Как построить график функции квадратичной функции: Построение графика квадратичной функции — урок. Алгебра, 8 класс. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

х	f ( x )
\(−2\)	\(4\)
\(−1\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)
\(2\)	\(4\)

х	f ( x )
\(−2\)	\(−17\)
\(−1\)	\(−8\)
\(0\)	\(−3\)
\(1\)	\(−2\)
\(2\)	\(−5\)

x	-3	-2	-2	-2	1	2	3	4	5
y	8	2	— 2	-4	-4	-2	8	16

Posted on 01.09.197508.02.2022 by alexxlab

Содержание

Построение графика квадратичной функции. Построить график функции y = x2 +4x – 5

2. 1. Построить график функции y = x2 +4x – 5

у
1) Найти вершину параболы
А(n;m)
2) Записать уравнение оси
симметрии х=__
3) Найти нули функции
4) Составить таблицу значений
5) Отметить точки в системе
координат
6) Построить график функции
7
6
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
х
6
-2
-3
-4
2

Найти:
1) наименьшее значение функции;
2) значения x, при которых значение функции равно 5;
3) значения x, при которых функция принимает положительные
значения; отрицательные значения;
• 4) промежутки, на которых функция возрастает; убывает.
3

4. 2.Найти координаты вершины параболы

5. 3. Найти координаты вершины параболы y = -(x +2)2 – 1. Построить эту параболу.

у
1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
х
3
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
5

6.

2-2x-3=__
По Т.Виета:
x1+x2=__
x1*x2=__
x1=__, x2=__
у
7
6
5
4
3
2
х
1
-3
у
-2
-1
0
-1
1
2
3
4
5
6
-2
-3
-4
Построим график функции у = │х²-2х-3│
Так как модуль – это величина положительная, отразим вершину параболы,
расположенную под осью Ох симметрично, относительно оси абсцисс.
х

Построить график функции онлайн с корнем. Квадратичная и кубическая функции

В золотой век информационных технологий мало кто будет покупать миллиметровку и тратить часы для рисования функции или произвольного набора данных, да и зачем заниматься столь муторной работой, когда можно построить график функции онлайн. Кроме того, подсчитать миллионы значений выражения для правильного отображения практически нереально и сложно, да и несмотря на все усилия получится ломаная линия, а не кривая. Потому компьютер в данном случае – незаменимый помощник.

Что такое график функций

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент другого множества, например, выражение y = 2x + 1 устанавливает связь между множествами всех значений x и всех значений y, следовательно, это функция. Соответственно, графиком функции будет называться множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному выражению.

На рисунке мы видим график функции y = x . Это прямая и у каждой ее точки есть свои координаты на оси X и на оси Y . Исходя из определения, если мы подставим координату X некоторой точки в данное уравнение, то получим координату этой точки на оси Y .

Сервисы для построения графиков функций онлайн

Рассмотрим несколько популярных и лучших по сервисов, позволяющих быстро начертить график функции.

Открывает список самый обычный сервис, позволяющий построить график функции по уравнению онлайн.

Umath содержит только необходимые инструменты, такие как масштабирование, передвижение по координатной плоскости и просмотр координаты точки на которую указывает мышь.

Инструкция:

Введите ваше уравнение в поле после знака «=».
Нажмите кнопку «Построить график» .

Как видите все предельно просто и доступно, синтаксис написания сложных математических функций: с модулем, тригонометрических, показательных — приведен прямо под графиком. Также при необходимости можно задать уравнение параметрическим методом или строить графики в полярной системе координат.

В Yotx есть все функции предыдущего сервиса, но при этом он содержит такие интересные нововведения как создание интервала отображения функции, возможность строить график по табличным данным, а также выводить таблицу с целыми решениями.

Инструкция:

Выберите необходимый способ задания графика.

Введите уравнение.
Задайте интервал.
Нажмите кнопку «Построить» .

Для тех, кому лень разбираться, как записать те или иные функции, на этой позиции представлен сервис с возможностью выбирать из списка нужную одним кликом мыши.

Инструкция:

Найдите в списке необходимую вам функцию.
Щелкните на нее левой кнопкой мыши
При необходимости введите коэффициенты в поле «Функция:» .
Нажмите кнопку «Построить» .

В плане визуализации есть возможность менять цвет графика, а также скрывать его или вовсе удалять.

Desmos безусловно – самый навороченный сервис для построения уравнений онлайн. Передвигая курсор с зажатой левой клавишей мыши по графику можно подробно посмотреть все решения уравнения с точностью до 0,001. Встроенная клавиатура позволяет быстро писать степени и дроби. Самым важным плюсом является возможность записывать уравнение в любом состоянии, не приводя к виду: y = f(x).

Инструкция:

В левом столбце кликните правой кнопкой мыши по свободной строке.
В нижнем левом углу нажмите на значок клавиатуры.
На появившейся панели наберите нужное уравнение (для написания названий функций перейдите в раздел «A B C»).
График строится в реальном времени.

Визуализация просто идеальная, адаптивная, видно, что над приложением работали дизайнеры. Из плюсов можно отметить огромное обилие возможностей, для освоения которых можно посмотреть примеры в меню в верхнем левом углу.

Сайтов для построения графиков функций великое множество, однако каждый волен выбирать для себя исходя из требуемого функционала и личных предпочтений. Список лучших был сформирован так, чтобы удовлетворить требования любого математика от мала до велика. Успехов вам в постижении «царицы наук»!

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат — значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 — 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция

у = х 2 — 2х принимает положительные значения при х и при х > 2 , отрицательные — при 0 наименьшее значение функция у = х 2 — 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений — скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,…, х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции

y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) — заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 — 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 — 2x. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 — 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

«Натуральный логарифм» — 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» — У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» — 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а

«Квадратичная функция и её график» — Решение. у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» — 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Квадратичная и кубическая функции. Построение графиков онлайн У 1 3х 2 график

Разделы: Математика

Тема: “Построение графика квадратной функции, содержащей модуль”.
(На примере графика функции у = х 2 — 6x + 3.)

Цель.

Исследовать расположение графика функции на координатной плоскости в зависимости от модуля.
Развить навыки построения графика функции, содержащей модуль.

Ход урока.

1. Этап актуализации знаний.

а) Проверка домашнего задания.

Пример 1. Построить график функции у = х 2 — 6х + 3. Найти нули функции.

Решение.

2. Координаты вершины параболы: х= — b/2а = — (-6)/2=3, у(3) = 9 – 18 + 3 = — 6, А(3; -6).

4. Нули функции: у(х) = 0, х 2 — 6х + 3 = 0, D = 36 — 4·3 = 36 – 12 = 24, D>0,

x 1,2 = (6 ± )/2 = 3 ± ; В(3 — ;0), С(3 + ;0).

График на рис.1.

Алгоритм построения графика квадратной функции.

1. Определить направление “ветвей” параболы.

2. Вычислить координаты вершины параболы.

3. Записать уравнение оси симметрии.

4. Вычислить несколько точек.

б) Рассмотрим построение графиков линейных функций, содержащих модуль:

1. у = |х|. График функции на рисунке 2.

2.у = |х| + 1. График функции на рисунке 3.

3. у = |х + 1|. График функции рисунке 4.

Вывод.

1. График функции у = |х| + 1 получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {0;1}.

2. График функции у = |х + 1| получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {-1;0}.

2.Опирационно-исполнительная часть.

Этап исследовательской работы. Работа в группах.

Группа 1. Построить графики функций:

а) у = х 2 — 6|x| + 3,

б) у = |х 2 — 6х + 3|.

Решение.

1.Построить график функции у = х 2 -6х+3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Оу.

График на рисунке 5.

б) 1. Построить график функции у = х 2 — 6х + 3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 6.

Вывод.

1. График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Оу.

2. График функции у = |f(x)| получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Ох.

Группа 2.Построить графики функций:

а) у = |x 2 — 6|x| + 3|;

б) y = |x 2 — 6x + 3| — 3.

Решение.

1. График функции у = х 2 + 6x + 3 отображаем относительно оси Оу, получается график функции у = х 2 — 6|x| + 3.

2. Полученный график отображаем симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 7.

Вывод.

График функции y = |f (|x|)| получается из графика функции у = f(х), последовательным отображением относительно осей координат.

1. График функции у = х 2 — 6х + 3 отображаем относительно оси Ох.

2. Полученный график переносим на вектор {0;-3}.

График функции на рисунке 8.

Вывод. График функции у = |f(x)| + a получается из графика функции у = |f(x)| параллельным переносом на вектор {0,a}.

Группа 3.Построить график функции:

а) у = |x|(х — 6) + 3; б) у = х|x — 6| + 3.

Решение.

а) у = |x| (x — 6) + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = -х 2 + 6x + 3 при х

График функции на рисунке 9.

б) у = х |х — 6| + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = — х 2 + 6х + 3 при х 6.

2. Координаты вершины параболы: х = — b/2a = 3, у(3) =1 2, А(3;12).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Несколько точек: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = — 4.

Строим график функции у = х 2 — 6х + 3 при х = 7 у(7) = 10.

График на рис.10.

Вывод. При решении данной группы уравнений необходимо рассматривать нули модулей, содержащихся в каждом из уравнений. Затем строить график функции на каждом из полученных промежутков.

(При построении графиков данных функций каждая группа исследовала влияние модуля на вид графика функции и сделала соответствующие заключения.)

Получили сводную таблицу для графиков функций, содержащих модуль.

Таблица построения графиков функций, содержащих модуль.

Группа 4.

Построить график функции:

а) у = х 2 — 5x + |x — 3|;

б) у = |x 2 — 5x| + x — 3.

Решение.

а) у = х 2 — 5х + |х — 3|, переходим к совокупности систем:

Строим график функции у = х 2 -6х + 3 при х 3,
затем график функции у = х 2 — 4х — 3 при х > 3 по точкам у(4) = -3, у(5) = 2, у(6) = 9.

График функции на рисунке 11.

б) у = |х 2 — 5х| + х — 3, переходим к совокупности систем:

Строим каждый график на соответствующем интервале.

График функции на рисунке 12.

Вывод.

Выяснили влияние модуля в каждом слагаемом на вид графика.

Самостоятельная работа.

Построить график функции:

а) у = |х 2 — 5х + |x — 3||,

б) у= ||x 2 — 5x| + х — 3|.

Решение.

Предыдущие графики отображаем относительно оси Ох.

Группа.5

Построить график функции: у =| х — 2| (|x| — 3) — 3.

Решение.

Рассмотрим нули двух модулей: x = 0, х – 2 = 0. Получим интервалы постоянного знака.

Имеем совокупность систем уравнений:

Строим график на каждом из интервалов.

График на рисунке 15.

Вывод. Два модуля в предложенных уравнениях существенно усложнили построение общего графика, состоящего из трех отдельных графиков.

Учащиеся записывали выступления каждой из групп, записывали выводы, участвовали в самостоятельной работе.

3. Задание на дом.

Построить графики функций с различным расположением модуля:

1. 2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }

3.2: Квадратичные функции — Математика LibreTexts

Навыки для развития

Распознавать характеристики парабол.
Поймите, как график параболы связан с ее квадратичной функцией.
Определить минимальное или максимальное значение квадратичной функции.
Решите задачи на минимальное или максимальное значение квадратичной функции.

Изогнутые антенны, подобные показанным на рисунке $\PageIndex{1}$, обычно используются для фокусировки микроволн и радиоволн для передачи телевизионных и телефонных сигналов, а также спутниковой и космической связи.Поперечное сечение антенны имеет форму параболы, которую можно описать квадратичной функцией.

Рисунок $\PageIndex{1}$: Набор спутниковых антенн. (кредит: Мэтью Колвин де Валье, Flickr)

В этом разделе мы будем исследовать квадратичные функции, которые часто моделируют задачи, связанные с движением площади и снаряда. Работа с квадратичными функциями может быть менее сложной, чем работа с функциями более высоких степеней, поэтому они предоставляют хорошую возможность для детального изучения поведения функций.

Распознавание характеристик парабол

График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой. Одной из важных особенностей графа является то, что он имеет крайнюю точку, называемую вершиной . Если парабола раскрывается, вершина представляет собой самую низкую точку на графике или минимальное значение квадратичной функции. Если парабола открывается вниз, вершина представляет собой самую высокую точку на графике или максимальное значение .В любом случае вершина является поворотной точкой на графе. График также симметричен, вертикальная линия проходит через вершину, называемую осью симметрии . Эти функции показаны на рисунке $\PageIndex{2}$.

Рисунок $\PageIndex{2}$: График параболы, показывающий точки пересечения $x$ и $y$, вершину и ось симметрии.

Точка пересечения $y$ — это точка, в которой парабола пересекает ось $y$.Точки пересечения $x$ — это точки, в которых парабола пересекает ось $x$. Если они существуют, то пересечения $x$ представляют собой нулей или корней квадратичной функции, значения $x$ при которых $y=0$.

Пример $\PageIndex{1}$: определение характеристик параболы

Определите вершину, ось симметрии, нули и точку пересечения $y$ параболы, показанной на рисунке $\PageIndex{3}$.

Рисунок $\PageIndex{3}$ .

Раствор

Вершина является поворотной точкой графа. Мы видим, что вершина находится в $(3,1)$. Поскольку эта парабола открывается вверх, осью симметрии является вертикальная линия, пересекающая параболу в вершине. Таким образом, ось симметрии равна $x=3$. Эта парабола не пересекает ось $х$, поэтому у нее нет нулей. Он пересекает ось $y$ в точке $(0,7)$, так что это точка пересечения $y$. 2+bx+c \не число\]

, где $a$, $b$ и $c$ — действительные числа и $a \neq 0$.2+4х+3\). В этой форме $a=1$, $b=4$ и $c=3$. Поскольку $a>0$, парабола открывается вверх. Ось симметрии равна $x=-\frac{4}{2(1)}=-2$. Это также имеет смысл, поскольку на графике видно, что вертикальная линия $x=−2$ делит график пополам. Вершина всегда находится вдоль оси симметрии. Для параболы, которая открывается вверх, вершина находится в самой нижней точке графика, в данном случае $(−2,−1)$. $x$-перехваты, те точки, где парабола пересекает ось $x$, встречаются в точках $(−3,0)$ и $(−1,0)$.2+k\номер\]

, где $(h, k)$ — вершина. Поскольку вершину можно увидеть в стандартной форме квадратичной функции, эта форма также известна как вершинная форма квадратичной функции .

Как и в случае общей формы, если $a>0$, парабола открывается вверх, а вершина является минимальной. Если $a<0$, парабола открывается вниз, а вершина является максимальной. 2+4\).2\).

Если $h>0$, то график сдвинется вправо, а если $h<0$, то график сдвинется влево. На рисунке $\PageIndex{5}$, $h<0$, поэтому график сдвинут на 2 единицы влево. Величина $a$ указывает на растяжение графика. Если $|a|>1$, то точка, связанная с определенным значением $x$, смещается дальше от оси $x$, поэтому график становится более узким, и появляется вертикальное растяжение . Но если $|a|<1$, точка, связанная с конкретным значением $x$, смещается ближе к оси $x$.График как бы стал шире, но на самом деле происходит сжатие по вертикали. На рисунке $\PageIndex{5}$, $|a|>1$, поэтому график становится уже. Поскольку $a<0$, график отражается по оси $x$. Если $k>0$, то график сдвинется вверх, а если $k<0$, то график сдвинется вниз. На рисунке $\PageIndex{5}$, $k>0$, поэтому график сдвинут на 4 единицы вверх.

Стандартная форма и общая форма являются эквивалентными методами описания одной и той же функции. Если мы хотим решить для $h$ и $k$ через $a, b,|) и \(x$, мы можем расширить общую форму и приравнять ее к стандартной форме. 2+к\).

Вершина $(h,k)$ расположена в \[h = -\dfrac{b}{2a},\;k=f(h)=f\left(\dfrac{−b} {2а}\справа). \номер\]

Запишите квадратичную функцию в вершинной форме, затем в общей форме

Дан график квадратичной функции, напишите уравнение функции в общем виде.

Определите горизонтальное смещение параболы; это значение равно $h$. Определить вертикальное смещение параболы; это значение равно $k$.
Подставить значения горизонтального и вертикального сдвига вместо $h$ и $k$.2+к\).
Подставить значения любой точки, кроме вершины, на графике параболы вместо $x$ и $f(x)$.
Найдите коэффициент $a$.
Если парабола раскрывается, $a>0$. Если парабола направлена вниз, $a<0$, так как это означает, что график отразился поперек оси $x$.
Расширьте и упростите запись в общем виде.

Пример $\PageIndex{2}$: запись уравнения квадратичной функции на основе графика

Напишите уравнение для квадратичной функции $g$ на рисунке $\PageIndex{7}$ как преобразование $f(x)=x^2$, а затем расширьте формулу и упростите условия записать уравнение в общем виде. 2+2x−1 \end{выравнивание*}\]

Обратите внимание, что горизонтальные и вертикальные сдвиги основного графика квадратичной функции определяют положение вершины параболы; вершина не подвержена растяжениям и сжатиям.

$\PageIndex{1}$

Координатная сетка наложена на квадратичную траекторию баскетбольного мяча на рисунке $\PageIndex{8}$. Найдите уравнение траектории мяча. Стрелок попадает в корзину?

Рисунок $\PageIndex{8}$: Анимированное изображение мальчика, бросающего баскетбольный мяч в кольцо, чтобы показать образующуюся параболическую кривую.2+7\). Чтобы сделать бросок, $h(-7,5)$ должно быть около 4, но $h(-7,5){\приблизительно}1,64$, ниже корзины; он не успевает.

Для заданной квадратичной функции в общем виде найдите вершину параболы.

Определите $a$, $b$ и $c$.

Найдите $h$, $x$-координату вершины, подставив $a$ и $b$ в $h=–\frac{b}{2a}$. 2−6\left(\dfrac{3}{2}\right)+7 \\[5pt] &=\dfrac{5}{2}.2+4\) в стандартной форме.

Нахождение области определения и области значений квадратичной функции

Любое число может быть входным значением квадратичной функции. Следовательно, областью определения любой квадратичной функции являются все действительные числа. Поскольку параболы имеют точку максимума или минимума, диапазон ограничен. Так как вершина параболы будет либо максимальной, либо минимальной, диапазон будет состоять из всех значений $y$, больших или равных координате $y) в точке поворота или меньших или равных к \(y$-координате в точке поворота, в зависимости от того, открывается ли парабола вверх или вниз.2+k\) с положительным значением $a$ равно $f(x) \geq k;$ область значений квадратичной функции, записанной в стандартной форме с отрицательным значением $a$, есть $f (х) \leq k$.

Для заданной квадратичной функции найдите область определения и диапазон.

Определите область определения любой квадратичной функции как все действительные числа. 2+9(\dfrac{9}{10) })-1 \\&= \dfrac{61}{20}\end{align*}\]

Диапазон равен $f(x) \leq \frac{61}{20}$ или $\left(−\infty,\frac{61}{20}\right]$.2+\frac{8}{11}\).

Ответить

Домен состоит из действительных чисел. Диапазон равен $f(x) \geq \frac{8}{11}$ или $\left[\frac{8}{11},\infty\right)$.

Определение максимального и минимального значения квадратичных функций

Выход квадратичной функции в вершине является максимальным или минимальным значением функции, в зависимости от ориентации параболы . Мы можем видеть максимальное и минимальное значения на рисунке $\PageIndex{9}$.

Рисунок $\PageIndex{9}$: Минимум и максимум двух квадратичных функций.

Существует множество реальных сценариев, в которых требуется найти максимальное или минимальное значение квадратичной функции, например приложения, связанные с площадью и доходом.

Пример $\PageIndex{5}$: нахождение максимального значения квадратичной функции

Фермер на заднем дворе хочет выделить прямоугольное пространство для нового сада на своем огороженном заднем дворе.Она купила 80 футов проволочного ограждения, чтобы огородить три стороны, и она будет использовать часть забора заднего двора в качестве четвертой стороны.

Найдите формулу площади ограждения, если стороны ограждения, перпендикулярные существующему ограждению, имеют длину $L$.

Каких размеров она должна сделать свой сад, чтобы максимально увеличить огороженную площадь?

Раствор

Давайте воспользуемся диаграммой, такой как рисунок $\PageIndex{10}$, для записи данной информации.Также полезно ввести временную переменную $W$, чтобы представить ширину сада и длину секции забора, параллельной забору заднего двора.

Рисунок $\PageIndex{10}$: Схема сада и заднего двора. 2+80L\)

Учитывая приложение, связанное с доходом, используйте квадратное уравнение, чтобы найти максимум

Напишите квадратное уравнение для дохода.

Найдите вершину квадратного уравнения.

Определить $y$-значение вершины.

Пример $\PageIndex{6}$: определение максимального дохода

Цена за единицу товара влияет на его спрос и предложение. То есть, если цена за единицу растет, спрос на товар обычно снижается. Например, местная газета в настоящее время имеет 84 000 подписчиков при ежеквартальной оплате в размере 30 долларов. Исследование рынка показало, что если владельцы поднимут цену до 32 долларов, они потеряют 5000 подписчиков.Предполагая, что подписка линейно связана с ценой, какую цену должна взимать газета за ежеквартальную подписку, чтобы максимизировать свой доход?

Раствор

Доход — это сумма денег, которую приносит компания. В этом случае доход можно найти, умножив цену подписки на количество подписчиков, или количество . Мы можем ввести переменные, $p$ для цены за подписку и $Q$ для количества, что даст нам уравнение $\text{Доход}=pQ$.

Поскольку количество подписчиков меняется в зависимости от цены, нам нужно найти взаимосвязь между переменными. Мы знаем, что в настоящее время $p=30$ и $Q=84 000$. Мы также знаем, что если цена поднимется до 32 долларов, газета потеряет 5000 подписчиков, что даст вторую пару значений, $p=32$ и $Q=79\mbox{,}000$. Отсюда мы можем найти линейное уравнение, связывающее две величины. Наклон будет

\[\begin{align*} m&=\dfrac{79,000−84,000}{32−30} \\ &=-\dfrac{5,000}{2} \\ &=-2,500 \end{align*}\]

Это говорит нам о том, что газета потеряет 2500 подписчиков на каждый доллар, на который они повысят цену.Затем мы можем найти $y$-перехват.

\[\begin{align*} Q&=−2500p+b &\text{Подставить в точку $Q=84,000$ и $p=30$} \\ 84,000&=−2500(30)+b &\text {Найти $b$} \\ b&=159,000 \end{align*}\]

Это дает нам линейное уравнение $Q=−2 500p+159 000$, связывающее стоимость и число подписчиков. 2+159 000 р \конец{выравнивание*}\]

У нас есть квадратичная функция дохода как функции платы за подписку.2+159 000(31,8) \\ &=2 528 100 \end{align*}\]

Анализ

Эту проблему также можно решить, построив квадратичный график, как показано на рисунке $\PageIndex{12}$. Максимальный доход мы можем увидеть на графике квадратичной функции.

Рисунок $\PageIndex{12}$: График параболической функции

Нахождение $х$- и $у$-перехватов квадратичной функции

В качестве инструмента, помогающего нам построить параболы, нам нужно найти точки пересечения квадратных уравнений.Напомним, что мы находим $y$-пересечение квадратного уравнения, оценивая функцию на входе, равном нулю, и мы находим x-пересечения в местах, где выход равен нулю. Обратите внимание на рисунок $\PageIndex{13}$, что количество $x$-отрезков может варьироваться в зависимости от расположения графика.

Рисунок $\PageIndex{13}$: Количество точек пересечения параболы с x.

Для заданной квадратичной функции $f(x)$ найти точки пересечения $y$ и $x$

Вычислите $f(0)$, чтобы найти точку пересечения $y$.2+5x−2\не число\]

В этом случае можно разложить квадратное число на множители, что обеспечивает простейший метод решения.

\[0=(3x−1)(x+2)\не число\]

\[\begin{align*} 0&=3x−1 & 0&=x+2 \\ x&= \frac{1}{3} &\text{or} \;\;\;\;\;\; \;\; х&=−2 \end{выравнивание*}\]

$x$-отрезки находятся в точках $(\frac{1}{3},0)$ и $(−2,0)$.

Анализ

Построив график функции, мы можем подтвердить, что график пересекает ось $y$ в точке $(0,−2)$.Мы также можем подтвердить, что график пересекает ось $x$ в точках $\Big(\frac{1}{3},0\Big)$ и $(−2,0)$. См. рисунок $\PageIndex{14}$.

Рисунок $\PageIndex{14}$: График параболы .

Переписывание квадратичных уравнений в стандартной форме

В примере $\PageIndex{7}$ квадратное уравнение было достаточно легко решено с помощью факторизации. Однако существует множество квадратичных уравнений, которые нельзя разложить на множители с использованием рациональных чисел. Другой метод решения квадратных уравнений заключается в том, чтобы сначала переписать квадратное уравнение в стандартной форме.Этот метод также известен как решение путем завершения квадрата .

Для заданной квадратичной функции найдите $x$-перехваты, переписав ее в стандартной форме.

Замените $a$ и $b$ на $h=−\frac{b}{2a}$.

Подставьте $x=h$ в общую форму квадратичной функции, чтобы найти $k$.

Перепишите квадратное уравнение в стандартной форме, используя $h$ и $k$.

Решите, когда выход функции будет равен нулю, чтобы найти $x$-перехваты.2 \\ x+1&={\pm}\sqrt{3} \\ x&=-1{\pm}\sqrt{3} \приблизительно 0,73 \mbox{или } -2,73 \end{align*}\]

Граф имеет $x$-пересечения в точках $(−1−\sqrt{3},0)$ и $(−1+\sqrt{3},0)$. Обратите внимание, что $x$-значения являются иррациональными числами.

Анализ

Мы можем проверить нашу работу, построив график заданной функции на графической утилите и наблюдая аппроксимацию пересечений $x$. См. рисунок $\PageIndex{15}$.

Рисунок $\PageIndex{15}$: График параболы со следующими пересечениями по оси x: $(-2.2−4⋅1⋅(2)}}{2⋅1} \\ &=\dfrac{−1{\pm}\sqrt{1−8}}{2} \\ &=\dfrac{−1{ \pm}\sqrt{−7}}{2} \\ &=\dfrac{−1{\pm}i\sqrt{7}}{2} \end{align*}\]

Решениями уравнения являются \(x=\frac{−1+i\sqrt{7}}{2}$ и $x=\frac{−1-i\sqrt{7}}{2} $ или $x=-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{7}}{2}$ и $x=\frac{-1}{2}-\frac{ i\sqrt{7}}{2}$. Поскольку у уравнения нет действительных решений, нет и действительных нулей. График этой параболы не будет пересекать ось $х$.

Пример $\PageIndex{10}$: применение вершины и x-пересечения параболы

Мяч брошен вверх с вершины здания высотой 40 футов со скоростью 80 футов в секунду. 2+80т+40\).

Когда мяч достигает максимальной высоты?
Какова максимальная высота мяча?
Когда мяч коснется земли?

Мяч достигает максимальной высоты в вершине параболы.
\[\begin{align*} h &= −\dfrac{80}{2(−16)} \\ &=\dfrac{80}{32} \\ &=\dfrac{5}{2} \ \ & =2.5 \end{выравнивание*}\]

Мяч достигает максимальной высоты через 2,5 секунды.

Чтобы найти максимальную высоту, найдите $y$-координату вершины параболы.2−4(−16)(40)}}{2(−16)} \\ & = \dfrac{−80±\sqrt{8960}}{−32} \end{align*} \]

Поскольку квадратный корень не очень упрощается, мы можем использовать калькулятор для аппроксимации значений решений.

\[t=\dfrac{−80-\sqrt{8960}}{−32} ≈5,458 \text{ или }t=\dfrac{−80+\sqrt{8960}}{−32} ≈−0,458 \ ]

Второй ответ находится за пределами разумной области нашей модели, поэтому мы заключаем, что мяч упадет на землю примерно через 5,458 секунды. См. рисунок $\PageIndex{16}$.2+к\)

Ключевые понятия

Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией.

График квадратичной функции представляет собой параболу. Парабола представляет собой U-образную кривую, которая может открываться как вверх, так и вниз.

Ось симметрии — вертикальная линия, проходящая через вершину. Нули, или $x$-перехваты, это точки, в которых парабола пересекает ось $x$. Точка пересечения $y$ — это точка, в которой парабола пересекает ось $y$.

Квадратичные функции часто записывают в общем виде. Стандартная или вершинная форма полезна для простого определения вершины параболы. Любая форма может быть записана из графа.

Вершина может быть найдена либо из общей формы, либо из стандартной формы квадратичной функции.

Областью определения квадратичной функции являются все действительные числа. Диапазон зависит от функции.

Минимальное или максимальное значение квадратичной функции определяется $y$-значением вершины.

Минимальное или максимальное значение квадратичной функции можно использовать для определения диапазона функции и решения многих реальных задач, включая задачи, связанные с площадью и доходом. 2+k\), где $(h, k)\ ) является вершиной

вершина
точка, в которой парабола меняет направление, соответствующее минимальному или максимальному значению квадратичной функции

вершинная форма квадратичной функции
другое название стандартной формы квадратичной функции

нули
в заданной функции значения \(x$, при которых $y=0$, также называемые корнями

Квадратичные формулы и функции — Квадратичные функции

Сложность построения графика квадратичной функции зависит от того, в какой форме вы ее найдете.Мы начнем относительно легко.

f ( x ) = a ( x – h ) ² + k , мы не лжем вам
,
; что есть квадратичная функция. Давай, умножай.

F ( x ) = AX 2 + (-2 AH ) x + ( AH + ( AH K )

K H и K — константы, поэтому (-2 ah ) и ( ah ² + k ) также являются константами, которые мы могли бы назвать, скажем, b и c . Видите, вы можете нам доверять, это полностью квадратично.

Когда у вас есть парабола, записанная как f ( x ) = a ( x – h ) ² + k 90 0 , это 0 , это С вершинной формой вы сразу же получаете несколько фрагментов важной информации. Когда вы впервые встречаете кого-то, ваше первое впечатление, как правило, остается с вами. То же самое и с этим уравнением.

Знак a говорит вам, открывается ли парабола вверх или вниз.Если и положительны, он открывается. Если и являются Негативной Нэнси, парабола раскрывается вниз. Вы также знаете, что вершина параболы находится в точке ( h , k ). Однако будьте осторожны со знаком h .

Проблема образца

График
Функция F ( x ) = ( x — 2) ² — 1.

Вершина парабола находится в ( h , k ) = (2, –1).Мы также можем видеть, что парабола открывается вверх. Однако нам нужно еще несколько очков. Мы могли бы составить таблицу и начать подставлять значения x , но обычно есть более простой способ: найти точки пересечения y и x (если они существуют). Начиная с точки пересечения y , которая происходит при x = 0.

f (0) = (0 – 2) ² – 1 = 4 – 1 = 3

Прямо на: (0 , 3) — точка на нашей параболе. Теперь перейдите к x -перехватам, которые происходят, когда y = 0, если они есть.

0 = ( x — 2) ² — 1

0 = x 2 — 4 x + 4 — 1

0 = x ² — 4 x + 3

Это квадратное уравнение можно разложить на множители.

0 = ( x – 3)( x – 1)

Итак, (1, 0) и (3, 0) также являются точками параболы. Соединив все вместе, мы получаем:

Видишь? Математика умнее, а не сложнее.

Пример задачи

Постройте график функции f ( x ) = -2( x + 1) ² – 2.

Мы сразу видим, что вершина находится в точке (-1, -2), а парабола раскрывается вниз. Время отследить наш и -перехват.

f (0) = -2(0 + 1) ² – 2 = -2(1) – 2 = -4

Сладкий. Пересечение и равно (0, -4). Теперь охотимся за x -перехватами. Некоторые говорят, что использование динамита во время охоты неспортивно. Наверное, они правы.

0 = -2 ( x + 1) ² — 2

0 = -2 ( x
8 2 + 2 x + 1) — 2

0 = -2 x ² — 4 x — 2 — 2

0 = -2 x
8 2 — 4 9 x — 4

0 = — x ² — 2 x — 2

В этот момент мы натыкаемся на стену.Дискриминант этого уравнения равен:

b ² – 4 ac =(-2) ² – 4(-1)(-2) = 4 – 8 = -4

Отрицательно, поэтому действительных корней у этого уравнения нет. Это означает, что функция никогда не пересечет ось x , и, следовательно, пересечений x не будет. Это имеет смысл, учитывая, что вершина находится в точке (-1, -2), а парабола направлена вниз, поэтому функция не будет двигаться вверх к оси x . Думаю, нам не понадобится этот динамит в конце концов.

Вместо использования перехватов x мы вставим несколько дополнительных значений x и нанесем их на график.

Мы почти готовы закончить этот график. Однако это будет проще сделать с еще несколькими точками. Помните, что ось симметрии проходит через вершину; теперь мы можем использовать это, чтобы найти еще несколько точек, поскольку у нас есть точки с обеих сторон вершины.

Сравните (0, -4) с вершиной в (-1, -2), например. Это 1 справа по оси x и 2 ниже по оси y .Поскольку функция симметрична, 1 пробел слева от вершины также будет на 2 ниже по оси y в точках (-2, -4). Точно так же (-3, -10) — это 2 пробела слева от вершины и 8 вниз, а (-4, -20) — 3 пробела влево и 18 пробелов вниз. Отразите их на правую сторону вершины, и мы увидим, что (1, -10) и (2, -20) также являются точками на параболе. Теперь мы можем уверенно изобразить этого плохого мальчика.

Вершинная парабола Стратегия

Когда вы рисуете параболу в форме вершины, вот что вы делаете.

Проверьте знак a , чтобы увидеть, открывается ли он вверх или вниз.


Найдите вершину и точку пересечения y .


Определите, есть ли пересечения x , либо путем сравнения формы параболы и вершины, либо путем проверки дискриминанта расширенной функции.


Найдите пересечения x , если они существуют.


Проверьте, достаточно ли у вас очков, чтобы построить график.Если да, то ура.

Если нет, бу. Постройте еще несколько точек и используйте симметрию функции, чтобы найти больше точек.


Заканчивайте и закругляйтесь.

7.4 Преобразование и построение графиков квадратичных чисел и радикалов — алгебра среднего уровня

Цели обучения

Использование преобразования, сжатия, расширения и отражения для преобразования функций и их графиков

Выразите график преобразованной функции через исходную родительскую функцию

До сих пор мы работали с основными линейными, квадратичными, радикальными, экспоненциальными и логарифмическими функциями, но эти функции часто появляются в разных формах. В этом разделе представлен упрощенный визуальный пример нескольких способов преобразования функций: перевод, сжатие, расширение и отражение.

Перевод

На приведенном ниже графике показан пример «функции» $H(x)$, которая рисует маленький красный домик в начале координат. У дома есть точка рядом с трубой с координатой $(1,1)$. Если мы вычтем $4$ из каждого выхода функции, мы получим $H(x)-4$, что соответствует маленькому синему домику, сдвинутому вниз. Поскольку выходные данные функции соответствуют значениям по оси Y, мы можем сдвинуть функцию вверх, добавив или вниз, вычитая из всей функции.

Ось X соответствует входу функции, поэтому, если мы хотим сдвинуть дом вправо или влево, нам нужно будет изменить то, что находится внутри скобок функции (аргумент функции ). Горизонтальные сдвиги часто менее интуитивны, чем вертикальные сдвиги. Чтобы заставить дом сдвинуться на 3 единицы вправо, нам нужно вычесть 3 из входных данных. Почему? Если мы хотим, чтобы наша опорная точка рядом с дымоходом располагалась в $x=4$, то нам нужно, чтобы вход $x=4$ в нашей преобразованной функции обрабатывался так, как если бы мы положили $x= 1$ в исходную функцию.Это достигается путем создания аргумента функции $(x-3)$. Когда наше значение x равно $4$, то аргумент нашей преобразованной функции равен $(4-3)$, и функция отвечает так же, как исходная функция, когда аргумент был $1$.

Горизонтальные сдвиги кажутся обратными, но это только потому, что мы влияем на ввод, а не на вывод функции. Мы сдвигаем функцию вправо, вычитая из аргумента, и сдвигаем влево, добавляя к аргументу.

Расширение, сжатие и отражение

Мы также можем растягивать или сжимать наш дом путем умножения.Как и в случае перевода, изменения в направлении Y производятся путем изменения вывода, который является результатом всей функции. Изменения в направлении x производятся путем изменения входных данных, которые являются аргументами функции. Как и в случае перевода, изменения в направлении x будут казаться обратными.

На приведенном ниже графике показан пример, когда дом делается шире и короче: $\frac{1}{2}H(\frac{1}{3}x)$. Функция преобразуется путем умножения всего вывода на $\frac{1}{2}$. Это делает новый дом только вдвое ниже оригинала.Аргумент функции умножается на $\frac{1}{3}$, делая дом в три раза шире. Если мы поместим нашу контрольную точку в $x=3$ в нашу преобразованную функцию, мы хотим, чтобы она реагировала так, как если бы мы поместили $x=1$ в нашу исходную функцию, создав угол крыши у дымохода. . Когда $x=3$, аргумент нашей функции равен $\left(\frac{1}{3}\cdot3\right)$, что равнозначно подстановке $1$ в исходную функцию.

Другой дом был отражен по вертикали и сжат по горизонтали: $-3H(2x)$.Отражения возникают, когда мы умножаем на отрицательные числа. Замена $H(x)$ на $-3H(x)$ делает дом в три раза выше и перевернутым. Наша контрольная точка перемещается из исходного положения $y=1$ на конечную высоту $y=-3$. Мы делаем дом вдвое шире, увеличивая аргумент в два раза. Несмотря на то, что $x=\frac{1}{2}$ в нашей контрольной точке, аргумент функции равен $\left(2\cdot\frac{1}{2}\right)$, а функция реагирует так, как если бы это было $H(1)$, что является местоположением ссылки в исходном доме.

Наш последний пример на рисунке выше объединяет несколько преобразований: $-1\cdot H(x+4)-1$. Дом был инвертирован путем умножения на -1, сдвинут влево путем прибавления к аргументу и сдвинут вниз путем вычитания из функции. Когда мы вводим $x=-3$ в качестве нашей опорной точки, аргумент функции становится $\left(-3+4\right)$, и функция создает угол у дымохода, как и требовалось. Обратите внимание, что порядок операций подразумевает, что значения по оси Y умножаются на $-1$, прежде чем они будут сдвинуты вниз на 1.Наша контрольная точка начинается на высоте $1$ и заканчивается на высоте $-2$, потому что $-1\cdot1-1$ равно $-2$.

Преобразования главной функции квадратного корня

В последнем разделе было показано, как «функциональный» рисунок домика можно преобразовать путем переноса, сжатия, расширения и отражения. Те же концепции применяются к традиционным функциям, таким как $f(x)=\sqrt{x}$. На рисунке ниже эталонная кривая показана серым цветом. Синяя кривая $2\sqrt{x}$ в два раза выше, потому что результат функции был умножен на $2$.Красная кривая, $-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{x}$, в два раза меньше, и она отражена вертикально, потому что выход функции был умножен на $-\frac{ 1}{2}$. Зеленая кривая была сдвинута вниз путем вычитания $9$ из выходных данных и сдвинута влево путем добавления $5$ к входным данным: $\sqrt{x+5}-9$ .

Пример

На приведенном ниже графике показана родительская функция $f(x)=\sqrt{x}$ и два преобразования, $g(x)$ и $h(x)$. Найдите уравнения для двух преобразованных функций.

Показать решение

Функция $g(x)$ открывается влево и вниз, поэтому она была отражена по оси y и по оси x. График начинается в точке $(0,5)$, поэтому он сдвинут вверх на 5 единиц. Чтобы отразить по горизонтали, нам нужно изменить входные данные с положительного $x$ на отрицательное $x$ . Чтобы отразить вертикально, нам нужно изменить знак квадратного корня с положительного на отрицательный. Чтобы сдвинуться вверх на 5 единиц, мы просто добавляем 5 к функции.
$g(x)=-f(-x)+5\\ \text{ } \\g(x)=-\sqrt{-x}+5$
Функция $h(x)$ открывается вправо и вниз, поэтому она отражается только по оси x.График начинается в точке $(-5,5)$, поэтому он был сдвинут вниз и влево на 5 единиц каждая.

