КакиС уравнСния Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ – ΠΠ›Π“Π•Π‘Π ΠΠ˜Π§Π•Π‘ΠšΠžΠ• Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π• — это… Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΠ›Π“Π•Π‘Π ΠΠ˜Π§Π•Π‘ΠšΠžΠ• Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π•?

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ основныС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

НапримСр.

НСкоторыС классы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ аналитичСски (срСди алгСбраичСских это Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅, кубичСскиС уравнСния ΠΈ уравнСния Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни), Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ записываСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. АлгСбраичСскиС уравнСния Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй (Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ чСтвСртая) Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС аналитичСского Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚, хотя Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ сводятся ΠΊ уравнСниям Π½ΠΈΠ·ΡˆΠΈΡ… стСпСнСй.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС, Ссли аналитичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ сущСствуСт, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ числСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹.

АлгСбраичСскиС уравнСния

АлгСбраичСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°

Β  Β 

Π³Π΄Π΅ β€” ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ нСизвСстными.

НапримСр.

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ алгСбраичСского уравнСния называСтся ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° .

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚ нСизвСстных называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°

Β  Β 

НапримСр. β€” Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни)

называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Β  Β 

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ β€” пСрСмСнная, β€” ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ коэффициСнт, β€” Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ коэффициСнт, β€” свободный коэффициСнт.

НапримСр.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Ссли ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅.

НапримСр.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ называСтся матСматичСскоС равСнство, внСшний Π²ΠΈΠ΄ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ зависит ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ².

НапримСр.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, содСрТащСС трансцСндСнтныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, называСтся трансцСндСнтным.

НапримСр.

ВрансцСндСнтная функция β€” это аналитичСская функция, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ алгСбраичСской. АлгСбраичСской называСтся элСмСнтарная функция, которая Π² окрСстности ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ области опрСдСлСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нСявно Π·Π°Π΄Π°Π½Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ алгСбраичСского уравнСния.

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ опрСдСляСт связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ) Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ с Π΅Ρ‘ значСниями Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….

НапримСр.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ нСизвСстная функция стоит ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

НапримСр.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ нСизвСстная функция находится ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π».

НапримСр.

РСшСниС уравнСния β€” ВикипСдия

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΈΠ· Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ β€” свободной энциклопСдии

ВСкущая вСрсия страницы ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ»Π°ΡΡŒ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ участниками ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ вСрсии, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ 22 июля 2018; ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ 20 ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΊ. ВСкущая вСрсия страницы ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ»Π°ΡΡŒ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ участниками ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ вСрсии, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ 22 июля 2018; ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ 20 ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΊ.


Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния — это Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΏΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² (чисСл, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈΒ Ρ‚.Β Π΄.), ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… выполняСтся равСнство (выраТСния слСва ΠΈ справа ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ° равСнства становятся эквивалСнтными). ЗначСния нСизвСстных ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… это равСнство достигаСтся, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ

корнями Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ мноТСство всСх Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ) ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚ вовсС (Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ условиям).

НапримСр, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x+y=2xβˆ’1{\displaystyle x+y=2x-1} Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ для нСизвСстного x{\displaystyle x} с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ x=y+1,{\displaystyle x=y+1,} Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x{\displaystyle x} Π½Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y+1{\displaystyle y+1} ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² тоТдСство: (y+1)+y=2(y+1)βˆ’1.{\displaystyle (y+1)+y=2(y+1)-1.} ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ссли ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ нСизвСстной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ y,{\displaystyle y,} Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ y=xβˆ’1{\displaystyle y=x-1}. Π—Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ y{\displaystyle y} Π½Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ xβˆ’1{\displaystyle x-1} ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² тоТдСство: x+(xβˆ’1)=2xβˆ’1.{\displaystyle x+(x-1)=2x-1.} Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅

Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π― | ЭнциклопСдия ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‚

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ

Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π―. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ называСтся матСматичСскоС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ равСнство Π΄Π²ΡƒΡ… алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Если равСнство справСдливо для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ входящих Π² Π½Π΅Π³ΠΎ нСизвСстных, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ называСтся тоТдСством; Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° (

x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) выполняСтся ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x. Для обозначСния тоТдСства часто вмСсто ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° равСнства = ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ”, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ читаСтся «тоТдСствСнно Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ». ВоТдСства ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ записи разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅). Π’ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ…, ΠΊΠ°ΠΊ sin2x + cos2x = 1, Π° Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ взгляд Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ матСматичСскими выраТСниями.

Если ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, содСрТащСС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ x, выполняСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π° Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях x, ΠΊΠ°ΠΊ Π² случаС тоТдСства, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ значСния

x, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ справСдливо. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ значСния x Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ корнями ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ уравнСния. НапримСр, число 5 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния 2x + 7= 17.

УравнСния слуТат ΠΌΠΎΡ‰Π½Ρ‹ΠΌ срСдством Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π’ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ язык ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ позволяСт просто Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ языком, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ слоТными. НСизвСстныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ символами, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ x, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, сформулировав Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° матСматичСском языкС Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π² основном ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ называСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ВИПЫ Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π™

АлгСбраичСскиС уравнСния.

УравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° fn = 0, Π³Π΄Π΅ fn – ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ алгСбраичСскими уравнСниями. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ называСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°

fn = a0 xiyj … vk + a1 xlym … vn + ј + asxpyq … vr,

Π³Π΄Π΅ x, y,…, v – ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, Π° i, j,…, r – ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСнСй (Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа). ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ записываСтся Ρ‚Π°ΠΊ:

f(x) = a0xn + a1xn – 1 +… + an – 1x + an

ΠΈΠ»ΠΈ, Π² частном случаС, 3x4 – x3 + 2x2 + 4x – 1. АлгСбраичСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным называСтся любоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° f(x) = 0. Если a0 β„– 0, Ρ‚ΠΎ n называСтся ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ уравнСния. НапримСр, 2x

+ 3 = 0 – ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни; уравнСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = ax + b ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ прямой. УравнСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π° уравнСния Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни – кубичСскими. АналогичныС названия ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΈ уравнСния Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких стСпСнСй.

ВрансцСндСнтныС уравнСния.

УравнСния, содСрТащиС трансцСндСнтныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ логарифмичСская, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ тригономСтричСская функция, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ трансцСндСнтными. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ уравнСния:

Π³Π΄Π΅ lg – Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎ основанию 10.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.

Π’Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ уравнСния, содСрТащиС ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния оказались ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ срСдством Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹. Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π”Π˜Π€Π€Π•Π Π•ΠΠ¦Π˜ΠΠ›Π¬ΠΠ«Π• Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π―.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.

УравнСния, содСрТащиС Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

f (s) = Ρ‚K (s, t) f (t) dt, Π³Π΄Π΅ f (s) ΠΈ K(s,t) Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹, Π° f (t) трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ.

Π”ΠΈΠΎΡ„Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ уравнСния.

Π”ΠΈΠΎΡ„Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ называСтся алгСбраичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с двумя ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ нСизвСстными с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ищСтся Π² Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числах. НапримСр, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3x – 5y = 1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x = 7, y = 4; Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ ΠΆΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ слуТат Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа Π²ΠΈΠ΄Π° x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

Π Π•Π¨Π•ΠΠ˜Π• ΠΠ›Π“Π•Π‘Π ΠΠ˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π₯ Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π™

Для всСх пСрСчислСнных Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ сущСствуСт. И всС ΠΆΠ΅ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… случаях, особСнно для алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, имССтся достаточно полная тСория ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.

Π­Ρ‚ΠΈ простыС уравнСния Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡ… свСдСния ΠΊ эквивалСнтному ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ нСпосрСдствСнно Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСизвСстного. НапримСр, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

x + 2 = 7 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ свСсти ΠΊ эквивалСнтному ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ x = 5 Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ числа 2 ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ частСй. Π¨Π°Π³ΠΈ, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ свСдСнии простого уравнСния, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, x + 2 = 7, ΠΊ эквивалСнтному, основаны Π½Π° использовании Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… аксиом.

1. Если Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

2. Если ΠΈΠ· Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

3. Если Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

4. Если Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

НапримСр, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2x + 5 = 15, ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ аксиомой 2 ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚Π΅ΠΌ число 5 ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ частСй, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ эквивалСнтноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2x = 10. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ аксиомой 4 ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π° 2, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ свСдСтся ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ x = 5, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ являСтся искомым Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.

РСшСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ax2 + bx + c = 0 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² частном случаС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ алгСбраичСскиС уравнСния.

Π―Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСнСй. Но ΠΈ эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТны ΠΈ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ всСгда ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ касаСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ пятой стСпСни ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‚ΠΎ для Π½ΠΈΡ…, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Н.АбСль Π² 1824, нСльзя ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, которая Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π»Π° Π±Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ коэффициСнты ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ². Π’ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… частных случаях уравнСния Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй удаСтся Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, факторизуя ΠΈΡ… Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚.Π΅. разлагая Π΅Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

НапримСр, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x3 + 1 = 0 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ (

x + 1)(x2 – x + 1) = 0. РСшСния ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, полагая ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ x = –1, , Ρ‚.Π΅. всСго 3 корня.

