Задачи на движение. ЕГЭ по математике. Разбор задач.

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Если прочитаешь эту статью — гарантирую — ты научишься решать задачи на движение.

И вообще… умение решать задачи на движение может перевесить чашу весов в ту или иную сторону…сдашь ты экзамен или нет… поступишь на бюджет или нет…

В общем, думаю, никого убеждать не надо. Читай эту статью и РЕШАЙ ЗАДАЧИ!

Let’s dive right in… (Поехали!) 

Без чего нельзя решать задачи на движение (или без чего трудно хорошо сдать ЕГЭ по математике!) 

Для успешного решения задач на движение нужно все время держать в голове одну простую формулу:

Чтобы легче запомнить эту формулу, подумай, что ты ответишь на такой вопрос:

«Сколько километров я проеду на велосипеде за   часа, двигаясь со скоростью   км/ч?»

Ты, не задумываясь, ответишь –   км. Ну вот. Поздравляю! Эту формулу ты всегда хорошо знал, просто не мог сформулировать.

Из нашей формулы легко выразить все ее составляющие:

Очень многим запомнить формулу помогает вот такая пирамидка:

Усвоил? А теперь рассмотрим подробный алгоритм решения задачна движение. Он состоит из   больших этапов.

Разберем немного подробнее некоторые особенности и тонкости, возникающие при решении задач на движение.

Немного о внимательности в прочтении задач на движение

Прочитай задачу несколько раз. Осознай ее настолько, чтобы тебе было понятно абсолютно все.

Например, часто возникают трудности с понятием «собственная скорость лодки/катера» и т.д.

Подумай, что это может значить? Правильно, скорость лодки в стоячей воде, например, в пруду, когда на нее НЕ влияет скорость течения.

Кстати, в задачах иногда пишут «найти скорость лодки в стоячей воде».

Теперь ты знаешь, что собственная скорость лодки и скорость лодки в стоячей воде – одно и тоже, так что не теряйся, если встретишь оба этих определения.

Кто куда едет, кто к кому приехал, и где они все встретились

Сделай рисунок, попутно записывая на нем все известные величины (ну либо под ним, если не знаешь, как их отобразить схематически).

Рисунок должен четко отражать весь смысл задачи. Его следует сделать таким образом, чтобы на нем была видна динамика движения – направления движения, встречи, развороты, повороты.

Качественный рисунок позволяет понять задачу, не заглядывая в ее текст. Он – твоя основная подсказка для дальнейшего составления уравнения.

Рассмотрим возможные виды движения двух тел…

Не веришь? Давай посмотрим на практике.

Допустим, из точки   и из точки   навстречу друг другу выехали две машины. Скорость одной машины –   км/ч, а скорость   машины –   км/ч. Они встретились через   часа. Какое расстояние между пунктами   и  ?

Просто второе более рационально, так что запоминай формулу (она абсолютно логична, правда?), а для усвоения реши следующую задачу:

Оба решения являются верными.

Миша и Вася ехали на велосипеде навстречу друг к другу. Скорость Миши-  км/ч, скорость Васи –   км/ч. Ребята встретились через   часа. Какой совместный путь они проделали?

Решил? У меня получилось, что скорость сближения равна   км/ч, а путь равен   км.

Теперь разберемся, как вычисляется время при подобном случае

Исходя из предыдущей формулы, это вполне логично, однако, попробуем проверить на практике.

Итак, задача – Из пункта   и пункта   машины движутся навстречу друг другу со скоростями   км/ч и   км/ч. Расстояние между пунктами –   км. Через сколько времени машины встретятся?

Пусть   – время, которое едут машины, тогда путь первой машины –  , а путь второй машины –  .

Их сумма и будет равна расстоянию между пунктами   и   —  .

  (ч) – время, через которое встретились машины.

Попробуй самостоятельно решить задачу и доказать верность данной формулы как в предыдущем случае.

Из Москвы в противоположные стороны выехало   машины. Скорость одной машины –   км/ч, скорость другой –   км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут находиться машины через   часа?

Решая первым способом, у меня получилось, что путь, проделанный первой машиной, равен   км, а второй –   км. Соответственно, расстояние между машинами –   км.

Решая вторым способом, выходит, что скорость удаления равна \displaystyle 145  км/ч, а путь равен \displaystyle 145  км/ч   = \displaystyle 290 км.

Теперь разберемся, как вычисляется время при подобном случае.

Как ты видишь, формула, аналогичная выведенной нами при

движении тел навстречу друг другу. Считаешь, что такого не может быть? Проверь ее на практике!

Допустим, что две машины двигаются в противоположных направлениях со скоростями   и   км/ч. При остановке, расстояние между ними составляло   км. Сколько времени ехали машины?

Попробуй решить эту задачу теми двумя способам, которые были описаны при движении на встречу.

Решил? Формула подтвердилась? Давай сравнивать ответы.

Уравнение, получаемое при решении 1 вариантом —  ; при решении 2 вариантом — скорость удаления –   км/ч, время в пути –   часа.

А что если, тела изначально находятся на неком расстоянии   друг от друга? Это выглядит примерно так:

Как решать подобные задачи тогда? Очень просто. При решении нам необходимо обязательно учитывать  .

Логично? Вырази из этой формулы время встречи двух тел, а потом сравним что у нас получилось.

Справился? Тогда решим задачу на данную формулу.

Из разных точек города N в стороны, противоположные друг другу, выехало два мотоциклиста. Изначальное расстояние между ними составляло   км. Скорость первого мотоциклиста составляла   км/ч; скорость второго –   км/ч.

Через какое время расстояние между ними будет равно   км?

Какой ответ ты получил? У меня получилось   часа.

Давай проверим все обстоятельно. Путь, который мотоциклисты действительно ехали равен  км км км. Скорость их удаления друг от друга равна   км/ч.

Делим   км на   км/ч и получаем   часа – время, которое мотоциклисты провели в дороге.

 

Итак, допустим, наши тела двигаются в одном направлении. Как ты думаешь, сколько случаев может быть для такого условия? Правильно, два.

Почему так получается? Уверена, что после всех примеров ты с легкостью сам разберешься, как вывести данные формулы.

Разобрался? Молодец! Пришло время решить задачу.

Четвертая задача

Коля едет на работу на машине со скоростью   км/ч. Коллега Коли Вова едет со скоростью   км/ч. Коля от Вовы живет на расстоянии   км.

Через сколько времени Вова догонит Колю, если из дома они выехали одновременно?

Посчитал? Сравним ответы – у меня получилось, что Вова догонит Колю через   часа или через   минут.

Сравним наши решения…

Рисунок выглядит вот таким образом:

Похож на твой? Молодец!

Так как в задаче спрашивается, через сколько ребята встретились, а выехали они одновременно, то время  , которое они ехали, будет одинаковым, так же как место встречи   (на рисунке оно обозначено точкой  ). Составляя уравнения, возьмем время за  .

Итак, Вова до места встречи проделал путь  . Коля до места встречи проделал путь  . Это понятно. Теперь разбираемся с осью передвижения.

Начнем с пути, который проделал Коля. Его путь ( ) на рисунке изображен как отрезок  . А из чего состоит путь Вовы ( )? Правильно, из суммы отрезков   и  , где   – изначальное расстояние между ребятами, а   равен пути, который проделал Коля.

Исходя из этих выводов, получаем уравнение:

 

Разобрался? Если нет, просто прочти это уравнение еще раз и посмотри на точки, отмеченные на оси. Рисунок помогает, не правда ли?

Решаем дальше и получаем:

 

 

  часа или   минут   минут.

Надеюсь, на этом примере ты понял, насколько важную роль играет грамотно составленный рисунок!

А мы плавно переходим, точнее, уже перешли к следующему пункту нашего алгоритма – приведение всех величин к одинаковой размерности.

 

Правило трех «Р» — размерность, разумность, расчет.

Размерность.

Далеко не всегда в задачах дается одинаковая размерность для каждого участника движения (как это было в наших легких задачках).

Например, можно встретить задачи, где сказано, что тела двигались определенное количество минут, а скорость их передвижения указана в км/ч.

Мы не можем просто взять и подставить значения в формулу – ответ получится неверный. Даже по единицам измерения наш ответ «не пройдет» проверку на разумность. Сравни:

Видишь? При грамотном перемножении у нас также сокращаются единицы измерения, и, соответственно, получается разумный и верный результат.

А что происходит, если мы не переводим в одну систему измерения? Странная размерность у ответа и  % неверный результат.

Итак, напомню тебе на всякий случай значения основных единиц измерения длины и времени.

  сантиметр =   миллиметров

  дециметр =   сантиметров =   миллиметров

  метр =   дециметров =   сантиметров =   миллиметров

  километр =   метров

  минута =   секунд

  час =   минут =   секунд

  сутки =   часа =   минут =   секунд

Совет: Переводя единицы измерения, связанные с временем (минуты в часы, часы в секунды и т.д.) представь в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что   минут это четверть циферблата, т.е.   часа,   минут это треть циферблата, т.е.   часа, а   минута это   часа.

А теперь совсем простенькая задача:

Маша ехала на велосипеде из дома в деревню со скоростью   км/ч на протяжении   минут. Какое расстояние между машиным домом и деревней?

Посчитал? Правильный ответ –   км.

  минут – это час, и еще   минут от часа (мысленно представил себе циферблат часов, и сказал, что   минут – четверть часа), соответственно –   мин =   ч.

  км

Разумность.

Ты же понимаешь, что скорость машины не может быть   км/ч, если речь, конечно, идет не о спортивном болиде? И уж тем более, она не может быть отрицательной, верно? Так вот, разумность, это об этом)

Расчет.

Посмотри, «проходит» ли твое решение на размерность и разумность, и только потом проверяй расчеты. Логично же – если с размерностью и разумностью получается несостыковочка, то проще все зачеркнуть и начать искать логические и математические ошибки.

 

«Любовь к таблицам» или «когда рисунка недостаточно»

Далеко не всегда задачи на движение такие простые, как мы решали раньше. Очень часто, для того, чтобы правильно решить задачу, нужно не просто нарисовать грамотный рисунок, но и составить таблицу со всеми данными нам условиями.

Первая задача

Из пункта   в пункт  , расстояние между которыми   км, одновременно выехал велосипедист и мотоциклист. Известно, что в час мотоциклист проезжает на   км больше, чем велосипедист.

Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт   на   минут позже, чем мотоциклист.

Вот такая вот задача. Соберись, и прочитай ее несколько раз. Прочитал? Начинай рисовать – прямая, пункт  , пункт  , две стрелочки…

В общем рисуй, и сейчас сравним, что у тебя получилось.

Пустовато как-то, правда? Рисуем таблицу.

Как ты помнишь, все задачи на движения состоят из   компонентов: скорость, время и путь. Именно из этих граф и будет состоять любая таблица в подобных задачах.

Правда, мы добавим еще один столбец – имя, про кого мы пишем информацию – мотоциклист и велосипедист.

Так же в шапке укажи размерность, в какой ты будешь вписывать туда величины. Ты же помнишь, как это важно, правда?

У тебя получилась вот такая таблица?

	Скорость км/ч	Время t, часов	Путь S, км
велосипедист
мотоциклист

 

Теперь давай анализировать все, что у нас есть, и параллельно заносить данные в таблицу и на рисунок.

Первое, что мы имеем – это путь, который проделали велосипедист и мотоциклист. Он одинаков и равен   км. Вносим!

	Скорость км/ч	Время t, часов	Путь S, км
велосипедист			30
мотоциклист			30

 

Рассуждаем дальше. Мы знаем, что мотоциклист проезжает на   км/ч больше, чем велосипедист, да и в задаче нужно найти скорость велосипедиста…

Возьмем скорость велосипедиста за  , тогда скорость мотоциклиста будет  …

Если с такой переменной решение задачи не пойдет – ничего страшного, возьмем другую, пока не дойдем до победного. Такое бывает, главное не нервничать!

	Скорость км/ч	Время t, часов	Путь S, км
велосипедист			30
мотоциклист			30

 

Таблица преобразилась. У нас осталась не заполнена только одна графа – время. Как найти время, когда есть путь и скорость?

Правильно, разделить путь на скорость. Вноси это в таблицу.

	Скорость км/ч	Время t, часов	Путь S, км
велосипедист			30
мотоциклист			30

 

Вот и заполнилась наша таблица, теперь можно внести данные на рисунок.

Что мы можем на нем отразить?

Молодец. Скорость передвижения мотоциклиста и велосипедиста.

Еще раз перечитаем задачу, посмотрим на рисунок и заполненную таблицу.

Какие данные не отражены ни в таблице, ни на рисунке?

Верно. Время, на которое мотоциклист приехал раньше, чем велосипедист. Мы знаем, что разница во времени –   минут.

Что мы должны сделать следующим шагом? Правильно, перевести данное нам время из минут в часы, ведь скорость дана нам в км/ч.

  минут /   минут =   часа.

И что дальше, спросишь ты? А дальше числовая магия!

Магия формул: составление и решение уравнений – манипуляции, приводящие к единственно верному ответу.

Итак, как ты уже догадался, сейчас мы будем составлять уравнение.

Составление уравнения:

Взгляни на свою таблицу, на последнее условие, которое в нее не вошло и подумай, зависимость между чем и чем мы можем вынести в уравнение?

Правильно. Мы можем составить уравнение, основываясь на разнице во времени!

 

Логично? Велосипедист ехал больше, если мы из его времени вычтем время движения мотоциклиста, мы как раз получим данную нам разницу.

Это уравнение – рациональное. Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Рациональные уравнения».

Приводим слагаемые к общему знаменателю:

 

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:Уф! Усвоил? Попробуй свои силы на следующей задаче.

Решение уравнения:

 

Из этого уравнения мы получаем следующее:

 

 

 

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнения:

 

Вуаля! У нас простое квадратное уравнение. Решаем!

 

 

 

 

 

 

 

Мы получили два варианта ответа. Смотрим, что мы взяли за  ? Правильно, скорость велосипедиста.

Вспоминаем правило «3Р», конкретнее «разумность». Понимаешь о чем я? Именно! Скорость не может быть отрицательной, следовательно, наш ответ –   км/ч.

Вторая задача

Два велосипедиста одновременно отправились в  -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на   км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на   часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Напоминаю алгоритм решения:

• Прочитай задачу пару раз – усвой все-все детали. Усвоил?
• Начинай рисовать рисунок – в каком направлении они двигаются? какое расстояние они прошли? Нарисовал?
• Проверь, все ли величины у тебя одинаковой размерности и начинай выписывать кратко условие задачи, составляя табличку (ты же помнишь какие там графы?).
• Пока все это пишешь, думай, что взять за  ? Выбрал? Записывай в таблицу! Ну а теперь просто: составляем уравнение и решаем. Да, и напоследок – помни о «3Р»!
• Все сделал? Молодец! У меня получилось, что скорость велосипедиста –   км/ч.

-«Какого цвета твоя машина?» — «Она красивая!» Правильные ответы на поставленные вопросы

Продолжим наш разговор. Так какая там скорость у первого велосипедиста?   км/ч? Очень надеюсь, что ты сейчас не киваешь утвердительно!

Внимательно прочти вопрос: «Какая скорость у первого велосипедиста?»

Понял, о чем я?

Именно! Полученный   – это не всегда ответ на поставленный вопрос!

Вдумчиво читай вопросы — возможно, после нахождения   тебе нужно будет произвести еще некоторые манипуляции, например, прибавить   км/ч, как в нашей задаче.

Еще один момент — часто в задачах все указывается в часах, а ответ просят выразить в минутах, или же все данные даны в км, а ответ просят записать в метрах.

Смотри за размерностью не только в ходе самого решения, но и когда записываешь ответы.

Задачи на движение по кругу

Тела в задачах могут двигаться не обязательно прямо, но и по кругу, например, велосипедисты могут ехать по круговой трассе. Разберем такую задачу.

Задача №1

Из пункта   круговой трассы выехал велосипедист. Через   минут он еще не вернулся в пункт   и из пункта   следом за ним отправился мотоциклист. Через   минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через   минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна   км. Ответ дайте в км/ч.

Решение задачи №1

Попробуй нарисовать рисунок к этой задаче и заполнить для нее таблицу. Вот что получилось у меня:

Пусть скорость велосипедиста будет  , а мотоциклиста –  . До момента первой встречи велосипедист был в пути   минут, а мотоциклист –  .

При этом они проехали равные расстояния:

 

Между встречами велосипедист проехал расстояние  , а мотоциклист –  .

Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили – спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Значит,

 

Полученные уравнения решаем в системе:

 

 

Ответ:  .

Разобрался? Попробуй решить самостоятельно следующие задачи:

Задачи для самостоятельной работы:

1. Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна   км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на   км/ч боль­ше скорости дру­го­го?
2. Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна   км, од­н­времен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два мотоциклиста. Ско­рость пер­во­го мотоцикла равна   км/ч, и через   минут после стар­та он опе­ре­дил вто­рой мотоцикл на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го мотоцикла. Ответ дайте в км/ч.

Решения задач для самостоятельной работы:

1. Пусть   км/ч — ско­рость пер­во­го мо­то­цик­ли­ста, тогда ско­рость вто­ро­го мо­то­цик­ли­ста равна   км/ч. Пусть пер­вый раз мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через   часов. Для того, чтобы мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­лись, более быст­рый дол­жен пре­одо­леть из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щее их рас­сто­я­ние, рав­ное по­ло­ви­не длины трас­сы.
    
   Получаем, что время равно   часа =   минут.
2. Пусть ско­рость вто­ро­го мотоцикла равна   км/ч. За   часа пер­вый мотоцикл про­шел на   км боль­ше, чем вто­рой, соответственно, получаем уравнение:
    
   Скорость второго мотоциклиста равна   км/ч.

 

Задачи на течение

Теперь, когда ты отлично решаешь задачи «на суше», перейдем в воду, и рассмотрим страаашные задачи, связанные с течением.

Представь, что у тебя есть плот, и ты спустил его в озеро. Что с ним происходит? Правильно. Он стоит, потому что озеро, пруд, лужа, в конце концов, – это стоячая вода.

Скорость течения в озере равна  .

Плот поедет, только если ты сам начнешь грести. Та скорость, которую он приобретет, будет собственной скоростью плота. Неважно куда ты поплывешь – налево, направо, плот будет двигаться с той скоростью, с которой ты будешь грести. Это понятно? Логично же.

А сейчас представь, что ты спускаешь плот на реку, отворачиваешься, чтобы взять веревку…, поворачиваешься, а он … уплыл…

Это происходит потому что у реки есть скорость течения, которая относит твой плот по направлению течения.

Его скорость при этом равна нулю (ты же стоишь в шоке на берегу и не гребешь) – он движется со скоростью течения.

Разобрался?

Тогда ответь вот на какой вопрос – «С какой скоростью будет плыть плот по реке, если ты сидишь и гребешь?» Задумался?

Здесь возможно два варианта.

1-й вариант — ты плывешь по течению.

И тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.

2-й вариант — ты плывешь против течения.

Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы   метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость – скорость течения.

Допустим, тебе надо проплыть   км. Когда ты преодолеешь это расстояние быстрее? Когда ты будешь двигаться по течению или против?

Решим задачку и проверим.

Добавим к нашему пути данные о скорости течения –   км/ч и о собственной скорости плота –   км/ч. Какое время ты затратишь, двигаясь по течению и против него?

Конечно, ты без труда справился с этой задачей! По течению –   час, а против течения аж   часа!

В этом и есть вся суть задач на движение с течением.

Несколько усложним задачу.

Задача №1

Лодка с моторчиком плыла из пункта   в пункт     часа, а обратно –   часа.

Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде –   км/ч

Решение задачи №1

Обозначим расстояние между пунктами, как  , а скорость течения – как  .

Все данные из условия занесем в таблицу:

	Путь S	Скорость v, км/ч	Время t, часов
A –> B (против течения)			3
B –> A (по течению)			2

 

Мы видим, что лодка проделывает один и тот же путь, соответственно:

 

 

 

 

Что мы брали за  ?

Скорость течения. Тогда это и будет являться ответом:)

Скорость течения равна   км/ч.

Задача №2

Байдарка в   вышла из пункта   в пункт  , расположенный в   км от  . Пробыв в пункте    час   минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт   в  .

Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки   км/ч.

Решение задачи №2

Итак, приступим. Прочитай задачу несколько раз и сделай рисунок. Думаю, ты без труда сможешь решить это самостоятельно.

Все величины у нас выражены в одном виде? Нет. Время отдыха у нас указано и в часах, и в минутах.

Переведем это в часы:

  час   минут =   ч.

Теперь все величины у нас выражены в одном виде. Приступим к заполнению таблицы и поиску того, что мы возьмем за  .

Пусть   – собственная скорость байдарки. Тогда, скорость байдарки по течению равна  , а против течения равна  .

Запишем эти данные, а так же путь (он, как ты понимаешь, одинаков) и время, выраженное через путь и скорость, в таблицу:

	Путь S	Скорость v, км/ч	Время t, часов
Против течения	26
По течению	26

 

Посчитаем, сколько времени байдарка затратила на свое путешествие:

  часов.

Все ли   часов она плыла? Перечитываем задачу.

Нет, не все. У нее был отдых   час   минут, соответственно, из   часов мы вычитаем время отдыха, которое, мы уже перевели в часы:

   ч байдарка действительно плыла.

Догадываешься, что мы делаем дальше? Правильно! Приравниваем полученное время к тому времени, которое мы выразили в таблице через путь и скорость. Получаем:

 

Приведем все слагаемые к общему знаменателю   :

 

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Далее решаем получившееся квадратное уравнение. 

С этим, я думаю, ты тоже справишься самостоятельно. Какой ответ у тебя получился? У меня   км/ч.

 

 

Подведем итоги

1. Основная формула:  
   
2. Алгоритм решения задач на движение подразумевает выполнение двух больших этапов:
   
3. В задачах на движение обязательно необходимо рисовать чертеж. Тела могут двигаться навстречу друг другу, в противоположные стороны и догонять друг друга.
4. Все цифры нужно привести в единой размерности – только км или только м; только часы или минуты, и т.д.
5. Решая задачи, удобно записывать данные в виде таблицы с обязательными графами – путь, скорость и время.
6. За   можно брать как то, что нужно найти в задаче, так и другое неизвестное.
7. Внимательно читай, что спрашивается в задаче!   – не всегда ответ. Кроме этого, в ответе могут попросить указать величину в другой единице измерения (не в той, которая вышла у тебя, решая уравнение).
8. Задачи на движение по течению решаются в две формулы:
   

 

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Задачи на движение. Примеры

Рассмотрим примеры с решениями для каждого типа задач.

Движение с течением

Одни из самых простых задач – задачи на движение по реке. Вся их суть в следующем:

• если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
• если движемся против течения, из нашей скорости вычитается скорость течения.

Пример №1:

Катер плыл из пункта A в пункт B   часов а обратно –   часа. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде   км/ч.

Решение №1:

Обозначим расстояние между пунктами, как AB, а скорость течения – как  .

 

Все данные из условия занесем в таблицу:

	Путь S	Скорость v, км/ч	Время t, часов
A –> B (против течения)	AB	50–x	5
B –> A (по течению)	AB	50+x	3

Для каждой строки этой таблицы нужно записать формулу:

 

 

На самом деле, можно не писать уравнения для каждой из строк таблицы. Мы ведь видим, что расстояние, пройденное катером туда и обратно одинаково.

Значит, расстояние мы можем приравнять. Для этого используем сразу формулу для расстояния:

 .

Часто приходится использовать и формулу для времени:

 .

Пример №2:

Против течения лодка проплывает расстояние в   км на   час дольше, чем по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна   км/ч.

Решение №2 :

Попробуем сразу составить уравнение. Время против течения на   час больше, чем время по течению.

Это записывается так:

 

Теперь вместо каждого времени подставим формулу:

 

Получили обычное рациональное уравнение, решим его:

 

Очевидно, что скорость не может быть отрицательным числом, значит, ответ:   км/ч.

Относительное движение

Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:

• сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
• разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.

Пример №1

Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями   км/ч и   км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами   км?

I способ решения:

 

Относительная скорость автомобилей   км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью   км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние   км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:

 .

II способ решения:

Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его  . Тогда первый автомобиль проехал путь  , а второй –  .

В сумме они проехали все   км. Значит,

 .

 

Другие задачи на движение

Пример №1:

Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Одновременно с ним выехал другой автомобиль, который ровно половину пути ехал со скоростью на   км/ч меньшей, чем первый, а вторую половину пути он проехал со скоростью   км/ч.

В результате автомобили прибыли в пункт В одновременно.

Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше   км/ч.

Решение №1:

Слева от знака равно запишем время первого автомобиля, а справа – второго:

 .

Упростим выражение в правой части:

 .

Поделим каждое слагаемое на АВ:

 .

Получилось обычное рациональное уравнение. Решив его, получим два корня:

 

Из них только один больше  .

Ответ:   км/ч.

Если тебе непонятно, как получились эти корни, прочитай тему «Рациональные уравнения».

 

Пример №2

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через   минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через   минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через   минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна   км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Здесь будем приравнивать расстояние.

Пусть скорость велосипедиста будет  , а мотоциклиста –  . До момента первой встречи велосипедист был в пути   минут, а мотоциклист –  .

При этом они проехали равные расстояния:

 

Между встречами велосипедист проехал расстояние  , а мотоциклист –  . Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили– спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Значит,

 

Полученные уравнения решаем в системе:

 

Ответ:  .

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Основная формула

 , или  

2. Относительное движение

• Это сумма скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
• разность скоростей, если тела движутся в одном направлении.

3. Движение с течением:

• Если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
• если движемся против течения, из скорости вычитается скорость течения.

Мы помогли тебе разобраться с задачами на движение…

Теперь твой ход…

Если ты внимательно прочитал текст и прорешал самостоятельно все примеры, готовы спорить, что ты все понял. 

И это уже половина пути.

Напиши внизу в комментариях разобрался ли ты с задачами на движение?

Какие вызывают наибольшие трудности?

Понимаешь ли ты, что задачи на «работу» — это почти тоже самое? 

Напиши нам и удачи на экзаменах!

 

 

 

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

youclever.org

Задачи на движение: скорость, время и расстояние.

Скорость – это физическая величина, показывающая какое расстояние пройдет объект за  единицу времени.

Сегодня мы будем решать задачи на:

•  движение
•  скорость \(v=s/t\)
•  время  \(t=s/v\)
•  расстояние \(s=v*t\)

Расстояние — путь, который нужно преодолеть во время движения.

Время — промежуток действия движения.

Скорость — характеристика  движения.

Для решения задач необходимо ввести неизвестную, верно составить и решить уравнение.

Задача 1. Легковая машина прошла расстояние в \(160\) км за два часа. С какой скоростью двигалась машина?

Решение.

\(160/2=80\) км/час

Ответ: \(80.\)

Задача 2. Из города Минск в Смоленск, расстояние между которыми \(346\) км, отправились одновременно велосипедист и автомобилист. Скорость автомобиля \(20\) м/с, а велосипедиста \(20\) км/ч. Какое расстояние будет между ними через \(2\) часа?

Решение.

Мы не можем складывать разные единицы измерения, поэтому надо перевести м/с в км/ч. Как нам перевести км/ч в м/с? В км – 1000 м, в \(1\) ч \(-3600\), в \(1\) км/час\(-1000/3600\) м/c, то есть в \(1\) км/c \(-3600/1000\)  м/c. \(20*\frac{3600}{1000}=72\). Итого скорость автомобиля \(72\) км/ч.

1. \(72+20=92\)(км/ч) — общая скорость
2. \(92*2=184\) (км) — проедут за два часа.
3. \(346-184=162\)(км) — расстояние между автомобилистом и велосипедистом через 2 часа.

Ответ: \(162\) км.

В таких задачах важно понимать:

• если мы умножаем скорость на время, то получаем расстояние;
• если расстояние делим на время, то получаем скорость; 
• если расстояние делим на скорость, то получаем время ; 

Задача 3. Из А в В тронулись в одно время турист пешком, а второй турист – на велосипеде. В то же время из В в А выдвинулся мотоцикл, который встретился с велосипедистом через 3 часа, а с пешеходом через 4 часов после своего выезда из В. Найти расстояние от А до В, зная, что скорость пешехода 3 км/ч, а велосипедиста 10 км/ч.

10 * 3 = 30 (км) – мотоциклист от А через 3 часа.

3* 4 = 12 (км) –  мотоциклист от А через 4 часов.

30 – 12 = 18 (км/ч) – скорость автомобиля.

10 + 18 = 28 (км/ч) – скорость сближения мотоциклиста и велосипедиста.

28 * 3 = 84 (км) – расстояние от А до В.

Ответ: 84 км.

Задача 4. Надувная лодка  проплыла \(1,5\) км против течения реки, а затем проплыла еще \(3,9\) км по течению реки, затратив на это \(5\)часов и \(6\) минут. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки \(5\) км/ч.

Решение.

Переведем \(5\) часов \(6\) минут в одинаковые единицы измерения, \(6\) мин — это \(\frac{1}{10}\) часа, итого \(5,1\) часа. Введем неизвестную х скорость в стоячей воде, \(x+5-\)скорость по течению, \(x-5-\)против течения реки. 

Составляем уравнение:

1. \(\frac{3,9}{x+5}+ \frac{0,3}{x-5}=5,1\)
2. \(3,9x-19,5+0,3x+1,5=5,1\)
3. \(4,2x-18=5,1\)
4. \(4,2x=23,1\)
5. \(x=5,5 \) км/ч – скорость в стоячей воде.

Ответ: \(5,5\) км/ч.

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Задачи на движение ℹ️ простые и сложные задания с ответами на нахождение скорости для 4 класса, правила, формулы и примеры решения

Существует несколько типов задач на движение. Примеры решения всех типов задач с пояснениями мы рассмотрим в этой статье.

Задачи на движение в одном направлении

Задачи на движении в одном направлении относятся к одному из трех основных видов задач на движение.
Если два объекта выехали из одного пункта одновременно, то, поскольку они имеют разные скорости, объекты удаляются друг от друга. Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если из одного пункта выехал один объект, а спустя некоторое время в том же направлении вслед за ним выехал другой объект, то они могут как сближаться, так и удаляться друг от друга.
Если скорость объекта, движущегося впереди, меньше движущегося вслед за ним объекта, то второй догоняет первого и они сближаются.
Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

Если скорость объекта, который идет впереди, больше скорости объекта, который движется следом, то второй не сможет  догнать первого и они удаляются друг от друга.
Скорость удаления находим аналогично — из большей скорости вычитаем меньшую:

Задачи на скорость сближения

Задача 1

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?

Решение:

Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалится от города на:

40 · 4 = 160 (км)

Второй автомобиль движется быстрее первого, значит каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей:

60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения автомобилей

Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся:

160 : 20 = 8 (ч)

Решение задачи по действиям можно записать так:

1) 40 · 4 = 160 (км) – расстояние между автомобилями

2) 60 — 40 = 20 (км/ч) – скорость сближения автомобилей

3) 160 : 20 = 8 (ч)

Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 2

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?

