Число в виде логарифма | Логарифмы
Как представить число в виде логарифма?
Используем определение логарифма.
Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.
Таким образом, чтобы представить некоторое число c в виде логарифма по основанию a, надо под знак логарифма поставить степень с тем же основанием, что и основание логарифма, а в показатель степени записать это число c:
Примеры.
В виде логарифма можно представить абсолютно любое число — положительное, отрицательное, целое, дробное, рациональное, иррациональное:
Чтобы в стрессовых условиях контрольной или экзамена не перепутать a и c, можно воспользоваться таким правилом для запоминания:
то, что внизу, идёт вниз, то, что вверху, идёт вверх.
Например, нужно представить число 2 в виде логарифма по основанию 3.
У нас есть два числа — 2 и 3. Эти числа — основание и показатель степени, которую мы запишем под знак логарифма. Остаётся определить, которое из этих чисел нужно записать вниз, в основание степени, а которое — вверх, в показатель.
Основание 3 в записи логарифма стоит внизу, значит, когда мы будем представлять двойку в виде логарифма по основанию 3, 3 также запишем вниз, в основание. 2 стоит выше тройки. И в записи степени двойку запишем выше тройки, то есть, в показатель степени:
www.logarifmy.ru
Логарифмы / math5school.ru
Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию а (a > 0, a ≠ 1) называется такой показатель степени c, в которую нужно возвести число а
, чтобы получить число b.Записывают: с = loga b, что означает a c= b.
Из определения логарифма следует справедливость равенства:
a loga b = b, (а > 0, b > 0, a ≠ 1),
называемого основным логарифмическим тождеством.
В записи loga b число а – основание логарифма, b – логарифмируемое число.
Из определения логарифмов вытекают следующие важные равенства:
loga 1 = 0,
loga а = 1.
Первое следует из того, что a 0 = 1, а второе – из того, что a 1 = а. Вообще имеет место равенство
loga a r = r.
Свойства логарифмов
Для положительных действительных чисел a (a ≠ 1),
loga (b · c) = loga b + loga c
loga (b ⁄ c) = loga b – loga c
loga b p = p · loga b
loga q b = 1/q · loga b
loga q b p = p/q · loga b
loga pr b ps = loga r b s
loga b = logc b ⁄ logc a (c ≠ 1)
loga b = 1 ⁄ logb a (b ≠ 1)
loga b · logb c = loga c
c loga b = b loga c
Замечание 1. Если а > 0, a ≠ 1, числа b и c отличны от 0 и имеют одинаковые знаки, то
loga (b · c) = loga |b| + loga |c|
loga (b ⁄ c) = loga |b| – loga |c| .
Замечание 2. Если p и q – чётные числа, а > 0, a ≠ 1 и b ≠ 0, то
loga b p = p · loga |b|
loga pr b ps = loga r |b s|
loga q b p = p/q · loga |b| .
Для любых положительных, отличных от 1 чисел
loga b > 0 тогда и только тогда, когда a > 1 и b > 1 или 0 < a < 1 и 0 < b < 1;
loga b < 0 тогда и только тогда, когда a > 0 и 0 < b < 1 или 0 < a < 1 и b > 1.
Десятичный логарифм
Десятичным логарифмом называется логарифм, основание которого равно 10.
Обозначаются символом lg:
log10 b = lg b.
Десятичные логарифмы до изобретения в 70-х годах прошлого века компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.
Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже – с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми.
В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log, Log, Log10, причём следует иметь в виду, что первые два варианта могут относиться и к натуральному логарифму.
Таблица десятичных логарифмов целых чисел от 0 до 99
| Десятки | Единицы | |||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 0 | 0 | 0,30103 | 0,47712 | 0,60206 | 0,69897 | 0,77815 | 0,84510 | 0,90309 | 0,95424 | |
| 1 | 1 | 1,04139 | 1,07918 | 1,11394 | 1,14613 | 1,17609 | 1,20412 | 1,23045 | 1,25527 | 1,27875 |
| 2 | 1,30103 | 1,32222 | 1,34242 | 1,36173 | 1,38021 | 1,39794 | 1,41497 | 1,43136 | 1,44716 | 1,46240 |
| 3 | 1,47712 | 1,49136 | 1,50515 | 1,51851 | 1,53148 | 1,54407 | 1,55630 | 1,56820 | 1,57978 | 1,59106 |
| 4 | 1,60206 | 1,61278 | 1,62325 | 1,63347 | 1,64345 | 1,65321 | 1,66276 | 1,67210 | 1,68124 | 1,69020 |
| 1,69897 | 1,70757 | 1,71600 | 1,72428 | 1,73239 | 1,74036 | 1,74819 | 1,75587 | 1,76343 | 1,77085 | |
| 6 | 1,77815 | 1,78533 | 1,79239 | 1,79934 | 1,80618 | 1,81291 | 1,81954 | 1,82607 | 1,83251 | 1,83885 |
| 7 | 1,84510 | 1,85126 | 1,85733 | 1,86332 | 1,86923 | 1,87506 | 1,88081 | 1,88649 | 1,89209 | 1,89763 |
| 8 | 1,90309 | 1,90849 | 1,91381 | 1,91908 | 1,92428 | 1,92942 | 1,93450 | 1,93952 | 1,94448 | 1,94939 |
| 9 | 1,95424 | 1,95904 | 1,96379 | 1,96848 | 1,97313 | 1,97772 | 1,98227 | 1,98677 | 1,99123 | |
Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом называется логарифм, основание которого равно числу е, математической константе, являющейся иррациональным числом, к которому стремится последовательность
аn = (1 + 1/n)n при n → +∞.
Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Значение числа е с первыми пятнадцатью цифрами после запятой следующее:
е = 2,718281828459045… .
Натуральный логарифм обозначаются символом ln:
loge b = ln b.
Натуральные логарифмы являются самыми удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций.
Таблица натуральных логарифмов целых чисел от 0 до 99
| Десятки | Единицы | |||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 0 | – | 0 | 0,69315 | 1,09861 | 1,38629 | 1,60944 | 1,79176 | 1,94591 | 2,07944 | 2,19722 |
| 1 | 2,30259 | 2,39790 | 2,48491 | 2,56495 | 2,63906 | 2,70805 | 2,77259 | 2,83321 | 2,89037 | 2,94444 |
| 2 | 2,99573 | 3,04452 | 3,09104 | 3,13549 | 3,17805 | 3,21888 | 3,25810 | 3,29584 | 3,33220 | 3,36730 |
| 3 | 3,40120 | 3,43399 | 3,46574 | 3,49651 | 3,52636 | 3,55535 | 3,58352 | 3,61092 | 3,63759 | 3,66356 |
| 4 | 3,68888 | 3,71357 | 3,73767 | 3,76120 | 3,78419 | 3,80666 | 3,82864 | 3,85015 | 3,87120 | 3,89182 |
| 5 | 3,91202 | 3,93183 | 3,95124 | 3,97029 | 3,98898 | 4,00733 | 4,02535 | 4,04305 | 4,06044 | 4,07754 |
| 6 | 4,09434 | 4,11087 | 4,12713 | 4,14313 | 4,15888 | 4,17439 | 4,18965 | 4,20469 | 4,21951 | 4,23411 |
| 7 | 4,24850 | 4,26268 | 4,27667 | 4,29046 | 4,30407 | 4,31749 | 4,33073 | 4,34381 | 4,35671 | 4,36945 |
| 8 | 4,38203 | 4,39445 | 4,40672 | 4,41884 | 4,43082 | 4,44265 | 4,45435 | 4,46591 | 4,47734 | 4,48864 |
| 9 | 4,49981 | 4,51086 | 4,52179 | 4,5326 | 4,54329 | 4,55388 | 4,56435 | 4,57471 | 4,58497 | 4,59512 |
Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот
Так как lg е = 1 / ln 10 ≈ 0,4343, то lg b ≈ 0,4343 · ln b;
так как ln 10 = 1 / lg e ≈ 2,3026, то ln b ≈ 2,3026 · lg b.
math4school.ru
11.4.9.6. Формула представления любого числа в виде логарифма
p=logaap Любое число можно представить в виде логарифма по любому основанию.
Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.
Примеры.
I. Представить число 2 в виде логарифма по основанию: 1) 3; 2) 5; 3) 10.
Решение.
1) 2=log33²=log39;
2) 2=log55²=log525;
3) 2=lg10²=lg100.
II. Представить в виде десятичного логарифма числа: 1) -1; 2) -2; 3) -3.
Решение.
1) -1=lg10—1=lg0,1;
2) -2=lg10-2=lg0,01;
3) -3=lg10-3=lg0,001.
Решить уравнение:
1) lg (x-9)+lg (2x-1)=2.
Решение.
lg ((x-9)(2x-1))=lg102; представили сумму логарифмов в виде логарифма произведения и число 2 в правой части равенства записали в виде десятичного логарифма (логарифма с основанием 10).
lg (2x2-18x-x+9)=lg100; упростили выражения под знаками логарифмов.
2x2-19x+9=100; получили после потенцирования.
2x2-19x-91=0. Получили квадратное уравнение вида: ax2+bx+c=0.
a=2, b=-19, c=-91. Решим квадратное уравнение по общей формуле.
D=b2-4ac=(-19)2-4∙2∙(-91)=361+728=1089=332>0; два действительных корня:
Проверка. Значение х=-3,5 не удовлетворяет условию существования логарифма.
Проверяем данное равенство при х=13.
lg (13-9)+lg (2∙13-1)=2;
lg4+lg25=2;
lg (4∙25)=2;
lg100=2;
2=2.
Ответ: 13.
2) log3(x+1)+log3(x+3)=1.
Решение.
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения, единицу в правой части представим в виде логарифма с основанием 3:
log ((x+1)(x+3))=log33;
log (x2+x+3x+3)=log33. Потенцируем:
x2+4x+3=3;
x2+4x=0;
x (x+4)=0;
x=0 или x+4=0, отсюда x=-4.
Анализируем результаты:
х=-4 не подойдет, так как при этом значении под знаком логарифма окажутся отрицательные числа, что недопустимо.
Проверим значение х=0.
Проверка.
log3(0+1)+log3(0+3)=1;
log31+log33=1;
0+1=1;
1=1.
Ответ: 0.
Запись имеет метки: число в виде логарифма
www.mathematics-repetition.com
1.3.1 Логарифм числа
Видеоурок 1: ЕГЭ по математике. Логарифмы
Видеоурок 2: Логарифм числа. Свойства логарифмов
Лекция: Логарифм числа
Логарифм числа
Итак, давайте рассмотрим степенную функцию. Например, что значит 42 = 16? 2 — это показатель степени, который показывает, сколько раз необходимо умножить число 4 само на себя, чтобы получить 16. Иными словами, в какую степень следует возвести 4, чтобы получить 16. Если нам необходимо получить число 36 из числа 6, это значит, что мы число 6 должны возвести во вторую степень.
В общем виде рассматриваемые случаи можно записать следующим образом:
ax = N.
Стоит обратить внимание, что в качестве «а» мы можем использовать все положительные числа, кроме числа 1. Более того, если число «а» больше нуля, то и N не может иметь отрицательные значения при любых показателях степеней.
Корнем некоторого уравнения ax = N, где «а» может принимать положительные значения, отличные от нуля и единицы, является логарифмом некоторого N при основании «а». Иными словами,
логарифм — это степень, в которую необходимо возвести число «а», чтобы получить N.
Логарифм записывается словом log.
Например, 43 = 64 можно записать иначе: log464 = 3.
Число 4 в данном логарифме называется его основанием. Данное выражение читается, как логарифм 64 по основанию 4 равен 3.
То есть для ax = N, при «а» больше нуля и не равном единице, получим: logaN = x.
На графике логарифм имеет вид, симметричный показательной функции.
Свойство логарифмов для положительного «а», не равного единице
Логарифм имеет любое положительное число, отличное от единицы. Если число отрицательное, то оно не может иметь логарифма.
Обратите внимание на график, функция может принимать положительные, отрицательные значения, а также число ноль, но при этом х только стремится к нулю, не достигая его.
Свойства для функций, у которых «а» строго больше единицы
1. Если некоторое число N1 > N2, то и logaN1 > logaN2. То есть, чем больше число логарифма с одинаковыми основаниями, тем больше и значение логарифма.
2. Если логарифм записан для N > 1, то значение логарифма положительное число. Если же N лежит в пределах от нуля до 1, то значение логарифма будет отрицательным числом.
3. При возрастании числа под логарифмом с одинаковым основанием должно возрастать и значение логарифма.
4. Если значения числа приближается к нулю, это значит, что значение логарифма убывает и может быть отрицательным. Чем больше модуль отрицательного значения логарифма, тем меньше число, и тем ближе оно к нулю.
Свойства для логарифмов, для которых «а» находится в пределе от нуля до единицы
1. Если некоторое число N растет, то значение логарифма падает.
2. Если число N больше единицы, то значение такого логарифма при заданном «а» будет числом отрицательным. Если же число N меньше единицы, то значение такого логарифма положительно.
3. Если число при заданном «а» возрастает до бесконечности, то значение такого логарифма падает до минус бесконечности.
cknow.ru
Что такое логарифм простыми словами
Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.
Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.
В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.
Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.
- Что такое логарифм и как его посчитать
- Зачем логарифмам специальные обозначения
- Основные свойства логарифмов — все формулы в одном месте
- 10 примеров логарифмов с решением
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Приведем пример:
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Еще примеры:
Логарифмы со специальным обозначением
Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.
Десятичный логарифм
Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.
Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.
Например, вычислим lg100
Натуральный логарифм
Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть
Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…
Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что
И вычислить его можно таким образом:
Основные свойства логарифмов
Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:
Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!
Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.
Логарифмический ноль и логарифмическая единица
Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.
Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:
loga a = 1 – это логарифмическая единица.
Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a0 = 1:
loga 1 = 0 – логарифмический ноль.
Основное логарифмическое тождество
В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.
Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма
Разберем применение тождества на примере:
Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм
Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:
Сумма логарифмов. Разница логарифмов
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!
Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!
Вынесение показателя степени из логарифма
Вынесение показателя степени из логарифма:
Переход к новому основанию
Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.
Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Разберем на примере.
Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:
Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:
10 примеров логарифмов с решением
1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:
7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:
4 + 3 = 7
10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:
Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм. Больше видео уроков вы можете найти в нашей группе Вконтакте.
yourrepetitor.ru
Таблица и формула для перехода от натуральных логарифмов к десятичнымЕсли Вам известен натуральный логарифм какого-то числа Х (равный ln(X)), то десятичный логарифм этого числа (равный lg(X)) будет равен, согласно основным свойствам логарифмов : lg(X)=lg(e)*ln(X)=M*ln(X), т.е. десятичный логарифм числа, равен натуральному логарифму этого числа умноженному на число М=lg(e). Для быстрых оценок приводим табличку: Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным (таблица умножения на «число М» (у англосаксов это «число A») = lg е = 0,4342945…)
|
dpva.ru
Логарифм в квадрате | Логарифмы
Как найти, чему равен логарифм в квадрате?
Начнём с вычисления квадрата логарифма числа.
Запись с квадратом над знаком логарифма — общепринятый сокращенный вариант записи возведения логарифма в квадрат:
при условии
Таким образом, чтобы вычислить логарифм в квадрате от некоторого числа по заданному основанию, надо найти, чему равен этот логарифм, и результат возвести в квадрат.
Так как квадрат любого числа является неотрицательным числом, квадрат логарифма также неотрицателен, то есть
для
С учетом того, что только логарифм единицы равен нулю, логарифм в квадрате от единицы по любому основанию равен нулю:
Следовательно,
для
Примеры.
Чтобы вычислить, чему равен этот логарифм, представим его основание и число под знаком логарифма в виде степеней с одинаковым основанием:
Аналогично вычисляется десятичный логарифм в квадрате:
Натуральный логарифм в квадрате:
В следующий раз рассмотрим, как возвести в квадрат логарифм произведения, частного и степени.
www.logarifmy.ru