Если ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ факторизуСтся, Ρ‚ΠΎ слСдуСт Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Ρ‹ Π“ΠΎΡ€Π½Π΅Ρ€ΠΎΠΌ, ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ Π“Ρ€Π΅Ρ„Ρ„Π΅. Однако Π²ΠΎ всСх случаях сущСствуСт твСрдая ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сущСствуСт: алгСбраичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ n-ΠΉ стСпСни ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

БистСмы Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π”Π²Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… уравнСния с двумя нСизвСстными ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

РСшСниС Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ систСмы находится с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

Оно ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл, Ссли Если ΠΆΠ΅ D = 0, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π²Π° случая. (1) По ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚ нуля. Π’ этом случаС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ сущСствуСт; уравнСния нСсовмСстны. ЧислСнный ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ситуации – систСма

(2) Оба опрСдСлитСля Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π’ этом случаС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ просто ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ сущСствуСт бСсконСчноС число Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ тСория рассматриваСт m Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с n ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:

Если m = n ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° (aij) Π½Π΅Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ СдинствСнно ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠšΡ€Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π°:

Π³Π΄Π΅ Aji – алгСбраичСскоС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ элСмСнта aijΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ (aij). Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ r – Ρ€Π°Π½Π³ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ (aij), s – Ρ€Π°Π½Π³ ΠΎΠΊΠ°ΠΉΠΌΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ (aij; bi), которая получаСтся ΠΈΠ· aij присоСдинСниСм столбца ΠΈΠ· чисСл bi. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°: (1) Ссли r = s, Ρ‚ΠΎ сущСствуСт n – r Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ нСзависимых Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ; (2) Ссли r , Ρ‚ΠΎ уравнСния нСсовмСстны ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ сущСствуСт.

Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅? ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π’ курсС школьной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ€Π΅Π±Π΅Π½ΠΎΠΊ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΡΠ»Ρ‹ΡˆΠΈΡ‚ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅». Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ это, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ вмСстС. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ рассмотрим Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ способы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. УравнСния

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с самим понятиСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅? Как гласят ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — это Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ выраТСния, ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ стоит ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ равСнства. Π’ этих выраТСниях ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСрСмСнная? Π­Ρ‚ΠΎ Π°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΡ‚ систСмы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ мСняСт своС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Наглядным ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ:

  • Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡ…Π°;
  • рост Ρ€Π΅Π±Π΅Π½ΠΊΠ°;
  • вСс ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ…, Π°, b, с… ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….

Разновидности

ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π»ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°:

  • Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅;
  • ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅;
  • кубичСскиС;
  • алгСбраичСскиС;
  • трансцСндСнтныС.

Для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ знакомства со всСми Π²ΠΈΠ΄Π°ΠΌΠΈ, рассмотрим ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ знакомятся школьники. Они Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ довольно-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ быстро ΠΈ просто. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅? Π­Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°: Π°Ρ…=с. Π’Π°ΠΊ Π½Π΅ особо понятно, поэтому ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²: 2Ρ…=26; 5Ρ…=40; 1,2Ρ…=6.

Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с уравнСниями

Π Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Для этого Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ всС извСстныС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны, Π° нСизвСстныС Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ: Ρ…=26/2; Ρ…=40/5; Ρ…=6/1,2. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ использовались элСмСнтарныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ: Π°*с=Π΅, ΠΈΠ· этого с=Π΅/Π°; Π°=Π΅/с. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ дСйствиС (Π² нашСм случаС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅) Ρ…=13; Ρ…=8; Ρ…=5. Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ просмотрим Π½Π° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ слоТСниС: Ρ…+3=9; 10Ρ…-5=15. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ пСрСносим Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону: Ρ…=9-3; Ρ…=20/10. ВыполняСм послСднСС дСйствиС: Ρ…=6; Ρ…=2.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π³Π΄Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ: 2Ρ…-2Ρƒ=4. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ части ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ 2Ρƒ, Ρƒ нас получаСтся 2Ρ…-2Ρƒ+2Ρƒ=4-2Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΏΠΎ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠ° равСнства -2Ρƒ ΠΈ +2Ρƒ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΏΡ€ΠΈ этом Ρƒ нас остаСтся: 2Ρ…=4-2Ρƒ. ПослСдним шагом Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: икс Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π²Π° минус ΠΈΠ³Ρ€Π΅ΠΊ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с уравнСниями Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π° папирусах АхмСса. Π’ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Ρ‡: число ΠΈ чСтвСртая Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² суммС 15. Для Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ‹ записываСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: икс плюс ΠΎΠ΄Π½Π° чСтвСртая икс равняСтся пятнадцати. ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, ΠΏΠΎ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Ρƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ…=12. Но эту Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ способом, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ СгипСтским ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ, способом прСдполоТСния. Π’ папирусС ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ Π΅Π΅ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ. Π’ суммС ΠΎΠ½ΠΈ Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° сумму, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΈ, послСдним дСйствиСм Ρ‚Ρ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 12. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΡ‚ΡŒ? Π’Π°ΠΊ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, Π²ΠΎ сколько Ρ€Π°Π· ΠΏΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, мСньшС пяти. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ способом Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π² срСдниС Π²Π΅ΠΊΠ°, ΠΎΠ½ стал Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния

Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ рассмотрСнных Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅. КакиС ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ? ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅? Они ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄ ax2+bx+c=0. Для ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ понятиями ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ.

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ дискриминант ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: b2-4ac. Π•ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° исхода Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

  • дискриминант большС нуля;
  • мСньшС нуля;
  • Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: -b+-ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· дискриминанта Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ коэфициСнт, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 2Π°.

Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρƒ уравнСния Π½Π΅Ρ‚. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ случаС ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: -b/2Π°.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ знакомства: Ρ‚Ρ€ΠΈ икс Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ минус Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ икс минус ΠΏΡΡ‚ΡŒ равняСтся Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ писалось Ρ€Π°Π½Π΅Π΅, ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ дискриминант, Π² нашСм случаС ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 256. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ число большС нуля, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ состоящих ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ дискриминант Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ нахоТдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: икс равняСтся пяти ΠΈ минус ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ.

ΠžΡΠΎΠ±Ρ‹Π΅ случаи Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… уравнСниях

ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° уравнСния

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ значСния Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ (Π°, b ΠΈΠ»ΠΈ с), Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ нСсколько.

Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° возьмСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ: Π΄Π²Π° икс Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ равняСтся Π½ΡƒΠ»ΡŽ, здСсь ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ b ΠΈ с Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, для этого ΠΎΠ±Π΅ части уравнСния Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° Π΄Π²Π°, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: Ρ…2=0. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ…=0.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ случай 16Ρ…2-9=0. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ b=0. РСшим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, свободный коэфициСнт пСрСносим Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ: 16Ρ…2=9, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ: Ρ…2= Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚Ρ‹Ρ…. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ нас Ρ… Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 9/16 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ записываСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: икс равняСтся плюс/минус Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹Ρ….

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°, ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ уравнСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ вовсС Π½Π΅Ρ‚. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: 5Ρ…2+80=0, здСсь b=0. Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ свободный Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠΈΠ΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ сторону, послС этих дСйствий ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: 5Ρ…2=-80, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΡ‚ΡŒ: Ρ…2= минус ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π½Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ. Если любоС число возвСсти Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ. По этому наш ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ: Ρƒ уравнСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚.

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π°

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ уравнСниям ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π²ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, воспользовавшись ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ: Π°(Ρ…-Ρ…1)(Ρ…-Ρ…2). Для этого, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π΅ задания, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ дискриминант.

Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° уравнСния

Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: 3Ρ…2-14Ρ…-5, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅Π»ΠΈ. Находим дискриминант, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΡƒΠΆΠ΅ извСстной Π½Π°ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ, ΠΎΠ½ получаСтся Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 256. Π‘Ρ€Π°Π·Ρƒ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 256 большС нуля, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° корня. Находим ΠΈΡ…, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: Ρ…= ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΈ минус ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡ. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ для разлоТСния Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅Π»ΠΈ: 3(Ρ…-5)(Ρ…+1/3). Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ скобкС ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ стоит Π·Π½Π°ΠΊ минуса, Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ элСмСнтарными знаниями ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π² суммС ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ плюса. Для упрощСния, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ уравнСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ: (Ρ…-5)(Ρ…+1).

УравнСния сводящиСся ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ научимся Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС уравнСния. НачнСм сразу с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°:

(x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0. МоТСм Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ элСмСнты: (x2 – 2x), Π½Π°ΠΌ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ, Π° Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, сразу ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ корня, это Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ вас ΠΏΡƒΠ³Π°Ρ‚ΡŒ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π°. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: Π°2-2Π°-3=0. Наш ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ шаг — это Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ дискриминанта Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ 16, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄Π²Π° корня: минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ. ВспоминаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ, подставляСм эти значСния, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ уравнСния: x2 – 2x=-1; x2 – 2x=3. РСшаСм ΠΈΡ… Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ: Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ минусу ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ. ЗаписываСм ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: плюс/минус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ. Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² порядкС возрастания.

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния

Рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚. Π Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ кубичСских уравнСниях. Они ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ рассмотрим Π΄Π°Π»Π΅Π΅, Π° для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ. Они ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ сущСствуСт Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для нахоТдСния дискриминанта для кубичСского уравнСния.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: 3Ρ…3+4Ρ…2+2Ρ…=0. Как Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ? Для этого ΠΌΡ‹ просто выносим Ρ… Π·Π° скобки: Ρ…(3Ρ…2+4Ρ…+2)=0. ВсС Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ остаСтся ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ — это Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния Π² скобках. Дискриминант ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π² скобках мСньшС нуля, исходя ΠΈΠ· этого, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ: Ρ…=0.

АлгСбра. УравнСния

ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ. БСйчас ΠΌΡ‹ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ рассмотрим алгСбраичСскиС уравнСния. Одно ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅Π»ΠΈ 3Ρ…4+2Ρ…3+8Ρ…2+2Ρ…+5. Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΌ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ способом Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°: (3Ρ…4+3Ρ…2)+(2Ρ…3+2Ρ…)+(5Ρ…2+5). Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 8Ρ…2 ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния ΠΌΡ‹ прСдставили Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы 3Ρ…2 ΠΈ 5Ρ…2. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ выносим ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 3Ρ…2(Ρ…2+1)+2Ρ…(Ρ…2+1)+5(Ρ…2+1). ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ: икс Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ плюс ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, выносим Π΅Π³ΠΎ Π·Π° скобки: (Ρ…2+1)(3Ρ…2+2Ρ…+5). Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π° уравнСния ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ дискриминант.

ВрансцСндСнтныС уравнСния

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ со ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ уравнСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ содСрТат трансцСндСнтныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ логарифмичСскиС, тригономСтричСскиС ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹: 6sin2x+tgx-1=0, Ρ…+5lgx=3 ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Как ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΠ· курса Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Ѐункция

Π—Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ этапом рассмотрим понятиС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ², Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ Π½Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π° ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΌΡƒ строится Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Для этого ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ стоит Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ для построСния, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈ максимума.

Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π’Ρ‹ искали Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ? На нашСм сайтС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° любой матСматичСский вопрос здСсь. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с описаниСм ΠΈ пояснСниями ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с самой слоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ способы ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ домашним Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Π°ΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² Π²ΡƒΠ·. И ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ запрос ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ — Ρƒ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. НапримСр, Β«Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉΒ».

Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ распространСно Π² нашСй ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. Они ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… расчСтах, ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ сооруТСний ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ спортС. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ использовал Π΅Ρ‰Π΅ Π² дрСвности ΠΈ с Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ возрастаСт. Однако сСйчас Π½Π°ΡƒΠΊΠ° Π½Π΅ стоит Π½Π° мСстС ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ»Π°ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ,Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ способы ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,всС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ,всС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ,уравнСния ΠΈ ΠΈΡ… Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ. На этой страницС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой вопрос, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π² окошко ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒΒ» здСсь (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, всС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ).

Π“Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Онлайн?

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π° нашСм сайтС https://pocketteacher.ru. БСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ любой слоТности Π·Π° считанныС сСкунды. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ — это просто ввСсти свои Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ввСсти Π²Π°ΡˆΡƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° нашСм сайтС. А Ссли Ρƒ вас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Ρ‡Π°Ρ‚Π΅ снизу слСва Π½Π° страницС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°.

УравнСния

Π’ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π° равСнств – тоТдСства ΠΈ уравнСния.

ВоТдСство – это равСнство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ выполняСтся ΠΏΡ€ΠΈ всСх (допустимых) значСниях входящих Π² Π½Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ².

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ – это равСнство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ выполняСтся лишь ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… значСниях входящих Π² Π½Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ².

Π‘ΡƒΠΊΠ²Ρ‹, входящиС Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ: ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ всС свои допустимыС значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ коэффициСнтами (ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° – ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ) уравнСния, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅, значСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… трСбуСтся ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ нСизвСстными Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΈΡ… ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ послСдними Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ латинского Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Π° x, y, z, u, v, w, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ ΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ, снабТСнными индСксами.

УравнСния Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚:
ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния
Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
УравнСния, содСрТащиС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ модуля
Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния
ЛогарифмичСскиС уравнСния

БистСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
БистСмы Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
БистСмы Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
БиммСтричСскиС систСмы
Π‘ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ систСмы

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, возникшиС Π² процСссС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΎΠΉ. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Ссли всС прСобразования ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ нас ΠΊ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Однако этого Π½Π΅ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ являлось слСдствиСм ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ, Ρ‚.Π΅. Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ происходила потСря ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π’ этом случаС ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° являСтся элСмСнтом Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ часто Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚ нСобходимости. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° являСтся срСдством контроля ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСний. Иногда ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ этапС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния. ВсС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ этим ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°ΠΌ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ посторонними ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π±Ρ€ΠΎΡˆΠ΅Π½Ρ‹. Однако ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ подстановкой Π² исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

КаТдоС алгСбраичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСгда ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ комплСксноС.

Π’ аналитичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с двумя нСизвСстными интСрпрСтируСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π° плоскости, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ. Одно Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с трСмя нСизвСстными интСрпрСтируСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ повСрхности Π² Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС. ΠŸΡ€ΠΈ этой ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ совпадаСт с Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΎ разыскании Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, повСрхностСй ΠΈ Ρ‚.Π΄. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с большим числом нСизвСстных ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ Π² n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… пространствах.

Π”ΠΎΠ±Ρ€ΠΎ ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ!

УравнСния матСматичСской Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ — Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния с частными ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ родствСнныС уравнСния ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² (ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΎ-Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Ρ‚.Π΄.), ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· физичСских явлСний. Для Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ УравнСния матСматичСской Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½Π° постановка Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ это Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ исслСдовании физичСского явлСния. ΠšΡ€ΡƒΠ³ УравнСния матСматичСской Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ с Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ области примСнСния матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ. ΠŸΡ€ΠΈ систСматизации ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² появляСтся Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ УравнСния матСматичСской Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ уравнСния ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… явлСний; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΈ для Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… свойства Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ наглядноС физичСскоС истолкованиС.

