Как научить ребенка решать уравнения

Одна и самых сложных тем в начальной школе — решение уравнений.

Усложняется она двумя фактами:

Во-первых, дети не понимают смысл уравнения. Зачем цифру заменили буквой и что это вообще такое?

Во-вторых, объяснение, которое предлагается детям в школьной программе, непонятно в большинстве случаев даже взрослому:

Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Для того чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Для того чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.

И вот, придя домой ребенок чуть ли не плачет.

На помощь приходят родители. И посмотрев в учебник, решают научить ребенка решать «проще».

Нужно же всего лишь перекинуть на одну сторону цифры, поменяв знак на противоположный, понимаешь?

Смотри, х-3=7

Минус три переносим с плюсом к семерке, считаем и получается х=10

В этом месте у детей обычно происходит сбой программы.

Знак? Поменять? Перенести? Что?

— Мама, папа! Вы ничего не понимате! Нам в школе по-другому объясняли!!!
— Тогда и решай как объясняли!

А в школе, тем временем, продолжается тренировка темы.

1. Вначале нужно определить какой компонент действия нужно найти

5+х=17 — нужно найти неизвестное слагаемое.
х-3=7 — нужно найти неизвестное уменьшаемое.
10-х=4 — нужно найти неизвестное вычитаемое.

2. Теперь нужно вспомнить правило, упомянутое выше

Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно…

Как Вы думаете, трудно ли маленькому ученику все это запомнить?

А еще нужно добавить сюда тот факт, что с каждым классом уравнения становятся все сложнее и больше.

В итоге и получается что уравнения для детей одна из самых сложных тем математики в начальной школе.

И даже если ребенок уже в четвертом классе, но у него трудности с решением уравнениями, скорее всего у него проблема с пониманием сути уравнения. И надо просто вернуться назад, к основам.

Сделать это можно за 2 простых шага:

Шаг первый — Надо научить детей понимать уравнения.

Нам потребуется простая кружка.

Напишите пример 3 + 5 = 8

А на дне кружки «х». И, перевернув кружку, закройте цифру «5»

Что под кружкой?

Уверены, ребенок сразу угадает!

Теперь закройте цифру «5». Что под кружкой?

Так можно писать примеры на разные действия и играть. У ребенка происходи понимание, что х = это не просто непонятный знак, а «спрятанная цифра»

Подробнее о технике — в видео

Шаг второй — Научите определять, х в уравнении является целым или частью? Самым большим или «маленьким»?

Для этого нам подойдет техника «Яблоко»

Задайте ребенку вопрос, где в данном уравнении самое большое?

5+х=17

Ребенок ответит «17».

Отлично! Это будет наше яблоко!

Самое большое число — это всегда целое яблоко. Обведем в кружок.

А целое всегда состоит из частей. Давай подчеркнем части.

5 и х — части яблока.

А раз х — это часть. Она больше или меньше? х большое — или маленькое? Как его найти?

Важно отметить, что в таком случае ребенок думает, и понимает, почему, чтобы найти х в данном примере, нужно из 17 вычесть 5.

Умничка!

После того, как ребенок поймет, что ключем к правильному решению уравнений является определить, х — целое или часть, он легко будет решать уравнения.

Потому что запомнить правило, когда понимаешь его гораздо проще, чем наоборот: вызубрить и учиться применять.

Данные техники «Кружка» и «Яблоко» позволяют научить ребенка понимать, что он делает и зачем.

Когда ребенок понимает предмет, он у него начинает получаться.

Когда у ребенка получается, ему это нравится.

Когда нравится, появляется интерес, желание и мотивация.

Когда появляется мотивация — ребенок учится сам.

 

Учите ребенка понимать программу и тогда процесс учебы станет отнимать у Вас значительно меньше времени и сил.

Вам понравилось объяснение данной темы?

Именно так, просто и легко, мы учим родителей объяснять школьную программу в «Школе умных детей».

Хотите научиться объяснять материалы ребенку также доступно и легко, как в этой статье?

Тогда регистрируйтесь бесплатно на 40 уроков школы умных детей прямо сейчас по кнопке ниже.

Получить 40 уроков Школы умных детей бесплатно>>

Вам понравилась статья? Сохраните себе на стену, чтобы не потерять

Похожее

gladtolearn.ru

Как научиться решать простые и сложные уравнения

Как научиться решать простые и сложные уравнения

Уважаемые родители!

Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. В школе математика служит опорным предметом для многих смежных дисциплин. В послешкольной жизни реальной необходимостью становится непрерывное образование, что требует базовой общешкольной подготовки, в том числе и математической.

В начальной школе закладываются не только знания по основным темам, но и развивается логическое мышление, воображение и пространственные представления, а также формируется интерес к данному предмету.

Соблюдая принцип преемственности, мы сделаем упор на важнейшую тему, а именно «Взаимосвязь компонентов действий при решении составных уравнений».

С помощью данного урока можно без труда научиться решать усложненные уравнения. На уроке вы подробно познакомитесь с пошаговой инструкцией решения усложненных уравнений.

Многих, родителей ставит в тупик вопрос – как же заставить детей научиться решать простые и сложные уравнения. Если уравнения простые — это еще пол беды, но ведь бывают и сложные – например интегральные. Кстати, для сведения, есть и такие уравнения, над решением которых бьются лучшие умы нашей планеты и за решение которых выдаются очень весомые денежные премии. Например, если вспомнить Перельмана и невостребованную им денежную премию в размере нескольких миллионов.

Однако вернемся для начала к простым математическим уравнениям и повторим виды уравнений и названия компонентов. Небольшая разминка:

_________________________________________________________________________

РАЗМИНКА

Найди лишнее число в каждом столбике:

2) Какого слова не хватает в каждом столбике?

3) Соедините слова из первого столбика со словами из 2 столбика.

«Уравнение» «Равенство»

4) Как вы объясните, что такое «равенство»?

5) А «уравнение»? Это равенство? Что в нем особенного?

 

слагаемое сумма

уменьшаемое разность

вычитаемое произведение

множитель равенство

делимое

уравнение

Вывод: Уравнение – это равенство с переменной, значение которой надо найти.

_______________________________________________________________________

Предлагаю каждой группе написать на листке фломастером уравнения: (на доску)

1 группе — с неизвестным слагаемым; 2 группе — с неизвестным уменьшаемым; 3 группе – с неизвестным вычитаемым; 4 группе – с неизвестным делителем; 5 группе – с неизвестным делимым; 6 группе – с неизвестным множителем.

1 группа х + 8 = 15 2 группа х – 8 = 7 3 группа 48 – х = 36 4 группа 540 : х = 9 5 группа х : 15 = 9 6 группа х * 10 = 360

Один из группы должен на математическом языке прочитать свое уравнение и прокомментировать их решение, т. е. проговорить выполняемую операцию с известными компонентами действий (алгоритм).

Вывод: Умеем решать простые уравнения всех видов по алгоритму, читать и записывать буквенные выражения.

_____________________________________________________________________________

Предлагаю решить задачу, в которой появляется новый тип уравнений.

Х + 2кг 5кг и 3 кг

С какой величиной связан рисунок? Составьте и запишите по этому рисунку уравнение: Подберите для полученного уравнения подходящее уравнение: х + а = в а : х = в х : а = в х * а = в х – а = в а – х = в

Вывод: Познакомились с решением уравнений, в одной из частей которых содержится числовое выражение, значение которого надо найти и получить простое уравнение.

________________________________________________________________________
 

Рассмотрим еще один вариант уравнения, решение которого сводится к решению цепочки простых уравнений. Вот один из введения составных уравнений.

а + в * с (х – у) : 3 2 * d + (m – n) Являются ли уравнениями записи? Почему? Как называют такие действия? Прочитайте их, называя последнее действие:

Нет. Это не уравнения, т. к. в уравнении должен быть знак «=».   Выражения а + в * с — сумма числа а и произведения чисел в и с; (х – у) : 3 — частное разности чисел х и у; 2 * d + (m – n) — сумма удвоенного числа d и разности чисел m и n.

Предлагаю каждому записать на математическом языке предложение:

Произведение разности чисел х и 4 и числа 3 равно 15.

Запишите на математическом языке предложение: произведение разности чисел х и 4 и числа 3 равно 15

(х – 4) * 3 = 15

ВЫВОД: Возникшая проблемная ситуация мотивирует постановку цели урока: научиться решать уравнения в которых неизвестный компонент является выражением. Такие уравнения являются составными уравнениями.

__________________________________________________________________________

А может нам помогут уже изученные виды уравнений? (алгоритмы)

На какое из известных уравнений похоже наше уравнение? Х * а = в

ОЧЕНЬ ВАЖНЫЙ ВОПРОС: Чем является выражение в левой части – суммой, разностью, произведением или частным?

(х – 4) * 3 = 15 (Произведением)

Почему? (т.к. последнее действие – умножение)

Вывод: Такие уравнения еще не рассматривались. Но можно решить, если на выражение х – 4 наложить карточку (у — игрек), и получится уравнение, которое легко можно решить, используя простой алгоритм нахождения неизвестного компонента.

При решении составных уравнений необходимо на каждом шаге осуществлять выбор действия на автоматизированном уровне, комментируя, называя компоненты действия.

Найти последнее действие ↓ Выделить неизвестный компонент ↓ Применить правило ↓ Упростить часть ↓ Нет   ↓ Да Сделать проверку

(у – 5) * 4 = 28 у – 5 = 28 : 4 у – 5 = 7 у = 5 +7 у = 12 (12 — 5) * 4 = 28 28 = 28 (и)

Вывод: В классах с разной подготовкой эта работа может быть организована по-разному. В более подготовленных классах даже для первичного закрепления могут быть использованы выражения, в которых не два, а три и более действий, но их решение требует большего числа шагов с каждым шагом упрощая уравнение, до тех пор пока не получится простое уравнение. И каждый раз можно наблюдать, как меняется неизвестный компонент действий.

_____________________________________________________________________________

ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

Когда речь идёт о чём-нибудь очень простом, понятном, мы часто говорим: «Дело ясно, как дважды два — четыре!».

А ведь прежде чем додуматься до того, что дважды два — четыре, людям пришлось учиться много, много тысяч лет.

Многие правила из школьных учебников арифметики и геометрии были известны древним грекам две с лишним тысячи лет назад.

Всюду, где надо что-то считать, измерять, сравнивать, без математики не обойтись.

А чем дальше, тем больше и точнее нужно было считать.  С каждым десятилетием математика становилась всё нужнее людям.

Трудно представить, как жили бы люди, если бы не умели считать, измерять, сравнивать. Этому учит математика.

Сегодня Вы окунулись в школьную жизнь, побывали в роли учеников и я предлагаю Вам, уважаемые родители, оценить свои умения по шкале.
 

Мои умения	Дата и оценка
Компоненты действий.
Составление уравнения с неизвестным компонентом.
Чтение и запись выражений.
Находить корень уравнения в простом уравнении.
Находить корень уравнения, в одной из частей которых содержится числовое выражение.
Находить корень уравнения, в которых неизвестный компонент действия является выражением.

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Как быстро решить уравнение 🚩 как решить быстро примеры с одним неизвестным 🚩 Школы

Инструкция

Решение любой математической задачи может быть разделено на конечное число действий. Чтобы быстро решить уравнение, нужно правильно определить его вид, а затем подобрать соответствующее рациональное решение из оптимального количества шагов. Практические применения математических формул и правил подразумевают теоретические знания. Уравнения – это довольно широкая в рамках школьной дисциплины тема. По этой причине в самом начале ее изучения нужно выучить некоторый набор основ. К ним относятся виды уравнений, их степени и подходящие методы решения. Ученики средней школы, как правило, решают примеры на использование одной переменной. Самым простым видом уравнения с одной неизвестной является линейное уравнение. Например, х — 1 = 0, 3•х = 54. В этом случае нужно просто перенести аргумент х в одну сторону равенства, а числа – в другую, используя различные математические действия:
х – 1 = 0 |+1; х = 1;
3•х = 54 |:3; х = 18.

Не всегда линейное уравнение можно выявить сразу. Пример (х + 5)² – х² = 7 + 4•х тоже относится к этому виду, однако выяснить это можно лишь после раскрытия скобок:
(х + 5)² – х² = 7 + 4•х
х² + 10•х + 25 – х² = 7 + 4•х → 6•х = 18 → х = 3.

В связи с описанной трудностью при определении степени уравнения не следует опираться на наибольший показатель степени выражения. Сначала упростите его. Старшая вторая степень является признаком квадратного уравнения, которое, в свою очередь, бывает неполным и приведенным. Каждый подвид подразумевает свой оптимальный метод решения.

Неполное уравнение – это равенство вида х² = C, где C – число. В этом случае нужно просто извлечь квадратный корень из этого числа. Только не забудьте про второй отрицательный корень х = -√C. Рассмотрите несколько примеров уравнения, приводимого к неполному квадратному:
• Замена переменной:
(х + 3)² — 4 = 0
[z = х + 3] → z² — 4 = 0; z = ±2 → х1 = 5; х2 = 1.
• Упрощение выражения:
6•х + (х — 3)² – 13 = 0
6•х + х² – 6•х + 9 – 13 = 0
х² = 4
х = ± 2.

В общем виде квадратное уравнение выглядит так: A•х² + B•х + C = 0, а метод его решения основывается на расчете дискриминанта. При B = 0 получается неполное уравнение, а при A = 1 – приведенное. Очевидно, что в первом случае дискриминант искать не имеет смысла, к тому же это не способствует увеличению скорости решения. Во втором случае также существует альтернативный способ, который называется теоремой Виета. Согласно ей сумма и произведение корней приведенного уравнения связаны со значениями коэффициента при первой степени и свободного члена:
х² + 4•х + 3 = 0
х1 + х2 = -4; х1•х2 = 3 – соотношения Виета.
х1 = -1; х2 = 3 – по методу подбора.

Помните, что при условии целочисленного деления коэффициентов уравнения В и С на А, приведенное уравнение можно получить из исходного. Иначе решайте через дискриминант:
16•х² – 6•х — 1 = 0
D = B² – 4•A•C = 36 + 64 = 100
х1 = (6 + 10)/32 = 1/2; х2 = (6 — 10)/32 = -1/8.

Уравнения высших степеней, начиная от кубического A•х³ + B•х² + C•х + D = 0, решаются различными способами. Один из них – подбор целых делителей свободного члена D. Затем исходный многочлен делится на двучлен вида (х + х0), где х0 – подобранный корень, и степень уравнения снижается на единицу. Точно так же можно решать уравнение четвертой степени и выше.

Рассмотрите пример с предварительным приведением к общему виду:
х³ + (х — 1)² + 3•х – 4 = 0
х³ + х² + х – 3 = 0

Возможные корни: ±1 и ±3. Подставьте их поочередно и посмотрите, получится ли равенство:
1 – да;
-1 – нет;
3 – нет;
-3 – нет.

Итак, вы нашли первое решение. После деления на двучлен (х — 1) получается квадратное уравнение х² + 2•х + 3 = 0. Теорема Виета не дает результатов, следовательно, вычислите дискриминант:
D = 4 – 12 = -8

Школьники средних классов могут заключить, что корень у кубического уравнения всего один. Однако старшие ученики, изучающие комплексные числа, легко определят оставшиеся два решения:
х = -1 ± √2•i, где i² = -1.

Школьники средних классов могут заключить, что корень у кубического уравнения всего один. Однако старшие ученики, изучающие комплексные числа, легко определят оставшиеся два решения:
х = -1 ± √2•i, где i² = -1.

www.kakprosto.ru

Статья по алгебре (5 класс): Статья по теме «Как научить детей решать уравнения»

Как научить детей в 5 классе решать уравнения

Летом 1995 г. я была на курсах повышения квалификации «Изучении математики по учебникам Петерсон Л.Г. и Дорофеева Г.В». Там меня очень заинтересовала лекция Петерсон Л.Г. о методах решения уравнений. Мне было бы приятно поделиться этой методикой с Вами, дорогие коллеги.

Всем учителям математики хорошо известны, какие трудности порой возникают у учеников любого класса при решении уравнений. Например, решая в 6 классе уравнение:

школьники в растерянности и не могут сразу выбрать способ нахождения неизвестного, то ли как неизвестный член пропорции, то ли как неизвестный делитель, т.е.

                                                         или

В 5 классе школьники не понимают, как решать и как оформить решение уравнения вида

 (х + 37)  — 25 = 83

Это происходит, возможно, от того, что правила нахождения неизвестного компонента арифметических действий является неудобным инструментом решения уравнений.

Рассмотрим другой подход у обучения детей решению уравнений. При таком подходе увеличивается глубина и прочность знаний.

Рассмотрим основные этапы обучения детей решению уравнений

1 этап

Школьникам показывают, что операции сложения и вычитания – совокупность предметов и величин. С помощью наглядных изображений устанавливаются соотношении, выражающие зависимость между частью и целым.

Составляя такие равенства школьники на их основе практических действий выводят  и усваивают правила:

• Целое равно сумме частей
• Чтобы найти часть надо из целого вычесть другую часть

Такие правила позволяют быстро научить школьников находить в каждом числовом или буквенном равенстве части и целое, например:

3+8 = 11

3 и 8 – части

11 – целое

12 – х = 8

12 – целое

Х и 8 – части

Взаимосвязь между целым и частью является для учащихся удобным инструментом, который даст им возможность легко решать уравнения с неизвестными слагаемыми, уменьшаемыми, вычитаемыми. Школьники рассуждают так,

1) х+18=37    х и 18 – части, 27  целое.

Ищем часть, из целого вычитаем другую часть.

2) 43 – х =24

43 – целое, х и 24 – часть. Чтобы найти часть надо из целого вычесть другую часть

3) х – 15 = 17

Х – целое, 15 и 17 – части. Ищем целое, потому части складыем.

При условии, что навык таких уравнений доведен до автоматизма, решение более сложных уравнений происходит без затруднений, например

(х — 5) + 18 = 23

Х – 5 = 23 – 18

 Х -5 = 5

Х = 5 +5

Х = 10

(х — 5)  и 18 части, 23 – целое. Найдем часть х – 5, из целого вычтем другую часть. Получили более простое уравнение, в котором х – целое, 5 и 5 –части.

2 этап

Для иллюстрации операций умножения и деления используется прямоугольник. Устанавливаются равенства, в которых множители – стороны прямоугольника, а произведение – площадь.

Очевидно, что стороны – это части, а площадь – целое.

Такие соответствия позволяют решать уравнения, содержащие неизвестный множитель, делимое, делитель.

3 этап

Решение уравнений с комментированием, т.е. проговаривая выполняемые операции над компонентами действий.

1. Х  ∙ 7 =84

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произвеение разделить на известный множитель

2. 72   х = 8

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

4 этап

Конструкции уравнений усложняются. Для их решения ученики должны выполнить последовательно несколько преобразований. Каждое из которых освоено ими раньше.

Неизвестно вычитаемое. Найдем его. Неизвестен делитель

Неизвестно уменьшаемое

Таким образом, внешне ответ ученика у доски выглядит обычно. На самом деле предложения, которые произносит ученик, не заучиваются им, а осмысливаются каждый шаг решения на основе ранее полученных знаний.

nsportal.ru

Курс по алгебре «Как научиться решать уравнения на отлично» (9 класс).

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 82

Дзержинского района г. Волгограда

Программа

по математике

для учащихся девятых классов

«Как развить умение решать уравнения на «отлично»!»

(или

«Возвращаюсь в «вечному вопросу»

алгебры — уравнениям!»)

Выполнила: учитель высшей квалификационной категории, учитель математики МОУ СОШ № 82

Веремеенко Татьяна Васильевна

Волгоград 2016

Пояснительная записка.

Программа курса «Как развить умение решать уравнения на «отлично»!» составлена с учетом особенностей математического образования девятиклассников по теме «Уравнения» и с учетом специфики, особенностей, приоритетов учащихся школы. Данный курс создан под потребности учеников 9 класса школы при изучении математики иметь в запасе набор приемов, позволяющих в стандартной ситуации использовать их быстро и с высокой степенью надежности получить ожидаемый результат. Назначение курса – обобщить изученный ранее материал, иметь возможность взглянуть на задачи «как бы сверху», увидеть повторяемость действий при решении и линейных и квадратичных, и дробно-рациональных, и уравнений с модулем, с параметром, которые могут стать алгебраическим инструментом при решении текстовых задач.

Желание оценить свои возможности и выявить необходимые качества, обеспечивающие такое поведение, желание иметь потребность в результате (тем самым достичь своего успеха) являются мотивами для участия подростков в математических олимпиадах и конкурсах различного уровня.

Цель курса «Как развить умение решать уравнения на «отлично»!» — формирование алгоритмической культуры школьника, умение выводить рассуждения на обобщение. При этом решаются задачи:

1. Уметь работать с различными источниками информации, находить информацию по данной теме.

2. Систематизировать и классифицировать задачи, выбирать задачи в соответствии с готовыми критериями (возможно, создавать новые).

3. Находить аналоги в практической жизни для решения задач с уравнением, составлять математические модели к практическим ситуациям, превращать их в задачи и решать эти проблемы.

4. Создавать продукты мыследеятельности, определять качество этих продуктов, корректировать качество, подчеркивать положительные характеристики созданных продуктов и их авторов.

5. Предъявлять свою позицию в решении уравнений на основе того или иного приема в письменной и устной форме, уметь читать и понимать графическую задачу, понимать «красоту уравнения», уметь преобразовывать уравнения грамотно, по правилам.

6. Определять степень сложности задачи по теме «Как развить умение решать уравнения на «отлично»!» с учетом критериев сложности задачи.

Данный курс имеет необходимое оборудование: большинство родителей имеют высшее образование, связанное с изучением математики и достаточный уровень научно-популярной, учебной, справочной литературы в домашней библиотеке. Каждый ученик имеет дома компьютер, медиа-обеспечение и возможность выхода в Интернет. В связи с этим самостоятельная работа с данными средствами или совместная работа с родителями позволит каждому ученику подобрать необходимый учебный материал по истории математики и задачный материал для его дальнейшего использования в курсе. Этому способствует и достаточный библиотечный фонд и методическое обеспечение кабинета математики.

Создаваемые учащимися продукты деятельности в ходе освоения данного курса позволят его освоить в форме тренингов, семинаров, практических, презентационных работ и др. Повторяемость организационных форм занятий позволит сделать процесс математического образования более адаптационным. Серии «семинар», «лекция», «тренинг»»практикум» позволяют учесть принцип повторяемости (что благоприятно сказывается на развитие учебной ситуации, т.к. делает ее определенной, подчиненной правилам) и принцип введения нового элемента (что является необходимой потребностью учеников подросткового возраста в поиске нового, знакомстве с новым, необычным). Множество занятий в форме тренинга позволит достичь необходимых трудовых и практических навыков школьников, тем самым основную часть трудных для них задач преобразовать в разряд типичных, решаемых известным методом. Лекционная форма работы предусмотрена в каждой серии занятий, причем роль учителя при этом меняется – от чтения лекции к чтению лекции с элементами семинара, семинара-практикума до подготовки лекции силами лучших учеников группы.

Количество часов, отводимое на освоение той или иной темы, предполагает учёт времени на повторение учебного материала, ознакомление с новым материалом, на проведение занятия в той или иной форме. Коррекция количества часов на изучение отдельных тем предусмотрена: возможно увеличение количества часов на подготовку к празднику успеха и его проведение за счет систематизации учебного материала по теме «Знакомимся с веером приемов решения уравнений (разложением на множители, заменой переменных, графическим методом и др.)», преподнесения всех приемов в виде отдельного блока. Успешное освоение идеи преобразований и скорость техники освоения в ходе тренинга таких преобразований позволит констатировать определенный уровень готовности учащихся к обучению в условиях старшей школы по программам углубленного изучения математики или получения профильного обучения.

Констатация результатов и промежуточных результатов курса «Как развить умение решать уравнения на «отлично»!» для учащихся 9 класса представлена:

• степенью участия школьников в создании учебных материалов по данной теме,

• уровнем сложности и многообразия подготовленных материалов,

• готовностью к систематизации подобранных задач,

• умением выбирать задачи по заданным критериям и создавать новые, аналогичные данным задачам под известные критерии,

• умением отделять те типы уравнения, которые под известные критерии не подходят,

• умением определять качество и улучшать качество учебных материалов в ходе их использования,

• умением определять самого успешного ученика в изучении данной темы,

• умением организовать презентацию своего способа решения уравнения, представления нового метода решения задач в аудитории,

• умением демонстрировать графическую культуру при решении уравнений,

• умением видеть красивые решения уравнений,

• умением анализировать олимпиадные задачи и распределять их по степени трудности в ходе совместного обсуждения.

Предполагается, что те задачи, которые будут предложены учащимися и учителем, но не будут рассмотрены в программе курса для учащихся 9 класса «Как развить умение решать уравнения на «отлично»!» станут основой для дальнейшего освоения темы «Уравнения и их приложения» в ходе освоения курса в условиях профильного обучения на старшей ступени.

Учебно-тематический план.

Знакомимся с уравнениями с параметрами

2

Знакомство с видами уравнений с параметрами и стандартными приемами их решения.

10.

Пробуем решать простейшие уравнения с параметрами.

2

Отработка алгоритмов решения линейных, квадратичных уравнений с параметрами.

11.

Мы решаем уравнения на «отлично»!

1

Решение олимпиадных задач по теме «Уравнения», знакомство со спецификой решения олимпиадных задач

Всего: 17

Содержание программы .

Занятие 1. Вводное занятие.

«История математики: понятие уравнений и их место в науке»,

«Уравнение в практической жизни»

Любознательность математиков. Желание описать события языком математики (составить уравнение). Ф. Виет, Д. Кардано и формулы решения уравнений:

1. ах²bхс , квадратное уравнение решаем по формулам Виета.

D = b² – 4ac ;

2. х³pxq., кубическое уравнение , которое можно решить по формуле Кардано.

X= +

Решить уравнение:

х³ 15х  124 0.

Решение. Это уравнение можно решить,разложив левую часть уравнения на множители способом группировки:

x³ – 16x + 31x + 124 = 0$

x (x²-16) + 31(x + 4) = 0;

x (x- 4) (x+ 4) + 31(x + 4) = 0;

(x+ 4) (x² – 4x + 31) = 0;

x+ 4 = 0; или x² – 4x + 31= 0;

x = — 4; D = 14 – 124, D меньше 0, нет корней. Ответ: -4

Решите старинную задачу.

1. Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать своего сына к тебе в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда у меня учеников 100». Сколько было у учителя учеников?

2. Число десятков двузначного числа составляет две трети числа единиц, а число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, больше первоначального на 18.

Найти число.

(Решите эту задачу двумя способами).

Занятие 2. Создаем копилку задач, обеспечивающую тему «Уравнения».

1.О.Д.З. уравнения

Задания: найти О.Д.З. уравнений

Тема для дискуссии:

Как распознать посторонние корни при решении уравнения (3)?

Сколько способов и какой из них рациональный?

2. Равносильные уравнения

Задание: Равносильны ли уравнения?

1. и

2. и

3. и

3.Освобождение от знаменателя.

Задание. Решить уравнение

1)

2)

3)

4)

5)

Занятия 3-8 . Равносильные преобразования.

Отработаем умение освобождаться от знаменателя.

Работаем с областью определения и равносильностью уравнений

Отрабатываем приемы равносильных преобразований.

Выделяем трудности решения уравнений вида

К(х)· р(х)=0

Знакомимся с веером приемов решения уравнений (разложением на множители, заменой переменных, графическим методом и др)

Демонстрируем умения видеть необходимый способ решения задачи на основе известного приема и умение применять этот прием для получения результата

1. Уравнение b(x)q(x)p(x)0 равносильно совокупности уравнений

 b(x) 0,

 q(x) 0,

 p(x) 0.

Решить уравнения: 1) (х²2х4)(х²9)=0

2) (х²10х25)(2х7)(х1)=0

2. Освобождение от знака абсолютной величины.

х, х 0,

Определение модуля: х  х, х 0.

Освободиться от модуля: 1) b(x) 0 3)b(x) q(x)  0

2) b(x) с 4) b(x) q(x)  с

Задания для самостоятельной работы: Решить уравнения:

1. 1. х2  3

   2. х4  13х

   3. 3х2 3х  2 х2  4

Проверьте, что: 1)b(x)  q(x) (( b(x) q(x) или b(x)   q(x)) и q(x)  0).

q(x)  0

2) b(x)  q(x) b²(x)  q(x)

Задания для самостоятельной работы.

Решить уравнения:

1. х²6х  х,

2. х²6х  х²6х,

3. 5х1  х,

4. х²5х  9х.

1. Целые корни уравнения с целыми коэффициентам.

Возьмем уравнение 5х²14х30. Предположим, что число m – корень этого уравнения, т.е. 5m²14m30. Это равенство можно переписать так: m(5m14)3. Число, записанное слева, делится на m, поэтому и равное ему число 3, также делится на m.

Вывод: если уравнение 5х²14х30 имеет целый корень, то он является делители свободного члена. Теперь понятно как этот корень можно отыскать: нужно выписать все делители свободного члена и затем подстановкой проверить, является ли какое-нибудь из этих чисел корнем уравнения.

Этот прием (решения уравнения) носит общий характер. Его можно использовать для нахождения целых корней уравнений более высоких степеней.

Задание: Решить уравнение 183х²184х10.

Пример. Найти целые корни уравнения 2х³х²5х20.

Решение.

Делители свободного члена: 1; -1; 2; -2.

Подставим их в уравнение: 21³1²5120,

22³2²5220,

2(1)³(1)²5(1)20,

2(2)³(2)²5(2)20.

Уравнение имеет два целых корня: 1 и 2.

Задания для самостоятельной работы: Решите уравнения в целых числах.

1. 3х⁴2х²30

2. х⁵3х⁴5х³15х²4х120

2. Разложение на множители.

Для разложения многочлена на множители, пользовались специальными приемами – вынесение общего множителя с помощью формул, формулами сокращенного умножения, способом группировки. А теперь еще будем знать, что многочлен можно разложить на множители, один из которых есть разность между переменной и найденным целым корнем.

Научимся делить многочлен на многочлен уголком.

Пример.

_ 2х²х15 х3

2х²6х  2х5

5х15

5х15

0

Получим: 2х²х15(х3)(2х5).

Задания для самостоятельной работы. Решить уравнения:

1. х⁴2х³х20,

2. х³12х²9х220,

3. 2х³7х²90,

4. 5х³54х²39х100.

3.Замена переменной.

Этот способ позволяет: понизить степень уравнения, свести уравнение к линейному или квадратному уравнениям.

Задания: Решить уравнение

1. 1. (х3)⁴13(х3)²360

   2. (х1)²(х²2х5)0

   3. (х²4х1)(х²4х4)4

   4. (х²7х13)²(х3)( х4)0

   5. (х²4х²)5(х2х)100

   6. (х²16х²)4(х4х)110

   7. х²1х²3х3х20

   8. х²1х²8х8х90

   9. х⁶28х³270

   10. х⁶9х³80

   11. (х1)(х2)(х3)х³14х2

   12. х(х1)(х2) (х1)(х2)(х3)

3. Графический способ

Умения: 1. Построение основных графиков:

уkхb; уaх²; уkх; у aх²bхc; уkх; уb(х).

уa; уb.

2.Чтение графика

С помощью графика можно ответить на вопросы:

1. 1. Есть ли корни у уравнения?

   2. Сколько корней имеет уравнение?

   3. Найти приближенные значения корней.

   4. Найти знаки корней.

Задания для самостоятельной работы

1. Есть ли корни у уравнения и если есть, то сколько?

   1. (х1)²2/х,

   2. х²6х48х0,

   3. х2 х2,

   4. ⁵х х2,

   5. х^¼ х0,

   6. х²х2,

   7. 5х1х,

   8. х²18,

   9. хх²3,

   10. х12х²,

   11. х²4х4х22,

   12. х³4х30.

Занятия 9 – 12.

Собираем и рассматриваем текстовые задачи различного типа, решаемые с помощью уравнений

Решаем текстовые задачи различного типа с помощью уравнений

Решение задач на составление уравнений.

1. На плоскости отмечено несколько точек, некие три из которых не лежат на одной прямой. Все они попарно соединены отрезками. Сколько всего отмечено точек, если проведено 105 отрезков?

2. Цена товара была дважды повышена на одно и тоже число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 200р., а окончательная 338р.?

3. Туристический маршрут состоит из двух участков: 9 км подъема и 12км спуска. При подъеме скорость туристов на 3 км/ч меньше, чем при спуске, а их средняя скорость на всем маршруте равна 4,2 км/ч. Чему равна скорость туристов при спуске?

4. Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 кг 20%-ого раствора. Какое количество каждого раствора взяли?

5. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого сорта стали, чтобы получить 140m стали с содержанием никеля в 30%.

6. Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют бассейн за 4ч. Для заполнения половины бассейна первому насосу требуется времени на 4 ч больше, чем второму для заполнения ¾ бассейна. За какое время может наполнить бассейн каждый насос в отдельности?

7. От пристани А вниз по течению отправились катер и плот. Катер доплыл до В, повернул обратно и встретил плот через 4 ч. после выхода из А. Сколько времени шел катер от А до В?

Занятия 12 – 17.

Знакомимся с уравнениями с параметрами

Пробуем решать простейшие уравнения с параметрами.

Уравнения с параметрами.

1. Линейное уравнение.

Уравнение с одной переменной в первой степени сводится к решению уравнения pxq. Сколько решений может иметь это уравнение?

I. p0, х q / p – одно решение.

II. p0 и q 0, х – любое число.

III. p0 и q0, нет решения.

Задания для самостоятельной работы.

1. При каких значениях а и b уравнение (а – 2)х = b + 1 не имеет корней?

2. При каких значениях а и b любое число является решением уравнения (а + 3)х = b – 1 ?

3. (m+1)(n-2)x = (m-1)(n-2). При каких значениях m и n уравнение:

а) не имеет решения?

в) имеет бесконечно много решений?

4. Решить уравнение: (а²-1)х = а+1.

5. Решить уравнение: х+1 +а1-2х=1,5.

6. Найти а, при которых уравнение  а-2х+1=х+3 имеет единственное решение.

2. Квадратное уравнение.

Решение квадратного уравнения с параметрами должно выполняться как естественный ход решения, которое опирается на знания формул Виета и формул корней.

Ах²+bx+с = 0.

-b-D -b+D

Формулы корней: х₁=  ; х₁=  ; D=b-4ac

2a 2a

Если: D0, два корня

-b

D=0, один корень х= 

2a

D0, нет корней

Формулы Виета: х₁+х₂= -b/2а и х₁х₂= с/а.

Задания для самостоятельной работы.

1. Найдите все целые значения p, при которых данное уравнение х²+pх+15=0 имеет целые корни.

2. Найдите все положительные значения q, при которых уравнение х²+5х+ q=0 имеет целые корни. Найдите несколько целых отрицательных значений q, при которых уравнение имеет целые корни. Можно ли перечислить все такие значения q?

3. Найдите все целые значения m, при которых квадратный трехчлен можно разложить на линейные двучлены с целыми коэффициентами: с²+ mс+10.

4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трехчлена 2х² — 5х+ k содержит множитель (2х+3).

5. При каких значениях с уравнение х²+2х+с=0 не имеет корней? Укажите одно из таких значений с.

6. При каких значениях с уравнение х²+6х+с=0 имеет два корня? Укажите одно из таких значений с.

7. При каких значениях k уравнение х²+kх+9=0 имеет корни?

8. При каких значениях k уравнение 16х²+kх+1=0 не имеет корней?

9. При каких значениях с уравнение 15х²+ сх+ ¼ =0 имеет два корня?

10. При каких значениях k уравнение kх²-6х+k=0 имеет два корня?

11. При каких значениях а уравнение ах²+х-3=0 имеет два корня?

12. Решите уравнение ах²+(2а²-1)х — 2а=0.

13. При каких значениях параметра b уравнение bх²-х+b=0 имеет ровно один корень?

14. Решите уравнение (а+1)х² — 2х+1- а=0 и определите, при каком а уравнение имеет единственный корень.

15. Решите уравнение ах² — (2а+ b)х+2b = 0.

16. При каком значении параметра а уравнение 25х² — 20+а = 0 будет иметь равные корни?

17. Найдите все значения параметра а, при которых корни х₁ и х₂ уравнения х² — (а-2)х — (а+3) = 0 удовлетворяет условию х₁²+х₂²=9.

Занятие 17

Решение олимпиадных задач по теме «Уравнения», знакомство со спецификой решения олимпиадных задач

Литература для учащихся.

1. Учебник. Математика – 8. Г.В. Дорофеев, «Дрофа», 2012г.

2. Учебник. Математика – 9. Г.В. Дорофеев, «Дрофа», 2012г.

2. За страницами учебника алгебры. Л.Ф. Пичурин. «Просвещение», 1990г.

3. Шаг за шагом (математ-р.т.) – 9, И. Шарыгин., М. 1995г.

4. Дидактический материал 9 кл., алгебра. С.Н. Зеленская.

«Учитель», 2012г.

Литература для учителя.

1. Уравнения. Моск. универ. М.К. Потапов., 1992г.

2. Дидактический материал, алгебра – 7, алгебра – 8. С-П, Б.Г. Зив, 2013г.

3. Дидактический материал, алгебра – 9. В. «Учитель»,

С.Н. Зеленская, 2012г.

4. За страницами учебника алгебры. Л.Ф. Пичурин.

«Просвещение», 1990г.

5. 514 задач с параметрами. С.А. Тынянкин. Волг. 1991г.

infourok.ru