Как найти двугранный угол – Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD. Вопросы и задачи 174, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 01.08.202010.01.2020 by alexxlab

Содержание

Двугранный угол — это… Что такое Двугранный угол?

Двугранный угол и линейный угол двугранного угла

Двугранный угол трёх векторов (как внешний сферический угол)

Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.^[1]

Определения и свойства

Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая — ребром.

Прямой угол в двугранном угле, равном 45 градусов (анимация)

Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу. Если один из лучей не перпендикулярен ребру, то величина линейного угла между лучами в общем случае будет отлична от величины двугранного угла. Например, в любой двугранный угол (в том числе больший 90 градусов) можно поместить прямой угол так, чтобы его вершина лежала на ребре двугранного угла, а стороны принадлежали его граням. В этом легко убедиться, размещая угольник в приоткрытой книге.

У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.

Величины двугранных углов правильных многогранников:

где φ = (1 + √5)/2 — золотое сечение.

Вариации и обобщения

Двугранным углом также называется пересечение двух полупространств в -мерном Евклидовом пространстве.

Примечания

↑ Д-Коо // «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2. — С. 50. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.

См. также

Ссылки

Решение задач на построение углов в правильной треугольной пирамиде

На этом уроке мы приступим к решению задач на построение углов в правильной треугольной пирамиде. В начале урока мы повторим признак перпендикулярности прямой и плоскости, рассмотрим важный частный случай перпендикулярности прямой и плоскости. Вспомним формулировку и докажем теорему о трех перпендикулярах и признак перпендикулярности плоскостей. Кроме того, перечислим основные свойства плоскости линейного угла. После повторения теоретического материала мы построим линейный угол двугранного угла (общий случай) и перейдем к решению задач на построение различных линейных углов в правильной треугольной пирамиде, чтобы закрепить полученные знания

Рис. 1. Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости (рис.1), то она перпендикулярна самой плоскости

, а значит, перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

⇒

Рис. 2. Перпендикулярность прямой и плоскости (частный случай)

Плоскость

перпендикулярна плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости (частный случай)

– линия пересечения плоскостей (рис. 2).

Если прямая перпендикулярна прямой пересечения плоскостей

, то она перпендикулярна всей плоскости

, а значит, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

⇒

С помощью признака перпендикулярности прямой и плоскости доказывается теорема о трех перпендикулярах.

Рис. 3. Теореме о трех перпендикулярах

Если наклонная перпендикулярна прямой из плоскости , то и ее проекция перпендикулярна этой прямой.

И обратно: если проекция наклонной перпендикулярна прямой из плоскости

, то и наклонная перпендикулярна к этой прямой.

Теорема о трех перпендикулярах: прямая (рис. 3) тогда и только тогда, когда ее проекция .

Вместо прямой

можно взять любую другую прямую

из плоскости

, которая параллельна прямой

Любая наклонная имеет лишь одну проекцию: наклонная

имеет лишь одну проекцию

. Но наклонная

тоже имеет проекцию

. Если

, то

, то есть плоскость

Таков смысл теоремы о трех перпендикулярах.

Рис. 4. Перпендикулярные плоскости

Есть прямая , перпендикулярна плоскости . Через прямую

проходят плоскости

(и много других плоскостей).

Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.

Рис. 5. Двугранный угол

Дано:

двугранный угол

плоскость

– линия пересечения плоскостей

Построить линейный угол угла .

Решение

Выбираем удобную точку на ребре двугранного угла. Проводим перпендикуляр к ребру в плоскости , получаем прямую . Проводим перпендикуляр к ребру в плоскости , получаем прямую . Угол – искомый.

Таким образом, мы построили линейный угол двугранного угла.

Плоскость линейного угла (рис. 6) перпендикулярна всем элементам двугранного угла .

Рис. 6. Плоскость двугранного угла

Плоскость двугранного угла перпендикулярна ребру двугранного угла и перпендикулярна граням двугранного угла и , так как прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости :

Двугранный угол. 10-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: ввести понятие двугранного угла и его линейного угла;

рассмотреть задачи на применение этих понятий;

сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями;

рассмотреть задачи на применение этих понятий.

Ход урока
I. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся (слайд 2, 3).
1. Подготовка к изучению нового материала.
— Что называется углом на плоскости?
— Что называется углом между прямыми в пространстве?
— Что называется углом между прямой и плоскостью?
— Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах

III. Изучение нового материала.
Понятие двугранного угла.

Фигура, образованная двумя полуплоскостями , проходящими через прямую МN, называется двугранным углом (слайд 4).
Полуплоскости — грани, прямая МN – ребро двугранного угла.
— Какие предметы в обыденной жизни имеют форму двугранного угла? (Cлайд 5)
Угол между плоскостями АСН и СНD – это двугранный угол АСНD, где СН – ребро. Точки А и D лежат на гранях этого угла. Угол AFD – линейный угол двугранного угла АCHD (слайд 6).

Алгоритм построения линейного угла (слайд 7).

1 способ. На ребре взять любую точку О и провести перпендикуляры в эту точку (РО DE, KO DE) получили угол РОК — линейный.
2 способ. В одной полуплоскости взять точку К и опустить из нее два перпендикуляра на другую полуплоскость и ребро (КО и КР), тогда по теореме обратной ТТП РОDE
Все линейные углы двугранного угла равны (слайд 8). Доказательство: лучи ОА и О₁А₁ сонаправлены, лучи ОВ и О₁В₁ тоже сонаправлены, углы ВОА и В₁О₁А₁ равны как углы с сонаправлеными сторонами.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла (слайд 9).

IV. Закрепление изученного материала.
Решение задач (устно по готовым чертежам). (Слайды10-12)

1. РАВС – пирамида; угол АСВ равен 90^о, прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС. Доказать, что угол РСВ – линейный угол двугранного угла с
2. РАВС — пирамида; АВ = ВС, D – середина отрезка АС, прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС. Доказать, что угол PDB – линейный угол двугранного угла с ребром АС.
3. PABCD – пирамида; прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС, ВК перпендикулярна DC. Доказать, что угол РКВ – линейный угол двугранного угла с ребром СD.
Задачи на построение линейного угла (слайды 13-14).

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде РАВС грань АВС – правильный треугольник, О – точка пересечения медиан, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС
2. Дан ромб АВСD.Прямая РС перпендикулярна плоскости АВСD.
Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD и линейный угол двугранного угла с ребром АD.
Вычислительная задача. (Слайд 15)

В параллелограмме АВСD угол АDС равен 120⁰, АD = 8 см,
DС= 6 см, прямая РС перпендикулярна плоскости АВС, РС= 9 см.
Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь параллелограмма.

V. Домашнее задание (слайд16).
П. 22, № 168, 171.

Используемая литература:
Геометрия 10-11 Л.С.Атанасян.

Система задач по теме “Двугранные углы” М.В.Севостьянова (г.Мурманск), журнал Математика в школе 198… г.

Урок в 10 классе «Двугранный угол»
Урок геометрии в 10 классе по теме двугранный угол
Цели урока:
• Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла
• Сформулировать алгоритм построения линейного угла для данного двугранного
• Рассмотреть задачи на построение линейного угла
• Развивать умение работать самостоятельно
• Воспитывать математическую грамотность, внимание, взаимопонимание
Оборудование:
компьютер, проектор, экран (для демонстрации презентации по данному уроку).
Тип урока: изучение нового материала.
Ход урока
Организационный момент.
«Добрый день! Я рада вас видеть, и очень хочу начать работу с вами! Хорошего вам настроения!»
Девизом к сегодняшнему уроку будут слова учеников школы Пифагора: «Не говори: «Не могу», а говори: «Научусь!»
Устная работа
Подведение к сообщению темы и целей урока. Целеполагание и постановка учебных задач
Актуализация знаний учащихся
Фронтальная работа с классом:
— Вспомните, что называется углом на плоскости? (Углом на плоскости называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки)
— Что называется углом между прямыми в пространстве? (Т.к. через 2 пересекающиеся прямые можно провести плоскость, то углом между прямыми в пространстве называют такую же фигуру как и угол на плоскости)
— Что называется углом между прямой и плоскостью? (углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскостью)
—Какой угол мы еще не рассматривали? (угол между плоскостями)
Изучение нового материала
-Сегодня вы познакомитесь еще с одним углом – двугранным углом. Итак, тема урока «Двугранный угол».
Изобразите две пересекающиеся плоскости.
Понятие двугранного угла: Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.
Две полуплоскости – грани двугранного угла, прямая а – ребро двугранного угла.
Двугранный угол ‹(α;β)=(α^β).
α∩β=а, Прямая а – ребро двугранного угла. Две полуплоскости – грани двугранного угла.
— Вокруг нас достаточно много предметов с элементами в виде двухгранного угла. Примеры двугранного угла в жизни рассмотрим на слайде.
Постановка проблемной ситуации:
— Двугранный угол, как и линейный угол можно назвать, построить, измерить.
— Каким образом измерять двугранный угол?
Выяснение проблемы в ходе совместной беседы и подведение к мысли, что требуется ввести понятие линейного угла данного двугранного угла.
-Двугранный угол тоже измеряется в градусах или радианах.
-Рассмотри алгоритм построения линейного угла.
— На чертеже для нахождения двухгранного угла на его ребре отмечается точка В. Из этой точки проводятся два луча ВА и ВС перпендикулярно ребру угла. Образованный этими лучами угол АВС называется линейным углом двугранного угла.
Градусная мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла. Измерим угол АОВ.
-Линейных углов для двугранного угла можно провести бесконечное количество, все они равны.
-Рассмотрим два линейных угла АОВ и А₁О₁В₁ . Лучи ОА и О₁А₁ лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО₁, поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и О₁В₁ так же сонаправлены. Поэтому угол АОВ равен углуА₁О₁В₁ как углы с сонаправленными сторонами.
Первичное закрепление изученного материала.

1 вариант: Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.

2 вариант: Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.

Равнобедренный треугольник АВС и правильный треугольник АDB не лежат в одной плоскости. Отрезок CD является перпендикуляром к плоскости ADB. Найдите двугранный угол DABC, если AC=CB=2 см, АB= 4см.
Решение: Двугранный угол DABC равен его линейному углу. Построим этот угол.
Проведем наклонную СМ АВ, так как ΔАСВ-равнобедренный, то точка М совпадёт с серединой ребра АВ.
Прямая СD по условию (ADB), значит перпендикулярна прямой DM лежащей в этой плоскости. А отрезок МD является проекцией наклонной СМ на (АDВ).
Прямая АВ наклонной СМ по построению, значит по теореме о трех перпендикулярах проекции MD.
Итак к ребру АВ найдены два перпендикуляра СМ и DМ. Значит они образуют линейный угол СMD двугранного угла DАВС. И нам останется его найти из прямоугольного треугольника СDM.
Так отрезок СМ медиана и высота равнобедренного треугольника АСВ, то по теореме Пифагора катет СМ=4 см.
Из прямоугольного треугольника DMB по теореме Пифагора катет DM равен=2.
Косинус угла из прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета МD к гипотенузе СМ и =3. Значит угол СМD=30° .
Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, АВ = ВС = АС = 6, BD = 3√7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.
Подведение итогов. Рефлексия: составим СИНКВЕЙН
5 строка-слово (суть темы)
Полуплоскости
Домашнее задание п.22, №167, №172
1 вариант: Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.
В
С
2 вариант: Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.
В
А

1 вариант: Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.
В
2 вариант: Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.
В
Конспект урока по математике » «Двугранный угол».
Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса
Тема урока: «Двугранный угол».
Цель урока: введение понятия двугранного угла и его линейного угла.
Задачи:
Образовательная: рассмотреть задачи на применение этих понятий, сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями;
Развивающая: развитие творческого мышления учащихся, личностное саморазвитие учащихся, развитие речи учащихся;
Воспитательная: воспитание культуры умственного труда, коммуникативной культуры, рефлексивной культуры.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный
Оборудование: компьютер, интерактивная доска.
Литература:
Геометрия. 10-11 классы : учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – 18-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 255 с.
План урока:
Организационный момент (2 мин)
Актуализация знаний (5 мин)
Изучение нового материала (12 мин)
Закрепление изученного материала (21 мин)
Домашнее задание (2 мин)
Подведение итогов (3 мин)
Ход урока:
1. Организационный момент.
Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.
2. Актуализация опорных знаний.
Учитель: На прошлом уроке вы писали самостоятельную работу. В целом работы написали неплохо. А теперь давайте немного повторим. Что называется углом на плоскости?
Ученик: Углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Учитель: Что называется углом между прямыми в пространстве?
Ученик: Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Ученик: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Учитель: Что называется углом между прямой и плоскостью?
Ученик: Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
3.Изучение нового материала.
Учитель: В стереометрии наряду с такими углами рассматривается ещё один вид углов – двугранные углы. Вы, наверное, уже догадались какова тема сегодняшнего урока, поэтому откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока.
Запись на доске и в тетрадях:
10.12.14.
Двугранный угол.
Учитель: Чтобы ввести понятие двугранного угла, следует напомнить, что любая прямая, проведенная в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две полуплоскости (рис.1,а)
Учитель: Представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой так, что две полуплоскости с границей оказались уже не лежащими в одной плоскости (рис. 1, б). Полученная фигура и есть двугранный угол. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла две грани, отсюда и название — двугранный угол. Прямая — общая граница полуплоскостей — называется ребром двугранного угла. Запишите определение в тетрадь.
Запись на доске и в тетрадях.
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости.
Учитель: В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Приведите примеры.
Ученик: Полураскрытая папка.
Ученик: Стена комнаты совместно с полом.
Ученик: Двускатные крыши зданий.
Учитель: Правильно. И таких примеров огромное количество.
Учитель: Как вы знаете, углы на плоскости измеряются в градусах. Вероятно у вас возник вопрос, а как же измеряются двугранные углы? Это делается следующим образом. Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла. Сделайте чертёж у себя в тетрадях.
Запись на доске и в тетрадях.
О ∈ а, АО ⊥ а, ВО ⊥ a, САBD – двугранный угол, ∠AOB – линейный угол двугранного угла.
Учитель: Все линейные углы двугранного угла равны. Сделайте себе ещё вот такой чертёж.
Учитель: Докажем это. Рассмотрим два линейных угла АОВ и PQR. Лучи ОА и QP лежат в одной грани и перпендикулярны OQ, значит, они сонаправлены. Аналогично лучи ОВ и QR сонаправлены. Значит, ∠AOB = ∠PQR (как углы с сонаправленными сторонами).
Учитель: Ну, а теперь ответ на наш вопрос как же измеряется двугранный угол. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Перерисуйте из учебника со страницы 48 изображения острого, прямого и тупого двугранного угла.

4.Закрепление изученного материала.
Учитель: Сделайте чертежи к задачам.
№ 1. Дано: ΔABC, АС = ВС, АВ лежит в плоскости α, CD ⊥ α, С ∉ α. Построить линейный угол двугранного угла CABD.
Ученик: Решение: CM ⊥ AB, DC ⊥ АВ. ∠CMD — искомый.
№ 2. Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ВС лежит плоскости α, АО ⊥ α, A ∈ α.
Построить линейный угол двугранного угла АВСО.

Ученик: Решение: AB ⊥ BC, АО ⊥ ВС, значит, ОС ⊥ ВС. ∠ACO — искомый.
№ 3. Дано: ΔABC, ∠С = 90°, АВ лежит в плоскости α, CD ⊥ α, С ∉ α. Построить линейный угол двугранного угла DABC.

Ученик: Решение: CK ⊥ AB, DC ⊥ АВ, DK ⊥ АВ, значит, ∠DKC — искомый.
№ 4. Дано: DABC — тетраэдр, DO ⊥ ABC.Построить линейный угол двугранного угла ABCD.
Ученик: Решение: DM ⊥ ВС, DO ⊥ ВС, значит, ОМ ⊥ ВС; ∠OMD — искомый.
5.Подведение итогов.
Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Ученики: Что называется двугранным углом, линейным углом, как измеряется двугранный угол.
Учитель: Что повторили?
Ученики: Что называется углом на плоскости; углом между прямыми.
6.Домашнее задание.
Запись на доске и в дневниках: п. 22, №167, №170.
Лекция по математике на тему «Двугранный угол»
Лекция по теме «Двугранный угол»
В планиметрии основными объектами являются прямые, отрезки, лучи и точки. Лучи исходящие из одной точки, образуют одну их геометрических фигур–угол.
Мы знаем, что линейный угол измеряется в градусах и радианах.
В стереометрии к объектам добавляется плоскость. Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости – это грани двугранного угла. Прямая а – это ребро двугранного угла.
Двухгранный угол как и линейный угол можно назвать, измерить, построить. Это и предстоит нам выяснить в этом уроке.
Найдём двухгранный угол на модели тетраэдра АВСD.
Двугранный угол с ребром АВ называют CABD, где С и D точки принадлежащие разным граням угла а ребро АВ называют в середине
Вокруг нас достаточно много предметов с элементами в виде двухгранного угла.
Во многих городах в парках установлены специальные скамейки для примирения. Скамейка выполнена в виде двух сходящихся к центру наклонных плоскостей.
При строительстве домов часто используется так называемая двухскатная крыша. На этом доме крыша выполнена в виде двухгранного угла в 90 градусов.
Двугранный угол тоже измеряется в градусах или радианах, но как его измерить.
Интересно заметить, что крыши домов лежат на стропилах. А обрешётка стропил образует два ската крыши под заданным углом.
Перенесем изображение на чертёж. На чертеже для нахождения двухгранного угла на его ребре отмечается точка В. Из этой точки проводятся два луча ВА и ВС перпендикулярно ребру угла. Образованный этими лучами угол АВС называется линейным углом двугранного угла.
Градусная мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла.
Измерим угол АОВ.
Градусная мера данного двугранного угла равна шестидесяти градусам.
Линейных углов для двугранного угла можно провести бесконечное количество, важно знать, что все они равны.
Рассмотрим два линейных угла АОВ и А₁О₁В₁ . Лучи ОА и О₁А₁ лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО₁, поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и О₁В₁ так же сонаправлены. Поэтому угол АОВ равен углуА₁О₁В₁ как углы с сонаправленными сторонами.
Так двугранный угол характеризуется линейным углом, а линейные углы бывают острые, тупые и прямые. Рассмотрим модели двугранных углов.
Тупой угол, если его линейный угол от 90 до 180 градусов.
Прямой угол, если его линейный угол равен 90 градусов.
Острый угол, елси его линейный угол от 0 до 90 градусов.
На экране изображение
Линейный угол
На экране изображение и текст
Двугранный угол
прямая а –ребро угла
Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащие одной плоскости.
На экране изображение
На экране обновляется изображение и текст
CABD– двухгранный угол.
Обозначение CABD,
АВ– ребро, САВС, DACD
На экране изображение
На экране изображение На экране изображение
На экране изображение
текст
АВС– линейный угол, АВа, ВСа
текст
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
На экране появляется анимацию по измерению градусной меры линейного угла с наложением транспортира):
На экране изображение с анимацией элементов.
АОВ и А₁О₁В₁ линейные углы,
ОА и О₁А₁, ОВ и О₁В₁– сонаправлены
АОВ =А₁О₁В₁
На экране изображение с анимацией появления.
Тупой угол
Прямой угол
Острый угол
Докажем одно из важных свойств линейного угла.
Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла.
Пусть угол АОВ – линейный угол данного двугранного угла. По построению лучи АО и ОВ перпендикулярные прямой а.
Через две пересекающиеся прямые АО и ОВ проходит плоскость АОВ по теореме: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
Прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости АОВ.
На экране тест
Плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла.
На экране изображение и доказательство:
Доказательство:
АО, ОВ а (по построению)
На экране добавляется пункт доказательства:
АО АОВ единственная
На экране добавляется пункт доказательства и чертёж
Для решения задач важно уметь строить линейный угол заданного двухгранного угла. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ для тетраэдра АВСD.
Речь идет о двугранном угле, который образован, во-первых, ребром АВ, одной гранью АВD, второй гранью АВС.
Вот один из способов построения.
Проведем перпендикуляр из точки D к плоскости АВС, Отметим точку М основание перпендикуляра. Вспомним, что в тетраэдре основание перпендикуляра совпадает с центром вписанной окружности в основание тетраэдра.
Проведем наклонную из точки D перпендикулярно к ребру АВ, отметим точку N основание наклонной.
В треугольнике DMN отрезок NM будет проекций наклонной DN на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах ребро АВ будет перпендикулярно проекции NМ.
Значит cтороны угла DNM перпендикулярны к ребру АВ, значит построенный угол DNM искомый линейный угол.
На экране изображение с анимацией элементов:
На экране изображение и текст:
Построение:
DM: DM⊥(ABC)
На экране обновляется чертёж и текст:
DN⊥AB
На экране обновляется чертёж и построения:
В :
DM⊥ NM, АВ⊥ DNАВ⊥ NM
На экране добавляется пункт построения:
Рассмотрим пример решения задачи на вычисление двугранного угла.
Задача
Равнобедренный треугольник АВС и правильный треугольник АDB не лежат в одной плоскости. Отрезок CD является перпендикуляром к плоскости ADB. Найдите двугранный угол DABC, если AC=CB=2 см, АB= 4см.
Двугранный угол DABC равен его линейному углу. Построим этот угол.
Проведем наклонную СМ перпендикулярно к ребру АВ, так как треугольник АСВ равнобедренный, то точка М совпадёт с серединой ребра АВ.
Прямая СD по условию перпендикулярна плоскости ADB, значит перпендикулярна прямой DM лежащей в этой плоскости. А отрезок МD является проекцией наклонной СМ на плоскость АDВ.
Прямая АВ перпендикулярна наклонной СМ по построению, значит по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна проекции MD.
Итак к ребру АВ найдены два перпендикуляра СМ и DМ. Значит они образуют линейный угол СMD двугранного угла DАВС. И нам останется его найти из прямоугольного треугольника СDM.
Так отрезок СМ медиана и высота равнобедренного треугольника АСВ, то по теореме Пифагора катет СМ равен 4 см.
Из прямоугольного треугольника DMB по теореме Пифагора катет DM равен двум корням из трёх.
Косинус угла из прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета МD к гипотенузе СМ и равен три корня из трёх на два. Значит угол СМD равен 30 градусам.
На экране текст задачи и изображение:
.
изображение:
Дано: ΔАВС–равнобедренный,
ΔАDB правильный не лежат в
одной плоскости, CD ADB.
AC=CB=2 см, АB= 4см
Найти: угол DABC,
Решение :
1) Проведём СМ: СМАВ, АМ=МВ (по свойству р/б треу-ка)
На экране изображение и текст решения:
2) CD(ADB) MD, и МD-проекция СМ
На экране добавляется пункт решения и отметки прямых углов:
3) АВСМ, где СМ –наклонная, а МD-проекция
На экране обновляется чертёж и текст решения:
Решение:
искомый линейный угол.
На экране обновляется чертёж и текст решения:
Решение:
ΔСМВ– прям.
СМ= см.
На экране добавляется пунк решения:
ΔDМВ– прям.DМ= см.
На экране добавляется пунк решения:
ΔСDМ– прямcos ==30°
Ответ: 30°