Как понять математику с нуля: Разряды для начинающих

Содержание

НОД и НОК

Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

12 : 4 = 3

(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9  : 3 = 3

Значит НОД (12 и 9) = 3


Второй способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18

Сначала разложим оба числа на простые множители:

Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

2 × 3 = 6

Значит НОД (24 и 18) = 6


Третий способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.

В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:

Получили два разложения:  и 

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

28 : 4 = 7

16 : 4 = 4

 НОД (28 и 16) = 4


Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Раскладываем на множители число 40

Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

100 : 20 = 5

40 : 20 = 2

 НОД (100 и 40) = 20.


Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Раскладываем на множители число 128

Получили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

72 : 8 = 9

128 : 8 = 16

 НОД (72 и 128) = 8


Нахождение НОД для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например, найдём НОД для чисел 18,  24  и  36

Разложим на множители число 18

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Получили три разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

18 : 6 = 3

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

 НОД (18, 24 и 36) = 6


Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.

Разложим на множители число 12

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

 

Разложим на множители число 42

Получили четыре разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

12 : 6 = 2

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

42 : 6 = 7

 НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6


Наименьшее общее кратное

Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.

Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

 

Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.

Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36


Второй способ нахождения НОК

Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.

Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.

Разложим на множители число 9

Разложим на множители число 12

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.

Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12


Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180

Разложим на множители число 50

Разложим на множители число 180

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:

900 : 50 = 18

900 : 180 = 5

НОК (50 и 180) = 900


Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33

Разложим на множители число 8

Разложим на множители число 15

Разложим на множители число 33

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:

1320 : 8 = 165

1320 : 15 = 88

1320 : 33 = 40

НОК (8, 15 и 33) = 1320


Третий способ нахождения НОК

Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.

Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.

К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:

Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.

Итак, перемножим числа 24 и 12

Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12

Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24

НОК (24 и 12) = 24


Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48

Найдем НОД чисел 36 и 48

Перемножим числа 36 и 48

Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48

Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144

НОК (36 и 48) = 144

Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144

Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите НОД чисел 12 и 16

Решение:

Задание 2. Найдите НОК чисел 12 и 16

Решение:

Задание 3. Найдите НОД чисел 40 и 32

Решение:

Задание 4. Найдите НОК чисел 40 и 32

Решение:

Задание 5. Найдите НОД чисел 54 и 86

Решение:

Задание 6. Найдите НОК чисел 54 и 86

Решение:

Задание 7. Найдите НОД чисел 98 и 35

Решение:

Задание 8. Найдите НОК чисел 98 и 35

Решение:

Задание 9. Найдите НОД чисел 112 и 82

Решение:

Задание 10. Найдите НОК чисел 112 и 82

Решение:

Задание 11. Найдите НОД чисел 24, 48, 64

Решение:

Задание 12. Найдите НОК чисел 24, 48, 64

Решение:

Задание 13. Найдите НОД чисел 18, 48, 96

Решение:

Задание 14. Найдите НОК чисел 18, 48, 96

Решение:

Задание 15. Найдите НОД чисел 28, 24, 76

Решение:

Задание 16. Найдите НОК чисел 28, 24, 76

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Дроби

Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.

Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.

Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.

А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.

Что такое дробь?

Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.

Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.

Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.

Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:

Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:

А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:

Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.

Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.

Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.

В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.

Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?

Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):

Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».

Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.

Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?

Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».

Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:

Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:

Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?

Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».

Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.

Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.

Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.

На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.

Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.

С помощью переменных дробь можно записать так:

где a — это числитель, b — знаменатель.

Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:

Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.

С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:

Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.

Теперь возьмём к примеру неправильную дробь  и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.

Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:

Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.

Допустим, мы хотим съестьпиццы.  В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.


Дробь означает деление

Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.

Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:

Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:

Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».


Выделение целой части дроби

Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.

Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?

Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:

Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.

Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:

Схематически это выглядит так:

Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.

В нашем примере мы выделили целую часть дроби  и получили новую дробь .  Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.

В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это

Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.

Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:

Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:

После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.

В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.

Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.

Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби 

Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:

Получили:


Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается

Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.

Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:

2 × 3 = 6

Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:

6 + 1 = 7

Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:

Подробное решение выглядит так:

А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:


Пример 2. Перевести смешанное число в неправильную дробь.

Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:


Основное свойство дроби

Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.

Например, рассмотрим дробь .  Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь .  Если верить основному свойству дроби, то дроби   и  равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь  (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями и  можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.

Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби  и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим,  нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь  (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями  и  можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.

Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!


Сокращение дробей

Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .

Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.

Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.

Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.

Пример 1. Сократить дробь

Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.

В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби  надо разделить на 2

В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.

На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.


Пример 2. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.

НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20


Пример 3. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.

НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4

Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:

Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.


Второй способ сокращения дроби

Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.

К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4

Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ . Получится следующее выражение:

Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.

Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:

Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:

Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36

Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.

Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:

Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби  на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.

Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:

Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:

Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.

Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.

 Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .

Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.

Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:

Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:

Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:

Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части

Задание 10. Сократите следующую дробь на 3

Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом

Задание 12. Сократите следующую дробь на 5

Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом

Задание 14. Сократите следующие дроби:

Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:

Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Разряды для начинающих

Наш первый урок назывался числа. Мы рассмотрели лишь малую часть этой темы. На самом деле тема чисел достаточно обширна. В ней много тонкостей и нюансов, много хитростей и интересных фишек.

Сегодня мы продолжим тему чисел, но опять же не будем рассматривать её всю, чтобы не затруднять обучение лишней информацией, которая на первых порах не особо то и нужна. Мы поговорим о разрядах.

Что такое разряд?

Если говорить простым языком, то разряд это позиция цифры в числе или место, где располагается цифра. Возьмём для примера число 635. Это число состоит из трёх цифр: 6, 3 и 5.

Разряды надо читать справа налево. В числе 635 на первой позиции располагается цифра 5, на второй позиции – цифра 3, на третьей позиции – цифра 6.

Позиция, где располагается цифра 5, называется разрядом единиц

Позиция, где располагается цифра 3, называется разрядом десятков

Позиция, где располагается цифра 6, называется разрядом сотен

Каждый из нас слышал со школы такие вещи как «единицы», «десятки», «сотни». Разряды помимо того, что играют роль позиции цифры в числе, сообщают нам некоторую информацию о самом числе. В частности, разряды сообщают нам вес числа. Они сообщают сколько в числе единиц, сколько десятков и сколько сотен.

Вернёмся к нашему числу 635. В разряде единиц располагается пятёрка. О чём это говорит? А говорит это о том, что разряд единиц содержит пять единичек. Выглядит это так:

В разряде десятков располагается тройка. Это говорит о том, что разряд десятков содержит три десятка. Выглядит это так:

В разряде сотен располагается шестёрка. Это говорит о том, что в разряде сотен располагаются шесть сотен. Выглядит это так:

Если сложить число получившихся единиц, число десятков и число сотен, то получим наше изначальное число 635

Существуют и более старшие разряды такие как разряд тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч,  разряд миллионов и так далее. Такие большие числа мы будем рассматривать редко, но тем не менее о них тоже желательно знать.

Например, в числе 1 645 832 разряд единиц содержит 2 единицы, разряд десятков — 3 десятка, разряд сотен — 8 сотен, разряд тысяч — 5 тысяч, разряд десятков тысяч — 4 десятка тысяч, разряд сотен тысяч — 6 сотен тысяч, разряд миллионов — 1 миллион.

На первых этапах изучения разрядов желательно разбираться сколько единиц, десятков, сотен содержит то или иное число. К примеру, число 9 содержит 9 единиц. Число 12 содержит две единицы и один десяток. Число 123 содержит три единицы, два десятка и одну сотню.


Группировка предметов

После подсчета каких-нибудь предметов, разряды можно использовать для группировки этих предметов. К примеру, если мы насчитали во дворе 35 кирпичей, то можно использовать разряды для группировки этих кирпичей. В случае группировки предметов, разряды можно читать слева направо. Так, цифра 3 в числе 35 будет говорить о том, что в числе 35 содержатся три десятка. А это значит, что 35 кирпичей можно сгруппировать три раза по десять штук.

Итак, сгруппируем кирпичи три раза по десять штук:

Получилось тридцать кирпичей. Но осталось еще пять единиц кирпичей. Их мы назовем как «пять единиц»

Получилось три десятка и пять единиц кирпичей.

А если бы мы не стали группировать кирпичи на десятки и единицы, то можно было бы сказать, что число 35 содержит тридцать пять единиц. Такая группировка тоже была бы допустимой:

Аналогично можно рассуждать и про другие числа. К примеру, о числе 123. Ранее мы сказали, что это число содержит три единицы, два десятка и одну сотню. Но можно ещё сказать, что это число  содержит 123 единицы. Более того, можно сгруппировать это число и другим образом, сказав что оно содержит 12 десятков и 3 единицы.

Слова единицы, десятки, сотни, заменяют собой множимые 1, 10 и 100. К примеру, в разряде единиц числа 123 располагается цифра 3. С помощью множимого 1 можно записать, что эта единица содержится в разряде единиц три раза:

1 × 3 = 3

Далее в разряде десятков числа 123 располагается цифра 2. С помощью множимого 10 можно записать, что эта десятка содержится в разряде десятков два раза:

10 × 2 = 20

Далее в разряде сотен числа 123 располагается цифра 1. С помощью множимого 100 можно записать, что эта сотня содержится в разряде сотен один раз:

100 × 1 = 100

Если сложить полученные результаты 3, 20 и 100, то получим число 123

3 + 20 + 100 = 123

То же самое будет происходить если мы скажем, что число 123 содержит 12 десятков и 3 единицы. Другими словами, десятки будут сгруппированы 12 раз:

10 × 12 = 120

А единицы три раза:

1 × 3 = 3

Это можно понять на следующем примере. Если имеется 123 яблока, то можно сгруппировать первые 120 яблок 12 раз по 10 штук:

Получилось сто двадцать яблок. Но осталось еще три яблока. Их мы назовем как «три единицы»

Если сложить полученные результаты 120 и 3, снова получим число 123

120 + 3 = 123

Ещё можно сгруппировать 123 яблока на одну сотню, два десятка и три единицы.

Сгруппируем сотню:

Сгруппируем два десятка:

Сгруппируем три единицы:

Если сложить полученные результаты 100, 20 и 3, снова получим число 123

100 + 20 + 3 = 123

Ну и наконец, рассмотрим последнюю возможную группировку, где яблоки не будут распределяться на десятки и сотни, а будут собраны вместе. В таком случае число 123 будет читаться как «сто двадцать три единицы». Такая группировка тоже будет допустимой:

1 × 123 = 123


Пример 3. Прочитать число 523 всеми возможными способами.

Число 523 можно прочесть, как 3 единицы, 2 десятка и 5 сотен:

1 × 3 = 3 (три единицы)

10 × 2 = 20 (два десятка)

100 × 5 = 500 (пять сотен)

3 + 20 + 500 = 523

Ещё  можно прочесть, как 3 единицы 52 десятка:

1 × 3 = 3 (три единицы)

10 × 52 = 520 (пятьдесят два десятка)

3 + 520 = 523

Ещё число 523 можно прочесть, как 523 единицы:

1 × 523 = 523 (пятьсот двадцать три единицы)


Где применить разряды?

Разряды существенно облегчают некоторые вычисления. Представьте, что вы у доски и решаете задачу. Вы почти закончили задачу, осталось только вычислить последнее выражение и получить ответ. Выражение, которое надо вычислить, выглядит следующим образом:

Калькулятора под рукой нет, а хочется быстро записать ответ и удивить всех скоростью своих вычислений. Всё просто, если отдельно сложить единицы, отдельно десятки и отдельно сотни. Начинать нужно с разряда единиц. В первую очередь после знака равно (=) необходимо мысленно поставить три точки. Вместо этих точек будет располагаться новое число (наш ответ):

Теперь начинаем складывать. В разряде единиц числа 632 располагается цифра 2, а в разряде единиц числа 264 — цифра 4. Это означает, разряд единиц числа 632 содержит две единицы, а разряд единиц числа 264 содержит четыре единицы. Складываем 2 и 4 единицы — получаем 6 единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа (нашего ответа):

Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 632 располагается цифра 3, а в разряде десятков числа 264 — цифра 6. Это означает, что разряд десятков числа 632 содержит три десятка, а разряд десятков числа 264 содержит шесть десятков. Складываем 3 и 6 десятков — получаем 9 десятков. Записываем цифру 9 в разряде десятков нового числа (нашего ответа):

Ну и в завершении складываем отдельно сотни. В разряде сотен числа 632 располагается цифра 6, а в разряде сотен числа 264 — цифра 2. Это означает, что разряд сотен числа 632 содержит шесть сотен, а разряд сотен числа 264 содержит две сотни. Складываем 6 и 2 сотни, получаем 8 сотен. Записываем цифру 8 в разряде сотен нового числа (нашего ответа):

Таким образом, если к числу 632 прибавить 264, получается 896. Конечно, вы вычислите подобное выражение быстрее и окружающие начнут удивляться вашим способностям. Они будут думать, что вы быстро вычисляете большие числа, а на самом деле вы вычисляли маленькие. Согласитесь, что маленькие числа вычислять легче, чем большие.


Переполнение разряда

Разряд характеризуется одной цифрой от 0 до 9. Но иногда при вычислении числового выражения в середине решения может произойти переполнение разряда.

Например, при сложении чисел 32 и 14 переполнения не происходит. Сложение единиц этих чисел даст 6 единиц в новом числе. А сложение десятков этих чисел даст 4 десятка в новом числе. Получится ответ 46 или шесть единиц и четыре десятка.

А вот при сложении чисел 29 и 13 произойдёт переполнение. Сложение единиц этих чисел даёт 12 единиц, а сложение десятков 3 десятка. Если в новом числе в разряде единиц записать полученные 12 единиц, а в разряде десятков записать полученные 3 десятка, то получится ошибка:

Значение выражения 29 + 13 равно 42, а не 312. Как же следует поступать при переполнении? В нашем случае переполнение случилось в разряде единиц нового числа. При сложении девяти и трёх единиц у нас получилось 12 единиц. А в разряд единиц можно записывать только цифры в диапазоне от 0 до 9.

Дело в том, что 12 единиц это не просто «двенадцать единиц». По другому это число можно прочитать как «две единицы и один десяток». Разряд единиц предназначен только для единиц. Десяткам там не место. Здесь и заключается наша ошибка. Сложив 9 единиц и 3 единицы мы получили 12 единиц, которые по-другому можно назвать двумя единицами и одним десятком. Записав две единицы и один десяток в одном разряде, мы допустили ошибку, которая в итоге привела к неправильному ответу.

Чтобы исправить ситуацию, две единицы нужно записать в разряде единиц нового числа, а оставшийся десяток перенести на следующий разряд десятков. После сложения десятков в примере 29 + 13, мы прибавим к полученному результату тот десяток, который остался при сложении единиц.

Итак, из 12 единиц две единицы запишем в разряде единиц нового числа, а один десяток перенесем на следующий разряд

Как видно на рисунке, 12 единиц мы представили как 1 десяток и 2 единицы. Две единицы мы записали в разряде единиц нового числа. А один десяток перенесли к разрядам десятков. Этот десяток мы прибавим к результату сложения десятков чисел 29 и 13. Чтобы не забыть о нем, мы надписали его над десятками числа 29.

Теперь складываем десятки. Два десятка плюс один десяток будет три десятка, плюс один десяток, который остался от предыдущего сложения. В результате в разряде десятков получаем четыре десятка:


Пример 2. Сложить по разрядам числа 862 и 372.

Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 862 располагается цифра 2, в разряде единиц числа 372 — также цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 862 содержит две единицы, и разряд единиц числа 372 также содержит две единицы. Складываем 2 единицы плюс 2 единицы — получаем 4 единицы. Записываем цифру 4 в разряде единиц нового числа:

Далее складываем десятки. В разряде десятков числа 862 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 372 — число 7. Это означает, что разряд десятков числа 862 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 372 содержит семь десятков. Складываем 6 десятков и 7 десятков — получаем 13 десятков. Произошло переполнение разряда. 13 десятков это десятка повторенная 13 раз. А если повторить десятку 13 раз, то получится число 130

10 × 13 = 130

Число 130 состоит из трех десятков и одной сотни. Три десятка мы запишем в разряде десятков нового числа, а одну сотню отправим на следующий разряд:

Как видно на рисунке, 13 десятков (число 130) мы представили как 1 сотню и 3 десятка. Три десятка мы записали в разряде десятков нового числа. А одну сотню перенесли к разрядам сотен. Эту сотню мы прибавим к результату сложения сотен чисел 862 и 372. Чтобы не забыть о ней, мы надписали её над сотнями числа 862.

Теперь складываем сотни. Восемь сотен плюс три сотни будет одиннадцать сотен плюс одна сотня, которая осталась от предыдущего сложения. В результате в разряде сотен получаем двенадцать сотен:

Здесь также происходит переполнение разряда сотен, но это не приводит к ошибке, поскольку решение завершено. При желании с 12 сотнями можно провести те же действия, что мы провели с 13 десятками.

12 сотен это сотня, повторенная 12 раз. А если повторить сотню 12 раз, то получится 1200

100 × 12 = 1200

В числе 1200 две сотни и одна тысяча. Две сотни записываются в разряд сотен нового числа, а одна тысяча перенеслась к разряду тысяч.


Теперь рассмотрим примеры на вычитание. Для начала вспомним, что такое вычитание. Это операция, которая позволяет от одного числа вычесть другое. Вычитание состоит из трёх параметров: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Вычитать тоже нужно по разрядам.

Пример 3. Вычесть из числа 65 число 12.

Начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 65 располагается цифра 5, а в разряде единиц числа 12 — цифра 2. Это означает, что разряд единиц числа 65 содержит пять единиц, а разряд единиц числа 12 содержит две единицы. Вычтем из пяти единиц две единицы, получим три единицы. Записываем цифру 3 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. В разряде десятков числа 65 располагается цифра 6, а в разряде десятков числа 12 — цифра 1. Это означает, что разряд десятков числа 65 содержит шесть десятков, а разряд десятков числа 12 содержит один десяток. Вычтем из шести десятков один десяток, получим пять десятков. Записываем цифру 5 в разряде десятков нового числа:


Пример 4. Вычесть из числа 32 число 15

В разряде единиц числа 32 содержится две единицы, а в разряде единиц числа 15 — пять единиц. От двух единиц не вычесть пять единиц, поскольку две единицы меньше, чем пять единиц.

Сгруппируем 32 яблока так, чтобы в первой группе было три десятка яблок, а во второй — оставшиеся две единицы яблок:

Итак, нам нужно из этих 32 яблок вычесть 15 яблок, то есть вычесть пять единиц и один десяток яблок. Причем вычесть по разрядам.

От двух единиц яблок нельзя вычесть пять единиц яблок. Чтобы выполнить вычитание, две единицы должны взять несколько яблок у соседней группы (разряда десятков). Но нельзя брать сколько хочется, поскольку десятки строго упорядочены по десять штук. Разряд десятков может дать двум единицам только один целый десяток.

Итак, берём один десяток из разряда десятков и отдаём его двум единицам:

К двум единицам яблок теперь присоединился один десяток яблок. Получается 12 единиц яблок. А от двенадцати можно вычесть пять, получится семь. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Поскольку разряд десятков отдал единицам один десяток, сейчас он имеет не три, а два десятка. Поэтому вычитаем из двух десятков один десяток. Останется один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:

Чтобы не забывать, что в каком-то разряде был взят один десяток (либо сотня либо тысяча), над этим разрядом принято ставить точку.


Пример 5. Вычесть из числа 653 число 286

В разряде единиц числа 653 содержится три единицы, а в разряде единиц числа 286 — шесть единиц. От трёх единиц не вычесть шесть единиц, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:

Взятый один десяток и три единицы вместе образуют тринадцать единиц. От тринадцати единиц можно вычесть шесть единиц, получится семь единиц. Записываем цифру 7 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Раньше разряд десятков числа 653 содержал пять десятков, но мы взяли с него один десяток, и теперь в разряде десятков содержатся четыре десятка. Из четырех десятков не вычесть восемь десятков, поэтому берем одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню:

Взятая одна сотня и четыре десятка вместе образуют четырнадцать десятков. От четырнадцати десятков можно вычесть восемь десятков, получится шесть десятков. Записываем цифру 6 в разряде десятков нового числа:

Теперь вычитаем сотни. Раньше разряд сотен числа 653 содержал шесть сотен, но мы взяли с него одну сотню, и теперь в разряде сотен содержатся пять сотен. Из пяти сотен можно вычесть две сотни, получается три сотни. Записываем цифру 3 в разряде сотен нового числа:

Намного сложнее вычитать из чисел вида 100, 200, 300, 1000, 10000. То есть числа, у которых на конце нули. Чтобы выполнить вычитание, каждому разряду приходится занимать десятки/сотни/ тысячи у следующего разряда. Давайте посмотрим, как это происходит.

Пример 6. Вычесть из числа 200 число 84

В разряде единиц числа 200 содержится ноль единиц, а в разряде единиц числа 84 — четыре единицы. От нуля не вычесть четыре единицы, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Ставим точку над разрядом десятков, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда один десяток:

Но в разряде десятков нет десятков, которые мы могли бы взять, поскольку там тоже ноль. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы должны взять для него одну сотню у разряда сотен. Ставим точку над разрядом сотен, чтобы помнить о том, что мы взяли оттуда одну сотню для разряда десятков:

Взятая одна сотня это десять десятков. От этих десяти десятков мы берём один десяток и отдаём его единицам. Этот взятый один десяток и прежние ноль единиц вместе образуют десять единиц. От десяти единиц можно вычесть четыре единицы, получится шесть единиц. Записываем цифру 6 в разряде единиц нового числа:

Теперь вычитаем десятки. Чтобы вычесть единицы мы обратились к разряду десятков за одним десятком, но на тот момент этот разряд был пуст. Чтобы разряд десятков смог дать нам один десяток, мы взяли одну сотню у разряда сотен. Эту одну сотню мы назвали «десять десятков». Один десяток мы отдали единицам. Значит на данный момент в разряде десятков содержатся не десять, а девять десятков. От девяти десятков можно вычесть восемь десятков, получится один десяток. Записываем цифру 1 в разряде десятков нового числа:

Теперь вычитаем сотни. Для разряда десятков мы брали у разряда сотен одну сотню. Значит сейчас в разряде сотен содержатся не две сотни, а одна. Поскольку в вычитаемом разряд сотен отсутствует, мы переносим эту одну сотню в разряд сотен нового числа:

Получили окончательный ответ 116.

Естественно, выполнять вычитание таким традиционным методом довольно сложно, особенно на первых порах. Поняв сам принцип вычитания, можно воспользоваться нестандартными способами.

Первый способ заключается в том, чтобы уменьшить число, у которого на конце нули на одну единицу. Далее из полученного результата вычесть вычитаемое и к полученной разности прибавить единицу, которую изначально вычли из уменьшаемого. Давайте решим предыдущий пример этим способом:

Уменьшаемое здесь это число 200. Уменьшим это число на единицу. Если от 200 вычесть 1 получится 199. Теперь в примере 200 − 84 вместо числа 200 записываем число 199 и решаем пример 199 − 84. А решение этого примера не составляет особого труда. Единицы вычтем из единиц, десятки из десятков, а сотню просто перенесем к новому числу, поскольку в числе 84 нет сотен:

Получили ответ 115. Теперь к этому ответу прибавляем единицу, которую мы изначально вычли из числа 200

Получили окончательный ответ 116.


Пример 7. Вычесть из числа 100000 число 91899

Вычтем из 100000 единицу, получим 99999

Теперь из 99999 вычитаем 91899

К полученному результату 8100 прибавим единицу, которую мы вычли из 100000

Получили окончательный ответ 8101.


Второй способ вычитания заключается в том, чтобы рассматривать цифру, находящуюся в разряде, как самостоятельное число. Решим несколько примеров этим способом.

Пример 8. Вычесть из числа 75 число 36

Будем считать, что каждая цифра в разряде это самостоятельное число.

Итак, в разряде единиц числа 75 располагается число 5, а в разряде единиц числа 36 располагается число 6. Из пяти не вычесть шести, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков.

В разряде десятков располагается число 7. Берем от этого числа одну единицу и мысленно дописываем её слева от числа 5

А поскольку от числа 7 взята одна единица, это число уменьшится на одну единицу и обратится в число 6

Теперь в разряде единиц числа 75 располагается число 15, а в разряде единиц числа 36 число 6. Из 15 можно вычесть 6, получится 9. Записываем число 9 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. Раньше там располагалось число 7, но мы взяли с этого числа одну единицу, поэтому сейчас там располагается число 6. А в разряде десятков числа 36 располагается число 3. Из 6 можно вычесть 3, получится 3. Записываем число 3 в разряде десятков нового числа:


Пример 9. Вычесть из числа 200 число 84

Будем считать, что каждая цифра в разряде это самостоятельно число.

Итак, в разряде единиц числа 200 располагается ноль, а в разряде единиц числа 84 — располагается четыре. От нуля не вычесть четыре, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в разряде десятков тоже ноль. Ноль не сможет дать нам единицу. В таком случае за следующее принимаем число 20.

Берём одну единицу от числа 20 и мысленно дописываем её слева от нуля, располагающегося в разряде единиц. А поскольку от числа 20 взята одна единица, это число обратится в число 19

Теперь в разряде единиц располагается число 10. Десять минус четыре равно шесть. Записываем число 6 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. Раньше там располагался ноль, но этот ноль вместе со следующей цифрой 2 образовал число 20, от которого мы брали одну единицу. В результате число 20 обратилось в число 19. Получается, что теперь в разряде десятков числа 200 располагается число 9, а в разряде десятков числа 84 располагается число 8. Девять минус восемь равно одному. Записываем число 1 в разряде десятков нашего ответа:

Переходим к следующему числу, находящемуся к разряду сотен. Раньше там располагалось число 2, но это число вместе с цифрой 0 мы приняли за число 20, от которого взяли одну единицу. В результате число 20 обратилось в число 19. Получается, что теперь в разряде сотен числа 200 располагается число 1, а в числе 84 разряд сотен пустой, поэтому мы переносим эту единицу к новому числу:

Этот метод поначалу кажется сложным и лишенным всякого смысла, но на деле он самый лёгкий. В основном мы будем им пользоваться при сложении и вычитании чисел в столбик.


Сложение в столбик

Сложение в столбик это школьная операция, которую помнят многие, но не мешает вспомнить её ещё раз. Сложение в столбик происходит по разрядам — единицы складываются с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями, тысячи с тысячами.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Сложить 61 и 23.

Сначала записываем первое число, а под ним второе число так, чтобы единицы и десятки второго числа оказались под единицами и десятками первого числа. Всё это соединяем знаком сложения (+) по вертикали:

Теперь единицы первого числа складываем с единицами второго числа, а десятки первого числа складываем с десятками второго числа:

Получили 61 + 23 = 84.


Пример 2. Сложить 108 и 60

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:

Теперь складываем единицы первого числа с единицами второго числа, десятки первого числа с десятками второго числа, сотни первого числа с сотнями второго числа. Но сотня есть только у первого числа 108. В этом случае цифра 1 из разряда сотен добавляется к новому числу (нашему ответу). Как говорили в школе «сносится»:

Видно, что мы снесли цифру 1 к нашему ответу.

Когда речь идёт о сложении, нет разницы в каком порядке записывать числа. Наш пример вполне можно было записать и так:

Первая запись, где число 108 было наверху, более удобнее для вычисления. Человек вправе выбирать любую запись, но обязательно нужно помнить, что единицы надо записывать строго под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Другими словами, следующие записи будут неправильными:

Если вдруг при сложении соответствующих разрядов получится число, которое не помещается в разряд нового числа, то необходимо записать одну цифру из младшего разряда, а оставшуюся перенести на следующий разряд.

Речь в данном случае идет о переполнении разряда, о котором мы говорили ранее. Например, при сложении 26 и 98 получается 124. Давайте посмотрим, как это получилось.

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками:

Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 6+8=14. Получили число 14, которое не вместится в разряд единиц нашего ответа. В таких случаях мы сначала вытаскиваем из 14 цифру, находящуюся в разряде единиц и записываем её в разряде единиц нашего ответа. В разряде единиц числа 14 располагается цифра 4. Записываем эту цифру в разряде единиц нашего ответа:

А куда девать цифру 1 из числа 14? Здесь начинается самое интересное. Эту единицу мы переносим на следующий разряд. Она будет добавлена к разряду десятков нашего ответа.

Складываем десятки с десятками. 2 плюс 9 равно 11, плюс добавляем единицу, которая досталась нам от числа 14. Добавив к 11 нашу единицу, мы получим число 12, которое и запишем в разряде десятков нашего ответа. Поскольку это конец решения, здесь уже не стоит вопрос о том, вместится ли полученный ответ в разряд десятков. 12 мы записываем целиком, образуя окончательный ответ.

Получили ответ 124.

Говоря традиционным методом сложения, при сложении 6 и 8 единиц получилось 14 единиц. 14 единиц это 4 единицы и 1 десяток. Четыре единицы мы записали в разряде единиц, а один десяток отправили на следующий разряд (к разрядам десятков). Затем сложив 2 десятка и 9 десятков, мы получили 11 десятков, плюс добавили 1 десяток, который остался при сложении единиц. В результате получили 12 десятков. Эти двенадцать десятков мы записали целиком, образуя окончательный ответ 124.

Этот простенький пример демонстрирует школьную ситуацию, в которой говорят «четыре пишем, один в уме». Если вы будете решать примеры и у вас после сложения разрядов останется цифра, которую надо держать в уме, запишите её над тем разрядом, куда она будет потом добавлена. Это позволит вам не забыть о ней:


Пример 2. Сложить числа 784 и 548

Записываем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями:

Складываем единицы первого числа с единицами второго числа: 4+8=12. Число 12 не вмещается в разряд единиц нашего ответа, поэтому мы из 12 вынимаем цифру 2 из разряда единиц и записываем её в разряд единиц нашего ответа. А цифру 1 переносим на следующий разряд:

Теперь складываем десятки. Складываем 8 и 4 плюс единица, которая осталась от предыдущей операции (единица осталась от 12, на рисунке она выделена синим цветом). Складываем 8+4+1=13. Число 13 не вместится в разряд десятков нашего ответа, поэтому мы запишем цифру 3 в разряде десятков, а единицу перенесём на следующий разряд:

Теперь складываем сотни. Складываем 7 и 5 плюс единица, которая осталась от предыдущей операции: 7+5+1=13. Записываем число 13 в разряд сотен:


Вычитание в столбик

Пример 1. Вычтем из числа 69 число 53.

Запишем числа в столбик. Единицы под единицами, десятки под десятками. Затем вычитаем по разрядам. Из единиц первого числа вычитаем единицы второго числа. Из десятков первого числа вычитаем десятки второго числа:

Получили ответ 16.


Пример 2. Найти значение выражения 95 − 26

Записываем в столбик данное выражение:

Разряд единиц числа 95 содержит 5 единиц, а разряд единиц числа 26 содержит 6 единиц. От пяти единиц нельзя вычесть шесть единиц, поэтому берем один десяток у разряда десятков. Этот десяток и имеющиеся пять единиц вместе составляют 15 единиц. Из 15 единиц можно вычесть 6 единиц, получится 9 единиц. Записываем цифру 9 в разряде единиц нашего ответа:

Теперь вычитаем десятки. Разряд десятков числа 95 раньше содержал 9 десятков, но мы взяли с этого разряда один десяток, и сейчас он содержит 8 десятков. А разряд десятков числа 26 содержит 2 десятка. Из восьми десятков можно вычесть два десятка, получится шесть десятков. Записываем цифру 6 в разряде десятков нашего ответа:

Воспользуемся нестандартным способом вычитания при котором каждая цифра, входящая в число, рассматривается как отдельное число. При вычитании больших чисел в столбик этот способ очень удобен.

В разряде единиц уменьшаемого располагается число 5. А в разряде единиц вычитаемого число 6. Из пятёрки не вычесть шестёрку. Поэтому берем одну единицу у числа 9. Взятая единица мысленно дописывается слева от пятёрки. А поскольку у числа 9 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

В результате пятёрка обращается в число 15. Теперь можно из 15 вычесть 6. Получается 9. Записываем число 9 в разряде единиц нашего ответа:

Переходим к разряду десятков. Раньше там располагалось число 9, но поскольку мы взяли у него одну единицу оно обратилось в число 8. В разряде десятков второго числа располагается число 2. Восемь минус два будет шесть. Записываем число 6 в разряде десятков нашего ответа:


Пример 3. Найдем значение выражения 2412 − 2317

Записываем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 2412 располагается число 2, а в разряде единиц числа 2317 располагается число 7. Из двойки не вычесть семёрку, поэтому берем единицу у следующего числа 1. Взятую единицу мысленно дописываем слева от двойки:

В результате двойка обращается в число 12. Теперь можно из 12 вычесть 7. Получается 5. Записываем цифру 5 в разряде единиц нашего ответа:

Переходим к десяткам. В разряде десятков числа 2412 раньше располагалось число 1, но поскольку мы взяли у него одну единицу, оно обратилось в 0. А в разряде десятков числа 2317 располагается число 1. Из нуля не вычесть единицу. Поэтому берем одну единицу у следующего числа 4. Взятую единицу мысленно дописываем слева от нуля. А поскольку у числа 4 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

В результате ноль обращается в число 10. Теперь можно из 10 вычесть 1. Получается 9. Записываем цифру 9 в разряде десятков нашего ответа:

В разряде сотен числа 2412 раньше располагалось число 4, но сейчас там располагается число 3. В разряде сотен числа 2317 также располагается число 3. Три минус три равно нулю. То же самое и с разрядами тысяч в обоих числах. Два минус два равно нулю. А если разность старших разрядов равна нулю, то этот ноль не записывают. Поэтому окончательным ответом будет число 95.


Пример 4. Найти значение выражения 600 − 8

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 600 располагается ноль, а в разряде единиц числа 8 само это число. Из нуля не вычесть восьмерку, поэтому берем единицу у следующего числа. Но следующее число это тоже ноль. Тогда за следующее число принимаем число 60. Берем одну единицу у этого числа и мысленно дописываем её слева от нуля. А поскольку у числа 60 мы взяли одну единицу, это число уменьшится на одну единицу:

Теперь в разряде единиц располагается число 10. Из 10  можно вычесть 8, получится 2. Записываем число 2 в разряде единиц нового числа:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде десятков. В разряде десятков раньше располагался ноль, но сейчас там располагается число 9, а во втором числе разряд десятков отсутствует. Поэтому число 9 переносится к новому числу:

Переходим к следующему числу, находящемуся в разряде сотен. В разряде сотен раньше располагалось число 6, но сейчас там располагается число 5, а во втором числе разряд сотен отсутствует. Поэтому число 5 переносится к новому числу:


Пример 5. Найти значение выражения 10000 − 999

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 10000 располагается 0, а в разряде единиц числа 999 располагается число 9. Из нуля не вычесть девятку, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в следующем разряде тоже ноль. Тогда за следующее число принимаем 1000 и берем от этого числа единицу:

Следующее число в данном случае было 1000. Взяв у него единицу, мы обратили его в число 999. А взятую единицу дописали слева от нуля.

Дальнейшее вычисление не составило особого труда. Десять минус девять равно одному. Вычитание чисел, находящихся в разряде десятков обоих чисел дало ноль. Вычитание чисел, находящихся в разряде сотен обоих чисел тоже дало ноль. А девятка из разряда тысяч была перенесена к новому числу:


Пример 6. Найти значение выражения 12301­ − 9046

Запишем в столбик данное выражение:

В разряде единиц числа 12301 располагается число 1, а в разряде единиц числа 9046 располагается число 6. Из единицы не вычесть шесть, поэтому берем одну единицу у следующего числа, находящегося в разряде десятков. Но в следующем разряде располагается ноль. Ноль ничего нам дать не сможет. Тогда за следующее число принимаем 1230 и берем от этого числа единицу:

Следующее число в данном случае было 1230. Взяв у него единицу, мы обратили его в число 1229. А взятую единицу мысленно дописали слева от единицы, находящейся в разряде единиц.

Дальнейшее вычисление не составило особого труда. Одиннадцать минус шесть равно пять. Вычитание чисел, находящихся в разряде десятков обоих чисел дало число 5. Вычитание чисел, находящихся в разряде сотен обоих чисел дало число 2. Вычитание чисел, находящихся в разряде тысяч обоих чисел дало число 3.


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Выполните сложение:

Решение:

Задание 2. Выполните сложение:

Решение:

Задание 3. Выполните сложение:

Решение:

Задание 4. Выполните сложение:

Решение:

Задание 5. Выполните сложение:

Решение:

Задание 6. Выполните сложение:

Решение:

Задание 7. Выполните сложение:

Решение:

Задание 8. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 9. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 10. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 11. Выполните вычитание:

Решение:

Задание 12. Выполните вычитание:

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Школьная математика, онлайн-учебник: 1 класс и старше - бесплатно

Вопросы и комментарии

21 августа, 2020 - 21:28

Алтынай

 Ответить  

10 декабря, 2018 - 13:33

Гость

 Ответить  

22 августа, 2018 - 10:43

Иштван

14 июня, 2018 - 17:30

Абу

14 июня, 2018 - 17:28

Абу

 Ответить  

13 июня, 2018 - 03:06

Абу

19 апреля, 2018 - 17:57

VzlomT13

 Ответить  

19 апреля, 2018 - 17:56

VzlomT13

15 апреля, 2018 - 17:53

людмила

 Ответить  

14 апреля, 2018 - 13:24

Жасур

 Ответить  

9 октября, 2017 - 20:26

Даниэль

10 января, 2017 - 18:50

Евгений

 Ответить  

9 декабря, 2016 - 19:58

Гость

 Ответить  

24 ноября, 2016 - 03:06

Никита

17 ноября, 2016 - 12:21

tihiro

16 ноября, 2016 - 10:29

оксана

 Ответить  

30 сентября, 2016 - 23:54

Гость

13 сентября, 2016 - 13:43

А Мир

 Ответить  

14 апреля, 2016 - 17:57

Ваня

7 февраля, 2016 - 23:15

инесса

 Ответить  

29 октября, 2015 - 11:29

Елена

21 июля, 2015 - 00:27

Victor

21 июля, 2015 - 15:43

Леонид Некин

21 июля, 2015 - 20:01

Victor

27 июня, 2015 - 11:02

Сафия

5 февраля, 2015 - 07:12

таня короткова...

 Ответить  

27 января, 2015 - 13:45

Дмитрий

 Ответить  

23 ноября, 2014 - 15:59

мари)

 Ответить  

9 ноября, 2014 - 10:41

Елена

 Ответить  

30 октября, 2014 - 12:48

йогу тимати

29 апреля, 2014 - 00:04

ggg

 Ответить  

8 декабря, 2013 - 23:46

Саша

17 ноября, 2013 - 14:01

лера

15 октября, 2013 - 16:58

Orla Colgan

 Ответить  

22 марта, 2013 - 23:03

Akella

Страницы: 1  2   >  >>

Узнаем как выучить математику с нуля самостоятельно?

Математика наравне с родным языком является одной из самых главных наук, и не только в школе. Зачастую без нее не обойтись ни в повседневной жизни, ни в карьере. Кроме того, математику необходимо сдавать в выпускных классах. Но как быть, если все упущено? Давайте разберемся, как выучить эту науку самостоятельно, да еще и с нуля, и подготовиться к экзаменам.

Эта статья будет полезна также тому, кто давно окончил школу, но есть желание поступить в колледж или вуз по технической специальности. В этом случае тоже нужно постигать математику с азов или же подтянуть знания в тех темах, которые были не понятны при учебе или попросту забыты.

Предлагаем воспользоваться приведенными ниже инструкциями. Но обращаем внимание: успех полностью зависит от самого учащегося.

Моральная подготовка

Прежде чем приступить к изучению математики, следует морально подготовиться. Особенно это касается тех, кому данный предмет в школе практически не давался. Ведь бывает так, что у человека не математический, а гуманитарный склад ума.

Ниже мы обсудим, что делать, если не получается разобраться в одной из тем. Но в любом случае нужно быть готовым к долгому изучению, ибо быстро выучить математику на самом деле практически невозможно.

Моральная подготовка заключается в том, чтобы:

  1. Постараться дать себе понять, что при желании можно изучить любую науку. Ведь как-то отличники и хорошисты разбираются в дисциплине. Тем более если учитель говорит, что это легкая тема, то стоит поверить.
  2. На время отложить развлечения, общение с друзьями и различные мероприятия, которые не столь важны, ради того чтобы подтянуть знания по царице всех наук. Пусть основная часть времени будет посвящена изучению непонятных тем.
  3. Перед началом занятий дать себе хорошенько отдохнуть. Например, погулять на свежем воздухе в парке, выполнить несколько физических упражнений или неотложных дел. Ибо очень важно, чтобы никакие заботы и просьбы со стороны не отвлекали.
  4. Настроиться на тренировку памяти с целью запомнить правила и формулы. Они на самом деле не такие сложные, как кажется.
  5. Понять, что математика по большей части требует от человека логического мышления и смекалки.
  6. Воспринимать науку не как что-то должное, а как игру в головоломку, в которой нужно пройти конкретные этапы и проверить «запасным вариантом» правильность решения задачи.
  7. Убедить себя в том, что тренировка на запоминание полезна для мозга.
  8. Понять, что решение многих задач и примеров, построение фигур и графиков, а также различные геометрические доказательства – это увлекательный процесс, который можно применить на практике.

Пусть подобные рекомендации станут для вас помощниками каждый раз, когда вам захочется оставить изучение сложных тем. Оказывается, не так уж и сложно выучить математику с нуля.

Оценка своих знаний

Очень важно уметь оценить свои знания. Например, вы являетесь учеником 9 класса, или же на данный момент лето, и стоит цель хорошо подучить пропущенные и непонятые ранее темы. В таком случае делаем так: открываем учебник 5-го класса, находим любую сложную задачу и решаем ее. Если ответ правильный, то с легкостью приступаем к задачам за 6-й класс и проверяем себя по ним. Желательно прорешать по паре заданий из каждой темы.

А теперь разберем, как быстро выучить правила математики.

Обязательно найдется такая задача, которую вы затруднитесь решить. Например, тема связана с квадратными уравнениями, но пример дан в виде двух произведений со скобками, которые нужно раскрыть. А вы забыли правила раскрытия скобок, вследствие чего ответ неправильный, проверочное решение не сходится. Стоит в таком случае отметить в отдельном листе-плане, что нужно разобраться, в каком случае ставится знак «+», а в каком «–» при раскрытии скобок. Также следует проработать и остальные темы.

Немного геометрии

Что касается геометрии, то ее тоже следует начинать изучать сначала, чтобы понять, что такое фигуры, теоремы, как вообще работать в данной дисциплине.

Но как выучить математику за короткий срок, если практически все темы непонятны или незнакомы, и возможно ли это? Вот несколько рекомендаций.

Если многое упущено

Стоит ли говорить о том, что математику с нуля лучше всего разбирать с репетитором или родственником, одноклассником? Самому изучить этот предмет довольно сложно, особенно по сравнению с историей или географией. Но тем не менее, если есть много свободного времени, можно пробовать решать примеры самостоятельно. Возможно, для этого придется детально изучить более простые темы, которые в основном входят в программу 5-го класса.

Теперь составим план наших действий:

  1. Приобретите учебники и решебники за все классы средней школы. Программа должна соответствовать тому, что вы изучаете в школе.
  2. Составьте список всех тем, которые имеются.
  3. Подготовьте чистую тетрадь для решения задач. Не рекомендуется решать примеры на клочках бумаги, пусть все проведенные действия будут перед глазами, даже если они с помарками и ошибками.
  4. Если у вас сохранились конспекты с пройденными уроками и решенными в классе примерами, обязательно проработайте их. Выпишите в тетрадь задачку, затем закройте конспект, начните решать самостоятельно. Как закончите, сверьтесь, что вы сделали правильно, а что не так.
  5. Выучите правило и формулы по текущей теме. Помните о том, что математика не «любит» зубрить, она «любит» понимать определение.

Такой подход поможет самостоятельно выучить математику. Как запомнить все и сразу? На самом деле этого делать не нужно.

Лучший способ запомнить

Как было сказано выше, обычное зазубривание не поможет. Нужно разобраться. Допустим, у вас тема связана с нахождением определения объема фигур в геометрии. Эти формулы довольно простые, их легко запомнить. Но чтобы лучше усвоить урок, желательно, следуя формуле, решить задачу. Заодно вы заметите последовательность: что от чего зависит и как выводится. Например, элементарное нахождение площади прямоугольника: умножаем длины двух сторон, не лежащих параллельно. И все, задача решена. Куда сложнее определить площадь круга или объем цилиндра, но если запомнить формулы, то и это не составит труда.

А как выучить математические правила, если они с формулами не связаны? Все довольно просто. Например, то же раскрытие скобок. Нужно лишь запомнить, что «умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс (и наоборот) всегда дает минус». И все. В дальнейшем решить даже самые сложные задачи на раскрытие скобок будет получаться на раз-два!

Успешное освоение

Полученные знания всегда следует закреплять. Вы запомнили формулу дискриминанта или заучили последовательность нахождения неизвестной через построение графиков. Обязательно прорешайте различные примеры на эту тему еще и еще, чтобы отложилось все в памяти.

Учителя, да и репетиторы, рекомендуют время от времени возвращаться к пройденной теме, чтобы проверить себя. Это, на самом деле, отнимет несколько минут. Наверняка вы замечали, что те, кто успевает по математике, способны за 15-20 минут сдать работу, которая рассчитана на полчаса. Что здесь удивительного? Просто тема была освоена достаточно хорошо и не нужно долго ломать голову, вспоминать формулы или пытаться спросить у соседа.

Как выучить математику за 5 минут до контрольной, и возможно ли это? Разумеется, если предыдущие разделы освоены хорошо, а нынешний не изучен по каким-то причинам, то можно пробежаться по правилам и формулам. Но успех будет лишь в том случае, если тема логически продолжает ранее изученные.

Не дается и все тут

К сожалению, большинство учащихся не могут разобраться в науке ни в классе, ни самостоятельно. Нужно, чтобы тему объяснили отдельно. Зачастую приходится прибегать к помощи репетитора.

Но есть возможность выучить математику с нуля самостоятельно и бесплатно. Естественно, с помощью вездесущего интернета:

  • видеоуроки на YouTube,
  • ознакомительные курсы на математических сайтах,
  • онлайн-репетитор.

Таким образом, можно найти способ без лишних затрат разобраться в теме. Существует множество видеоуроков на отдельно взятые темы, которые легко изучить, посмотрев, как правильно и в какой последовательности решаются задачи. Желательно повторить пройденный урок самостоятельно.

Если тема очень сложная

В математике сложных тем достаточно много, особенно в 9, 10 и 11 классах. Зачастую без помощи знающих людей не обойтись. Поэтому стоит внимательно слушать урок, чтобы не возникло проблем в будущем.

Ведь даже самая сложная тема поддается объяснению и пониманию. Только нужно тренировать в себе усидчивость, терпение и желание учиться. Ведь неспроста это слово означает «учи себя». Многие ученики ближе к выпускным экзаменам спрашивают, как выучить математику, чтобы балл был высокий. Все просто: готовиться следует заранее (прорабатывать все темы и решать предлагающиеся задачи).

Необходимые инструменты для работы

Многие учителя настоятельно требуют, чтобы ученики запоминали таблицу умножения, учились считать в уме и обходились без калькуляторов насколько это возможно. Действительно, существовала же как-то математика без электронно-вычислительной техники? Были счеты, но они только развивали мышление. А современные гаджеты, наоборот, ослабляют мыслительную деятельность и ухудшают запоминание. Поэтому современному школьнику лучше позаботиться заранее о том, как выучить математику, а точнее арифметику, чтобы в будущем было проще решать любые задачи без помощи калькулятора.

Как видите, математика – сложная наука, требующая усидчивости. Быстро выучить ее не удастся. Поэтому желательно изучать внимательно каждую тему начиная с младших классов.

Можно ли изучать математику самому? — Образование на vc.ru

Приветствую! Думаю, стоит согласиться, что математика нужна в различных сферах жизни: строительстве, IT, физике и так далее. Скорее всего, если Вы заинтересованы в изучении математики, то уже знаете, зачем она Вам.

2774 просмотров

По своему опыту могу сказать, что самостоятельное изучение математики - это довольно сложно, но более чем возможно. Необходимо иметь большое желание.

Могу ли я не тратить деньги на курсы?

Да, конечно. Сейчас мы живём в такое время, когда многое можно добыть в интернете, причём абсолютно бесплатно.

Сколько времени нужно для изучения математики?

Вообще это довольно размытый вопрос, это зависит от нескольких факторов: как часто Вы занимаетесь, насколько глубоко Вы хотите изучить математику (например, только школьный курс или ещё высшую математику).

Могу сказать, что для того, чтобы повторить весь школьный курс, то на это нужно ориентировочно полгода. Весьма долго, не правда ли? Никто не говорил, что всё будет быстро.

Где мне изучать математику?

Если Вы не очень любите пользоваться учебниками, то можно и во многом обойтись без них. Однако, всё же иногда придётся их почитать.

В этой статье я не буду конкретизировать, какими сайтами пользоваться и какие книги читать, об этом я буду писать в своём телеграм канале(@become_datascientist).

Настоятельно рекомендую популярные курсы математики на английском, потому что там, как правило, объясняют понятнее, а ещё это очень часто бесплатно. Да, знание английского не будет лишним. Существует много уроков на ютубе и сайтов.

Для практики можно найти задачи так же в интернете, или купить любой учебник/сборник задач, тоже подойдёт.

Топ советов

1. Не бойтесь, если не будете что то понимать, это нормально. Если что-то непонятно, то перечитайте/переслушайте материал несколько раз, и/или обратитесь к другому ресурсу.

2. Решайте трудные задачи и много практикуйтесь. Только так вы сможете лучше всего понять тему. Если не можете решить задачу, то попробуйте отдохнуть, и попробовать снова.

3. Занимайтесь каждый день, хотя бы по часу. Изучение математики должно стать привычкой, как, например, чистка зубов.

4. Не забывайте про отдых, но помните, что у всего есть границы.

5. Не зубрите материал, а старайтесь понять его. Важно именно понимать математику, то есть уметь выводить формулы и применять их, доказывать теоремы и так далее. Очень полезным будет постоянно задавать вопросы в стиле "а почему именно так?" и отвечать на них. Переходите к следующей теме только тогда, когда будете уверены, что вы точно поняли предыдущую и отработали её на практике.

6. Найдите себе наставника. Это не всегда бывает легко, но если Вы сможете, то будет очень круто. Наставник будет всегда подбадривать Вас.

7. Не бойтесь менять ресурсы для изучения математики, очень важно найти тот, который подходит именно Вам.

Итак, математику можно изучать самостоятельно, главное иметь большое желание. Это были мысли, которыми я хотел поделиться. Желаю удачи в изучении математики. Не сдавайтесь, и у Вас всё получится.

Как изучать математику | Фоксфорд.Медиа

Слово «математика» происходит от греческого «матема» — знание, познание. Математика, как и шахматы — это способ научиться думать логически, рационально. Особенность математики в том, что её методы служат другим наукам. Например, в социологии и психологии данные опросов обрабатываются статистически. В генетике анализируют распределение признаков с помощью сложных моделей расчёта.

Одни называют математику точной наукой, другие — искусством. Каждый даёт определение в силу своего математического опыта и фантазии. Если человек научился складывать целые положительные числа в пределах сотни, то он будет считать математику точной наукой. При этом те, кто знаком с комплексными числами и неевклидовой геометрией, с ним не согласятся.

Определение математики зависит от отношения к ней. Для тех, кому на уроках было сложно и скучно, она сухая и точная. Влюблённые в математику воспринимают её как искусство. Хорошая новость в том, что строить хорошие отношения с математикой никогда не поздно, если ученик хочет в ней разбираться.

Зачем нужна математика и что значит «знать» её

Кое-что из математики используется в повседневной жизни: когда нужно поделить пиццу на 8 равных частей, посчитать стоимость товара со скидкой 20%, выбрать сумку к новым туфлям и брюкам. По мнению математика и педагога Марис Сегинёвой, обычному человеку для жизни достаточно изучить математику в объёме 5—7 класса школьной программы:

«Всё зависит от того, в какой момент в учебнике появляются отрицательные числа. Конечно, можно увидеть на термометре значение минус 10 градусов Цельсия, но вот в США пользуются шкалой Фаренгейта, а вообще кроме погоды в быту эти знания не пригодятся».

Для наглядности — в чём разница между шкалой Цельсия и Фаренгейта

В математике выделяют несколько областей знания, и то, что изучается в большинстве начальных школ правильнее называть арифметикой. Это раздел математики, который изучает числа и действия с ними: сложение, вычитание, умножение и деление целых и дробных чисел.

«Если школьник знает математику, у него и с другими предметами будет хорошо. Он научился думать, он научился видеть целое и собирать его из частей. Обратно этот принцип не работает: если ученик успешен в других предметах, нет гарантий, что он поймёт и математику», — Марис Сегинёва.

Редко в начальном курсе математики встречаются задачи на комбинаторику, логику и теорию вероятностей. Поэтому для большинства людей «знать математику» — значит уметь применить расчёты для решения житейских задач: сколько нужно продуктов, чтобы приготовить в два раза больше окрошки; какую сумму нужно сдать на общий подарок имениннику; во сколько выезжать из дома, чтобы приехать к началу спектакля.

Для чего изучают математику в старших классах

По замыслу разработчиков образовательной программы выпускники школы поступают в вузы. В вузах они осваивают профессии для того, чтобы стать практиками или исследователями в различных областях. Специалистам технических и естественнонаучных областей математика полезна, а учёным — необходима.

Марис Сегинёва: «Современная наука основана на математических методах. Когда абитуриент думает, что будет заниматься микробиологией, генетикой, психологией, социологией, лингвистикой или экономикой, в конечном счёте ему придётся заниматься и математикой тоже».

Авторы школьных учебников не знают, кто именно из выпускников станет учителем литературы, кто музейным работником, а кто программистом, поэтому на всякий случай все старшеклассники знакомятся с алгеброй и началами математического анализа.

Решать задачи с логарифмами и брать производные будет полезно любому ученику общеобразовательной школы. Будущим инженерам и математикам уроки будут подспорьем, поскольку школьная алгебра — мостик от арифметики к высшей математике, которую изучают в вузе.

Тем, кто выбрал сдавать профильный ЕГЭ по математике, лучше не останавливаться и решать задачи при каждом удобном случае. Будущим историкам, художникам и музыкантам стоит как можно скорее изучить демовариант базового ЕГЭ по математике, чтобы знать, какие темы изучать пристально, а какими можно будет пренебречь.

С чего начать отношения с математикой

Древнеегипетские жрецы умели умножать только на два, и считались очень продвинутыми. А в Средние века математики собирались в городе Пиза на конкурс деления чисел, записанных римскими цифрами. Соревновались, например, кто быстрее правильно поделит число LXXIV пополам.

Сейчас, благодаря десятичной системе счисления и приёмам работы с числами, обычный третьеклассник даст фору средневековым преподавателям. Но когда-то не было большей части того, что сегодня называется математикой.

Отношения с математикой можно начать в любой момент.

  1. Самый простой способ — найти учителя или курс, который поможет поверить в свои силы и заняться интересными вещами из области математики: олимпиадный кружок для ребят более младшего возраста, онлайн-курс, журнал или заочная математическая школа.
  2. Полезно смотреть видеоролики популяризаторов математики на русском и английском языке.
  3. Можно отыскать вдохновение в книгах. Биографии известных учёных, рассказы, написанные математиками и пособия для начинающих.

Список вдохновляющих ресурсов преподавателя математики Марис Сегинёвой

  • Ютьюб-каналы Алексея Савватеева и Артура Шарифова, англоязычный канал Numberphile.
  • Статья «Плач математика» Пола Локхарта.
  • Ученикам младшей и средней школы: произведения «Нолик-мореход», «Три дня в Карликании» В. А. Лёвшина, «Островитянка» , «Научные сказки» Ника Горькавого, «Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы», пособие «Наглядная геометрия» И. Ф. Шарыгина. А также книга и рабочая тетрадь «Наглядная геометрия» В. А. Смирновой, И. М. Смирновой и И. В. Ященко.
  • На сайте Центра непрерывного математического образования можно скачивать задания и брошюры, а также узнавать о математических конкурсах и мероприятиях для школьников.
  • Журналы «Лучик», «Квантик» и «Квант».
  • Банк задач разного уровня сложности problems.ru для школьников и учителей.
  • Заочная математическая школа петербургского образовательного центра: присылают задания каждую неделю и дают комментарии в ответ на решения учеников.

Понять математику может любой. Если ученику трудно освоить какую-то тему или раздел, нужно спуститься на ступеньку ниже. С математикой никогда не стоит торопиться, ею следует заниматься в своём темпе и с удовольствием.

Математика с нуля

«Математика с нуля. Пошаговое изучение математики для начинающих» - новый проект, разработанный для людей, которые хотят изучать математику самостоятельно с нуля.

Нет простых решений, и вы не увидите здесь таких утверждений, как «Купите эту книгу и сдайте математику на пятерку» или «Освоите математику за 12 часов». Математика - довольно большая наука, которую нужно изучать последовательно и очень медленно.

На сайте представлены уроки математики, упорядоченные по принципу «от простого к сложному».Каждый урок охватывает одну или несколько математических тем. Уроки разделены на этапы. Вы начнете с темы «Числа» и постепенно продвинетесь вверх.

Каждый урок должен быть понятным.

Следовательно, если вы не понимаете один урок, вы не можете перейти к следующему, потому что каждый урок математики основан на понимании предыдущего. Если вы не понимаете урок с первого раза, не расстраивайтесь. Некоторые люди потратили месяцы и годы, пытаясь понять хотя бы одну-единственную тему.Отчаяние и уныние определенно не ваш путь. Прочтите, изучите, попробуйте и попробуйте еще раз.

Математика хорошо усваивается, когда человек самостоятельно открывает учебник, чтобы учить себя. Это развивает определенную дисциплину, которая очень пригодится в будущем. Если вы будете следовать принципу «от простого к сложному», вы удивитесь, обнаружив, что математика не так уж и сложна. Возможно, вы даже найдете это интересным и увлекательным.

Что вам даст знание математики? Во-первых, уверенность.Не все знают математику, поэтому знание того, что вы знаете хотя бы часть этой серьезной науки, делает вас особенным. Во-вторых, овладев математикой, вы легко овладеете другими науками и сможете мыслить гораздо шире. Знание математики позволяет освоить такие профессии, как программист, бухгалтер и экономист. Никто не станет спорить, что эти профессии сегодня очень востребованы.

В общем дерзайте, дружище!

Желаем удачи в изучении математики!

Основные законы математики

В нашей жизни есть правила, которым мы должны подчиняться.Следование правилам гарантирует мирную и беззаботную жизнь. Когда вы не соблюдаете законы, это приводит к печальным последствиям.

У математики есть свои законы, которым тоже нужно следовать. Несоблюдение законов математики в лучшем случае приведет к более низким оценкам, а в худшем - к падению самолетов, замерзанию компьютеров, разлету крыш из-за сильного ветра, плохой связи и тому подобному.

Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы.Но не помешает вспомнить их еще раз, а еще лучше записать и выучить наизусть.

В этом уроке мы рассмотрим лишь небольшую часть законов математики. Их нам хватит, чтобы дальше изучать математику.

Дополнительный закон о замене

Определение. Коммутативный закон сложения гласит, что не имеет значения, в каком порядке вы складываете числа.

Действительно, прибавьте пять к двум, и вы получите семь.И наоборот, прибавьте два к пяти, и вы снова получите семерку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если в один мешок положить 10 килограммов яблок, а в другой - 10 килограммов яблок, то мешки будут одинаковыми, и неважно, что яблоки в мешках перемешаны случайным образом. Если мы снимем пакет с весов и смешаем в нем яблоки, как шарики в мешочке для лотереи, пакет все равно будет весить 10 килограммов. Сумма не изменится от перестановки слагаемых. Слагаемые в этом случае - яблоки, а сумма - общий вес.

Таким образом, выражения 5 + 2 и 2 + 5 можно приравнять. Это будет означать, что их сумма равна:

5 + 2 = 2 + 5

7 = 7

Мы предполагаем, что вы усвоили один из предыдущих уроков, который назывался выражениями, поэтому запишем коммутативный закон сложения с использованием переменных:

а + Ь = Ь + а

Этот коммутативный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмите любые два числа. Пусть a = 2, b = 3.Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3. Эти значения войдут в основное выражение a + b = b + a и будут заменены там, где это необходимо. Число 2 будет заменено на a, число 3 будет заменено на b


Ассоциативный закон сложения Определение. Ассоциативный закон сложения гласит, что изменение группировки чисел, которые складываются вместе, не меняет их итоговую сумму.Этот закон позволяет группировать слагаемые вместе для упрощения вычислений.

Рассмотрим сумму трех слагаемых:

2 + 3 + 5

Чтобы вычислить это выражение, вы можете сначала сложить числа 2 и 3 и прибавить результат к числу 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая, что эта сумма будет вычислена первой:

2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

Или вы можете сложить числа 3 и 5, а затем добавить результат к числу 2

2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

Как видите, в обоих случаях результат одинаковый.

Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

10 = 10

Запишем ассоциативный закон сложения с использованием переменных:

(а + б) + с = а + (б + в)


Коммутативный закон умножения

Определение.Коммутативный закон умножения гласит, что не имеет значения, в каком порядке вы умножаете переменные или числа. Посмотрим, правда ли это.

Умножьте пятерку на два, а затем наоборот, на два на пять.

5 × 2 = 10

2 × 5 = 10

В обоих случаях вы получите один и тот же результат, поэтому вы можете поставить знак равенства между выражениями 5 × 2 и 2 × 5, потому что они равны одному и тому же значению:

5 × 2 = 2 × 5

10 = 10

Запишем коммутативный закон умножения с использованием переменных:

a × b = b × a

Нет необходимости использовать буквы a и b для записи законов как переменных.Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же коммутативный закон умножения можно записать так:

х × у = у × х


Ассоциативный закон умножения

Определение. Ассоциативный закон умножения гласит, что независимо от того, как вы группируете числа, вы умножаете их вместе.

Рассмотрим следующее выражение:

2 × 3 × 4

Это выражение можно вычислять в любом порядке.Сначала вы можете умножить числа 2 и 3, а результат умножить на 4:

.

Или вы можете сначала умножить числа 3 и 4, а результат умножить на число 2

Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

Запишем комбинационный закон умножения с использованием переменных:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)


Пример 2 .Найдите значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Это выражение можно вычислять в любом порядке. Рассчитаем слева направо в порядке действий:


Распределительный закон умножения

Определение. Распределительный закон умножения гласит, что любое число, умноженное на сумму двух или более чисел, равно сумме этого числа, умноженной на каждое из чисел в отдельности.

Рассмотрим следующее выражение:

(3 + 5) × 2

Мы знаем, что сначала нужно выполнить действие в скобках. Мы делаем это:

(3 + 5) = 8

В основном выражении (3 + 5) × 2 замените выражение в скобках полученным восьмеркой:

8 × 2 = 16

Ответ: 16. Тот же пример можно решить, используя распределительный закон умножения. Для этого умножьте каждое слагаемое в скобках на 2, затем сложите результаты:

Мы слишком подробно рассмотрели распределительный закон умножения.В школе этот пример записали бы очень кратко. К таким обозначениям тоже нужно привыкнуть. Выглядит это так:

(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

Или даже короче:

(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16

А теперь запишем распределительный закон умножения с использованием переменных:

(a + b) × c = a × c + b × c

Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения.Его начало выглядит так: (a + b) × c.

Если рассматривать выражение в скобках (a + b) в целом, оно будет множителем, а переменная c будет множителем, потому что они связаны знаком умножения ×

Из коммутативного закона умножения мы узнали, что если мы поменяем местами первый множитель и второй, произведение не изменится.

Если мы поменяем местами множитель (a + b) и множитель c, мы получим выражение c × (a + b).Затем мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Чтобы сделать это умножение, мы применяем распределительный закон умножения. В этом случае переменную c необходимо умножить на каждое слагаемое в скобках:

c × (a + b) = c × a + c × b


Пример 2 . Найдите значение выражения 5 × (3 + 2)

Умножьте число 5 на каждое слагаемое в скобках и сложите результат:

5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25


Пример 3 .Вычислить 6 × (5 + 2)

Умножьте 6 на каждое слагаемое в скобках и сложите результат:

6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42

Если круглые скобки представляют собой не сумму, а разницу, вы должны сначала умножить множитель на каждое число, указанное в скобках. Затем вычтите второе число из первого числа. В принципе ничего нового.


Пример 4 . Найдите значение выражения 5 × (6-2)

Умножьте 5 на каждое число в скобках.Затем вычтите второе число из первого числа:

5 × (6 - 2) = 5 × 6 - 5 × 2 = 30 - 10 = 20


Пример 5 . Вычислить 7 × (3 - 2)

Умножьте 7 на каждое число в скобках. Затем вычтите второе число из первого числа:

7 × (3 - 2) = 7 × 3 - 7 × 2 = 21 - 14 = 7


Упражнения

Задача 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

3 × (7 + 8)

Решение:

3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 × 8 = 21 + 24 = 45

Задача 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

5 × (6 + 8)

Решение:

5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70

Задача 3. Найдите значение выражения, используя порядок операций:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

Задача 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)

Решение:

4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81

Задача 5. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)

Решение:

16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169


Простые математические задачи

Давайте рассмотрим несколько простых задач по уже рассмотренным нами темам. Для этого нам понадобится минимум математических знаний. В частности, уметь складывать, вычитать, умножать и делить, находить дроби из чисел, уметь вычислять отношения и выполнять элементарные преобразования идентичности.

Задания этого урока достаточно просты для понимания и понимания. Достаточно немного навыков, чтобы понять, какие темы вы научились использовать для решения поставленной задачи. Одно дело узнать что-то, а другое - применить на практике.

Задания на сложение и вычитание

Задача 1. Пять яблок были помещены в вазу с фруктами и еще три яблока были помещены в нее. Через некоторое время из чашки достали два яблока. В чашке осталось шесть яблок.Напишите выражение, описывающее это движение яблок.

Решение

5 + 3 - 2 = 6


Задание 2. В поле было возделано 20 грядок моркови и 15 грядок свеклы. Всего обработано 35 грядок. Напишите следующие выражения, содержащие сложение и вычитание:

  1. Выражение, описывающее, сколько всего было обработано грядок. Поместите общее количество коек в левую часть уравнения;
  2. Выражение, описывающее, насколько было возделано на пять грядок меньше, чем моркови.Поместите число, отвечающее за свеклу, в левую часть уравнения;
  3. Выражение, описывающее, что морковь была вспахана на пять грядок больше, чем свекла. Поместите число моркови в левую часть уравнения;

Решение

35 = 20 + 15

15 = 20–5

20 = 15 + 5


Задание 3. За три дня машина проехала 980 км. В пятницу и субботу проехал 725 км. Сколько километров машина проезжала за каждый из этих дней, если в субботу она проехала на 123 километра больше, чем в воскресенье?

Решение

Узнайте, сколько километров проехала машина в воскресенье.Для этого из общего расстояния (980 км)

вычтите расстояние, которое автомобиль проехал в пятницу и субботу (725 км).

980-725 = 255 км в воскресенье

В условии написано, что в субботу машина проехала на 123 км больше, чем в воскресенье. Следовательно, мы должны добавить 123 км к расстоянию, которое машина проехала в воскресенье (255 км). Итак, мы получаем расстояние, которое проехала машина в субботу

.

255 + 123 = 378 км в субботу

А теперь узнайте, сколько километров проехала машина в пятницу. Для этого вычтите из общего пути (980) те пути, по которым машина проехала в субботу и воскресенье.Для удобства эти два пути можно сложить, а результат вычесть из 980

.

980 - (378 + 255) = 980 - 633 = 347 км в пятницу

Теперь проверим, правильно ли решена проблема. Для этого сложите все пути и посмотрите, равна ли сумма 980 км

347 + 378 + 255 = 980

980 = 980


Задание 4: За три смены фабрика выпустила 1680 метров ткани. В первой и второй сменах вместе было произведено 970 метров ткани, во второй и третьей сменах - 1060 метров.Сколько метров ткани производилось за каждую смену?

Решение

Давайте узнаем, сколько метров ткани произведено за первую смену. Для этого из общего количества метров, пройденных второй и третьей сменами, вычтите

метров (1060м).

1680-1060 = 620м (произведена в первую смену)

Давайте узнаем, сколько метров ткани произведено за третью смену. Для этого вычтите из общего количества метров, пройденных первой и второй сменами (970м)

.

1680 - 970 = 710м (произведена в 3-ю смену)

Давайте узнаем, сколько метров ткани было произведено за вторую смену.Для этого вычтите из общего количества метров, пройденных первой и третьей сменами (620 м и 710 м). Для удобства эти две величины можно сложить, а результат вычесть из 1680

.

1680 - (620 + 710) = 1680 - 1330 = 350 м (произведена во вторую смену)

Проверим, правильно ли решена проблема. Для этого сложите все количества и посмотрите, равна ли сумма 1680м

.

620 + 350 + 710 = 1680

1680 = 1680


Задача 5. Имеется следующее равенство

5 + 5 + 2 = 8 + 4

Обе части равенства (левая и правая) равны 12. Добавьте 3 в левую часть уравнения

5 + 5 + 2 + 3 ≠ 8 + 4

Равенство немедленно нарушается. Левая часть не равна правой, потому что левая сторона теперь равна 15, а правая - 12. Чтобы сохранить равенство, добавьте 3 к правой части уравнения

5 + 5 + 2 + 3 = 8 + 4 + 3

Знак «неравный» исчез.Теперь прибавьте единицу к числу 4, которое находится в правой части равенства

.

5 + 5 + 2 + 3 ≠ 8 + (4 + 1) + 3

Равенство снова нарушено. Левая сторона не равна правой, потому что правая сторона теперь 16, а левая 15.

Попробуем еще раз «восстановить равенство» между левой и правой частями. Для этого вы можете добавить один в левую часть. Но вы также можете вычесть единицу из любого числа справа. Оставим левую часть нетронутой и вычтем единицу из числа 8, которое находится в правой части:

5 + 5 + 2 + 3 = (8-1) + (4 + 1) + 3


Задача 6. На сколько единиц число 78 больше числа 63?

Решение

Вычтем 63 из 78

78–63 = 15

78 больше 63 на 15 единиц.


Задача 7. На сколько единиц число 88 меньше числа 105

Решение

Вычтем число 88 из 105

105 - 88 = 17

88 это 17 меньше 105


Задача 8: Насколько число 65 выше числа 48 и меньше числа 95

Решение

Вычтем 48 из 65

65–48 = 17

Вычтем 65 из 95

95–65 = 30

65 больше 48 на 17 единиц и меньше 95 на 30 единиц.


Задачи умножения и деления

Задача 1. 90 чашек равномерно поместили в три коробки. В результате в каждой коробке 30 чашек. Напишите выражение, описывающее, что 90 чашек помещены в три коробки. Затем выполните действие в выражении.

Решение

90: 3

90: 3 = 30

30 = 30


Задача 2. 60 тарелок были упакованы в коробки по шесть тарелок в каждой. Результат - 10 коробок.Напишите выражение, описывающее, что 60 тарелок кладут в коробки по 6 тарелок в каждой. Затем выполните действие в выражении.

Решение

60: 6

60: 6 = 10

10 = 10


Задача 3. Есть 10 коробок тарелок. В каждой по 6 тарелок. Если распаковать все коробки, получится 60 тарелок. Напишите выражение, описывающее, что упаковка всех коробок дает 60 тарелок.

Решение

6 × 10 = 60 тарелок

Здесь следует сделать небольшую заметку.При построении выражения, содержащего произведение, желательно заранее понимать, что такое множимое, а что - множитель. По традиции сначала запишите множимое, а затем множитель.

Например, если вы хотите увеличить число 2 в три раза, вы должны написать 2 × 3. В этом выражении множимое - число 2, а множимое - число 3.

В постановке задачи было сказано, что после распаковки остается 60 пластин. Итак, конечная цель - получить эти 60 тарелок.И их можно получить, увеличив шесть пластин в десять раз. То есть умножение 6 на коэффициент 10. Значит, роль множимого играют тарелки, а роль множителя - коробки. В результате мы получим тарелки, количество которых будет увеличено в десять раз от оригинала.

Не думайте, что на рисунке представлены все 60 табличек. Это всего лишь модель, описывающая, что результатом умножения являются тарелки, а не коробки.

Конечно, при перестановке множителей произведение не меняется, но если поставить цифру 10 на первое место и цифру 6 на второе, то получится выражение 10 × 6.В этом выражении роль множимого играют прямоугольники, а роль множителя - тарелки. Тогда получается не 60 тарелок, а 60 коробок, что нарушает логику задачи:

Как и на предыдущем рисунке, не думайте, что он представляет все 60 квадратов, полученных в результате умножения. Это всего лишь модель, описывающая, что результатом умножения являются коробки, а не тарелки.

Как было сказано выше, произведение не меняется от перестановки мест факторов, и мы можем записывать коэффициенты в любом порядке, так как ответ на задание не изменится.Тем не менее, отслеживание порядка факторов позволяет нам понять задачу и ее суть.

Традиция записывать сначала множимое сохранилась только в некоторых странах. В большинстве других стран сначала пишут множитель, а затем - множимое. И это более правильно с точки зрения реальной математики.

Например, если мы встречаем обозначение 5 см, мы читаем «пять сантиметров», а не «сантиметров пять». Пять в данном случае - множитель - число, на которое один сантиметр увеличивается в пять раз.Под "см" подразумевается один сантиметр:

5 см = 5 × 1 см

В повседневном общении мы часто используем товар, иногда даже не замечая этого. И мы произносим сначала множитель, а затем - множимое. Примеры: «пять конфет», «сто долларов», «десять тюльпанов». Мы не говорим «конфет пять», «сто долларов» или «десять тюльпанов».

Напомним урок «Алгебраические выражения». Этот урок был основным для изучения алгебры. В нем мы затронули понятие коэффициента, множителя перед переменной.Мы написали этот множитель перед переменной, например 3a, 2x, 7y. Мы не писали a3, x2, y7. Первые обозначения правильнее, аккуратнее и эстетичнее. Позже, когда вы будете изучать алгебру и высшую математику, вы будете чаще замечать, что множитель стоит на первом месте.


Задание 4. В записной книжке 18 листов. Сколько блокнотов можно сделать из 54 листов?

Решение

18 листов - это одна тетрадь.Чтобы узнать, сколько таких записных книжек можно сделать из 54 листов, вам нужно сгруппировать эти 54 листа по 18 листов. Для этого 54 разделите на 18. Это позволяет узнать, сколько блокнотов можно сделать из 54 листов:

54: 18 = 3 блокнота


Задача 5. Всего (вместе) 72 листа в нескольких одинаковых тетрадях. В каждой тетради по 18 листов. Напишите выражение, чтобы узнать, сколько всего записных книжек.

Решение

Если в одной записной книжке 18 листов, то, чтобы узнать, сколько из тех же 18 листов (целых записных книжек) в 72 листах, разделите 72 на 18

72: 18 = 4 (тетради)


Задача 6. Всего в трех одинаковых тетрадях (вместе) 75 листов. Сколько листов в одной записной книжке?

Решение

Ноутбуки все одинаковые. Если разделить 75 на количество тетрадей, то есть на 3, мы узнаем, сколько листов в тетради:

75: 3 = 25 листов


Задание 7. Отцу 46 лет, сыну 23 года. Отец вдвое старше сына. Напишите выражение, которое описывает, что отец вдвое старше сына.

Решение

Записываем возраст отца и через знак равенства пишем, что возраст отца вдвое больше возраста сына:

46 = 23 × 2

Проделаем действие в правой части равенства, чтобы убедиться, что выражение верное - знак равенства должен оправдывать его положение:

46 = 23 × 2

46 = 46


Задание 8. Матери 36 лет, дочери 12 лет.Дочь в три раза моложе матери. Напишите выражение, описывающее, что дочь в три раза моложе своей матери.

Решение

Запишите возраст дочери и через знак равенства напишите, что она в три раза моложе своей матери

12 = 36: 3

Выполняем действие с правой частью равенства - получаем тождество:

12 = 12


Определить стоимость, длину, массу, время, скорость

Задача 1. Девять книг стоят 162 доллара. Сколько стоят пять из этих книг?

Для решения подобных задач сначала необходимо определить стоимость одной единицы товара. Затем используйте умножение и определите стоимость нескольких единиц товара. В этом случае 162 доллара следует разделить поровну на девять книг. Вот сколько стоит одна книга:

162: 9 = 18 долларов.

Получили стоимость одной единицы товара. То есть стоимость одной книги 18 долларов. Затем, чтобы узнать стоимость пяти одинаковых книг, умножьте 18 на множитель 5.

18 × 5 = 90 долларов.


Задача 2. Восемь магазинов стоят 176 долларов. Определите, сколько журналов вы можете купить за 66 долларов.

Определим стоимость магазина. Для этого разделите общую стоимость 176 долларов на восемь журналов:

176: 8 = 22 доллара.

22 доллара - стоимость одного журнала. Давайте определим, сколько журналов можно купить за 66 долларов. Для этого узнайте, сколько раз в 66 $ содержится 22 доллара. Другими словами, 66 долларов разделите на стоимость одного журнала:

.

66: 22 = 3 магазина.


Задача 3. Три рубашки были изготовлены из шести рулонов ткани. Определите, сколько рулонов было использовано для изготовления одной рубашки

Решение

Чтобы определить, сколько рулонов ушло на одну рубашку, разделите 6 рулонов на количество сшитых рубашек, то есть на 3.

6: 3 = 2


Задание 4. Изготовлено 5 штор из 15 метров ткани. Определите, сколько штор можно сшить из 42 метров ткани.

Решение

Давайте узнаем, сколько метров ткани нужно на пошив одной занавески.Для этого 15 метров разделите на количество сшитых штор, то есть на 5

.

15: 5 = 3 метра

На пошив одной занавески нужно три метра. Чтобы узнать, сколько штор можно сшить из 42 метров ткани, нужно эти 42 метра разделить на 3 метра

42: 3 = 14 штор


Задание 5. Из 3 кг муки испекли 6 буханок хлеба. Определите, сколько буханок можно испечь из 30 кг муки.

Решение

Давайте узнаем, сколько килограммов муки нужно, чтобы испечь одну буханку хлеба.Для этого 3 килограмма разделите на 6 буханок

.

3: 6 = 0,5 кг на буханку

На одну булочку уходит 0,5 кг муки. Давайте узнаем, сколько буханок можно получить из 30 кг муки. Для этого 30 кг разделите на 0,5

.

30: 0,5 = 60 буханок


Задание 6. Приобретено пять одинаковых мешков картофеля общей массой 15 кг. Определить массу одного мешка

Решение

15: 5 = 3 кг


Задача 7. Отец купил пять одинаковых мешков картошки общим весом 20 кг. Сын помог отцу нести 2 сумки. Сколько килограммов картошки унес сын?

Решение

Вес одного мешка:

20 кг: 5 = 4 кг

Вес сумок, которые нес сын:

4 кг × 2 = 8 кг.


Задача 8. Скорость вертолета 250 км / ч, а скорость самолета в 4 раза больше. Определите скорость самолета.

Решение

Если скорость самолета в 4 раза больше скорости вертолета, достаточно умножить скорость вертолета на 4. Таким образом, мы получаем скорость самолета:

250 км / ч × 4 = 1000 км / ч.


Задача 9. Поезд прошел 390 км за 6 часов, каждый час одинаково. Определите, сколько километров этот поезд проехал за 1 час.

Решение

Чтобы определить, сколько километров поезд проехал за час, достаточно 390 разделить на 6, т.е.е. разделить расстояние поровну на затраченное время:

390 км: 6 = 65 км каждый час


Задание 10. Букет цветов стоит 25 долларов. Какое наибольшее количество букетов можно купить за 160 долларов?

Решение

Разделить 160 на 25

За 160 долларов вы можете купить максимум 6 букетов, и все равно иметь сдачу в размере 10 долларов.


Графическое изображение задачи

Некоторые задачи полезно описывать графически в виде диаграмм, рисунков или таблиц.Это позволяет быстрее найти решение и понять суть задачи. Также есть задачи, которые сложно решить, если перед глазами нет графического изображения.

Графическое описание задачи - творческий процесс, и здесь все зависит от вашей фантазии.

Решим несколько простых задач, которые можно описать с помощью рисунков.

Задача 1. На фабрике было два куска ткани длиной 96 метров и длиной 84 метра каждый.Из них шили пальто. Вторая деталь была на 3 слоя меньше первой. Сколько пальто было сшито из каждого изделия?

Решение

Во-первых, нам нужно знать, сколько метров ткани уходит на одно пальто. Как только мы узнаем это число, мы сможем разделить на это число 96 метров и 84 метра и, таким образом, узнать, сколько пальто сделано из каждого куска. Но как это сделать?

Давайте выясним, насколько 96 метров больше 84 метров. Для этого вычтите 84 из 96.

96 м - 84 м = 12 м

96 метров больше 84 метров на 12 метров. В постановке задачи сказано, что на втором изделии получилось на три слоя меньше, чем на первом. Это означает, что первая деталь, напротив, сделала на три слоя больше, чем вторая. Для этих трех пальто используются найденные нами 12 метров ткани. Если разделить 12 метров на эти 3 слоя, мы узнаем, сколько метров ткани уходит на один слой:

12: 3 = 4 метра на слой

Теперь вы можете узнать, сколько пальто сшито из каждого куска ткани.Для этого делим числа 96 и 84 на 4 метра по очереди

96: 4 = 24 слоя из первой части

84: 4 = 21 слой из второго куска.

Мы можем проверить, действительно ли второе изделие нанесло на три слоя меньше, чем первое. Вычтем 21 из 24

24–21 = 3

Эта задача может быть представлена ​​графически. Представим 96 метров и 84 метра двумя линиями - вторая короче первой:

Проведите красную линию поверх этих двух линий так, чтобы эта линия пересекала 96 метров на участке, где заканчиваются 84 метра:

Теперь на первом куске ткани после красной линии нарисуем три слоя.Ведь из первого куска ткани сделали еще три пальто:

.

Ну, тогда если внимательно посмотреть на рисунок, можно понять, что нужно делать. Оставшуюся часть первой ткани (после красной линии) следует поровну разделить на 3 слоя и таким образом получить количество метров, израсходованных на один слой. Остаток первой материи (после красной линии) можно найти, вычтя 84 метра из 96 метров.

Теперь решать проблему намного удобнее.Разделите 12 метров на три слоя и определите, сколько метров ткани уходит на один слой.

Затем оба куска ткани делятся на 4 и определяют, сколько пальто сшито из каждого куска.


Задача 2. За 4 часа корабль прошел 136 км. Сколько километров он преодолеет за 8 часов, если будет двигаться с той же скоростью?

Решение

Найдем скорость теплохода. Напомним, что скорость - это расстояние, которое преодолевает тело (человек, автомобиль, лодка) за 1 час, 1 минуту или 1 секунду.Чтобы найти скорость, разделите пройденное расстояние на время в пути:

136: 4 = 34 км / ч

Итак, корабль проходит 34 километра за час. Проблема говорит, что корабль движется с одинаковой скоростью. Это позволяет нам узнать, сколько из этих 34 километров корабль проходит восемь раз (за 8 часов)

34 км × 8 = 272 км

Вы также можете сделать чертеж для этой задачи. Было бы особенно полезно, если вы не можете вспомнить, что такое скорость.

Нарисуем 136 километров прямой:

Над этой линией мы проводим четыре линии, которые представляют четыре часа.Они, в свою очередь, сообщат нам, сколько километров корабль проходит за час

Поскольку скорость корабля одинакова каждый час, мы можем добавить еще 4 часа, тем самым сделав подсказку о пройденном расстоянии:

При внимательном рассмотрении рисунка видно, что расстояние увеличилось вдвое. Мы можем записать произведение 136 × 2, равное 272 километрам. Мы также можем нарисовать нижнюю линию, представляющую пройденное расстояние:

136 × 2 = 272 км


Задача 3. Товарный поезд от станции до станции ходил 9 часов, пассажирский поезд - 6 часов. Какова скорость пассажирского поезда, если скорость грузового поезда 40 км / ч?

Решение

Вопрос в задаче - найти скорость пассажирского поезда. Чтобы найти скорость пассажирского поезда, нам нужно разделить пройденное расстояние на время его движения. Но дело в том, что мы не знаем пройденного расстояния. Все, что мы знаем, это время его поездки - 6 часов.

Но в задании есть подсказка, что товарный поезд прошел такое же расстояние за 9 часов и его скорость составила 40 км / ч. Это позволяет нам узнать расстояние между станциями. Если товарный поезд проходит 40 километров за час, то за 9 часов он проезжает в девять раз больше:

40 км × 9 = 360 км.

Теперь мы знаем расстояние между станциями. Это равно 360 километрам. Это позволяет легко определить скорость пассажирского поезда. Напомним, что для этого нужно пройденное расстояние (360 км) разделить на время в пути пассажирского поезда (6 ч)

.

360: 6 = 60 км / ч

Нарисуйте схему этой проблемы.Во-первых, мы представляем время товарного поезда в виде девяти строк. Те же линии представляют, сколько километров проходит грузовой поезд за час:

Ниже этих линий нарисуйте сплошную линию, которая представляет расстояние, пройденное этим поездом

Ниже от сплошной линии, показывающей расстояние, проведите шесть линий, которые представляют время в пути пассажирского поезда:

Если внимательно посмотреть на получившийся рисунок, можно понять, что делать дальше.Вы можете сложить все расстояния, пройденные товарным поездом за девять часов движения (40 км в час), и получить длину всего маршрута. Затем разделите полученное расстояние на время в пути пассажирского поезда (6 часов) и получите скорость его движения.


Задание 4. Школа-интернат на 250 детей имеет запасы картофеля в размере 22500 кг на 180 дней. На сколько дней производится запас картошки в другом интернате, если такая же норма на 160 детей составляет 9600 кг картошки?

Решение

Сначала займемся первой школой.В нем 250 детей. На них на 180 дней уложено 22500 кг картофеля. Обозначим проблему в виде таблицы. Таблицы - еще один полезный способ, позволяющий организовать данные в задаче и быстрее найти ее решение

Раздача картофеля на 250 детей
22500 кг на 180 суток
? за 1 сутки

Определите, сколько килограммов картофеля в день.Для этого разделите 22500 кг на 180 дней

22500 кг: 180 дней = 125 кг в день

Давайте добавим новое значение в нашу таблицу. Вместо вопросительного знака вставьте найденные 125 килограммов, что составляет в сутки

.
Раздача картофеля на 250 детей
22500 кг на 180 суток
125 кг за 1 сутки

Итак, 250 детям дают 125 кг картофеля в день.

Давайте определим, сколько килограммов картофеля в день на одного ребенка. Для этого 125 килограммов разделите на 250 детей

Раздача картофеля на 250 детей и 1 ребенка в день
125 кг на 250 детей
? на 1 ребенка

125 кг: 250 p = 0,5 кг в день на детей

Давайте добавим новое значение в нашу таблицу.Вместо вопросительного знака вставим найденные 0,5 килограмма на ребенка в день

Раздача картофеля на 250 детей и 1 ребенка в день
125 кг на 250 детей
0,5 кг на 1 ребенка

Итак, 0,5 кг - это масса картофеля, выделяемая на одного ребенка в день. Такой же массы является норма картофеля на ребенка в сутки

.
Норма картофеля на ребенка в сутки
0.5 кг за 1 сутки

В задании сказано, что вторая школа по такой же ставке выделила 9600 килограммов картофеля на 160 детей. Если 0,5 килограмма картофеля умножить на 160 детей, мы узнаем, сколько килограммов картофеля на 160 детей в день

0,5 кг × 160 c = 80 кг картофеля на 160 детей

А если 9600 килограммов разделить на 80 килограммов, мы узнаем, на сколько дней хватит выделенной картошки во второй школе.То есть ответ на вопрос получаем, узнав сколько дней картофельного резерва во второй школе-интернате

9600 кг: 80 кг = 120 дней

Раздача картофеля 160 детям
80 кг за 1 сутки
9600 кг на 120 дней

Поиск GCD и LCM

Задание 1. Всего 42 конфеты.Напишите следующие выражения, содержащие деление:

  • Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 2 детей;
  • Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 3 детей;
  • Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 7 детей;
  • Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 14 детей;
  • Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 21 ребенок;
  • Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 42 детей;

Решение

  • 42: 2 = 21
  • 42: 3 = 14
  • 42: 7 = 6
  • 42: 14 = 3
  • 42: 21 = 2
  • 42: 42 = 1

Задача 2. На улице играют трое детей. У нас есть 24 батончика Snickers и 18 батончиков Twix. Мы должны раздать эти шоколадные конфеты детям, чтобы все получили равную долю.

Решение

Сначала разделите 24 конфеты Snickers между тремя детьми:

24: 3 = 8 (каждый ребенок получает один батончик Snickers).

Затем мы делим 18 шоколадных конфет Twix между теми же тремя детьми:

18: 3 = 6 (шоколадные конфеты Twix каждому ребенку).

Каждый ребенок получает 8 Snickers и 6 Twix.


Задача 3. Есть 24 батончика Snickers и 18 батончиков Twix. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно сделать из этих шоколадных батончиков?

Решение

Эта задача аналогична предыдущей. В предыдущем мы разделили эти шоколадные батончики между тремя детьми. Но эти шоколадные батончики можно было разделить не только между тремя детьми, но и между двумя, четырьмя или шестью детьми.

В данном случае вопрос состоит в том, чтобы определить наибольшее количество детей, на которых разделить шоколадные батончики.При этом разделите их так, чтобы каждому ребенку достались равные доли шоколадных батончиков, а у нас ничего не осталось.

В таких случаях вам нужно найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел - в нашем случае 24 и 18. Напомним, что НОД - это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. А это то, что нам нужно.

Найдите НОД чисел 24 и 18

Итак, есть 24 батончика Snickers и 18 батончиков Twix, чтобы сделать шесть одинаковых подарков.

Мы можем разбить (разделить) каждый вид конфет на шесть подарков и узнать, сколько конфет каждого вида будет в каждом подарке:

24: 6 = 4 (шоколадные батончики Snickers)

18: 6 = 3 (шоколадные батончики Twix)

Каждый подарок содержит 4 батончика Snickers и 3 батончика Twix.


Задание 4. Есть 60 яблок и 40 груш. Какому наибольшему числу детей можно давать эти фрукты в равной степени? Сколько яблок и груш получит каждый ребенок?

Решение

Дети в этом случае являются наибольшим общим делителем.Наша задача - найти этот НОД, чтобы поровну распределить 60 яблок и 40 груш.

Наибольший общий делитель 60 и 40 равен 20. Таким образом, 60 яблок и 40 груш могут быть поровну распределены между 20 детьми.

Раздадим 60 яблок:

60: 20 = 3 (яблоко каждому ребенку).

Раздадим 40 груш:

40: 20 = 2 (каждому ребенку груши)

Каждый ребенок получил по три яблока и две груши.


Задание 5. Тканевый материал продается по 3 метра или по 4 метра.Какое наименьшее количество метров должно быть в рулоне, чтобы материал можно было продавать без остатков?

Решение

Для продажи материала без остатка количество его метров должно делиться на 3 и 4 метра без остатка. Мы знаем, что число, которое делится на оба числа без остатка, называется наименьшим общим кратным этих чисел. Так обстоит дело с этой проблемой. Чтобы ответить на вопрос, нам нужно найти НОК чисел 3 и 4.

НОК номеров 3 и 4 - 12. Таким образом, наименьшее количество метров материала должно быть 12, чтобы его можно было продать без остатка.


Задание 6. Маленькая коробка вмещает 24 карандаша, а большая - 30 карандашей. Определите наименьшее количество карандашей, которое можно поместить как в маленькие, так и в большие коробки.

Решение

Наименьшее общее кратное 24 и 30 равно 120. Таким образом, 120 карандашей можно класть как в маленькие, так и в большие коробки.

Если мы положим 120 карандашей в маленькие коробочки, нам понадобится 5 маленьких коробочек:

120: 24 = 5

Если мы кладем 120 карандашей в большие коробки, нам понадобится 4 больших коробки:

120: 30 = 4


Преобразование единиц измерения

Задача 1. Преобразуйте три минуты в секунды.

В одной минуте 60 секунд, в трех минутах 180 секунд:

60 × 3 = 180 (секунды)

3 минуты = 180 секунд


Задача 2. Преобразуйте десять минут в секунды.

В одной минуте 60 секунд, в десяти минутах 600 секунд:

60 × 10 = 600 (секунд)

10 минут = 600 секунд


Задача 3. Преобразуйте восемь минут в секунды.

В одной минуте 60 секунд, в восьми минутах - 480 секунд:

60 × 8 = 480 (секунд)

8 минут = 480 секунд


Задача 4. Преобразуйте 2 минуты и 3 секунды в секунды.

Две минуты это 120 секунд плюс 3 секунды, которые нигде не нужно переводить:

60 × 2 = 120

120 + 3 = 123 (секунды)

2 мин 3 с = 123 с


Задача 5. Преобразуйте 15 минут и 47 секунд в секунды.

15 минут - это 900 секунд плюс 47 секунд, которые нигде переводить не нужно:

60 × 15 = 900 секунд

900 + 47 = 947 секунд

15 мин 47 с = 947 с


Задача 6. Перевести 3 центнера и 45 килограммов в килограммы.

Сначала переведем 3 центнера в килограммы. Один центнер равен 100 килограммам, а три центнера - 300 килограммам. Плюс еще 45 килограммов. Таким образом, мы должны сложить 300 и 45. Результат 345 килограммов:

3c 45 кг = 300 кг + 45 кг = 345 кг


Задача 7. Перевести 4 килограмма и 654 грамма в граммы

Сначала переведем 4 килограмма в граммы. 1 килограмм - это 1000 граммов, а 4 килограмма - это 4000 граммов. Плюс еще 654 грамма. Таким образом, мы должны сложить 4000 и 654. В итоге получаем 4654 грамма:

4 кг 654 г = 4000 г + 654 г = 4654 г


Задача 8. Преобразуйте 20 секунд в минуты. Запишите ответ дробью:

20 сек. =

мин.

Выражение

означает, что минута делится на 60 равных частей (на 60 секунд), и из этих частей берется 20 частей.

Задача 9. Преобразуйте 15 секунд в минуты. Запишите ответ дробью:


Задача 10. Преобразуйте 45 минут в часы. Запишите ответ дробью:

45 мин. =

ч.

Выражение

означает, что час разделен на 60 частей, и 45 частей взяты из этих 60 частей. А 45 частей из 60 - это 45 минут.

Задание 11. Масса лошади 500 кг. Выразите эту массу в тоннах.Запишите ответ обыкновенной дробью:


Задача 12. Запишите 6 минут и 15 секунд как смешанное число

Шесть минут - это целая часть смешанного числа. Пятнадцать секунд - это пятнадцать секунд из шестидесяти, поэтому

- это дробная часть.

6 мин. 15 сек. = 6


Задача 13. Запишите 43 метра и 5 сантиметров в виде смешанного числа

43 метра - целая часть смешанного числа. Пять сантиметров - это пять сантиметров из ста сантиметров, поэтому

будет дробной частью смешанного числа:

43 м 5 см = 43

м.

Задание 14. К 6 центнерам 87 кг добавить 2 центра 45 кг

Запишем задачу в виде выражения:

6 c 87 кг + 2 c 45 кг

Для удобства переведем эти значения в килограммы, получим 687 кг и 245 кг. Сложим эти килограммы и получим 932 кг. Тогда разберем центнеры и остальные килограммы по отдельности:

6 c 87 кг + 2 c 45 кг = 687 кг + 245 кг = 932 кг = 9 c 32 кг

Второй способ - со смешанными числами:


Задача 15. Найдите значение следующего выражения: 3 кг 6 г - 2 кг 3 г

Решение

3 кг 6 г - 2 кг 3 г = 30006 г - 2003 г = 1003 г = 1 кг 3 г

Решим эту задачу со смешанными числами:

Таким образом, вычитание двух из трех дает единицу, которая становится целой частью полученного смешанного числа. Значение выражения

превратилось в дробь, которая стала дробной частью смешанного числа.

Но выражение

можно было бы вычислить, преобразовав смешанные числа в неправильные дроби.Решение будет выглядеть так:

Конечно, это решение выглядит более громоздким, чем первое решение. Первый выглядит намного короче и аккуратнее:

.

Но учтите, что при решении таких задач иногда бывает, что дробная часть вычитаемого меньше дробной части вычитаемого. В этом случае рекомендуется искать обходные пути, чтобы сократить время решения. В противном случае задача может занять полстраницы.


Задача 16. Найдите значение следующего выражения:

43 м 5 см - 37 м 86 см

Решение

43 м 5 см - 37 м 86 см = 4305 см - 3786 см = 519 см = 5 м 19 см

Теперь попробуем решить эту задачу со смешанными числами

Мы видим, что дробная часть вычитаемого меньше дробной части вычитаемого. Если попытаться вычислить целую и дробную части по отдельности, мы получим довольно громоздкое решение:

И если сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, можно записать решение намного короче:

Также можно использовать другой метод, который часто используется в школах.Суть метода состоит в том, что они берут одну единицу из целой части уменьшаемого числа и представляют ее в виде дроби с тем же знаменателем, что и дробная часть уменьшаемого числа. Затем эта фракция добавляется к дробной части уменьшаемой суммы.

Запишем minuend

в следующем виде:

Мы удалили единицу из целой части числа 43 - теперь целая часть представляет собой сумму чисел 42 и 1. Теперь представьте единицу в виде дроби с тем же знаменателем, что и дробь

.

Теперь складываем дроби

и - получаем следующее выражение:

Минуэнд, который раньше был

, теперь.Мы видим, что проблема уменьшаемого исчезла - оно больше, чем вычитаемое. Это позволяет нам вычислять целые числа и дроби отдельно и получить короткое решение:

При решении таких простых задач не нужно прибегать к дробям, а тем более к таким методам, которые мы сейчас обсуждаем. Ваша цель - уметь применить свои знания на практике.


Задача 17. Найдите значение следующего выражения:

24 c 6 кг - 21 c 78 кг

Решение

24 c 6 кг - 21 c 78 кг = 2406 кг - 2178 кг = 228 кг = 2 c 28 кг


Задача 18. Найдите значение следующего выражения:

16 км 34 м - 8 км 546 м

Решение

16 км 34 м - 8 км 546 м = 16034 м - 8546 м = 7488 м = 7 км 488 м


Задача 19. Выполнить сложение:

15 ч 28 мин + 6 ч 37 мин

Решение

15 ч 28 мин + 6 ч 37 мин = 928 мин + 397 мин = 1325 мин

У нас 1325 минут. Выразите этот ответ в часах и минутах. Для этого «вынимаем» часы из 13.25.

60 минут - это один час. И чтобы понять, сколько таких 60 минут (часов) содержится в 1325 минутах, надо 1325 разделить на 60

.

Получаем ответ, что 1325 минут это 22 часа 5 минут

15 ч 28 мин + 6 ч 37 мин = 928 мин + 397 мин = 1325 мин = 22 ч 5 мин


Задача 18. Первый в мире советский искусственный спутник Земли имел массу 83 кг 600 г. Масса второго спутника была на 424 кг на 700 г больше массы первого спутника и на 818 кг 700 г меньше массы третьего спутника.Определите массу третьего искусственного спутника Земли.

Решение

Найдем массу второго спутника. Это больше массы первого спутника на 424 кг 700 граммов. Добавим еще 424 кг и 700 грамм к массе первого спутника

.

Далее говорится, что масса второго спутника меньше на 818 кг и 700 грамм. Если к массе второго спутника прибавить 818 кг и 700 грамм, мы получим массу третьего спутника

.

Итак, третий искусственный спутник Земли имеет массу 1327 килограммов.


Упражнения

Задача 1. Две одинаковые бочки наполнены водой. Когда из них было взято 16 ведер воды по 9 литров, в первой бочке осталось 34 ведра воды, а во второй - 20 ведер. Сколько литров воды было взято из каждой бочки?

Решение

Давайте определим, сколько ведер воды было в двух бочках изначально. Для этого добавьте оставшуюся воду в обе бочки (34) и (20) плюс 16 взятых из них ведер:

34 + 20 + 16 = 70 ведер воды изначально было в обеих бочках.

Поскольку бочки одинаковые, можно разделить 70 на 2 и узнать, сколько ведер было в каждой бочке по отдельности:

70: 2 = 35 ведер в каждой бочке.

У первого ствола осталось 34 ведра. Вычтите 34 ведра из 35 ведер и узнайте, сколько ведер было взято из первой бочки:

35-34 = 1 ведро из первого ствола

Во второй бочке осталось 20 ведер. Вычтите 20 ведер из 35 ведер - узнайте, сколько ведер было взято из второй бочки:

35 - 20 = 15 ведер из второго ствола

Проблемное состояние говорит, что одно ведро вмещает 9 литров.Умножив 9 литров на количество взятых нами ведер, мы находим, сколько литров воды было взято из каждой бочки.

9 × 1 = 9 литров воды из первой бочки
9 × 15 = 135 литров воды из второй бочки

Ответ: из первой бочки взяли 9 литров воды, из второй бочки 135 литров.

Задача 2. 15 растений редиса дают 180 000 семян в год. Сколько семян дадут 80 растений редиса за год?

Решение

Определите, сколько семян дает одно растение редиса в год.Для этого разделите 180 000 на 15:

.

180 000: 15 = 12 000 семян на растение.

Если одно растение дает 12 000 семян, то 80 растений дадут урожай в восемьдесят раз больше. Чтобы узнать, сколько именно, умножьте 12000 на 80:

.

12000 × 80 = 960 000 семян даст 80 растений

Ответ: 80 диких растений редиса дадут 960 000 семян.

Задача 3. 4 кг сахара и 5 кг яблок стоят 6,8 долларов США.Сколько стоит 1 кг сахара, если 1 кг яблок стоит 0,6 доллара?

Решение

Определите, сколько долларов было заплачено за яблоки. Для этого умножьте 0,6 на количество килограммов, т.е. 5:

.

0,6 × 5 = 3 доллара за яблоки.

Давайте вычтем эти 3 доллара из общей суммы уплаченных денег (6,8 доллара). Так мы узнаем, сколько долларов было заплачено за сахар:

6,8 - 3 = 3,8 доллара за сахар.

Давайте узнаем, сколько стоит килограмм сахара.Для этого разделите 3,8 доллара на количество килограммов, то есть на 4

.

3,8: 4 = 0,95 доллара за килограмм сахара

Ответ: 1 килограмм сахара стоит 0,95 доллара.

Задание 4. Библиотеке необходимо 3240 переплетенных книг. Одна мастерская может выполнить заказ за 12 дней, другая - за 15 дней, а третья - за 20 дней. Сколько дней у трех мастерских уйдет на выполнение заказа, и все они будут работать одновременно?

Решение

Если мы разделим 3240 на количество дней (12, 15 и 20) один за другим, мы узнаем, сколько книг каждый семинар может переплести в день.Затем вы складываете результаты и выясняете, сколько книг три семинара могут переплести одновременно в день. И если мы разделим 3240 книг на количество книг, связанных вместе за один день по трем магазинам, мы узнаем, сколько дней у них уходит на выполнение заказа одновременно:


3240: 12 = 270 (книг) в день на 1 мастерскую
3240: 15 = 216 (книг) в день на 2 мастерских
3240: 20 = 162 (книги) в день на 3 мастерских
270 + 216 + 162 = 648 (книг) в день по 3 мастерским одновременно
3240: 648 = 5 (дней) мастерские переплетают все книги.

Ответ: Три магазина должны переплести все книги за 5 дней.

Задание 5. Мама купила 4,5 кг крупы по цене 12,8 долларов за килограмм. Сколько злаков по 3,2 доллара за килограмм можно купить на эти деньги?

Решение

Определите, сколько денег заплатила мама за 4,5 кг хлопьев. Для этого умножаем 12,8 $ × 4,5

.

12,8 × 4,5 = 57,6 доллара за 4,5 кг крупы

Сделаем крупу по 3 доллара.2 дороже:

12,8 + 3,2 = 16 $.

Давайте узнаем, сколько крупы можно купить на 57,6 руб. Для этого разделим 57,6 доллара на цену за килограмм, т.е. на 16

.

Разделите 57,6 доллара на цену за килограмм.

57,6: 16 = 3,6 кг

Ответ: 3,6 килограмма крупы по цене 16 долларов за килограмм можно купить за 57,6 доллара.

Задание 6. Два маляра вместе расписали 144 окна.Один из них работал 6 дней по 7 часов в день, а другой - 5 дней по 6 часов в день. Сколько окон нарисовал каждый художник, если за 1 час они нарисовали одинаковое количество окон?

Решение

Определите, сколько часов работал каждый маляр:

7 × 6 = 42 часа работы первого маляра
6 × 5 = 30 часов работы второго маляра

Определите, сколько часов красили окна:

42 + 30 = общее время покраски рам 72 часа.

Определите, сколько кадров будет нарисовано за 1 час. Для этого общее количество окрашенных рамок (144) разделите на общее время их покраски (72)

.

Общее количество окрашенных кадров (144).

144: 72 = 2 окна окрашиваются за один час.

Определите, сколько рам нарисовал первый художник:

2 × 42 = 84 окна, нарисованные первым художником

Определите, сколько рам нарисовал второй художник:

2 × 30 = 60 рамок, нарисованных вторым художником

Ответ: первый маляр расписал 84 окна.Второй художник нарисовал 60 кадров.

Задание 7. В хлебный отдел магазина доставлено 10 ящиков черного хлеба и 14 ящиков белого хлеба. Количество буханок на одном ящике и количество хлебов на другом ящике одинаковы. Всего в отделение было доставлено 288 буханок хлеба (как черного, так и белого). Сколько буханок черного хлеба и сколько буханок белого хлеба принесли в хлебный цех?

Решение

Определить общее количество коробок:

10 + 14 = 24 коробки

Определите, сколько единиц хлеба на противне.Для этого общее количество хлебных единиц (288) разделите на общее количество коробок (24)

.

решить, сколько единиц хлеба в лотке

288: 24 = 12 единиц хлеба на противень.

Количество единиц хлеба на ящиках одинаковое. Определите, сколько буханок черного хлеба принесли в хлебный цех:

В отдел доставлено 12 × 10 = 120 буханок черного хлеба.

Определите, сколько буханок белого хлеба было принесено в хлебный цех:

12 × 14 = 168 буханок белого хлеба принесено в хлебный цех.

Ответ: Хлебный цех привез 120 буханок черного хлеба и 168 буханок белого хлеба.

Задание 8. За 7 м шелка заплатили на 450 долларов больше, чем за 4 м того же шелка. Сколько стоит 1 м шелка?

Решение

Разница между 7 м и 4 м составляет 3 м. Указанные в задаче 450 $ приходится на эти 3 миллиона. Давайте определим, сколько долларов уходит на 1 м шелка.Для этого 450 $ разделите на 3

.

450: 3 = 150 $ - стоимость 1 метра шелка.

Ответ: стоимость 1 м шелка 150 $

Задание 9. В шкафу 5 литровых банок с пшеном и 3 литровых банок с горохом, а пшена на 2210 г больше, чем гороха. Сколько пшена и сколько гороха в шкафу?

Решение

Разница между пятью банками и тремя банками - две банки.Эти две банки составляют 2210 граммов. Определим, сколько граммов в одной банке. Для этого разделите 2210 г на 2

.

2210: 2 = 1105 г - масса одной банки.

Определите, сколько проса находится в шкафу. Для этого умножим 1105 г на количество банок проса:

1105 × 5 = 5525 грамм проса в шкафу.

Определите, сколько горошин в шкафу. Для этого умножьте 1105 г на количество банок гороха:

1105 × 3 = 3315 грамм гороха в шкафу.

Ответ: в шкафу 5525 г проса и 3315 г гороха.

Задание 10. На мельницу доставлено 6360 кг пшеницы. При помоле пшеницы отходы составили 860 кг. Муку равномерно насыпали в мешки и загрузили на три машины. В первый загрузили 28 мешков, во второй - 32 мешка, а в третий - 40 мешков. Сколько килограммов муки было загружено в каждую машину?

Решение

Определите, сколько килограммов муки было получено из 6360 кг пшеницы.Для этого из 6360 кг пшеницы вычитаем 860 кг отходов:

6360 - 860 = 5500 кг муки.

Определите количество мешков, в которые была засыпана мука:

28 + 32 + 40 = 100 пакетов.

Определите массу одного мешка. Для этого разделим 5500 кг муки на количество мешков:

.

5500: 100 = 55 кг - масса одного мешка.

Определите, сколько килограммов муки было загружено на каждую машину:

55 × 28 = 1540 кг загружены на первую машину.
55 × 32 = 1760 кг загружена на вторую машину.
55 × 40 = 2200 кг загружены на третью машину.

Ответ: первая машина загрузила 1540 кг муки, вторая - 1760 кг, а третья - 2200 кг.

Аббревиатуры большого числа

В задачах часто используются разные сокращения для больших чисел. Вместо нулей используются сокращения миллиард, миллиард.

Пример 1. Вместо 1000 используется сокращение 1K.

Пример 2. Вместо 2000 используется сокращение 2K.

Пример 3. Вместо 1000000 используется обозначение 1 M.

Пример 4. Вместо 1000000000 мы используем обозначение 1 B.

Сокращения K, M, B заменяют множители 1000, 1000000, 1000000000 соответственно. Чтобы написать число полностью без сокращений, просто умножьте его на соответствующий множитель.

Например, если число в письме 5500, вам нужно умножить его на 1000, чтобы записать его полностью

5,5 × 1000 = 5500


Пример 2. Напишите число 1,5К без сокращения

Аббревиатура K указывает на множитель 1000. Умножим на него 1500

.

1500 × 1000 = 1 500 000


Пример 3. Напишите число 1500,5 К без сокращения

1500,5 × 1000 = 1 500 500


Пример 4. Напишите число 11,2 К без сокращения

11,2 × 1000 = 11 200


Пример 5. Напишите 1,5 M без сокращения

Аббревиатура «миллион» указывает на множитель 1000000. Умножение на 1,5

1,5 × 1000000 = 1500000


Пример 6. Заработная плата отца составляет 32,7 тыс. Долларов, а матери - 28,2 тыс. Долларов. Запишите эти числа без сокращений.

32,7 × 1000 = 32700 долларов США

28.2 × 1000 = 28 200 долларов США

Дивизион

В этом уроке мы научимся делить числа. Деление чисел - нелегкая операция для изучения и использования. Мы рекомендуем набраться терпения, чтобы завершить этот урок.

Что такое деление?

Определение. Разделение - это действие по разделению чего-либо. Деление состоит из трех параметров: делителя, делителя и частного. Делимое - это то, что делится. Делитель - это число, которое показывает, на сколько частей разделить делимое.Частное - это фактический результат.

Например, предположим, что у нас есть четыре яблока:

Разделите их поровну между двумя друзьями. Тогда деление покажет, сколько яблок получит каждый. Несложно заметить, что каждому достанется по два яблока:

Процесс деления четырех яблок двумя друзьями можно описать следующим выражением:

В этом примере яблоки играют роль делимого. Роль делителя играют два друга, показывающие, на сколько частей разделить 4 яблока.Роль частного играют два яблока, показывающих, сколько их достало.

Есть и другие способы говорить о делении. Вернемся к предыдущему выражению 4: 2 = 2. Мы можем посмотреть на делитель 2 и задать вопрос «сколько двоек в четверке?» и ответ - «две двойки». Действительно, если сложить две двойки, получится число 4

В ситуации с четырьмя яблоками вы можете задать вопрос «сколько раз два яблока содержатся в четырех яблоках» и ответить «два раза».

Чтобы научиться делить, вам нужно хорошо знать таблицу умножения. Почему умножение? Потому что мы говорим о разделении. Дело в том, что деление - это обратное умножение. Эту фразу можно понять в прямом смысле. Например, если 2 x 5 = 10, то 10: 5 = 2.

Вы можете видеть, что второе выражение написано в обратном порядке. Если у нас есть два яблока и мы хотим увеличить их в пять раз, мы пишем 2 x 5 = 10.Получилось бы десять яблок. Затем, если мы хотим вернуть десять яблок обратно к двум яблокам, мы запишем 10: 5 = 2.

Знак деления выглядит как двоеточие: но также можно встретить двоеточия и тире?

В письменной форме имеет смысл использовать двоеточие, потому что оно выглядит аккуратнее.


Дивизия с остатком

Определение. Остальное - это то, что осталось от деления без разделения.

Например, если пять разделить на два, получится два, а в остатке - один:

5: 2 = 2 (1 в остатке)

Вы можете проверить это умножением:

(2 х 2) + 1 = 5

Предположим, у нас есть пять яблок

Разделите их поровну между двумя друзьями.Но нельзя разделить поровну целых пять яблок. Тогда это деление покажет, что каждый получит по два яблока, а в остатке будет одно яблоко:


Длинный разделитель (столбец)

Если вам нужно разделить большое число, обязательно используйте этот метод.

Перед длинным делением вы должны знать:

  • нормальное деление малых чисел;
  • деление с остатком;
  • длинное умножение;
  • длинное вычитание.

Давайте посмотрим на деление в столбик на простом примере. Найдем значение выражения 9: 3. В столбик записываем следующее:

Пример 1. Всем известно, что девять делить на три - три. Ответ (частное) записывается так:

Чтобы проверить, есть ли остаток от деления, вам нужно умножить частное на делитель и записать ответ под частным. Фактор в этом случае равен 3, и делитель также равен 3.Умножьте эти два числа: 3 x 3 = 9. Получается 9. Запишите эту девятку под делителем:

Теперь из делителя вычитаем девять, которые написали под ним: 9 - 9 = 0. Остаток равен нулю. Проще говоря, остатка нет. Это успешно завершает разделение:


Пример 2. Найдите значение выражения 8: 3

Восемь умножить на три - непростое деление. Таблица умножения тоже не поможет. В этом случае будет присутствовать остаток от деления.

Давайте сначала напишем это выражение с длинным делением:

Теперь мы должны задать вопрос: «Сколько троек в восьмерке?» Восьмерка содержит две тройки. Это можно увидеть даже воочию, если мы подумаем о восьмерке как о восьми палках:

В школе частное вычисляется методом сопоставления. Все мы слышали фразы вроде «возьми один», «возьми два» или «возьми три». У нас как раз такой случай. Мы берем два, отвечая, что в восьмерке две тройки.Запишем два в правом углу:

Теперь выньте остаток. Для этого умножьте частное на делитель (2 на 3) и запишите полученное число под делителем:

Затем вычитаем 6 из 8. Полученное число и есть остаток:

8: 3 = 2 (2 в остатке)

Чек: (2 x 3) + 2 = 6 + 2 = 8


Деление многозначного числа на однозначное

В первый раз эта тема может показаться запутанной.Не отчаивайтесь и не отказывайтесь от обучения. Понимание придет в любом случае. Если не сразу, то чуть позже. Главное - не сдаваться и продолжать усердно учиться.

В предыдущих примерах мы разделили однозначное число на однозначное, и это не доставляло нам особых проблем. Теперь мы собираемся разделить многозначное число на однозначное число.

Если вы не понимаете, что такое однозначные и многозначные числа, советуем изучить предыдущий урок, который называется умножением.

Чтобы разделить многозначное число на однозначное число, вы должны сначала посмотреть на первую цифру этого многозначного числа и увидеть, больше ли оно, чем делитель. Если оно больше, то делите, а если нет, то проверяйте, не превышают ли первые две цифры многозначного числа делитель. Если первые две цифры больше делителя, то делите, а если нет, то проверьте, не превышают ли первые три цифры многозначного числа делитель. И так до тех пор, пока не будет сделано первое деление.

Это сложно? Вовсе нет, если мы посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1. Найдите значение выражения 25: 3

25 - это многозначное число, а 3 - однозначное число. Примените правило. Посмотрите на первую цифру многозначного числа. Первая цифра - 2. Два больше, чем три? Нет. Итак, мы смотрим на первые две цифры многозначного числа. Первые две цифры образуют число 25. Двадцать пять больше трех? Да, больше. Итак, делим число 25 на 3.Запишите это выражение с помощью долгого деления и начните деление:

Сколько тройок в 25? Если ответ поначалу будет затруднен, можно посмотреть таблицу умножения на три. Там вам нужно найти товар меньше 25, но очень близкий к нему или равный ему. Если вы нашли такой продукт, вам нужно оттуда взять множитель, давший такой продукт:

Это таблица умножения на три. В нем вам нужно найти продукт, который меньше 25, но очень близок к нему или равен ему.Очевидно, это произведение 24, которое выделено синим цветом. Из этого выражения вам нужно вычесть множитель, давший этот продукт. Это множитель 8, заштрихованный красным.

Эта восьмерка отвечает на вопрос, сколько троек в числе 25. Запишите это так:

Теперь выньте остаток. Для этого умножьте частное на делитель (8 на 3) и запишите полученное число под делителем:

Теперь вычтите число 24 из делителя и получите 1.Это будет остаток:

25: 3 = 8 (1 осталось)

(8 x 3) + 1 = 24 + 1 = 25

Последний остаток всегда меньше делителя. Если последний остаток больше делителя, это означает, что деление не завершено.

В приведенном выше примере последний остаток был равен 1, а делитель - 3. Единица меньше трех, поэтому деление завершено. Последний остаток, меньший делителя, означает, что он не содержит чисел, равных делителю.

В нашем примере, если вы зададите вопрос «сколько троек в единице?», Ответ будет «нет», потому что единица не содержит троек, потому что она меньше трех.


Пример 2. Разделить 326 на 4.

Посмотрите на первую цифру 326. Первая цифра - 3. Она больше делителя 4? Нет. Затем мы проверяем две цифры делителя. Две цифры делителя образуют число 32. Оно больше делителя 4? Да, это. Вот почему мы его разделяем.Напишите это выражение:

Теперь мы задаемся вопросом: «Сколько четверок в числе 32? В числе 32 восемь четверок. Это можно увидеть в таблице умножения на четыре:

Эта восьмерка, выделенная красным, отвечает на вопрос, сколько четверок в 32. Напишите:

Теперь умножьте 8 на 4, чтобы получить 32, и запишите это число под делителем. Затем вычтите это число из 32. Получаем 0. Поскольку решение еще не окончено, не записывайте ноль:

Первое число 32 делится.Осталось разделить оставшиеся 6. Для этого снести эти шесть:

Теперь разделите 6 на 4. Для этого зададим вопрос: «Сколько четверок в шестерке?» Одно четыре из шести; Вы можете убедиться в этом, представив шесть палочек в виде шести палочек:

Напишите единицу в правом углу нашего ответа:

Теперь умножьте нашу единицу на делитель (1 на 4) и запишите полученное число под шестью:

Затем мы вычитаем 4 из 6 и получаем число 2, которое является остатком:

Мы получили 326: 4 = 81 (2 в остатке)

Чек: (81 x 4) + 2 = 324 + 2 = 326

Процедура, в которой мы ищем первое число для деления, сравнивая, больше ли оно делителя или меньше, называется поиском первого неполного делителя .

Вернемся к предыдущему примеру 326: 4. Первым неполным делителем в этом выражении было 32, потому что мы разделили его первыми.

А в примере 25: 3 первый неполный делитель был 25.


Пример 3. Найдите значение выражения 384: 5

Запишите это выражение:

Сначала находим первый неполный делитель . Первая цифра меньше делителя, поэтому проверяем две цифры.Две цифры вместе образуют число 38, которое больше делителя. Это число будет первым неполным делителем . Сначала разделим его на делитель:

Сколько пятерок в числе 38? Если сразу ответить затруднительно, можно посмотреть в таблице умножения для пяти и найти произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Найдя такой товар, нужно оттуда взять множитель, который ответит на наш вопрос:

Это таблица умножения на пять.Найдите продукт, который меньше 38, но очень близок к нему или равен ему. Очевидно, это произведение 35, которое выделено синим цветом. Из этого выражения мы убираем множитель, давший этот продукт. Это множитель 7, он выделен красным.

Эта семерка отвечает на вопрос о том, сколько пятерок в числе 38. Напишите эту семерку в правом углу нашего примера:

Умножьте 7 на 5, чтобы получить 35 и запишите под 38:

Теперь вычтем 35 из 38 и получим 3:

.

Эта тройка представляет собой остаток, который остался неразделенным после деления 38 на 5.Но вы можете видеть, что нам все еще нужно разделить 4. Эти 4 мы снимем и разделим вместе с 3:

.

Вы можете видеть, что после того, как мы сняли четверку, вместе с тройкой образовалось число 34. Мы разделим это число 34 на 5. Для этого снова зададим вопрос: «сколько пятерок в числе 34». ? " Вы можете снова взглянуть на таблицу умножения для пяти и найти произведение, которое меньше 34, но очень близко к нему или равно ему:

Вы можете видеть, что в таблице умножения на пять число 30 меньше нашего 34, но близко к нему.Из этого выражения мы берем множитель 6, который отвечает на наш вопрос. Напишите эту шестерку в правом углу нашего примера:

Теперь умножьте 6 на 5, чтобы получить 30 и запишите это число под 34:

Теперь вычтите 30 из 34, и вы получите 4. Эти четыре - остаток от деления 384 на 5.

384: 5 = 76 (и 4 осталось)

Чек: (76 x 5) + 4 = 380 + 4 = 384


Пример 4. Найдите значение выражения 8642: 4

Этот пример немного сложнее.Напишите это выражение в углу:

Первая цифра 8 больше делителя. Эта восьмерка будет первым неполным делителем. Разделив 8 на 4, получим 2

Теперь умножьте 2 на 4, и вы получите 8. Запишите эту восьмерку под первым неполным делителем:

Вытяните остаток: 8 - 8 = 0. Остаток от деления 8 на 4 равен нулю. Ноль не записываем, потому что решение примера не полное.

Затем мы снимаем число 6 и делим его на делитель, и получаем 1

Умножьте 1 на 4, чтобы получить 4.Напишите эти четыре под шестью снятыми. Затем вычтите остаток, вычтя четыре из шести:

Остаток равен 2. Это остаток от деления 6 на 4.

Теперь вынимаем следующую цифру из делителя. Это цифра 4. Эта четверка вместе с предыдущим остатком 2 дает 24. Мы делим ее на делитель. Получаем 6

Умножьте 6 на 4, чтобы получить 24. Запишите это число под 24

Вытащите остаток: 24-24 = 0.Ноль - это остаток от деления 24 на 4. Ноль, как мы уже договорились, не записывается. Затем снимаем последнюю цифру 2

Здесь начинается самое интересное. Два - это последняя цифра, которую мы сняли, и мы должны разделить ее на делитель 4. Но дело в том, что два меньше четырех, а делитель должен быть больше делителя. Если мы зададим вопрос «сколько четверок в двойке?», Ответ будет нулевым, потому что двойка меньше четверки и не может содержать число больше, чем она сама.

Следовательно, два, разделенные на четыре, равны нулю:

Умножьте 0 на 4, чтобы получить 0. Запишите 0 под 2:

Теперь найдите остаток: 2 - 0 = 2. Два - это остаток от деления 8642 на 4. Это завершает пример:

8642: 4 = 2160 (2 осталось)

Чек: (2160 x 4) + 2 = 8640 + 2 = 8642


Деление чисел, оканчивающихся нулями

Чтобы разделить число с нулем в конце, вам нужно временно отбросить этот ноль, произвести обычное деление и добавить этот ноль к ответу.

Например, разделите 120: 3

Сколько троек в числе 120? Чтобы ответить на этот вопрос, мы временно отбрасываем ноль в конце 120 и делим 12 на 3, чтобы получить 4. Затем мы добавляем этот ноль к частному. Получаем 40:

Теперь умножьте частное на делитель (40 на 3), и вы получите 120. Затем мы находим остаток: 120 - 120 = 0. Остаток равен нулю. Пример завершен.

120: 3 = 40

Проверить 40 x 3 = 120.

Такие простые примеры не нужно решать уголком. Достаточно знать таблицу умножения. Далее просто добавьте нули в конце. Например:

12: 3 = 4 (делитель без нулей в конце)

120: 3 = 40 (у этого в конце один ноль).

1200: 3 = 400 (здесь у субъекта два нуля)

12000: 3 = 4000 (у него три нуля)

В этом методе есть небольшая загвоздка. Если вы заметили, под делением этих чисел мы имеем в виду таблицу умножения.Представьте деление 400 на 5.

Мы можем рассуждать по-старому - временно отбросить все нули и разделить обычные числа. Но что будет, если отбросить все нули в числе 400? Мы обнаруживаем, что делим 4 на 5, что недопустимо. В этом случае мы должны отбросить только один ноль и разделить 40 на 5 вместо 4 на 5.

Этот метод работает только в том случае, если вы можете плавно применить таблицу умножения. В других случаях вам придется искать обходные пути, вычисляя частное с делением на столбцы.

Например, найдите значение выражения 1400: 5. Здесь отбрасывание нулей нам ничего не даст. Этот пример нужно решать с разделением на столбцы, или вы можете собрать ответ как конструктор. Посмотрим на второй способ.

Что такое 1400?

Вспомните значение разряда. 1400 - одна тысяча четыреста:

1000 + 400 = 1400

1000 можно разделить отдельно на 5 и 400 на 5:

1000: 5 = 200

400: 5 = 80

и сложите результаты:

200 + 80 = 280

Итого: 1400: 5 = 280

Давайте решим тот же пример с разделением на столбцы:


Деление многозначного числа на многозначное число

Здесь вам придется напрячь свой мозг и выжать из него максимум, потому что разделить многозначное число на многозначное число не так просто.

Принцип деления такой же, как и раньше. Здесь также нужно найти первый неполный делитель. Здесь вы также можете найти остаток от деления.

Сначала мы представляем новую концепцию - круглое число . Круглое число - это число, заканчивающееся нулем. Например, следующие числа круглые:

10, 20, 30, 500, 600, 1000, 13000

Любое число можно превратить в круглое число. Для этого первые цифры, образующие наибольшую цифру, оставляются без изменений, а остальные цифры заменяются нулями.

Например, превратим число 19 в круглое число. Первая цифра числа 1 образует старшую цифру (цифру десятков) - цифра остается как есть, а оставшиеся 9 заменяются нулем. Результат 10.

Другой пример. Превратим число 125 в круглое. Первая цифра 1 образует наибольшее место (место сотен) - цифру оставляем без изменений, а остальные 25 цифр заменяем нулями. Результат - 100.

Другой пример.Превратите число 2431 в круглое число. Первая цифра 2 - это самая большая цифра (цифра тысячи), оставьте ее без изменений, а оставшиеся цифры 431 замените нулями. Конечный результат будет 2000.

Другой пример. Превратим число 13735 в круглое. Первые две цифры числа 13 образуют большую цифру (десятки тысяч) - оставьте эти две цифры без изменений, остальные цифры 735 заменяются нулями. Результат 13000.

  Предупреждение.  Далее будут обобщены понятия круглых чисел и перевода любого числа в круглое число.

Вернуться к делению многозначных чисел на многозначные числа. Сложность деления таких чисел заключается в том, что дробь нужно находить путем сопоставления. Для этого прибегайте к различным приемам, например, превращая делитель и делитель в круглые числа.

Пример 1. Найдите значение выражения 88: 12

Запишите это выражение с углом:

Задайте вопрос, сколько цифр 12 в числе 88? С первого раза сложно ответить.Вы должны рассуждать.

Мы помним из школы, что частное угадывалось, говоря «взять два» или «взять три».

Попробуем угадать частное. К сожалению, вы не можете просто взять его с неба. Частное должно быть таким, чтобы при умножении на делитель получалось число, которое меньше делителя, но очень близко к нему или равно ему.

Предположим, что частное равно 2. Умножьте это частное на делитель 12

Что это нам дает? Полученное число меньше делителя, но близко к нему? Нет.Он конечно меньше делителя 88, но очень далек от него. Итак, два как частное не подходят. Угадаем следующий номер. Скажем, частное 5.

Что это нам дает? Результирующее число, конечно, меньше, но оно не близко к делимому 88. Так что пять как частное тоже не подходит. Попробуем взять сразу 8.

На этот раз полученное число больше делимого числа. И он должен быть меньше делимого, но очень близок к нему или равен ему.Так что восемь как частное тоже не подходят.

Наконец-то мы нашли правильное частное! Умножив частное 7 на делитель 12, мы получим 84, что меньше делителя, но близко к нему. Теперь находим остаток от деления. Для этого вычитаем 84 из 88 и получаем 4.

88: 12 = 7 (4 осталось)

Чек: (12 x 7) + 4 = 84 + 4 = 88

Как видно из примера, на то, чтобы забрать приват, нужно драгоценное время.Если мы сидим на зачете или экзамене, где важна каждая минута, этот метод нам явно не поможет.

Чтобы сэкономить время, вы можете превратить делитель и делитель в круглые числа, а затем разделить эти круглые числа. Делить круглые числа намного проще и удобнее.

Например, чтобы разделить 90 на 10, просто уберите нули из обоих чисел и разделите 9 на 1. Результат будет 90: 10 = 9.

Количество отбрасываемых нулей должно быть строго одинаковым.Например, если мы разделим 900 на 90, мы удалим ноль из каждого числа, потому что 900 имеет два нуля, а 90 - только один. Отбрасывая ноль из каждого числа, мы получаем выражение 90: 9 = 10. В итоге получаем 900: 90 = 10.

В делении круглых чисел тоже нет ничего сложного. Попытайтесь понять это. Если вы этого не понимаете, изучите несколько раз. Это очень важно.

Вот несколько примеров того, как делить круглые числа. Отбрасываемые нули заштрихованы серым цветом:

800: 10 = 80 (отбросьте каждый ноль и разделите 80 на 1, вы получите 80)

800: 80 = 10 (усечено на ноль и разделено 80 на 8, поэтому мы имеем 10)

900: 10 = 90 (усечено на ноль и разделено на 90, разделенное на 1, поэтому вы получите 90)

400: 50 = 8 (обрезано на ноль и разделено 40 на 5, в результате получится 8)

320: 80 = 4 (ноль был усечен и 32 разделены на 8, давая 4)

Если вы заметили, в конце концов все сводится к таблице умножения.Вот почему школы требуют, чтобы вы знали его наизусть. Мы тоже этого требуем, хотя и не принуждаем.

Теперь давайте решим предыдущий пример 88: 12, в котором мы изо всех сил пытались найти частное путем угадывания. Сначала превратите делитель и делитель в круглые числа.

Круглое число для 88 - 80.

А круглое число 12 равно 10.

Теперь разделите полученные круглые числа:

.

Теперь проверим правильность частного.Для этого умножаем частное на делитель (8 на 12). Мы уже проверили восьмерку как частное, когда решали этот пример путем предположений. Не подошло, потому что после умножения на делитель мы получили число 96, которое больше делителя. Но частное 7, которое меньше восьми только на единицу, подошло.

Из этого можно сделать вывод, что в выражении 88: 12 частное, полученное преобразованием делителя и делителя в круглые числа, больше только на единицу.Наша задача - уменьшить этот коэффициент на единицу.

Итак, сократим 8 на единицу: 8 - 1 = 7. Семь - это частное. Напишите его в правом углу нашего примера:

Как видите, таким образом мы решили этот пример намного быстрее.


Пример 2. Найдите значение выражения 1296: 144

Напишите это выражение в углу. Сразу находим первый неполный делитель. Он образован всеми четырьмя цифрами делителя:

Это деление многозначного числа на многозначное число.Применим только что изученный метод. Давайте превратим делитель и делитель в круглые числа, а затем разделим их.

Для делителя 1296 круглое число равно 1000. А для делителя 144 круглое число равно 100.

Разделите 1000 на 100, и мы получим 10. Проверьте результат 10, умножив его на делитель 144

Десятки не подходят, потому что умножение дает число больше делителя.

Попробуем взять 9, уменьшив десятки на единицу.

Проверяем девятку. Для этого умножаем его на делитель:

Красиво! Получившееся число было не только ближе к делимому, но и равным ему. Это означает, что деление было произведено без остатка. Завершите этот пример, вычтя полученное число 1296 из 1296

.

1296: 144 = 9

Чек: 144 x 9 = 1296


Пример 3. Попробуем решить большой и сложный пример 227,492: 331

Напишите это выражение в углу.Сразу определите первый неполный делитель. Он образован первыми четырьмя цифрами делимого 2274. Итак, сначала разделим 2274 на 331. Давайте превратим их в круглые числа.

Для 2274 круглое число - 2000. А для 331 - круглое число - 300.

Если бы мы взяли 7 и проверили это 7, мы получили бы 2317, что больше делителя, а это недопустимо.

Продолжаем решать наш пример. Вычтем 1986 из 2274, получим 288:

.

288 - это остаток от деления 2274 на 331.Затем, чтобы продолжить деление, вам нужно снять девятку:

.

Теперь нам нужно разделить 2889 на 331. Превратите их в круглые числа и разделите их. Сразу же проверьте полученное таким образом частное:

Мы проверили семерку. Мы снова получили число, которое далеко от делителя 2889. Значит, семерка тоже не подходит. Давайте проверим восьмерку:

Восемь подходят. Он отвечает на вопрос, сколько чисел 331 в 2889.Если взять по девять, то умножив на делитель, мы получим число 2979, что уже больше делителя 2889.