УравнСния химичСскиС — изобраТСния Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ химичСских посрСдством Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² химичСских, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» химичСских, чисСл ΠΈ матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ². На Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ описания химичСских Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π» Π² 1789 А. Π›Π°Π²ΡƒΠ°Π·ΡŒΠ΅, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° сохранСния массы Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ всСобщСС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ УравнСния химичСскиС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² 1-ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ 19 Π².

Β 

ΠΠ›Π“Π•Π‘Π ΠΠ˜Π§Π•Π‘ΠšΠžΠ• Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π• — это… Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΠ›Π“Π•Π‘Π ΠΠ˜Π§Π•Π‘ΠšΠžΠ• Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π•?

— ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° Π³Π΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ n -ΠΉ стСпСни ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… . А. Ρƒ. с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным Π½Π°Π·. ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°:


Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΏ — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π½Π°Π·. коэффициСнтами уравнСния ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ…Π½Π°Π·. нСизвСстным ΠΈ являСтся искомым. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ А. Ρƒ. (1) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ всС Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Если Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π·. ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ уравнСния.

ЗначСния нСизвСстного Ρ…, ΠΊ-Ρ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ (1), Ρ‚. Π΅. ΠΏΡ€ΠΈ подстановкС вмСсто Ρ…ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² тоТдСство, Π½Π°Π·. корнями уравнСния (1), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ корнями ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°

fn(x) = a0xn+ a1xn-1+…+an.(2)

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° связаны с Π΅Π³ΠΎ коэффициСнтами ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° (см. Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°). Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² рассматриваСмой области Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ нСизвСстного.

Для ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° коэффициСнты ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния — числа Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹ (Π½Π°ΠΏΡ€., Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ комплСксныС). РассматриваСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° коэффициСнты ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ — элСмСнты ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ поля. Если Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число (ΠΈΠ»ΠΈ элСмСнт поля) с — ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° fn (Ρ…), Ρ‚ΠΎ согласно Π‘Π΅Π·Ρƒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ fn (Ρ…).дСлится Π½Π° Ρ…- с Π±Π΅Π· остатка. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π“ΠΎΡ€Π½Π΅Ρ€Π° схСмС.

Число (ΠΈΠ»ΠΈ элСмСнт поля) с Π½Π°Π·. k-ΠΊ Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° f(x)(k — Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число), Ссли f(x).дСлится Π½Π° ( Ρ…- с)k, Π½ΠΎ Π½Π΅ дСлится Π½Π° (x-с)k+1. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ кратности 1 Π½Π°Π·. простыми корнями ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ f(x).стСпСни n>0 с коэффициСнтами ΠΈΠ· поля Π ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, считая ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ).

Π’ алгСбраичСски Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни ΠΏΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΏΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ (считая ΠΈΡ… ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ). Π’ частности, это справСдливо для поля комплСксных чисСл.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) стСпСни пс коэффициСнтами ΠΈΠ· поля Π Π½Π°Π·. Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Π , Ссли ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ (2) Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π°Π΄ этим ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ, Ρ‚. Π΅. Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСн Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Π , стСпСни ΠΊ-Ρ€Ρ‹Ρ… мСньшС ΠΏ. Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·. ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈ сам Π½ΡƒΠ»ΡŒ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ, Π½ΠΈ ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ. Бвойство Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Рзависит ΠΎΡ‚ рассматриваСмого поля. Π’Π°ΠΊ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ… 2-2 Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Ρ‚. ΠΊ. ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π» Π±Ρ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл: Ρ… 22=(Ρ…+ Π¦2)( Ρ…- Π¦2) . Аналогично, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ… 2 +1 Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ комплСксных чисСл. Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅, Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ комплСксных чисСл Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ 1-ΠΉ стСпСни, ΠΈ всякий ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Над ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ 1-ΠΉ стСпСни ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ 2-ΠΉ стСпСни, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ (ΠΈ всякий ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ разлагаСтся Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²). Над ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… стСпСнСй, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€., ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΠ΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл устанавливаСтся ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ Π­ΠΉΠ·Π΅Π½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Π°: Ссли для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° (2) стСпСни с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами сущСствуСт простоС число Ρ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Π½Π΅ дСлится Π½Π° Ρ€, всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты дСлятся Π½Π° , Π° свободный Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅ дСлится Π½Π° Ρ‚ΠΎ этот ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅-Π½Ρ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π  — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅. Для любого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° стСпСни Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Π , сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ поля Π , Π² ΠΊ-Ρ€ΠΎΠΌ содСрТится хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, сущСствуСт ΠΏΠΎΠ»Π΅ разлоТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ‚. Π΅. Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ поля Π , Π² ΠΊ-Ρ€ΠΎΠΌ этот ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ алгСбраичСски Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Β 

Π Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ…. ВсякоС А. Ρƒ. стСпСни, Π½Π΅ прСвосходящСй 4, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ…. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, приводящихся ΠΊ частным Π²ΠΈΠ΄Π°ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ 2-ΠΉ ΠΈ 3-ΠΉ стСпСнСй, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ Π² Π΄Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΌ Π’Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠ½Π΅ (2000 Π»Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎ Π½. э.) (см. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅). ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π½ΠΎ Π² ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Π”ΠΈΠΎΡ„Π°Π½Ρ‚Π° «АрифмСтика» (3 Π². Π½. э.). РСшСниС Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 3-Π™ Π» 4-Π™ стСпСнСн с Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π² 16 Π². (см. ΠšΠ°Ρ€Π΄Π°Π½ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, Π€Π΅Ρ€Ρ€Π°Ρ€ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄). Π’ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ 300 Π»Π΅Ρ‚ послС этого дСлались Π±Π΅Π·ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами 5-ΠΉ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких стСпСнСй. НаконСц, Π² 1826 Н. АбСль (N. Abel) Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

БоврСмСнная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ АбСля: ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ (1) Π§ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни 010119-1.jpgс Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами 010119-2.jpgΠ§ любоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΈ Π Π§ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ 010119-3.jpgс коэффициСнтами ΠΈΠ· К; Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния (1) (Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² Π½Π΅ΠΊ-Ρ€ΠΎΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠΈ поля Π ) нСльзя Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· коэффициСнты этого уравнСния ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа дСйствий слоТСния, вычитания, умноТСния, дСлСния (ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… смысл Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π ) ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² корня (ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… смысл Π² Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠΈ поля Π ). Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни n>4 Π½Π΅Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ… (см. [3], с. 226).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° АбСля Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ А. Ρƒ. с Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числовыми коэффициСнтами (ΠΈΠ»ΠΈ коэффициСнтами ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля) Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ…. УравнСния любой стСпСни ΠΏΠ½Π΅ΠΊ-Ρ€Ρ‹Ρ… частных Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ… (Π½Π°ΠΏΡ€., Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния). ПолноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ вопроса ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… условиях А. Ρƒ. Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ…, Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠΊ. 1830 Π­. Π“Π°Π»ΡƒΠ° (Π•. Galois).

Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π“Π°Π»ΡƒΠ° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ А. Ρƒ. Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ… формулируСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ 010119-4.jpgΠ§ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с коэффициСнтами ΠΈΠ· поля K, Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ Π½Π°Π΄ K; Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°: 1) Ссли хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ уравнСния 010119-5.jpgвыраТаСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ… Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· коэффициСнты этого уравнСния, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² Π½Π΅ дСлятся Π½Π° характСристику ноля K, Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° Π“Π°Π»ΡƒΠ° этого уравнСния Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ ΠšΡ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠ°; 2) ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ, Ссли Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° Π“Π°Π»ΡƒΠ° уравнСния f(x) = Q Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ ΠšΡ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠ°, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ характСристика поля K ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈΠ»ΠΈ большС всСх порядков ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² этой Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, Ρ‚ΠΎ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ… Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ коэффициСнты, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ всС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² 010119-6.jpg Π§ простыС числа, Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ этим Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния 010119-7.jpg Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ Π½Π°Π΄ полями, ΠΊ ΠΊ-Ρ€Ρ‹ΠΌ эти Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ.

Π­. Π“Π°Π»ΡƒΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» эту Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ для случая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° К Π§ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл; ΠΏΡ€ΠΈ этом всС условия Π½Π° характСристику поля K, содСрТащиСся Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, становятся Π½Π΅Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° АбСля являСтся слСдствиСм Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π“Π°Π»ΡƒΠ°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° Π“Π°Π»ΡƒΠ° уравнСния стСпСни пс Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Π Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ коэффициСнтов уравнСния с коэффициСнтами ΠΈΠ· любого поля КЧ симмСтрич. Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° 010119-8.jpgΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ 010119-9.jpg Π½Π΅Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠ°. Для любого 010119-10.jpgΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ уравнСния стСпСни пс Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ (ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ) коэффициСнтами, Π½Π΅Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΡ‹Π΅ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ…. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ уравнСния для 010119-11.jpgΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 010119-12.jpg , Π³Π΄Π΅ Ρ€Π§ простоС число. Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π“Π°Π»ΡƒΠ° примСняСтся ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ свСдСния Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ А. Ρƒ. ΠΊ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простых ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°Π·. Ρ€Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

Π Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ… тСсно связана с вопросом ΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡. построСниях с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ циркуля ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ, Π² частности Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ окруТности Π½Π° n Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… частСй (см. ДСлСния ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ).

АлгСбраичСскиС уравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным с числовыми коэффициСнтами. Для отыскания ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ А. Ρƒ. с коэффициСнтами ΠΈΠ· поля Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ комплСксных чисСл стСпСни Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ 2-ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСний (Π½Π°ΠΏΡ€., ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ» ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄). ΠŸΡ€ΠΈ этом ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ сначала ΠΎΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Число с являСтся k-ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 010119-13.jpgΡ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎ порядка kΠ§1 Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ 010119-14.jpg. Если Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ 010119-15.jpgΠ½Π° наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 010119-16.jpg этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ получится ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 010119-17.jpg, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ кратности. МоТно Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π² качСствС простых ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 010119-18.jpg ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ кратности. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π³ΠΎ дискриминант Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Часто Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ опрСдСлСния Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ† ΠΈ числа ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π—Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ всСх ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ (ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ комплСксных) А. Ρƒ. (1) с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌΠΈ комплСксными коэффициСнтами ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ число 010119-19.jpg

Π’ случаС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄. К ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ сводится ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ† ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Для опрСдСлСния числа Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ всСго ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ. Если извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ (ΠΊΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€., для характСристич. ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ симмСтрич. ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹), Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ число ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Рассматривая ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 010119-20.jpg, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этой ΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ 010119-21.jpg. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ число Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (Π² частности, число всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ) ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Π¨Ρ‚ΡƒΡ€ΠΌΠ° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° являСтся частным случаСм Π‘ΡŽΠ΄Π°Π½Π° Π§ Π€ΡƒΡ€ΡŒΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ свСрху числа Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² Π½Π΅ΠΊ-Ρ€ΠΎΠΌ фиксированном ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

Иногда ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ΡΡ разысканиСм ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°, Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€., ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ достаточноС условиС для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния (с комплСксными коэффициСнтами) ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ части (см. Рауса Π§ Π“ΡƒΡ€Π²ΠΈΡ†Π° ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ).

Для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами сущСствуСт ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ вычислСния всСх Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 010119-22.jpgс Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 010119-23.jpgс Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ ΠΈΠ· 010119-24.jpg ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ всСх Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ коэффициСнтов 010119-25.jpg Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 010119-26.jpg010119-27.jpg с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅ нСсократимыС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° 010119-28.jpg , Ρƒ ΠΊ-Ρ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π§ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ числа 010119-29.jpg, Π° 010119-30.jpgΠ§ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ числа 010119-31.jpg (ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅ ΠΈΠ· этих Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, для ΠΊ-Ρ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ любом Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ 010119-32.jpgчисло 010119-33.jpgдСлится Π½Π° 010119-34.jpg).

Если 010119-35.jpg, Ρ‚ΠΎ всС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 010119-36.jpg (Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ) Π§ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ дСлитСлями свободного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

БистСмы алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. О систСмах А. Ρƒ. 1-ΠΉ стСпСни см. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

БистСму Π΄Π²ΡƒΡ… А. Ρƒ. Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… стСпСнСй с двумя нСизвСстными Ρ… ΠΈ Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

010119-37.jpg

Π³Π΄Π΅ 010119-38.jpgΠ§ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ нСизвСстного Ρ….

Если Ρ…ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊ-Ρ€ΠΎΠ΅ числовоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, получится систСма Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ нСизвСстного ус постоянными коэффициСнтами 010119-39.jpg. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚ΠΎΠΌ этой систСмы Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ:

010119-40.jpg

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: число 010119-41.jpgΡ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° 010119-42.jpg, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ 010119-43.jpg ΠΈ 010119-44.jpg ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 010119-45.jpg, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π° ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… коэффициСнта 010119-46.jpg ΠΈ 010119-47.jpgΡ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСмы (3) Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° 010119-48.jpg, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· этих ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π² систСму (3) ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этих Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным Ρƒ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² 010119-49.jpg ΠΈ 010119-50.jpg ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² систСму (3) ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным ΡƒΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы Π΄Π²ΡƒΡ… А. Ρƒ. с двумя нСизвСстными сводится ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным (ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ нСизвСстным ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями ΠΈΡ… наибольшСго ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ дСлитСля).

Аналогично рассмотрСнному ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ систСма любого числа А. Ρƒ. с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ числом нСизвСстных. Π­Ρ‚Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠΌ вычислСниям. Она связана с Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·. ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ.

Π›ΠΈΡ‚.:[1] ΠšΡƒΡ€ΠΎΡˆ А. Π“., ΠšΡƒΡ€Ρ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, 10 ΠΈΠ·Π΄., М., 1971; [2] Π‘ΡƒΡˆΠΊΠ΅Π²ΠΈΡ‡ А. К., ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, 4 ΠΈΠ·Π΄., М. Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°, ΠΏΠ΅Ρ€. с Π½Π΅ΠΌ., Ρ‡. 1Π§2, 2 ΠΈΠ·Π΄., М.

И. Π’. ΠŸΡ€ΠΎΡΠΊΡƒΡ€ΡΠΊΠΎΠ².

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энциклопСдия. β€” М.: БовСтская энциклопСдия. И. М. Π’ΠΈΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Π΄ΠΎΠ². 1977β€”1985.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *