Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, чтоa = n · b
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Значит:
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | az | . | |
| bx | by | bz |
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 14 = 28 = 312
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 15 = 210 ≠ 312
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 54 = 108 ≠ 1212
Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий: Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, чтоУсловия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение
| a × b = | i | j | k | = i (aybz — azby) — j (axbz — azbx) + k (axby — aybx) = |
| ax | a y | az | ||
| bx | by | bz |
= i (aynaz — aznay) — j (axnaz — aznax) + k (axnay — aynax) = 0i + 0j + 0k = 0
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | 2 | . | |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны. Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарностиЗначит:
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | = | 3 | . | |
| 4 | 8 | 12 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | ≠ | 3 | . |
| 5 | 10 | 12 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | = | 10 | ≠ | 12 | . |
| 4 | 8 | 12 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Как определить коллинеарность векторов по координатам
В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.
Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.
Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.
Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b → = λ · a → коллинеарен вектору a → , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b → коллинеарен вектору a → , его можно представить в виде λ · a → . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.
Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b → = λ · a → или a → = μ · b → , μ ∈ R
Координатная форма условия коллинеарности векторов
Исходные данные: вектор a → задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты ( a x , a y ) , тогда, согласно полученному выше условию, вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y ) .
По аналогии: если вектор a → задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a = ( a x , a y , a z ) , а вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y , λ · a z ) . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.
- Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y или a x = μ · b x a y = μ · b y
- Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z или a x = μ · b x a y = μ · b y a z = μ · b z
Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.
Если ненулевые векторы a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a → × b → = 0 → . И это также соответствует равенству: i → j → k → a x a y a z b x b y b z = 0 → , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b → = λ · a → и a → = μ · b → , где μ — произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.
Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.
Исходные данные: векторы a → = ( 3 — 2 2 , 1 ) и b → = ( 1 2 + 1 , 2 + 1 ) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.
Решение
Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: b x = λ · a x b y = λ · a y Подставив заданные значения координат, получим: b x = λ · a x ⇔ 1 2 + 1 = λ · ( 3 — 2 2 ) ⇒ λ = 1 ( 2 + 1 ) · ( 3 — 2 2 ) = 1 3 2 — 4 + 3 — 2 2 = 1 2 — 1 b y = λ · a y ⇔ 2 + 1 = 1 2 — 1 · 1 ⇔ ( 2 + 1 ) · ( 2 — 1 ) = 1 ⇔ 1 ≡ 1
Т.е. b → = 1 2 — 1 · a → , следовательно, заданные векторы коллинеарны.
Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Исходные данные: векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( — 3 , 0 , 6 ) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.
Решение
Т.к. b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z ⇔ — 3 = — 3 · 1 0 = — 3 · 0 6 = — 3 · ( — 2 ) , то верным будет равенство: b → = — 3 · a → , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.
Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 1 0 — 2 — 3 0 6 = i → · 0 · 6 + j → · ( — 2 ) · ( — 3 ) + k → · 1 · 0 — k → · 0 · ( — 3 ) — j → · 1 · 6 — i → · ( — 2 ) · 0 = 0 → Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 7 ) и b → = ( p , 3 ) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.
Решение
Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если
b → = λ · a → ⇔ b x = λ · a x b y = λ · a y ⇔ p = λ · 2 3 = λ · 7
тогда λ = 3 7 , а p = λ · 2 ⇔ p = 6 7 .
Ответ: при p = 6 7 заданные векторы коллинеарны.
Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.
Исходные данные: вектор a → = ( 2 , — 6 ) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.
Решение
Ответом может послужить, например, 1 2 · a → = ( 1 , — 3 ) или вектор 3 · a → = ( 6 , — 18 ) .
Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты ( 1 , — 3 ) .
Исходные данные: вектор a → = ( 3 , 4 , — 5 ) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.
Решение
Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a → = a x 2 + b x 2 + c x 2 = 3 2 + 4 2 + ( — 5 ) 2 = 5 2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1 a → · a → = ( 3 5 2 , 4 5 2 , — 1 2 )
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
| рис. 1 |
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Понятие коллинеарности векторов
Чтобы понять, что значит коллинеарные векторы, сперва надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.
Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.
Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.
Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.
Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.
Обозначение: $overline$ — вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.
Иначе одной маленькой буквой: $overline$ (рис. 1).
Рисунок 1. Обозначение векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.
Далее рассмотрим, какие векторы называются коллинеарными.
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой. Кроме того, понятие коллинеарность наблюдается в случается параллельности векторов (рис.2).
Рисунок 2. Коллинеарность векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Также введем определение векторного произведения, которое будет нам необходимо далее.
Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой
Признак коллинеарности через пропорциональность или как определить коллинеарность векторов по координатам
Главное условие коллинеарности векторов: чтобы ненулевые векторы были коллинеарны между собой, необходимо, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны друг другу.
Доказательство.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline<α>$ и $overline<β>$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они коллинеарны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующие равенства
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Так как векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ коллинеарны, то они будут либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Без ограничения общности, будем считать, что они будут сонаправлены, то есть $overline<α>↑↑overline<β>$. Умножим один из этих векторов на действительное, большее нуля, число $r$, так, чтобы длины векторов $roverline<α>$ и $overline<β>$ были равны между собой. По определению умножения векторов на число, получим, что $roverline<α>↑↑overline<β>$. Но тогда, по определению равенства векторов, получим, что $roverline<α>=overline<β>$. Из этого равенства получим, что
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Достаточность: Пусть верны равенства $α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$. Докажем, что векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ будут коллинеарными.
Из данных равенств следует, что $roverline<α>=overline<β>$.
Имеются два случая:
В этом случае, по определению умножения вектора на число, получим, что $roverline<α>↑↓overline<β>$.
В этом случае получим, что $roverline<α>↑↑overline<β>$.
Тогда, в обоих случаях получаем доказательство коллинеарности векторов $overline<α>$ и $overline<β>$.
Ответ: теорема доказана.
Как проверить коллинеарность векторов $(3,-1)$ и $(9,-3)$.
Доказательство.
Разложим второй вектор:
Получаем, что координаты этих векторов пропорциональны друг другу, что, по теореме 1, и доказывает наше утверждение.
Признаки и свойства коллинеарности векторов через их произведение
Чтобы ненулевые векторы были коллинеарны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулевому вектору.
Доказательство.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline<α>$ и $overline<β>$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они коллинеарны друг другу. Тогда нам нужно доказать, что $overline<α>хoverline<β>=overline<0>$.
Так как векторы коллинеарны, то, по теореме 1, верны равенства
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Найдем $overline<α>хoverline<β>$ по формуле
Достаточность: Пусть верно равенство $overline<α>хoverline<β>=overline<0>$, докажем, что векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ коллинеарны.circ$. То есть, чтобы они были коллинеарны, векторы должны лежать на одной или параллельных прямых.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
Условие коллинеарности векторов, когда векторы параллельны, свойства коллинеарных векторов
В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.
