Как по координатам определить коллинеарность векторов – Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Содержание

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

a = n · b

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Примеры задач на коллинеарность векторов


Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Значит:

Вектора a и b коллинеарны т.к.   1  =  2 .
4 8
Вектора a и с не коллинеарны т.к.   1  ≠  2 .
5 9
Вектора с и b не коллинеарны т.к.   5  ≠  9 .
4 8
Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

b = na.

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то

n =  by
 = 
6  = 2
ay 3

Найдем значение na:

na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}

Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Значит:

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.


Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

ax  =  ay
 = 
az .
bx by bz

Значит:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 14 = 28 = 312

Вектора a и с не коллинеарны т.к.  15 = 210 ≠ 312

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 54 = 108 ≠ 1212

Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

b = na.

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то

n =  by  =  6  = 2
ay 3

Найдем значение na:

na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}

Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

ax  =  ay  =  az .
bx by bz

Значит:

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

ru.onlinemschool.com

Коллинеарные векторы и условия коллинеарности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектора называются коллинеарными векторами, если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой (рис. 1).

Условия коллинеарности векторов

Два вектора и будут коллинеарны при выполнении любого из следующих условий.

Условие коллинеарности 1. Два вектора и коллинеарны, если существует такое число , что

   

Условие коллинеарности 2. Два вектора и коллинеарны, если отношения их координат равны:

   

ЗАМЕЧАНИЕ

Это условие неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Условие коллинеарности 3. Два вектора коллинеарны и , если их векторное произведение равно нулевому вектору:

   

ЗАМЕЧАНИЕ

Это условие применимо только для векторов, заданных в пространстве.

Примеры решения задач с коллинеарными векторами

ПРИМЕР
Задание Исследовать векторы и на коллинеарность.
Решение Воспользуемся вторым условием коллинеарности. Для заданных векторов оно запишется в виде:

   

Поскольку получили неверное равенство, то делаем вывод, что векторы и неколлинеарные.

Ответ
ПРИМЕР
Задание При каком значении параметра вектора и коллинеарны?
Решение Согласно второму условию коллинеарности, рассматриваемые вектора будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными, то есть

   

Откуда

   

Ответ

ru.solverbook.com

Коллинеарные вектора — это… Что такое Коллинеарные вектора?


Коллинеарные вектора

Два вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется, синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Обозначения

  • Коллинеарные векторы: \vec{a}
  • Сонаправленные векторы: \vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}
  • Противоположно направленные векторы: \vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}

Свойства коллинеарности

Пусть \vec{a},\vec{b},\vec{c} — векторы пространства \mathbb{R}^n. Тогда верны следующие утверждения:

Другие объекты

Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного линейного пространства).

Иногда коллинеарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной прямой.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Коллинеарные векторы
  • Коллинз, Вильям

Смотреть что такое «Коллинеарные вектора» в других словарях:

  • Коллинеарные векторы — Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допустим, но не рекомендуется, синоним «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или… …   Википедия

  • КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ — векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Нулевой вектор коллинеарен всякому вектору. Аналогично,… …   Математическая энциклопедия

  • Коллинеарность — Два коллинеарных противоположно направленных вектора Два ненулевых (не равных 0) вектора называются …   Википедия

  • Вектор — направленный отрезок прямой, или отрезок, один из концов которого называется началом вектора, а другой его концом. Различают: 1) коллинеарные векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых; 2) компланарные векторы, лежащие в одной… …   Начала современного естествознания


dic.academic.ru

Как найти вектор коллинеарный вектору — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

ФОРМУЛА

Для того чтобы вектор \(\ \overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right) \) был коллинеарным вектором \(\ \overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right) \), необходимо, чтобы его соответствующие координаты были пропорциональны, то есть их координаты удовлетворяли условию

\(\ \frac{a_{x}}{b_{x}}=\frac{a_{y}}{b_{y}} \)

Если векторы задаются в пространстве своими координатами: \(\ \overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right), \overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right) \), тогда условие коллинеарности имеет вид:

\(\ \frac{a_{x}}{b_{x}}=\frac{a_{y}}{b_{y}}=\frac{a_{z}}{b_{z}} \)

КОЛЛИНАРНЫЙ ВЕКТОРНЫЙ ПОДХОД

ПРИМЕР

  • Задание: Даны два вектора\(\ \overline{a}=(2 ;-3) \) и \(\ \overline{b}=(-1 ; m) \) При каком значении \(\ m \) эти векторы будут коллинеарными?
  • Решение: Для того чтобы векторы \(\ \overline{a} \quadи\quad \overline{b} \) были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны, то есть они удовлетворяли условию:

    \(\ \frac{a_{x}}{b_{x}}=\frac{a_{y}}{b_{y}} \)

    Подставьте координаты заданных векторов в это равенство и найдите значение \(\ m \):

    \(\ \frac{2}{-1}=\frac{-3}{m} \)

    В пропорции имеем:

    \(\ 2 \cdot m=(-1) \cdot(-3) \Rightarrow 2 \cdot m=3 \Rightarrow m=\frac{3}{2}=1,5 \)

  • Ответ: Векторы \(\ \overline{a} \quadи\quad \overline{b} \) будут будут коллинеарными при \(\ m=1,5 \)

    ПРИМЕР

  • Задание: Два вектора \(\ \overline{a}=(4 ;-m ; 1) \quad{и}\quad \overline{b}=(2 ;-3 ; n) \) даны. При каких значениях \(\ m \quadи\quad n \)векторах \(\ \overline{a} \quad{и}\quad \overline{b} \) будет коллинеарным?
  • Решение: Чтобы векторы \(\ \overline{a} \quad{и}\quad \overline{b} \) были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны, то есть выполнялись следующие равенства:

    \(\ \frac{4}{2}=\frac{-m}{-3}=\frac{1}{n} \)

    А потом по значениям неизвестных параметров \(\ m \quadи\quad n \) определим из равенств

    \(\ \frac{m}{3}=2 \Rightarrow m=6 \)

    \(\ \frac{1}{n}=2 \Rightarrow n=\frac{1}{2}=0,5 \)

  • Ответ: Векторы \(\ \overline{a} \quad{и}\quad \overline{b} \) будут коллинеарными при \(\ m=6 \) и \(\ n=0,5 \)
  • sciterm.ru

    Коллинеарность и ортогональность векторов | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

    Чтобы определить коллинеарность и ортогональность векторов, воспользуемся стандартными действиями с векторами, основанными на использовании тригонометрических функций синуса и косинуса.

    Коллинеарные векторы – это векторы, которые расположены параллельно друг к другу, то есть при наложении дают угол в 0 градусов. Поэтому чтобы проверить коллинеарность векторов, нужно доказать что угол между векторами равен 0, а это проще всего сделать через функцию синуса, так как sin⁡0°=0. В аналитической геометрии синус используется для нахождения векторного произведения двух векторов, которое равно произведению длин векторов на синус угла между ними. Поэтому когда между ними нулевой угол, то синус равен нулю, и все векторное произведение становится равно нулю. Из этого можно сделать и обратный вывод: если векторное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы коллинеарны.
    =[×]=|||| sin⁡α
    =0,=> sin⁡α=0,=> α=0.

    Ортогональные векторы расположены по отношению друг к другу под углом 90 градусов. Для их определения используем функцию косинуса, которая дает 0 именно при угле в 90 градусов. Косинус в аналитической геометрии встречается в вычислении скалярного произведения векторов, поэтому, когда он равен нулю, то и скалярное произведение векторов становится равным нулю. Это равноценно заявлению о том, что если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы – ортогональны.
    =||||cosα
    =0,=>cosα=0,=>α=0

    geleot.ru

    Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

    Условия коллинеарности векторов

    Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий: Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

    a = n · b

    Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

    N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

    N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

    Доказательство третего условия коллинеарности

    Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение

    a × b =  ijk  = i (aybz — azby) — j (axbz — azbx) + k (axby — aybx) = 
     ax  ay  az 
     bx  by  bz 

    = i (aynaz — aznay) — j (axnaz — aznax) + k (axnay — aynax) = 0i + 0j + 0k = 0

    Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

    Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?

    Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

    Значит:

    Вектора a и b коллинеарны т.к.   1  =  2 .
    4 8
    Вектора a и с не коллинеарны т.к.   1  ≠  2 .
    5 9
    Вектора с и b не коллинеарны т.к.   5  ≠  9 .
    4 8
    Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.

    Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

    b = na.

    Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a

    y. Если вектора колинеарны то

    n =  by  =  6  = 2
    ay 3

    Найдем значение na:

    na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}

    Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

    Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.

    Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

    Значит:

    Решим это уравнение:

    Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

    Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

    Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?

    Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

    ax  =  ay  =  az .
    bx by bz

    Значит:

    Вектора a и b коллинеарны т.к.   1  =  2  =  3 .
    4 8 12
    Вектора a и с не коллинеарны т.к.   1  =  2  ≠  3 .
    5 10 12
    Вектора с и b не коллинеарны т.к.   5  =  10  ≠  12 .
    4 8 12
    Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.

    Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

    b = na.

    Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то

    n =  by  =  6  = 2
    ay 3

    Найдем значение na:

    na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}

    Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

    Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.

    Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

    ax  =  ay  =  az .
    bx by bz

    Значит:

    Из этого соотношения получим два уравнения:

    Решим эти уравнения:

    Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

    0oq.ru

    Как понять, что векторы коллинеарны?

    векторы называються колинеарными если находяться в одной прямой, или в параллельных прямых.)

    параллельны и не обязательно равны . могут лежать на одной прямой <img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/babuba/_answers/i-44.jpg» >

    паралельны и идут в одном направлении

    Векторы коллинеарны, значит они лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой.

    Если это надо проверить для пары векторов — можно посчитать их векторное произведение. Оно должно быть равно 0. &gt^.^&lt

    По их координатам. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.

    touch.otvet.mail.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *