Как извлечь корень если он не извлекается: Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 17.01.197017.06.2021 by alexxlab

Содержание

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Из этой статьи вы узнаете:

что такое «извлечение корня»;
в каких случаях он извлекается;
принципы нахождения значения корня;
основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Определение 1

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

При извлечении корня n-ной степени из числа a, мы находим число b, n-ная степень которого равняется a. Если мы нашли такое число b, можно утверждать, что корень извлечен.

Замечание 1

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Определение 2

Корень n-ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n-ной степени некоторого числа b.

Пример 1

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Определение 3

Когда корень n-ной степени из числа a невозможно представить в виде n-ной степени числа b, то такой корень не извлекается, либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда.

Пример 2

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
Извлечение корней из дробных чисел
Извлечение корня из отрицательного числа
Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Определение 4

Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: bnn=b, которое является справедливым для любого неотрицательного числа b.

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

Таблица квадратов

Таблица квадратов		единицы
Таблица квадратов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
	1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
	2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
	3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
	4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2041
	5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
	6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
	7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
	8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
	9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

Таблица кубов

Таблица кубов			единицы
Таблица кубов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
	1	1000	1 331	1 728	2 197	2 744	3 375	4 096	4 913	5 832	6 859
	2	8000	9 261	10 648	12 167	13 824	15 625	17 576	19 683	21 952	24 389
	3	27000	29 791	32 768	35 937	39 304	42 875	46 656	50 653	54 872	59 319
	4	64000	68 921	74 088	79 507	85 184	91 125	97 336	103 823	110 592	117 649
	5	125000	132 651	140 608	148 877	157 464	166 375	175 616	185 193	195 112	205 379
	6	216000	226 981	238 328	250 047	262 144	274 625	287 496	300 763	314 432	328 509
	7	343000	357 911	373 248	389 017	405 224	421 875	438 976	456 533	474 552	493 039
	8	512000	531 441	551 368	571 787	592 704	614 125	636 056	658 503	681 472	704 969
		729000	753 571	778 688	804 357	830 584	857 375	884 736	912 673	941 192	970 299

Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Определение 5

Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

Извлечем квадратный корень из 144.

Разложим 144 на простые множители:

Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 — окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

Определение 6

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

pqn=pnqn. Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

Пример 4

Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.

Необходимо извлечь кубический корень из 474,552. Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474,552 = 474552/1000. Из этого следует: 47455210003=474552310003. Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:

474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то

4745523=7833=78 и 10003=1033=10.

Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.

Извлечение корня из отрицательных чисел

Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа -a и нечетного показателя корня 2n-1 справедливо равенство:

-a2×n-1=-a2×n-1

Определение 7

Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

Пример 5

-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

-122092435=12209243-5

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

12209243-5=3125243-5

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

3125243-5=-312552435

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

-312552435=-555355=-53=-123

Краткая запись решения:

-122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.

Ответ: -122092435=-123.

Поразрядное нахождение значения корня

Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n-ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака.

В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

Пример 6

Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.

Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0,1,2,…,9, вычисляя при этом 02, 12, …, 92 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5. Все это удобно представить в виде таблицы:

Возможное значение корня	0	1	2	3
Это значение в степени	0	1	4	9

Значение ряда единиц равняется 2 (так как 22<5, а 23>5). Переходим в разряду десятых — будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2,…,2,9, , сравнивая полученные значения с числом 5.

Возможное значение корня	2,0	2,1	2,2	2,3
Это значение в степени	4	4,41	4,84	5,29

Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2. Переходим к нахождению значения сотых:

Возможное значение корня	2.20	2,21	2,22	2,23	2,24
Это значение в степени	4,84	4,8841	4,8294	4,9729	5,0176

Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше:

2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,…

Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.

Автор: Ирина

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Из этой статьи вы узнаете:

что такое «извлечение корня»;
в каких случаях он извлекается;
принципы нахождения значения корня;
основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Определение 1

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

Замечание 1

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Определение 2

Пример 1

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Определение 3

Пример 2

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
Извлечение корней из дробных чисел
Извлечение корня из отрицательного числа
Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Определение 4

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов

Таблица квадратов		единицы
Таблица квадратов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
	1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
	2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
	3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
	4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2041
	5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
	6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
	7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
	8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
	9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Таблица кубов

Таблица кубов			единицы
Таблица кубов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
	1	1000	1 331	1 728	2 197	2 744	3 375	4 096	4 913	5 832	6 859
	2	8000	9 261	10 648	12 167	13 824	15 625	17 576	19 683	21 952	24 389
	3	27000	29 791	32 768	35 937	39 304	42 875	46 656	50 653	54 872	59 319
	4	64000	68 921	74 088	79 507	85 184	91 125	97 336	103 823	110 592	117 649
	5	125000	132 651	140 608	148 877	157 464	166 375	175 616	185 193	195 112	205 379
	6	216000	226 981	238 328	250 047	262 144	274 625	287 496	300 763	314 432	328 509
	7	343000	357 911	373 248	389 017	405 224	421 875	438 976	456 533	474 552	493 039
	8	512000	531 441	551 368	571 787	592 704	614 125	636 056	658 503	681 472	704 969
		729000	753 571	778 688	804 357	830 584	857 375	884 736	912 673	941 192	970 299

Разложение подкоренного числа на простые множители

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Определение 5

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

Извлечем квадратный корень из 144.

Разложим 144 на простые множители:

Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 — окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

Определение 6

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

Пример 4

474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то

4745523=7833=78 и 10003=1033=10.

Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.

Извлечение корня из отрицательных чисел

-a2×n-1=-a2×n-1

Определение 7

Пример 5

-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

-122092435=12209243-5

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

12209243-5=3125243-5

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

3125243-5=-312552435

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

-312552435=-555355=-53=-123

Краткая запись решения:

-122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.

Ответ: -122092435=-123.

Поразрядное нахождение значения корня

Пример 6

Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.

Возможное значение корня	0	1	2	3
Это значение в степени	0	1	4	9

Возможное значение корня	2,0	2,1	2,2	2,3
Это значение в степени	4	4,41	4,84	5,29

Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2. Переходим к нахождению значения сотых:

Возможное значение корня	2.20	2,21	2,22	2,23	2,24
Это значение в степени	4,84	4,8841	4,8294	4,9729	5,0176

Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше:

2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,…

Автор: Ирина

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Из этой статьи вы узнаете:

что такое «извлечение корня»;
в каких случаях он извлекается;
принципы нахождения значения корня;
основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Определение 1

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

Замечание 1

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Определение 2

Пример 1

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Определение 3

Пример 2

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
Извлечение корней из дробных чисел
Извлечение корня из отрицательного числа
Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Определение 4

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов

Таблица квадратов		единицы
Таблица квадратов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
	1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
	2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
	3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
	4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2041
	5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
	6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
	7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
	8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
	9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Таблица кубов

Таблица кубов			единицы
Таблица кубов		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
	1	1000	1 331	1 728	2 197	2 744	3 375	4 096	4 913	5 832	6 859
	2	8000	9 261	10 648	12 167	13 824	15 625	17 576	19 683	21 952	24 389
	3	27000	29 791	32 768	35 937	39 304	42 875	46 656	50 653	54 872	59 319
	4	64000	68 921	74 088	79 507	85 184	91 125	97 336	103 823	110 592	117 649
	5	125000	132 651	140 608	148 877	157 464	166 375	175 616	185 193	195 112	205 379
	6	216000	226 981	238 328	250 047	262 144	274 625	287 496	300 763	314 432	328 509
	7	343000	357 911	373 248	389 017	405 224	421 875	438 976	456 533	474 552	493 039
	8	512000	531 441	551 368	571 787	592 704	614 125	636 056	658 503	681 472	704 969
		729000	753 571	778 688	804 357	830 584	857 375	884 736	912 673	941 192	970 299

Разложение подкоренного числа на простые множители

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Определение 5

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

Извлечем квадратный корень из 144.

Разложим 144 на простые множители:

Таким образом: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 — окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

Определение 6

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

Пример 4

474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, то

4745523=7833=78 и 10003=1033=10.

Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.

Извлечение корня из отрицательных чисел

-a2×n-1=-a2×n-1

Определение 7

Пример 5

-122092435. Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

-122092435=12209243-5

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

12209243-5=3125243-5

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

3125243-5=-312552435

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

-312552435=-555355=-53=-123

Краткая запись решения:

-122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.

Ответ: -122092435=-123.

Поразрядное нахождение значения корня

Пример 6

Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5.

Возможное значение корня	0	1	2	3
Это значение в степени	0	1	4	9

Возможное значение корня	2,0	2,1	2,2	2,3
Это значение в степени	4	4,41	4,84	5,29

Поскольку 2,22<5, а 2,32>5, то значение десятых равняется 2. Переходим к нахождению значения сотых:

Возможное значение корня	2.20	2,21	2,22	2,23	2,24
Это значение в степени	4,84	4,8841	4,8294	4,9729	5,0176

Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2,23. Можно находить значения корня дальше:

2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,…

Автор: Ирина

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Алгоритм извлечения квадратного корня

Квадратный корень легко извлекается с помощью калькулятора. Для этого достаточно набрать на нём исходное число и нажать клавишу корня

Если калькулятора под рукой нет, то квадратный корень извлекают пользуясь алгоритмом извлечения квадратного корня.

Применение алгоритма может оказаться весьма полезным на контрольных и экзаменах. Ведь чаще всего на таких мероприятиях использовать калькулятор запрещено.

Предварительные навыки

Как пользоваться алгоритмом

Рассмотрим применение алгоритма извлечения квадратного корня на конкретных примерах. О том, почему алгоритм следует применять именно так, поговорим позже.

Пример 1. Извлечём квадратный корень из числа 4096 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Прежде всего сгруппируем число 4096 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку:

Сгруппированные цифры исходного числа называют грáнями, а саму группировку по две цифры разделением на грáни. Количество грáней позволяет предположить сколько цифр будет содержаться в извлечённом корне. В нашем примере извлечённый корень будет содержать две цифры, поскольку исходное число содержит две грани.

Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 40 с точностью до целых, получаем 6. Записываем 6 после знака равенства:

Далее возвóдим число 6 в квадрат и полученный результат записываем под числом 40

Далее вычитаем из числа 40 число 36, получаем 4. Записываем это число под 36

Снóсим оставшиеся цифры из под корня, а именно 96. Получаем остаток 496

Теперь нужно найти следующую цифру корня. Её находят так. Первую найденную цифру корня, а именно 6 умножаем на 2, получаем 12. К числу 12 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 496 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 12 и умножим образовавшееся число 125 на 5

Получилось число 625, которое больше остатка 496. Значит цифра 5 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 4. Допишем ее к числу 12 и умножим образовавшееся число 124 на 4

Получилось число 496, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 12 цифра 4 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 4 в ответе после цифры 6

А число 496, которое получилось в результате умножения 124 на 4 записываем под остатком 496

Выполняем вычитание 496 − 496 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

Для удобства поиска второй цифры, слева от остатка проводят вертикáльную линию и уже за этой линией записывают умножение. В нашем случае умножение 124 на 4. Результат умножение сразу записывают под остатком:

Итак, квадратный корень из числа 4096 равен 64

Пример 2. Извлечём квадрáтный корень из числа 441 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Прежде всего сгруппируем число 441 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку. В данном случае в числе 441 только три цифры. Поэтому группируем цифры 4 и 1. Крайняя четвёрка слева будет сама по себе:

Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 4 с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:

Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под числом 4

Вычитаем из числа 4 число 4, получаем 0. Ноль принято не записывать. Снóсим оставшиеся цифры корня, а именно 41

Теперь нахóдим следующую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 41 или хотя бы максимально близким ему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 42 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 41

Получилось число 84, которое больше остатка 41. Значит цифра 2 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 41 на на ту же самую дописанную цифру 1

Получилось число 41, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 4 цифра 1 является следующей цифрой корня. Записываем цифру 1 после цифры 2

А число 41, которое получилось в результате умножения 41 на 1, записываем под остатком 41

Выполняем вычитание 41 − 41 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

Пример 3. Извлечём квадратный корень из числа 101761 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Разбиваем число 101761 на грани:

Получилось три грани. Значит корень будет состоять из трёх цифр.

