. Т. е. исходное уравнение равносильно совокупности

с решениями (0,0) и (2,2).

2. Решите в целых числах уравнение:

3х² + 4ху – 7у²= 13.

Решение: 3х² — 3ху + 7ху – 7у²= 13,

3х(х – у) +7у(х – у) = 13,

(х – у)(3х + 7у) = 13.

Так как 13 имеет целые делители ±1 и ±13,

1. х – у = 1, 7х – 7у = 7, х = 2,

3х + 7у= 13; 3х + 7у = 13; откуда у = 1

2. х – у = 13, 7х – 7у = 91, х = 9,2,

3х + 7у= 1; 3х + 7у =1; откуда у=- 3,8.

3 . х – у = -1, 7х – 7у = -7, х = -2,

3х + 7у= -13; 3х + 7у = -13; откуда у = -1.

4. х – у = -13, 7х – 7у = -91, х = -9,2,

3х + 7у= -1; 3х +7у= -1; откуда у =3,8.

Следовательно уравнение имеет два решения в целых числах: (2;1) и (-2;-1)

3 . Решите в целых числах уравнение:

9х² + 4х – ху +3у = 88.

Решение: 9х² + 4х – 88 = ху – 3у,

9х² + 4х – 88 = у(х – 3)

так как 5 имеет целые делители ± 1и ± 5, то

Генрих Г.Н. ФМШ №146 г. Пермь

54 ≡ 6× 5≡ 2(mod 7),

55 ≡ 2× 5≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5≡ 1(mod 7).

Возводя в степень k, получаем 56k ≡ 1(mod 7) при любом натуральном k. Поэтому 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Геометрически это равенство означает, что мы проходим по кругу, стартуя от 5, девяносто два цикла и еще три числа). Таким образом, число 222555 дает при делении на 7 остаток 6.

Несомненно, одна из интересных тем математики – решение диофантовых уравнений. Эта тема изучается в 8, а затем и в 10 и 11 классе.

Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называется диофантовым уравнением. Простейшим из них является уравнение вида ах+bу=с, где а, b и с Î Z. При решении этого уравнения используется следующая теорема.

Теорема. Линейное диофантово уравнение ах+bу=с, где а, b и сÎ Z имеет решение тогда и только тогда, когда с делится на НОД чисел а и b. Если d=НОД (а, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d и (x0 , y0 ) – некоторое решение уравнения ах+bу=с, то все решения задаются формулами х=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, где t ─ произвольное целое число.

1. Решить в целых числах уравнения:

	3ху–6х2 =у–2х+4;
	(х–2)(ху+4)=1;		у–х–ху=2;
	2х2 +ху=х+7;		3ху+2х+3у=0;
	х2 –ху–х+у=1;
	х2 –3ху=х–3у+2;	10. х2 –ху– у=4.

2. Следующие задачи рассматривала с выпускниками при подготовке к ЕГЭ по математике по данной теме.

1). Решить в целых числах уравнение: ху+3у+2х+6=13. Рещение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Получим:

у(х+3)+2(х+3)=13;

(х+3)(у+2)=13.

Так как x,уÎ Z, то получим совокупность систем уравнений:

Генрих Г.Н.

	ì x +
	ì x +
	ì x +
ê ì x +

ФМШ №146 г. Пермь

		ì x =
		ì x =
		ì x =
	ê ì x =

Ответ: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Решить в натуральных числах уравнение: 3х +4у =5z .

9). Найти все пары натуральных чисел m и n, для которых справедливо равенство 3m +7=2n .

10). Найти все тройки натуральных чисел k, m и n, для которых справедливо равенство: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

11). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 14 раз больше, или в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4321.

в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность? Решение:

а) Пусть а1 =х, тогда а2 = 14х или а1 =14х, тогда а2 =х. Тогда по условию а1 + а2 = 4321. Получим: х+14х=4321, 15х=4321, но 4321 не кратно 15, значит, двух членов в последовательности быть не может.

б) Пусть а1 =х, тогда а2 = 14х, а3 =х, или 14х+х+14х=4321, или х+14х+х=4321. 29х=4321, тогда х=149, 14х=2086. Значит, последовательность может иметь три члена. Во втором случае 16х=4321, но тогда х не является натуральным числом.

Ответ: а) нет; б) да; в) 577.

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

12). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 10; раз больше, или в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1860.

а) Может ли последовательность иметь два члена? б) Может ли последовательность иметь три члена?

в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность?

Очевидно, что говорить о делимости целых чисел и рассматривать задачи по данной теме можно бесконечно. Я постаралась рассмотреть эту тему так, чтобы в большей степени заинтересовать учащихся, показать им красоту математики еще и с этой с точки зрения.

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

Список литературы:

1. А. Я. Каннель-Белов, А. К. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи Москва МЦНМО 2001

2. А.В.Спивак. Приложение к журналу Квант№4/2000 Математический праздник, Москва 2000

3. А.В.Спивак. Математический кружок, «Посев» 2003

4. Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных. Математический кружок. Задачник первого-второго года обучения. Санкт-Петербург. 1993

5. Алгебра для 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под редакцией Н.Я.Виленкина. Москва, 1995 г.

6. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, Просвещение. 1994 г.

7. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра 8 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, 2001 г.

8. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009

9. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень Задачник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009

10. А.Г.Клово, Д.А.Мальцев, Л.И.Абзелилова Математика. Сборник тестов по плану ЕГЕ 2010

11. ЕГЭ-2010. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009

12. ЕГЭ УМК «Математика. Подготовка к ЕГЭ». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Подготовка к ЕГЭ-2011. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2010

13. УМК «Математика. ЕГЭ-2010». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. МАТЕМАТИКА Подготовка к ЕГЭ-2010. Учебно-тренировочные тесты. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009

14. ФИПИ ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся МАТЕМАТИКА 2010 «Интеллект-Центр» 2010

15. А.Ж.Жафяров. Математика. ЕГЭ-2010 Экспресс-консультация. Сибирское университетское издательство, 2010

Задача 12.

Решите в целых числах 5х²+ 5у² + 8ху + 2у – 2у + 2 = 0 .

Решение.

Если попытаться решить данное уравнение методом разложения на множители, то это достаточно трудоёмкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительн о х 5х²+(8у-2)х+5у²+2у +2=0 , х1,2 = (1 – 4у ±√(1 – 4у) ² — 5(5у² + 2у + 2))/5 = (1 – 4у ±√ -9(у + 1)²)/5.

Данное уравнение имеет решение тогда, когда дискриминант равен нулю, т.е. –9(у + 1) = 0 , отсюда у = -1 . Если у = -1 , то х =1 .

Ответ.

Задача 13.

Решите в целых числах 3(х² + ху + у²)= х + 8у

Решение.

Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х 3х ² + (3у — 1)х + 3у² — 8у = 0. Найдём дискриминант уравнения D = =(3у – 1) ² — 4 * 3(3у² — 8у) = 9у² — 6у + 1 – 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1.

Данное уравн ение имеет корни, если D ³ 0 , т. е. –27у² + 90 у + 1³ 0

(-45 + √2052)/ (-27) £ у £ (-45 -√2052)/ (-27) (4)

Так как у Î Z , то условию (4) удовлетворяют только 0, 1, 2, 3 . Перебирая эти значения, получим, что уравнение в целых числах имеет решения (0; 0) и (1; 1) .

Ответ.

(0; 0) , (1; 1) .

Задача 14.

Решите уравнение 5х² — 2ху + 2у² — 2х – 2у + 1= 0.

Решение.