Определение 1Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.
Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.
Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b→=λ·a→ коллинеарен вектору a→ , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b→ коллинеарен вектору a→, его можно представить в виде λ·a→. Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.
Определение 2Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b→=λ·a→ или a→=μ·b→, μ∈R
Координатная форма условия коллинеарности векторов
Исходные данные: вектор a→ задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты (ax, ay), тогда, согласно полученному выше условию, вектор b→=λ·a→ имеет координаты (λ·ax, λ·ay).
По аналогии: если вектор a→ задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a=(ax, ay, az) , а вектор b→=λ·a→ имеет координаты (λ·ax, λ·ay, λ·az). Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.
Определение 3- Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: bx=λ·axby=λ·ay или ax=μ·bxay=μ·by
- Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: bx=λ·axby=λ·ay bz=λ·azили ax=μ·bxay=μ·by az=μ·bz
Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.
Если ненулевые векторы a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a→×b→=0→. И это также соответствует равенству: i→j→k→axayazbxbybz=0→, что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b→=λ·a→ и a→=μ·b→ , где μ — произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.
Определение 4Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.
Пример 1Исходные данные: векторы a→=(3-22, 1) и b→=(12+1, 2+1) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.
Решение
Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: bx=λ·axby=λ·ay Подставив заданные значения координат, получим: bx=λ·ax⇔12+1=λ·(3-22)⇒λ=1(2+1)·(3-22)=132-4+3-22=12-1by=λ·ay⇔2+1=12-1·1⇔(2+1)·(2-1)=1 ⇔1≡1
Т.е. b→=12-1·a→, следовательно, заданные векторы коллинеарны.
Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание Пример 2Исходные данные: векторы a→=(1, 0, -2) и b→=(-3, 0, 6) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.
Решение
Т.к. bx=λ·axby=λ·ay bz=λ·az⇔-3=-3·10=-3·06=-3·(-2) , то верным будет равенство: b→=-3·a→ , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.
Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=i→j→k→10-2-306=i→·0·6+j→·(-2)·(-3)+k→·1·0-k→·0·(-3)-j→·1·6-i→·(-2)·0=0→Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Пример 3Исходные данные: векторы a→=(2, 7) и b→=(p, 3) . Необходимо определить, при каком значении pзаданные векторы будут коллинеарны.
Решение
Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если
b→=λ·a→⇔bx=λ·axby=λ·ay⇔p=λ·23=λ·7
тогда λ=37, а p=λ·2⇔p=67 .
Ответ: при p=67 заданные векторы коллинеарны.
Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.
Пример 4Исходные данные: вектор a→=(2, -6) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.
Решение
Ответом может послужить, например, 12·a→=(1, -3) или вектор 3·a→=(6, -18) .
Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты (1, -3).
Пример 5Исходные данные: вектор a→=(3, 4, -5) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.
Решение
Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a→=ax2+bx2+cx2=32+42+(-5)2=52 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1a→·a→=(352, 452,- 12)
Ответ: (352, 452,- 12)
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
вектор коллинеарный
Вы искали вектор коллинеарный? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вектора коллинеарны, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вектор коллинеарный».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вектор коллинеарный,вектора коллинеарны,вектора коллинеарны если,вектора параллельные,векторы коллинеарны,векторы коллинеарны если,векторы коллинеарны когда,векторы лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются,векторы не коллинеарны,векторы параллельные,векторы сонаправлены,доказательство коллинеарности двух векторов,доказать коллинеарность векторов,доказать что векторы коллинеарны,если вектора коллинеарны,если векторы коллинеарны то,знак коллинеарности векторов,знак не коллинеарности,знак сонаправленности в геометрии картинка,значок коллинеарности векторов,как доказать коллинеарность векторов,как доказать коллинеарность векторов по координатам,как доказать коллинеарность двух векторов,как доказать параллельность векторов,как доказать что векторы коллинеарны,как доказать что векторы не коллинеарны,как доказать что векторы параллельны,как доказать что два вектора коллинеарны,как найти коллинеарность векторов,как найти коллинеарный вектор,как определить коллинеарность векторов,как определить коллинеарность векторов по координатам,как определить коллинеарны ли векторы,как определить коллинеарны ли векторы по координатам,как определить коллинеарные векторы,как по координатам определить коллинеарность векторов,как понять коллинеарные векторы,как понять что векторы коллинеарны,как проверить коллинеарность векторов зная их координаты,как узнать коллинеарны ли векторы,как узнать коллинеарны ли векторы по координатам,какие векторы коллинеарны,какие векторы называются коллинеарными дайте определение равных векторов,когда векторы коллинеарны,коллинеарность векторов,коллинеарность векторов как доказать,коллинеарность векторов как найти,коллинеарность векторов как определить,коллинеарность векторов как проверить,коллинеарность векторов по координатам,коллинеарность векторов это,коллинеарность двух ненулевых векторов это,коллинеарны вектора,коллинеарны ли вектора,коллинеарны ли векторы как определить,коллинеарны это,коллинеарные,коллинеарные вектора,коллинеарные векторы,коллинеарные векторы в пространстве,коллинеарные векторы как определить,коллинеарные векторы какие,коллинеарные векторы определение,коллинеарные векторы примеры,коллинеарные векторы рисунок,коллинеарные векторы сонаправленные векторы,коллинеарные ненулевые векторы,коллинеарные нулевые векторы,коллинеарный вектор,коллинеарный вектор это,коллинеарных векторов,коллинеарных векторов координаты,колониальные вектора,колониальный вектор,колониальный вектор это,координаты коллинеарных векторов,не коллинеарны это как,не коллинеарные векторы примеры,неколлинеарны,ненулевые коллинеарные векторы,параллельность векторов,параллельные вектора,при каких значениях векторы коллинеарны,при каких значениях коллинеарны векторы,при каком значении векторы коллинеарны,признак коллинеарности векторов,признак коллинеарности векторов доказательство,примеры коллинеарных векторов,свойство коллинеарных векторов,сонаправленные и противоположно направленные векторы,сонаправленные коллинеарные векторы,сонаправлены векторы,сонаправлены это,сформулируйте определение вектора его длины коллинеарности двух ненулевых,условие коллинеарности,условие коллинеарности векторов,условие коллинеарности векторов в координатах,условие коллинеарности двух векторов,условия коллинеарности,условия коллинеарности векторов,условия коллинеарности двух векторов,формула коллинеарности векторов,что значит векторы коллинеарны,что значит неколлинеарные векторы,что такое коллинеарные вектора,что такое коллинеарные векторы определение,что такое коллинеарный вектор,что такое коллинеарный вектор в геометрии. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вектор коллинеарный. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вектора коллинеарны если).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же вектор коллинеарный Онлайн?
Решить задачу вектор коллинеарный вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Как проверить параллельность векторов
В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.
Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.
Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.
Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b → = λ · a → коллинеарен вектору a → , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b → коллинеарен вектору a → , его можно представить в виде λ · a → . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.
Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b → = λ · a → или a → = μ · b → , μ ∈ R
Координатная форма условия коллинеарности векторов
Исходные данные: вектор a → задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты ( a x , a y ) , тогда, согласно полученному выше условию, вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y ) .
По аналогии: если вектор a → задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a = ( a x , a y , a z ) , а вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y , λ · a z ) . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.
- Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y или a x = μ · b x a y = μ · b y
- Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z или a x = μ · b x a y = μ · b y a z = μ · b z
Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.
Если ненулевые векторы a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a → × b → = 0 → . И это также соответствует равенству: i → j → k → a x a y a z b x b y b z = 0 → , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b → = λ · a → и a → = μ · b → , где μ — произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.
Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.
Исходные данные: векторы a → = ( 3 — 2 2 , 1 ) и b → = ( 1 2 + 1 , 2 + 1 ) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.
Решение
Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: b x = λ · a x b y = λ · a y Подставив заданные значения координат, получим: b x = λ · a x ⇔ 1 2 + 1 = λ · ( 3 — 2 2 ) ⇒ λ = 1 ( 2 + 1 ) · ( 3 — 2 2 ) = 1 3 2 — 4 + 3 — 2 2 = 1 2 — 1 b y = λ · a y ⇔ 2 + 1 = 1 2 — 1 · 1 ⇔ ( 2 + 1 ) · ( 2 — 1 ) = 1 ⇔ 1 ≡ 1
Т.е. b → = 1 2 — 1 · a → , следовательно, заданные векторы коллинеарны.
Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Исходные данные: векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( — 3 , 0 , 6 ) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.
Решение
Т.к. b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z ⇔ — 3 = — 3 · 1 0 = — 3 · 0 6 = — 3 · ( — 2 ) , то верным будет равенство: b → = — 3 · a → , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.
Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 1 0 — 2 — 3 0 6 = i → · 0 · 6 + j → · ( — 2 ) · ( — 3 ) + k → · 1 · 0 — k → · 0 · ( — 3 ) — j → · 1 · 6 — i → · ( — 2 ) · 0 = 0 → Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 7 ) и b → = ( p , 3 ) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.
Решение
Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если
b → = λ · a → ⇔ b x = λ · a x b y = λ · a y ⇔ p = λ · 2 3 = λ · 7
тогда λ = 3 7 , а p = λ · 2 ⇔ p = 6 7 .
Ответ: при p = 6 7 заданные векторы коллинеарны.
Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.
Исходные данные: вектор a → = ( 2 , — 6 ) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.
Решение
Ответом может послужить, например, 1 2 · a → = ( 1 , — 3 ) или вектор 3 · a → = ( 6 , — 18 ) .
Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты ( 1 , — 3 ) .
Исходные данные: вектор a → = ( 3 , 4 , — 5 ) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.
Решение
Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a → = a x 2 + b x 2 + c x 2 = 3 2 + 4 2 + ( — 5 ) 2 = 5 2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1 a → · a → = ( 3 5 2 , 4 5 2 , — 1 2 )
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
| рис. 1 |
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Общие сведения
Вектором называют направленный отрезок, который имеет начало и конец. Обозначают его либо большими буквами, либо маленькими, например, АБ или a. Над буквой ставится знак вектора — стрелка. Любой отрезок характеризуется длиной, которую называют модулем. Если начало и конец прямой совпадают, то такой вектор носит название нулевой и обозначается в виде точки. При этом его модуль будет равняться нулю.
Для равенства векторов необходимо выполнение двух условий:
- модули отрезков должны быть равны;
- сравниваемые отрезки должны быть направлены в одну сторону.
Равные вектора могут быть совмещены параллельным переносом, при этом начало и конец отрезков должны совпадать. Если ограниченные линии не являются равными, но лежат на параллельных прямых, то их называют коллинеарными, то есть, по определению коллинеарных векторов, их направление для определения признака не является важным.
Коллинеарность является одним из признаков сонаправленности, но для выполнения последнего они должны ещё и совпадать по направлению. Наглядным понятием, объясняющим сонаправленность, является прямое движение транспорта или пешехода. Например, если рассматривать две траектории движения как векторы АБ и СД, лежащие на плоскости, при этом их лучи лежат в одной полуплоскости и перпендикулярны её границам, то их можно назвать сонаправленными.
Поэтому параллельные отрезки будут направлены в одну сторону лишь тогда, когда их лучи находятся по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. При этом если векторы коллинеарны, но не сонаправлены, то они будут являться противоположными.
С векторами можно выполнять любые простейшие арифметические операции. При сложении используют правила параллелограмма и треугольника. Пусть есть два отрезка, имеющие общее начало. Для того чтобы найти их сумму, необходимо фигуру достроить до параллелограмма. Диагональ этой фигуры и будет искомой величиной. Когда же конец одного отрезка является началом другого, то, соединив свободные точки, можно получить треугольник. Новая прямая и будет являться вектором суммы. Следует отметить, что эти правила равнозначны друг другу. Вычитание отрезков находится аналогично.
Вектор можно и умножить на число, то есть длина отрезка увеличивается на значение множителя. Если в произведении стоит отрицательное число, то характеристика меняет направление.
Критерии коллинеарности
Теорема критерия коллинеарности представляет собой утверждение, которое сообщает, что если есть два не ортогональных отрезка, одинаковых по длине, a и b, то вектор a может быть выражен через формулу a || b = a = y * b. При этом y обозначает любое произвольное число. Есть и обратное утверждение: если вектор b умножить на число и получится отрезок a, то тогда a и b будут коллинеарными.
Эти два правила тождественны и называются критериями коллинеарности. Для их доказательства нужно знать правило арифметических действий с параллельными и перпендикулярными векторами, а также понимать основной базис. Заключается он в том, что если имеются три отрезка a, b и c, при этом верной является следующая комбинация a || b и a || c, то справедливо утверждать, что b || c.
Для того чтобы доказать свойство a || b = a = y * b, нужно воспользоваться определением коллинеарности. Из него следует, что если a || b, то отрезки могут быть сонаправлены или противоположно направлены. Таким образом, необходимо проверить утверждение для двух случаев:
Если предположения окажутся верными, то можно будет сделать вывод о справедливости записи для других случаев. То есть к любым параллельным отрезкам можно применить равенство a = u * b. Этот критерий занимает важное место в геометрии наряду со свойствами перпендикулярности (ортогональности) прямых.
Сонаправленные вектора
Пусть a и b однонаправленные. Введём число y, равное отношению a на b. Так как длина вектора может быть только положительной, то и y = a /b > 0. Состояние вектора, когда он нулевой, является частным случаем и его можно не рассматривать, так как при этом получится равенство 0 = 0. Если длину b умножить на число, то получится новый вектор. Пусть это будет отрезок c, то есть с = y * b. Учитывая свойство коллинеарности, можно утверждать, что между c и b останется параллельность.
По условию известно, что a || b. Исходя из транзитивности отрезков, можно заключить, что и c || b. Теперь необходимо установить их направление. Изначально a и b направлены в одну сторону. Ведённый множитель больше нуля. Это значит, что после умножения направление вектора не изменится, то есть c будет иметь то же направление что и b. Тогда получается, что a || b и c || b. Отсюда следует, что a || с.
Длина вектора c равняется |c| = |u| * |b|. Вместо u можно подставить a / b. В итоге получится |a| * |b| / |b| = |a|. Таким образом, два условия выполняются, и можно утверждать, что с = a. Получается, что для двух любых однонаправленных векторов будет выполняться правило a = u * b.
Противоположные отрезки
Пусть имеется два отрезка a и b, при этом их направления противоположны друг другу. Можно ввести переменную u, которая будет меньше нуля. Тогда справедливо записать u = — |a| / |b| 0, так как |m| ↑↑ |n|. Отсюда u = 240 / 12 = 20.
Использование онлайн-калькулятора
Решение простых заданий из школьного курса обычно не вызывает сложностей. Но на практике приходится сталкиваться со сложными выражениями. Для их вычисления нужно проявить усидчивость и при этом быть предельно внимательным. Кроме этого, расчёт занимает довольно много времени, а любая, казалось бы, незначительная оплошность, приведёт к неправильному решению.
Поэтому условие коллинеарности векторов удобно проверять на так называемых онлайн-калькуляторах. Это обычно мощные сервисы, основная деятельность которых заключается в предоставлении услуг по автоматизации вычислений. Среди них попадаются и сайты, умеющие вычислять и вектора.
Для того чтобы выполнить на них математические операции, необходимо иметь доступ к интернету и установленный веб-обозреватель. Всё, что требуется от пользователя, это просто зайти на сайт и выбрать раздел, связанный с операциями над векторами. Затем в предложенную форму вести условие задания и запустить расчёт нажатием одной кнопки.
Из множества онлайн-расчётчиков, доступных в секторе рунета, можно выделить следующие:
- SolverBook — это простой на вид сайт, содержащий на своей странице приложение, позволяющее выполнять любые действия над отрезками, а также определять их вид. Кроме непосредственного предоставления ответа, сервис выдаёт пошаговое решение. При этом каждый этап будет детально расписан.
- O nlineMSchool — сайт помогает найти коллинеарные отрезки для любой сложности примеров. На страницах сервиса находится вся необходимая теория и примеры решения заданий. Поэтому даже слабо подготовленный пользователь сможет разобраться во всех нюансах решения нужных ему задач.
- Kontrolnaya-rabota — отличительной его чертой является возможность отправления подробного решения на указанную электронную почту. Сайт умеет работать как с парой векторов, так и попарной системой.
Все указанные сервисы предоставляют доступ к услугам бесплатно и без регистрации. Воспользовавшись онлайн-калькуляторами, даже слабо подготовленный пользователь научится самостоятельно определять коллинеарность. Такие расчётчики будут полезны и учащимся, и инженерам.
Векторы и операции над векторами
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Прежде чем Вы узнаете всё о векторах и операциях над ними, настройтесь на решение несложной задачи. Есть вектор Вашей предприимчивости и вектор Ваших инновационных способностей. Вектор предприимчивости ведёт Вас к Цели 1, а вектор инновационных способностей — к Цели 2. Правила игры таковы, что Вы не можете двигаться сразу по направлениям двух этих векторов и достигнуть сразу двух целей. Векторы взаимодействуют, или, если говорить математическим языком, над векторами производится некоторая операция. Результатом этой операции становится вектор «Результат», который приводит Вас к Цели 3.
А теперь скажите: результатом какой операции над векторами «Предприимчивость» и «Инновационные способности» является вектор «Результат»? Если не можете сказать сразу, не унывайте. По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.
Как мы уже увидели выше, вектор обязательно идёт от некоторой точки A по прямой к некоторой точке B. Следовательно, каждый вектор имеет не только числовое значение — длину, но также физическое и геометрическое — направленность. Из этого выводится первое, самое простое определение вектора. Итак, вектор — это направленный отрезок, идущий от точки A к точке B. Обозначается он так: .
А чтобы приступить к различным операциям с векторами, нам нужно познакомиться с ещё одним определением вектора.
Вектор — это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.
Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.
Все остальные термины — это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.
Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.
Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.
Если A — начало вектора, а B — его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)
Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка
Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.
В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. Мы договоримся рассматривать только свободные векторы.
Умножение вектора на число
Сложение и вычитание векторов
Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.
Пример 1. Упростить выражение:
.
Решение:
,
то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.
Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.
Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат — требуемые в условии задачи векторы:
Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость» и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится операция сложения.
Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения
Как найти длину суммы векторов?
Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:
Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .
Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов«.
А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)».
А где произведения векторов?
Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».
Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:
Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).
Пусть — произвольный вектор (Рис. 5), а и — проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.
Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора .
Проекцией вектора на ось l называется число
,
равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.
Основные свойства проекций вектора на ось:
1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.
3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.
4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:
Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы —
.
Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:
Находим окончательную проекцию суммы векторов:
.
Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.
В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.
С произвольной точкой М пространства свяжем вектор
,
называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:
Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).
Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через
Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz
Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:
(2)
Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.
После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме
(3)
Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.
Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением
.
Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением
,
то есть, координаты векторов пропорциональны.
Пример 6. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?
Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:
.
Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.
Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора
равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах
и выражается равенством
(4)
Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.
Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке
а конец – в точке
(рис.8).
Тогда
Из равенства
следует, что
Отсюда
или в координатной форме
(5)
Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид
(6)
Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам
,
,
.
Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора
или
.
Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть
,
получаем следующее равенство для направляющих косинусов:
.
Пример 7. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).
Решение. Длина вектора равна
Пример 8. Даны точки:
Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.
Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:
Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.
Пример 9. Найти длину вектора и его направляющие косинусы, если .
Решение. Координаты вектора даны:
.
Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:
.
Находим направляющие косинусы:
Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:
или
или
Укажем действия над этими векторами.
1.Сложение:
или, что то же
(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).
2.Вычитание:
или, что то же
,
(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).
3.Умножение вектора на число:
или, что то же
,
(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).
Пример 11. Даны два вектора, заданные координатами:
.
Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .
Решение:
.
Решить задачи на координаты векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как «точки» некоторого абстрактного «n-мерного пространства», а сами числа — как «координаты» этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.
n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде
,
где - i – й элемент (или i – я координата) вектора x.
Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:
Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,
—
n – мерный вектор.
Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:
0 = (0; 0; …; 0).
Введём операции над n-мерными векторами.
Произведением вектора
на действительное число называется вектор
(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).
Зная вектор
можно получить противоположный вектор
Суммой векторов
и
называется вектор
,
(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).
Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж
,
где
—
продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .
Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:
Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:
При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:
Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.
Свойство 1.
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Свойство 5.
Свойство 6.
Поделиться с друзьями
Весь блок «Аналитическая геометрия»
- Векторы
- Плоскость
- Прямая на плоскости
Как определить, являются ли точки коллинеарными в координатной геометрии?
Как доказать, что точки коллинеарны в координатной геометрии?
Определение коллинеарных точек:
- Три или более точки, лежащие на одной прямой, называются коллинеарными точками.
- Рассмотрим прямую линию L в указанной выше декартовой координатной плоскости, образованную осью x и осью y.
- Эта прямая L проходит через три точки A, B и C, координаты которых равны (2, 4), (4, 6) и (6, 8) соответственно.
- {Альтернативно мы можем сказать, что три точки A (2, 4), B (4, 6) и C (6, 8) лежат на одной прямой L}
- Три или более точек, которые лежащие на одной прямой, называются коллинеарными точками.
Как определить, коллинеарны ли три точки ?:
- Есть два метода определения коллинеарности трех точек.
- Один — это метод формулы наклона, а другой — метод площади треугольника.
- Метод формулы наклона для определения коллинеарности точек.
- Три или более точки коллинеарны, если наклон любых двух пар точек одинаков.
- С тремя точками A, B и C могут быть образованы три пары точек: AB, BC и AC.
- Если наклон AB = наклон BC = наклон AC, то A, B и C являются коллинеарными точками.
Пример
Покажите, что три точки A (2, 4), B (4, 6) и C (6, 8) лежат на одной прямой.
Решение:
- Если три точки A (2, 4), B (4, 6) и C (6, 8) коллинеарны, то
- наклонов любых двух пар точек будут равны.
- Теперь примените формулу наклона, чтобы найти наклоны соответствующих пар точек:
- Наклон AB = (6–4) / (4–2) = 1,
- Наклон BC = (8–6) / (6-4) = 1, и
- Наклон AC = (8-4) / (6-2) = 1
- Поскольку наклоны любых двух пар из трех пар точек одинаковы, это доказывает, что A, B и C — коллинеарные точки.
- Площадь треугольника для определения коллинеарности трех точек.
- Три точки коллинеарны, если значение площади треугольника, образованного тремя точками, равно нулю.
- Примените координаты указанных трех точек в формуле площади треугольника. Если результат для площади равен нулю, то данные точки называются коллинеарными.
- Прежде всего, вспомним формулу площади треугольника, образованного тремя точками.
Это
В приведенной выше формуле две вертикальные полосы, окружающие переменные, представляют определитель.
Давайте применим координаты трех вышеуказанных точек A, B и C в приведенной выше формуле определителя для площади треугольника, чтобы проверить, равен ли ответ нулю.
Поскольку результат для площади треугольника равен нулю, следовательно, точки A (2, 4), B (4, 6) и C (6, 8) лежат на одной прямой.
линейная алгебра — Учитывая вектор между точками $ A $ и $ B $, как определить координаты точки $ C $, когда $ AC $ коллинеарен $ AB $ и мы знаем длину из $ AC $?
Допустим, у нас есть вектор $ \ vec {v} $, который определяет химическую связь между двумя атомами, и компоненты которого известны
$$ \ vec {v} = \ begin {bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {bmatrix}
$Давайте определим другой вектор $ \ vec {u} $, который коллинеарен $ \ vec {v} $, который представляет ту же химическую связь, но с другой длиной, и длина которого известна
$$ \ vec {u} = c \ vec {v}
$из
$$ \ lvert \ vec {u} \ rvert = \ sqrt {(cv_1) ^ 2 + (cv_2) ^ 3 + (cv_3) ^ 2}
$Мне удалось вывести следующее соотношение (которое, я полагаю, для тех, кто занимается линейной алгеброй, является хорошо известным качеством коллинеарных векторов)
$$ \ lvert \ vec {u} \ rvert = c \ lvert \ vec {v} \ rvert
$Поскольку величины обоих векторов известны, мы можем легко найти $ c $ (начальное расстояние связи, конечно, известно, и мы можем определять новое расстояние связи по своему усмотрению).
Однако, и, возможно, это тривиально, я хочу получить количество, которое я могу добавить к конкретным координатам атомов в моей молекуле. Скажем, моя система состоит из двух молекул, и я хочу отрегулировать расстояние между этими двумя молекулами, перемещая одну из молекул в направлении, определяемом вектором между одним атомом молекулы 1 и одним атомом молекулы $ 2 $.
Чтобы реализовать это в моем коде, я полагаю, что мне нужно работать с самими координатами (поскольку вектор сам по себе может находиться где угодно в пространстве).Итак, у нас есть три набора координат: атом $ A $, начальный атом $ B $ и конечный атом $ B $
.$$ \ begin {align} A & = (A_x, A_y, A_z) \\ [3 мм] B_i & = (B_ {x, i}, B_ {y, i}, B_ {z, i}) \\ [3 мм] B_f & = (B_ {x, f}, B_ {y, f}, B_ {z, f}) \ end {align}
$Интуитивно я хочу создать набор из трех линейных уравнений, по одному для каждой координаты, но я не уверен, что делать дальше. Кроме того, я как бы хочу использовать результат $ \ lvert \ vec {u} \ rvert = c \ lvert \ vec {v} \ rvert $ (потому что здесь включена коллинеарность……. и потому что я получил это, смеется).
Есть мысли, как решить эту (как мне кажется) простую проблему?
Если я правильно понял ответ Нарлина, у нас должно получиться следующее.
Учитывая единичный вектор
$$ \ vec {w} = \ frac {\ vec {v}} {\ lvert \ vec {v} \ rvert} =
$и
$$ c = \ frac {\ lvert \ vec {u} \ rvert} {\ lvert \ vec {v} \ rvert}
$у нас должно получиться
$$ (B_ {f, x}, B_ {f, y}, B_ {f_z}) = (A_x, A_y, A_z) + \ frac {\ lvert \ vec {u} \ rvert} {\ lvert \ vec {v} \ rvert} \ cdot \ begin {bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \ end {bmatrix}
$Или, если мы разделим координаты на их собственные уравнения
$$ \ begin {align} B_ {f, x} & = A_x + \ frac {\ lvert \ vec {u} \ rvert} {\ lvert \ vec {v} \ rvert} w_1 \\ [3 мм] B_ {f, y} & = A_y + \ frac {\ lvert \ vec {u} \ rvert} {\ lvert \ vec {v} \ rvert} w_2 \\ [3 мм] B_ {f, z} & = A_z + \ frac {\ lvert \ vec {u} \ rvert} {\ lvert \ vec {v} \ rvert} w_3 \ end {align}
$Числовой пример
Определение точек $ A $ и $ B_i $
$$ \ begin {align} A & = (0,0,0) \\ [3мм] B_i & = (0,2,4) \ end {align}
$имеем, что вектор $ \ vec {AB_i} $
$$ \ vec {AB_i} = \ begin {bmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \ end {bmatrix}
$и $ c = 2 $, у нас есть $ \ lvert \ vec {AB_i} \ rvert = 2 \ sqrt {5} $ и $ \ lvert \ vec {AB_f} \ rvert = 4 \ sqrt {5} $.{-1/2} & = \ frac {4} {\ sqrt {5}} \ end {align}
$, что явно неверно. Правильный ответ должен быть $ B_f = (0,4,8) $.
коллинеарных векторов
Условие коллинеарности векторов
Два вектора коллинеарны, если выполнено одно из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует такое число n, чтоа = н · б
Условие коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны , если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 недействительно, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применяется только к трехмерным (пространственным) задачам.
Доказательство условия коллинеарности 3
Пусть есть два коллинеарных вектора a = {a x ; a y ; a z } и b = {na x ; на и ; na z }. Находим их кросс-произведение
| a × b = | i | j | k | = i (a y b z — a z b y ) — j (a x b z — a z b x ) + k (a x b y — a y b x ) = |
| a x | a y | a z | ||
| b x | b y | b z |
= i (a y na z — a z na y ) — j (a x na z — a z na x ) + k (a x na y — a y na x ) = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Примеры задач
Примеры плоских задач
Пример 1.Какой из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?Решение: Поскольку векторы не содержат компонентов, равных нулю, используйте условие коллинеарности 2, которое в случае плоской задачи для векторов a и b будет выглядеть:
означает:
| Векторы a и b коллинеарны, потому что | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Векторы a и с не коллинеарны, потому что | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Векторы с и b не коллинеарны, потому что | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Поскольку компоненты вектора содержат ноль, то, используя условие коллинеарности 1, мы находим число n, для которого:
b = нет.
Для этого находим ненулевую компоненту вектора a, в данном случае это y . Если векторы коллинеарны, то
| n = | b y | = | 6 | = 2 |
| a y | 3 |
Рассчитать значение na:
на = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}Поскольку b = 2a, векторы a и b коллинеарны.
Пример 3. Найти значение n, при котором векторы a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.Решение: Поскольку векторы не содержат компонентов, равных нулю, то используйте условие коллинеарности 2
означает:
Решите это уравнение:
Ответ: векторы a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры пространственных задач
Пример 4. Какой из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?Решение: Поскольку векторы не содержат компонентов, равных нулю, используйте условие коллинеарности 2, которое в случае плоской задачи для векторов a и b будет выглядеть:
| x | = | a y | = | a z | . |
| b x | b y | b z |
Значит:
| Векторы a и b коллинеарны, потому что | 1 | = | 2 | = | 3 | . |
| 4 | 8 | 12 |
| Векторы a и с не коллинеарны, потому что | 1 | = | 2 | ≠ | 3 | . |
| 5 | 10 | 12 |
| Векторы с и b не коллинеарны, потому что | 5 | = | 10 | ≠ | 12 | . |
| 4 | 8 | 12 |
Решение: Поскольку компоненты вектора содержат ноль, то, используя условие коллинеарности 1, мы находим число n, для которого:
b = нет.
Для этого находим ненулевую компоненту вектора a, в данном случае это y . Если векторы коллинеарны, то
| n = | b y | = | 6 | = 2 |
| a y | 3 |
Рассчитать значение na:
на = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}Поскольку b = 2a, векторы a и b коллинеарны.
Пример 6. Найдите значение n и m, при котором векторы a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.Решение: Поскольку векторы не содержат компонентов, равных нулю, то используйте условие коллинеарности 2
| x | = | a y | = | a z | . |
| b x | b y | b z |
Значит:
Из этих соотношений получаем два уравнения:
Решите это уравнение:
Ответ: векторы a и b коллинеарны, когда n = 6 и m = 4.
Коллинеарные точки — 2D | Все коллинеарные точки расположены на одной прямой.
И после перестановки членов во избежание деления на ноль получаем: (x 2 — x 1 ) (y 3 — y 1 ) — (x 3 — x 1 ) (y 2 — y 1 ) = 0 Другой способ проверить, являются ли точки коллинеарными, — это вычислить площадь, образованную точками, если площадь равна нулю, то точки коллинеарны. И после перестановки членов и исключения значения 1/2 получаем условие коллинеарности: x 1 (y 2 — y 3 ) + x 2 (y 3 — y 1 ) + x 3 (y 1 — y 2 ) = 0 | Коллинеарные точки — 3D
Пример: Найдите, если следующие точки лежат на одной прямой. (-1, 0, 2), (1, 1, 4), (3, 2, 6) Согласно векторному кросс-произведению:
Все значения равны 0, поэтому точки коллинеарны (лежат на одной линии). Проверка сторон треугольника: а = 3 б = 6 с = 3 Видно, что неравенство треугольника не выполняется А также площадь A = 0. , следовательно, точки лежат на одной прямой. | Коллинеарные точки — точки, расположенные на одной прямой. Можно применить несколько методов, чтобы определить, являются ли точки коллинеарными 1. Если векторное произведение векторов n 1 и n 2 равно нулю во всех направлениях тогда точки коллинеарны, n 1 и n 2 — векторы, соединяющие одну точку с два других пункта. Это похоже на вычисление площади треугольника путем перекрестного произведения.
И произведение в направлениях x, y и z:
Условие коллинеарности: n 1 × n 2 = 0 (0i + 0j + 0k) . 2. Вычисление сторон треугольника a, b и c по уравнениям: Теперь примените один из следующих методов: неравенство треугольника: a + b> c a + c> b b + c> a , если все неравенства верны, то точки не лежат на одной прямой. Второй метод — вычисление площади по формуле Герона: Если площадь равна 0, то точки лежат на одной прямой (s — половина периметра). |
Учитесь с определением, примерами и практическими вопросами
Согласно евклидовой геометрии, набор точек считается коллинеарным, если все они лежат на одной линии, независимо от того, находятся ли они далеко друг от друга, близко друг к другу или образуют луч, линия или отрезок линии.Термин «коллинеарный» происходит от латинского слова, где «col» означает «вместе», а линейный означает «линия». Таким образом, коллинеарность означает точки, лежащие вместе на одной линии. Коллинеарные точки можно увидеть в нашей повседневной жизни, например, яйца, помещенные в ряд, или числа, напечатанные на линейке, коллинеарны.
Коллинеарность
Согласно свойству коллинеарности три или более трех точек считаются коллинеарными, если все они лежат на одной линии.Термин коллинеарность использовался для обозначения того, что объекты лежат на одной линии или в ряду. Давайте посмотрим на пример, чтобы лучше понять коллинеарность.
Пример:
Рассмотрим следующие три точки: A (−3, −1), B (−1,0) и C (1,1). Если мы построим эти точки на декартовой плоскости, мы обнаружим, что они коллинеарны.
Коллинеарные и неколлинеарные точки
Когда линия проходит через три или более точек, они называются коллинеарными точками.Другими словами, точки, лежащие на прямой, называются коллинеарными точками. На следующем рисунке точки C, B и A лежат на одной прямой, поскольку все они лежат на прямой q. Точки E, B и D также коллинеарны, поскольку они лежат на прямой «p». Если невозможно провести прямую линию через три или более точек, они называются неколлинеарными точками. Точки D, B и A не являются коллинеарными, поскольку нет прямой, проходящей через все эти три точки.
Как определить, коллинеарны ли точки?
Существуют различные методы определения того, являются ли три точки коллинеарными или нет.{2}} \\ & = \ sqrt {20} = \ sqrt {(4 \ times 5)} = 2 \ sqrt {5} \ end {align *} \)
Это означает, что AB + BC = CA, потому что √5 + √5 = 2 √5. Таким образом, доказано, что три точки A, B и C лежат на одной прямой.
Метод уклона
По методу наклона: Если три точки P (\ (x_1 \), \ (y_1 \)), Q (\ (x_2 \), \ (y_2 \)), R (\ (x_3 \), \ ( y_3 \)) коллинеарны, то наклон прямой, образованной точками P (\ (x_1 \), \ (y_1 \)), Q (\ (x_2 \), \ (y_2 \)) и Q (\ ( x_2 \), \ (y_2 \)), R (\ (x_3 \), \ (y_3 \)) будут равны.
Наклон линии QR равен:\ (m_ {1} = \ dfrac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ {3} -x_ {2}} \)
Наклон прямой PQ:
\ (m_ {2} = \ dfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} \)
\ (m_ {1} = m_ {2} \)
\ (\ begin {уравнение}
\ dfrac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ {3} -x_ {2}} = \ dfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}
\ конец {уравнение} \)
Пример: Давайте выясним, являются ли точки P, Q и R коллинеарными или нет, используя метод наклона.
Решение:В этом случае предположим, что (x 1 , y 1 ) = (1, 2), (x 2 , y 2 ) = (2, 3), (x 3 , у 3 ) = (3, 4)
Теперь давайте найдем наклон линии QR после помещения значений в уравнение:
\ (\ begin {align *} m_ {1} & = \ dfrac {y_ {3} -y_ {2}} {x_ {3} -x_ {2}} \\ m_ {1} & = \ dfrac { 4-3} {3-2} \\ m_ {1} & = \ dfrac {1} {1} \\ m_ {1} & = 1 \ end {align *} \)
Наклон линии PQ составляет:\ (\ begin {align *} m_ {2} & = \ dfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} \\ m_ {2} & = \ dfrac { 3-2} {2-1} \\ m_ {2} & = \ dfrac {1} {1} \\ m_ {2} & = 1 \\ m_ {1} & = m_ {2} \ end {align *} \)
Следовательно, данные точки коллинеарны, потому что m 1 = m 2
Метод площади треугольника
Согласно методу площади треугольника, если три точки P (\ (x_1 \), \ (y_1 \)), Q (\ (x_2 \), \ (y_2 \)), R (\ (x_3 \), \ (y_3 \)) коллинеарны, площадь треугольника, образованного всеми тремя точками P (\ (x_1 \), \ (y_1 \)), Q (\ (x_2 \), \ (y_2 \)), и R (\ (x_3 \), \ (y_3 \)) будет равно нулю.
Если три точки лежат на одной прямой, площадь треугольника, образованного тремя точками на декартовой плоскости, равна нулю. Формула площади треугольника с координатами записывается как:\ (\ text {A} = \ frac {1} {2} \ left | \ left (x_ {1} \ left (y_ {2} -y_ {3} \ right) + x_ {2} \ left ( y_ {3} -y_ {1} \ right) + x_ {3} \ left (y_ {1} -y_ {2} \ right) \ right) \ right | = 0 \)
Пример: Проверьте, являются ли точки (−1, −1), (1,1) и (3,3) коллинеарными или нет.Решение: Возьмем (−1, −1) как (\ (x_1 \), \ (y_1 \)), (1,1) как (\ (x_2 \), \ (y_2 \)) и (3,3) как (\ (x_3 \), \ (y_3 \)).
Подставляя эти значения в формулу площади треугольника:
\ (\ text {A} = \ frac {1} {2} \ left | \ left (x_ {1} \ left (y_ {2} -y_ {3} \ right) + x_ {2} \ left ( y_ {3} -y_ {1} \ right) + x_3 \ left (y_ {1} -y_ {2} \ right) \ right) \ right | = 0 \\ A = \ frac {1} {2} \ mid (-1 (1-3)) + 1 (3 — (- 1)) + 3 (-1-1) \ mid = 0 \\ A = \ frac {1} {2} | (2 + 4- 6) | = 0 \\ Площадь = \ frac {1} {2} | 0 | = 0 \\ Площадь = 0 \)
Следовательно, точки лежат на одной прямой.
Связанные темы
Прочтите эти интересные статьи, чтобы узнать больше о коллинеарности и связанных с ней темах.
Важные примечания
Вот список из нескольких моментов, которые следует помнить при изучении коллинеарности:
- Согласно свойству коллинеарности три или более трех точек считаются коллинеарными, если все они лежат на одной линии.
- Когда линия проходит через три или более точек, они называются коллинеарными точками.
- Если невозможно провести прямую линию через три или более точек, они называются неколлинеарными точками.
Коллинеарные точки — значение, решенные примеры и важные часто задаваемые вопросы
В евклидовой геометрии, если две или более двух точек лежат на одной линии близко или далеко друг от друга, то они считаются коллинеарными. которые лежат на прямой.Слово «коллинеарность» — это комбинация двух латинских названий «col» + «linear». «Префикс» со «и слово» линейный «. «Со» указывает на единство, например, «сотрудничать» или «сотрудничать». «Линейный» относится к линии. Вы можете увидеть множество реальных примеров коллинеарности, таких как группа студентов, стоящих по прямой линии, яйца в картонной коробке, стоящие в ряд, рядом друг с другом и т. Д.
[Изображение будет загружено в ближайшее время]
В этой статье давайте изучим определение коллинеарных точек и как найти коллинеарные точки?
Определение коллинеарных точек
В данной плоскости три или более точек, лежащих на одной прямой, называются коллинеарными точками.Две точки всегда находятся на одной прямой. В геометрии коллинеарность набора точек — это свойство точек, лежащих на одной прямой. Набор точек с этим свойством называется коллинеарным. В целом можно сказать, что точки выровнены в линию или в ряд.
[Изображение будет загружено в ближайшее время]
Рассмотрим прямую линию в декартовой плоскости выше, образованную осью x и осью y.
Три точки A (2, 4), B (4, 6) и C (6, 8) лежат на одной прямой L.
Эти три точки называются коллинеарными точками.
Как доказать, что точки коллинеарны?
Существует два метода определения, являются ли три точки коллинеарными или нет:
Метод формулы наклона
Три точки коллинеарны, если наклон любых двух пар точек одинаков.
С тремя точками R, S и T можно сформировать три пары точек: RS, ST и RT.
Если наклон RS = наклон ST = наклон RT, то R, S и T являются коллинеарными точками.
Пример
Докажите, что три точки R (2, 4), S (4, 6) и T (6, 8) коллинеарны.
Решение:
Если три точки R (2, 4), S (4, 6) и T (6, 8) коллинеарны, то наклон любых двух пар точек будет одинаковым.
Используйте формулу наклона, чтобы найти наклоны соответствующих пар точек:
Наклон RS = (6-4) / (4-2) = 1
Наклон ST = (8-6) / (6 — 4) = 1
Наклон RT = (8-4) / (6-2) = 1
Поскольку наклоны любых двух пар из трех пар точек одинаковы, это доказывает, что R, S и T равны коллинеарные точки.
Метод площади треугольника
Три точки коллинеарны, если значение площади треугольника, образованного тремя точками, равно нулю.
Подставьте координаты указанных трех точек в формулу треугольника. Если результат для площади треугольника равен нулю, то данные точки называются коллинеарными.
Формула для площади треугольника, образованного тремя точками:
\ [\ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} x_1-x_2 & x_2-x_3 \\ y_1-y_2 & y_2-y_3 \ end {vmatrix} \]
Давайте подставим координаты трех вышеперечисленных точек R, S и T в формулу определителя, приведенную выше, для площади треугольника, чтобы проверить, равен ли ответ нулю.
\ [\ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} 2 — 4 и 4 — 6 \\ 4 — 6 и 6 — 8 \ end {vmatrix} \] = \ [\ frac {1} {2} \ begin { vmatrix} -2 & -2 \\ -2 & -2 \ end {vmatrix} \] = \ [\ frac {1} {2} (4-4) \] = 0
Поскольку результат для площади треугольника равен нулю, поэтому R (2, 4), S (4, 6) и T (6, 8) являются коллинеарными точками.
Определение неколлинеарных точек
Множество точек, которые не лежат на одной прямой, называются неколлинеарными точками. На рисунке ниже точки X, Y и Z не образуют прямую линию, поэтому они называются неколлинеарными точками на плоскости.
[Изображение будет скоро загружено]
Давайте углубимся, чтобы прояснить концепцию.
Рассмотрим три точки P, Q и R на плоскости. Если мы проведем линию, проходящую через две точки P, Q и R, то есть две возможности
a) Точка R лежит на линии
b) Точка R не лежит на линии
[Изображение будет скоро загружено ]
Если точка R лежит на прямой, то точки P, Q и R лежат на одной прямой и называются коллинеарными точками.
[Изображение будет скоро загружено]
Если точка R не лежит на прямой, то точки P, Q и R не лежат на одной прямой и считаются неколлинеарными точками.
Примеры неколлинеарных точек
Давайте рассмотрим P, Q и R неколлинеарными точками, нарисуйте линии, соединяющие эти точки.
[Изображение будет загружено в ближайшее время]
Количество линий через эти три неколлинеарных точки равно 3 ([Изображение будет загружено в ближайшее время])
Если точки P, Q, R и S не являются коллинеарными, тогда
[Изображение будет загружено в ближайшее время]
Количество линий через эти четыре неколлинеарных точки равно 6 ([Изображение будет загружено в ближайшее время])
Таким образом, в целом мы можем сказать, что количество линий через «n» неколлинеарных точек = \ [\ frac {n (n-1)} {2} \]
Решенные примеры
Пример 1: Определите коллинеарную и неколлинеарную точки по рисунку ниже.
[Изображение будет скоро загружено]
Решение: точки A, B и C лежат на одной прямой. А точки D, E и F не являются коллинеарными точками на плоскости.
Пример 2:
Проверьте, являются ли точки (2, 5) (24, 7) и (12, 4) коллинеарными или нет?
Решение: Используйте формулу наклона для решения этой проблемы.
Пусть точка будет A (2, 5), B (24, 7) и C (12, 4).
Наклон AB = \ [\ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} \] = \ [\ frac {7-5} {10-2} \] = \ [\ frac {2} {8} \] = \ [\ Frac {1} {4} \]
Наклон BC = \ [\ frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} \] = \ [\ frac {4-7} {12- 24} \] = \ [\ frac {-3} {- 12} \] = \ [\ frac {1} {4} \]
Поскольку наклон AB = наклон BC.Можно сказать, что данные точки A (2, 5), B (24, 7) и C (12, 4) лежат на одной прямой.
Пример 3:
При условии, что точки P (8, 1), Q (15, 7) и R (x, 3) коллинеарны. Найдите x.
Решение: поскольку точки P, Q и R лежат на одной прямой, получаем
Наклон PQ = наклон QR
\ [\ frac {7-1} {15-8} \] = \ [\ frac { 3-7} {x-15} \]
\ [\ frac {6} {7} \] = \ [\ frac {-4} {x-15} \]
6 (x-15) = -4 x 7
6x — 90 = -28
6x = -28 + 90
6x = 62
x = 62/6
Microsoft Word — HSN23000
% PDF-1.6 % 1 0 объект > эндобдж 410 0 объект > поток 2007-10-20T15: 29: 43ZPScript5.dll Версия 5.2.22007-10-20T15: 32: 36 + 01: 002007-10-20T15: 32: 36 + 01: 00application / pdf
uP Śn $ M.