Способы отбора корней тригонометрического уравнения по различным условиям

Здравствуйте!

Посмотрим, какими способами можно решать вторую часть задачи №13 варианта КИМ ЕГЭ — отобрать корни тригонометрического уравнения по разным условиям.

1. Отбор при помощи тригонометрической окружности

Есть два случая, когда удобно проводить отбор корней с помощью тригонометрического круга.

2. Отбор на графике тригонометрической функции

При использовании этого способа важно не забыть выписать период решения!

3. Отбор корней на основе решения неравенства

Отобрать корни, удовлетворяющие заданному условию, можно поместив полученные серии корней в неравенства и найдя удовлетворяющие ему значения

4. Метод перебора

Основные методы отбора корней тригонометрического уравнения мы систематизировали на слайдах. Рекомендуем еще раз повторить эти методы.

Следите за обновлениями на сайте и подписывайтесь на наш канал в Ютьюбе и группу Вконтакте!

Календарь занятий
Тема недели

Решение тригонометрических уравнений на промежутке

Цель урока:

а) закрепить умения решать простейшие тригонометрические уравнения

;

б) научить выбирать корни тригонометрических уравнений из заданного промежутка

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

а)Проверка домашнего задания: классу дано опережающее домашнее задание – решить уравнение и найти способ выбора корней из данного промежутка.

1)cos x = -0,5, где хI [- ]. Ответ: .

2) sin x = , где хI [0;2?]. Ответ: ; .

3)cos 2x = -, где хI [0;]. Ответ:

Ученики записывают решение на доске кто-то с помощью графика, кто-то методом подбора.

В это время класс работает устно.

Найдите значение выражения:

а) tg – sin + cos + sin . Ответ: 1.

б) 2arccos 0 + 3 arccos 1.

Ответ: ?

в) arcsin + arcsin . Ответ: .

г) 5 arctg (-) – arccos (-). Ответ:– .

– Проверим домашнее задание, откройте свои тетради с домашними работами.

Некоторые из вас нашли решение методом подбора, а некоторые с помощью графика.

См. приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

2. Вывод о способах решения данных заданий и постановка проблемы, т. е. сообщение темы и цели урока.

– а) С помощью подбора решать сложно, если задан большой промежуток.

– б) Графический способ не даёт точных результатов, требует проверку, и занимает много времени.

– Поэтому должен быть ещё как минимум один способ, наиболее универсальный -попробуем его найти. Итак, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Учиться выбирать корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке.)

– Пример 1. (Ученик выходит к доске)

cos x = -0,5, где хI [- ].

Вопрос: Отчего зависит ответ на данное задание? (От общего решения уравнения. Запишем решение в общем виде). Решение записывается на доске

х = + 2?k, где k R.

– Запишем это решение в виде совокупности:

– Как вы считаете, при какой записи решения удобно выбирать корни на промежутке? (из второй записи). Но это ведь опять способ подбора. Что нам необходимо знать, чтобы получить верный ответ? (Надо знать значения k).

(Составим математическую модель для нахождения k).

Ответ: .

Вывод: Чтобы выбрать корни из заданного промежутка при решении тригонометрического уравнения надо:

1. для решения уравнения вида sin x = a, cos x = a удобнее записать корни уравнения, как две серии корней.
2. для решения уравнений вида tg x = a, ctg x = a записать общую формулу корней.
3. составить математическую модель для каждого решения в виде двойного неравенства и найти целое значение параметра k или n.
4. подставить эти значения в формулу корней и вычислить их.

3. Закрепление.

Пример №2 и №3 из домашнего задания решить, используя полученный алгоритм. Одновременно у доски работают два ученика, с последующей проверкой работ.

4. Самостоятельная работа.

Самопроверка с выбором ответа. Выбрать № правильного ответа, получив закодированное число (312).

1) sin x = -, x

2) 3 tg x = -, x I [0; 2]

3) 2 cos , х [ ]

Приложение. Ответы к примерам

5. Домашнее задание:

1 уровень: № 295 (а,б), № 317 (а,б)

2 уровень: № 307 (в), № 308 (б), № 326(б), № 327(б).

6. Итог урока.

3. Три способа отбора корней

Пример:

а) реши уравнение  sinx=cos2x.

б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2π;7π2.

a) Уравнение прежде всего иррациональное, поэтому решается возведением обеих частей в квадрат. С учётом ОДЗ получаем:

 

sinx=cos2x;sinx≥0,cos2x≥0.

 

Стоит заметить, что рассматривать оба неравенства в системе нам не нужно, так как мы будем решать уравнение. Поэтому можно оставить только одно — более простое неравенство:

 

sinx=cos2x;sinx≥0.

 

Прежде всего избавимся от двойного угла в уравнении:

 

sinx=cos2x;sinx−cos2x=0;sinx−(cos2x−sin2x)=0;sinx−(1−sin2x−sin2x)=0;sinx−(1−2sin2x)=0;2sin2x+sinx−1=0;sinx=−1,sinx=12.

 

\(sin x= -1\) исключаем, так как это значение не входит в ОДЗ, а решения второго уравнения обозначим на тригонометрической окружности.

 

Эти решения можно записать в виде:

 

x=π6+2πn,n∈ℤ,x=5π6+2πm,m∈ℤ.

 

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок 2π;7π2.

1 способ:

  

вернёмся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному диапазону:

  

2π+π6=13π6,2π+5π6=17π6. 

 

2 способ:

указанный отрезок соответствует неравенству 2π≤x≤7π2. Подставим в него полученные корни:

 

2π≤π6+2πn≤7π2,n∈ℤ:π;2≤16+2n≤72,n∈ℤ−16;2−16≤2n≤72−16,n∈ℤ;116≤2n≤206,n∈ℤ:2;1112≤n≤2012,n∈ℤ;n=1;x=π6+2π⋅1=13π6

2π≤5π6+2πm≤7π2,m∈ℤ:π;2≤56+2m≤72,m∈ℤ−56;2−56≤2m≤72−56,m∈ℤ;76≤2m≤166,m∈ℤ:2;712≤m≤1612,m∈ℤ;m=1;x=5π6+2π⋅1=17π6

 

3 способ:

разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо \(n\) и \(m\) \(0\), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

 

Ответ: а) x=π6+2πn,n∈ℤ,x=5π6+2πm,m∈ℤ; б) 13π6,17π6.

Рекомендуем при решении тригонометрических уравнений использовать несколько разных способов отбора. Это поможет тебе убедиться в правильности отбора корней и выработать навык выбора более удобного способа.

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Цель урока: решение тригонометрических уравнений с отбором корней двумя способами (решая неравенство, которому должны удовлетворять корни тригонометрического уравнения и используя тригонометрический круг).

Задачи: разобрать решение тригонометрических уравнений с отбором корней явно или неявно указанного в задаче признака.

План урока

1. Организационный момент.

2. На едином государственном экзамене (ЕГЭ) в заданиях группы С1, требуется не только решить тригонометрическое уравнение, но и провести некоторое исследование корней заданного уравнения. В результате исследования, как правило, какая-то часть полученных корней выбирается или, наоборот, отбрасывается на основании условия задачи или неявно указанного в задании признака. Отбор корней тригонометрического уравнения выполняется одним из следующих способов: 1) Использование монотонности корней простейших тригонометрических уравнений; при этом корни упорядочиваются по возрастанию 2) решение неравенств, которым должны удовлетворять корни 3) решение системы тригонометрических уравнений и неравенств ( обычно решают уравнение и проверяют, удовлетворяют ли его корни тригонометрическому неравенству). Сегодня на уроке мы подробно остановимся на последних двух случаях.

1. Самый простой и наглядный способ использует тригонометрический круг.

Задача 1. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

Задача 2. Указать число решений уравнения на промежутке .

Решение.

6 sin x cosx +2 cos²x- 2sin²x= 3cos²x +3 sin²x

5 sin²x-6sinxcosx + 3 cos²x =0

cosx 0, т.к. если cosx = 0, то из уравнения 5 sin²x-6sinx · 0 + 0² =0 получим: sinx =0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Из всего вышесказанного следует, что при делении обеих частей уравнения на cos²x потери корней не произойдёт.

5 tg²x – 6 tgx + 1 =0

Замена: tgx= t.

5t²-6t+1=0. Следовательно t₁ =1, t₂ = .

Таким образом, получили tgx = 1 или tgx = . Решая эти уравнения получим

x = +n, n Z или x = arctg + pk, k Z.

Ответ: три решения.

Другой способ состоит в решении неравенств, которым должны удовлетворять искомые корни.

Задача 3. Найти все корни уравнения sinxcos + cosxsin = , расположенные в промежутке .

Решение.

sin(x + ) =

x + = ( — 1 )ⁿ + n, n Z

x = ( — 1 )ⁿ — + n, n Z

1. Если n чётное (n = 2k, k Z), то x = — + k, k Z x = + k, k Z.

Отберём из этой серии корней те корни, которые принадлежат промежутку . Для этого решим неравенство: — + k .

— k

—

Т. к. k Z, то 0 – единственное целое число, принадлежащее .

k	x
0

2. Если n нечётное (n = 2k + 1, k Z), то x = — — + k, k Z x = + k, k Z

— + k .

— k

—

Т. к. k Z, то -1 и 0 целые числа, принадлежащее .

k	x
0
-1	—

Ответ: — ;

3. Работа в группах. Задание №1. Указать число решений уравнения sinx+ на промежутке . Ответ: два решения.

Задание №2. Решить уравнение tg2x + sin2x =.

Ответ: + Z, arccos +, Z.

Домашнее задание: проработать материал лекции, закончить решение уравнений.

Урок-обобщение по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

Цель урока:

1. Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
2. Рассмотреть три основных способа отбора корней при решении тригонометрических уравнений:
   отбор неравенством, отбор знаменателем и отбор в промежуток.

Оборудование: Мультимедийная аппаратура.

Методический комментарий.

1. Обратить внимание учащихся на важность темы урока.
2. Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ;
   решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.

Ход урока

Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).

При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.

Решение уравнений.

Задача. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе

Далее имеем:

Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис. 1)

Рис. 1

Получаем, что не может быть решением исходного уравнения.

Ответ:

В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.

В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.

Задача 2. Решить уравнение.

Решение. Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.

Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)

Рис. 2

Из рисунка хорошо видно, что – решение исходного уравнения.

Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить, используя систему c нанесением соответствующих точек на окружности.

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение

3sin2x = 10 cos²x – 2/

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.

В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение

6sinxcosx = 10cos²x – sin²x – cos²x, т.е. sin²x – 9cos²x+ 6sinxcosx = 0

, т.к. в противном случае sinx = 0, что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin²x+ cos²x = 0.

Разделим обе части уравнения на cos²x. Получим tg²x+ 6tgx – 9 = 0/

Пусть tgx = t, тогда t²+ 6t – 9 = 0, t₁ = 2,t₂ = –8.

tgx = 2 или tg = –8;

Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.

1) .

Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=1, то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

Если к=2, то . Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.

Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.

Если к = –1, получим – не принадлежит промежутку .

Значения к = –2, –3,…не рассматриваются.

Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку

Это

2)

Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.

Ответ:

Задача 4. Решить уравнение 6sin²x+2sin²2x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку .

Решение. Приведем уравнение 6sin²x+2sin²2x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.

.

Откуда cos2x

Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства

Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3.

При к=2 получим , при к=3 получим .

Ответ:

Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется решать учителю у доски с привлечением учащихся. Для решения следующей задачи лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.

Задача 5. Решить уравнение

Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду

Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Отбор корней на промежутке (0; 5) проведем двумя способами. Первый способ -для первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.

, 0<k<5, .

Так как к – целое число, то к=1. Тогда х = – решение исходного уравнения.

Рассмотрим вторую систему совокупности

Если n=0, то . При п = -1; -2;… решений не будет.

Если п=1,– решение системы и, следовательно, исходного уравнения.

Если п=2, то

При решений не будет.

Ответ:

Задача 6. Найти все корни уравнения

на отрезке

Решение. Решение уравнения высвечивается на экране. По отдельным этапам решения задаются вопросы учителем в устной форме или тексты вопросов даются на экране.

Какой системе равносильно исходное уравнение?

Какие преобразования напрашиваются для уравнения?

В правой и левой части уравнения воспользоваться формулой двойного угла. Записать систему в виде:

Не совсем очевидно, но если выполнить группировку в левой части уравнения, то получим произведение двух множителей.

Совокупность, каких двух систем получили после преобразования уравнения?

Первая система решений не имеет, так как

В каком виде запишем решение уравнения второй системы совокупности?

Поскольку решение исходного уравнения нужно найти на отрезке, решение уравнения запишем в виде совокупности

Какие корни из полученной совокупности принадлежат рассматриваемому промежутку?

При m=0

, поэтому

ни при каком

Проиллюстрируем полученные выводы на тригонометрическом круге (рис. 3)

Рис. 3

Ответ:

Самостоятельная работа.

1. Решить уравнение

cos3x=cos5x+cosx, если

Ответ:

2. Решить уравнение

Ответ:

Указание. При решении уравнения после возведения в квадрат и замены переменной отбор корней можно осуществить в квадратном уравнении.

3. Решить уравнение

Ответ:

Домашнее задание.

Решить уравнение.

1.

2.

3.

Необязательное задание.

Решить уравнение

Комментарий для учителя. Самостоятельная работа носит обучающий характер. Хорошие оценки следует выставить в журнал.

Материал рассчитан на два сдвоенных урока.

Литература:

1. Кравцев С.В. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных – М: Издательство: “Экзамен”, 2005.
2. Назаретов А.П., Пигарев Б.П., Садовничая И.В., Симонов А.А. Математика: Задачи и варианты их решения на вступительных экзаменах в московских вузах (экономические специальности). – М.: УНЦ ДО, ФИЗМАТЛИТ, 2001.
3. Нараленков М.И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно-практическое пособие. – М.: Издательство “Экзамен”, 2003. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2008. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко.– Ростов-на-Дону: Легион, 2007.

Как решать задание 13 | LAMPA

О чем задача?

Задачи на решение тригонометрических уравнений, более сложных, чем в задании 5. В большинстве задач требуется не только решить уравнение, но и отобрать корни, принадлежащие определенному отрезку.

а) Решите уравнение sinx(2sinx−3ctgx)=3\sin x(2\sin x-3\text{ctg} x)=3sinx(2sinx−3ctgx)=3.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π2;π2][-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}][−23π​;2π​].

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

В первую очередь найдите .

Функция sinx\sin xsinx определена на всей числовой оси, а функция ctgx\text{ctg} xctgx определена, когда sinx≠0\sin x \neq 0sinx≠0 (поскольку ctgx=cosxsinx\text{ctg} x= \frac{\cos x}{\sin x} ctgx=sinxcosx​), то есть x≠πkx\neq \pi kx≠πk, где kkk — любое целое число. Мы нашли область определения уравнения: x≠πkx\neq \pi kx≠πk, где kkk — любое целое число.

Шаг 2. Приведите уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений

Для того чтобы привести уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений, применяйте следующие стандартные приемы:

• Приведение уравнения к виду квадратного уравнения путем замены переменной;
• Разложение на множители, то есть приведение уравнения к виду (asinx−b)(ccosx−d)=0(a\sin x-b)(c\cos x-d)=0(asinx−b)(ccosx−d)=0 (в таком уравнении может быть сколько угодно множителей, а вместо sinx\sin xsinx и cosx\cos xcosx могут быть и другие тригонометрические функции).

Раскроем скобки: sinx(2sinx−3ctgx)=3⇔sinx(2sinx−3cosxsinx)=3⇔ \sin x(2\sin x-3\text{ctg} x)=3 \,\,\Leftrightarrow \,\,\sin x(2\sin x-3\frac{\cos x}{\sin x})=3 \,\, \Leftrightarrow \,\,sinx(2sinx−3ctgx)=3⇔sinx(2sinx−3sinxcosx​)=3⇔⇔ 2sin2x−3cosx=3.\Leftrightarrow \,\ 2\sin^2 x-3 \cos x=3{.} ⇔ 2sin2x−3cosx=3. Выразим sin2x\sin^2 xsin2x из основного тригонометрического тождества: sin2x=1−cos2x\sin^2 x=1-\cos^2 xsin2x=1−cos2x. Тогда 2−2cos2x−3cosx=3⇔2cos2x+3cosx+1=0.2-2\cos^2 x-3\cos x=3 \,\,\Leftrightarrow \,\,2\cos^2 x+3\cos x+1=0{.}2−2cos2x−3cosx=3⇔2cos2x+3cosx+1=0.
Сделаем замену переменной. Пусть cosx=t\cos x=tcosx=t. Наше уравнение свелось к квадратному уравнению 2t2+3t+1=0.2t^2+3t+1=0{.}2t2+3t+1=0.
Воспользовавшись формулой , получаем два корня: t1=−1t_1=-1t1​=−1 и t2=−12t_2=-\frac{1}{2}t2​=−21​.

Мы свели исходное уравнение к совокупности простейших тригонометрических уравнений [cosx=−1,cosx=−12.\left[\begin{array}{l} \cos x = -1 {,}\\\cos x = -\frac{1}{2} {.}\end{array}\right.[cosx=−1,cosx=−21​.​

Шаг 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения

О решении простейших тригонометрических уравнений читайте в отдельной статье.

Убедитесь, что найденные вами корни принадлежат области определения уравнения.

Решим совокупность простейших тригонометрических уравнений, полученную на предыдущем шаге. Заметим, что корни уравнения cosx=−1\cos x =-1cosx=−1 не принадлежат области определения исходного уравнения, потому что при cosx=−1\cos x =-1cosx=−1 имеем sinx=0\sin x=0sinx=0 (а при sinx=0\sin x =0sinx=0 функция ctgx\text{ctg} xctgx в исходном уравнении не определена).

Остается решить уравнение cosx=−12\cos x =-\frac{1}{2}cosx=−21​.

Вспомним, что cosπ3=12\cos \frac{\pi }{3} =\frac{1}{2}cos3π​=21​.

Тогда по cos(π−π3)=cos2π3=−12\cos (\pi -\frac{\pi }{3})=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}cos(π−3π​)=cos32π​=−21​, следовательно arccos(−12)=2π3\text{arccos} (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}arccos(−21​)=32π​.

Получим решение уравнения: x=±2π3+2πk,x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k{,}x=±32π​+2πk, где kkk — целое число.

Шаг 4. Выберите корни, принадлежащие отрезку, данному в условии

Корни, принадлежащие данному в условии отрезку, можно найти либо методом перебора, либо путем решения неравенства относительно kkk.

Найдем подходящие корни методом перебора. Для этого рассмотрим две серии корней по отдельности.

Начнем с серии x=2π3+2πkx=\frac{2\pi }{3}+2\pi kx=32π​+2πk. При k=0k=0k=0 корень x=2π3x=\frac{2\pi }{3}x=32π​ не попадает в заданный отрезок, потому что 2π3>π2\frac{2\pi }{3} \gt \frac{\pi }{2}32π​>2π​. При k=−1k=-1k=−1 корень x=2π3−2π=−4π3x=\frac{2\pi }{3}- 2\pi =-\frac{4\pi }{3}x=32π​−2π=−34π​ попадает в заданный отрезок, потому что −3π2<−4π3 -\frac{3\pi }{2} \lt -\frac{4\pi }{3} −23π​<−34π​. Это единственный корень в этой серии, принадлежащий нужному отрезку.

Теперь рассмотрим серию x=−2π3+2πkx=-\frac{2\pi }{3} + 2\pi kx=−32π​+2πk. При k=0k=0k=0 корень x=−2π3x=-\frac{2\pi }{3}x=−32π​ попадает в заданный отрезок. Других корней, принадлежащих нашему отрезку, в этой серии корней нет (это следует из того, что длина отрезка составляет 2π 2\pi2π, а период серии решений также равен 2π 2 \pi2π; значит, если один из корней серии находится внутри отрезка, все остальные корни из этой серии уже не попадают в отрезок).

Итак, отрезку [−3π2;π2][-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}][−23π​;2π​] принадлежат корни x=−4π3x=- \frac{4\pi }{3}x=−34π​ и x=−2π3x=- \frac{2\pi }{3}x=−32π​.