Извлекáем квадратный корень из первой грани (из числа 10) с точностью до целых, получаем 3. Записываем 3 после знака равенства:

Далее возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 10)

Вычитаем из числа 10 число 9, получаем 1. Снóсим следующую грань, а именно число 17. Получаем остаток 117

Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 117 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 6 и умножим образовавшееся число 62 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 117

Получилось число 124, которое больше остатка 117. Значит цифра 2 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 6 и умножим образовавшееся число 61 на на ту же самую дописанную цифру 1

Получилось число 61, которое не превосходит остатка 117. Значит дописанная к числу 6 цифра 1 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 3

Теперь выполняем вычитание 117 − 61 = 56.

Снóсим следующую грань, а именно число 61. Получаем новый остаток 5661

Теперь нахóдим третью цифру корня. Первые две найденные цифры корня, а именно число 31 умножаем на 2, получаем 62. К числу 62 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 5661 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 9. Допишем её к числу 62 и умножим образовавшееся число 629 на ту же самую дописанную цифру 9. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 5661

Получилось число 5661, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 62 цифра 9 является третьей цифрой корня. Записываем цифру 9 в ответе после цифры 1

Выполняем вычитание 5661 − 5661 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

Пример 4. Извлечём квадратный корень из числа 30,25 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Данное число является десятичной дробью. В данном случае на грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:

Получилось по одной грани в каждой части. Это значит, что корень будет состоять из двух цифр: одна цифра будет в целой части корня и одна цифра в дробной.

Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 30) с точностью до целых, получаем 5. Записываем 5 после знака равенства:

Далее возвóдим число 5 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 30)

Вычитаем из числа 30 число 25, получаем 5.

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 30,25 с точностью до целых, получили ответ 5. Последний остаток 5 показывает, что целая часть 30 превосходит квадрат 5² на 5 квадратных единиц.

Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых), снесём следующую грань, а именно число 25, получим остаток 525. А в ответе после числа 5 следует поставить запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробную часть корня.

Затем снóсим следующую грань, а именно число 25. Получаем остаток 525

Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим следующую цифру корня. Для этого уже найденный корень, а именно число 5 умножим на 2 получим 10. К числу 10 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 525 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 10 и умножим получившееся число 105 на ту же самую дописанную цифру 5

Получилось число 525, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 10 цифра 5 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 5 после в ответе после запятой:

Выполняем вычитание 525 − 525 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

В подкоренном выражении можно было использовать следующий прием: умножить подкоренное число на 100 и получить под корнем число 3025. Далее извлечь из него квадратный корень, как из обычного целого числа. Тогда получился бы ответ 55

Затем можно обратно разделить 3025 на 100 (или сдвинуть запятую влево на две цифры). В результате под корнем полýчится прежнее число 30,25, а правая часть уменьшится в десять раз и полýчится квадратный корень из числа 30,25.

Пример 5. Извлечём квадратный корень из числа 632,5225 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

Данное число является десятичной дробью. Разбиваем число на грани. На грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:

Получилось четыре грани. При этом две грани в целой части, и две грани в дробной. Это значит, что корень будет состоять из четырёх цифр: две цифры будет в целой части корня, и две цифры после запятой.

Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 6) с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:

Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 6)

Вычитаем из числа 6 число 4, получаем 2. Затем снóсим следующую грань, а именно число 32. Получаем остаток 232

Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую уже найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 232 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 46 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 232

Получилось число 276, которое больше остатка 232. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 45 на на ту же самую дописанную цифру 5

Получилось число 225, которое не превосходит остатка 232. Значит дописанная к числу 4 цифра 5 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 2

Теперь выполняем вычитание 232 − 225 = 7.

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 632,5225 с точностью до целых, получили ответ 25. Последний остаток 7 показывает, что целая часть 632 превосходит квадрат 25² на 7 квадратных единиц.

Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых и сотых), снесём следующую грань, а именно число 52, получим остаток 752. А в ответе после числа 25 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:

Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим первую цифру корня после запятой. Для этого уже найденные цифры, а именно 25 умножим на 2 получим 50. К числу 50 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 752 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 50 и умножим получившееся число 502 на ту же самую дописанную цифру 2. Можно интуитивно понять, что цифра 2 великá, поскольку 502 × 2 = 1004. А число 1004 больше остатка 752. Тогда очевидно, что первой цифрой после запятой будет цифра 1

Теперь выполняем вычитание 752 − 501 = 251. Сразу снóсим следующую грань 25. Полýчим остаток 25125

Теперь нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 502.

К числу 502 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 25125 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 502 и умнóжим образовавшееся число 5026 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 25125

Получилось число 30156, которое больше остатка 25125. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 502 и умножим получившееся число 5025 на на ту же самую дописанную цифру 5

Получилось число 25125, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 502 цифра 5 является второй цифрой корня после запятой. Записываем цифру 5 в ответе после цифры 1

Теперь выполняем вычитание 25125 − 25125 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

В этом примере можно было воспользоваться методом умножения подкоренного выражения на 10000. Тогда подкоренное число приняло бы вид 6325225. Его можно разделить на грани, двигаясь справа налево. В результате получился бы корень 2515

Затем подкоренное число 6325225 делят на 10000, чтобы вернуться к изначальному числу 632,5225. В результате этого деления ответ умéньшится в 100 раз и обратится в число 25,15.

Пример 4. Используя алгоритм извлечения квадратного корня, извлечь квадратный корень из числа 11 с точностью до тысячных:

В данном числе только одна грань 11. Извлечём из неё корень с точностью до целых, получим 3

Теперь возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 11)

Выполним вычитание 11 − 9 = 2

Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 11 с точностью до целых, получили ответ 3. Последний остаток 2 показывает, что целая часть 11 превосходит квадрат 3² на две квадратные единицы.

Наша задача была извлечь корень из числа 11 с точностью до тысячных. Значит нужно снести следующую грань, но её в данном случае нет.

Если после целого числа поставить запятую и написать сколько угодно нулей, то значение этого числа не измéнится. Так, после 11 можно поставить запятую и написать несколько нулей (несколько граней), которые в последствии можно будет снóсить к остаткам.

Если корень извлекáется с точностью до тысячных, то в ответе после запятой должно быть три цифры. Поэтому в подкоренном выражении поставим запятую и запишем три грани, состоящие из нулей:

Теперь можно снести следующую грань, а именно два нуля. Получим остаток 200. А в ответе после числа 3 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:

Теперь нахóдим первую цифру после запятой в ответе. Первую найденную цифру корня, а именно число 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 200 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

В данном случае подойдёт цифра 3

Выполним вычитание 200 − 189 и снесём следующую грань 00

Нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 66.

К числу 66 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 1100 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

В данном случае подойдёт цифра 1

Выполним вычитание 1100−661 и снесём следующую грань 00

Нахóдим третью цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умножим на 2. Получим 662.

К числу 662 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 43900 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

Проверим цифру 7

Получилось число 46389, которое больше остатка 43900. Значит цифра 7 не годится в качестве третьей цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 6. Допишем ее к числу 662 и умножим получившееся число 6626 на на ту же самую дописанную цифру 6

Получилось число 39756, которое не превосходит остатка 43900. Значит дописанная к числу 662 цифра 6 является третьей цифрой корня после запятой. Записываем цифру 6 в ответе после цифры 1

Выполним вычитание 43900 − 39756 = 4144

Дальнейшее вычисление не требуется, поскольку корень нужно было извлечь с точностью до тысячных.

Но в таких примерах как этот, цифры после запятой можно находить бесконечно. Например, так можно продолжить данный пример, найдя значение корня с точностью до десятитысячных:

Как работает алгоритм

Алгоритм извлечения квадратного корня основан на формуле квадрата суммы двух выражений:

(a + b)²= a²+ 2ab + b²

Геометрически эту формулу можно представить так:

То есть сторона a увеличивается на b. Это приводит к увеличению изначального квадрата. Чтобы вычислить площадь такого квадрата, нужно по отдельности вычислить площади квадратов и прямоугольников, входящих в этот квадрат и сложить полученные результаты. Нужно хорошо понимать данный рисунок. Без его понимания невозможно понять как работает алгоритм извлечения квадратного корня.

Отметим, что формула квадрата суммы двух выражений позволяет возвести в квадрат любое число. Используя разряды, исходное число представляют в виде суммы чисел и далее эту сумму возвóдят в квадрат.

Например, так можно возвести число 21 в квадрат: представить данное число в виде суммы двух десятков и одной единицы, и далее эту сумму возвести в квадрат :

21² = (20 + 1)² = 20² + 2 × 20 × 1 + 1²= 400 + 40 + 1 = 441

Геометрически это будет выглядеть так: сторона квадрата равная 21 разбивается на две составляющие: 20 и 1.

Затем по отдельности вычисляются площади квадратов и прямоугольников, входящих в большой квадрат. А именно: один квадрат со стороной 20 (получается площадь, равная 400), два прямоугольника со сторонами 20 и 1 (получается две площади по 20), один квадрат со стороной 1 (получается площадь, равная 1). Результаты вычисления площадей складываются и получается итоговое значение 441.

Заметим также, что при возведéнии десятков в квадрат получились сотни. В данном случае при возведéнии числа 20 в квадрат получилось число 400. Это позволяет предположить, что если корень является двузначным числом, то десятки этого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Действительно, . Десятки корня это цифра 2, является корнем числа 4, которое отвечает за сотни числа 441.

А при возведéнии сóтен в квадрат получаются десятки тысяч. Например, возведём в квадрат число 123, используя формулу квадрата суммы двух выражений. Число 123 это одна сотня, два десятка и три единицы:

123² = (100 + 20 + 3)²

При изучении многочленов мы выяснили, что если многочлен содержит более двух членов и возникла необходимость применить формулу квадрата суммы, то некоторые из членов можно взять в скобки, чтобы получилось выражение вида (a + b)²

Рассмотрим подробное извлечение квадратного корня из числа 4096. Заодно пройдёмся по основным этапам алгоритма извлечения квадратного корня, рассмотренного в предыдущей теме.

Допустим, что число 4096 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 4096 означает найти длину стороны данного квадрата:

Для начала узнáем из скольких цифр будет состоять корень. Ближáйшие от 4096 известные нам квадраты это 3600 и 4900. Между ними располагается квадрат 4096. Запишем это в виде неравенства:

Запишем каждое число под знáком корня:

Квадратные корни из чисел 3600 и 4900 нам известны. Это корни 60 и 70 соответственно:

Корни 60 и 70 являются двузначными числами. Если квадратный корень из числа 4096 располагается между числами 60 и 70, то этот корень тоже будет двузначным числом.

Двузначное число состоит из десятков и единиц. Это значит, что квадратный корень из числа 4096 можно представить в виде суммы a + b, где a — десятки корня, b — единицы корня. Сумма a + b во второй степени будет равна 4096

(a + b)² = 4096

Тогда сторона квадрата будет разбита на две составляющие: a и b

Перепишем в равенстве (a + b)²= 4096 левую часть в виде a²+ 2ab + b²

a²+ 2ab + b² = 4096

Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 4096, можно представить так:

Если мы узнáем значения переменных a и b, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет двузначное число. Двузначное число состоит из десятков и единиц. При возведéнии десятков в квадрат, получаются сотни. Тогда десятки искомого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. В подкоренном числе 40 сотен. Отделим их небольшой помéткой:

Извлечём корень из числа 40. Из числа 40 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых.

Ближáйший мéньший квадрат к числу 40 это 36. Извлечём корень из этого квадрата, получим 6. Тем сáмым полýчим первую цифру корня:

На самом деле корень извлечён не из числа 40, а из сорокá сотен. Метка, которая постáвлена после числа 40, отделяет разряды числа, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 40 это 4000.

Из 4000 как и 40 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 4000. Но нужно принимать во внимание следующий момент. Десятки это числа с одним нулем на конце. Примеры:

10 — один десяток

30 — три десятка

120 — двенадцать десятков

При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа с двумя нулями на конце:

10² = 100

30²= 900

120²= 14400

Мы ищем десятки корня в сотнях числá 4096, то есть в числе 4000. Но нет такого числá с нулем на конце, вторая степень которого равна 4000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с двумя нулями на конце. Таковым является квадрат 3600. Корень следует извлекать из этого квадрата.

Вернемся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a² это тот самый квадрат 3600. Укажем вместо a² значение 3600

Теперь извлечём квадратный корень из квадрата 3600. Ранее мы говорили, что если число содержит уже знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь корень из этого числа. Для этого сначала следует извлечь корень из знакомого нам квадрата, а затем записать половину от количества нулей исходного числа:

Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 3600. Подпишем сторону a как 60

Но ранее в ответе мы написали не 60, а 6. Это является сокращённым вариантом. Число 6 в данном случае означает шесть десятков:

Итак, десятки корня найдены. Их шесть. Теперь нужно найти единицы корня. Единицы корня это длина оставшейся маленькой стороны квадрата, то есть значение переменной b.

Чтобы найти b, нужно из общего квадрата, площадь которого 4096 вычесть квадрат, площадь которого 3600. В результате останется фигура, площадь которой 4096 − 3600 = 496

На рисунке видно как из квадрата, площадь которого 4096 отделился квадрат, площадь которого 3600. Осталась фигура, площадь которой 496.

Именно поэтому в процессе применения алгоритма первая найденная цифра корня возводится в квадрат, чтобы результат возведения вычесть из сотен подкоренного выражения.

Так, из 40 сотен вычитаются 36 сотен, остаётся 4 сотни плюс сносятся девяносто шесть единиц. Эти четыре сотни и девяносто шесть единиц вместе образуют 496 единиц:

Оставшаяся фигура есть ни что иное как удвоенное произведение первого выражение a плюс квадрат второго выражения b

Сумма площадей 2ab + b² должна вмещаться в число 496. Запишем это в виде следующего равенства:

2ab + b² = 496

Значение a уже известно. Оно равно 60. Тогда равенство примет вид:

2 × 60 × b + b² = 496

120b + b² = 496

Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 496 или хотя близкой к этому числу. Поскольку b является единицами искомого корня, то значение b является однозначным числом. То есть значение b это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. В данном случае очевидно, что числом b является 4

120 × 4 + 4² = 496

480 + 16 = 496

496 = 496

Но для удобства поиска этой цифры, переменную b выносят за скобки. Вернёмся к выражению 120b + b²= 496 и вынесем b за скобки:

b(120 + b) = 496

Теперь правую часть можно понимать так: к 120 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же сáмым b даст в результате 496.

Именно поэтому при использовании алгоритма, уже найденную цифру умножают на 2. Так, 6 мы умножили на 2 получили 12 и уже к 12 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же дописанную цифру, пытаясь получить остаток 496.

Но это опять же упрощённый вариант. На самом деле на 2 умножается не просто 6, а найденные десятки (в нашем случае число 60), получается число 120. Затем следует нахождение числá вида b(120 + b). То есть к 120 прибавляется число b, которое при перемножении с b даёт остаток 496.

Итак, b = 4. Тогда:

4(120 + 4) = 496

4 × 124 = 496

496 = 496

При подстановке числá 4 вместо b получается остаток 496. Это значит, что единицы корня найдены. Квадрат, площадь которого 4096, имеет сторону равную 60 + 4, то есть 64.

Если из общей площади вычесть 3600, затем 496, полýчим 0. Остаток, равный нулю, говорит о том, что решение завершено:

4096 − 3600 − 496 = 0

Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 54756

Пусть число 54756 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 54756 означает найти длину стороны данного квадрата:

Пока неизвестно является ли квадратный корень из числа 54756 целым либо дробным числом. Узнáем для начала из скольких цифр будет состоять целый корень.

Число 54756 больше числá 10000, но меньше числá 90000

10000 < 54756 < 90000

Корни из 10000 и 90000 являются трёхзначными числами.

Тогда корень из 54756 тоже будет трёхзначным числом. А трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

Квадратный корень из числа 54756 можно представить в виде суммы a + b + с, где a — сотни корня, b — десятки корня, с — единицы корня. Сумма a + b + с во второй степени будет равна 54756

(a + b + c)² = 54756

Тогда сторона квадрата будет разбита на три составляющие: a, b и c

Выполним в левой части равенства (a + b + c)²= 54756 возведéние в квадрат:

Тогда рисунок иллюстрирующий квадрат, площадью 54756 можно представить так:

Два прямоугольника площадью ab в приведённом ранее равенстве заменены на 2ab, а два прямоугольника площадью (a + b)c заменены на 2ac + 2bc, поскольку (a + b)c = ac + bc. Если повторить выражение ac + bc дважды, то полýчится 2ac + 2bc

2(ac + bc) = 2ac + 2bc

Если мы узнáем значения переменных a, b и c, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет трёхзначное число. Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

При возведéнии сотен в квадрат, получаются десятки тысяч. Тогда сотни искомого корня следует искать в десятках тысяч подкоренного числа. В подкоренном числе 5 десятков тысяч. Отделим их мéткой:

Извлечём корень из числа 5. Из числа 5 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых Ближáйший мéньший квадрат к 5 это 4. Извлечём корень из этого квадрата, получим 2. Тем самым полýчим первую цифру корня:

На самом деле корень извлечён не из числа 5, а из пяти десятков тысяч. Метка, которая поставлена после числá 5, отделяет разряды числá, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 5 это 50000.

Из 50000 как и 5 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 50000. Но нужно принимать во внимание, что сотни это числа с двумя нулями на конце. Примеры:

100 — одна сотня

500 — пять сотен

900 — девять сотен

При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа, у которых четыре нуля на конце:

100² = 10000

500²= 250000

900²= 810000

Мы ищем сотни корня в десятках тысяч числа 54756, то есть в числе 50000. Но нет такого числá с двумя нулями на конце, вторая степень которого равна 50000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с четырьмя нулями на конце. Таковым является квадрат 40000.

Вернёмся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a² это тот самый квадрат 40000. Укажем вместо a² значение 40000

Теперь извлечём корень из квадрата 40000

Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 40000. Подпишем сторону a как 200

Но ранее в ответе мы написали не 200, а 2. Это является сокращённым вариантом. Число 2 в данном случае означает две сотни:

Теперь вытаскиваем остаток. Из пяти десятков тысяч корень извлечён только из четырёх десятков тысяч. Значит в остатке остался один десяток тысяч. Вытащим его:

Опять же надо понимать, что 4 это 40000, а 1 это 10000. С помощью рисунка это можно пояснить так: квадрат, площадь которого 40000, вычитается от общего квадрата, площадь которого 54756. Остаётся фигура, площадь которой 54756 − 40000 = 14756

Теперь нужно найти десятки корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей ab + ab + b² (или 2ab + b²). В эту сумму будет входить один десяток тысяч, который остался в результате нахождения сóтен корня, удвоенное произведение сотен и десятков корня 2ab, а также десятки корня в квадрате b².

Десятки в квадрате составляют сотни. Поэтому десятки корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Под корнем сейчас 47 сотен. Снесём их к остатку 1, предварительно отделив их под корнем мéткой:

Один десяток тысяч это сто сотен, плюс снесено 47 сотен. Итого 100 + 47 = 147 сотен. В эти 147 сотен должна входить сумма 2ab + b²

2ab + b² = 14700

Переменная a уже известна, она равна 200. Подставим это значение в данное равенство:

2 × 200 × b + b² = 14700
400b + b² = 14700

Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 14700 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку b является десятками искомого корня, то значение b является двузначным числом с одним нулём на конце. Такое число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки b

b(400 + b) = 14700

Теперь левую часть можно понимать так: к 400 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же самым b даст в результате 14700 или близкое к 14700 число, не превосходящее его. Подставим например 40

40(400 + 40) = 14700

17600 ≠ 14700

Получается 17600, которое превосходит число 14700. Значит число 40 не годится в качестве десятков корня. Проверим тогда число 30

30(400 + 30) = 14700

12900 ≤ 14700

Получилось число 12900, которое не превосходит 14700. Значит число 30 подходит в качестве десятков корня. Числа, расположенные между 30 до 40 проверять не нужно, поскольку сейчас нас интересуют только двузначные числа с одним нулем на конце:

Вернемся к нашему рисунку. Сторона b это десятки корня. Укажем вместо b найденные десятки 30. А квадрат, площадь которого b² это найденные десятки во второй степени, то есть число 900. Также укажем площади прямоугольников ab. Они равны произведению сотен корня на десятки корня, то есть 200 × 30 = 6000

Ранее в ответе мы написали не 30, а 3. Это является сокращённым вариантом. Число 3 в данном случае означают три десятка.

Теперь вытаскиваем остаток. В 147 сотен вместилось только 129 сотен. Значит в остатке осталось 147 − 129 = 18 сотен плюс сносим число 56 из подкоренного выражения. В результате образýется новый остаток 1856

С помощью рисунка это можно пояснить так: от фигуры, площадь которой 14756, вычитается площадь 12900. Остаётся фигура, площадь которой 14756 − 12900 = 1856

Теперь нужно найти единицы корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей 2(a + b)c + c². В эту сумму и должен входить последний остаток 1856

2(a + b)c + c² = 1856

Переменные a и b уже известны, они равны 200 и 30 соответственно. Подставим эти значения в данное равенство:

2(200 + 30)c + c² = 1856

2 × 230c + c²= 1856

460c + c²= 1856

Теперь наша задача найти такое значение c, при котором левая часть станет равна 1856 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку c является единицами искомого корня, то значение с является однозначным числом. То есть значение с это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки с

с(460 + c) = 1856

Теперь левую часть можно понимать так: к 460 следует прибавить нéкоторое число с, которое при умножении с тем же сáмым с даст в результате 1856 или близкое к 1856 число, не превосходящее его. Подставим, например, число 4

4(460 + 4) = 1856

4 × 464 = 1856

1856 = 1856

Именно поэтому при использовании алгоритма первые найденные цифры умножают на 2. Так, 23 мы умнóжили на 2, получили 46 и уже к 46 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру, пытаясь получить остаток 1856

Итак, с = 4. При подстановке вместо с числá 4 получается остаток 1856. Это значит, что единицы корня найдены.

Квадрат, площадь которого 54756, имеет сторону равную 200 + 30 + 4, то есть 234.

Если из общей площади 54756 вычесть 40000, 6000, 6000, 900, 920, 920 и 16, то получим 0. Остаток равный нулю говорит о том, что решение завершено:

54756 − 40000 − 6000 − 6000 − 900 − 920 − 920 − 16 = 0

Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 3

Квадратный корень из числа 3 не извлекается. Ранее мы говорили, что квадратные корни из таких чисел можно извлекать только приближённо с определенной точностью.

Пусть 3 это площадь следующего квадрата:

Извлечь корень из числа 3 значит найти длину стороны данного квадрата:

Корень из 3 больше корня из 1, но меньше корня из 4

√1 < √3 < √4

Корни из 1 и 4 являются целыми числами.

√1 < √3 < √4

1 < √3 < 2

Между числами 1 и 2 нет целых чисел. Значит корень из числа 3 будет десятичной дробью. Найдём этот корень с точностью до десятых.

Квадратный корень из числа 3 можно представить в виде суммы a + b, где a — целая часть корня, b — дробная часть. Тогда сторону квадрата можно разбить на две составляющие: a и b

Сумма a + b во второй степени должна приближённо равняться 3.

(a + b)² ≈ 3

Выполним в левой части данного равенства возведéние в квадрат:

a² + 2ab + b² ≈ 3

Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 3, можно представить так:

Найдём a. Извлечём корень из числа 3 с точностью до целых, получим 1

Если a² это 1, а площадь всего квадрата равна 3, то в остатке останется 2. В этот остаток должна вмещаться площадь оставшейся фигуры:

Найдём b. Для этого рассмотрим сумму площадей 2ab + b². Эта сумма должна приближённо равняться остатку 2, но не превосходить его

2ab + b² ≈ 2

Значение a уже известно, оно равно единице:

2b + b² ≈ 2

Вынесем за скобки b

b(2 + b) ≈ 2

Теперь в левой части к 2 следует прибавить нéкоторое число b, которое при умножении с тем же b будет приближённо равняться 2.

Значение b является дробным числом, а именно десятой частью. Оно равно какому-нибудь числу из промежутка [0,1; 0,9]. Возьмём любое число из этого промежутка и подставим его в равенство. Подставим к примеру 0,8

0,8(2 + 0,8) ≈ 2

2,24 ≈ 2

Получилось 2,24 которое превосходит 2. Значит 0,8 не годится в качестве значения b. Проверим тогда 0,7

0,7(2 + 0,7) ≈ 2

1,89 ≈ 2

Получилось 1,89 которое приближённо равно 2 и не превосходит его. Значит 0,7 является значением b

Значит квадратный корень из 3 с точностью до десятых приближённо равен 1 + 0,7

К сожалению, понять механизм алгоритма извлечения квадратного корня намного сложнее, чем использовать сам алгоритм. Решите несколько примеров на применение алгоритма, и понимание механизма его работы будет даваться вам значительно проще.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Извлечь квадратный корень из числа 169, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 2. Извлечь квадратный корень из числа 289, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 3. Извлечь квадратный корень из числа 1089, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 4. Извлечь квадратный корень из числа 1764, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 5. Извлечь квадратный корень из числа 4761, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 6. Извлечь квадратный корень из числа 132496, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 7. Извлечь квадратный корень из числа 157 с точностью до сотых, используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Задание 8. Извлечь квадратный корень из числа 240,25 используя алгоритм извлечения квадратного корня

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Некоторые приемы извлечения квадратного корня из числа

Многим старшеклассникам часто приходится сталкиваться с заданиями типа “Сравните числа…” или “Решите уравнение…”, в которых или извлекаемый, но из неимоверно большого числа (настолько большого, что не поможет даже таблица квадратов) корень, либо неизвлекаемый. Конечно, можно воспользоваться калькулятором и не мучиться. Но как же быть с предстоящими экзаменами? Да и на контрольной работе особо техникой не воспользуешься.

Именно этот вопрос может стать прекрасной темой для исследовательской работы.

Исследуем некоторые способы извлечения квадратных корней из различных чисел.

Задачи:

Познакомиться с историей квадратного корня
Научиться извлекать квадратные корни без помощи электронно-вычислительной техники
Познакомить с этими способами учащихся.

Данная тема очень актуальна, так как каждому выпускнику предстоит сдавать экзамены, а приобретённые навыки помогут не только на ЕГЭ по математике, но и на других предметах.

История квадратного корня.

Как мы знаем из определения, квадратный корень из числа а — это такое число, квадрат которого равен а, то есть решения уравнения относительно переменной х:

Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной х, которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.

Знак корня происходит из строчной латинской буквы (от латинского radix — корень), сросшейся с надстрочной чертой. Ранее надчеркивание выражения использовалось вместо заключения его в скобки. Так что есть всего лишь видоизменённый способ записи выражения .

Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.

В ходе работы над данным исследованием можно обнаружить занимательную информацию. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвящённый квадратному корню.

День квадратного корня — праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02.02.04 или 3 марта 2009 года: 03.03.09). Ближайший такой праздник состоится 4 апреля 2016 года (04.04.16).

Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09.09.81). Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, штат Калифорния, США. Его дочь с помощью всемирных социальных сетей собрала группы поклонников этого праздника, где каждый может поделиться своим способом отметить эту необычную дату.

Главным блюдом на этом “праздничном столе” обычно являются варёные кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного корня.

По объективным математическим причинам это праздник отмечается строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и дважды — во второй), всегда в одни и те же дни:

января ХХ01 года
февраля ХХ04 года
марта ХХ09 года
апреля XX16 года
мая ХХ25 года
июня ХХ36 года
июня ХХ49 года
августа ХХ64 года
сентября ХХ81 года.

При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5, 7,9, 11, 13, 15, 17, 19.

Методы извлечения квадратного корня.

Рассмотрим несколько методов извлечения квадратного корня. Начнём с алгоритма для извлечения квадратного корня из целого и дробного числа; арифметического способа; метода грубой прикидки. Далее рассмотрим два замечательных (и весьма удобных) метода Герона.

Первый метод:

Алгоритм для извлечения квадратного корня из целого числа нацело. Данный алгоритм требует вычислений в столбик. Изучим предложенный алгоритм, а затем применим для нескольких чисел.

Разбить число на группы по две цифры справа налево.

Для первой группы (она может в итоге состоять из двухзначного и однозначного числа) подобрать такую цифру, чтобы её квадрат был наибольшим и не превосходящим данное число.

Из первой группы вычитается квадрат найденного числа, а само число будет первым в ответе.

Далее работаем столбиком, то есть к остатку (если он есть) сносим следующую группу.

Самый сложный. Помните то число, которое было первым в ответе? Его необходимо умножить на 2, а затем справа к нему приписать ещё одну цифру, такую, чтобы произведение полученного числа на приписанную цифру было наибольшим, но не превосходило снесённое число. Эта самая цифра будет следующей в ответе.

Затем мы вычитаем столбиком полученное число и сносим следующую группу, если такая есть. И повторяем шаги 4-5, только берём уже все число, которое выходит в ответе.

Записываем ответ.

Без примера разобраться с этим алгоритмом трудно. Начнём с числа попроще, с табличного значения.

Пример: вычислим .

Разбиваем число: 31’36

Для первой группы (31) подбираем цифру, чтобы её квадрат был максимален, но не превосходил группу. В данном случае это число 5, которое первым пойдёт в ответ.

, Пусть цифра – 6;

Пример: возьмём число повнушительнее, например

Разбиваем число:

Для первой группы (29) подбираем цифру, чтобы её квадрат был максимален, но не превосходил группу. В данном случае это число 5, которое первым пойдёт в ответ.

а) , Пусть цифра – 4;

б) , Пусть цифра – 7;

Если корень не извлекается из числа нацело, то нужно пользоваться тем же самым алгоритмом, добавив справа от исходного числа дробные группы ’00’ (чем больше групп, тем точнее результат). Если необходимо вычислить корень квадратный из дробного числа, то также пользуются данным алгоритмом, только дробную часть разбивать на группы необходимо слева направо, считая от запятой.

Второй метод:

Для относительно небольших чисел существует арифметический способ вычисления их квадратного корня. Ну, мало ли на экзамене переволнуешься, и забудешь корень квадратный из 4. Бывает и не такое.

В чем суть метода. Для квадратов чисел справедливы следующие равенства:

1=1²

1+3=2²

1+3+5=3²

То есть найдём, например: .

25-1=24 (1)

24-3=21 (2)

21-5=16 (3)

16-7=9 (4)

9-9=0 (5)

В принципе, этим способом можно найти целую часть квадратного корня для чисел, из которых корень нацело не выносится.

=2 (и остаток 4)

8-1=7(1)

7-3=4(2)

Третий метод:

Метод грубой прикидки может быть использован при наличии под рукой таблицы квадратов.

Например, вам необходимо грубо оценить значение .

Тогда можно поступить следующим образом. Нужно умножить исходное число на 100 (т.е. ) и найти ближайшие к полученному числу значения по таблице. В данном случае, это числа 484 и 529. Квадратными корнями для этих чисел являются 22 и 23. , , тогда

Аналогично, для больших чисел: найдём .

Четвёртый метод:

Древнегреческий учёный Герон, живший ещё в I веке нашей эры, придумал метод вычисления квадратных корней, который, возможно, используется в ваших собственных калькуляторах. Суть первого метода проще всего понять сразу на примере.

Найдём. Число не имеет рационального корня, поэтому возьмём корень с очень малой погрешностью. Это 1369, имеющее корень 37.

Разделим 1360 на 37. Получается .

Теперь сложим 37 и , получается .

Разделим результат на 2, получим . Безусловно, мы получаем число с погрешностью, но эту погрешность можно уменьшить, если повторить все операции ещё раз.

Второй метод Герона ещё проще, чем первый.

В этом случае, исходное число представляется как . где а² – ближайший точный квадрат, и считают по формуле

Например,

По моему мнению, методы Герона являются самыми простыми для понимания школьников, а также очень эффективными, так как имеют самую маленькую погрешность. Успехов на экзамене!

Извлечение корней — методы и способы, оригинальные решения

Для того чтобы найти значения корня, при извлечении корня той или иной степени из числа, используют различные методы.

Для того чтобы извлечь корень из той или иной степени из числа, необходимо найти чисто, соответствующая степень которого будет равна изначальному числу, из которого следует извлечь корень. На сайте https://greednews.su/kvadratnyj-koren-iz-100-skolko-budet вы сможете узнать, сколько будет квадратный корень из ста.

Конечно, для извлечения квадратного корня удобнее всего воспользоваться помощью калькулятора. Но сделать это можно и без него. Если под знаком корня стоит целое число — полный квадрат то извлечь квадратный корень будет легко и просто. Иначе можно извлечь квадратный корень вручную, не используя калькулятор.

Извлечь квадратный корень из полного квадрата есть возможность, используя умножение. Квадратный корень из исходного числа — это то число, которое при умножении на само себя даст исходное число. Поэтому потребуется найти такое число, которое бы, умножаясь на себя, давало заданное под корнем число.

Если стоит задача извлечения квадратного корня из целого числа, то самое время воспользоваться делением в столбик. Достаточно разделить целое число на делитель, чтобы результат совпадал с делителем.

Необходимо правильно обозначать квадратный корень. Для этого используют специальный символ — радиал, в виде галочки с верхней горизонтальной линией.

Вы можете для извлечения квадратного корня воспользоваться методом проб и ошибок. И если число не является полным квадратом, в этом случае извлечь корень дует гораздо сложнее. Хотя это все равно вполне возможно сделать. Вы можете использовать процесс усреднения, начав поиск двух полных квадратов, между которыми находится данное число. Затем следует разделить его на квадратный корень одного из числе. После этого — найти среднее арифметическое числа и результат деления. Это число необходимо разделить на среднее арифметическое и найти среднее арифметическое последнего результата, а также первого среднего арифметического.

Красивый способ извлечения квадратного корня без калькулятора | Строю для себя

Красивый способ извлечения квадратного корня без калькулятора

Добрый день, уважаемые гости и подписчики моего канала!

Помните, как учили нас в школе извлекать квадратные корни без калькулятора? Скорее, эта операция уже давно забылась, поскольку является сложной. Несмотря на то, что подобные вычисления очень редко применимы в быту, — есть метод, который вряд ли можно забыть, вычислив с его помощью хотя бы один раз любой квадратный корень.2 и находим значение Y, после чего еще точнее вычисляем искомый квадратный корень из 200:

Красивый способ извлечения квадратного корня без калькулятора
Далее, оперируем с этим полученным числом, либо приводим к общему знаменателю и вычисляем.
Вычислив значение, получим 14.14 , что соответствует правильному значению, округленному до сотых:
Красивый способ извлечения квадратного корня без калькулятора
Если требуется еще точнее, то операция повторяется, и каждый раз, производя одинаковые действия, мы увеличиваем точность вычисления.
Способ достойный и заслуживает внимания!
Надеюсь, статья Вам понравилась и стала полезной!
——
Читайте также:
WD-40: мифы и надуманные свойства. Где в быту нельзя использовать WэDэшку?
«Зачем мять виноград?» — ответила бабуля, — давай покажу, как сделать вино без лишних усилий
«Срочно продам дом. Собственник». Как за 20 минут понять, что перед вами дом на продажу? (8 признаков)
{2} = 9 \). {2} + b x + c = 0 \)
как уравнение вида
Этот процесс называется , завершение квадрата ⁴.{2} = \ color {Cerulean} {1} \)
Чтобы завершить квадрат, добавьте \ (1 \) к обеим сторонам, завершите квадрат и затем решите, извлекая корни.
На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и решите каждое отдельно.
Ответ :
Решения: \ (- 8 \) и \ (6 \).
Примечание
В предыдущем примере решения — целые числа. Если это так, то исходное уравнение будет учитываться.
Если уравнение множится, мы можем решить его путем факторизации.{2} — 10 х + 26 = 0 \).
Решение
Начните с вычитания \ (26 \) из обеих частей уравнения.
Здесь \ (b = -10 \), и мы определяем значение, завершающее квадрат, следующим образом:
Чтобы получить квадрат, добавьте \ (25 \) к обеим сторонам уравнения. {2} + 18 \), где \ (t \) представляет время через секунды после падения объекта.{2} + 50 \), где \ (t \) представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Округлите до ближайшей сотой доли секунды.)
Насколько высока лестница длиной \ (22 \) футов, если ее основание находится в \ (6 \) футах от здания, на которое она опирается? Округлите до ближайшей десятой доли фута.
Высота треугольника равна \ (\ frac {1} {2} \) длине его основания. Если площадь треугольника составляет \ (72 \) квадратных метров, найдите точную длину основания треугольника.
Ответ
1. \ (\ pm 9 \)
3. \ (\ pm \ frac {1} {3} \)
5. \ (\ pm 2 \ sqrt {3} \)
7. \ (\ pm \ frac {3} {4} \)
9. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {2} \)
11. \ (\ pm 2 \ sqrt {10} \)
13. \ (\ pm i \)
15. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {5}} {5} \)
17. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {4} i \)
19.\ (\ pm 2 i \)
21. \ (\ pm \ frac {2} {3} \)
23. \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)
25. \ (\ pm 2 i \ sqrt {2} \)
27. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {10}} {5} \)
29. \ (- 9, -5 \)
31. \ (5 \ pm 2 \ sqrt {5} \)
33. \ (- \ frac {2} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {3} i \)
35. \ (\ frac {- 2 \ pm 3 \ sqrt {3}} {6} \)
37. \ (\ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {6} i \)
39.{2} = 3 (3 т + 1) \)
\ ((3 t + 2) (t-4) — (t-8) = 1-10 t \)
Ответ
1. \ (- 15 \ pm \ sqrt {10} \)
3. 1 \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)
5. 1 \ (\ pm i \ sqrt {3} \)
7. \ (- 15,5 \)
9. \ (- \ frac {1} {3}, 1 \)
11. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)
13. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {17}} {2} \)
15. \ (- \ frac {3} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {11}} {2} i \)
17.\ (\ frac {7 \ pm 3 \ sqrt {3}} {2} \)
19. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)
21. \ (\ frac {2 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)
23. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {6}} {3} \)
25. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {10}} {3} \)
27. \ (\ frac {3 \ pm 2 \ sqrt {6}} {2} \)
29. 1 \ (\ pm 2 i \)
31. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)
33. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {7}} {3} \)
35. 2 \ (\ pm 2 \ sqrt {5} \)
37.{2} -6 (6 x + 1) = 0 \)
Ответ
1. \ (0.19,1.31 \)
3. \ (- 0,45,1,12 \)
5. \ (0,33,0,67 \)
Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)
Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корни. Поделитесь им и решением на доске обсуждений.
Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.{2} = q \).
Извлечение квадратного корня
Извлечение квадратного корня
Напомним, что квадратное уравнение имеет стандартную форму Любое квадратное уравнение в форме ax2 + bx + c = 0, где a , b и c — действительные числа и a 0. если он равен 0:
, где a , b и c — действительные числа и ≠ 0. Решение такого уравнения называется корневым решением квадратного уравнения в стандартной форме.. Квадратные уравнения могут иметь два действительных решения, одно действительное решение или не иметь реального решения. Если квадратное выражение слева множители, то мы можем решить его путем факторизации. Обзор шагов, используемых для решения с помощью факторинга, следующий:
Шаг 1: Выразите квадратное уравнение в стандартной форме.
Шаг 2: Разложите квадратное выражение на множители.
Шаг 3: Примените свойство нулевого произведения и установите каждый переменный коэффициент равным 0.
Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения.
Например, мы можем решить x2−4 = 0, разложив на множители следующим образом:
Два решения — -2 и 2. Цель этого раздела — разработать альтернативный метод, который можно использовать для простого решения уравнений, где b = 0, давая форму
Уравнение x2−4 = 0 находится в этой форме и может быть решено путем выделения x2 вначале.
Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения, мы получим следующее:
Здесь мы видим, что x = −2 и x = 2 являются решениями полученного уравнения. В общем, это описывает свойство квадратного корня для любого действительного числа k , если x2 = k, то x = ± k .; для любого действительного числа к ,
Обозначение «±» читается как «плюс или минус» и используется как компактное обозначение, обозначающее два решения.Следовательно, утверждение x = ± k указывает, что x = −k или x = k. Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения называется извлечением корней Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения.
Пример 1: Решите: x2−25 = 0.
Решение: Начните с выделения квадрата.
Затем примените свойство квадратного корня.
Ответ: Решения — 5 и 5.Чек предоставляется читателю.
Конечно, предыдущий пример можно было бы так же легко решить с помощью факторинга. Тем не менее, он демонстрирует метод, который можно использовать для решения уравнений в этой форме, которые не учитывают факторы.
Пример 2: Решить: x2−5 = 0.
Решение: Обратите внимание, что квадратичное выражение слева не учитывается. Мы можем извлечь корни, если сначала выделим главный член x2.
Примените свойство квадратного корня.
Для полноты проверьте, что эти два действительных решения решают исходное квадратное уравнение. Как правило, проверка не является обязательной.
Ответ: Решения — 5 и 5.
Пример 3: Решить: 4×2−45 = 0.
Решение: Начните с изоляции x2.
Примените свойство квадратного корня, а затем упростите.
Ответ: Решения — 352 и 352.
Иногда квадратные уравнения не имеют реального решения.
Пример 4: Решить: x2 + 9 = 0.
Решение: Начните с изоляции x2.
После применения свойства квадратного корня у нас остается квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, у этого уравнения нет реального решения.
Ответ: Реального решения нет
Обратитесь к этому процессу, чтобы найти уравнения с заданными решениями вида ± k .
Пример 5: Найдите уравнение с решениями −23 и 23.
Решение: Начните с возведения в квадрат обеих частей следующего уравнения:
Наконец, вычтите 12 из обеих частей и представьте уравнение в стандартной форме.
Ответ: x2−12 = 0
Попробуй! Решить: 9×2−8 = 0.
Ответ: x = −223 или x = 223
Рассмотрите возможность решения следующего уравнения:
Чтобы решить это уравнение путем факторизации, сначала возведите в квадрат x + 2, а затем представьте его в стандартной форме, равной нулю, вычитая 25 из обеих частей.
Фактор
, а затем примените свойство нулевого произведения.
Два решения: −7 и 3.
Когда уравнение имеет такую форму, мы можем получить решения за меньшее количество шагов, извлекая корни.
Пример 6: Решите: (x + 2) 2 = 25.
Решение: Решите, извлекая корни.
На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и упростите каждое по отдельности.
Ответ: Решения: −7 и 3.
В дополнение к меньшему количеству шагов этот метод позволяет нам решать уравнения, не учитывающие множители.
Пример 7: Решите: (3x + 3) 2−27 = 0.
Решение: Начните с выделения квадрата.
Затем извлеките корни и упростите.
Решите относительно x .
Ответ: Решения: −1−3 и −1 + 3.
Пример 8: Решить: 9 (2x − 1) 2−8 = 0.
Решение: Начните с выделения квадратного множителя.
Примените свойство квадратного корня и решите.
Ответ: Решения 3−226 и 3 + 226.
Попробуй! Решите: 3 (x − 5) 2−2 = 0.
Ответ: 15 ± 63
Пример 9: Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.
Решение:
Диагональ любого прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Таким образом, применима теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы:
Решить.
Здесь мы получаем два решения, w = −25 и w = 25. Поскольку в задаче требовалась длина прямоугольника, мы игнорируем отрицательный ответ. Кроме того, мы рационализируем знаменатель и представим наши решения без каких-либо радикалов в знаменателе.
Обратно подставьте, чтобы найти длину.
Ответ: Длина прямоугольника составляет 455 футов, а ширина — 255 футов.
Основные выводы
Решите уравнения вида ax2 + c = 0, извлекая корни.
Извлечение корней включает выделение квадрата и последующее применение свойства квадратного корня. После применения свойства квадратного корня у вас есть два линейных уравнения, каждое из которых можно решить. Обязательно упростите все радикальные выражения и при необходимости рационализируйте знаменатель.
Тематические упражнения
Часть A: извлечение квадратного корня
Решите, разложив на множители, а затем вычислив корни.Проверить ответы.
1. x2−36 = 0
2. x2−81 = 0
3. 4y2−9 = 0
4. 9y2−25 = 0
5. (x − 2) 2−1 = 0
6. (x + 1) 2−4 = 0
7. 4 (y − 2) 2−9 = 0
8. 9 (y + 1) 2−4 = 0
9. −3 (t − 1) 2 + 12 = 0
10. −2 (t + 1) 2 + 8 = 0
11. (x − 5) 2−25 = 0
12. (x + 2) 2−4 = 0
Решите, извлекая корни.
13. x2 = 16
14. x2 = 1
15. y2 = 9
16. y2 = 64
17. x2 = 14
18. x2 = 19
19. y2 = 0,25
20. y2 = 0,04
21. x2 = 12
22. x2 = 18
23. 16×2 = 9
24. 4×2 = 25
25. 2t2 = 1
26.3t2 = 2
27. x2−100 = 0
28. x2−121 = 0
29. y2 + 4 = 0
30. y2 + 1 = 0
31. x2−49 = 0
32. x2−925 = 0
33. y2−0.09 = 0
34. y2−0,81 = 0
35. x2−7 = 0
36. x2−2 = 0
37. x2−8 = 0
38. t2−18 = 0
39. x2 + 8 = 0
40.х2 + 125 = 0
41. 16×2−27 = 0
42. 9×2-8 = 0
43. 2y2−3 = 0
44. 5y2−2 = 0
45. 3×2−1 = 0
46. 6×2−3 = 0
47. (x + 7) 2−4 = 0
48. (x + 9) 2−36 = 0
49. (2y − 3) 2−81 = 0
50. (2у + 1) 2−25 = 0
51. (x − 5) 2−20 = 0
52. (x + 1) 2−28 = 0
53.(3t + 2) 2−6 = 0
54. (3т − 5) 2−10 = 0
55,4 (y + 2) 2−3 = 0
56. 9 (y − 7) 2−5 = 0
57,4 (3x + 1) 2−27 = 0
58. 9 (2x − 3) 2−8 = 0
59. 2 (3x − 1) 2 + 3 = 0
60,5 (2x − 1) 2−3 = 0
61,3 (y − 23) 2−32 = 0
62. 2 (3y − 13) 2−52 = 0
Найдите квадратное уравнение стандартной формы со следующими решениями.
63. ± 7
64. ± 13
65. ± 7
66. ± 3
67. ± 35
68. ± 52
69. 1 ± 2
70,2 ± 3
Решите и округлите решения до ближайшей сотой.
71. 9x (x + 2) = 18x + 1
72. x2 = 10 (x2−2) −5
73. (x + 3) (x − 7) = 11−4x
74.(x − 4) (x − 3) = 66−7x
75. (x − 2) 2 = 67−4x
76. (x + 3) 2 = 6x + 59
77. (2x + 1) (x + 3) — (x + 7) = (x + 3) 2
78. (3x − 1) (x + 4) = 2x (x + 6) — (x − 3)
Составьте алгебраическое уравнение и используйте его для решения следующих задач.
79. Если 9 вычесть из четырех квадратов числа, то результат будет 3. Найдите число.
80. Если из квадрата числа вычесть 20, то получится 4.Найдите номер.
81. Если 1 прибавить к троекратному квадрату числа, то получится 2. Найдите число.
82. Если 3 прибавить к двукратному квадрату числа, получится 12. Найдите число.
83. Если квадрат имеет площадь 8 квадратных сантиметров, найдите длину каждой стороны.
84. Если круг имеет площадь 32π квадратных сантиметра, найдите длину радиуса.
85.Объем правого кругового конуса составляет 36π кубических сантиметров при высоте 6 сантиметров. Найдите радиус конуса. (Объем правого кругового конуса равен V = 13πr2h.)
86. Площадь поверхности сферы составляет 75π квадратных сантиметров. Найдите радиус сферы. (Площадь поверхности сферы определяется как SA = 4πr2.)
87. Длина прямоугольника в 6 раз больше его ширины. Если площадь составляет 96 квадратных дюймов, найдите размеры прямоугольника.
88. Основание треугольника вдвое больше его высоты. Если площадь составляет 16 квадратных сантиметров, то найдите длину его основания.
89. Квадрат имеет площадь 36 квадратных единиц. На какую равную величину необходимо увеличить стороны, чтобы получить квадрат с удвоенной заданной площадью?
90. Круг имеет площадь 25π квадратных единиц. На какую величину нужно увеличить радиус, чтобы создать круг с удвоенной заданной площадью?
91.Если стороны квадрата равны 1 единице, то найдите длину диагонали.
92. Если стороны квадрата равны 2 единицам, найдите длину диагонали.
93. Диагональ квадрата составляет 5 дюймов. Найдите длину каждой стороны.
94. Диагональ квадрата составляет 3 дюйма. Найдите длину каждой стороны.
95. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 10 футов, найдите размеры прямоугольника.
96. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 8 футов, найдите размеры прямоугольника.
97. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ 5 метров, то найдите размеры прямоугольника.
98. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.
99. Высота в футах объекта, падающего с 9-футовой лестницы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 9, где t представляет время в секундах после падения объекта.Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Подсказка: когда объект ударяется о землю, высота равна 0.)
100. Высота в футах объекта, падающего с 20-футовой платформы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 20, где t представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю?
101. Высота в футах объекта, падающего с вершины 144-футового здания, определяется как h (t) = — 16t2 + 144, где t измеряется в секундах.
а. Сколько времени потребуется, чтобы достичь половины расстояния до земли, 72 фута?
г. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?
Округлите до сотых долей секунды.
102. Высота в футах объекта, сброшенного с самолета на высоте 1600 футов, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 1,600, где t — в секундах.
а. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли на половину расстояния?
г.Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?
Округлить до сотых долей секунды .
Часть B: Обсуждение
103. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корень. Поделитесь им и решением на доске обсуждений.
104. Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.
105. Объясните своими словами, как решить, извлекая корни.
106. Выведите формулу диагонали квадрата через его стороны.
ответов
1: −6, 6
3: −3/2, 3/2
5: 1, 3
7: 1/2, 7/2
9: -1, 3
11: 0, 10
13: ± 4
15: ± 3
17: ± 1/2
19: ± 0.5
21: ± 23
23: ± 3/4
25: ± 22
27: ± 10
29: Реального решения нет
31: ± 2/3
33: ± 0,3
35: ± 7
37: ± 22
39: Реального решения нет
41: ± 334
43: ± 62
45: ± 33
47: −9, −5
49: −3, 6
51: 5 ± 25
53: −2 ± 63
55: −4 ± 32
57: −2 ± 336
59: Реального решения нет
61: 4 ± 326
63: x2−49 = 0
65: x2−7 = 0
67: x2-45 = 0
69: x2−2x − 1 = 0
71: ± 0.33
73: ± 5,66
75: ± 7,94
77: ± 3.61
79: −3 или 3
81: −33 или 33
83:22 сантиметра
85:32 сантиметра
87: Длина: 24 дюйма; ширина: 4 дюйма
89: −6 + 62≈2,49 ед.
91: 2 шт.
93: 522 дюйма
95: Длина: 45 футов; ширина: 25 футов
97: Длина: 3102 метра; ширина: 102 метра
99: 3/4 секунды
101: а.2 = 17
Приведенное выше решение неверно. (Извини, Джеррет. Я думаю, что ты написал что-то неправильно или что-то в этом роде) Будет два ответа.
Ступени
1. Единственное, к чему применяется показатель степени, — это число или переменная непосредственно рядом с ним, или выражения в скобках, когда скобки находятся непосредственно рядом с ними. Итак, в вашем вопросе показатель степени применяется только к (x-5). Мы не можем извлечь корни, если показатель степени не сам по себе, поэтому мы хотим переместить то, что рядом с ним, то есть 2.2 = √8,5
4. Это дает нам:
(х-5) = +/- 2,
594742
(Примечание: все действительные числа имеют два квадратных корня, один положительный и один отрицательный.
Например, √4 = +/- 2
2 * 2 = 4
-2 * -2 = 4)
5. Итак, записываем две наши задачи:
x-5 = 2,
594742 (это положительное число — не нужно писать знак +)
х-5 = -2,
594742
6. Решить:
х-5 = 2.
594742 -> х-5 (+5) = 2,
594742 (+5) —> х = 7,
594742
х-5 = -2,
594742 —> х-5 (+5) = — 2,
594742 (+5) —> х = 2,08452405258
7. Вы можете округлить эти два ответа до любых цифр, которые вам нужны или которые вас просят. Я округлюсь до десятитысячного места.
x = 7.
594742 —> 7.9155
x = 2,08452405258 —> 2,0845
8. Для проверки:
2 (7.2 = 17 -> 2 (8.50014025) = 17 -> 17.0002805 = 17 —> 17 = 17
(То же объяснение, что и выше. Если хотите, вы можете проверить его с исходными длинными версиями вашего ответа. Будет ровно 17.) Арифметика
— Каков процесс / алгоритм извлечения корня n-й степени из x (x и n — целые числа)?
Каков процесс определения $ \ sqrt [n] {x} $, где n и x — положительные целые числа?
Я видел алгоритмы для конкретных случаев.n = 2, существует метод извлечения, при котором вы группируете цифры x в пары, причем крайняя левая цифра остается одна, если необходимо, а затем выполняете процесс извлечения, аналогичный делению в столбик.
Я также видел метод n = 3, в котором цифры x представляют собой сгруппированные вступительные триплеты, и выполняется несколько похожий процесс.
Однако эти методы не совсем похожи друг на друга. Только «группировка по n цифрам» аналогична. Это сложно объяснить без копирования / вставки обоих методов, но метод квадратного корня требует некоторого копирования с удвоением последней цифры.В методе cuberoot по какой-то причине происходит возведение в квадрат текущего «частного» перед его умножением на какое-либо другое число (шаги 4 и 5).
Никогда не встречал подобного метода для n> 3.
Теоретически некоторые корни можно извлечь, повторяя это несколько раз. Например, $ \ sqrt [4] {23} $ можно получить, дважды извлекая квадратный корень из . Однако это не очень хорошая идея для ручного извлечения, потому что на практике вы получите усеченный ответ для первого квадратного корня, а затем попытка извлечь квадратный корень из этого усеченного десятичного числа представит еще больше. «ошибки округления».b} $, поэтому с рациональными числами проблем быть не должно. Что касается иррациональных чисел, это, вероятно, было бы слишком широким, и я думаю, что на практике они все равно будут усечены, например, 3,142 = 3142/1000.)
Я почти уверен, что существует общий метод для n, потому что калькуляторы позволяют извлекать корень n-й степени из числа, где n может быть почти любым. Для этого требуется бесконечно большая таблица поиска (невозможно) или общий метод.
Итак, я предполагаю, что этот вопрос можно задать по-другому: как это делают калькуляторы? Какой алгоритм они используют?
Есть один известный мне метод, который работает для любого положительного целого числа n.2 = 2,25 $, это слишком много. Попробуйте 1.4, чуть занижено. Попробуйте 1,45, немного больше и т. Д.
И заметьте, это нормально, если метод никогда не заканчивается. В конце концов, мы все равно получим иррациональные ответы. Я просто надеюсь, что есть способ лучше, чем метод предположений и испытаний. Кажется, что он «сходится слишком медленно», поэтому я не могу представить, чтобы его использовали калькуляторы.
Я надеюсь на общий метод, который можно применить ко всем положительным целым n, а не искать конкретные методы извлечения для n = 2, n = 3 и т. Д.которые немного отличаются друг от друга.
Между прочим, это возникло из-за связанного с этим вопроса о том, можно ли рассматривать корни как повторяющееся деление.
Удаление зуба | Ожидания, осложнения, стоимость и последующий уход
Когда дело доходит до стоматологических процедур, удаление зубов — или «выдергивание» зубов — одна из самых страшных перспектив пациентов. Удаление зуба, также называемое удалением зуба, включает удаление зуба из лунки в кости челюсти.Прежде чем ваш стоматолог решит удалить зуб, он приложит все усилия, чтобы попытаться восстановить и восстановить ваш зуб. Однако иногда это необходимо.
Причины добычи
Серьезное повреждение / травма зуба: Некоторые зубы имеют настолько обширный кариес и повреждения (сломанные или потрескавшиеся), что их восстановление невозможно. Например, может потребоваться удаление зубов, пораженных прогрессирующим заболеванием десен (пародонта). По мере обострения заболевания десен зуб, поддерживаемый меньшей окружающей костью, часто расшатывается до такой степени, что удаление является единственным решением.
Неправильные / нефункционирующие зубы: Чтобы избежать возможных осложнений, которые могут привести к возможному негативному воздействию на здоровье полости рта, ваш стоматолог может порекомендовать удалить смещенные и / или практически бесполезные зубы (зубы, у которых нет противоположных зубов, за которые можно было бы прикусить) .
Ортодонтическое лечение: Ортодонтическое лечение, такое как брекеты, может потребовать удаления зубов, чтобы освободить место для улучшения выравнивания зубов.
Дополнительные зубы: Дополнительные зубы, также называемые дополнительными зубами, могут блокировать прорезывание других зубов.
Радиация: Лучевая терапия головы и шеи может потребовать удаления зубов в поле облучения, чтобы избежать возможных осложнений, таких как инфекция.
Химиотерапия: Химиотерапия ослабляет иммунную систему, увеличивая риск зубных инфекций, повышая риск удаления.
Трансплантация органов: Иммунодепрессанты, назначаемые после трансплантации органов, могут повысить вероятность инфицирования зубов.Таким образом, некоторые зубы требуют удаления перед трансплантацией органа.
Зубы с обычным удалением
Удаление зубов мудрости — одна из наиболее распространенных категорий удаления зубов. Многие стоматологи рекомендуют удалять зубы мудрости (третьи моляры) до того, как они полностью разовьются, обычно в подростковом возрасте, чтобы устранить потенциальные проблемы. Одна из проблем, которые могут возникнуть, — это появление ретинированного зуба, который вышел на поверхность и не имеет места во рту для роста.Другие проблемы, связанные с ретинированными зубами, включают инфекцию, разрушение соседних зубов, нарушение прикуса и заболевание десен.
Удаление некоторых непрорезавшихся постоянных зубов, таких как клыки, также известные как клыки или глазные зубы, может потребоваться для того, чтобы освободить место для ортодонтического лечения.
Два типа извлечения
Простое удаление: Выполняется на зубах, которые видны во рту. Стоматологи общего профиля обычно проводят простое удаление, и большинство из них обычно проводится под местной анестезией, с применением успокаивающих или седативных препаратов или без них.
Хирургическое удаление: Это зубы, которые нельзя легко увидеть или достать во рту, потому что они отломаны по линии десен или не прорезаны полностью. Хирургическое удаление, выполняемое стоматологами или челюстно-лицевыми хирургами, требует определенного типа хирургической процедуры, такой как удаление кости, удаление и / или подъем и отгибание всей или части ткани десны, чтобы обнажить зуб, или разрушение зуба на части (так называемый зуб секционирование). Хирургическое удаление может быть выполнено под местной анестезией и / или под седацией.Пациентам с особыми заболеваниями и маленьким детям может быть назначена общая анестезия.
Подготовка к операции
Перед удалением стоматолог или хирург-стоматолог обсудит вашу историю болезни и стоматологию и сделает рентген. Некоторые стоматологи прописывают прием антибиотиков до и после операции. Антибиотики чаще назначают пациентам с инфекцией или ослабленной иммунной системой во время операции, тем, кто подвергается более длительным операциям, а также молодым или пожилым людям.
Чтобы избежать возможных осложнений, сообщите своему стоматологу обо всех лекарствах — рецептурных, безрецептурных и травяных — которые вы принимаете. Например, аспирин замедляет процесс свертывания крови; гинкго билоба и женьшень также влияют на свертываемость крови.
Многие люди любят принимать успокоительные при удалении зуба. Возможные варианты седативного лечения включают закись азота («веселящий газ»), пероральное седативное средство (например, таблетку валиума) или внутривенное седативное средство, которое вводится в ваши вены путем инъекции.Если вы выберете закись азота, вы можете поехать домой. Если вы выберете один из других видов седативных средств, вам понадобится кто-то, кто отвезет вас к стоматологу и обратно.
Чего ожидать во время лечения
Во время процедуры удаления стоматолог обезболит или обезболит удаляемый зуб, а также челюстную кость и окружающие его десны. Обычно для устранения дискомфорта вводят местный анестетик, например новокаин или лидокаин.
Простое удаление: Ваш стоматолог захватит зуб специальными плоскогубцами, называемыми щипцами для удаления, и будет двигать ими вперед и назад, чтобы ослабить зуб перед его удалением.Иногда для расшатывания зуба используется хирургический режущий инструмент, называемый люксатором, который вставляется между зубом и десной. Стоматологи также используют «лифты» — рычаги, похожие на маленькие отвертки. Обычно стоматолог сначала использует подъемник, чтобы вставить клин между зубом и окружающей костью. Элеватор оказывает давление на зуб, что помогает расширить лунку зуба и отделить связку.
Хирургическое удаление: Эти процедуры обычно более сложные, поэтому ваш стоматолог может ввести вам успокоительное перед тем, как обезболить зуб, затем использовать стоматологическую дрель, надавить на зуб с помощью подъемника или щипцов для удаления и удалить зуб.В других случаях могут потребоваться большие хирургические усилия. Например, десна и / или костная ткань могут покрывать или окружать зуб таким образом, что вашему стоматологу будет трудно его увидеть и / или получить к нему доступ. Если это так, ваш стоматолог должен будет разрезать и приподнять или удалить эту ткань. Иногда зуб настолько прочно закреплен в лунке, что стоматолог должен разрезать зуб на части, чтобы удалить каждую часть по отдельности.
Вашему стоматологу может потребоваться наложить швы и / или добавить кость (натуральную или синтетическую) в место удаления после процедуры.Некоторые швы рассасываются и рассасываются сами по себе; другие требуют удаления стоматологом, как правило, примерно через неделю после операции.
Современная экстракция
В то время как хирургические режущие инструменты, такие как скальпели и стоматологические сверла, все еще широко используются при хирургическом удалении, использование стоматологических лазеров и электрохирургии в таких процедурах растет.
В лазерах для резки используются световые лучи высокой энергии, а в электрохирургии для резки используется контролируемое тепло. Преимущества лазерной хирургии и электрохирургии как вспомогательного средства при удалении зубов по сравнению с традиционными скальпелями и стоматологическими сверлами включают большую точность, меньшую вероятность повреждения соседних структур, меньшее кровотечение и дискомфорт, а также более быстрое заживление.Однако к недостаткам их использования можно отнести более высокую стоимость, запах горящей плоти во время процедуры и невозможность использовать их для прямого удаления зубов.
Послепродажное обслуживание
Поскольку после удаления кровотечение является нормальным явлением, стоматолог попросит вас прикусить кусок марли в течение примерно 45 минут, чтобы надавить на пораженный участок и дать крови свернуться. Некоторая припухлость и дискомфорт являются нормальным явлением после лечения.
Холодные компрессы или пакеты со льдом могут уменьшить отек.Если после исчезновения отека ваша челюсть болезненна и скована, приложите теплые компрессы. Также может помочь сон, повернув голову вверх, чтобы снять давление на челюсть, и поднять голову с помощью дополнительных подушек. Кроме того, ваш стоматолог может порекомендовать вам в течение нескольких дней принимать безрецептурные обезболивающие, такие как ибупрофен (мотрин или адвил). При хирургическом удалении, которое впоследствии обычно вызывает усиление боли, стоматолог может прописать рецепт обезболивающего.
Другие советы по послеоперационному уходу:
Не полоскать рот в течение первых 24 часов сразу после лечения.
Придерживайтесь мягкой или жидкой диеты (молоко, мороженое, картофельное пюре, пудинг) в день и на следующий день после удаления зуба, постепенно переходя к употреблению других легко пережевываемых продуктов. Жуйте зубами, находящимися далеко от места удаления.
Почистите другие зубы щеткой и нитью, как обычно, но избегайте попадания зубов и десен рядом с лункой для удаления.
По прошествии первых 24 часов, в течение как минимум пяти дней после экстракции, осторожно промывайте лунку теплой соленой водой (1/2 чайной ложки соли на чашку воды) после еды и перед сном.
Чего следует избегать после лечения
В дополнение к вышеупомянутым соображениям послепродажного ухода также важно избегать определенных продуктов и занятий.
Избегайте всего, что может вытеснить сгусток крови и замедлить или помешать нормальному заживлению.
Не курите, не ополаскивайте и не сплевывайте, не занимайтесь физическими упражнениями и не пейте через соломинку в течение как минимум двух дней после экстракции.
Держитесь подальше от горячих жидкостей, хрустящих продуктов или продуктов, содержащих семена или мелкие зерна, алкоголя и газированных безалкогольных напитков в течение двух-трех дней.
Не чистите десны и не пользуйтесь ополаскивателями для рта, отпускаемыми без рецепта (вы можете использовать домашние водно-солевые ополаскиватели).
Возможные осложнения
Случайное повреждение соседних зубов.
Неполное удаление, при котором корень зуба остается в челюсти. Ваш стоматолог обычно удаляет корень, чтобы предотвратить инфекцию, но иногда менее рискованно оставлять небольшой кончик корня.
Проблемы выравнивания, связанные с жевательной способностью или функцией челюстного сустава. Смещенные зубы могут вызывать боль, скрежетание зубами (бруксизм) и растрескивание или раскалывание зубов, выдерживающих силу челюсти.Кроме того, смещенные зубы могут задерживать пищу и их труднее чистить, что увеличивает риск кариеса и заболеваний десен.
Перелом челюсти (чаще всего встречается у пожилых людей с остеопорозом челюсти), вызванный давлением на челюсть во время удаления.
Если был удален верхний зуб, возможно, в одной из областей пазухи было проделано отверстие. Обычно она быстро заживает сама по себе; но если этого не произойдет, вам, возможно, придется вернуться к стоматологу.
Заражение, хотя и редко, но иногда случается.Ваш стоматолог может назначить антибиотики до и после удаления, если будет определено, что вы подвержены риску заражения.
Повреждение нерва — в первую очередь проблема при удалении нижних зубов мудрости — может произойти при удалении любого зуба, если нерв находится рядом с местом удаления. Обычно травмы нервов возникают в результате повреждения хирургическим сверлом, но возникают редко и обычно носят временный характер.
Бисфосфонаты — препараты, применяемые для профилактики / лечения остеопороза, множественной миеломы, рака костей и метастазов в кости от других видов рака — могут подвергать пациентов, перенесших удаление зубов, риску развития остеонекроза челюсти (гниения костей челюсти).Считается, что бисфосфонаты атакуют зубы и кости и могут препятствовать работе клеток, разрушающих кость. Если вы принимаете лекарство от остеопороза, такое как Fosamax, старайтесь по возможности избегать удаления зуба / зубов.
Без противоположного зуба зуб выше или ниже лунки для удаления со временем будет выдвигаться из лунки, вероятно обнажая корни и становясь чувствительным к изменениям температуры. В частности, когда было удалено несколько зубов, другой возможной долгосрочной проблемой является истончение челюстной кости, которую затем становится легче сломать.
Удаление зубов, особенно передних зубов, может отрицательно сказаться на вашем внешнем виде.
Если это не зуб мудрости, ваш стоматолог, вероятно, посоветует заменить любой удаленный зуб, чтобы избежать возможных осложнений, таких как смещение зубов, рецессия десен и потеря костной массы. Зубные имплантаты — идеальная замена зубов; зубные мосты и зубные протезы — другие варианты.
Сухая розетка
Сухая лунка, частое осложнение после удаления, возникает, когда сгусток крови не сформировался в лунке или образовавшийся сгусток крови был смещен.В результате кость и нервы подвергаются воздействию воздуха и пищи. Часто довольно болезненная, сухая лунка обычно появляется через два-пять дней после удаления и может вызывать неприятный запах или привкус.
Сухая лунка чаще всего связана с трудным или травматичным удалением, например, нижних зубов мудрости. Это чаще встречается у людей старше 30 лет, курильщиков, людей с плохими привычками к гигиене полости рта и женщин (особенно у тех, кто принимает оральные контрацептивы). Если нет экстренной ситуации, эксперты рекомендуют женщинам, использующим оральные контрацептивы, планировать экстракцию на последнюю неделю менструального цикла, когда уровень эстрогена ниже.
В большинстве случаев, если у вас образовалась сухая лунка, ваш стоматолог наложит лечебную повязку на лунку, чтобы успокоить боль и ускорить заживление. Повязку меняют каждые 24 часа, пока симптомы сухости лунки не уменьшатся (около пяти-семи дней).
Время исцеления
Восстановление после удаления зуба занимает от пяти до семи дней. Область десен должна полностью заживить через три-четыре недели. Если челюсть повреждена, полное заживление может занять до шести месяцев.
Стоимость
Как правило, чем сложнее удалить зуб, тем дороже стоит процедура.Стоимость варьируется от 130 до 400 долларов. Простое удаление постоянного зуба может стоить от 100 до 250 долларов. Стоимость хирургического удаления постоянных зубов от 180 до 400 долларов; простое удаление молочного зуба стоит от 90 до 150 долларов. Многие планы стоматологического страхования покрывают до 80 процентов затрат на удаление, если процедура необходима по медицинским показаниям, а не по косметическим причинам. Проконсультируйтесь со своей страховой компанией и / или стоматологом относительно вашего индивидуального случая.
Что лучше — корневой канал или его удаление ?: Dental Town DC: косметические стоматологи
Итак, вы приходите с зубной болью, и ваш стоматолог сообщает вам новости, которых вы всегда боялись: «Я не могу спасти этот зуб, вам нужно его удалить.«Хотя обе процедуры могут быть болезненными, удаление является более инвазивным и представляет собой операцию на полости рта, которую выполняет хирург-стоматолог, в то время как процедура корневого канала менее инвазивна, и ваш обычный стоматолог или эндодонт также может выполнить эту процедуру. Ваш стоматолог сначала проверит, можно ли сохранить ваш зуб, а если нет, порекомендует вам удаление.

Удаление корневого канала VS
Лучше ли корневой канал, чем удаление, зависит от состояния вашего зуба. Ваш стоматолог обычно делает рентген, чтобы выяснить, насколько серьезно поврежден ваш зуб.Если пульпа, которая включает живые кровеносные сосуды, крупные нервы и соединительные ткани, повреждена, распалась или больна, но если остальная часть зуба прочная и стабильная, стоматолог порекомендует корневой канал. Однако, если есть структурное повреждение зуба вместе с сильно поврежденной, разрушенной или больной пульпой, стоматолог порекомендует удаление. Для этого ваш стоматолог может даже направить вас в другую клинику челюстно-лицевой хирургии. При процедуре корневого канала область возле зуба и нерва будет обезболена, после чего дантист очистит пульпу и заполнит материал, который защищает эту область от дальнейшего разрушения и повреждения.Этот каучукоподобный материал называется гуттаперча. Часто вам потребуется коронка, которая выглядит точно так же, как ваш зуб, чтобы прикрепить сверху, чтобы новая структура была прочной и выглядела великолепно.
В случае процедуры удаления вам сделают местную анестезию, чтобы полностью обезболить область зуба. Затем хирург-стоматолог медленно освободит зуб и вытащит его с помощью специальных инструментов. Хотя раньше это была очень болезненная процедура, сегодня, благодаря эффективным методам обезболивания, вы почувствуете давление только во время процедуры.После этого может возникнуть кровотечение и боль, от которых вам дадут пережевывать марлю и разрешат есть только мягкую пищу в течение нескольких дней. При корневом канале и удалении у вас будет боль после процедур, для которых будет прописано обезболивающее. После удаления, скорее всего, вам также пропишут антибиотик на неделю, чтобы защитить вас от инфекций в этой области. Очевидно, что при удалении будет больше боли, чем при корневом канале, поэтому вам могут прописать обезболивающее.Вам также предложат применять пакеты со льдом, чтобы уменьшить отек, который может сохраняться в течение нескольких дней после удаления.
Что дешевле — корневой канал или удаление?
Если рассматривать только стоимость отдельной процедуры, удаление корневого канала дешевле. Однако оборотной стороной является то, что при удалении отсутствует зуб, который необходимо заменить либо с помощью имплантата, либо с помощью мостовидного протеза. Обычно считается, что имплантаты лучше, но они также стоят дороже, поэтому потребуется более качественный страховой полис.С корневым каналом, если вам нужна коронка, она снова может стать дорогой. Хорошие стоматологические клиники и клиники челюстно-лицевой хирургии часто предоставят вам приблизительную оценку после подсчета цифр в вашем страховом полисе. Многие практики также предоставляют финансирование через поставщиков кредитов.
Последнее слово — стоматологи в основном выбирают удаление, когда повреждение не подлежит ремонту
Как пациенты, мы стараемся избежать травм — как физических, так и финансовых, с которыми сопутствуют стоматологические процедуры, и поэтому мы надеемся, что наш стоматолог не рекомендует удаление, но стоматологи обычно предпочитают удаление только в том случае, если зуб поврежден и не подлежит восстановлению.Их первым выбором всегда будет сохранение зуба. Многие пациенты избегают удаления, если они не испытывают боли, даже если стоматолог рекомендует его, но всегда лучше провести удаление, когда корневой канал невозможен, потому что поврежденный и больной зуб может привести к дальнейшим инфекциям, а также распространить инфицирование близлежащих зубов. Это влияет на ваше общее состояние здоровья. Поэтому важно сообщить и поделиться своими опасениями со своим стоматологом и понять, почему он или она рекомендует удаление корневого канала или наоборот.Ваш стоматолог или челюстно-лицевой хирург поможет вам лучше всего и убедится, что вы понимаете плюсы и минусы как корневых каналов, так и процедур удаления, а затем поможет вам принять правильное решение.
корневых каналов против удаления: в чем разница?
Если у вас глубокая кариес или треснувший зуб, ваш стоматолог может порекомендовать корневой канал или удаление для решения проблемы. От тяжести травмы зуба зависит, какую процедуру вам нужно пройти. Хотя их часто считают взаимозаменяемыми, корневые каналы и удаление корневых каналов — это очень разные процедуры со своими плюсами и минусами.
Корневой канал и удаление
Что такое корневой канал?
Корневой канал — это стоматологическая процедура, выполняемая для восстановления инфицированного или поврежденного зуба без его полного удаления. Во время процедуры удаляется поврежденная часть внутренней части зуба. Затем оставшаяся часть (пульпа) очищается и дезинфицируется перед пломбированием и пломбированием зуба. Корневые каналы называются так, потому что поражается пульпа, а каналы внутри корня зуба обрабатываются для восстановления травмы.
Что происходит во время корневого канала?
Корневой канал — это сложная процедура, которая начинается с рентгена. Это покажет стоматологу, где находится повреждение внутри корня. Вам будет введена местная анестезия на пораженный зуб, чтобы вы ничего не почувствовали, пока над ним работают. Следующим шагом является пульпэктомия, при которой делается отверстие, через которое можно извлечь поврежденную пульпу.
Наконец, отверстие заполняется материалом, называемым гуттаперчей, и заделывается цементом.Гуттаперча используется, потому что она не причиняет вреда зубам и производится из коагулированного латекса определенных деревьев. Ваш стоматолог может наложить коронку на зуб, чтобы обеспечить правильное заживление. С точки зрения ощущений, корневой канал сродни пломбированию, поскольку процедура сопряжена с минимальным дискомфортом.
Что такое удаление зуба?
Удаление — это удаление всего поврежденного зуба, а не только травмированного корня. Во время удаления травмированный зуб удаляется из лунки в кости.
Как проводится удаление зуба?
Экстракции бывают двух видов: простые и хирургические. Простое удаление включает в себя применение местного анестетика к области до того, как стоматолог ослабит зуб с помощью стоматологического инструмента, известного как элеватор. Затем зуб полностью удаляется с помощью щипцов. При удалении зуба вы можете почувствовать легкое давление, но анестетик обеспечит минимальный дискомфорт. Простое удаление выполняется только тогда, когда инфицированный зуб виден во рту.
С другой стороны, если поврежденный зуб не виден изо рта, потому что он еще не прорезался или откололся по линии десен, необходимо хирургическое удаление. Для этого типа процедуры ваш стоматолог направит вас к хирургу-стоматологу для удаления зубов (если он не имеет специальной подготовки), чтобы зуб можно было удалить хирургическим путем. Ожидается легкое кровотечение в течение 24 часов после удаления, и может быть небольшой отек. Однако это пройдет довольно быстро, если вы воспользуетесь пакетами со льдом, чтобы уменьшить воспаление.
В чем разница между корневым каналом и удалением?
Если вы сравните корневой канал и удаление, между этими двумя процедурами есть одно важное различие: корневой канал направлен на сохранение поврежденного зуба, в то время как экстракция удаляет его полностью. Ваш стоматолог осмотрит поврежденный зуб, чтобы определить, какая процедура лучше всего подходит для вашей ситуации. Одна из основных причин, по которой кому-то понадобится удаление корневого канала, — это нарушение структуры зуба.Когда повреждена только пульпа и ее можно безопасно удалить, корневой канал имеет смысл, потому что бактерии, которые могут привести к инфекции, также будут удалены. И наоборот, если полость или трещина в зубе настолько глубока, что выходит за пределы линии десен и делает зуб слабым, необходимо удаление.
Что произойдет, если зуб будет удален?
После удаления зуба ваш стоматолог может заменить его дентальным имплантатом, в котором корневой канал вместо удаления и имплантата каким-то образом связаны друг с другом.По сути, это искусственный зуб, который выглядит и ощущается как настоящий.
Имплантаты прикреплены к вашей челюстной кости с помощью биосовместимого материала, который не причиняет вреда организму. Если не заменить удаленный зуб, возникнут проблемы.
Отсутствие зубов вызывает проблемы с жеванием и речью, а также потерю опоры для губ. Более того, когда есть зазор из-за отсутствующего зуба, соседние зубы могут смещаться в пустое пространство, что приводит к дальнейшему повреждению и разрушению зубов. Пища может легко застрять в пространстве и вызвать рост бактерий, проникающих в десны.
Наконец, область, где был удален зуб, подвержена потере костной массы и может привести к ухудшению структуры лица в этой области (впалые щеки).

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Что такое «извлечение корня»

В каких случаях извлекается корень?

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов

Таблица кубов

Разложение подкоренного числа на простые множители

Извлечение корней из дробных чисел

Извлечение корня из отрицательных чисел

Поразрядное нахождение значения корня

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Что такое «извлечение корня»

В каких случаях извлекается корень?

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов

Таблица кубов

Разложение подкоренного числа на простые множители

Извлечение корней из дробных чисел

Извлечение корня из отрицательных чисел

Поразрядное нахождение значения корня

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Что такое «извлечение корня»

В каких случаях извлекается корень?

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов

Таблица кубов

Разложение подкоренного числа на простые множители

Извлечение корней из дробных чисел

Извлечение корня из отрицательных чисел

Поразрядное нахождение значения корня

Алгоритм извлечения квадратного корня

Как пользоваться алгоритмом

Как работает алгоритм

Задания для самостоятельного решения

Навигация по записям

Некоторые приемы извлечения квадратного корня из числа

Извлечение корней — методы и способы, оригинальные решения

Красивый способ извлечения квадратного корня без калькулятора | Строю для себя

Читайте также:

Извлечение квадратного корня

Извлечение квадратного корня

Основные выводы

Тематические упражнения

ответов

— Каков процесс / алгоритм извлечения корня n-й степени из x (x и n — целые числа)?

Удаление зуба | Ожидания, осложнения, стоимость и последующий уход

Причины добычи

Зубы с обычным удалением

Два типа извлечения

Подготовка к операции

Чего ожидать во время лечения

Современная экстракция

Послепродажное обслуживание

Чего следует избегать после лечения

Возможные осложнения

Сухая розетка

Время исцеления

Стоимость

Что лучше — корневой канал или его удаление ?: Dental Town DC: косметические стоматологи

Что дешевле — корневой канал или удаление?

Последнее слово — стоматологи в основном выбирают удаление, когда повреждение не подлежит ремонту

корневых каналов против удаления: в чем разница?

Добавить комментарий Отменить ответ