Теорема Фалеса — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Фалеса — теорема планиметрии, о наборе параллельных секущих к паре прямых.

Эта теорема о параллельных прямых так же известная как теорема Фалеса .

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

A1A2B1B2=A2A3B2B3=A1A3B1B3.{\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}

Замечания[править | править код]

• В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

• Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае не параллельных прямых

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что

AC = BD и AB = CD. ■

Эта теорема приписывается греческому математику и философу Фалесу Милетскому; по легенде, Фалес Милетский рассчитывал высоту пирамиды Хеопса, измеряя длину её тени на земле и длину тени палки измеряемой высоты. Самое раннее из известных письменных доказательств этой теоремы дано в «Элементах Евклида» (предложение 2 книги VI).

Обратная теорема[править | править код]

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие две другие прямые(параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что CB1CA1=B1B2A1A2=…{\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots }, следует, что A1B1||A2B2||…{\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots }.

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского[править | править код]

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть f{\displaystyle f} — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых Xf(X){\displaystyle Xf(X)} будет коника (возможно, вырожденная).

Аргентинская музыкальная группа Les Luthiers^[es] представила песню, посвящённую теореме^[1].

• Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7—9. — Изд. 3-е. — М.: Просвещение, 1992.

Презентация к уроку по геометрии (8 класс): теорема Фалеса

Слайд 1

Теорема Фалеса

Слайд 2

Фалес Милетский Древнегреческий ученый ( ок . 625 – 547 гг. до н. э.) Его именем названа геометрическая теорема о пропорциональных (равных) отрезках и параллельных прямых. Считается, что он первым сформулировал и доказал несколько геометрических теорем, а именно: вертикальные углы равны; имеет место равенство треугольников по одной стороне и двум прилегающим к ней углам; углы при основании равнобедренного треугольника равны; диаметр делит круг на две равные части; вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Слайд 3

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Слайд 4

Дано: А 1 В 1 ║ А 2 В 2 ║ А 3 В 3 А 1 А 2 = А 2 А 3 Доказать: В 1 В 2 = В 2 В 3 Доказательство: 1 ) Проведем FE ║А 1 А 3 2) А 1 FB 2 A 2 и A 2 B 2 EA 3 – параллелограммы, по свойству параллелограмма А 1 А 2 = FB 2 , A 2 A 3 = B 2 E. 3) А 1 А 2 = А 2 А 3 по условию и А 1 А 2 = FB 2 , A 2 A 3 = B 2 E FB 2 = B 2 E . 4) ∆В 2 В 1 F = ∆В 2 В 3 Е по II признаку ( FB 2 = B 2 E ; FB 2 B 1 = B 3 B 2 E как вертикальные, FB 2 = B 2 EB 3 как внутренние накрест лежащие). 5) Из равенства треугольников следует, что В 1 В 2 = В 2 В 3 Теорема доказана. А 1 А 2 А 3 В 3 В 2 В 1 Е F

Слайд 5

l 1 l 2 А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 В 1 В 2 В 3 В 4 В 5 Вместо сторон угла можно взять любые две прямые, тогда Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают на другой прямой равные отрезки .

Слайд 6

Задача 1 А 1 А 2 А 3 В 3 В 2 В 1 О В 4 А 4 ОА 1 = А 1 А 2 = А 2 А 3 = А 3 А 4 ; А 1 В 1 ║А 2 В 2 ║А 3 В 3 ║А 4 В 4 ; ОВ 4 = 28 см. Найти ОВ 1 , ОВ 2 , ОВ 3

Слайд 7

A B C F E Дано: АС ║ EF Найти : P ∆ АВС 12 5 4 Задача 2

Слайд 8

A B C E Дано: АВС D – трапеция, МК ║ В E ║ С D , А D = 16 c м Найти : АК 1 0 D M K Задача 3

Слайд 9

Домашнее задание 1) 2) 3) Выучить теорему Фалеса с доказательством!

Слайд 10

Домашнее задание

Ответы@Mail.Ru: Докажите, пожалуйста Теорему Фалеса.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. теорема Фалеса Доказательство. Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2=B2B3. Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой A1A2. Получаем параллелограммы A1C1BA2 и A2B2C2A3. По свойствам параллелограмма, A1A2 = C1B2 и A2A3 = B2C2. Так как A1A2 = A2A3, то C1B2 = B2C2. Δ C1B2B1 = Δ C2B2B3 по второму признаку равенства треугольников (C1B2 = B2C2, ∠ C1B2B1 = ∠ C2B2B3, как вертикальные, ∠ B1C1B2 = ∠ = B3C2B2, как внутренние накрест лежащие при прямых B1C1 и C2B3 и секущей С1С2). Из равенства треугольников следует, что B1B2=B2B3. Теорема доказана.

+ полностью согласен

А картинка к доказательству есть?

Презентация к уроку по геометрии (8 класс) на тему: Фалес Милетский и его теорема

Слайд 1

Фалес Милетский и его теорема

Слайд 2

Фалес Милетский , несомненно самый выдающийся из знаменитых семи мудрецов он и геометрии у греков первый открыватель, и природы точнейший испытатель, и светил опытнейший наблюдатель «Познать себя трудно, советовать другим легко»

Слайд 3

Вероятней всего Фалес родился в период с 640 по 624 г. до н.э., а умер в период с 548 по 545 г. до н. э. Таким образом умереть Фалес мог в возрасте от 76 до 95 лет. Биография Фалеса Милетского

Слайд 4

Сообщается, что Фалес был торговцем и много путешествовал. Некоторое время жил в Египте, в Фивах и Мемфисе , где учился у жрецов, изучал причины наводнений. Достоверно известно только то, что Фалес был знатного рода, и получил на родине хорошее образование. Собственно милетское происхождение Фалеса ставится под сомнение; сообщают, что его род имел финикийские корни, и что в Милете он был пришельцем. Некоторые источники утверждают, что Фалес жил в одиночестве и сторонился государственных дел; другие — что был женат, имел сына Кибиста ; третьи — что оставаясь холостяком, усыновил сына сестры.

Слайд 5

Представьте себе такую картину. 600 г. до н.э. Египет. Перед вами огромнейшая египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах вам нужно измерить высоту этой пирамиды. Как вы поступите? Да, оказывается, все достаточно просто. Вот что придумал Фалес Милетский. Он подождал пока длина его тени и его рост совпадут, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой.

Слайд 6

Заслуги Фалеса в геометрии Считается, что Фалес первым доказал несколько геометрических теорем, а именно: вертикальные углы равны; треугольники с равной одной стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; диаметр делит круг пополам; Фалес первый вписал прямоугольный треугольник в круг и в благодарность богам принёс в жертву быка

Слайд 7

Заслуги Фалеса Считается, что Фалес первым (из известных на сегодня древних учёных) изучил движение Солнца по небесной сфере. Научился вычислять время солнцестояний и равноденствий, установил неравность промежутков между ними. Первым стал утверждать, что Луна светит отражённым светом; что затмения Солнца происходят тогда, когда между ним и Землей проходит Луна; а затмения Луны происходят тогда, когда Луна попадает в тень от Земли.

Слайд 8

Фалес ввёл календарь, по египетскому образцу (в котором год состоял из 365 дней, делился на 12 месяцев по 30 дней, и пять дней оставались выпадающими). Считается, что Фалес первый разбил небесную сферу на пять зон: арктический всегда видимый пояс, летний тропик, небесный экватор, зимний тропик, антарктический невидимый пояс. Считается, что Фалес “изобрел глобус”. Можно утверждать, что Фалес (начав с геометрического изучения углов) создал “математический метод” в изучении движения небесных тел.

Слайд 9

Теорема Фалеса

Слайд 10

Если на одной из двух прямых отложены последовательно равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. I случай А 1 А 2 А 3 А 4 В 1 В 2 В 3 В 4 Дано: прямые А 1 А 4 и В 1 В 4 параллельны. А 1 А 2 = А 2 А 3 =А 3 А 4 , прямые А 1 В 1 , А 2 В 2 , А 3 В 3 и А 4 В 4 параллельны. Доказать: В 1 В 2 = В 2 В 3 = В 3 В 4 Доказательство: Четырехугольники А 2 А 1 В 1 В 2 и А 3 А 2 В 2 В 3 параллелограммы по определению. Значит, А 1 А 2 =В 1 В 2 и А 2 А 3 =В 2 В 3 , как противоположные стороны параллелограмма. Но А 1 А 2 =А 2 А 3 , поэтому В 1 В 2 =В 2 В 3 . Аналогично доказывается ,что В 2 В 3 =В 3 В 4 . Следовательно В 1 В 2 = В 2 В 3 = В 3 В 4

Слайд 11

Если на одной из двух прямых отложены последовательно равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. II случай А 1 А 2 А 3 А 4 В 1 В 2 В 3 В 4 Дано: прямые А 1 А 4 и В 1 В 4 не параллельны. А 1 А 2 = А 2 А 3 =А 3 А 4 , прямые А 1 В 1 , А 2 В 2 , А 3 В 3 и А 4 В 4 параллельны. Доказать: В 1 В 2 = В 2 В 3 = В 3 В 4 Доказательство: С D 1 3 2 4 Через точку В 2 проведем прямую CD , параллельную прямой А 1 А 4 . СВ 2 =В 2 D ( I случай) (накрест лежащие при параллельных прямых А 1 В 1 и А 3 В 3 и секущей CD ). (вертикальные). Значит, по второму признаку. Следовательно В 1 В 2 =В 2 В 3. Аналогично доказывается, что В 2 В 3 =В 3 В 4 . Следовательно В 1 В 2 = В 2 В 3 = В 3 В 4.