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно х с коэффициентами, зависящими от у, 5х² — 2(у + 1)х + 2у² – 2у + 1= 0.

Найдём четверть дискриминанта D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)² .

Отсюда следует, что уравнение имеет решение только тогда, когда -(3у – 2)² = 0 , отсюда следует у = ⅔, затем находим х = ⅓.

Ответ.

(⅓; ⅔).

Метод остатков.

Задача 15.

Решите в целых числах 3ª = 1 + у²

Решение.

Видно, что (0; 0) – решение данного уравнения. Докажем, что других решений нет.

Рассмотрим случаи:

1) х Î N, y Î N (5)

Если х Î N , то 3ª делится на 3 без остатка, а у² + 1 при делении на 3 даёт остаток либо 1 , либо 2 . Следовательно, равенство (5) при натуральных значениях х и у невозможно.

2)Если х – целое отрицательное число, y Î Z, тогда 0а 1+у²³0 и равенство (5)также невозможно. Следовательно, (0; 0) – единственное решение.

Ответ.

Задача 16.

Докажите, что система уравнений

ì х² — у² = 7

î z² — 2y² = 1

не имеет решений в целых числах.

Решение.

Предположим, что система разрешена. Из второго уравнения z²=2у+1, т. е. z²– нечётноё число и z -нечётное, значит z=2m+1 . Тогда y²+2m²+2m , значит, у² — чётное числои у – чётное, y = 2n, n Î Z.

x²=8n³+7, т. е. х² — нечётное число и х — нечётное число, х=2k+1, k Î Z.

Подставим значения х и у в первое уравнение, получим 2(k² + k — 2n³) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2 , а правая нет.

Значит, наше предположение неверно, т.е. система не имеет решений в целых числах.

Метод бесконечного спуска.

Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём–то кончаться.

Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем.

Задача 17.

Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17 (6)

Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные.

у=(17-29х-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13 (7)

Обозначим (4-3x-4z)/13 = t1 (8)

Из (7) следует, что t1 может принимать только целые значения. Из (8) имеем 13t1 + 3x + 4z = 14 (9)

Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (6) коэффициентами. Применим к (9) те же соображения: x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3

(1-t1-z)/3 = t2 , t2 – целое, 3t2+t1+z = 1 (10)

В (10) коэффициент при z – неизвестном исходного уравнения равен 1 – это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z , x , y через t1 и t2 .

ì z = -t1 – 3t2 + 1

í x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2

î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 — 3

Итак,ì x = -3t1 + 4t2

í y = 11t1 + 4t2 — 3

î z = -t1 – 3t2 + 1

t1, t2 — любые целые числа – все целые решения уравнения (6)

Задача 18.

Решить в целых числах x³ — 3y³ — 9z³ = 0 (11)

Решение.

Видно, что левая часть уравнения (11) не поддаётся никаким преобразованиям. Поэтому исследуя характер целых чисел x³=3(y³-z³). Число x³ кратно 3 , значит и число х кратно 3 , т. е. х = 3х1 (12) Подставим (12) в (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9×1³-y³-3z³=0 (13)

y³=3(3×1³-z³). Тогда у³ кратно 3 , значит и у кратно 3 , т. е. у=3у1 (14). Подставим (14) в (13) 9х1³ -27у1³ — 3z³=0 . Из этого уравнения следует, что z³ кратно 3, а значит и z кратно 3 , т.е. z=3z1 .

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (11), кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3 , получаем числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0)

Как решить два уравнения с двумя неизвестными — I

Не могли бы вы напомнить, как решить два уравнения с двумя неизвестными? Если да или если вы никогда не знакомы с этой концепцией, я приглашаю вас посмотреть это видео и следующее видео, которое является второй частью этой серии.

Два уравнения с двумя переменными. До сих пор при изучении алгебраических уравнений мы рассматривали решение отдельных уравнений только с одной переменной. Например, что-то вроде 2x + 7 = 15.

Что произойдет, если в уравнении есть более одной переменной? Предположим, у нас есть что-то вроде 2x + 3y = 15.

Итак, что будет значить для кого-то прийти и сказать нам, решить это уравнение? Как найти значения, которые работают в этом уравнении? Ну, конечно, одно возможное значение, если x = 0, тогда y может быть равно 5, так что это было бы решением. Другими словами, если x = 3 и y = 3, x = 6 и y = 1, это также значения, которые заставляют его работать.

Конечно, нет ограничений на то, что любая переменная должна быть положительной, поэтому другие решения включают (x = 9, y = -1) или (x = -3 и y = +7).И, как вы понимаете, мы могли бы сделать x все более и более отрицательным, а y — все более и более положительным — или наоборот. Так что мы могли получить довольно много подобных решений. Также нет ограничения на то, что переменные должны быть целыми числами, поэтому другие решения включают такие вещи, как x = 7 1/2 y = 0 или x = 4 и y = 2 1/3.

Итак, только на этой странице обратите внимание, что у нас есть одно, два, три, четыре, пять, шесть, семь решений для этого. И, безусловно, ясно, что мы можем получить намного больше. Фактически, одно уравнение с двумя переменными обычно имеет бесконечное количество решений.Обратите внимание, что все эти решения, если их построить на графике x-y, лежали бы на прямой линии.

Чтение диаграммы

Итак, семь упомянутых нами решений — это семь точек на этой диаграмме. И все они лежат на прямой. Теперь по причинам, которые мы обсудим позже в модуле координатной геометрии, любое отдельное уравнение только с x и y (ни одна из переменных не возведена в степень или дробь) может быть представлено линией в плоскости x-y. Так что прямо сейчас вам не нужно беспокоиться об их графическом отображении.Вам не нужно беспокоиться о том, как вы найдете наклон линии или что-то в этом роде.

Все, что вам нужно сделать, это просто иметь эту идею, только эту ассоциацию — что уравнение с x и y представлено линией. Это все, что вам нужно знать для этого обсуждения.

Большая идея номер один

Итак, первая большая идея состоит в том, что никто не может попросить вас решить одно уравнение с двумя переменными, потому что у него будет бесконечное количество решений. Линия проходит через бесконечное количество точек, и каждая из этих точек является решением.

Таким образом, никто не может законно попросить вас решить, потому что они просят вас решить бесконечное количество вещей одновременно.

Теперь предположим, что у нас есть два уравнения, каждое с двумя переменными. Это называется системой уравнений. Значения x и y должны одновременно удовлетворять обоим уравнениям. Что ж, это интересно.

Если каждое уравнение представляет собой линию, то имеет смысл, что единственная точка, где эти две линии пересекаются, будет единственной точкой, которая удовлетворяет обоим уравнениям.Итак, вы выбираете одну случайную линию и выбираете другую случайную линию, очень велики шансы, что они собираются где-то пересекаться, и они пересекаются в одной точке, и эта одна точка будет решением.

Большая идея номер два

С алгебраической точки зрения, когда мы находим это решение, мы геометрически находим точку, в которой они пересекаются. Итак, большая идея №2 состоит в том, что если у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными, мы обычно можем решить для уникальных значений x и y.Как решить систему уравнений для этих значений? Есть две стратегии.

Один — это замена, а другой — исключение, в некоторых источниках это называется линейной комбинацией. Я назову их заменой и устранением . Цель обоих этих методов — свести ситуацию с двумя уравнениями и двумя неизвестными к ситуации с одним уравнением и одним неизвестным, в которой мы уже знаем, как найти решение.

Метод замещения

Итак, что мы делаем, и это часто верно в отношении математики, мы превращаем проблему, которую не знаем, как решить, в проблему, которую мы действительно знаем, как решить.Это очень типично для математики. Итак, метод подстановки. В этом методе мы сначала решаем одно уравнение, либо одно для одной из переменных.

_{Изображение с digitalconsumator}

В этом уравнении мы получим одну переменную на одной стороне уравнения. Итак, есть два уравнения, которые я привел минуту назад, одно из них было x + 2y = 11. И это уравнение, в котором особенно легко получить x само по себе. Я собираюсь вычесть 2y с обеих сторон, и я получу x = 11-2y.Так что задержитесь на секунду, x = 11-2y. Теперь давайте посмотрим на другое уравнение.

Мы можем заменить x в другом уравнении выражением, равным x. Это потому, что x = 11-2y означает, что где бы ни был x, мы можем удалить x и заменить его тем, что он равен. Итак, вот другое уравнение, и мы просто снова напишем то же уравнение, но мы заменим это x на 11 минус 2y. Где теперь у нас есть одно уравнение с y.

Итак, теперь мы просто используем наше обычное решение, мы распределим, объединим

_{Image от CLS Digital Art}

как термины, мы вычтем 22 с обеих сторон, мы получим -y = -7 умножить на — 1 получаем y = 7. Итак, теперь мы решили для одного из двух значений, мы решили для y, нам все еще нужно решить для x. Теперь мы подставляем это значение для возврата y обратно в уравнение, которое было решено для x.

Итак, у нас было x = 11-2y, теперь мы знаем, что y = 7. Итак, мы просто вставим это, 11-14 равно -3. Таким образом, точка x равна -3, y равна положительному 7, что является решением. Обратите внимание, что метод подстановки наиболее полезен, когда в одном из двух уравнений коэффициенты одной из переменных равны положительной 1 или отрицательной 1.

Дроби и метод исключения

Если все коэффициенты при x и y в двух уравнениях не равны положительному или отрицательному, то решение для любой переменной приведет к получению дробей, что сделает решение более громоздким. Так, например, предположим, что это наша система. Предположим, мы пытаемся решить первое уравнение относительно x. Хорошо, если мы можем разложить 5y на обе стороны, то делим на 4.

Сразу попадаем на дроби. Заменить это было бы неинтересно.Да, математически мы могли бы решить уравнение таким образом — и после дробления, но мы предпочитаем не делать этого. В системах, в которых замена не удобна, мы будем использовать исключение. Мы рассмотрим метод исключения в следующем уроке.

Таким образом, система уравнений, два уравнения с двумя переменными, обычно имеют одно уникальное решение, и снова это будет место, где две линии пересекаются. Вот что мы находим. Мы можем решить либо заменой, либо устранением.Подстановка работает лучше всего, когда одна из переменных имеет коэффициент плюс или минус 1.

И снова, в следующем уроке мы поговорим об исключении.

• Майк работал экспертом по GMAT в Magoosh, помогая создавать сотни видеоуроков и практических вопросов, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха. Он также был отмечен как «участник месяца» более двух лет в клубе GMAT. Майк имеет степень бакалавра гуманитарных наук. Магистр физики (выпуск с отличием ) и M. Т.С. в «Религиях мира», оба из Гарварда. Помимо стандартизированного тестирования, у Майка более 20 лет опыта преподавания как в частных, так и в государственных школах, специализирующихся на математике и физике. В свободное время Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидной черепно-мозговой недостаточности, он настаивает на том, чтобы болеть за Нью-Йорк Метс. Узнайте больше о GMAT из видеообъяснений Майка на YouTube и из таких ресурсов, как «Каков хороший результат GMAT?» и диагностический тест GMAT.

  Посмотреть все сообщения

5.1. Линейные диофантовы уравнения — математика LibreTexts

Мысли вслух

Мэри пошла в парк и увидела машины с \ (2 \) колесами и \ (4 \) колесами. Она сосчитала колеса. Вернувшись домой, она сказала маме, что в машинах, которые она видела, было всего \ (28 \) колес. Ее мама спросила, у скольких автомобилей было \ (2 \) колеса, а у скольких — \ (4 \) колеса. Что ответила Мэри?

Диофантово уравнение

Диофантово уравнение — это полиномиальное уравнение с двумя или более целыми неизвестными.

Линейное диофантово уравнение (LDE) — это уравнение с двумя или более целыми неизвестными, каждая из которых имеет степень не более 1.

Линейное диофантово уравнение с двумя переменными имеет вид \ (ax + by = c, \), где \ (x, y \ in \ mathbb {Z} \) и a, b, c — целые константы. x и y — неизвестные переменные.

A Однородное Линейное диофантово уравнение (HLDE) — это \ (ax + by = 0, x, y \ in \ mathbb {Z} \). Обратите внимание, что \ (x = 0 \) и \ (y = 0 \) является решением, называемым тривиальным решением этого уравнения.

Пример \ (\ PageIndex {1} \):

Пример однородного линейного диофантова уравнения:

\ (5x-3y = 0, x, y \ in \ mathbb {Z} \).

В этом случае \ (x = 3 \), \ (y = 5 \) является решением, как и \ (x = 6 \), \ (y = 10 \).
Следовательно, \ (x = 3k \) и \ (y = 5k, k \ in \ mathbb {Z} \) представляют все решения.
Проверка: \ (5 (3k) -3 (5k) = 15k-15k = 0. \)

**** ПРИМЕЧАНИЕ **** В однородном линейном диофантовом уравнении, когда уравнение является сложением, требуется, чтобы одна из переменных была отрицательной.
В случае \ (5x + 3y = 0, x, y \ in \ mathbb {Z} \), \ (x = -3k \) и \ (y = 5k, k \ in \ mathbb {Z} \ ) являются решениями.

ТЕОРЕМА: Однородное линейное диофантово уравнение

Пусть \ (ax + by = 0, x, y \ in \ mathbb {Z} \) — однородное линейное диофантово уравнение.
Если \ (\ gcd (a, b) = d \), то полное семейство решений вышеуказанного уравнения составляет
\ (x = \ displaystyle \ frac {b} {d} k, \) и \ (y = — \ displaystyle \ frac {a} {d} k, k \ in \ mathbb {Z} \).

Пример \ (\ PageIndex {2} \): решить однородное линейное диофантово уравнение

\ (6x + 9y = 0, x, y \ in \ mathbb {Z} \).

Решение:
Обратите внимание, что НОД 6 и 9 равны 3. Следовательно, решения следующие:
\ (x = \ frac {9k} {3} = 3k \) и \ (y = \ frac {-6k} {3} = — 2k \) с \ (k \ in \ mathbb {Z} \).

Используйте следующие шаги, чтобы решить неоднородное линейное диофантово уравнение.

Решите линейные диофантовы уравнения: \ (ax + by = c, x, y \ in \ mathbb {Z} \).

Используйте следующие шаги, чтобы решить неоднородное линейное диофантово уравнение.

Шаг 1: Определите НОД для a и b.Предположим, что \ (\ gcd (a, b) = d \).
Шаг 2: Убедитесь, что НОД a и b делят c. ПРИМЕЧАНИЕ. Если ДА, переходите к шагу 3. Если НЕТ, ОСТАНОВИТЕСЬ, так как решений нет.
Шаг 3: Найдите конкретное решение для \ (ax + by = c \), сначала найдя \ (x_0, y_0 \) такое, что \ (ax + by = d \). Предположим, \ (x = \ frac {c} {d} x_0 \) и \ (y = \ frac {c} {d} y_0 \).
Шаг 4 : Используйте замену переменных: Пусть \ (u = x- \ frac {c} {d} x_0 \) и \ (v = y- \ frac {c} {d} y_0 \), затем мы увидим, что \ (au + bv = 0 \) (важно проверить ваш результат).
Шаг 5 : Решите \ (au + bv = 0 \). То есть: \ (u = — \ frac {b} {d} m \) и \ (v = \ frac {a} {d} m, m \ in \ mathbb {Z} \).
Шаг 6: Замените \ (u \) и \ (v \). Таким образом, общие решения: \ (x- \ frac {c} {d} x_0 = — \ frac {b} {d} m \) и \ (y- \ frac {c} {d} y_0 = \ frac {a } {d} m, m \ in \ mathbb {Z} \).

Пример \ (\ PageIndex {3} \): решительная проблема с кувшином

Решите линейные диофантовы уравнения: \ (5x + 3y = 4, x, y \ in \ mathbb {Z} \).

Решение:
Шаг 1: Определите НОД для 5 и 3 (a и b).Поскольку \ (5 (2) +3 (-3) = 1 \), \ (\ gcd (5, 3) = 1. \)
Шаг 2: Поскольку \ (1 \ mid 4 \), мы будем переходите к шагу 3.
Шаг 3: Найдите конкретное решение для \ (5x + 3y = 4, x, y \ in \ mathbb {Z} \).
Так как \ (5 (5) +3 (-7) = 4, x = 5 \) и \ (y = -7 \) является частным решением.
Шаг 4: Пусть \ (u = x-5 \) и \ (v = y + 7. \) Примечание: целое число, противоположное шагу 4, поэтому, если оно положительное на шаге 4, оно будет отрицательным на шаге 5. и наоборот.
Тогда \ (5u + 3v = 5 (x-5) +3 (y + 7) \)
\ (= 5x-25 + 3y + 21 \)
\ (= 5x + 3y-4 \)
\ ( = 4-4 \) (поскольку уравнение имеет вид \ (5x + 3y = 4 \))
\ (= 0. \)
Шаг 5: Решите 5u + 3v = 0
Общие решения: \ (u = -3m \) и \ (v = 5m, m \ in \ mathbb {Z} \).
Шаг 6: \ (x-5 = -3m \) и \ (y + 7 = 5m, m \ in \ mathbb {Z} \).
Следовательно, общие решения: \ (x = -3m + 5, y = 5m-7, m \ in \ mathbb {Z} \).

Пример \ (\ PageIndex {4} \):

Решите линейные диофантовы уравнения: \ (2x + 4y = 21, x, y \ in \ mathbb {Z} \).

Решение:
Поскольку \ (\ gcd (2, 4) = 2 \) и \ (2 \) не делит \ (21 \), \ (2x + 4y = 21 \) не имеет решения.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Решите линейное диофантово уравнение \ (20x + 16y = 500, x, y \ in \ mathbb {Z _ +} \).

Решение

Оба \ (x, y ≥ 0. 500 = 20 (x) + 16 (y). \)

Шаг 1: \ (gcd (20, 16) = 4. \) Поскольку \ (4 | 500 \), мы ожидаем решения.

Шаг 2: Решение: \ (4125 = 20 (1) (125) +16 (-1) (125). \)

\ (500 = 20 (125) +16 (-125) \)

Следовательно, \ (x = 125 \) и \ (y = -125 \) является решением \ (500 = 20x + 16y.\)

Шаг 3: Пусть u = x — 125 и v = y + 125.

Считаем, что 20u + 16v = 20x — (20) (125) + 16y + (16) (125)

= 20x + 16y — [(20) (125) — (16) (125)]

= 20x + 16y -500.

Таким образом, 20u + 16v = 0.

Шаг 4: В общем случае решение ax + by = 0: x = bdk и y = -adk, kZ \ {0}, d = gcd (a, b). Напомним, НОД (20, 16) = 4.

Таким образом, u = 16k / 4 = 4k и v = -20k / 4 = -5k, k ∈ ℤ.

Шаг 5: Замените u и v.

Рассмотрим 4k = x — 125 и -5k = y + 125.

Следовательно, x = 4k + 125 и y = -5k — 125.

Шаг 6: И x, и y ≥ 0. x ≤ 25 и y ≤ 31, так как общее количество равно 500.

4k + 125 ≥ 0, k ≥ -125/4, ∴ k ≥ -31,25.

4k + 125 ≤ 25, 4k ≤ -100, ∴ k ≤ -25.

Таким образом, возможные решения:

Пусть k = -25, тогда x = 25, y = 0.

Пусть k = -26, тогда x = 21, y = 5.

Пусть k = -27, тогда x = 17, y = 10.

Пусть k = -28, тогда x = 13, y = 15.

Пусть k = -29, тогда x = 9, y = 20.

Пусть k = -30, тогда x = 5, y = 25.

Пусть k = -31, тогда x = 1, y = 30.

Таким образом, варианты \ ((x, y \), которые удовлетворяют данному уравнению, следующие:

{(25,0), (21,5), (17,10), (13, 15), (9, 20), (5, 25), (1,30)}

В сборниках головоломок можно найти следующую задачу.

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Когда миссис Браун обналичила свой чек, рассеянный кассир дал ей столько центов, сколько у нее должно быть долларов, и столько долларов, сколько у нее должно быть центов.Столь же рассеянная миссис Браун ушла с деньгами, не заметив несоответствия. И только после того, как она потратила 5 центов, она заметила, что теперь у нее вдвое больше денег, чем следовало бы. Какая была сумма ее чека?

Решение

Пусть x — количество долларов, которое миссис Браун должна была получить, а y — количество центов, которое она должна была получить.

Тогда 2 (100x + y) = 100y + x — 5

Отметьте двойную первоначальную сумму, не тратя ни цента.

200x + 2y = 100y + x — 5

199x — 98y = -5.

5 = — 199x + 98y

Шаг 1: gcd (199,98) = 1. Поскольку 1 | 5, можно продолжить.

Шаг 2: Решение: 51 = -199 (-33) (5) + (98) (- 67) (5)

5 = -199 (-165) + 98 (-335).

Следовательно, x = -165 и y = -335 является решением 5 = 98y — 199x.

Шаг 3: Пусть u = x + 165 и v = y + 335.

Считайте, что -199u + 98v = -199 (x + 165) + 98 (y + 335)

= -199x + 98y — [(199) (165) + (98) (335)]

Таким образом, -199u + 98v = -199x + 98y — 5 = 0.

Шаг 4: В общем случае решение ax + by = 0: x = bdk и y = -adk, kZ \ {0}, d = gcd (a, b).

Напомнить, НОД (199, 98) = 1.

Таким образом, u = 98k и v = 199k, k ∈ ℤ.

Шаг 5: Заменить u и v.

x + 165 = 98k и y + 335 = 199k, k ∈ ℤ.

Следовательно, x = -165 + 98k и y = -335 + 199k.

Шаг 6: Оба x и y ≥ 0 и оба x, y <100

-165 + 98k ≥ 0, поэтому k ≥ 1.68

-335 + 199k ≥ 0, поэтому k ≥ 1,68

-165 + 98k <100, 98k <265, ∴ k <2,70

-335 + 199k <100, 199k <435, ∴ k <2,18

Поскольку, 1.68 ≤ k <2.18 и k ∈ ℤ, k = 2.

Таким образом, x = 98 (2) — 165 = 31 и y = -335 + 199 (2) = 63.

Таким образом, чек был на 31,63 доллара.

Для проверки кассир дал миссис Браун 63,31 доллара, затем она потратила 5 центов, оставив ей 63,26 доллара, что вдвое превышает сумму чека \ ((2) (\ 31 доллар.63) = \ 63,26 $ \). ✔

ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

• Криптография
• Создание различных комбинаций различных элементов.

Числовые задачи с двумя переменными

Числовые задачи с двумя переменными

Вот несколько примеров решения числовых задач с двумя переменными.

Пример 1

Сумма двух чисел равна 15.Разница одних и тех же двух чисел равна 7. Что это за два числа?

Сначала обведите то, что вы ищете — два числа. Пусть x обозначает большее число, а y обозначает второе число. Теперь составьте два уравнения.

Сумма двух чисел равна 15.

x + y = 15

Разница 7.

x — y = 7

Теперь решите, сложив два уравнения.

Теперь подставка к первому уравнению дает

Цифры 11 и 4.

Пример 2

Сумма удвоения одного числа и троекратного другого числа равна 23, а их произведение равно 20. Найдите числа.

Сначала обведите то, что вы должны найти — числа . Пусть x обозначает число, которое умножается на 2, а y обозначает число, умноженное на 3.

Теперь составьте два уравнения.

Сумма двойного числа и тройного другого числа равна 23.

2 x + 3 y = 23

Их продукт 20.

x ( y ) = 20

Преобразование первого уравнения дает

3 y = 23-2 x

Разделив каждую часть уравнения на 3, получим

Теперь подстановка первого уравнения во второе дает

Умножение каждой части уравнения на 3 дает

23 x -2 x ² = 60

Перепись этого уравнения в стандартной квадратичной форме дает

2 x ² -23 x + 60 = 0

Решение этого квадратного уравнения с использованием факторизации дает

(2 x — 15) ( x — 4) = 0

Установка каждого коэффициента равным 0 и решение дает

Для каждого значения x мы можем найти соответствующее ему значение y .

Если, то или.

Если x = 4, то или.

Следовательно, у этой проблемы есть два набора решений.

Число, умноженное на 2, равно, а число, умноженное на 3, равно, или число, умноженное на 2, равно 4, а число, умноженное на 3, равно 5.

Видео-вопрос: Написание и решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Стенограмма видео

Сумма двух чисел равна 56.Если одно число составляет одну треть от другого, какие числа?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно составить несколько уравнений. Пусть эти два числа будут представлены буквами 𝑎 и 𝑏. Первая часть информации, которую мы даем в вопросе, состоит в том, что два числа имеют сумму 56. Мы можем выразить это с помощью алгебры как плюс 𝑏 равно 56. Другая часть информации, которую нам дают, — это то, что число составляет одну треть другого числа. Предположим, что — меньшее из двух чисел.И мы можем выразить этот факт как равно больше трех. 𝑎 составляет одну треть от 𝑏.

Однако обычно работать с целыми числами проще, чем с дробями. Таким образом, эквивалентный способ выразить это так: если 𝑎 равно 𝑏 больше трех, то три 𝑎 равно 𝑏. Мы можем составить это уравнение, умножив обе части исходного уравнения на три.

Теперь у нас есть пара одновременных уравнений относительно переменных 𝑎 и 𝑏. И нам нужно решить эти уравнения, чтобы найти значения 𝑎 и 𝑏, которые удовлетворяют обоим.Наше второе уравнение дает явное выражение для 𝑏 через другую переменную. 𝑏 равно трем 𝑎. Мы можем взять это выражение для 𝑏 и подставить его в наше первое уравнение вместо 𝑏 здесь. Когда мы это делаем, мы получаем уравнение плюс три 𝑎 равно 56, которое является уравнением только с одной переменной.

Затем мы использовали метод подстановки, чтобы поменять местами одну переменную на выражение в терминах другой. Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы определить значение.Во-первых, группируя одинаковые термины, мы получаем четыре, равное 56. Затем, разделив обе части уравнения на четыре, мы обнаруживаем, что 𝑎 равно 14. Итак, мы определили значение одного из двух чисел.

Чтобы определить значение другого числа, нам нужно взять это значение 𝑎 и подставить его в уравнение для 𝑏. 𝑏 равно трем 𝑎. Итак, это три, умноженное на 14, что равно 42. Тогда мы нашли два числа. Это 14 и 42. Быстро проверив, мы можем подтвердить, что сумма этих двух чисел действительно равна 56 и что одна треть 𝑏, то есть одна треть от 42, действительно равна 𝑎.Это 14.

Итак, сформировав пару линейных одновременных уравнений для этих двух переменных и затем решив их с помощью метода подстановки, мы обнаружили, что два числа, которые имеют сумму 56 и такое, что одно число равно единице- треть другого — 14 и 42 года.

Промежуточная алгебра Урок 20: Решение систем линейных уравнений в трех переменных WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня Цели обучения После изучения этого руководства вы сможете: Решите систему линейных уравнений с тремя переменными с помощью устранение метод. Введение Учебник Система линейных уравнений Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнения, которые решаются одновременно. В этом руководстве мы рассмотрим системы, которые иметь три линейных уравнения и три неизвестных. Урок 19: Решение системы линейных уравнений с двумя переменными рассмотрел три способа решать линейные уравнения с двумя переменными. В общем, решение системы в три переменные — это упорядоченный тройной ( x , y , z ) это делает ВСЕ ТРИ уравнения истинными. Другими словами, это то, что есть у всех троих. общий. Так что если упорядоченная тройка является решением одного уравнения, но не другого, тогда это НЕ решение системы. Обратите внимание, что линейные уравнения с двумя переменными, найденные в Урок 19: Решение системы линейных уравнений с двумя переменными, изображенных на графике как линия в двумерной декартовой системе координат.Если бы вы были график (который вас не попросят делать здесь) линейное уравнение в трех переменных, вы получите фигуру самолета в трех размерный система координат. Пример того, как будет выглядеть самолет: пол или столешница. Вспомните следующее из Урок 19: Решение системы линейных уравнений с двумя переменными: Согласованная система — это система, в которой хотя бы одно решение. Несогласованная система — это система, которая имеет нет решения . Уравнения системы зависимы если ВСЕ решения одного уравнения являются решениями двух других уравнений. В другими словами, они заканчиваются тем, что и та же строка . Уравнения системы независимы , если они не делятся ВСЕ решения .У них может быть одна общая черта, только не все их. Одно решение Если система с тремя переменными имеет одно решение, это заказанный тройной ( x , y , z ) это решение ВСЕХ ТРЕХ уравнений. Другими словами, когда вы подставляете значения упорядоченной тройки, получается ВСЕ ТРИ уравнения ИСТИННЫЙ. Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет эта система непротиворечива или непоследовательна? Если вы сказали «последовательный», похлопайте себя по плечу! Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми? Если вы сказали независимый, вы правы! Нет решения Если три плоскости параллельны друг другу, они никогда пересекаются. Это означает, что у них нет очков в общий. В этой ситуации у вас не будет решения. Если вы не получили решения для окончательного ответа, — это эта система непротиворечива или непоследовательна? Если вы сказали «непоследовательно», вы правы! Если вы не получите окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми? Если вы сказали независимый, вы правы! Бесконечный Решения Если три самолета в конечном итоге лежат друг на друге, то есть бесконечное количество решений. В этой ситуации они было бы в конечном итоге окажутся в одной плоскости, поэтому любое решение, которое будет работать в одном уравнение собирается работать в другом. Если вы получите бесконечное количество решений для ваш окончательный ответ, это эта система непротиворечива или непоследовательна? Если вы сказали «последовательный», вы правы! Если вы получите бесконечное количество решений для ваш окончательный ответ, будет уравнения быть зависимыми или независимыми? Если вы сказали иждивенец, вы правы! Решение систем линейных Уравнений с тремя переменными Использование метода исключения Обратите внимание, что существует несколько способов решения Этот тип система. Метод исключения (или добавления) — один из наиболее общий способы сделать это. Поэтому я предпочитаю показать это так. Если у вас есть другой способ сделать это, во что бы то ни стало, сделайте это твой путь, тогда вы можете проверить свои окончательные ответы с моими. Независимо от того, в какую сторону ты выбрать сделать это, если вы делаете это правильно, ответ будет имеют быть таким же. Шаг 1. Упростите и поместите все три уравнения в при необходимости сформируйте A x + B y + C z = D. Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций. Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive. Для удаления дробей: поскольку дроби — это еще один способ написать деление, а обратное деление — умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций. Шаг 2. Выберите для удаления любого переменных из любой пары уравнений. На данный момент вы только работа с двумя ваших уравнений. На следующем шаге вы добавите третий уравнение в смесь. Забегая вперед, вы добавите эти два уравнения вместе . В этом процессе вам нужно убедиться, что одна из переменных падает вне, оставив одно уравнение и два неизвестных. Единственный способ вы можете гарантия то есть если вы добавляете противоположности . Сумма противоположностей равно 0. Неважно, какую переменную вы выберете вне. Вы хотите, чтобы это было как можно проще. Если переменная уже имеет противоположные коэффициенты, чем при добавлении двух уравнений вместе. В противном случае вам нужно умножить одно или оба уравнения на число. тот создаст противоположные коэффициенты в одной из ваших переменных. Ты может думайте об этом как о ЖК-дисплее. Подумайте, какой номер оригинал коэффициенты оба входят и соответственно умножают каждое отдельное уравнение. Сделать убедитесь, что одна переменная положительна, а другая отрицательна, прежде чем вы добавлять. Например, если у вас есть 2 x в одном уравнении и 3 x в другом уравнении, вы могли бы умножать первое уравнение на 3 и получаем 6 x и в второе уравнение на -2, чтобы получить -6 x . Так когда вы собираетесь сложить эти два вместе, они выпадут. Шаг 3: Удалите ТО ЖЕ ЖЕ переменная, выбранная в шаг 2 из любой другой пары уравнений, создавая систему из двух уравнения и 2 неизвестных. Шаг 5: Решите для третьего Переменная. Если вы найдете значение для двух переменных в шаг 4, что означает, что три уравнения имеют одно решение. Вставьте значения найденное на шаге 4, в любое из уравнений задачи, которые имеют отсутствующая переменная в нем и решите третью переменную. Предлагаемое решение можно подключить ко ВСЕМ ТРЕМЯ уравнения. Если он делает ВСЕ ТРИ уравнения истинными, то у вас есть решение система. Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно идти назад и повторить проблема. Пример 1 : Решите систему. Обратите внимание, что числа в () Являются уравнением числа.Они будут использоваться в задачах для справки. целей. По сути, мы сделаем то же самое, что и с системами двух уравнений, просто больше. Другими словами, у нас будет к выполните исключение дважды, чтобы перейти к одной переменной, поскольку мы на этот раз начав с трех переменных. Никаких упрощений здесь не требуется.Перейдем к следующий шаг. Давайте начнем с выбора нашей первой переменной для Устранить. Я иду выбрать y исключить. я нуждаюсь сделать это с ЛЮБОЙ парой уравнений. Давайте сначала удалим y , используя первую и вторые уравнения. Этот процесс идентичен тому, как мы подошел это с системами, найденными в Руководстве 19: Решение системы линейных уравнений с двумя переменными. Если я умножу 2 раза второе уравнение, то члены на будут противоположны друг другу и в конечном итоге выпадут. Умножение второго уравнения на 2 и затем добавив это к первое уравнение получаем: * Мног.экв. (2) по 2 * y х иметь противоположное коэффициенты * y ‘s выпал Теперь мы не можем останавливаться на достигнутом по двум причинам. Во-первых, мы бы застрять, потому что у нас есть одно уравнение и два неизвестных.Второй, когда мы решаем систему, это должно быть решение ВСЕХ задействованных уравнений и мы еще не включили третье уравнение. Давайте сделаем это в настоящее время. Мы продолжаем устранять y , на этот раз я хочу использовать второе и третье уравнения.я мог используйте первый и третий, если я не использовал оба одинаковых те используется на шаге 2 выше. В этом примере я выбрал второй и третий, потому что члены и уже противоположны, поэтому нам не нужно умножать на что-либо, мы можем сразу перейти к их сложению: * y ‘s иметь противоположное коэффициенты * y х выпал Соединяя два найденных нами уравнения, у нас теперь есть система двух уравнений и двух неизвестных, которую мы можем решить просто как те, что показаны в Уроке 19: Решение системы линейных уравнений в Две переменные. Вы можете использовать либо устранение, либо подмена. Я собираюсь продолжить и придерживаться метода исключения, чтобы завершить это. Давайте сначала соберем эти уравнения вместе: * Поместите уравнения, найденные в шагах 2 и 3 вместе в одну систему Теперь я собираюсь выбрать x , чтобы исключить . Мы можем либо умножьте первое уравнение на -1, либо второе, в любом случае создать противоположности перед членами x . Я собираюсь умножить уравнение (5) на -1. а затем добавить уравнения вместе: * Мног. экв. (5) по -1 * x ‘s иметь противоположное коэффициенты * x ‘s выпал * Инверсная к мульт.на 4 — div. по 4 Если мы вернемся на один шаг назад к системе, в которой было два уравнения и две переменные и введите 1 для z в каком является обозначенное уравнение 4, получим: * Ур. (4) * Вставка 1 для z * Сумма, обратная добавлению 5, является вспомогательной. 5 * Инверсная по отношению к мульт. на 5 дел. по 5 Теперь нам нужно вернуться к исходной системе и выбрать любое уравнение чтобы вставить две известные переменные и решить для нашей последней переменной. Я выбираю уравнение (1) для вставки нашего 2 для x и 1 для z , что мы нашли: * Ур. (1) * Вставка 2 для x и 1 для z * Прибавление 3 — это под. 3 * Инверсная по отношению к мульт. на 2 — div. по 2 Вы обнаружите, что если вы подключите заказанный тройной (2, 0, 1) во ВСЕ ТРИ уравнения исходной системы, это решение ВСЕХ ТРИ их. (2, 0, 1) — это решение нашей системы. Пример 2 : Решите систему. Обратите внимание, что числа в () Являются уравнением числа. Они будут использоваться в задачах для справки. целей. К сожалению, нам приходится иметь дело с некоторыми дробями в уравнение (3). Мы можем позаботиться о них так же, как и с ними. в уравнениях на , умножив обе части уравнения (3) на это LCD, то есть 4. * Мульт.экв. (3) по ЖК-дисплею 4 Давайте начнем с выбора нашей первой переменной для Устранить. Я иду забрать з нам для устранения. Мы необходимость сделать это с ЛЮБОЙ парой уравнений. Давайте сначала удалим z , используя первое и вторые уравнения. Этот процесс идентичен тому, как мы подошел это с системами, найденными в Руководстве 19: Решение системы линейных уравнений с двумя переменными. Если мы умножим -1 на второе уравнение, то члены z будут противоположны друг другу и в конечном итоге выпадут. Умножение второго уравнения на -1, а затем добавляя это к первое уравнение получаем: * Мног. уравнение (2) по -1 * z ‘s иметь противоположное коэффициенты * z ‘s выпал Мы продолжаем устранять z , на этот раз мы хотим использовать второе и третье уравнения. Мы мог используйте первый и третий, если мы не использовали оба одинаковых те используется на шаге 2 выше. Похоже, нам придется умножить первую уравнение на 2, чтобы получить противоположности на z . Умножив первое уравнение на 2 и затем сложив уравнения (1) и (3) вместе получаем: * Мног.экв. (2) по 2 * z ‘s иметь противоположное коэффициенты * Выпадают все три переменные И у нас есть ЛОЖНЫЙ оператор Привет, все наши переменные исчезнувший. Что случилось??? Как с двумя уравнениями и двумя неизвестными показано в Уроке 19 (Решение системы линейных уравнений с двумя переменными), , когда все ваши переменные выпадают в любой момент, И у вас есть ложное утверждение, у вас нет решения для вашего ответа. Поскольку у нас нет решения, нет никакой ценности найдено для третья переменная. Нет заказанных троек для проверки. Окончательный ответ — нет решения. Пример 3 : Решите систему. Обратите внимание, что числа в () Являются уравнением числа. Они будут использоваться в задачах для справки. целей. Никаких упрощений здесь не требуется. Перейдем к следующий шаг. Обратите внимание, что в каждом уравнении отсутствует переменная. Например уравнение (1) отсутствует z. Мы можем использовать это в наших интересах. Мы можем использовать это уравнение в исходном виде как уравнение с переменной устранены. Я решил исключить z . Поскольку z уже исключен из первого уравнения мы будем использовать первое уравнение в исходной форме для этого шага: * z уже исключенная форма ур. (1) Мы продолжаем устранять z , на этот раз я хочу использовать второе и третье уравнения. Похоже, z ‘ s в второй и в третьих уравнениях уже есть противоположности, поэтому нам просто нужно их сложить вместе: * z ‘s иметь противоположное коэффициенты * z ‘s выпал Соединение двух найденных нами уравнений вместе у нас теперь есть система двух уравнений и двух неизвестных. Вы можете использовать метод исключения или замены для реши. Я собираюсь продолжить и придерживаться метода исключения, чтобы завершить это. Давайте сначала соберем эти уравнения вместе: * Поместите уравнения, найденные в шагах 2 и 3 вместе в одну систему Обратите внимание, как мы получили точно такие же два уравнения.Это похоже, что все снова выпадет, но на этот раз мы в итоге 0 = 0. Давайте продолжим и покажем этот шаг, умножив уравнение (4) по -1, чтобы получить противоположные коэффициенты для x и затем сложите два уравнения. * Мног.экв. (4) по -1 * x ‘s иметь противоположное коэффициенты * Все переменные выпали И у нас есть ИСТИНА Как и предполагалось, все переменные выпали И мы имеем верное заявление.Это означает, что существует бесконечное количество решений. Как упоминалось выше, существует бесконечное количество решения. Таким образом, третьей переменной нет. Нет заказанной тройки для проверки. Вы можете написать свой ответ разными способами: {( x, y, z ) | x + y = 9} OR {( x, y, z ) | y + z = 7} ИЛИ {( x, y, z ) | x — z = 2} Практические задачи Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-либо иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшим спортсменам и музыкантам помогали на протяжении всего пути. практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики. Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа. Практика Проблемы 1a — 1b: Решите систему. Нужна дополнительная помощь по этим темам? Последнее изменение 10 июля 2011 г. Ким Сьюард. Авторские права на все содержимое (C) 2001 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Решение системы уравнений с двумя неизвестными — видео и стенограмма урока

Системы уравнений

Системы уравнений могут показаться столь же сложными. Система уравнений — это группа из двух или более уравнений с одинаковыми переменными. Множественные уравнения? Несколько переменных? Этого достаточно, чтобы вы захотели сбежать.К счастью, решение систем уравнений намного проще, чем кажется.

В этом уроке мы попрактикуемся в двух наиболее распространенных методах решения систем уравнений. Во-первых, это метод подстановки. Метод замены — это когда вы решаете одно уравнение для любой переменной, а затем подставляете решение в другое уравнение.

Тогда есть метод исключения. Метод исключения — это когда мы складываем или вычитаем уравнения, чтобы найти переменную.Давайте попробуем каждый метод при решении некоторых уравнений.

Практика замены

Начнем с метода замены. Вот два уравнения:

y — 2 x = 1 и 5 x — 2 y = 3

Давайте возьмем первое и решим относительно y . Складываем 2 x , чтобы получить y = 1 + 2 x . Затем мы заменяем 1 + 2 x y во втором уравнении. Итак, получаем 5 x — 2 (1 + 2 x ) = 3.Теперь решаем для x . Сначала мы распределяем -2 и получаем -2-4 x . Тогда 5 x — 4 x — это всего лишь x . Мы прибавляем 2 к обеим сторонам, чтобы получить x = 5.

Теперь у нас есть значение x . Давайте подключим это к любому уравнению и получим значение y . Просто выберите тот, который, по вашему мнению, будет проще. Воспользуемся первым. y — 2 (5) = 1. y — 10 = 1. Складываем 10 и получаем y = 11.

Хорошая проверка — вернуть обе переменные обратно в оба уравнения.Если они не работают, вы знаете, что где-то ошиблись. Давайте попробуем это здесь.

y — 2 x = 1 становится 11 — 2 (5) = 1. Это 11-10 = 1. И да, 1 = 1. И 5 x — 2 y = 3 становится 5 (5) — 2 (11) = 3. Это 25 — 22 = 3. И снова да! 3 = 3. У нас все хорошо! И ни один будущий родственник не был оскорблен при решении этой проблемы.

Попробуем еще. Вот два уравнения:

y = 3 x — 4 и 2 y -5 x = 2

В этом у нас уже есть одно, решенное для y , поэтому давайте просто подставим 3 x — 4 дюйма вместо y во втором уравнении.Получаем 2 (3 x — 4) — 5 x = 2. 2 * 3 x равно 6 x и 2 * 4 равно 8. 6 x — 5 x это всего лишь x . Затем мы прибавляем 8 к обеим сторонам, и получаем x = 10.

Теперь подставим 10, чтобы получить x в первом уравнении. y = 3 (10) — 4. y = 30 — 4, или 26.

Хорошо, давайте проверим нашу работу. У нас есть y = 3 x — 4, получаем 26 = 3 (10) — 4. Это 30 — 4, что составляет 26! И 2 y -5 x = 2 становится 2 (26) — 5 (10) = 2.Это 52 — 50 = 2. Успех!

Практика на выбывание

Давайте попробуем применить практику на выбывание. Вот два уравнения:

x + y = 5 и 5 y — 1 = 2 x

Думайте об этом, как о приготовлении бутерброда. Вам нужно, чтобы ингредиенты выстроились в одну линию. Если ваш помидор зайдет слишком далеко, он выскользнет. Итак, давайте все выровняем.

x + y = 5

5 y — 1 = 2 x

Отлично! Теперь нам нужно сбалансировать коэффициенты для одной из переменных, чтобы они уравнялись.Это все равно, что следить за балансом количества майонеза и горчицы. Здесь мы можем умножить верхнее уравнение на 2, чтобы получить 2 x сверху, чтобы соответствовать 2 x снизу.

А теперь вычтем. 2 x сокращаются. У нас осталось -3 y = 9. Разделим на -3 и y = -3. Теперь подставьте -3 для y в первом уравнении. x — 3 = 5. Итак, x = 8. Вот и наш бутерброд! Но ждать. Давайте проверим нашу работу, прежде чем съесть ее.

В x + y = 5, мы получаем 8 — 3 = 5. Это работает. В 2 x + 5 y = 1, мы получаем 2 (8) + 5 (-3) = 1. Это 16-15 = 1. Успех!

Давайте попробуем другой:

2 x — y = 3

-4 x + 3 y = 1

Эй, смотрите — наши термины аккуратно сложены. Спасибо, боги сэндвичей! И мы можем умножить верхнее уравнение на 2, чтобы избавиться от членов x . Таким образом, получается 4 x — 2 y = 6.Здесь мы хотим добавить. -2 y + 3 y — это просто y . И 6 + 1 равно 7. Итак, y = 7.

Теперь подставьте 7, чтобы получить y в одном из уравнений. 2 x — 7 = 3. 2 x = 10. x = 5.

Давайте проверим наши ответы. 2 x — y = 3 становится 2 (5) — 7 = 3. Это 10 — 7 = 3, так что это работает. И -4 x + 3 y = 1 становится -4 (5) + 3 (7) = 1. Это -20 + 21 = 1, так что это тоже работает.Мы сделали это!

Краткое содержание урока

В общем, свадьбы — это сложно. Также мы практиковались в решении систем уравнений . Есть два распространенных метода решения систем уравнений. Первый — это метод замены на . Это включает в себя решение одного из уравнений для одной из переменных, а затем замену результата для этой переменной в другое уравнение. Другой метод — это метод исключения . Этот метод включает в себя сложение уравнений и умножение членов в одно так, чтобы при сложении или вычитании уравнений одна из переменных исчезла.

Результат обучения

После просмотра этого видеоурока вы должны уметь решать системы уравнений с двумя неизвестными переменными как методом подстановки, так и методом исключения.

Решать уравнения с помощью целых чисел; Свойство деления равенства — Предалгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определить, является ли целое число решением уравнения
• Решите уравнения с целыми числами, используя свойства равенства и сложения и вычитания
• Модель разделения свойства равенства
• Решите уравнения, используя свойство деления равенства
• Переведите в уравнение и решите

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

1. 
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
2. 
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
3. Переведите в алгебраическое выражение меньше, чем
   Если вы пропустили эту задачу, просмотрите (рисунок).

Решите уравнения с целыми числами, используя свойства равенства и вычитания

В Решении уравнений со свойствами равенства вычитания и сложения мы решили уравнения, аналогичные двум показанным здесь, используя свойства равенства вычитания и сложения.Теперь мы можем снова использовать их с целыми числами.

Когда вы прибавляете или вычитаете одну и ту же величину из обеих частей уравнения, вы все равно получаете равенство.

Свойства равенств

In the row under the first column, subtraction property of equality, it states for any numbers, a, b, and c, if a equals b, then a minus c equals b minus c. In the row under the second column, addition property of equality, it states for any numbers a, b, and c, if a equals b, then a plus c» data-label=»»>

Свойство равенства вычитания	Дополнительное свойство равенства

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решите уравнения, используя свойство деления равенства

Предыдущие примеры ведут к свойству разделения равенства.Когда вы разделите обе части уравнения на любое ненулевое число, вы все равно получите равенство.

Раздел Собственность равенства

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Решить:

Упражнения по разделам

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ В целом, посмотрев контрольный список, думаете ли вы, что хорошо подготовлены к следующей главе? Почему или почему нет?

Упражнения на повторение главы

Введение в целые числа

Найдите положительные и отрицательные числа в числовой строке

В следующих упражнениях найдите и отметьте целое число в числовой строке.

Положительные и отрицательные числа для заказа

В следующих упражнениях закажите каждую из следующих пар чисел, используя или

Найдите противоположности

В следующих упражнениях найдите противоположность каждого числа.

Упростите следующие упражнения.

1. ⓐ
2. ⓑ

1. ⓐ
2. ⓑ

Оцените в следующих упражнениях.

Упростите абсолютные значения

Упростите следующие упражнения.

Оцените в следующих упражнениях.

В следующих упражнениях введите каждую из следующих пар чисел.

Упростите следующие упражнения.

Преобразование фраз в выражения с целыми числами

В следующих упражнениях переведите каждую из следующих фраз в выражения с положительными или отрицательными числами.

противоположность

противоположность

отрицательное

минус минус

минусовая температура

возвышение ниже уровня моря

Сложить целые числа

Модель сложения целых чисел

В следующих упражнениях смоделируйте следующее, чтобы найти сумму.

Упростите выражения с помощью целых чисел

В следующих упражнениях упростите каждое выражение.

Вычислить выражения переменных с целыми числами

В следующих упражнениях оцените каждое выражение.

Перевод словосочетаний в алгебраические выражения

В следующих упражнениях переведите каждую фразу в алгебраическое выражение, а затем упростите.

10 + [−5 + (−6)] = −1

Добавить целые числа в приложениях

В следующих упражнениях решите.

Температура В понедельник высокая температура в Денвере была выше, чем во вторник. Какая была высокая температура во вторник?

Кредит Фрида задолжала по кредитной карте. Потом она заряжала больше. Каков был ее новый баланс?

Вычесть целые числа

Модель вычитания целых чисел

В следующих упражнениях смоделируйте следующее.

5

7

Упростите выражения с помощью целых чисел

В следующих упражнениях упростите каждое выражение.

Вычислить выражения переменных с целыми числами

В следующих упражнениях оцените каждое выражение.

Перевод фраз в алгебраические выражения

В следующих упражнениях переведите каждую фразу в алгебраическое выражение, а затем упростите.

разница

вычесть из

Вычесть целые числа в приложениях

В следующих упражнениях решите указанные приложения.

Температура Однажды утром температура в Бангоре, штат Мэн была ниже. К полудню она упала. Какова была дневная температура?

Температура 4 января высокая температура в Ларедо, штат Техас, была высокой, а в Хоултоне, штат Мэн, была самая высокая температура. Какая разница в температуре в Ларедо и Холтоне?

Умножение и деление целых чисел

Умножение целых чисел

В следующих упражнениях умножьте.

Разделить целые числа

В следующих упражнениях разделите.

Упростите выражения с помощью целых чисел

В следующих упражнениях упростите каждое выражение.

Вычислить выражения переменных с целыми числами

В следующих упражнениях оцените каждое выражение.

Перевод словосочетаний в алгебраические выражения

В следующих упражнениях переведите на алгебраическое выражение и, если возможно, упростите.

произведение и

частное и сумма

Решать уравнения с помощью целых чисел; Разделение собственности равенства

Определить, является ли число решением уравнения

В следующих упражнениях определите, является ли каждое число решением данного уравнения.

Использование свойств равенства и сложения и вычитания

В следующих упражнениях решите.

Смоделируйте свойство разделения равенства

В следующих упражнениях напишите уравнение, смоделированное конвертами и счетчиками. Тогда реши это.

Решите уравнения, используя свойство равенства деления

В следующих упражнениях решите каждое уравнение, используя свойство деления равенства, и проверьте решение.

Переведите в уравнение и решите.

В следующих упражнениях переведите и решите.

На четыре больше, чем

Повседневная математика

Опишите, как вы использовали две темы из этой главы в своей жизни за пределами урока математики в течение последнего месяца.

Глава Практический тест

Найдите и отметьте и на числовой строке.

В следующих упражнениях сравните числа, используя

.

1. ⓐ
2. ⓑ

1. ⓐ
2. ⓑ

В следующих упражнениях найдите противоположность каждого числа.

1. ⓐ
2. ⓑ

Упростите следующие упражнения.

Оцените в следующих упражнениях.

В следующих упражнениях переведите каждую фразу в алгебраическое выражение, а затем, если возможно, упростите.

разница −7 и −4

частное и сумма

В следующих упражнениях решите.

Однажды рано утром температура в Сиракузах была ниже.