Теперь вычтем остаток от деления 2889 на 331. Для этого вычтем 2648 из 2889 и получим 241.

241 - это остаток от деления 2889 на 331. Чтобы продолжить деление, удалите 2 из главного делителя:

Теперь разделим 2412 на 331. Возьмем 7

.

Теперь находим последний остаток.Для этого мы вычитаем 2317 из 2412 и получаем 95. На этом пример завершается:

227492: 331 = 687 (95 в балансе)

Чек: (331 x 687) + 95 = 227 397 + 95 = 227 492

Это конец урока. Не огорчайтесь, если сразу не научитесь делить числа на угол. Этот навык накапливается со временем в сочетании с интенсивными тренировками. Ошибки не страшны. Самое главное - это понять.

Обратите внимание, что в этом уроке мы рассмотрим только деление с остатком.В следующих уроках мы рассмотрим деление без остатка. Это сделано для того, чтобы не усложнять обучение. Как говорится, всем в свое время.


Упражнения

Задача 1. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 2. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 3. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 4. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 5. Выполнить подразделение:

Решение:

Задача 6. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 7. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 8. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 9. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 10. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 11. Выполнить подразделение:

Решение:

Задача 12. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 13. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 14. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 15. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 16. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 17. Выполнить подразделение:

Решение:

Задача 18. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 19. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 20. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 21. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 22. Выполнить раздел:

Решение:

Задача 23. Выполнить подразделение:

Решение:

Задача 24. Выполнить раздел:

Решение:


Видеоурок

[Совет] Повторное изучение математики с нуля: learnmath

Я не знаю, подходит ли эта подписка для публикации этого сообщения, приношу свои извинения, если это не так.

Позвольте мне начать с tl; dr для тех из вас, у кого мало времени, я расскажу (несущественную) предысторию после, не стесняйтесь ее пропустить.

TL; DR: Как мне лучше всего подойти к изучению математики от самых базовых тем до уровня, при котором я смогу с комфортом отправиться в колледж или университет в области компьютерных наук?

Ссылки, советы или даже общие советы приветствуются и ценятся.

Предыстория для тех, кому интересно:

С тех пор как мне было около 8 или 9 лет, я довольно быстро освоил кодирование и общие программные трюки (поиск и использование ошибок, понимание протоколов и т. Д.) , и с тех пор я хотел быть «хакером», и когда я стал подростком, он стал реалистичным «разработчиком программного обеспечения», которым я занимаюсь и по сей день.

К сожалению, у меня СДВГ, который мои родители отвергли как поддельное расстройство, пока я, наконец, не поставил его диагноз после многих лет с психотерапевтами, студенческим советом и долгим путем к получению взрослого диагноза СДВГ.

В результате этого школа была очень сложной, и я едва дожил до последних двух лет в старшей школе, где я выбрал промышленные ИКТ в качестве пути, это охватывало почти все отрасли ИТ на общем уровне, и это где они обнаружили, что я был прекрасным программистом, но мне не хватало большинства других академических основ из-за пренебрежения.

Я боролся и получил свой диплом, с которым меня порекомендовали «Высшее образование не для тебя, бросайся в индустрию программного обеспечения и развивайся с опытом» - совет, который я принял близко к сердцу.

Это было примерно в то же время, когда мне поставили диагноз СДВГ и я начал получать метилфенидат (риталин) из-за своих недостатков.
Таблетки, вероятно, лучшее, что случилось со мной с тех пор, как я начал получать правильную дозировку около года назад, мое настроение значительно улучшилось, и у меня есть сосредоточенность, о которой я бы не поверил, если бы вы сказали мне несколько лет назад.

Теперь мы переходим к соответствующей части, я искал работу в индустрии программного обеспечения, но они всегда отвергают меня из-за людей с опытом или степенью, в настоящее время я сводлю концы с концами за пределами отрасли, я хочу работать дюйм.

С моими таблетками я уверен, что смогу справиться с высшими учебными заведениями, так как я много занимался самообучением дома (без таблеток я никогда не касался своей домашней работы, я нахожу это впечатляющим) во время поиска работы, хотя я чувствую, что из-за пренебрежения к математике в старшей школе и того, что я не использовал ее в течение года, я очень быстро проиграю, если поеду в колледж.
Поэтому я хотел использовать свое время до начала следующего семестра, чтобы довести себя до среднего уровня математики, который мог бы иметь кто-то, окончивший школу, на всякий случай я хотел начать как можно более базовый (исключая элементарную математику) Я просто хочу убедиться, что основные принципы на месте.

Как мне, (сейчас 20 лет) , лучше всего сделать это самостоятельно?

29 лет - хочу начать с математики с самого начала: learnmath

Я отказался от этого, так как некоторые люди знают мою основную учетную запись, и это неудобный вопрос, учитывая, что моя работа требует, чтобы я работал с числами весь день.

Я пролистал сабреддит, чтобы увидеть, был ли уже дан ответ на мой вопрос, и увидел здесь много сообщений, в которых люди говорят, что они отстой в математике, поэтому я подумал, что это здорово - я могу начать, основываясь на этом.

Потом я прочитал, что их тригонометрия и алгебра на самом деле не очень хороши ... Я даже не знаю, что это за две вещи.

Наверное, я знаю только базовые вычисления сложения, вычитания, умножения. Я также могу вычислить площадь квадрата. Я не могу делать дроби без калькулятора.Думаю, это все, что мне известно.

На моей нынешней работе я старший консультант по бухгалтерскому учету (каким-то образом жизнь подтолкнула меня к этой работе) и последние 5 лет (мне 29) каким-то образом удавалось скрывать тот факт, что я даже не знаю как посчитать процент чего-то (учусь, но через день забываю, как это работает). (Для тех, кто задается вопросом, меня наняли не из-за моих бухгалтерских навыков.)

Я действительно учился в университете, получил степень магистра иностранных языков и окончил его лучше всех, так что я не думаю, что я на самом деле глуп, но я ни разу в жизни не сдавал уроки математики.Остальные мои оценки всегда были достаточно хорошими, поэтому учителя в конечном итоге игнорировали мою плохую оценку по математике. Я не знаю, но, полагаю, мне всегда было очень трудно понять логику математики. Когда я, наконец, думаю, что что-то освоил, я забываю об этом на следующий день и понимаю, что никогда по-настоящему этого не понимал. Даже что-то простое в процентах.

Мне всегда нравилась идея математики, но мне казалось, что она мне не по силам. Мне требуются годы, чтобы понять даже самые простые концепции.Недавно я читал несколько книг по психологии и методам обучения и читал о том, что некоторые математики (например, Пол Локхарт) учат математику иначе, чем я всегда учил ее в школе.

Кто-нибудь знает больше об этих различных методах и где / как начать? Я бы хотел заняться этим и еще раз попробовать математику, но я не знаю, с чего начать, так как мой уровень, вероятно, ниже, чем у шестиклассника.

спасибо

(Извините, если я неправильно понял некоторые (математические или другие) термины.Английский не мой родной язык.)

ОБНОВЛЕНИЕ: Спасибо всем за отличные предложения. Я проверю Академию Хана, некоторые книги и другие ссылки, которые вы мне дали. Я чувствую себя мотивированным!

Я думаю, что моей проблемой всегда было то, что я не понимал, что делаю, когда занимаюсь математикой. Простой пример: мои родители говорят мне, что мне понадобилось время, чтобы понять, что такое 1 + 1, когда я был моложе, потому что я не мог связать это, например, с 1 яблоком + 1 яблоком = 2 яблоками.

Это было не из-за отсутствия попыток.Мои родители были недовольны моими оценками по математике, и у меня даже был частный репетитор по математике, который каждую неделю проводил со мной несколько часов, чтобы снова посещать мои уроки математики. Я просто никогда толком не понимал, что делаю, и в конце концов просто попытался запомнить правила и формулы, чтобы заставить их работать - но как только что-то отклонялось от стандартных вопросов, я застревал, потому что я никогда не понимал проблему в первую очередь .

На последнем году обучения в старшей школе у ​​меня была учительница, которая специально сказала мне, что сдаст меня на экзаменах, если я смогу просто объяснить вопрос / проблему, которые она задает, мне даже не нужно было решать какие-либо задачи на экзамен.Она сказала, что если бы я не смог этого сделать, она бы поспорила, что я должна повторить свой год и не поступать в университет. В тот год мне удалось получить 50,5%. Единственный год, когда я сдал тест по математике, и я прошел его, хотя я не мог ответить на большинство вопросов ... Сейчас это кажется сюрреалистичным ...

Но теперь, оглядываясь на это, я подумал, что это не может быть, потому что Я был слишком глуп. Мне удалось получить диплом с хорошим баллом (хотя и много работать), и я прошел другие курсы, даже если они меня особо не интересовали.Так что я начал думать, что, может быть, меня просто нужно учить по-другому. Вот почему я очень не решаюсь брать стандартные учебники, потому что много лет назад это не сработало. Зачем ему это сейчас? Хотя, может быть, теперь, когда я постарше, у меня будет лучшее представление об этих вещах ...

Посмотрим. в любом случае спасибо всем за ваше время и предложения!

Мои 9 шагов к самообучению

Если вы понимаете простой английский и имеете доступ к Интернету, то вы определенно можете изучать математику самостоятельно .

После того, как вы реализуете все, что описано в этом руководстве, вы поймете, что нет никого, кто мог бы научить вас быстрее и лучше, чем вы сами. (Особенно если использовать Anki!)

Просто небольшое предупреждение: хотя я сказал, что может сделать любой , я на 100% уверен, что не все, .

На самом деле, это немного неудобно, особенно если вы делаете это впервые. (Но очень полезно.)

В этом посте вы точно узнаете 9-шаговый подход, который я использовал, чтобы научить себя математике, не полагаясь на кого-то, кто меня научит.

  • Образ мышления №1, который многие упускают из виду при самостоятельном изучении математики
  • Лучшие ресурсы для самостоятельного изучения математики
  • Как вывести свои математические навыки на новый уровень

Давайте начнем.

Можете ли вы на самом деле самостоятельное изучение математики?

Во-первых, если вы думаете, что вы не «математик» (в любом случае, как выглядит человек-математик), вы можете подумать, что вам понадобится кто-то другой, чтобы научить вас математике в классе.

Но разве это не то же самое, что использование онлайн-инструментов? Главное здесь - просто создать свою собственную структуру, подобную программам, которые вы используете в школе.

Благодаря обилию бесплатной информации, лекций, учебных программ, электронных книг и MOOCS вы, безусловно, можете самостоятельно изучать математику, как если бы вы учились в колледже.

Самое приятное то, что вы делаете это в своем собственном темпе .

Никаких строгих графиков, только самоотдача.

Однако вы должны думать об этом иначе, если хотите пожинать плоды.

То есть признать , что умственные усилия, которые вы тратите на изучение темы математики, - это цена, которую вы платите за то, чтобы упростить будущие математические навыки .

Или, точнее, это цена, которую вы платите, чтобы не усложнять обучение для себя в будущем.

Математика - это все о накопленных знаниях.

В отличие от школы, вы будете чувствовать себя как дерьмо, потому что вы не меняете темы относительно времени - теперь вы меняете темы в зависимости от , насколько быстро вы овладеваете навыком .

Шаги к самостоятельному изучению математики

Я собираюсь ненадолго прервать вас, чтобы кое-что прояснить: я создал это руководство, чтобы помочь людям, которые чувствуют, что у них отстают свои математические навыки и хотят его пересмотреть, или людям, которые просто хотят изучать математику на своих по какой-то причине

Каждый пример, который я вам дам, всего лишь пример, который поможет вам понять то, что я пытаюсь донести. Вы все еще должны применить эти шаги в своей ситуации.

Шаг 1. Сначала определите, где вы хотите закончить.

Математика строится сама по себе, поэтому, если вы хотите выучить предмет, например, математический анализ, всегда спрашивайте:

Какие предметы являются предпосылками для этого предмета?

В моем собственном исследовании я часто задаю себе вопрос, основанный на «навыках», а не актуальный.

«Какие навыки мне нужно освоить, чтобы стать лучше в этом?»

В конце концов, решение проблем - это навык. Вы не сможете лучше решать проблемы, если у вас нет инструментов; индивидуальное владение необходимыми темами.

Это подводит меня к следующему пункту.

Шаг 2. Определите, с чего начать, очевидно

Теперь, когда вы определили конечную тему, пора решить, с какой общей темы начать.

Например, исчисление и его приложения станут проще, если у вас есть знания в области аналитической геометрии и тригонометрии.

Но в аналитическую геометрию включены некоторые элементы тригонометрии.

Итак, вы можете начать с тригонометрии.

Однако, если вы не знаете, «что является предпосылкой для чего», я настоятельно рекомендую вам найти учебную программу в Интернете.

Вот хороший план для тех, кто изучает математику для науки о данных.

Шаг 3. Найдите программу, чтобы избежать ненужной глубины

Если вы заблудились, зайдите на Google Карты.

Итак, что вы делаете, когда у вас нет дорожной карты или последовательности для изучения математики?

Используйте уже разработанный Syllabus. Они станут дорожной картой к вашему успеху в самообучении.

Как я уже упоминал ранее, их легко найти в Интернете.

Я имею в виду, что всего один поиск в Google даст вам то, что вы ищете.

Или вы можете просто просмотреть ресурсы своего университета и проверить планы по математике.

Шаг 4. Соберите ссылки, руководства по решениям и типы книг «Решенные проблемы»

Обычное обучение математике требует, чтобы вы ходили в школу, посещали занятия, выполняли домашнее задание, а затем ждали его проверки, прежде чем завершать цикл обратной связи.

Я говорю, что это очень неэффективно.

Когда есть руководства по решениям или книги типа «Решенные проблемы», лучше использовать их бок о бок с вашей собственной рутиной решения проблем.

В данном случае Мне нравится серия книг «Очерки Шаума».

Проблемы довольно сложные, обсуждения краткие и по существу, но вы, безусловно, научитесь решать проблемы ЛЕГКО.

Для ясности, я не говорю, что вам следует искать решения каждый раз, когда вы решаете проблему, но , когда вы застряли, вы можете легко выйти и фактически быстрее изучить решения.

Этот жесткий цикл обратной связи - то, что позволит нам изучать математику БЫСТРО и в нашем СОБСТВЕННОМ темпе.

«Что делать, если я не понимаю материала?»

Либо вы не освоили предварительные требования (или совсем не освоили), либо используете слишком сложную книгу.

Наконец, здравый смысл подсказывает, что это руководство не является «конечной целью» самостоятельного изучения математики. Вы всегда можете проконсультироваться с другими, когда действительно застряли, даже если у вас есть руководство по решению (возможно, в нем есть опечатка или что-то в этом роде).

Шаг 5. Сделайте ставку на глубокое, концептуальное обучение

Это вызвано поднятым выше вопросом, который заключается в использовании руководств по решениям для изучения математики для создания быстрого цикла обратной связи.

Однако некоторые студенты его неправильно понимают.

Они считают, что когда они могут запомнить, как решается трудная проблема, это хорошо.

Это БОЛЬШАЯ ошибка - запоминать то, чего вы не понимаете.

Соответственно, это тоже БОЛЬШАЯ ошибка - просто понимать что-то, но не практиковать это.

Узнайте, ПОЧЕМУ шаги работают, потому что если вы сделаете это, вы узнаете один раз и решите многие.

Шаг 6. Поместите ссылки на ресурсы в одном месте

Поскольку вы собираетесь в основном заниматься самообучением с использованием цифровых ресурсов, удобно собрать их все в одном месте.

Возможно, сделайте их домашней страницей вашего браузера.

Сделайте ярлык или что-то в этом роде.

Дело в том, что нужно НАСТОЛЬКО упростить вам доступ к своим ресурсам, чтобы у вас не возникало трений, когда вы хотите учиться самостоятельно.

Так легче сформировать учебу, что всегда лучше в долгосрочной перспективе.

Шаг 7. Выделите время ОБЕИМ для изучения и решения проблем

Как я уже упоминал ранее, простого понимания недостаточно.

Вы должны практиковать то, что вы узнали.

Точно так же, как новичок не может играть на пианино сразу после того, как кто-то хороший научит его этому, так и изучение новых вещей в математике не происходит в моменты «ага».

Обучение происходит, когда вы вспоминаете информацию из головы, а не когда пытаетесь что-то туда вложить.

Итак, помимо вашего «увлекательного» времени, выделите время для практики.

Шаг 8. Развивайте глубокую работу

Во время практики важно, чтобы вы не отвлекались.

Работа без внутренних и внешних отвлекающих факторов и сознательная сосредоточенность на текущей задаче, также известная как «Глубокая работа», улучшает совместное срабатывание нейронов при активации.

Это происходит потому, что оболочка под названием миелин образуется всякий раз, когда вы извлекаете информацию или практикуете навык.

Когда ваше внимание направлено на практику решения проблем, вы эффективно говорите своему мозгу, что ТОЛЬКО те нейроны, которые активируются во время решения проблем, должны быть покрыты миелином.

Однако, когда вы отвлекаетесь, это происходит плохо, и блоки обучения формируются не очень хорошо.

Шаг 9. Избегайте «Практика, практика, практика», делайте это вместо этого

Это, наверное, самый распространенный совет, который дают ученикам, которые спрашивают «как мне улучшить математику?».

Нам не нужно больше времени для практики. Нам просто нужно потренироваться лучше .

Практика, безусловно, жизненно важна, но есть два вида практики: Непродуктивная практика и Продуктивная практика.

Если вы делаете все в течение длительного периода времени, нечасто в течение недели, и просто повторяете одну и ту же задачу несколько раз, пока не «поймете», прежде чем переходить к следующей, то это непродуктивная практика.

Производственная практика - разумная практика.

Вот как это сделать. Два ЛЕГКИХ шага.

  • Распространяйте свою практику в течение дня и в течение недели
  • Когда вы получите базовое представление о концепции, не отвечайте на несколько проблем одним и тем же решением; ответьте на несколько несвязанных задач.(Чередование)

Делая это, вы экономите ТОННУ времени и энергии на изучении математики.

Один из простых способов сделать это - использовать Anki , но вам придется проявить творческий подход к созданию колод и настроек.

Ключ - изучить основы, поэтому я создал бесплатный курс.

Кто сказал, что изучение математики должно быть утомительным и трудоемким?

Ресурсы для самостоятельного изучения математики

Пока я работал над этой статьей, я нашел некоторые ресурсы, которые, как мне кажется, наверняка помогут вам в вашем поиске самообучения.

Вот некоторые из лучших, которые я нашел:

Справочник:

Как научиться математике, Скотт Янг

Скотт Янг - это человек .

Когда дело доходит до самообучения, он определенно лучший парень.

В конце концов, он закончил четырехлетний курс CS в Массачусетском технологическом институте всего за 12 месяцев, так что я почти уверен, что он знает, о чем говорит.

Уроки:

MOOCS:

Как узнать больше по высшей математике (БЕСПЛАТНЫЕ ресурсы)

Если вы хотите поднять свои знания математики на новый уровень, вот несколько полезных ссылок.

Я не могу научить вас сам, поэтому вот лучшие ресурсы, которые обсуждают эту тему:

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *