тренинг по геометрии в 9 классе «Решение планиметрических задач из ОГЭ»

Решение планиметрических задач

из ОГЭ

Урок-тренинг по геометрии в 9 классе

Открытый урок-тренинг по геометрии в 9 классе

«Решение планиметрических задач из ОГЭ»

Цели урока:

• отработка умений решать задачи по планиметрии, предлагаемые в тестах ОГЭ;

• развитие внимания, памяти, логического мышления, интереса к предмету,

математически грамотной речи;

• воспитание трудолюбия, усидчивости, чувства ответственности,

познавательной активности.

Тип урока: урок-тренинг.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, сборник «Математика.

9 класс. Подготовка к ОГЭ – 2015» под редакцией Ф.Ф.Лысенко,

С.Ю.Кулабухова.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сегодня у нас с вами урок по решению геометрических задач из ОГЭ, поскольку на экзамене по математике есть модуль «Геометрия». Занятие будет проходить в виде тренинга. Но сначала давайте еще раз скажем, почему важно изучать геометрию?

Геометрия – это не просто наука о свойствах геометрических

фигур. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с

самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе

относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного

взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко

открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть

красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать

выводы.

В качестве эпиграфа нашего урока мы возьмем слова известного математика Пойа:

«Лучше решить одну задачу несколькими способами,

чем несколько задач – одним»

II. Актуализация знаний учащихся.

Задания на экзамене предлагаются каждый год разные. Мы с вами не можем знать заранее, какие задачи будут на экзамене. Поэтому, чтобы уверенно решать предложенные задачи, надо хорошо знать теорию, т.е. определения и формулировки теорем. Кроме того, в экзаменационной работе есть задание № 13, проверяющее, как ученик ориентируется в теоретическом материале. В каждом варианте в задании №13 предлагается по три вопроса, и надо из них выбрать либо верные утверждения, либо неверные. Иногда из-за одного пропущенного слова меняется смысл сказанного. Поэтому мы начнём наш тренинг с проверки знания теории.

На слайдах вы увидите задания, предлагавшиеся на экзамене в прошлом году, а также задания из сборника для подготовки к экзамену в 2015 году.

Какие из следующих утверждений верны?

1. Через любые три точки на плоскости можно провести окружность.

Неверно.

2. Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность

оснований.

Неверно.

3. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Верно.

4. В любой четырехугольник можно вписать окружность.

Неверно.

5. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Неверно.

6. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Неверно.

7. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно

диаметру описанной окружности.

Верно.

8. Одна из высот прямоугольного треугольника всегда делит его на два

подобных треугольника.

Верно.

9. Биссектрисы любого треугольника точкой пересечения делятся в отношении

2 : 1, считая от вершины.

Неверно.

10. Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу,

опирающемуся на ту же дугу.

Неверно.

11. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны друг другу.

Верно.

12. Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него

окружности.

Верно.

III. Тренинг по решению задач.

Начнем мы с вами с решения задач из первой части экзамена, т.е. с задач, оцениваемых в 1 балл. Вы знаете, что на экзамене при решении этих задач надо только дать правильный ответ, записав его в бланк ответов.

Задача на 1 балл

В треугольнике АВС точка К – середина стороны ВС, точка Р лежит на отрезке АК, АР = 10, РК = 5, ВР = 9. Найдите ВМ.

Решение.

Т. к. точка К – середина стороны ВС, то АК – медиана. Точка Р делит АК в отношении . Значит, точка Р – точка пересечения медиан треугольника.

Следовательно, ВМ тоже медиана и

РМ = 4,5.

ВМ = ВР + РМ = 9 + 4,5 = 13,5.

Ответ: 13,5.

Задача на 1 балл

Найдите длину отрезка АN, если радиус изображенной на рисунке окружности ОК =3, АК = 2.

Решение.

1 способ.

АN – касательная к окружности, АМ – секущая. Если из точки А к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки А до точки касания равен произведению отрезков секущей от точки А до точек пересечения секущей с окружностью. АN² = АК ∙ АМ = 2 ∙ 8 = 16 АN = 4.

2 способ

Проведем радиус ОN. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Значит, ∆АNО – прямоугольный. АО = 5, NО = 3. По теореме Пифагора .

3 способ

. По основному тригонометрическому тождеству .

.

.

Ответ: 4.

Во второй части экзаменационной работы есть задачи на 2, 3 и 4 балла.

Задача на 2 балла

В параллелограмме АВСD биссектриса острого угла С пересекает сторону АВ в точке М. Найдите расстояние от В до прямой СМ, если СМ = 30, СВ = 17.

Решение.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Проведем из точки В к прямой СМ перпендикуляр ВН.

Значит, ρ(В; СМ) = ВН.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Значит, ∆СВМ – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой. Следовательно, ВН – медиана, т.е.

СН = НМ = 15. По теореме Пифагора ВН = .

Ответ: 8.

Задача на 3 балла

В трапеции АВСD точка К – середина основания АВ. Известно, что СК = КD. Докажите, что трапеция равнобедренная.

Решение.

1 способ

Т. к. СК = КD, то ∆СКD – равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны

. как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых DС и АВ секущей DК, как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых DС и АВ секущей СК.

Т. к. , то .

Рассмотрим ∆АКD и ∆ВКС. АК = КВ, DК = СК – по условию,

− по доказанному, то ∆АКD = ∆ВКС по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что АD= СВ трапеция АВСD – равнобедренная.

2 способ

Проведем высоты DН и СМ. ∆DКН = ∆СКМ по гипотенузе и катету (DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми, DК = СК – по условию)

. (Дальше как в первом способе).

3 способ

Из равенства ∆DКН и ∆СКМ следует, что НК = КМ.

.

Значит, прямоугольные треугольники АDН и ВСМ равны по двум катетам

(DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми, АН = МВ по доказанному). Из равенства треугольников следует, что АD= СВ трапеция АВСD – равнобедренная.

Задача на 4 балла

В равнобедренном треугольнике АВС стороны АВ = ВС = 10, соsАВС = . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение.

По теореме косинусов

1 способ

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти с помощью формулы . Площадь данного треугольника можно найти следующими способами:

1. ; 2. ; 3. .

р = . . Значит, .

2 способ.

Мы знаем, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Проведем биссектрису ВН. Т. к. в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают, то биссектриса ВН будет и медианой, и высотой.

.

Из ∆АВН по теореме Пифагора .

Проведем радиус ОD в точку касания. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Прямоугольные треугольники АВН и ОВD подобны по двум углам (угол АВН – общий, углы Н и D равны как прямые). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.

Пусть ОН= х, тогда ВО = 8 – х.

х = 3. Значит, радиус ВО = 3.

3 способ

Начало такое же, как во 2-м способе. Только рассмотрим не подобные треугольники, а прямоугольный треугольник ОВD.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6. ВD = 10 – 6 = 4.

Пусть ОН = ОD = х, тогда ВО = 8 – х. По теореме Пифагора имеем уравнение:

Значит, радиус ВО = 3.

4 способ

Проведем ВН (не будем проводить ОD, но точку касания D обозначим).

Из второго способа .

Из ∆АВН по теореме Пифагора .

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6. ВD = 10 – 6 = 4.

По теореме о касательной и секущей ВD² = ВМ ∙ ВН

16 = ВМ ∙ 8

ВМ = 2

МН = 2r = 8 – 2 = 6 r = 3.

Значит, радиус ВО = 3.

5 способ

Проведем ВН и АО. Т.к. центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис, то АО – биссектриса угла А, а значит, и биссектриса треугольника АВН. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

. Пусть ОН = х, тогда ВО = 8 – х. 16х = 48 х = 3.

Значит, радиус ВО = 3.

6 способ

Из ∆АВН: ВD = 4.

Из ∆ОВD: ОD = 3.

Значит, радиус ВО = 3.

Ответ: 3.

Домашнее задание.

Задача на 2 балла

Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если три угла (в последовательном порядке) относятся как 3 : 7 : 5. В ответе укажите больший из них в градусах.

Задача на 4 балла

В равнобедренную трапецию с верхним основанием, равным 2, вписана окружность радиуса 2. Найдите нижнее основание трапеции.

Пожелания и советы учащимся

• Помни и понимай, что подготовка к ОГЭ – это тяжелый труд, где

результат будет прямо пропорционален времени, потраченному на

активную подготовку к экзамену.

• Выполняй как можно больше различных тестов по предмету.

• Тренируйся с секундомером в руках, засекай время выполнения тестов.

• Готовясь к экзаменам, мысленно рисуй себе картину успеха.

Рефлексия

Подведение итогов

Выставление оценок

Литература

1. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. − М. : Просвещение, 2009.

2. Математика. 9 класс. Подготовка к ОГЭ – 2015. Учебно-тренировочные тесты по новой демоверсии / Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова – Ростов-на-Дону: Легион, 2015.

infourok.ru

Некоторые приёмы и методы решения геометричеких задач второй части на ОГЭ

Тема моего выступления «Приёмы и методы решения геометрических задач ОГЭ второй части». Предмету геометрия, по объективным причинам уделяется гораздо меньше времени, чем алгебре, меньше часов отведено по учебному плану. Поэтому учащиеся испытывают трудности при выполнении геометрических заданий. Это задачи повышенной трудности, модуль «Геометрия» №24, №25, №26

Трудности решения геометрических задач обусловлены как объективными, так и субъективными факторами, среди которых можно выделить следующие:

• Неалгоритмичность задач (Каждая задача требует индивидуального поиска решения и индивидуального алгоритма)

• Необходимость выбора метода решения задачи и теоремы для решения конкретной задачи (нескольких теорем) из большого набора известных фактов

• Нужно решить довольно много задач, чтобы научиться их решать. (Чтобы понять принципы решения и подходы, нужно иметь много практики)

Необходимые условия успеха при решении задач по геометрии

• Уверенное владение основными понятиями и их свойствами (определения, аксиомы, теоремы, базовые задачи)

• Знание основных методов и приёмов решения задач

• Умение комбинировать методы и приёмы решения задач

• Наличие опыта решения задач

Причины ошибок в решении геометрических задач

• Незнание и/или непонимание аксиом, определений, теорем

• Неумение их применять

• Невнимательное чтение условия и вопроса задания

• Вычислительные ошибки

• Нарушения логики в рассуждениях

• Принятие ошибочных гипотез

• Недостатки в работе с рисунком

Перейдём к методам решения геометрических задач. Безусловно, методов решения очень много, и чаще всего встречаются комбинации методов.

Некоторые методы решения геометрических задач

• Метод дополнительных построений (часто в задаче требуется что-то достроить – треугольник до параллелограмма или провести перпендикуляры, а потом рассмотреть и исследовать с помощью перпендикуляра дальнейшие свойства

• Метод вспомогательной окружности (Можно считать частным случаем, но очень частоудобно в задаче изобразить вписанную и описанную окружность, и дальше уже использовать её свойства. Например углы, опирающиеся на одну и ту же дугу будут равны, и многие другие свойства)

• Метод подобия (применение свойств подобных треугольников, очень часто выступает в применении с другими способами)

• Метод площадей (для многих фигур, например для треугольника, школьнику должны быть известны разные способы отыскания площадей . Часто найдя площадь по одной формуле можно выразить какую-то величину из другой формулы, и найти требуемый результат)

Также возможно использование векторного способа на плоскости, возможно использование координатного способа. Учащийся не ограничен в выборе метода решения этих задач.

Приступим к рассмотрению задач с развёрнутым ответом. Если коротко резюмировать рекомендации ФИПИ, то:

• Задания, оцениваемые в 2 балла, считаются выполненными верно, если обучающийся выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется первичный балл.

• Нужно нацеливать учащихся на лаконичность и не требовать подробных комментариев и формулировок теорем, при этом в решении должны быть ссылки на теоремы, чтобы показать, что ученик владеет теоретическим материалом.

• Если в решении допущена ошибка непринципиального характера (вычислительная, погрешность в терминологии, или символике и др.), не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и, позволяющая не смотря на её наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл.

(из рекомендаций ФИПИ)

Задача повышенного уровня сложности №24

• 2-3 ходовая задача на вычисление

• Ненамного превышает обязательный уровень

• Проверяет знание основных терминов и теорем

• Проверяет умение записать решение и аргументировать своё мнение

Баллы

Содержание критерия

2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ

1

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но не даны объяснения или допущена одна вычислительная ошибка

0

Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям

2

Максимальный бал

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Опустим перпендикуляры BH и CK на большее основания AD. По условию ∟АDC = 60⁰ тогда ∟АDC = 90⁰ — 60⁰ = 30⁰ .Катет, лежащий напротив в угла в 30⁰ равен половине гипотенузы, тогда KD = CD . Так как по условию, а HK=x, то AH = CD. Треугольники ABH и DCK равны по двум катетам, таким образом, трапеция ABCD — равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH=. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту, имеем:

S = (AB+AD) ^. BH

S = (2+4) =

№24. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6 , BC = 8 . Найдите медиану CK этого треугольника.

Решение: Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, поэтому:

СК = 1/2 ^. АВ = 1/2 = 1/2^. = 5.

Ответ: 5.

Задача №25

Задания на доказательство

Баллы

Содержание критерия

2

Доказательство верное, все шаги обоснованны

1

Доказательство в целом верное, но содержит неточности

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

2

Максимальный бал

№25. В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны KN. Известно, что LE = EM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение:

Треугольники KLЕ и NЕM равны по 3 сторонам.  
угол К равен углу N, но эти углы односторонние, следовательно, K + N = 180⁰ градусов, отсюда углы K = N = 90⁰ , углы K = N = M = L = 90⁰ гр, это означает, что KLMN – прямоугольник.

Задача №26

Баллы

Содержание критерия

2

Ход решения верный, получен верный ответ

1

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена описка или ошибка вычислительного характера

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

2

Максимальный бал

№26. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине . Найди те радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Решение:

Пусть О — центр данной окружности, а Q— центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Точка касания M окружностей делит AC пополам. AQ и AO — биссектрисы смежных углов, значит, угол OAQ — прямой. Из прямоугольного треугольника OAQ получаем: AM² = MQ ^. MO.

Следовательно, QM = `AM² / OM = 36/8 = 4.5 

Ответ: 4,5.

infourok.ru

ОГЭ. Модуль «Геометрия». Тренировочные и тематические тесты. (9 класс)

Вариант 1

1. Дан параллелограмм , внешний угол при вершине равен . Найдите , если — высота.

2. Дан треугольник , внешние углы при вершинах и равны соответственно и . Найдите .

3. Дана равнобокая трапеция , внешний угол при вершине равен . Найдите , если — высота.

4. Дан параллелограмм , внешний угол при вершине равен . Найдите , если — высота.

5. Дан треугольник , внешние углы при вершинах и равны соответственно и . Найдите .

6. Дана равнобокая трапеция , внешний угол при вершине равен . Найдите , если — высота.

Вариант 2

1. В равнобедренном треугольнике внешний угол при вершине равен . Найдите величину . Ответ дайте в градусах.

2. В треугольнике внешний угол при вершине равен . Найдите величину внешнего угла при вершине , если Ответ дайте в градусах.

3. В равнобедренном треугольнике угол равен . Найдите внешний угол при вершине . Ответ дайте в градусах.

4. В равнобедренном треугольнике внешний угол при вершине равен . Найдите величину . Ответ дайте в градусах.

5. В треугольнике внешний угол при вершине равен . Найдите величину внешнего угла при вершине , если . Ответ дайте в градусах.

Вариант 3

1. Дан параллелограмм , внешний угол при вершине равен . Найдите , если — высота.

2. Дан треугольник , внешние углы при вершинах и равны соответственно и . Найдите .

3. Дана равнобокая трапеция , внешний угол при вершине равен . Найдите , если — высота.

4. Дан параллелограмм , внешний угол при вершине равен . Найдите , если — высота.

5. Дан треугольник , внешние углы при вершинах и равны соответственно и . Найдите .

Вариант 4

1. Дан параллелограмм , угол . Найдите внешний угол про вершине , если — высота.

2. Дана равнобокая трапеция , внешний угол при вершине равен . Найдите , если — высота.

3. Дан параллелограмм , угол . Найдите внешний угол про вершине , если — высота.

4. Дан треугольник , внешние углы при вершинах и равны соответственно и . Найдите .

5. Дана равнобокая трапеция , равен . Найдите внешний угол при вершине , если — высота.

infourok.ru

План-конспект урока по геометрии (9 класс) на тему: Решение геометрических задач при подготовке к ОГЭ

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Рахмановская средняя общеобразовательная школа имени Е.Ф.Кошенкова

Решение  геометрических задач при подготовке к ОГЭ.

Урок повторения и коррекции знаний по геометрии  в 9  классе в рамках Дня открытых дверей

Учитель математики Шеварнова Н.А.

с. Рахманово, 2016 год

Тип урока: Урок повторения и коррекции знаний.

Методы:

— частично-поисковый;

— системные обобщения.

Цель урока: повторить знания по теории геометрии, продолжить работу по решению геометрических задач для подготовки к ГИА.

Задачи урока:

• обучающие – повторить знания по теории геометрии, продолжить работу по подготовке к ГИА. Проверка знаний и их коррекция.
• развивающие – развивать внимание, зрительную память, логическое мышление, интуицию, математическую  речь, умение анализировать свои ошибки.
• воспитательные – воспитывать дисциплинированность,   высокую  работоспособность и организованность, чувство патриотизма, умения проводить оценку и самооценку знаний и умений, уважение друг к другу, развивать коммуникативные компетенции.

 

Структура урока.

1°.Организационный  момент.

2°.Повторение теоретического материала (задание № 13).

3°.Актуализация опорных знаний. Работа по готовым чертежам (задание № 9,10, 11)

 Индивидуально-дифференцированная работа (карточки № 1-4)

4°.Физкультминутка.

5°.Работа по готовым чертежам  (продолжение), (модуль № 12)

6°.Решение задач на доске и в тетради, карточка — задания на урок

70. Итог урока. Задание на дом.

Формы организации труда:

— индивидуальная;

— фронтальная;

— индивидуально-дифференцированная.

Оборудование и материалы: компьютер, экран, проектор, слайды, карточки

                                                   

Ход урока

1. Организационный момент.(2 мин.)Я надеюсь, что этот урок пройдёт интересно, с большой пользой для всех. Уверена, что на сегодняшнем уроке вы будете активны, внимательны и получите знания, которые пригодятся вам для успешной сдачи ГИА.

Тема урока: «Решение геометрических задач при подготовке к ГИА» (слайд 1), а девизом урока будут слова Дьёрдь Пойа: «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путём подражания или упражнения» (слайд 2)ГИА по геометрии включает в себя: 1.Задания тестового характера. 2.Задачи на нахождение нужных элементов. 3. Задачи на доказательство  (слайд 3)

Напомню, что в модуле  «Геометрия» нужно решить не менее 2 заданий. Это позволит рассчитывать выпускнику на получение удовлетворительной оценки.

2. Чтобы быть спортсменом нужно не только быть сильным и ловким, но и хорошо знать математику. Начнем с разминки как все спортсмены. Повторим теоретический материал. (слайды 4,5,6) (8мин)  

3. Актуализация опорных знаний. Работа по готовым чертежам  (слайды 7,8,9,11,12) (13мин)    Ответы: №9 – 74; 40; №10 – 4; 117; №11 – 15; 42; №12 – 1,2; .

4. Физкультминутка.

Встаньте. Опишите овал глазами, головой, правым плечом, левым плечом, туловищем, правой ногой, левой ногой.

5. Продолжение решения задач по готовым чертежам (слайд 11, 12)

6. Три группы учащихся выполняют задания по карточкам.  Приложение 1 (Ответы: к1-AC=8; к2 -32°; к3 -28)

7.Решение задач на доске и в тетради (карточки  с заданиями  на урок) (15мин) Приложение 2

— Что является важным при решении задач?

— Знание определений, аксиом,  теорем и свойств геометрических фигур.

Задача

Задача №25

В параллелограмме ABCD точка К – середина ВС. Известно, что АК=КD, Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

Дано: ABCD – параллелограмм

BK=CK

AK=DK

Доказать: ABCD – прямоугольник

Доказательство:

1) треугольник AKD: угол1 равен углу2(как углы при основании равнобедренного треугольника)

2)  угол1 равен углу3, угол2 равен углу4(как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей)

3)  треугольник АКВ равен треугольнику DKC (по двум сторонам и углу между ними)

4) угол В равен углу С(как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей),

5) Сумма односторонних углов равна 180°, следовательно угол В и угол С равны по 90°, то  ABCD – прямоугольник.

Молодцы! Все справились правильно с этими заданиями.

Продолжим двигаться к победе.

Дополнительно:

Задача № 24А

Биссектриса тупого угла B параллелограмма ABCD делит сторону AD в отношении 1:2, считая от вершины A. Найдите сторону AB, если полупериметр параллелограмма равен 40. (Ответ: 10)

                                                                                                                                                                                                                             

Задача № 24Б

Найдите угол ACD, если его сторона СА касается окружности, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116°. (Ответ:26)

6.  Итог урока. Задание на дом (2мин)

Приложение 3

nsportal.ru

как сдать ОГЭ по математике — Учёба.ру

Ольга Евсеева,

преподаватель математики физико-математической школы Института довузовской подготовки

Московского технологического университета (МИРЭА, МИТХТ, МГУПИ)

По вашему мнению, насколько хорошо девятиклассники сейчас знают математику? Насколько сложен для них этот ОГЭ?

Не сказала бы, что школьники не знают математику. Как правило, к нам на занятия приходят ребята с неплохим начальным уровнем, с хорошими навыками выполнения арифметических действий и преобразования выражений, знакомые с методами решения линейных, квадратных уравнений и неравенств — то есть со всем тем, что они должны знать к началу 9 класса. Конечно, глубина знаний и умение ими пользоваться напрямую зависят от количества часов математики в школе: при изучении предмета на базовом уровне это три-четыре часа алгебры и два часа геометрии в неделю, на углубленном уровне — пять-семь часов алгебры и три часа геометрии. Поскольку ОГЭ состоит из двух частей, первая из которых проверяет базовый уровень подготовки, а вторая включает более сложные задания, ребятам, изучающим в школе базовую математику, необходимо выделить дополнительное время для подготовки.

Иногда школьных уроков и самостоятельной работы достаточно, чтобы сдать ОГЭ на хорошо и отлично. В качестве подспорья можно использовать различные сайты и учебную литературу в открытом доступе. Возникающие вопросы можно обсудить на форумах или со школьным учителем. Но занятия на курсах помогают последовательно разобрать темы, систематизировать материал, проверить глубину его усвоения. Ведь после ОГЭ ребят через два года ждет более трудное испытание — ЕГЭ, в котором часть базовых заданий аналогичны заданиям повышенной и высокой сложности из ОГЭ. Девятиклассники впервые сдают экзамен, содержащий так много заданий, и его длительность составляет 3 часа 55 минут. Безусловно, для ребят это непросто.

Расскажите про структуру экзамена и систему начисления баллов. За какие задания на ОГЭ по математике ставится наибольшее количество баллов?

Всего школьникам предлагается 26 заданий. До недавнего времени экзамен состоял из трех частей — «Математика», «Реальная математика» и «Геометрия». С 2018 года раздела «Реальная математика» в ОГЭ больше нет, а его задания распределены между модулями «Алгебра» и «Геометрия».

Ребятам предстоит решить 17 задач по алгебре (14 задач в части 1 и три в части 2) и девять задач по геометрии (шесть задач в части 1 и три в части 2). Задания части 1 требуют краткого ответа в виде числа или последовательности цифр, которые вносятся в бланк ответов № 1. Развернутые решения заданий части 2 и ответы к ним записываются на бланке ответов № 2. За правильный ответ на каждое из заданий № 1-20 ставится 1 балл. Эти задания проверяются автоматически при сканировании бланков. Задания № 21-26 проверяют двое независимых экспертов, хотя при значительном расхождении оценок назначается проверка третьим экспертом. Эти задания могут быть оценены от 0 до 2 баллов. Таким образом, максимально за работу можно получить 32 первичных балла. Пятерка ставится за результат от 22 баллов, четверка — от 15 баллов, тройка — от 8 баллов (из них не менее 4 баллов по алгебре и 2 баллов по геометрии).

Как видите, для положительной оценки достаточно решить лишь восемь задач из части 1, а для пятерки — безошибочно выполнить базовую часть экзамена и только одно из заданий повышенной сложности. Вроде бы задача «сдать ОГЭ на отлично» не кажется такой уж сложной. Однако с заданиями повышенной сложности из части 2 ребятам придется снова столкнуться на ЕГЭ, уже в его базовой части. Например, задание № 22 повышенного уровня сложности — «текстовая задача» — аналогично заданию № 11 из части 1 ЕГЭ. Поэтому, как мне кажется, ребятам уже в 9 классе надо освоить методы и приемы решения заданий из части 2.

По вашему опыту преподавания, какие разделы математики самые сложные для школьников и вызывают наибольшее затруднение? Какие темы самые простые?

В модуле «Алгебра» это, прежде всего, исследование функций и построение их графиков. Задания на эту тему входят и в часть 1, и в часть 2 ОГЭ. В задании № 10 нужно установить соответствие между графиками функции и формулами, которые их задают. Здесь школьники часто ошибаются, пытаясь угадать ответ вместо того, чтобы рассуждать логически. В части 1 можно еще отметить задания на преобразование и вычисление выражений, если там содержатся радикалы: задание № 4, где надо найти значение выражения, и задание № 12, где сначала выражение надо упростить, а потом вычислить. Работать с корнями правильно получается далеко не у всех. Также не всегда ребятам удается справиться с заданием № 13 — «задачей прикладного содержания», где из несложной формулы нужно выразить одну из величин, найти ее значение, а ответ записать в указанных единицах измерения. Сложность здесь как раз заключается в переходе от одной размерности к другой.

В модуле «Геометрия» в части 1 включены задачи, относящиеся к ключевым разделам курса геометрии. И все же, если в задании встречаются такие темы, как «вписанная и описанная окружности», «вписанные углы», «соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», «подобие треугольников», показатель его решаемости падает.

Меньше всего ошибок девятиклассники допускают в заданиях на чтение таблиц и диаграмм, нахождение вероятности случайного события.

Какие есть «подводные камни» в заданиях части 2? На что нужно обратить внимание при подготовке к заданиям повышенной сложности?

Задание № 21	В этом задании необходимо решить уравнение или неравенство, преобразовать алгебраическое выражение. При решении рациональных и дробно-рациональных уравнений, а также уравнений высших степеней необходимо обращать внимание на возможность потери решения (при сокращении на выражение, которое может быть равным нулю) или получение посторонних решений (которые обнуляют знаменатель или обращают исходное уравнение в выражение, не имеющее смысла). При решении неравенств надо помнить, что при умножении неравенства на отрицательное выражение оно меняет знак. Зачастую школьники либо просто не обращают внимание на знак величины, на которую умножают неравенство, либо умножают неравенство на выражение, содержащее переменную.
Задание № 22	Это текстовая задача, как правило, на «движение», «работу», «концентрации растворов» или «смеси и сплавы». Для ее решения необходимо составить уравнение или систему уравнений. Я бы посоветовала ребятам для наглядности обязательно заполнять таблицу, в которую вносятся известные по условию величины, выбранная переменная или переменные, после чего в пустые клетки вписываются соответствующие им величины, выраженные через введенные переменные, и только потом приступать к составлению уравнения (или системы).
Задание № 23	Построение графика функции. Для правильного выполнения этого задания необходимо знать свойства следующих функций: линейная, квадратичная, либо функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость. Также необходимо уметь строить графики этих функций, знать правила преобразования графиков. Очень часто встречаются задания, в которых формулу, задающую исходную функцию, можно преобразовать, после чего она значительно упрощается. Здесь необходимо помнить, что область определения исходной и получившейся функции могут не совпадать.
Задание № 24	Геометрическая задача вычислительного характера. Школьник должен решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания из курса геометрии.
Задание № 25	Геометрическая задача на доказательство с использованием стандартных приемов. Здесь надо обратить внимание на умение математически грамотно и ясно записать решения, приведя все необходимые обоснования и пояснения.
Задание № 26	Для решения этой задачи школьникам нужно владеть широким спектром приемов и способов рассуждений. Здесь возможно потребуются и дополнительные построения, и знание утверждений, не так часто используемых в школьном курсе. Например, теорема об угле между касательной и хордой; теорема о секущих и касательной; свойства высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла; свойства биссектрис, медиан, высот треугольника; теорема Чевы; теорема Менелая.

Что нужно делать школьнику, чтобы подготовиться к экзамену наилучшим образом? Как вы посоветуете им распределить свое время?

На занятиях со школьниками я обычно придерживаюсь следующей стратегии. Во-первых, мы полностью проходим программу 9 класса, начиная с отработки основных навыков и умений по следующим темам: преобразование алгебраических выражений, решение уравнений и неравенств, числовые последовательности, функции, их свойства и графики, элементы статистики и теории вероятностей. Постепенно повышая уровень заданий, мы переходим к решению задач повышенной и высокой сложности и стараемся уделить этим заданиям как можно больше внимания. Не менее трети времени следует посвятить геометрии, и здесь также нужно двигаться «от простого к сложному».

Во-вторых, необходимо готовиться к самому формату ОГЭ, к его структуре. Если ученик хорошо умеет решать задачи, но ни разу не пробовал написать работу в этом формате, ему сложно будет оценить количество затрачиваемого времени на часть 1 и 2. Обязательно нужно научиться правильно распределять свои силы.

Многие девятиклассники не используют предлагаемое на экзамене время полностью, у них просто не хватает усидчивости. Ребята сдают работу раньше, хотя еще остались нерешенными задания повышенной сложности. Зачастую и в заданиях части 1 бывают ошибки по невнимательности, которые сам школьник не смог найти и исправить. На ЕГЭ же складывается обратная ситуация. Выпускники прилежно готовятся к экзамену, считают, что времени мало. Им хочется еще раз проверить свои решения и подумать над заданиями высокой сложности.

Какие источники вы рекомендуете использовать для самостоятельной подготовки к экзамену?

• «Сайт ФИПИ». На нем вы найдете открытый банк заданий ОГЭ.
• Сборник «ОГЭ. Математика 2018. Типовые и тестовые задания». Таких сборников очень много, нужно обращать внимание на гриф «рекомендовано ФИПИ».
• Учебные пособия Центра непрерывного математического образования. Например, сборник «Подготовка к ОГЭ по математике. Методические указания. Разбор задач». На 500 страницах здесь можно найти подробный разбор каждой из 26 задач экзамена и множество вариантов каждой из них для самостоятельного решения.
• «Сайт Alexlarin.net». Здесь каждую неделю выкладывается новый вариант ОГЭ и новый вариант ЕГЭ. Ребятам дается семь дней на размышление. Они могут обсуждать свои решения на специальном форуме. Потом вывешиваются правильные ответы.
• «РешуЕГЭ». На сайте доступен большой банк заданий. Тесты можно составлять самостоятельно, выбирая лишь те темы, над которыми необходимо поработать. Небольшой минус — тесты часто получаются похожими друг на друга.

www.ucheba.ru

Открытый урок в 9 классе «Подготовка к ОГЭ по геометрии»

Урок повторения и коррекции знаний

по геометрии в 9 классе

Решение геометрических задач при

подготовке к ГИА

Учитель математики Евдокимова Наталья Ивановна

п. Красноярский 2014 год

Тип урока: Урок повторения и коррекции знаний.

Методы:

— частично-поисковый;

— системные обобщения;

— самооценка.

Цель урока: Повторить знания по теории геометрии, продолжить работу по решению геометрических задач для подготовки к ГИА.

• обучающие – повторить знания по теории геометрии, продолжить работу по подготовке к ГИА. Проверка знаний и их коррекция.

• развивающие – развивать внимание, зрительную память, логическое мышление, интуицию, математическую речь, умение анализировать свои ошибки.

• воспитательные – воспитывать дисциплинированность, высокую работоспособность и организованность, чувство патриотизма, умения проводить оценку и самооценку знаний и умений, уважение друг к другу, развивать коммуникативные компетенции.

Структура урока.

1°. Организационный момент.

2°. Повторение теоретического материала (модуль № 13).

3°. Актуализация опорных знаний. Работа по готовым чертежам (модуль № 9,10, 11)

Индивидуально-дифференцированная работа (карточки № 1-4)

4°. Физкультминутка.

5°. Работа по готовым чертежам (продолжение), (модуль № 12)

6°. Решение задач на доске и в тетради, карточка — задания на урок

7⁰. Итог урока. Задание на дом.

8°. Рефлексия

Формы организации труда:

— индивидуальная;

— фронтальная;

— индивидуально-дифференцированная.

Необходимое оборудование и материалы:

• ноутбук;

• экран;

• проектор;

• слайды;

• карточки

Ход урока

1. Организационный момент.(2 мин.)

В Сочи прошло яркое масштабное событие – XXII Олимпийские зимние игры. Это был праздник для всей страны.

В Сочи побывало более полумиллиона гостей, тысячи спортсменов, множество журналистов и тренеров. Российская Олимпиада произвела ярчайшее впечатление на наших гостей, они надолго запомнят её. Мы представили себя, нашу культуру и нашу страну так, что весь мир будет говорить о нас на протяжении нескольких десятков лет.

Ребята! У нас тоже сегодня гости, и от того как вы себя покажите на уроке, будет зависеть, запомнят ли они нас и захотят ли ещё к нам приехать.

Я надеюсь, что этот урок пройдёт интересно, с большой пользой для всех. Уверена, что на сегодняшнем уроке вы будете активны, внимательны и получите знания, которые пригодятся вам для успешной сдачи ГИА.

Наш урок посвящен Олимпиаде 2014 и зимним видам спорта.

Тема урока: «Решение геометрических задач при подготовке к ГИА» (слайд 1), а девизом урока будут слова Д. Пойа: «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путём подражания или упражнения» (слайд 2)

ГИА по геометрии включает в себя: 1.Задания тестового характера. 2.Задачи на нахождение нужных элементов. 3. Задачи на доказательство (слайд 3)

Напомню, что в модуле «Геометрия» нужно решить как минимум два задания. Это позволит рассчитывать выпускнику на получение удовлетворительной оценки.

2. Чтобы быть спортсменом нужно не только быть сильным и ловким, но и хорошо знать математику. Начнем с разминки как все спортсмены. Повторим теоретический материал. (слайды 4,5,6) (8мин) Ответы: нет, да, да, да, нет, да, нет, да, нет, да, нет, да, да.

3. Спортсмены в свою очередь тоже готовятся, усиленно тренируются и мечтают о том, чтобы одержать больше побед. А наши с вами победы – это правильно выполненные задания.

Актуализация опорных знаний. Работа по готовым чертежам (слайды 7,8,9,11,12) (13мин) Ответы: №9 – 74; 40; №10 – 4; 117; №11 – 15; 42; №12 – 1,2; .

Четверо учащихся выполняют задания по индивидуально-дифференцированным карточкам. Приложение 1 (Ответы: к1-AC=8; к2— MEF=PEF по трём сторонам, КF –серединный перпендикуляр, по т. каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов отрезка MK=PK; к3 -32°; к4 -28)

4. Физкультминутка. Какая из картинок лишняя? (конькобежец) (слайд 10) (2мин)

Какую геометрическую фигуру описывает конькобежец, пробегая свою дистанцию? (овал)

Встаньте. Опишите овал глазами, головой, правым плечом, левым плечом, туловищем, правой ногой, левой ногой.

5. Продолжение решения задач по готовым чертежам (слайд 11, 12)

6. Решение задач на доске и в тетради (карточки с заданиями на урок) (15мин) Приложение 2

— Что является важным при решении задач?

— Знание определений, аксиом, теорем и свойств геометрических фигур.

Задача

Задача №25

В параллелограмме ABCD точка К – середина ВС. Известно, что АК=КD, Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

Дано: ABCD – параллелограмм

BK=CK

AK=DK

Доказать: ABCD – прямоугольник

Доказательство:

1) треугольник AKD: угол1 равен углу2(как углы при основании равнобедренного треугольника)

2)  угол1 равен углу3, угол2 равен углу4(как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей)

3) треугольник АКВ равен треугольнику DKC (по двум сторонам и углу между ними)

4) угол В равен углу С(как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей),

5) Сумма односторонних углов равна 180°, следовательно угол В и угол С равны по 90°, то ABCD – прямоугольник.

Молодцы! Все справились правильно с этими заданиями.

Продолжим двигаться к победе.

Дополнительно:

Задача № 24А

Биссектриса тупого угла B параллелограмма ABCD делит сторону AD в отношении 1:2, считая от вершины A. Найдите сторону AB, если полупериметр параллелограмма равен 40. (Ответ: 10)

Задача № 24Б

Найдите угол ACD, если его сторона СА касается окружности, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116°. (Ответ:26)

6. Итог урока. Задание на дом (2мин)

Участие в олимпийских играх это достижения спортсменов, а наши достижения это успешная учеба в школе, получение прочных знаний. Это мы сегодня на уроке доказали. Я очень довольна вашей работой.

Для домашнего задания у нас есть Пьедестал Успеха (слайд 13) Приложение 3

7. Рефлексия. На финишной прямой. (слайд 14) (3мин)

infourok.ru

Приёмы и методы решения геометрических задач на ОГЭ

Приёмы и методы решения геометрических задач на ОГЭ.

Слайд 1

Сегодня важнейшей задачей школьного математического образования является привлечение внимания школьников к геометрии, понимание необходимости систематических занятий геометрией, развивающая мышление и пространственные представления. Только такие занятия могут дать необходимое качество математического образования школьников, позволят им не только подготовиться к успешной сдаче экзамена, но и заложат основу для дальнейшей творческой жизни.

Решение почти каждой геометрической задачи – это маленькая исследовательская работа.

Слайд 2

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. В. Произволов.

Слайд 3

Этапы решения геометрических задач.

1. Чтение условия задачи.

2. Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.

3. Краткая запись условия задачи.

4. Перенос данных на чертеж.

5. Анализ данных задачи.

6. Составление цепочки действий.

7. Запись решения задачи.

8. Запись ответа.

Слайд 4

При решении геометрических задач, как правило, учащиеся допускают следующие ошибки:

1. Не внимательное чтение условия задачи.

2. Халатное построение чертежа (от руки, без чертежных инструментов).

3. Неправильный перенос данных задачи на чертеж

4. Неумение проанализировать условие задачи и выявить неизвестные величины, воз- можность нахождения которых вытекает прямо из условия задачи.

5. Неумение применять формулы и теоремы к решению задач.

6. Несоблюдение этапов решения задачи.

Слайд 5

При решении геометрических задач обычно используются три основных метода:

геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рас- суждений из ряда известных теорем;

алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений;

комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других – алгебраическим.

Слайд 6

— алгоритмический метод;

— метод дополнительных построений;

— метод опорного элемента;

— метод треугольника;

— метод подобия;

— метод площадей;

— метод ключевой задачи;

— переформулировка задачи;

— использование анализа и синтеза.

Какой бы путь ни был выбран, успешность его использования зависит, от знания теорем и умения применять их.

Слайд 7

1.Переформулировка задачи.

Две окружности пересекаются в точках A и B, AC и АD – их диаметры. Докажите,

что точки C, D и B лежат на одной прямой.

Переформулируем условие: доказать, что ∠ СBD развернутый.

2. Метод подобия.

Метод подобия применяется в задачах на построение, при доказательстве теорем, а так же в задачах на использование свойств подобных треугольников для определения длин пропорциональных отрезков.

Слайд 8

3. Алгебраический метод.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на

два треугольника с площадью 4 и площадью 16. Найдите длину гипотенузы.

4. Метод опорного элемента является основным методом составления уравнений в геометрических задачах и заключается в следующем: один и тот же элемент (сторона, угол, площадь, радиус, средняя линия и т. д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя разными способами, и полученные выражения приравниваются.

Диагонали ромба относятся как 6:8 . Периметр ромба равен 200 . Найдите высоту ромба.

В задаче площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из

полученного уравнения находится искомая величина. Данный подход еще

называется методом площадей.

Слайд 9

Научить решать учащихся геометрические задачи это значит не только подготовить их к хорошей сдаче экзамена, но и научить их логически мыслить, доказательно отстаивать свою точку зрения, уметь творчески подходить к любому делу.

infourok.ru