Решение: 

Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов:

5 — 4 = 1 (км/ч)

Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого:

5 : 1 = 5 (ч)

Решение задачи по действиям можно записать так:

1) 5 — 4 = 1 (км/ч) – это скорость сближения пешеходов

2) 5 : 1 = 5 (ч)

Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 3

Из одного села в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них — 15 км/ч, скорость другого — 12 км/ч. Какое расстояние будет через ними через 4 часа?

Решение:

1) 15-12=3 (км/ч) скорость удаления велосипедистов

2) 3∙4=12 (км) такое расстояние будет между велосипедистами через 4 часа.

Ответ: Через 4 часа расстояние между велосипедистами составит 12 км.

Задача 4

Из села на станцию одновременно вышел пешеход и выехал велосипедист. Через 2 часа велосипедист опережал пешехода на 12 км. Найти скорость пешехода, если скорость велосипедиста 10 км/ч.

Решение:

1) 12:2=6 (км/ч) скорость удаления велосипедиста и пешехода

2) 10-6=4 (км/ч) скорость пешехода.

Ответ: Скорость пешехода составляет 4 км/ч.

Задачи на скорость удаления

Задача 1

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.

1. Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2. Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3. Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?

Решение:

Сначала узнаем скорость удаления автомобилей друг от друга, для этого вычтем из большей скорости меньшую:

80 — 40 = 40 (км/ч)

Каждый час автомобили отдаляются друг от друга на 40 км. Теперь можно узнать сколько километров будет между ними через 3 часа, для этого скорость удаления умножим на 3:

40 · 3 = 120 (км)

Чтобы узнать через сколько часов расстояние между автомобилями станет 200 км, надо расстояние разделить на скорость удаления:

200 : 40 = 5 (ч)

Ответ:

1. Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2. Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3. Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу друг другу, надо сложить их скорости:  

Скорость сближения больше, чем скорость каждого из них.

Задача 1

Из поселка и города навстречу друг другу, одновременно выехали два автобуса. Один автобус до встречи проехал 100 км со скоростью 25 км/час. Сколько километров до встречи проехал второй автобус, если его скорость 50 км/час.

Решение:

1) 100 : 25 = 4 (часа ехал один автобус)

2) 50 * 4 = 200

Решение в виде выражения: 50 * (100 : 25) = 200

Ответ: второй автобус проехал до встречи 200 км.

Задача 2

Расстояние между двумя пристанями 90 км. От каждой из них одновременно навстречу друг другу вышли два теплохода. Сколько часов им понадобится чтобы встретиться, если скорость первого 20 км/час, а второго 25 км/час?

Решение:

1) 25 + 20 = 45 (сумма скоростей теплоходов)

2) 90 : 45 = 2

Решение в виде выражения:90 : (20 + 25) = 2

Ответ: Теплоходы встретятся через 2 часа.

Задача 3

От двух станций, расстояние между которыми 564 км., одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость одного из них 63 км/час. Какова скорость второго, если поезда встретились через 4 часа?

Решение:

1) 63 * 4 = 252 (прошел 1 поезд)

2) 564 — 252 =312 (прошел 2 поезд)

3) 312 : 4 = 78

Решение в виде выражения (63 * 4 — 252) : 4 = 78

Ответ: Скорость второго поезда 78 км/час.

Задача 4

Два велосипедиста выехали навстречу друг другу. Скорость одного из низ 12 км/ч, а другого — 10 км/ч. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние было между ними в начале пути?

Решение:

1) 12+10=22 (км/ч) скорость сближения велосипедистов

2) 22∙3=66 (км) было между велосипедистами в начале пути.

Ответ: Расстояние между велосипедистами в начале пути было 66 км.

Задача 5

Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 50 км/ч, скорость другого —  60 км/ч. Сейчас между ними 440 км. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

1) 60+50=110 (км/ч) скорость сближения поездов

2) 440:110=4 (ч) время, через которое поезда встретятся.

Ответ: Поезда встретятся через 4 часа.

Движение в противоположных направлениях

Если два объекта движутся в противоположных направлениях, то они удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо сложить скорости этих объектов:

Скорость удаления больше скорости любого из них.

Задача 1

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода – 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км ?

Решение:

Чтобы найти время движения пешеходов, нужно знать расстояние и скорость пешеходов. Мы знаем, что за каждый час один пешеход удаляется от поселка на 5 км, а другой пешеход удаляется от поселка на 4 км. Можем найти их скорость удаления.

1. 

 (км/ч)

Мы знаем скорость удаления и знаем все расстояние – 27 км. Можем найти время, через которое пешеходы удалятся друг от друга на 27 км, для этого нужно расстояние разделить на скорость.

2. 

 (ч)

Ответ: Через три часа расстояние между переходами будет 27 км.

Задача 2

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Через 3 часа расстояние между ними было 27 км. Первый пешеход шел со скоростью 5 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход ?

Решение:

Чтобы узнать скорость второго пешехода, надо знать расстояние, которое он прошел, и его время в пути. Чтобы узнать, какое расстояние прошел второй пешеход, надо знать, какое расстояние прошел первый пешеход и общее расстояние. Общее расстояние мы знаем. Чтобы найти расстояние, которое прошел первый пешеход, надо знать его скорость и его время в пути. Средняя скорость движения первого пешехода – 5 км/ч, его время в пути – 3 часа. Если среднюю скорость умножить на время в пути, получим расстояние, которое прошел пешеход:

1. 

 (км)

Мы знаем общее расстояние и знаем расстояние, которое прошел первый пешеход. Можем теперь узнать, какое расстояние прошел второй пешеход.

2. 

 (км)

Теперь мы знаем расстояние, которое прошел второй пешеход, и время, проведенное им в пути. Можем найти его скорость.

3. 

 (км/ч)

Ответ: Скорость второго пешехода – 4 км/ч.

Задача 3

Товарный и пассажирский поезда движутся в противоположных направлениях. Скорость товарного 45 км/ч, скорость пассажирского — 70 км/ч. Сейчас между ними 20 км. Какое расстояние будет между ними через 2 часа ?

Решение:

1) 70+45=115 (км/ч) скорость удаления поездов

2) 115∙2=230 (км) пройдут поезда вместе за 2 часа

3) 230+20=250 (км) такое расстояние между поездами будет через 2 часа.

Ответ: Через 2 часа расстояние между поездами составит 250 км.

Задача 4

Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них — 60 км/ч, скорость другого — 40 км/ч. Через какое время расстояние между ними станет равным 300 км?

Решение:

1) 60+40=100 (км/ч) скорость удаления мотоциклистов

2) 300:100=3 (ч) через такое время расстояние между ними будет 300 км.

Ответ: Расстояние между мотоциклистами станет 300 км через 3 часа.

nauka.club

Задачи на движение (нахождение скорости) с ответами

Задача 1.

Из поселка и города навстречу друг другу, одновременно выехали два автобуса. Один автобус до встречи проехал 100 км со скоростью 25 км/час. Сколько километров до встречи проехал второй автобус, если его скорость 50 км/час.

Решение:

• 1) 100 : 25 = 4 (часа ехал один автобус)

• 2) 50 * 4 = 200

• Выражение: 50 * (100 : 25) = 200

• Ответ: второй автобус проехал до встречи 200 км.

Задача 2.

Расстояние между двумя пристанями 90 км. От каждой из них одновременно навстречу друг другу вышли два теплохода. Сколько часов им понадобится чтобы встретиться, если скорость первого 20 км/час, а второго 25 км/час?

Решение:

• 1) 25 + 20 = 45 (сумма скоростей теплоходов)

• 2) 90 : 45 = 2

• Выражение: 90 : (20 + 25) = 2

• Ответ: теплоходы встретятся через 2 часа.

Задача 3.

От двух станций, расстояние между которыми 564 км., одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость одного из них 63 км/час. Какова скорость второго, если поезда встретились через 4 часа?

Решение:

• 1) 63 * 4 = 252 (прошел 1 поезд)

• 2) 564 — 252 =312 (прошел 2 поезд)

• 3) 312 : 4 = 78

• Выражение: (63 * 4 — 252) : 4 = 78

• Ответ: скорость второго поезда 78 км/час.

Задача 4.

Через сколько секунд встретятся две ласточки, летящие на встречу друг другу, если скорость каждой из них 23 метра в секунду, а расстояние между ними 920 м.

Решение:

• 1) 23 * 2 = 46 (сумма скоростей ласточек)

• 2) 920 : 46 = 20

• Выражение: 920 : (23 * 2) = 20

• Ответ: ласточки встретятся через 20 секунд.



Задача 5

С двух поселков, навстречу друг другу выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Скорость мотоциклиста 54 км/час, велосипедиста 16 км/час. Сколько километров проехал мотоциклист до встречи, если велосипедист проехал 48 км?

Решение:

• 1) 48 : 16 = 3 (часа потратил велосипедист)

• 2) 54 * 3 = 162

• Выражение: 54 * (48 : 16) = 162

• Ответ: мотоциклист проехал 162 км.

Задача 6

Две лодки, расстояние между которыми 90 км, начали движение на встречу друг другу. Скорость одной из лодок 10 км /час, другой 8 км/час. Сколько часов понадобится лодкам, чтобы встретится?

Решение:

• 1) 10 + 8 = 18 (скорость двух лодок вместе)

• 2) 90 : 18 = 5

• Выражение: 90 : (10 + 8) = 5

• Ответ: лодки встретятся через 5 часов.

Задача 7

По дорожке, длинна которой 200 метров, навстречу друг другу побежали два мальчика. Один из них бежал со скоростью 5 м/сек. Какова скорость второго мальчика, если встретились они через 20 сек?

Решение:

• 1) 20 * 5 = 100 (метров пробежал первый мальчик)

• 2) 200 — 100 = 100 (метров пробежал второй мальчик)

• 3) 100 : 20 = 5

• Выражение: (200 — 5 * 20) : 20 = 5

• Ответ: скорость второго мальчика 5 км/сек.

Задача 8

Два поезда выехали навстречу друг другу. Скорость одного из них 35 км/час, другого 29 км/час. Какое расстояние между поездами было сначала, если встретились они через 5 часов?

Решение:

• 1) 35 + 29 = 64 (скорсть двух поездов вместе)

• 2) 64 * 5 = 320

• Выражение: (35 + 29) * 5 = 320

• Ответ: расстояние между поездами было 320 км.

Задача 9

Из двух поселков навстречу друг другу выехали два всадника. Скорость одного из них 13 км/час, встретились они через 4 часа. С какой скоростью двигался второй всадник, если расстояние между поселками 100 км.

Решение:

• 1) 13 * 4 = 52 (проехал первый всадник)

• 2) 100 — 52 = 48 (проехал второй всадник)

• 3) 48 : 4 = 12

• Выражение: (100 — 13 * 4) : 4 = 12

• Ответ: скорость второго всадника 12 км/час.

Задача 1

Грузовой поезд проехал 420 км, сделав остановку на одной станции. Путь до этой станции занял 4 часа при скорости 80км/час. Весь оставшийся путь занял 2 часа. С какой скоростью поезд двигался после остановки?

Решение:

Задача 2

Грузовик в первый день проехал 600 км, а во второй день 200 км. Весь путь занял 8 часов. Сколько часов в день проезжал грузовик, если он ехал все время с одинаковой скоростью.

Решение:

Задача 3

Велосипедист проезжает путь из города в поселок, со скоростью 17 км/час, за 5 часов. Сколько времени потребуется пешеходу, что бы пройти этот же путь, если он движется со скоростью 5 км/час?

Решение:

Задача 4

Автомобиль проехал 400 километров. Двигаясь со скоростью 60 км/час, он проехал за 2 часа первую часть пути. С какой скоростью он двигался остальную часть пути, если он затратил на нее 4 часа?

Решение:



Задача 5

Скворец летел со скоростью 75 км/час 2 часа. С какой скоростью летит ворона, если такое же расстояние она пролетит за 3 часа?

Решение:

Задача 6

Автотуристы были в пути 15 часов в течение 2 дней. 420 километров они проехали в первый день и 480 во второй. Сколько часов каждый день они были в пути, если каждый день они двигались с одинаковой скоростью?

Решение:

Задача 7

От города до поселка 37 километров, а от этого поселка до следующего 83 км. Сколько времени понадобиться, что бы доехать от города до последнего поселка, если двигаться со скоростью 40 км/час?

Решение:

• 1) 37 + 83 = 120

• 2) 120 : 4 = 3

• Ответ: 3 часа.



Задача 8

За 3 часа катер преодолел расстояние в 210 км. Какое расстояние оно пройдет за 5 часов, если его скорость увеличится на 5 км/час?

Решение:

• 1) 210 : 3 = 70

• 2) 70 + 5 = 75

• 3) 75 * 5 = 375

• Ответ: 375 км.

Задача 9

Теплоход за 9 часов прошел 360 км в первый день. Во второй день теплоход с прежней скоростью был в пути 12 часов. Сколько всего километров преодолел теплоход за 2 дня?

Решение:

• 1) 360 : 9 = 40

• 2) 40 * 12 = 480=

• 3) 480 + 360 = 840

• Ответ: 840 км.

Задача 10

Вертолет пролетает за 4 часа 960 километров. Сколько времени понадобится самолету, чтобы пролететь то же расстояние, если он движется в 2 раз быстрее?

Решение:

• 1) 960 : 4 = 240

• 2) 240 * 2 = 480

• 3) 960 : 480 = 2

• Ответ: 2 часа

Задача 1.

Машина и автобус выехали с автостанции одновременно в противоположных направлениях. Скорость автобуса в два раза меньше скорости автомобиля. Через сколько часов расстояние между ними будет 450 км, если скорость автомобиля 60 км/час?

Решение:

• 1) 60 : 2 = 30 (скорость автобуса)

• 2) 60 + 30 = 90 (скорость автобуса и автомобиля вместе)

• 3) 450 : 90 = 5

• Выражение: 450 : (60 : 2 + 60) = 5

• Ответ: через 5 часов.

Задача 2.

Из города на дачу выехал велосипедист со скоростью 12 км/час. Дорога на дачу заняла 6 часов. На сколько изменилась скорость велосипедиста на обратном пути, если он затратил на него 4 часа?

Решение:

• 1) 12 * 6 = 72 (расстояние от города к даче)

• 2) 72 : 4 = 18 (скорость обратного пути велосипедиста)

• 3) 18 — 12 = 6

• Выражение: (12 * 6 : 4) — 12 = 6

• Ответ: скорость велосипедиста увеличилась на 6 км/час.

Задача 3.

Два поезда одновременно начали движение в противоположных на правлениях. Один двигался со скоростью на 30 км/час меньше, чем другой. На каком расстоянии друг от друга поезда будут через 4 часа, если скорость другого поезда 130 км/час?

Решение:

• 1) 130 — 30 = 100 (км/час скорсть второго поезда)

• 2) 130 + 100 = 230 (скорость двух поездов вместе)

• 3) 230 * 4 = 920

• Выражение: (130 — 30 + 130) * 4 = 920

• Ответ: расстояние между поездами через 4 часа будет 920 км.



Задача 4.

Такси двигалось со скоростью 60 км/час, автобус в 2 раза медленнее. Через сколько времени между ними будет 360 км, если они движутся в разных направлениях?

Решение:

• 1) 60 : 2 = 30 (скорость автобуса)

• 2) 60 + 30 = 90 (скорость автобуса и такси вместе)

• 3) 360 : 90 = 4

• Выражение: 360 : (60 : 2 + 60) = 4

• Ответ: через 4 часа.

Задача 5.

Два автомобиля выехали из автопарка одновременно в противоположных направлениях. Скорость одного 70 км/час, другого 50 км/час. Какое расстояние будет между ними через 4 часа?

Решение:

• 1) 70 + 50 = 120 (скорость двух автомобилей вместе)

• 2) 120 * 4 = 480

• Выражение: (70 + 50) : 4 = 480

• Ответ: через 4 часа между автомобилями будет 480 км.

Задача 6.

Два человека в одно и тоже время вышли из поселка в разных направлениях. Один двигался со скоростью 6 км/час, скорость другого была 5 км/час. Сколько часов понадобится чтобы расстояние между ними стало 33 км?

Решение:

• 1) 6 + 5 = 11 (скорость двух человек вместе)

• 2) 33 : 11 = 3

• Выражение: 33 : ( 6 + 5) = 3

• Ответ: через 3 часа.

Задача 7.

Грузовой и легковой автомобили отправились от автостанции в разных направлениях. За одно и тоже время грузовик проехал 70 км, а легковой автомобиль 140 км. С какой скоростью двигался легковой автомобиль, если скорость грузовика 35 км/час?

Решение:

• 1) 70 : 35 = 2 (часа затратил на дорогу грузовик)

• 2) 140 : 2 = 70

• Выражение: 140 : (70 : 35) = 70

• Ответ: скорость легкового автомобиля 70 км/час.



Задача 8.

Два пешехода вышли из турбазы в противоположных направлениях. Скорость одного из них 4 км/час, другого 5 км/час. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов?

Решение:

• 1) 4 + 5 = 11 (общая скорсть пешеходов)

• 2) 5 * 11 = 55

• Выражение: (4 + 5) * 5 = 55

• Ответ: через 5 часов между пешеходами будет 55 км.

Задача 9.

Два самолета одновременно вылетели в противоположных направлениях. Скорость одного из самолетов 640 км/час. Какая скорость другого самолета, если через 3 часа расстояние между ними было 3630 км?

Решение:

• 1) 640 * 3 = 1920 (км пролетел один самолет)

• 2) 3630 — 1920 = 1710 (км пролетел другой самолет)

• 3) 1710 : 3 = 570

• Выражение: (3630 — 640 * 3) : 3 = 570

• Ответ: скорсть второго самолета 570 км/ч

Задача 10.

Два крестьянина вышли из одного поселка одновременно в противоположных направлениях. Один двигался со скоростью 3 км/час другой 6 км/час. Какое расстояние будет между крестьянами через 5 часов.

Решение:

• 1) 3 + 6 = 9 (скорость двух крестьян вместе)

• 2) 5 * 9 = 45

• Выражение: 5 * (3 + 6) = 45

• Ответ: через 5 часов между крестьянами будет 45 км.

infourok.ru

Задачи на скорость, время и расстояние: примеры и решение

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.

Разные объекты имеют разную скорость. Например, средняя скорость пешехода составляет 5 км в час, скорость велосипедиста – 12 км в час, а автомобиля – 80 км в час. При записи скорости, предлог в заменяют наклонной чертой — км/ч (например, 15 км/ч).

Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным. Далее будут рассмотрены задачи только на равномерное движение.

Нахождение скорости

Чтобы найти скорость по данному пути (расстоянию) и времени, надо путь разделить на время.

скорость = расстояние : время

Задача 1. Поезд проехал 320 км за 4 часа. Чему равна скорость поезда?

Решение: Чтобы найти скорость поезда, надо растояние, которое прошёл поезд (320 км), разделить на время поезда в пути (4 ч):

320 : 4 = 80 (км)

Ответ: Скорость поезда равна 80 км/ч.

Задача 2. Турист за 3 часа прошёл 12 км, а велосипедист за 2 часа проехал 24 км. Во сколько раз турист движется медленнее велосипедиста?

Решение: чтобы узнать во сколько раз скорость туриста меньше, чем у велосипедиста, надо узнать их скорость, разделив пройденные расстояния на затраченное время:

12 : 3 = 4 (км/ч) – скорость туриста

24 : 2 = 12 (км/ч) – скорость велосипедиста

Теперь осталось узнать на сколько медленнее движется турист, для этого надо большее число разделить на меньшее:

12 : 4 = 3

Ответ: Турист движется в 3 раза медленнее, чем велосипедист.

Нахождение времени

Чтобы найти время по данному расстоянию и скорости, надо расстояние разделить на скорость.

время = расстояние : скорость

Задача: Лодка преодолела путь в 100 км со скоростью 20 км/ч. Сколько времени плыла лодка?

Решение:

100 : 20 = 5 (ч)

Ответ: Лодка плыла 5 часов.

Нахождение расстояния

Чтобы найти расстояние по данным скорости и времени, надо скорость умножить на время.

расстояние = скорость · время

Задача: Грузовик ехал 12 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?

Решение:

70 · 12 = 840 (км)

Ответ: Грузовик за 12 часов проехал 840 км.

naobumium.info

Решение задач на движение в противоположных направлениях

На этом уроке мы рассмотрим решение задач на движение в противоположных направлениях. Решим три задачи на нахождение скорости, времени и расстояния, по условиям которых движение объектов происходит в противоположном направлении. Познакомимся с понятием «скорость удаления».

Вы уже знакомы с величинами «скорость», «время», «расстояние» и знаете, как эти величины связаны друг с другом. Мы уже решали задачи, в которых объекты двигались в одном направлении или навстречу друг другу. Теперь рассмотрим задачи, когда объекты движутся в противоположных направлениях. И познакомимся с понятием «скорость удаления».

Из поселка вышли одновременно два пешехода и пошли в противоположных направлениях. Средняя скорость одного пешехода – 5 км/ч, другого – 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы через 3 часа (рис. 1)?

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Решение

1 способ

Чтобы найти расстояние, на котором будут два пешехода через три часа, надо узнать, какое расстояние пройдет каждый за это время. Чтобы найти, какое расстояние прошел пешеход, нужно знать его среднюю скорость движения и его время в пути. Мы знаем, что пешеходы вышли из поселка одновременно и были в пути три часа, значит, каждый из пешеходов был в пути три часа. Мы знаем среднюю скорость первого пешехода – 5 км/ч и знаем его время в пути – 3 часа. Можем найти, какое расстояние прошел первый пешеход. Умножим его скорость на его время в пути.

1.  (км)

Мы знаем среднюю скорость второго пешехода – 4 км/ч и знаем его время в пути – 3 часа. Умножим его скорость на его время в пути, получим расстояние, которое он прошел:

2.  (км)

Теперь мы знаем расстояние, которое прошел каждый из пешеходов, и можем найти расстояние между переходами.

3.  (км)

Ответ: через 3 часа пешеходы будут друг от друга на расстоянии 27 км.

За первый час один пешеход удалится от поселка на 5 км, за этот же час второй пешеход удалится от поселка на 4 км. Можем найти скорость удаления пешеходов друг от друга.

1.  (км/ч)

Мы знаем, что за каждый час пешеходы удалялись друг от друга на 9 км. Можем узнать, на сколько они удалятся друг от друга за три часа.

2.  (км)

Умножив скорость удаления на время, мы узнали расстояние между пешеходами.

Ответ: через 3 часа пешеходы будут друг от друга на расстоянии 27 км.

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода – 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 27 км (рис. 2)?

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Чтобы найти время движения пешеходов, нужно знать расстояние и скорость пешеходов. Мы знаем, что за каждый час один пешеход удаляется от поселка на 5 км, а другой пешеход удаляется от поселка на 4 км. Можем найти их скорость удаления.

1.  (км/ч)

Мы знаем скорость удаления и знаем все расстояние – 27 км. Можем найти время, через которое пешеходы удалятся друг от друга на 27 км, для этого нужно расстояние разделить на скорость.

2.  (ч)

Ответ: через три часа расстояние между переходами будет 27 км.

Из поселка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Через 3 часа расстояние между ними было 27 км. Первый пешеход шел со скоростью 5 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход (рис. 3)?

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Чтобы узнать скорость второго пешехода, надо знать расстояние, которое он прошел, и его время в пути. Чтобы узнать, какое расстояние прошел второй пешеход, надо знать, какое расстояние прошел первый пешеход и общее расстояние. Общее расстояние мы знаем. Чтобы найти расстояние, которое прошел первый пешеход, надо знать его скорость и его время в пути. Средняя скорость движения первого пешехода – 5 км/ч, его время в пути – 3 часа. Если среднюю скорость умножить на время в пути, получим расстояние, которое прошел пешеход:

1.  (км)

Мы знаем общее расстояние и знаем расстояние, которое прошел первый пешеход. Можем теперь узнать, какое расстояние прошел второй пешеход.

2.  (км)

Теперь мы знаем расстояние, которое прошел второй пешеход, и время, проведенное им в пути. Можем найти его скорость.

3.  (км/ч)

Ответ: скорость второго пешехода – 4 км/ч.

Мы учились решать задачи на движение в противоположных направлениях и познакомились с понятием «скорость удаления».

 

Домашнее задание

1. Определите по картинке, сколько часов были в пути велосипедисты.
   
2. Два поезда одновременно начали движение в противоположных направлениях. Один двигался со скоростью на 30 км/час меньше, чем другой. На каком расстоянии друг от друга поезда будут через 4 часа, если скорость другого поезда – 130 км/час?

 

Список литературы

1. Математика: учеб. для 4-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. Ч. 1 / Т.М. Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А. Столяр; пер. с бел. яз. Л.А. Бондаревой. – 3-е изд., перераб. – Минск: Нар. асвета, 2008. – 134 с.: ил.
2. Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч./М.И. Моро, М.А. Бантова. – М.: Просвещение, 2010.
3. Математика: учеб. для 4-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. Ч. 2 / Т.М. Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А. Столяр; пер. с бел. яз. Л.А. Бондаревой. – 3-е изд., перераб. – Минск: Нар. асвета, 2008. – 135 с.: ил.
4. Математика. 4 класс. Учебник в 2 ч. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. – 2009. – 128 с., 144 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Slideshare.net (Источник).
2. Интернет-портал For6cl.uznateshe.ru (Источник).
3. Интернет-портал Poa2308poa.blogspot.com (Источник).

interneturok.ru

Задачи на движение

В задачах на движение обычно используются формулы, выражающие закон равномерного движения, т.е.

s = v · t.

При составлении уравнений в таких задачах удобно использовать геометрическую иллюстрацию процесса движения.

При движении по окружности удобно пользоваться понятием угловой скорости, т.е. угла, на который поворачивается вокруг центра движущийся объект за единицу времени. Бывает, что для усложнения задачи, ее условие формулируют в разных единицах измерения. В таких случаях для составления уравнений необходимо выразить все данные значения через одну и ту же единицу измерения.

Источником составления уравнений в задачах на движение служат следующие соображения:

1) Объекты, начавшие движение навстречу друг другу одновременно, движутся до момента встречи одинаковое время. Время, через которое они встретятся, находят по формуле

t = s/(v₁ + v₂)     (*).

2) Если одно тело догоняет другое, то время, через которое первый догонит второго, вычисляется по формуле

t = s/(v₁ – v₂)    (**).

3) Если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого расстояния удобно принять за общее неизвестное задачи.

4) Если при одновременном движении двух объектов по окружности из одной точки, один из них догоняет в первый раз другого, то разность пройденных ими к этому моменту расстояний равна длине окружности

c = 2πR.

5) Для времени новой встречи при движении в противоположных направлениях получим формулу (*), если в одном направлении – то формулу (**).

6) При движении по течению реки скорость объекта равна сумме скоростей в стоячей воде и скорости течения. При движении против течения скорость движения есть разность этих скоростей.

Аналитическое решение задач на движение

Задача 1.

Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу и через 3 часа 20 минут встретились. Сколько времени понадобилось каждому пешеходу, чтобы пройти все расстояние, если известно, что первый пришел в пункт, из которого вышел второй, на 5 часов позже, чем второй пришел в пункт, откуда вышел первый?

Решение.

В этой задаче нет никаких данных о пройденном расстоянии. Это является ее главной особенностью. В таких случаях будет удобно принять за единицу все расстояние, тогда скорость первого пешехода будет равна
v₁ = 1/x, а второго – v₂ = 1/y, где x часов – время в пути первого, а y – время в пути второго пешеходов.

Условия задачи позволяют составить систему уравнений:

{3⅓ · 1/x + 3⅓ · 1/y = 1,
{x – y = 5.

Решая эту систему, получим, что y = 5, x = 10.

Ответ: 10 часов и 5 часов.

Задача 2.

Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Через 3 часа навстречу ему из пункта В выехал мотоциклист, со скоростью в 3 раза большей, чем скорость велосипедиста. Встреча велосипедиста и мотоциклиста происходит посередине, между пунктами А и В. В случае выезда мотоциклиста позже велосипедиста на 2 часа, их встреча произошла бы на 15 километров ближе а пункту А. Найти расстояние АВ.

Решение.

Сделаем иллюстрацию к задаче (рис. 1).

Пусть АВ = s км, v км/ч – скорость велосипедиста, 3v км/ч – скорость мотоциклиста.

t₁ = 0,5 s/v часов – время до встречи велосипедиста,

t₂ = 0,5 s/3v часов – время до встречи мотоциклиста.

По условию  t₁ – t₂ = 3, значит 0,5 s/v – 0,5s / 3v = 3, откуда s = 9v.

Если бы мотоциклист выехал на 2 часа позже велосипедиста, то они встретились бы в точке F.

AF = 0,5s – 15, BF = 0,5s + 15.

Составим уравнение: (0,5s – 15)/v – (0,5s + 15)/3v = 2, откуда s – 60 = 6v.

Получим систему уравнений:

{s = 9v,
{s = 60 + 6v.

Имеем:

{v = 20,
{s = 180.

Ответ: v = 20 км/ч, s = 180 км.

Графический метод при решении задач на движение

Существует и графический метод решения заданий. Рассмотрим применение этого метода для решения задач на движение. Графическое изображение функций, описывающих условие задачи – зачастую очень удобный прием, который позволяет наглядно представить ситуацию задачи. Так же он позволяет составить новые уравнения или заменить алгебраическое решение задачи чисто геометрическим.

Задача 3.

Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Вслед за ним из пункта А выехал велосипедист, но с задержкой в 2 часа. Еще через 30 минут по направлению к пункту В выехал мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались в пункт В без остановок и равномерно. Через некоторое время после того, как выехал мотоциклист, оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут  раньше пешехода велосипедист прибыл в пункт В, если мотоциклист прибыл в пункт В на 1 час раньше пешехода?

Решение.

Для алгебраического решения требуется введение многих переменных и составления громоздкой системы. Графически ситуация, описанная в задаче, представлена на рисунке 2.

Используя подобие треугольников AOL и KOM, а так же треугольников AOP и KON можно составить пропорцию:

x/1 = 2/2,5;

x = 4/5 ч = 48 минут.

Ответ: 48 минут.

Задача 4.

Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два посыльных. После встречи один из них был в пути еще 16 часов, а второй – 9 часов. Определить, сколько времени был в пути каждый посыльный.

Решение.

Пусть время движения до встречи каждого посыльного будет t. По условию задачи строим график (рис. 3).

Аналогично задаче 3, необходимо использовать подобие треугольников.

Имеем:

t/16 = 9/t;

t² = 144;

t = 12.

Значит, 12 + 16 = 28 (часов) – был в пути первый, 12 + 9 = 21 (час) – был в пути второй.

Ответ: 21 час и 28 часов.

Вот мы и разобрали основные методы решения задач на движение. В ЕГЭ они встречаются очень часто, поэтому обязательно практикуйтесь в решении данных задач.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на движение?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru