Как найти корни квадратного уравнения без дискриминанта: Как решать квадратное уравнение

Содержание

Как решать квадратное уравнение

Как решать квадратные уравнения

Алгоритм решения квадратного уравнения


Речь идет о поиске только действительных корней квадратного уравнения.

Шаг 1:  Записываем уравнение в стандартном виде

В общем виде квадратное уравнение можно записать так:

Здесь — любое ненулевое число,  — любые числа, a — то число, которое необходимо найти. Такой вид уравнения называют стандартным. Например, — квадратное уравнение в стандартном виде, причем , и . Число называют старшим коэффициентом, число — свободным коэффициентом. А все выражение вида называют квадратным трехчленом.

Типичная ошибка: считать, что , то есть забыть про знак «-«.

Cтоит заметить, что все коэффициенты уравнения можно уменьшить в раза. Уравнение примет вид .

Числа , и , естественно, изменились (уменьшились!). Зато корни уравнения остались прежними. Поэтому всегда стоит проверять, а нельзя ли таким образом упростить уравнение, чтобы легче было далее находить корни.

Итак, первым делом необходимо привести квадратное уравнение  к стандартному виду. Для этого можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую (при этом слагаемые меняют знак). Например, . Раскрываем скобки: . Приводим подобные слагаемые: . Переносим все слагаемые из правой части в левую: (повторю: такие слагаемые меняют свой знак).  И опять приводим подобные слагаемые: . Получим квадратное уравнение в стандартном виде. Причем , и .

Типичная ошибка: забыть поменять знак слагаемого при переносе.

Типичная ошибка: перепутать слагаемые местами и неправильно определить коэффициенты. Например, . И кажется, что , и . На самом деле, , и .

Интересный случай: предположим, что получилось уравнение . Чему равно ? На этот вопрос не каждый может ответить уверенно.

Ответ: .

Интересный случай: дано уравнение . Мы смело раскрываем скобки и переносим и из правой части в левую. Но после приведения подобных слагаемых получается уравнение .  Нет ! Ни о каком стандартном виде квадратного уравнения здесь не может быть и речи просто потому, что это не квадратное уравнение, а совсем другая история под названием «Линейное уравнение».

Замечание: опытные в квадратных уравнениях математики советуют всегда делать коэффициент положительным. Для этого левую и правую части уравнения всегда можно домножить на . Например, заменим на . По-простому говоря, каждое слагаемое меняет знак. Да, это другое уравнение и коэффициенты другие. Но корни у него такие же, как и у исходного уравнения. Поэтому далее спокойно можно работать с новым. Зачем делать положительным? Например, затем, чтобы было меньше арифметических ошибок, когда будем находить дискриминант. Что такое дискриминант, узнаем в следующем шаге.

Шаг 2: Находим дискриминант.

У нас есть квадратное уравнение в виде . Вычисляем число , которое называется дискриминантом квадратного уравнения. Например, для уравнения дискриминант равен .

Типичная ошибка: часто вместо пишут  , то есть забывают скобки, но это уже , а не .

Типичная ошибка: неправильно определяют коэффициенты , и

Типичная ошибка: в слагаемом неправильно определяют окончательный знак. Например, в все-таки в итоге получается , а не .

Редкая ошибка: дискриминант пишут с большой буквы, видимо, из уважения или считая, что это фамилия.

Шаг 3: Находим корни уравнения

У нас есть дискриминант . Далее все зависит от его знака.

Если , то корней у уравнения нет. Ответ: корней нет. Вот так внезапно решение закончилось. Например, в уравнении дискриминант равен . Поэтому корней нет. Кстати, что это значит? Это значит, что какое бы число вы не выбрали, подстановка его в выражение вместо никогда не даст . Проверим число , например: . Не ноль.

То есть — не корень. Аналогично с любым другим числом: ноль никогда не получится.

Если , то . Числа и — это как раз те коэффициенты из стандартной записи уравнения. Например, в уравнении дискриминант . Тогда . Ответ: .

Типичная ошибка: неправильно подставляют в формулу . Ошибаются со знаком. Ведь если , например, то .

Если . То в ответе будет два корня, которые можно найти по формулам и . Например, в уравнении дискриминант . Тогда и . Так как , то и . Ответ: .

Замечание: часто для сокращения пишут две формулы в одной: .

Замечание: иногда дискриминант может оказаться «некрасивым», например, . Такое может быть, и терять самообладание не стоит. Совет один: перепроверить решение и, если ошибка не найдена, со спокойной совестью решать дальше. Чаще всего задачи придумывают так, чтобы дискриминант были полным квадратом (кстати, полезно выучить таблицу квадратов чисел от 1 до 20). Но иногда попадаются ответы вида .

Типичная ошибка: неправильно находят . Например, считают, что . На самом деле, . Отрицательным выражение быть не может (по определению арифметического квадратного корня).

Вот и весь алгоритм. Конечно, есть еще много деталей. Например, есть неполные квадратные уравнения, когда лучше решать способами без дискриминанта. Есть еще уравнения, сводящиеся к квадратным. Есть еще поиск комплексных корней квадратного уравнения (для ЕГЭ это излишне). Кстати, проверить свое решение квадратного уравнения всегда можно здесь. Далее стоит изучить теорему Виета, понять, а как возникает формула для дискриминанта, как быть с уравнением третьей степени.

Полный пример решения квадратного уравнения.

Условие

Решить уравнение

Решение

Согласно алгоритму, раскрываем скобки: .
На всякий случай, расписал все подробно. Но вообще такие действия надо научиться делать почти устно. Более того, лучше заметить, что к первому слагаемому применима формула сокращенного умножения, точнее, разность квадратов. Такие формулы позволяют значительно экономить время и силы (потренироваться можно здесь).
Но продолжим решение: . Приводим подобные слагаемые и переносим в левую часть уравнения: .
Изменим знак : .
Находим дискриминант. Так как , и , то . Дискриминант , поэтому у уравнения два корня: и .
Осталось заметить, что корни можно упростить, ведь .
Получаем окончательный ответ, который запишем одной формулой: .
Как видите, малейшая неточность в арифметических вычислениях — и весь труд в итоге напрасен.

Поэтому стоит потренироваться выполнять арифметические вычисления устно и без ошибок.

Ответ:  

Задачи для самостоятельного решения

Номера 41, 42, 43, 51, 52, 53  (ответы находятся после условий)

все статьи по математике

 

Дискриминант на 4 | Алгебра

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

   

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней  квадратного уравнения зависит от знака D/4.

  • Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:

       

  • Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

       

  • Если D/4<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

   

   

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

   

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

   

   

   

Ответ: -0,2; -3.

   

   

   

   

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

   

   

   

   

Ответ: 9; 1/3.

   

   

   

   

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

   

Ответ: -2 1/3.

   

   

   

   

Так как D/4<0, уравнение не имеет корней в действительных числах. 2-4ac\),

где D – дискриминант, а a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

 

Чем конкретно нам может помочь дискриминант?

  1. Если D < 0 – то квадратное уравнение не имеет решений;
  2. Если D = 0 – то уравнение будет иметь только один корень;
  3. Если D > 0 – то уравнение имеет два решения.

То есть благодаря дискриминанту мы будем знать о результате и количестве решений квадратного уравнения.

Итак, мы посчитали, чему равен наш дискриминант, потом определили количество решений уравнения, что дальше? А дальше определяем корни квадратного уравнения по формулам.

  1. В первом случае, когда D < 0, считать ничего не нужно, т.к. уравнение не имеет решений. Это значит, что корней квадратного уравнения на множестве действительных чисел нет.
  2. Во втором варианте, когда D = 0, решение будет одно и единственный корень квадратного уравнения будет равен: \(x=\frac{-b}{2a}\)
  3. Третий случай, при D > 0, наиболее сложный из всех трех возможных: в ответе должно получиться два корня квадратного уравнения.

\(x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\)– первый корень квадратного уравнения;

\(x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\)– второй корень квадратного уравнения.

 

Решение квадратных уравнений на самом деле не настолько сложное, как кажется на первый взгляд. Всего-то нужно запомнить несколько формул и алгоритм действий. Главное — не бояться вида квадратных уравнений, мы уверены: все у тебя получится! Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Гродненский государственный университет им Я. Купалы

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Подготовка к ОГЭ. Делаю сложное простым. Помогу понять и полюбить русский язык. Нет зубрежке и механическому запоминанию правил. Да осознанному пониманию языка. А в этом помогут алгоритмы, схемы, таблицы, мнемонические приемы запоминания.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Люблю математику, так как главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Казанский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по английскому языку 8-11 классов, подготовка к ОГЭ. Обожаю отдавать свои знания и видеть, что их с удовольствием получают от меня и это делает моих учеников лучше, умнее, мудрее! На занятиях придерживаюсь технологии КЭСПА, разработанной московскими лингвистами. Методика КЭСПА предлагает углублять свои знания, отталкиваясь не от иностранного языка, а от родного (русского) языка. Методика даёт отличные результаты, поскольку изучение иностранного языка строится на сознательном, аналитическом подходе. Вы быстрее начинаете понимать все языковые процессы, вам становится интересно и легко его изучать, вы освобождаетесь от психологического барьера. Вы систематизируете свои отрывочные знания, быстро раскладываете все по полочкам, особенно если вам надо подготовиться к экзаменам на владение английским. Давайте будем учить английский с удовольствием!

Похожие статьи

Квадратные уравнения, формулы и примеры

Определение и формула квадратного уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение вида называется квадратным уравнением.

Изучению квадратных уравнений были посвящены труды ученых древности, тому свидетельством являются найденные древние вавилонские глиняные таблички (1800-1600 г.г. до н.э.). На них представлены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Древнеиндийский математик Баудхаяма в 8 веке до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме и , а также привел их решения.

Вавилонские математики примерно с 4 века до н.э. и китайские математики примерно со 2 века до н.э. использовали метод дополнения (выделения полного) квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид ( г. до н.э.- г. до н.э.) придумал более общий геометрический метод решения таких уравнений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Число называется дискриминантом квадратного уравнения.

В зависимости от знака дискриминанта квадратное уравнение может иметь различное количество корней как действительных, так и комплексных.

Примеры решения квадратных уравнений

Случай 1. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня, которые находятся по формулам:

   

Случай 2. Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два совпадающих действительных корня (или корень кратности два), который вычисляется по формуле:

   

ПРИМЕР 2
Задание Найти корни квадратного уравнения .
Решение Вычислим дискриминант:

   

Так как дискриминант равен нулю, то, следовательно, квадратное уравнение имеет двукратный корень

   

Ответ .

Случай 3. Если дискриминант , то уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:

   

где называется мнимой единицей, удовлетворяющей соотношению .

ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение .
Решение Дискриминант уравнения

   

Так как дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней:

   

Ответ .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

уравнения Виета

Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что

   

то x1 и x2 — корни квадратного уравнения 

   

При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

I. Если q — положительное число,

это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

II. Если q — отрицательное число,

это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по  модулю).

II.a. Если -p — положительное число, ( то есть p<0), то  больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

   

Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.

   

В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

   

Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

   

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Квадратное уравнение. Онлайн калькулятор с примерами

Решение квадратных уравнений

Как бы кто ни говорил, но тема квадратных уравнений – это база всей школьной программы. Читая дальше, вы поймете почему.

Решая линейные уравнения, требуется лишь навык применения арифметических операций. Даже решать систему линейных уравнений несложно, все сводится к сложению, вычитанию или раскрытию скобок, когда подставляем одно уравнение в другое. И так далее.

Иное дело, когда возрастает старшая степень неизвестной переменной, и первый вид таких уравнений как раз называется квадратным уравнением, когда неизвестная переменная представлена во второй степени.

Есть прямая связь квадратных уравнений с тем, что мы можем наблюдать вокруг нас. Тема квадратных уравнений легкая, но очень важная и требует полного изучения, однако, этим пренебрегают ученики, да и учителя тоже.

Например, полет снаряда, выпущенного из орудия, летит по траектории, описываемой квадратным уравнением, и называется параболой. Парабола имеет вершину и две ветви, расположенные зеркально, что напоминает подкову.

Где встречаются квадратные уравнения

На практике квадратные уравнения встречаются практически во всех сферах жизненной деятельности человека, от науки до искусства. В школьной программе обязательно в алгебре, геометрии со стереометрией, тригонометрии, при упрощении выражений и так далее. Разумеется, не только в математике. В химии, физике, экономике, биологии и других науках без квадратных уравнений никак не обойтись.

Более того, в некоторых задачах необходимо оперировать со значениями, являющимися корнями квадратного уравнения, и опять-таки требуется находить корни. Если нахождение корней квадратного уравнения является промежуточным действием, например, необходимо использовать только сумму корней или их произведение, то глядя на уравнение, это сразу видно. Но опять же это нужно знать!

График квадратного уравнения

Как вы уже знаете графиком квадратного уравнения является парабола. По виду уравнения можно легко определить расположение ее вершины и направление ветвей относительно системы координат.

Парабола может либо пересекать ось абсцисс (в одной или двух точках), либо не пересекать ее. Во втором случае говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных решений (корней). Если же график параболы пересекает ось абсцисс, то корней два или один как минимум.

Запомните! У квадратного уравнения всегда имеются либо два разных, либо один кратности два корень, потому что уравнение второй степени. В том случае, когда корни не принадлежат полю действительных чисел, они находятся в поле комплексных чисел. Если вы еще не слышали про комплексные числа, просто примите это к сведению.

Что такое дискриминант

Общий вид квадратного уравнения следующий:

a*x2 + b*x + c = 0

Умножим обе части уравнения на 4*a, прибавим b2 к обеим частям и применим формулу сокращенного умножения «квадрат суммы». Перенесем 4*a*c в правую часть уравнения. В результате получим:

(2*a*x + b)2 = b2 – 4*a*c

Отсюда очевидно, что при b2 – 4*a*c действительных корней нет, потому что нет такого числа, которое в квадрате давало бы отрицательное.

При b2 – 4*a*c = 0 только один кратный корень.

И третий случай, при b2 – 4*a*c > 0 уравнение имеет два разных корня.

Рассмотрим последний случай, когда уравнение имеет два разных корня x1 и x2. Соответственно график параболы пересекает ось X в двух разных точках.

Координата вершины параболы определяется значением x = –b/2a.

Так как график параболы симметричен, то оба корня равноудалены от линии, проходящей через ее вершину.

Отсюда очевидно, что чем больше значение дискриминанта, тем дальше друг от друга располагаются корни уравнения. В этом заключается геометрический смысл дискриминанта.

Другими словами, значение дискриминанта напрямую указывает на удаленность корней уравнения друг от друга на числовой оси.

Так вот, удаленность корней друг от друга и называются дискриминантом, а формула, которую дают в школе под соусом «дискриминант», всего лишь выражает этот факт.

Как найти корни квадратного уравнения

Самое интересное это поиск корней уравнения. Есть несколько методов их нахождения, перечислим более известные.

1. Первый из них, самый известный всем школьникам, описанный выше, – это поиск по формуле квадратного уравнения, используя значение дискриминанта.

2. Принято отдельно считать метод выделения полного квадрата. Но как мы видели из поиска дискриминанта, это вытекает из первого способа.

3. Другой популярный способ – это разложение уравнения на множители, когда его приводят к виду (x+A)*(x+B)=0. Частный случай такого уравнения x*(x+A)=0 с нулевым корнем.

4. Еще один не менее важный способ – графический. В этом методе исследуют график параболы и находят ее пересечение с осями координат.

5. Очень удобный способ определения корней квадратного уравнения и часто применяемый в практических задачах – применение теоремы Виета.

Рассмотрим пример определения корней по теореме Виета

Пусть дано уравнение x2 — 5 x + 6 = 0

Согласно этой теореме, сумма корней есть коэффициент перед x, но с противоположным знаком, а произведение корней – это значение свободного члена квадратного уравнения.

Очевидно, что x1=2, а x2=3, так как x1+x2=2+3=5, а x1*x2=2*3=6

Калькулятор решения квадратных уравнений

С нашим калькуляторе вы без проблем решите любое квадратное уравнение онлайн. Он полезен как для самопроверки, таки и для изучения этой темы, поскольку пошагово покажет весь ход решения до определения корней.

В калькуляторе предусмотрены различные варианты решения квадратного уравнения. Это по формуле через дискриминант, с помощью выделения полного квадрата и методом разложения на множители.

Каждый способ решения хорош по-своему, а главное помогает школьникам лучше усвоить столь важную тему как решение квадратных уравнений.

Желаем успехов!

Дискриминант квадратного уравнения с большими коэффициентами

Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.

Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант,  многие начинают паниковать (без калькулятора).

А на ЕГЭ по математике, например, в задачах №11, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.

Нет безвыходных ситуаций!


На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта

Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же  формулу дикриминанта для вычисления корней квадратного уравнения  

Тогда корни  уравнения находим по формуле

Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным  квадратным уравнением ( и – ненулевые).

Как решать неполные квадратные уравнения мы уже говорили.


 

I. Используем формулу «разность квадратов» + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение  

Ясно, что дискриминант следующий:

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что , поэтому

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…


 

II. Используем прием вынесения общего множителя за скобки + показать

Допустим, нам нужно решить уравнение (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий: 

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что , а .

Мы можем вынести за скобку общий множитель

Корни найти – уже не проблема…


 

III. Формула сокращенного дискриимнанта + показать


 

IV.  Вместо дискриминанта – т. Виета + показать

BioMath: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень (корень) квадратного уравнения. Корни также называются перехватами x или нулями. Квадратичная функция графически представлена ​​параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевой корень.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни.Мы уже видели, что завершение квадрата — полезный метод решения квадратных уравнений. Этот метод может быть использован для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. Фактически, корни функции

f ( x ) = ax 2 + bx + c

даются по формуле корней квадратного уравнения. Корни функции — это перехваты x . По определению, координата y точек, лежащих на оси x , равна нулю.Следовательно, чтобы найти корни квадратичной функции, мы полагаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение:

ax 2 + bx + c = 0.

Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

Решая x и упрощая, получаем

Таким образом, корни квадратичной функции имеют вид,

Эта формула называется квадратной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась.Мы называем термин b 2 −4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b 2 −4 ac <0 Настоящих корней нет.

2. b 2 −4 ac = 0 Имеется один действительный корень.

3. b 2 −4 ac > 0 Есть два действительных корня.

Рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: Нет настоящих корней

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает ось x . Поскольку квадратная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определяется по действительной прямой.Пример квадратичной функции без действительных корней дается формулой

.

f ( x ) = x 2 — 3 x + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный,

b 2 −4 ac = (−3) 2 — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = −7.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит выше оси x.Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

Случай 2: Один настоящий корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке. Чтобы увидеть это, мы установили b 2 −4 ac = 0 в формулу корней квадратного уравнения, чтобы получить

Обратите внимание, что это координата x вершины параболы.Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, —

.

y = x 2 ,

, где действительный корень равен x = 0.

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем:

f ( x ) = −4 x 2 + 12 x — 9.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

b 2 −4 ac = (12) 2 — 4 · −4 · −9 = 144 — 144 = 0.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,

Случай 3: два настоящих корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -перехвата).Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня равны,

Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями:,

f ( x ) = 2 x 2 -11 x + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

b 2 — 4 ac = (−11) 2 — 4 · 2 · 5 = 121 — 40 = 81.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. иметь два корня), как показано ниже,

*****

В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений

Как использовать квадратичную формулу для поиска корней уравнений — Видео и стенограмма урока

Квадратичная формула

Квадратичная формула — это формула, которую мы можем использовать для нахождения корней квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0.

Чтобы использовать квадратную формулу для нахождения корней квадратного уравнения, все, что нам нужно сделать, это получить квадратное уравнение в форме a x 2 + b x + c = 0; идентифицировать a , b и c ; а затем подключите их к формуле. Чтобы идентифицировать эти значения, мы просто помним, что a находится перед x 2, b находится перед x , а c — это само по себе число.

Например, в нашем уравнении — x 2 + 4 x + 5 = 0, число перед x 2 равно -1, поэтому a = -1. Число перед x равно 4, поэтому b = 4. Наконец, само число 5, поэтому c = 5. Мы почти у цели! Все, что нам нужно сделать, это подставить эти значения в нашу формулу корней квадратного уравнения, и тогда мы сможем найти значения x , которые делают наше уравнение истинным. Тогда мы узнаем, сколько времени нужно, чтобы мяч коснулся земли.Приступим к подключению!

Мы видим, что шар находится на высоте 0, когда x = -1 и когда x = 5. В нашем случае мы можем игнорировать x = -1. Хотя верно, что x = -1 является корнем уравнения, мы знаем, что x представляет время, и у нас не может быть -1 секунды. Единственная причина, по которой это выглядит таким образом, заключается в том, что, когда мы изначально бросали мяч на 0 секунде, мы находились на высоте 5 футов над землей.

Поскольку мы отказались от ответа x = -1, остается x = 5 как решение нашей конкретной проблемы. Это говорит нам о том, что мяч ударился о землю через 5 секунд после того, как мы его бросили, поэтому он находился в воздухе 5 секунд. Разве это не здорово, что мы могли это выяснить, используя нашу формулу корней квадратного уравнения?

Другой пример

Рассмотрим еще один пример. Допустим, мы делаем каркасную поделку. На основе имеющихся у нас материалов площадь рамки может быть представлена ​​уравнением A = x 2 + 2 x , где A — это площадь рамки, а x — это площадь рамки. ширина рамки.Мы хотим, чтобы наша область была 24 на 2, поэтому нам просто нужно найти ширину, которая делает это так.

Для этого мы подставляем 24 для A , чтобы получить

x 2 + 2 x = 24

Мы вычитаем 24 с обеих сторон, чтобы получить уравнение в правильной форме:

x 2 + 2 x — 24 = 0

Теперь мы хотим идентифицировать a , b и c на основе чисел перед x 2, x и отдельно , соответственно.Таким образом, мы имеем a = 1, b = 2 и c = -24. Все, что нам нужно сделать сейчас, это подставить их в нашу формулу корней квадратного уравнения:

Мы видим, что ширина равна 4 или -6. Поскольку у нас не может быть отрицательной ширины, она должна быть равна 4, чтобы иметь площадь 24 дюйма2.

Резюме урока

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором наивысший показатель любой переменной равен 2.Решения квадратных уравнений называются корнями . Квадратные уравнения имеют 2 корня. Мы можем найти корни квадратного уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:

Чтобы использовать это, мы записываем уравнение в виде a x 2 + b x + c = 0; идентифицировать a , b и c ; а затем подставьте эти значения в формулу.

Квадратные уравнения постоянно используются для моделирования явлений реального мира, поэтому очень полезно знать, как решать эти уравнения.Квадратичная формула — обязательный инструмент, который нужно добавить в свой математический инструментарий!

Обзор различных методов решения квадратного уравнения — Концепция

Решение квадратных уравнений может быть трудным, но, к счастью, есть несколько различных методов, которые мы можем использовать в зависимости от того, какой тип квадратичного уравнения мы пытаемся решить. Четыре метода решения квадратного уравнения включают факторизацию, используя квадратные корни, завершая квадрат и квадратную формулу.

Итак, сейчас я хочу поговорить об обзоре всех различных способов решения квадратного уравнения. Под этим я подразумеваю что-нибудь в форме: ax² плюс bx плюс c. Итак, у нас есть четыре различных способа, которые нам удобны. У нас есть факторизация, свойство извлечения квадратного корня, завершение квадрата и квадратная формула. Мы можем использовать эти методы в разное время, и я просто хочу поговорить о том, когда мы можем их использовать, почему они хороши и почему плохие.Так что я просто спущусь вниз по ряду и расскажу о каждом из них. «Чек» означает «за», а «минус» — «против». Факторинг обычно является самым быстрым и простым способом решения чего-либо, когда это возможно. Часто мы имеем дело с квадратичным коэффициентом, который нельзя факторизовать, поэтому факторинг нам не поможет. Таким образом, это быстро и легко, когда его можно использовать, но также не всегда можно использовать. Так быстро и просто, но не всегда применимо.
Следующее, о чем мы поговорим, — это свойство квадратного корня.Это когда у нас есть что-то квадратное. Итак, профи: это здорово, когда вы решаете что-то квадратное. Единственная проблема в том, что мы не всегда имеем дело с ситуацией. Каждый раз, когда у вас есть X-термин или что-то в этом роде, мы не сможем его использовать. Так что это не всегда квадратный термин. Когда это применимо, это здорово, но не всегда. На самом деле это не так часто бывает.
Завершение кв. Самое замечательное в завершении квадрата — это то, что мы всегда можем это сделать.Никогда не будет времени, когда вы не сможете завершить квадрат. Но недостаток в том, что это может стать некрасивым. Если вы имеете дело с коэффициентом или нечетным средним членом или чем-то в этом роде, вы собираетесь ввести дроби. Это не всегда лучшая ситуация.
Наконец, формула корней квадратного уравнения. Опять же, это здорово, потому что им всегда можно воспользоваться. И минусы, это зависит от человека. Если вы используете квадратные корни, что не всегда нравится некоторым людям, вам всегда нужно использовать квадратные корни.Обычно это не так просто, как некоторые из этих других методов, я бы сказал, что завершение квадрата немного проще, но это то, что вы должны запомнить. Поэтому вам нужно запомнить формулу, и она может стать некрасивой.
Итак, это четыре разных способа, плюсы и минусы, а также некоторые вещи, о которых следует подумать при решении проблемы. На самом деле я не собираюсь ничего решать за вас. Я только что сделал небольшую диаграмму, чтобы вы знали, какие ресурсы у вас есть, а также плюсы и минусы каждого из них.

Сколько корней?

Когда вы решаете корни квадратного уравнения, есть несколько возможных результатов.

  • У вас может быть два вещественных числа. Если вы установите x равным любому решению, результат оба раза будет равен нулю.
  • Может быть только одно вещественное число.
  • Уравнение может иметь два решения комплексных чисел. Реальных числовых решений не существует.

Не волнуйтесь; есть простой способ узнать, сколько существует решений, еще до того, как вы начнете использовать формулу.Просто взгляните на часть квадратной формулы b 2 -4 ac . Этот небольшой кусок называется дискриминантом , и это ключевой вид нашей маленькой квадратичной экосистемы. Без него все развалится.

  • Если b 2 — 4 ac положительно, то существует два вещественных числа.
  • Если b 2 -4 ac = 0, то существует только одно решение для вещественных чисел.
  • Если b 2 -4 ac отрицательно, то существует два решения комплексных чисел.

Все это происходит непосредственно из формулы корней квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, то да, что приводит к двум ответам с действительными числами. Если он отрицательный, то да, что дает два сложных результата. И если b 2 -4 ac равно 0, то у вас есть, поэтому у вас есть только одно решение.

Пример задачи

Сколько корней имеет x 2 — 3 = 0?

Чтобы использовать дискриминант, сначала отметим, что a = 1, b = 0 и c = -3.

b 2 — 4 ac = (0) 2 — 4 (1) (- 3) = 12

Итак, у нас есть два настоящих корня. Ха! Слишком легко.

Хорошо, как насчет этого?

Сколько корней имеет 2 x 2 + 8 x + 8 = 0?

Эй, прекрати с этой губой, подзаголовок. Почему бы просто не сказать «Пример задачи», как обычно? В любом случае, дискриминант для этого уравнения равен

b 2 — 4 ac = (8) 2 — 4 (2) (8) = 64 — 64 = 0

Это означает, что у нас есть один действительный числовой корень для этого уравнения.

Тогда как вам этот?

Сколько корней у 0,7731 x 2 — 2,3812 x + 4,1111 = 0?

Это просто подло — но мы все еще можем это сделать. Просто позвольте нам быстро найти наш калькулятор.

b 2 — 4 ac = (-2,3812) 2 -4 (0,7731) (4,1111) ≈ 5,6701 — 12,7132 = -7,0431

Это отрицательное значение, поэтому у этого уравнения есть два комплексных корня . Кроме того, калькулятор находился в массажном кабинете Шмоопа, рядом с грудой учебников по алгебре.Если вам интересно.

Что он там делал?

Возможно, в то время мы выполняли несколько задач одновременно. Знаешь, мы очень заняты.

Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений

Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений

При решении квадратного уравнения выполните следующие действия. (в таком порядке) выбрать метод:

  1. Сначала попробуйте решить уравнение на множители.Быть уверенным что ваше уравнение в стандартной форме (ax 2 + bx + c = 0) перед вами начать попытку факторинга. Не тратьте много времени на попытки фактор вашего уравнения; если вы не можете учесть его менее чем за 60 секунд, перейти к другому методу.
  2. Затем посмотрите на сторону уравнения, содержащую переменную. Эта сторона — идеальный квадрат? Если это так, то вы можете решить уравнение извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения.Не забывай чтобы включить знак ± в уравнение как только вы извлечете квадратный корень.
  3. Далее, если коэффициент при квадрате члена равен 1 и коэффициент линейного (среднего) члена четный, завершая квадрат это хороший метод для использования.
  4. Наконец, квадратичная формула будет работать на любом квадратичном уравнение. Однако, если использование формулы приводит к слишком большим числа под знаком радикала, другой метод решения может быть лучше выбор.
Теперь мы рассмотрим некоторые уравнения и подумаем о наиболее соответствующий метод их решения.

Пример 1: Решить x 2 + 4 = 4x

Во-первых, представьте уравнение в стандартной форме, чтобы мы могли попробуйте решить это факторингом:

x 2 — 4x + 4 = 0

(х — 2) (х — 2) = 0

x — 2 = 0 | х — 2 = 0

x = 2 | х = 2

Итак, решение этого уравнения, найденное путем факторизации, это x = 2.

Пример 2: Решить (2x — 2) 2 = -4

Сторона уравнения, содержащая переменную ( левая сторона) представляет собой идеальный квадрат, поэтому мы извлечем квадратный корень из обеих сторон для решения уравнения.

(2х — 2) 2 = -4

2x — 2 = ± 2i

2x = 2 ± 2i

х = 1 ± я

Обратите внимание, что знак ± был вставлен в уравнение в точке извлечения квадратного корня.

Пример 3: Решить x 2 + 6x — 11 = 0

Это уравнение не факторизуемо, и сторона, содержащая переменная не является точным квадратом. Но поскольку коэффициент x 2 равен 1, а коэффициент при x четный, завершая квадрат будет подходящим методом. Чтобы найти номер, который нужно добавляем к обеим сторонам уравнения, чтобы получить квадрат, возьмите коэффициент при x, разделите его на 2, а затем возведите это число в квадрат.В в этой задаче 6 ¸ 2 равно 3, а 3 2 равно 9, поэтому мы добавим 9 к обеим частям уравнения, как только мы изолировали переменные условия.

х 2 + 6х — 11 = 0

x 2 + 6x = 11

x 2 + 6x +9 = 11 + 9

(х + 3) 2 = 20

Пример 4: Решить 2x 2 — x + 5 = 0

Это уравнение не факторизуемо, левая часть не учитывается. полный квадрат, а коэффициенты при x 2 и x членах не сделает завершение квадрата удобным. 2-4 (1) с \ end {выровнять *}

Возможные парные значения \ ((b; c) \): \ ((1; 1), ~ (1; 2), ~ (1; 3), ~ (2; 1), ~ (2; 2), ~ (2; 3), ~ (3; 1), ~ (3; 2), ~ (3; 3) \).Соответствующие значения \ (\ Delta \): \ ((\ Delta <0), ~ (\ Delta <0), ~ (\ Delta <0), ~ (\ Delta = 0), ~ (\ Delta <0), ~ (\ Delta <0), ~ (\ Delta> 0), ~ (\ Delta> 0), ~ (\ Delta <0) \)

\ (\ Delta ≥ 0 \) (и, следовательно, корни вещественные) для \ ((b; c) = (2; 1), ~ (3; 1), ~ (3; 2) \)

Решите квадратные уравнения по квадратичной формуле — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решите квадратные уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения
  • Используйте дискриминант, чтобы предсказать количество решений квадратного уравнения
  • Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

  1. Упростить:.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  2. Упростить:.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  3. Упростить:.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, завершая квадрат, мы каждый раз предпринимали одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ — «да». В этом разделе мы выведем и воспользуемся формулой, чтобы найти решение проблемы. Квадратное уравнение.

Мы уже видели, как решить формулу для конкретной переменной «в целом», чтобы мы проделали алгебраические шаги только один раз, а затем использовали новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. Теперь мы рассмотрим этапы завершения квадрата в целом, чтобы решить квадратное уравнение для x . Возможно, будет полезно взглянуть на один из примеров в конце последнего раздела, где мы решали уравнение формы, когда вы читаете алгебраические шаги ниже, поэтому вы видите их как с числами, так и со словом «в целом».

Последнее уравнение — квадратичная формула.

Квадратичная формула

Решения квадратного уравнения вида даются формулой:

Чтобы использовать квадратичную формулу, мы подставляем значения в выражение в правой части формулы. Затем мы делаем все математические вычисления, чтобы упростить выражение. Результат дает решение (я) квадратного уравнения.

Как решить квадратное уравнение с помощью квадратной формулы

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Если вы произносите формулу во время написания каждой задачи, вы быстро запомните ее. И помните, квадратная формула — это уравнение. Обязательно начинайте с «».

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Когда мы решали квадратные уравнения с помощью свойства квадратного корня, мы иногда получали ответы с радикалами. То же самое может случиться и при использовании квадратичной формулы. Если в качестве решения мы получаем радикал, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме.

Решите, используя дискриминант.

Решение

Мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы найти переменную в квадратном уравнении, независимо от того, называется ли оно « x ».

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Итак, когда мы подставляем, и в квадратную формулу, если величина внутри радикала отрицательна, квадратное уравнение не имеет реального решения.Мы увидим это в следующем примере.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Все квадратные уравнения, которые мы решили до сих пор в этом разделе, были записаны в стандартной форме,. Иногда нам нужно сделать некоторую алгебру, чтобы привести уравнение в стандартную форму, прежде чем мы сможем использовать квадратичную формулу.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы «очищали дроби», умножая обе части уравнения на ЖК-дисплей. Это дало нам возможность решить эквивалентное уравнение — без дробей. Мы можем использовать ту же стратегию с квадратными уравнениями.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Подумайте об уравнении. Из принципа нулевого произведения мы знаем, что это уравнение имеет только одно решение:.

В следующем примере мы увидим, как использование квадратичной формулы для решения уравнения с полным квадратом также дает только одно решение.

Решите, используя дискриминант.

Решение

Вы узнали, что это идеальный квадрат?

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Использование дискриминанта для предсказания числа решений квадратного уравнения

Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два решения, иногда одно решение, иногда нет реальных решений. Есть ли способ предсказать количество решений квадратного уравнения, не решая его на самом деле?

Да, количество внутри корня квадратной формулы позволяет нам легко определить количество решений.Эта величина называется дискриминантом.

Дискриминант

В квадратичной формуле величина называется дискриминантом.

Давайте посмотрим на дискриминант уравнений на (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок), а также на количество решений этих квадратных уравнений.

Когда дискриминант положительный квадратное уравнение имеет два решения .

Когда дискриминант равен нулю , квадратное уравнение имеет одно решение .

Когда дискриминант отрицательный квадратное уравнение не имеет реальных решений .

Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒⓓ

ⓐ нет реальных решений ⓑ 2 ⓒ 1 ⓓ нет реальных решений

Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒⓓ

ⓐ 2 ⓑ нет реальных решений ⓒ 1 ⓓ 2

Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

Мы использовали четыре метода для решения квадратных уравнений:

  • Факторинг
  • Свойство квадратного корня
  • Завершение квадрата
  • Квадратичная формула

Вы можете решить любое квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы, но это не всегда самый простой метод.

Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения.

  1. Сначала попробуйте Факторинг . Если квадратичные множители легко, этот метод очень быстрый.
  2. Далее попробуйте применить свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме или, его можно легко решить с помощью свойства квадратного корня.
  3. Используйте квадратичную формулу . Любое квадратное уравнение можно решить с помощью квадратной формулы.

А как насчет метода завершения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают не использовать его.Нам нужно было включить его в эту главу, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы получить квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс завершения квадрата в других областях алгебры.

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒ

Решение

Поскольку уравнение находится в, наиболее подходящим методом является использование свойства квадратного корня.

Мы понимаем, что левая часть уравнения представляет собой трехчлен полного квадрата, поэтому факторинг будет наиболее подходящим методом.

Приведите уравнение в стандартную форму.

В то время как наша первая мысль может заключаться в том, чтобы попробовать факторинг, размышления обо всех возможностях проб и ошибок приводят нас к выбору квадратичной формулы как наиболее подходящего метода

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒ

ⓐ коэффициент ⓑ Свойство квадратного корня ⓒ Квадратичная формула

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒ

ⓐ Квадратичная формула ⓑ факторинг ⓒ Свойство квадратного корня

Практика ведет к совершенству

Решите квадратные уравнения с помощью квадратичной формулы

В следующих упражнениях решите, используя квадратичную формулу.

Использование дискриминанта для прогнозирования числа решений квадратного уравнения

В следующих упражнениях определите количество решений каждого квадратного уравнения.

ⓐ нет реальных решений ⓑ 1
ⓒ 2 ⓓ нет реальных решений

ⓐ 1 ⓑ нет реальных решений
ⓒ 1 ⓓ 2

Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (разложение на множители, квадратный корень или квадратная формула) для решения каждого квадратного уравнения. Не решайте.

коэффициент ⓑ квадратный корень
ⓒ Квадратичная формула

коэффициент ⓑ квадратный корень
коэффициент

Повседневная математика

Ракета запускается прямо с корабля в море.Решите уравнение для количества секунд, в течение которых ракета будет находиться на высоте 640 футов.

Архитектор проектирует холл гостиницы. Она хочет иметь треугольное окно, выходящее в атриум, с шириной окна на 6 футов больше высоты. Из-за ограничений по энергопотреблению площадь окна должна составлять 140 квадратных футов. Решите уравнение для высоты окна.

Письменные упражнения

Решите уравнение
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

ⓐⓑ
ⓒ ответы будут отличаться

Решите уравнение
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *