Как находить площадь круга

Большое количество точек расположенных на равном расстоянии от центра и находящиеся на одном расстоянии — образуют круг, плоскую фигуру. Радиус круга — это прямая которая соединяет середину круга с любой из точек находящейся в его окружности. При этом в одной окружности, какая бы точка не была, радиус будет одинаков. Диаметр круга — это отрезок исходящий от любой точки окружности, проходящий через середину круга и заканчивающийся в параллельной точке той же окружности.

Как находить площадь круга? Площадь круга находится с помощью формулы в которой участвует число ?.

Интересный факт: Числом ? представляется отношение между длиной окружности и длиной диаметра этой же окружности. При этом имеет постоянную величину. А как нам известно ?= 3,1415926 и стало применяться с 1737 года.

Заметка: Ни как не можете определиться, какую машину выбрать? В автосалоне москва автомобили с пробегом (http://center-carauto.ru/), вы сможете в комфортных условиях подобрать наилучший вариант и при этом сэкономить. Согласитесь, заманчивое предложение!

Как рассчитать площадь круга? Как и говорилось выше благодаря формуле, в которой участвует число ? и радиус, записывается так:

S = ?R²

Разберем для наглядности
Найдем площадь круга с помощью его радиуса который равен 4 см.
Площадь круга равна:
Решение
S= 3,14 * 4² = 3,14 * 16 = 50,24 кв/см

Так же площадь круга через диаметр находиться по формуле

S = (?/4)d²

Разберем для наглядности
Найдем площадь круга с помощью его диагонали. Возьмем радиус равный 4 см.
Решение
1) Вычислим диаметр, который больше радиуса в два раза.

d=2R
d = 2 * 4 =8
2) Подставляем значения в формулу
S =(3,14/4) * 8² = 0,785 * 64 = 50,24
Если сверить полученный ответ с предыдущим, то они равны.

Когда мы ищем площадь сегмента круга или сектора, очень помогает знание основных формул. С их помощью них можно узнавать не известные значения.
Сегментом — называется ограниченная часть круга, которую ограничивают хорда и дуга данного круга.
Как нам уже известно расчет площади круга вычисляется с использованием числа ? умноженного на радиус в квадрате. Используя длину окружности, мы сможем найти радиус.

R = (l/2)?

Если подставить эту формулу в формулу расчета площади., у нас получится:

S = ? ((l/2)?)² = l²/4?

Разберем для наглядности
Найти площадь круга с окружностью равной 8 см.

Решение
Используем формулу S= 8²/4*3,14 = 64 / 12,56 = 5 см

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Длина окружности. Площадь круга. Число пи. Как находить радиус по диаметру.

Сегодня мы познакомимся с такими определениями, как круг, радиус, диаметр и окружность. В этой статье мы рассмотрим геометрическую фигуру, которая не включает прямые линии, а вместо этого изогнута: круг. Мы узнаем некоторые свойства этих фигур. Представьте себе точку \(P\), имеющую точное местоположение, затем нарисуем все возможные точки, которые находятся на одном фиксированном расстоянии r от точки \(P\). Если  мы нарисуем все точки, которые находятся на расстоянии \(r\) от \(P\), то в конечном итоге получим круг.

 

                                                                                                               

 

Таким образом, окружность — это множество всех точек, равноудаленных (то есть все на одном расстоянии) от центральной точки. Расстояние r от центра до длины окружности называется радиусом. Если мы умножим радиус на \(2\), то получим диаметр окружности. 

 

                                                                                                              

Длина окружности круга

 

Как и в случае треугольников и прямоугольников, мы можем попытаться получить формулы для площади и «периметра» круга. Но такого понятия, как «периметр», у круга нет. Есть определение длины окружности. Однако вычисление окружности круга не так просто, как вычисление периметра прямоугольника или треугольника.

 

Очевидно, что по мере увеличения диаметра или радиуса круг становится больше, и, следовательно, увеличивается длина окружности. Если мы разделим длину любой окружности на ее диаметр, мы получим постоянное число π. История числа  π шла параллельно с развитием всей математики, а общепринятым оно стало после работ

Леонардо Эйлера в \(1737\) году. Эта константа равна примерно \(3,14593\). Точное значение \(π\) неизвестно, pi — иррациональное число — неповторяющиеся десятичное число, которое не может быть выражено в виде дроби с целочисленным числителем и знаменателем.

Сделаем вывод: длина окружности,  разделенная на ее диаметр, является постоянным числом π. Диаметр в два раза больше радиуса, поэтому мы можем использовать это для замены. Таким образом, мы можем вычислить длину окружности, если знаем радиус окружности или ее диаметр. Для большинства расчетов, требующих верного ответа, достаточно \(π\) равного \(3,14\). Длина окружности вычисляется по формуле:

\(2πr\)

Например, если круг имеет радиус \(3\) метра, то его длина окружности равна \(6π\).

Площадь круга вычисляется по формуле:

\(πr^2\)

 

 

Если круг имеет диаметр \(6\) сантиметров. Какова его площадь? Радиус равен \(3\), следовательно, площадь \(πr^2-9π\) \(см^2\)

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Длина окружности и площадь круга. Решение задач

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):

Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

C = πD = 2πR

где C – длина окружности, π – константа, D – диаметр окружности, R – радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:

D = 3,5 · 2 = 7 (м)

теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м)

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π

следовательно радиус будет равен:

R	≈	7,85	=	7,85	=  1,25 (м)
		2 · 3,14		6,28

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:

S = πr²

где S – площадь круга, а r – радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

D = 2r,   значит   r =	D
	2

следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S  =  π(	D	)2  =  π	D2	=  π	D2
	2		22		4

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 2² = 3,14 · 4 = 12,56 (см²)

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

7 : 2 = 3,5 (см)

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr² ≈ 3,14 · 3,5² = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см²)

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

S  =  π	D2	≈  3,14	72	=  3,14	49	=	153,86	=  38,465 (см2)
	4		4		4		4

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м².

Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

r = √S : π

следовательно радиус будет равен:

r ≈ √12,56 : 3,14 = √4 = 2 (м)

Число π

Длину окружности предметов, окружающих нас, можно измерить с помощью сантиметровой ленты или верёвки (нитки), длину которой потом можно померить отдельно. Но в некоторых случаях померить длину окружности трудно или практически невозможно, например, внутреннюю окружность бутылки или просто длину окружности начерченной на бумаге. В таких случаях можно вычислить длину окружности, если известна длина её диаметра или радиуса.

Чтобы понять, как это можно сделать, возьмём несколько круглых предметов, у которых можно измерить и длину окружности и диаметр. Вычислим отношение длины к диаметру, в итоге получим следующий ряд чисел:

	Ведро	Таз	Бочка	Тарелка	Стакан
Окружность	91 см	157 см	220 см	78,5 см	23,9 см
Диаметр	29 см	50 см	70 см	25 см	7,6 см
Отношение (с точн. до 0,01)	3,14	3,14	3,14	3,14	3,14

Из этого можно сделать вывод, что отношение длины окружности к её диаметру это постоянная величина для каждой отдельной окружности и для всех окружностей в целом. Это отношение и обозначается буквой π.

Используя эти знания, можно по радиусу или диаметру окружности находить её длину. Например, для вычисления длины окружности с радиусом 3 см нужно умножить радиус на 2 (так мы получим диаметр), а полученный диаметр умножить на π. В итоге, с помощью числа π мы узнали, что длина окружности с радиусом 3 см равна 18,84 см.

Длина окружности. Площадь круга (Слупко М.В.). Видеоурок. Математика 6 Класс

Длина границы фигуры называется периметром. Для чего его нужно знать?

Например, чтобы посчитать, сколько нужно материала на строительство забора, нужно знать его длину – а это и есть периметр. (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Длина забора и есть периметр

Для многоугольников задача нахождения периметра решается просто – это сумма длин всех сторон. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Периметр произвольного многоугольника

Если многоугольник правильный, то задача еще проще – длину стороны умножить на количество сторон. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Периметры правильных многоугольников

А как найти периметр круга? Границей круга является окружность. Поэтому периметр круга обычно называют длиной окружности: обозначают

. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Длина окружности

Мы знаем, как рисуется окружность. Понятно, что окружность однозначно задается длиной веревки, то есть радиусом. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Как рисуется окружность

Значит, длина окружности должна быть связана с длиной диаметра. Как? Измерим.

Возьмем два предмета: кружку и тарелку. Нам нужно измерить диаметр и длину окружности каждого.

Получаем: (см. Рис. 6.)

Кружка:  см,

Тарелка:  см,

Рис. 6. Измерения кружки и тарелки

Можно заметить, что в обоих случаях длина окружности чуть более чем в  раза больше, чем длина диаметра: кружка:

; тарелка: . Но, может быть, дело в том, что мы взяли такие небольшие предметы? Возьмем большую окружность.

Мы знаем, что наша планета Земля – почти шар, а значит, экватор можно считать очень большой окружностью. (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Планета Земля

Измерить ее радиус и длину мы не можем, но можем найти в Интернете: диаметр – около  км, длина экватора – около

 км. Разделим длину окружности (экватора) на

диаметр: .

То есть, независимо от окружности, отношение ее длины к диаметру будет одинаковым: .

По нашим «грубым» оценкам получается чуть больше . Можно ли посчитать точно? Можно, но записать обыкновенной дробью (или конечной десятичной) это отношение нельзя. Такие числа называются иррациональными.

Для точного же значения этого числа договорились использоваться знак : . Это буква греческого алфавита и она закрепилась за этим числом, так как именно древние греки долго занимались вопросом отношения длины окружности к ее диаметру.

Итак,  обозначает точное значение. Мы с вами посчитали до одного знака после запятой: .

Вот еще более точное приближение, чем сделали мы с вами: .

На практике обычно берут не больше двух знаков после запятой: .

Итак, если разделить длину окружности на диаметр, получим число : .

Но тогда можно выразить длину окружности: . Эта формула так и называется: «формула длины окружности».

То есть теперь не обязательно измерять длину окружности. Можно измерить диаметр и найти длину окружности по формуле.

Тот факт, что мы какое-то число не можем записать конечным набором из  цифр, не должен нас удивлять.

Проведем аналогию с алфавитом. Мы очень многие вещи можем записать буквами.

Например, Маша в лесу прокричала: «АУ!». (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Маша в лесу

Если записать этот звук буквами, то все понятно. Мы можем даже менять длительность. Но попробуем записать буквами скрип тормозов автомобиля. Никаких букв нам не хватит.

Вот и десятичная запись. Ее не хватит на все случаи. Многие числа записать не получится.

Даже число  не получится записать только цифрами. При делении столбиком ответ записывается бесконечным число троек: . Но точное значение у этого числа, конечно же, есть. Мы его так и обозначаем . Нам, кроме цифр, понадобилась еще дробная черта.

У числа  тоже есть точно значение, мы его так и записываем: .

Но, в отличие от невозможности записать скрип тормозов буквами, число  мы можем записать с помощью десятичной записи, хоть и не точно, но как угодно близко:  или  или . А точно никогда и не надо. Ведь в реальности нет ничего абсолютно круглого или абсолютно точных измерений.

Арена цирка имеет форму круга и во всех цирка мира имеет одинаковый диаметр примерно  метров. (См. Рис. 9.) Значит, и длина окружности любой арены одинакова. Какова она?

Рис. 9. Диаметр цирковой арены

Решение

Подставим в формулу длины окружности приближенное значение  и диаметр:  м.

Ответ:  метр.

Так как диаметр равен двум радиусам (см. Рис. 10), то формулу длины окружности можно переписать в таком виде:

Рис. 10. Диаметр равен двум радиусам

В таком виде мы ее будем использовать даже чаще.

 

Следующую задачу интересно будет задать своим друзьям или кому-то из взрослых. Очень часто на нее дают неправильный ответ. Но мы-то, конечно, в ней ошибаться не будем.

Представим, что экватор Земли – это металлический обруч. Мы его распили и вставили туда один дополнительный метр. И равномерно распределили по всей длине. Получился зазор. (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Зазор между окружностями

Вопрос: насколько большой этот зазор? Может ли туда, например, пролезть кошка?

Если не задумываться над пропорциональностью длины окружности и радиуса, то кажется, что этот зазор будет очень мал, его даже не будет видно. Ведь мы этот дополнительный метр распределили по всей длине экватора, а это  км.

Но посчитаем.

Итак, экватор Земли равен , а радиус – .

Увеличим экватор на  м, обозначим его , и найдем радиус новой окружности :

Радиус новой окружности больше старого примерно на  см. Но это ведь и есть тот самый зазор между двумя окружностями. Конечно, кошка в такой зазор пролезть сможет.

В реальности эту задачу можно применить вот в какой ситуации. Есть достаточно длинная кольцевая дорога, например вокруг стадиона. Вы идете по внешнему тротуару. (См. Рис. 12.) Вопрос: если перейдете дорогу и пойдете по внутреннему тротуару, то насколько это сократит вам дорогу?

Рис. 12. Дорога вокруг стадиона

Если ширина дороги  метров, то, переходя дорогу, вы уменьшаете радиус на  метров, значит, длина всей дороги уменьшается на .

Обсудим теперь вторую важную характеристику круга – его площадь.

Из двух окружностей, площадь больше у той, у которой больше радиус (диаметр). (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Зависимость площади круга от ее радиуса (диаметра)

То есть площадь связана с радиусом прямой зависимостью. А точно эта зависимость выражается формулой: .

Для начала нам нужно понять, чему равна площадь треугольника . Пусть есть треугольник с нижней стороной  (будем называть ее основанием) и высотой . Построим вокруг прямоугольник:  (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Построенный прямоугольник

Прямоугольник делится на две части высотой . Каждая часть делится ровно пополам. Одна половина всегда относится к треугольнику. То есть площадь треугольника – это половина площади прямоугольника: .

Теперь посмотрим на площадь правильного n-угольника. Он разбивается на  равных треугольников. Площадь каждого равна: . (См. Рис. 15.)

Рис. 15. Разбиение многоугольника на треугольники

Площадь всего n-угольника в  раз больше:

Но что такое ? Это периметр. Мы умножаем длину стороны на их количество.

Тогда формула приобретает вид: . То есть площадь не зависит от количества вершин.

Теперь если внутри окружности мы будем вписывать многоугольники с все большим количеством вершин, то площадь такого многоугольника будет все ближе к площади круга, высота  будет превращаться в радиус окружности, а периметр многоугольника – в длину окружности. (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Многоугольник стремится к окружности

Тогда формула площади многоугольника превратится в формулу площади круга: .

Эта формула позволяет нам находить площадь, если известен радиус (диаметр). И наоборот.

Задача 1. Найти площадь арены цирка. (См. Рис. 17.)

Рис. 17. Площадь арены цирка

Решение

Как мы помним, диаметр арены  м. Значит, радиус:  м.

Найдем площадь: 

Ответ: .

Задача 2. Если велосипедное колесо делает  оборотов (), то велосипед проезжает  метра ( м). (См. Рис. 18.) Найти площадь велосипедного колеса.

 

Рис. 18. Иллюстрация к задаче

Решение

Площадь круга выражается формулой .

Чтобы найти площадь, нужен радиус. Его можно выразить из формулы длины окружности: . Но длина окружности тоже не известна.

Но расстояние, которое проехал велосипед, легко посчитать по формуле: , из которой мы и выразим длину окружности колеса .

Итак, найдем длину окружности (обода колеса): м.

Найдем радиус колеса:  м см.

Осталось найти площадь: .

Ответ: .

Кратко повторим:

1. Отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех окружностей. Это число мы обозначаем : . Отношение длины окружности к радиусу в два раза больше: .

2. Выражая из этих отношений длину окружности, мы получаем формулу длины окружности. То есть, чтобы узнать длину окружности, не обязательно ее измерять. Можно измерить радиус или диаметр, а длину окружности найти по формуле: .

3. Диаметр и длина окружности несоизмеримы. Это означает, что число  нельзя представить в виде обыкновенной дроби или конечной десятичной. Но его можно записать сколь угодно близко такими дробями:

ВЕСЬ СПИСОК ЗАДАЧ с решениями на тему: «Площадь круга»

---

Радиус окружности 2 см

Найти площадь круга.

---

Диаметр окружности 2 см

Найти площадь круга.

---

Длина окружности 5 м

Найти площадь круга

---

Две окружности,

имеющие общий центр, образуют кольцо. Радиус внешней окружности равен 10 см, а внутренней 8 см. Найти площадь этого кольца.

---

В окружность вписан квадрат.

Найти площадь закрашенной области, если радиус окружности равен 3 м.

---

Окружность вписана в квадрат.

Найти площадь закрашенной области, если сторона квадрата равна 2 м.

---

Равносторонний треугольник

со стороной 1 м вписан в окружность. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

---

Равносторонний треугольник

с высотой 3 м вписан в окружность. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

---

Равносторонний треугольник

вписан в окружность. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, если известно, что длина отрезка ОК равна 2 м.

---

Прямоугольный треугольник

вписан в окружность Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, если известны катеты треугольника, a=4см и b=7см.

---

Прямоугольный треугольник

вписан в окружность Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, если катет треугольника равен 2м, а противоположный этому катету угол, составляет 30°.

---

Прямоугольный треугольник АВС

вписан в окружность Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, если размер клеток составляет 1см на 1см.

---