Как доказывать теоремы – Доказательства равных треугольников: как доказать равенство углов, 3 признака равенства, подобие треугольников

Великая теорема Ферма — Википедия

Издание 1670 года «Арифметики» Диофанта включает комментарий Ферма, в частности его «последнюю теорему» (Observatio Domini Petri de Fermat)

Вели́кая теоре́ма Ферма́ (или Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется просто, на «школьном» арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Доказана в 1994 году Эндрю Уайлсом с коллегами (доказательство опубликовано в 1995 году).

Формулировка

Теорема утверждает[1], что для любого натурального числа n>2{\displaystyle n>2} уравнение:

an+bn=cn{\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}

не имеет решений в целых ненулевых числах a,b,c{\displaystyle a,b,c}.

Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. В самом деле, пусть a,b,c{\displaystyle a,b,c} — целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Если n{\displaystyle n} чётно, то |a|,|b|,|c|{\displaystyle |a|,|b|,|c|} тоже будут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравнения a3+b3=c3{\displaystyle a^{3}+b^{3}=c^{3}} и при этом a{\displaystyle a} отрицательно, а прочие положительны, то b3=c3+|a|3{\displaystyle b^{3}=c^{3}+|a|^{3}}, и получаем натуральные решения c,|a|,b.{\displaystyle c,|a|,b.} Поэтому обе формулировки эквивалентны.

Обобщениями утверждения теоремы Ферма являются опровергнутая гипотеза Эйлера и открытая гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.

История

Для случая n=3{\displaystyle n=3} эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Оригинальный текст (лат.)

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere  cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

n=3 Доказательство самого Ферма для случая n=4{\displaystyle n=4} в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта

Ферма приводит только доказательство, как решение задачи, сводимой к четвёртой степени теоремы n=4{\displaystyle n=4}, в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта[2] и в письме к Каркави (август 1659 года)[3]. Кроме этого, Ферма включил случай n=3{\displaystyle n=3} в список задач, решаемых методом бесконечного спуска[3].

Эйлер в 1770 году доказал теорему[4] для случая n=3{\displaystyle n=3}, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n=5{\displaystyle n=5}, Ламе — для n=7{\displaystyle n=7}. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n{\displaystyle n}, меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) отметил, что поиск доказательства для этой, казалось бы, малозначимой теоремы привёл к глубоким результатам в теории чисел[5]. В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 тыс. немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение an+bn=cn{\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} при n>3{\displaystyle n>3} может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Немецкий математик Герхард Фрай[en] предположил, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры. Это предположение было доказано Кеном Рибетом[en][6].

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics»[7].

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после семи лет работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный[какой?] пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить[8]. В 1995 году был опубликован завершающий вариант[9]. В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию[10].

Колин Мак-Ларти отметил, что, возможно, доказательство Уайлса удастся упростить, чтобы не предполагать существования так называемых «больших кардиналов»[11][12].

Теорема Ферма также тривиально следует из abc-гипотезы, о доказательстве которой заявил японский математик Синъити Мотидзуки; его доказательство отличается исключительной сложностью. В настоящее время в математическом сообществе нет ясного консенсуса в отношении его работ[13].

Некоторые вариации и обобщения

Одна из гипотез, выдвинутых Эйлером (1769 год), утверждала, что уравнение a4+b4+c4=d4{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}} не имеет натуральных решений a,b,c,d.{\displaystyle a,b,c,d.} Только в наши дни, с помощью мощных компьютеров, удалось найти контрпримеры, опровергающие гипотезу. В 1988 году Ноам Элкис обнаружил следующее решение[14]:

26824404+153656394+187967604=206156734.{\displaystyle 2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.}

Позднее были найдены и другие решения; простейшее из них:

958004+2175194+4145604=4224814.{\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.}

Ещё одним популярным обобщением теоремы Ферма является гипотеза Била, сформулированная в 1993 году американским математиком-любителем, пообещавшим за её доказательство или опровержение 1 млн долларов США.

«Ферматисты»

Авторское свидетельство, выданное Министерством образования и науки Украины Г. А. Середкину и Л. В. Шаповаловой на работу с «доказательством» теоремы Ферма

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками».[15] Ферматисты зачастую не являются профессионалами и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской[15]: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сот бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.

Примечательно, что отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации[16][17]. Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях[18], как правило, с последующими опровержениями[19]. Среди других примеров:

  • Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославле под названием «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» (47 с., 5000 экз., Верхне-Волжское книжное издательство, 1975)[20].
  • Книга Л. Ш. Райхеля «Великая теорема», изданная в Ленинграде в 1990 году[21].
  • Свидетельство о регистрации авторских прав на произведение «доказательство теоремы Ферма», выданное Министерством образования и науки Украины Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину. Документ не удостоверяет каким-либо образом правильность доказательства, а лишь регистрирует авторские права на поданный в Министерство образования и науки печатный труд; на это министерство возложена обязанность ведения реестра таких свидетельств[22].

Теорема Ферма в культуре и искусстве

{\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.} Почтовая марка Чехии 2000 года ко Всемирному году математики, посвящённая теореме

Великая теорема Ферма стала символом труднейшей научной проблемы и в этом качестве часто упоминается в беллетристике. Далее перечислены некоторые произведения, в которых теорема не просто упомянута, но является существенной частью сюжета или идеологии произведения.

В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол»[23] профессор Саймон Флегг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу снят игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972, производство Центрнаучфильм, творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт).

Александр Казанцев в романе «Острее шпаги» в 1983 году предложил оригинальную версию отсутствия доказательства самого Пьера Ферма.

В телесериале «Звёздный Путь» капитан космического корабля Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине XXIV века. Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия «Рояль» с этим эпизодом была снята в 1989 году, когда Эндрю Уайлс был в самом начале своих работ. В действительности решение было найдено всего спустя пять лет.

В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двухмерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая неверное равенство 178212+184112=192212{\displaystyle 1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}}. Калькулятор с точностью не более 10 значащих цифр подтверждает это равенство:

178212+184112=2541210258614589176288669958142428526657≈2,541210259⋅1039,192212=2541210259314801410819278649643651567616≈2,541210259⋅1039.{\displaystyle {\begin{array}{cl}1782^{12}+1841^{12}&=2\,541\,210\,258\,614\,589\,176\,288\,669\,958\,142\,428\,526\,657\approx 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39},\\1922^{12}&=2\,541\,210\,259\,314\,801\,410\,819\,278\,649\,643\,651\,567\,616\approx 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39}.\end{array}}}

Тем не менее, даже без вычисления точных значений легко видеть, что равенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть — чётное.

В первом издании «Искусства программирования» Дональда Кнута теорема Ферма приведена в качестве упражнения с математическим уклоном в самом начале книги и оценена максимальным числом (50) баллов, как «исследовательская проблема, которая (насколько это было известно автору в момент написания) ещё не получила удовлетворительного решения. Если читатель найдет решение этой задачи, его настоятельно просят опубликовать его; кроме того, автор данной книги будет очень признателен, если ему сообщат решение как можно быстрее (при условии, что оно правильно)». В третьем издании книги это упражнение уже требует знаний высшей математики и оценивается лишь в 45 баллов.

В книге Стига Ларссона «Девушка, которая играла с огнём»[24] главная героиня Лисбет Саландер, обладающая редкими способностями к аналитике и фотографической памятью, в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма, на которую она наткнулась, читая фундаментальный труд «Измерения в математике», в котором приводится и доказательство Эндрю Уайлса. Лисбет не хочет изучать готовое доказательство, а главным интересом становится поиск собственного решения. Поэтому всё своё свободное время она посвящает самостоятельному поиску «замечательного доказательства» теоремы великого француза, но раз за разом заходит в тупик. В конце книги Лисбет находит доказательство, которое не только совершенно отлично от предложенного Уайлсом, но и является настолько простым, что сам Ферма мог бы его найти. Однако после ранения в голову она его забывает, и Ларссон не приводит никаких подробностей этого доказательства.

Мюзикл «Последнее танго Ферма» создан в 2000 году Джошуа Розенблюмом[en] и Джоан Лесснер по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса. Главный герой по имени Дэниел Кин завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему помешать. Мюзикл был представлен в театре York Theatre в Нью-Йорке, затем записан и издан институтом Клэя[25].

За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел отрецензировать рукопись романа «Последняя теорема», над которой он трудился в соавторстве с Фредериком Полом. Книга вышла уже после смерти Кларка.

Примечания

  1. ↑ Ферма теорема // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
  2. ↑ Diophantus of Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C.G. Bacheti V.C. & observationibus D.P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, pp. 338—339.
  3. 1 2 Fermat a Carcavi. Aout 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Paris: Tannery & Henry, 1904, pp. 431—436.
  4. Ю. Ю. Мачис. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. — 2007. — Т. 82, № 3. — С. 395—400. Английский перевод: J. J. Mačys. On Euler’s hypothetical proof (англ.) // Mathematical Notes : journal. — 2007. — Vol. 82, no. 3—4. — P. 352—356. — DOI:10.1134/S0001434607090088.
  5. ↑ Давид Гильберт. Математические проблемы:

    Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.

  6. Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал. — ISSEP, 1998. — Т. 4, № 2. — С. 135—138.
  7. Wiles, Andrew. Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 1995. — Vol. 141, no. 3. — P. 443—551. (англ.)
  8. Taylor, Richard & Wiles, Andrew. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 1995. — Vol. 141, no. 3. — P. 553—572. Архивировано 27 ноября 2001 года. Архивная копия от 27 ноября 2001 на Wayback Machine (англ.)
  9. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 199—200.
  10. ↑ Абелевскую премию получит британец, доказавший Великую теорему Ферма
  11. Colin McLarty. What does it take to prove Fermat’s last theorem? Grothendieck and the logic of number theory // Bulletin of Symbolic Logic. — 2010. — Т. 16, № 3. — С. 359—377.
  12. ↑ Fermat’s Last Theorem and more can be proved more simply (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения 27 ноября 2015. Архивировано 28 июня 2018 года.
  13. David Michael Roberts. A Crisis of Identification // Inference. — 2019. — Vol. 4, no. 3.
  14. Наварро, Хоакин. Неуловимые идеи и вечные теоремы. Великие задачи математики. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 84. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 25). — ISBN 978-5-9774-0720-5.
  15. 1 2 Гастев Ю., Смолянский М. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 23—25.
  16. ↑ Теоремой — по ракетам!
  17. ↑ Человечество может расслабиться?
  18. ↑ Человечество может расслабиться. Сайт Российской академии наук.
  19. ↑ Теорема Ферма доказала, что попытки доказать её не прекратятся никогда. Сайт Российской академии наук.
  20. ↑ Пионеры.
  21. Лазарь Шлемович Райхель. Великая теорема: (Повесть) [Об учителе физики Л. Г. Марголине] / Л. Райхель — Л.: Б. м. Б. и. 252 с., 1990 (обл. 1991)
  22. ↑ Постановление Кабинета министров Украины от 27.12.2001 г. N 1756 «О государственной регистрации авторского права…».
  23. A. Porges. Devil and Simon Flagg (англ.) // The Magazine of Fantasy & Science Fiction : magazine. — NY, 1954.. Русский перевод: Порджес А. Саймон Флэгг и дьявол // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 17—22. (альтернативная ссылка)
  24. ↑ В 2010 году книга вышла на русском языке в издательстве «Эксмо», в оригинале название «Flickan som lekte med elden», в английском переводе «The girl who played with fire».
  25. Robert Osserman. Fermat’s Last Tango // Notices of the AMS. — 2001. — Vol. 48. — P. 1330–1332.

Литература

На русском

  • Абраров Д. Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса.
  • Альварес Л. Ф. А. Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма // Наука. Величайшие теории. — М.: Де Агостини, 2015. — Вып. 18. — ISSN 2409-0069.
  • Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — М.: Де Агостини, 2014. — 151 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3.
  • Кирсанов Ф. История Великой Теоремы Ферма.
  • Манин Ю.И., Панчишкин А.А. Введение в современную теорию чисел. — М.
    : МЦНМО, 2009.
  • Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982. Основная тема книги — последняя теорема Ферма.
  • Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. — М.: Мир, 2003.
  • Сингх С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000.
  • Хинчин А.Я. Великая теорема Ферма. — 3-е изд. — М.: ОНТИ, 1934.
  • Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. — М.: Мир, 1980. В книге подробно рассматривается теория идеальных делителей Куммера.

На английском

  • Donald C. Benson. The Moment of Proof: Mathematical Epophanies. — Oxford University Press, 1999. — ISBN 0-19-513919-4.
  • Faltings, Gerd (1995). The Proof of Fermat’s last theorem by R. Taylor and A. Wiles,
    Notices of the AMS
    (42) (7), 743—746.
  • Daney, Charles (2003). The Mathematics of Fermat’s last theorem. Retrieved Aug. 5, 2004.
  • O’Connor, J. J. & and Robertson, E. F. (1996). Fermat’s last theorem. The history of the problem. Retrieved Aug. 5, 2004.
  • Shay, David (2003). Fermat’s last theorem. The story, the history and the mystery. Retrieved Aug. 5, 2004.

Ссылки

Что такое теорема и что такое доказательство теоремы?

Многим знаком термин «теорема» еще со школьной скамьи. Единицам эти знания пригодились в жизни, но каждый грамотный человек должен иметь представление, что это такое.

Что такое теорема и что такое доказательство теоремы

Теорема — это некая гипотеза, которая требует доказательства. Больше всего ей нашли применение в математике. Но ошибочно думать, что это единственная сфера, в которой применяют теоремы. Например, в физике, для более полного анализа различных явлений и процессов, они также используются.

Доказательство теоремы — это всевозможные доводы, при помощи которых проверяется истинность суждений. Отсюда можно сделать выводы, что теорема — это не однозначно верная гипотеза. Ее еще нужно доказать или опровергнуть.

Напротив, существует термин «аксиома», который означает 100% верное утверждение, не требующее доказательств.

Для того, чтобы доказать теорему требуется логическое мышление и хороший запас знаний по данной теме, а также умение выстраивать логические цепочки. Это сложно, на первый взгляд. Но, когда вы изучите алгоритм доказательства, все станет намного проще.

В алгебре, для доказательства теоремы, важно правильно начертить рисунок и проставить исходные данные. Затем на основе имеющихся знаний, а также на основе других теорем и аксиом, выстраивается цепочка логических мыслей. В результате должен быть сделан вывод, который не подлежит сомнению.

О теоремах, данных без доказательств

Я учился в математической школе. Учился весьма посредственно, но, например, те, кого вовсе отчисляли, переходя в обычную школу, стабильно учились там на отлично без малейшего напряжения мозга.

Однажды для меня стало большим откровением, что в обычных школах некоторые теоремы и формулы давались без доказательства. То есть, людям просто говорили, что есть теорема Фалеса, а есть — формула Герона. А потом сразу давали задачи, которые можно было решить с их использованием. Это для меня было абсолютным разрывом мозга. Это не укладывалось в голове. Я совершенно не мог понять, какой смысл в том, чтобы проходить формулу, не выводя её — это же тогда просто бессмысленный набор букв и знаков. Ну или максимум «занимательный факт»: британские учёные выяснили, что.

Нас, помню, развлекал учитель математики, читая на перемене вопросы билетов экзамена по геометрии из какой-то там другой школы. Идея того, что в ответ на вопрос нужно тупо по памяти написать формулу или формулировку теоремы, представлялась смешной всему классу.

Позже в университете для некоторых моих одногруппников казалось странной необходимость доказывать теоремы или выводить формулы. По школьной привычке учить формулы наизусть эти люди учили наизусть и вывод формул, не понимая, что там происходит. При этом многие из них благодаря прилежности хорошо писали контрольные; боялись же они экзамена. У меня история была обратная: всегда было очень трудно попасть на экзамен, потому, что для этого надо было сдать зачёт, а чтобы допуститься на него, нужно было написать все контрольные в семестре. Терпения же и внимательности на решение практических задачек всегда не хватало.

Экзамены по математике в университете я сдавал на 4, 4, 4 и 5 (в четвёртом семестре была теория функции комплексного переменного, которую я обожаю).

Каждый раз, когда я сдавал листочек с ответами Олегу Геннадьевичу, напротив большинства пунктов задания он ставил минус. Потом, когда он вызывал меня отвечать, он спрашивал: почему не решили эту задачу? Я говорил: забыл формулу такую-то и откуда она берётся. Он говорил: ну, а если бы знали формулу, что бы делали? Я отвечал: нашёл бы то-то, подставил бы в формулу, выразил бы это через это и получил бы ответ. Он подсказывал: ну, вот если вы возьмёте то-то, представите это как сумму этого и этого, а потом домножите на то-то, то вы увидите, как вывести формулу. Я садился, выводил формулу, и он ставил мне плюсик, не дожидаясь, пока я решу собственно задачу. Потом мы переходили к следующему пункту… Почему, спрашивал он, не доказали теорему? Я говорил: я знаю, что при соблюдении таких-то условий она вытекает из того-то через то-то и то-то, но совершенно не помню, как от вот этой формулы делается переход дальше. Он говорил: ну дак дальше из того-то следует, что так-то и так-то… А! перебивал его я, ну точно же, и тогда мы сможем заменить это на это, и там то-то то-то сократится и останется как раз то, что нам нужно!

Люди учившие всё наизусть, частенько уходили с двойками, даже если на листочке напротив всего стояли плюсы: когда в ходе разговора выяснялось, что человек не соображает, листочек уже не имел никакого значения. Он ценил понимание больше прилежности, и понимающему человеку готов был прощать лень и плохую подготовку, за что я ему очень благодарен.

Теорема и её доказательство, формула и её вывод, данные в неразрывной связке, воспитывают навык видеть во всём здравый смысл. Не обязательно знать это всё наизусть, чтобы сформировать правильное отношение к математике. Важно, что математика существовала бы, даже если бы не было Пифагора и Фалеса, Эйлера и Коши, Остроградского и Гаусса. Всё работает так, как работает, с неизбежностью, а не потому, что кто-то так придумал.

Когда люди учат в школе теоремы без доказательств, они потом твердят, что факториал нуля равен 1 по определению. Знающие же то, что математика существует независимо от того, что написано в определениях, понимают, что факториал нуля равен 1 объективно, и он оставался бы равен 1, даже если бы об этом никто не написал в определении.

В математике так много разделов и направлений, и они так сильно взаимосвязаны, что практически невозможно придумать способ последовательного изложения всего этого, чтобы никогда не было необходимости ссылаться вперёд. Нужно быть готовым, что иногда тебе придётся поверить во что-то на слово, а уже позже убедиться, что это действительно так. Человек же, приученный всегда верить на слово, про вторую часть мгновенно забывает.

Как доказать теорему Виета 🚩 франсуа виет фото 🚩 Математика


Суть данного приема состоит в том, чтобы находить корни квадратных уравнений без помощи дискриминанта. Для уравнения вида x2 + bx + c = 0, где имеется два действительных разных корня, верно два утверждения.

Первое утверждение гласит, что сумма корней данного уравнения приравнивается значению коэффициента при переменной x (в данном случае это b), но с противоположным знаком. Наглядно это выглядит так: x1 + x2 = −b.

Второе утверждение уже связано не с суммой, а с произведением этих же двух корней. Приравнивается же это произведение к свободному коэффициенту, т.е. c. Или, x1 * x2 = c. Оба этих примера решаются в системе.

Теорема Виета значительно упрощает решение, но имеет одно ограничение. Квадратное уравнение, корни которого можно найти, используя этот прием, должно быть приведенным. В приведенном уравнении коэффициента a, тот, что стоит перед x2, равен единице. Любое уравнение можно привести к подобному виду, разделив выражение первый коэффициент, но не всегда данная операция рациональна.


Для начала следует вспомнить, как по традиции принято искать корни квадратного уравнения. Первый и второй корни находятся через дискриминант, а именно: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Вообще делится на 2a, но, как уже говорилось, теорему можно применять только когда a=1.

Из теоремы Виета известно, что сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус. Это значит, что x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

То же справедливо и для произведения неизвестных корней: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. В свою очередь D = b2-4c (опять же при a=1). Получается, что итог таков: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Из приведенного простого доказательства можно сделать только один вывод: теорема Виета полностью подтверждена.


Теорема Виета имеет и другое толкование. Если говорить точнее, то не толкование, а формулировку. Дело в том, что если соблюдаются те же условия, что и в первом случае: имеется два различных действительных корня, то теорему можно записать другой формулой.

Эта равенство выглядит следующим образом: x2 + bx + c = (x — x1)(x — x2). Если функция P(x) пересекается в двух точка x1 и x2, то ее можно записать в виде P(x) = (x — x1)(x — x2) * R(x). В случае, когда P имеет вторую степень, а именно так и выглядит первоначальное выражение, то R является простым числом, а именно 1. Это утверждение верно по той причине, что в ином случае равенство выполняться не будет. Коэффициент x2 при раскрытии скобок не должен быть больше единицы, а выражение должно оставаться квадратным.

Теория доказательств — Википедия

Теория доказательств — раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей, аксиоматической теорией множеств и теорией вычислений, теория доказательств является одним из так называемых «четырёх столпов» математики[1]. Теория доказательств использует точное определение понятия доказательства при доказательстве невозможности доказательства того или иного предложения в рамках заданной математической теории.[2]

Теория доказательств важна для философской логики, где самостоятельный интерес представляет идея теоретико-доказательственной семантики, — идея, которая основана на осуществимости формально-логических методов структурной теории доказательств.

Хотя формализация логики была значительно продвинута работами таких авторов как Г. Фреге, Дж. Пеано, Б. Расселл и Р. Дедекинд, история современной теории доказательств обычно рассматривается как начатая Д. Гильбертом, который инициировал то, что названо программой Гильберта для оснований математики. Оригинальные работы Курта Гёделя по теории доказательств сначала продвинули, а затем опровергли эту программу: его теорема полноты первоначально казалась хорошим предзнаменованием для цели Гильберта представить всю математику как финитную формальную систему; однако затем его теоремы неполноты показали, что эта цель недостижима. Вся эта работа была выполнена с исчислениями доказательств, названными системами Гильберта.

Параллельно разрабатывались основания структурной теории доказательств. Ян Лукасевич предположил в 1926, что можно улучшить системы Гильберта как базис аксиоматического представления логики, если варьировать вывод заключений из предположений правилами вывода. В развитие этой идеи С.Янковский (1929) и Г. Генцен (1934) независимо создали системы, названные исчислениями натуральной дедукции (естественного вывода), сочетая их с подходом Генцена, вводящим идею симметрии между предположениями о высказываниях в правилах введения, и следствиями принятия высказываний в правилах удаления, — идею, которая оказалась очень важной в теории доказательств. Генцен (1934) в дальнейшем ввел так называемые исчисления секвенций, которые лучше выражали дуальность логических связок, и продолжал делать фундаментальные вклады в формализацию интуиционистской логики; он также обеспечил первое комбинаторное доказательство непротиворечивости арифметики Пеано. Разработка натуральной дедукции и исчисления секвенций ввели в теорию доказательств фундаментальную идею аналитического доказательства.

Формальное и неформальное доказательство[править | править код]

Неформальные доказательства повседневной математической практики непохожи на формальные доказательства теории доказательств. Они скорее подобны высокоуровневым очеркам-эскизам, которые позволяют эксперту восстанавливать формальное доказательство по крайней мере в принципе, имей он достаточно времени и терпения. Для большинства математиков процесс написания полностью формального доказательства слишком педантичен и многословен, чтобы часто использоваться.

Формальные доказательства строят с помощью компьютера в интерактивной системе доказывания теорем. Существенно, что эти доказательства могут быть проверены также автоматически. Проверка формальных доказательств обычно проста, тогда как нахождение доказательств (автоматизированное доказывание теоремы) вообще трудно. Неформальное доказательство в математической публикации, однако, требует недель тщательного анализа и проверок, и может все ещё содержать ошибки.

Три самых известных видов исчислений доказательства:

  • Исчисления Гильберта
  • Исчисления натуральной дедукции
  • Исчисления секвенций

Каждое из них может дать полную аксиоматическую формализацию пропозициональной или предикатной логике классического или интуиционистского подхода, почти любой модальной логике, и многим субструктурным логикам типа релевантной или линейной логики. В действительности достаточно трудно найти логику, которая не могла бы быть представленной в одном из этих исчислений.

Как уже упомянуто, толчком к математическому исследованию доказательств в формальных теориях послужила программа Гильберта. Центральная идея этой программы была та, что если бы мы могли дать финитные (конечные) доказательства непротиворечивости всех точных формальных теорий, необходимых математикам, то мы могли бы обосновать эти теории с помощью метаматематического аргумента, показывающего, что все их универсальные (общезначимые) утверждения (технически — их доказуемые предложения) финитно истинны; так однажды обосновав, мы дальше не заботимся о нефинитных значениях их экзистенциальных теорем, рассматривая их как псевдозначащие соглашения существования идеальных сущностей.

Неуспех программы был вызван теоремами неполноты К.Геделя, которые показали что некоторая теория, достаточно сильная, чтобы выразить простые арифметические истины, не может доказать свою собственную непротиворечивость. С тех пор по этой теме было выполнено много исследований и получены результаты, которые в частности дают: ослабление требования непротиворечивости; аксиоматизацию ядра результата Геделя в терминах модального языка, логики доказуемости; трансфинитную итерацию теорий по А. Тьюрингу и С. Феферману; недавнее открытие самопроверяющихся теорий — систем достаточно сильных чтобы утверждать о себе, но слишком слабых в отношении диагонального аргумента, ключевого для Геделева аргумента недоказуемости.

Структурная теория доказательства — раздел теории доказательства, в котором изучают те исчисления доказательств, которые поддерживают понятие аналитического доказательства. Понятие аналитического доказательства было введено Генценом для исчисления секвенций. Его исчисление натуральной дедукции также поддерживает понятие аналитического доказательства. Мы говорим, что аналитические доказательства суть нормальные формы, связанные с понятием нормальной формы в системах переписывании термов. Более экзотические исчисления доказательств, типа сетей доказательств И.Джиро, также поддерживают понятие аналитического доказательства.

Структурная теория доказательства связана с теорией типов посредством соответствия Карри-Говарда, которое основано на структурной аналогии между процессом нормализации в исчислении натуральной дедукции и бета-редукцией типизированного лямбда-исчисления. Это соответствие обеспечивает основу для интуиционистской теории типа, развитой М.-Лефом, и часто расширяется на тройственное соответствие, третья опора которого — декартово замкнутые категории.

В лингвистике, логико-типовой грамматике, категорной грамматике и грамматике Монтегю применяют формализм, основанный на структурной теории доказательства, с целью дать формальную семантику естественному языку.

Аналитические таблицы используют центральную идею аналитического доказательства из структурной теории доказательств, чтобы обеспечить процедуры разрешения для широкого диапазона логик.

Многим достаточно выразительным формальным теориям может быть сопоставлен их характерный ординал, известный как теоретико-доказательственный ординал теории. Ординальный анализ — это область, предметом которой является вычисление теоретико-доказательственных ординалов теорий.

Г. Генценом был вычислен ординал первопорядковой арифметики Пеано PA{\displaystyle PA} — он установил, что непротиворечивость PA{\displaystyle PA} может быть доказана трансфинитной индукцией до ординала ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}. Дальнейшие исследования показали, что PA{\displaystyle PA} доказывает принцип трансфинитной индукции для ординалов меньших ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}, но не для самого ординала ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}} и, что вычислимые функции, всюду-определенность которых может быть доказана в PA{\displaystyle PA}, совпадают с ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}-рекурсивными функциями. Хотя, общем случае, для других теорий аналоги этих результатов не обязаны иметь место одновременно для одного и того же ординала, для естественных достаточно сильных теорий, как правило, аналоги этих результатов не дают разных ординалов для одной и той же теории (как впрочем и другие подходы к определению теоретико-доказательственного ординала).

Теоретико-доказательственные ординалы были вычислены для ряда фрагментов арифметики второго порядка и расширений теории множеств Крипке-Платека. До сих пор остается открытым вопрос о вычислении теоретико-доказательственного ординала полной арифметики второго порядка и более сильных теорий, в частности, теории множеств Цермело-Френкеля ZFC{\displaystyle ZFC}

Анализ логики доказывания (субструктурная логика)[править | править код]

Несколько важных логик получены из рассмотрения логической структуры, возникающей в структурной теории доказательств.

  1. Хао Ван (1981) Популярные лекции по математической логике. ISBN 0-442-23109-1.
  2. Д. Барвайз (редактор, 1978). Справочник по математической логике, тт. 1 — 4.
  3. Г. Такеути. Теория доказательств. М., Мир, 1978
  4. A. Трулстра (1996). Базовая теория доказательств. В серии: Трактаты Кембриджа по Теоретической Информатике, Университет Кембриджа, ISBN 0-521-77911-1.
  5. Д. фон Плато (2008). Развитие теории доказательств. Стэнфордская Энциклопедия Философии.
  • Такеути Г. Теория доказательств. — М.: Мир, 1978. — 412 с.

Окружность. Основные теоремы

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

 

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

 

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

 

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

 

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:


 

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).

 

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

 

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

 

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.


 

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

 

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.  

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

 

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

 

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

 

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).


 

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

 

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

 

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):


 

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).

 

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

 

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:


 

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\).

 

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\), тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), откуда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA\), но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} — \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\), что и требовалось доказать.

 

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.


 

Из треугольника \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ — \angle BDA — \angle CAD = 180^\circ — \frac12\buildrel\smile\over{AB} — \frac12\buildrel\smile\over{CD}\).

 

Но \(\angle AMD = 180^\circ — \angle CMD\), откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

 

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\), \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\), пересекает \(a\) в точке \(M\). Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\).


 

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\). Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ — 2\alpha = 2(90^\circ — \alpha)\).

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\), то есть \(\angle OAM = 90^\circ\), следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ — \angle OAB = 90^\circ — \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

 

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

 

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

 

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).


 

\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

 

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).

 

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.


 

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).

 

Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).

 

2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).

 

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

 

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\), а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

 

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\), откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\).

 

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

 

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\). Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\). Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\).


 

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\): \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\). По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\). Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\), что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\).

 

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):


 

Для чего нужно доказывать теоремы по геометрии? Как это поможет в жизни?

Теорема — это неочевидная закономерность. Если не знать, что теорема верна, то ею нельзя пользоваться. Если не пользоваться теоремами, то геометрию невозможно использовать в жизни. А в жизни на геометрии основано очень многое! Поэтому новые теоремы доказывают через аксиомы и доказанные ранее теоремы.

Научит ЛОГИЧЕСКИ МЫСЛИТЬ.

никак, но учить нужно

Это поможет в высшем учебном заведении.

Расшевеливает тормозную жидкость, что в бестолковке!

Чтобы потом, когда вырастешь и выучишь геометрию, подсказывать на «Ответах» нерадивым ученикам)))

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о