Чтобы отразить вертикально, мы меняем знак квадратного корня с положительного на отрицательный. Чтобы сдвинуться влево на 5 единиц, нам нужно добавить 5 ко входу. Чтобы сдвинуть вниз на 5 единиц, нам нужно вычесть 5 из функции.
$g(x)=-f(x+5)-5\\ \text{ } \\g(x)=-\sqrt{x+5}-5$
Ответить

$g(x)=-\sqrt{-x}+5$ и $h(x)=-\sqrt{x+5}-5$

График квадратичных функций

Квадратичные функции также можно изобразить с помощью преобразований базовой родительской функции.{2}\). Мы знаем, что $f(0)=0$, $f(1)=1$ и $f(-1)=1$. Заполним еще два значения: когда $x=-2$ и $x=2$.
Начните с таблицы значений. Тогда подумайте о таблице как об упорядоченных парах.

х f ( x )

$−2$ $4$

$−1$ $1$

$0$ $0$

$1$ $1$

$2$ $4$

Постройте точки $(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4)$

Поскольку точек на линии , а не , вы не можете использовать линейку.Соедините точки как можно лучше, используя плавную кривую (не серию прямых линий). Возможно, вы захотите найти и нанести на карту дополнительные точки (например, выделенные здесь синим цветом). Размещение стрелок на концах линий означает, что они продолжаются в этом направлении навсегда.

Обратите внимание, что форма похожа на букву V с закругленным низом. Это называется парабола. Половина параболы является зеркальным отражением другой половины. Линия, которая идет посередине, называется линией симметрии или линией отражения , и в данном случае эта линия является осью у .2\), поэтому $a=1$, $b=0$ и $c=0$.

Изменение $a$ масштабирует параболу по вертикали, в результате чего она становится шире или уже. Когда $a$ положителен, график открывается вверх, а когда $a$ отрицателен, график открывается вниз. Другими словами, если $а$ положительна, вершина является самой низкой точкой (минимумом), а если $а$ отрицательна, вершина является самой высокой точкой (максимумом). В следующем примере показано, как изменение значения $a$ повлияет на график функции.2\) коэффициент, $а$ положительный, парабола направлена вверх. Когда $а$ большое число, график расширяется по вертикали, а парабола кажется уже, как острая долина. Когда $а$ представляет собой небольшую дробь, график сжимается по вертикали, и кажется, что парабола становится шире. {2}}+bx+c\), где $a$, $b$ и $c$ — действительные числа .

Парабола направлена вверх, если $а$ > 0, и вниз, если $а$ < 0.

$a$ изменяет ширину параболы. Парабола сужается, если $\left|a\right|\gt 1$, и шире, если $\left|a\right| \lt 1$.

Вершина зависит от значений $a$, $b$ и $c$. Вершина расположена в точке $(h,\;k)$, где $h=-\frac{b}{2a}$ и $k=f(h)$.

Каждая парабола пересекает ось y в точке $f(0)$, которая является координатой $(0,\;c)$.

В следующем примере мы покажем, как вы можете использовать свойства параболы, чтобы помочь вам построить график, не вычисляя исчерпывающую таблицу значений.{2}\).

$c=−3$, поэтому он будет двигаться, чтобы пересечь ось y в точке $(0,−3)$.

Чтобы найти $h$, горизонтальное положение вершины параболы, используйте формулу $ h= \frac{-b}{2a}$. Чтобы найти положение по вертикали $k$, используйте $h$ в качестве входных данных для функции: $f(h)=k$. {2}}+3\left(\frac{3}{4} \right )-3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-2\left( \frac{ 9}{16} \right)+\frac{9}{4}-3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,=\frac{-18}{16}+\frac{9}{4}-3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{-9}{8}+\frac{18}{8}-\frac{24}{8}\\\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-\frac{15}{8}\end{массив}\\\ )

Вершина: $ \displaystyle \left( \frac{3}{4},-\frac{15}{8} \right)\\$

Используйте вершину $ \displaystyle \left( \frac{3}{4},-\frac{15}{8} \right)\\$ и описанные вами свойства, чтобы получить общее представление о форма графика.Вы можете создать таблицу значений для проверки вашего графика. Обратите внимание, что в этой таблице значения 91 104 x 91 105 увеличиваются. Значения и увеличиваются, а затем снова начинают уменьшаться. Это указывает на параболу.

х f ( x )

$−2$ $−17$

$−1$ $−8$

$0$ $−3$

$1$ $−2$

$2$ $−5$

Ответить

Соедините точки как можно лучше, используя плавную кривую . Помните, что парабола — это два зеркальных отражения, поэтому, если у ваших точек нет пар с одинаковым значением, вы можете включить дополнительные точки (например, те, что показаны здесь синим цветом). Постройте совпадающие точки по обе стороны от вершины.

В следующем видео показан еще один пример построения квадратичной функции с использованием вершины.

Учитывая то, что мы узнали о квадратичных функциях, мы можем построить уравнение квадратичной функции, если нам задано положение вершины и еще одной точки на кривой.2-8х+5\)

Резюме

Создание графика функции — это один из способов понять взаимосвязь между входными и выходными данными этой функции. Создать график можно, выбрав значения для x , найдя соответствующие значения y и нанеся их на график. Тем не менее, это помогает понять основную форму функции. Также полезно знать эффект изменений в основном уравнении функции. Чтобы преобразовать график в вертикальном направлении, вы работаете с функцией , выводящей , путем сложения, вычитания, умножения или деления. 2 + bx + с = 0 \).2 -x – 4 \) и с его помощью найти корни уравнения с точностью до 1 знака после запятой.

Нарисуйте и заполните таблицу значений, чтобы найти координаты точек на графике.

x -3 -2 -2 -2 1 2 3 4 5

y 8 2 — 2 -4 -4 -2 8 16

Постройте эти точки и соедините их плавной кривой.2 -x – 4 \) — это координаты x, в которых график пересекает ось x, которые можно прочитать из графика: $x = -1,6 $ и $x=2,6 $ (1 dp).

Биоматематика: квадратичные функции

Определение и символическое представление

Квадратичные функции могут быть представлены символически уравнением,

у ( х ) = ах ² + бх + с ,

, где a , b и c — константы, а a ≠ 0.Эта форма называется стандартной формой. Коэффициент a в этой форме называется старшим коэффициентом, потому что он связан с наибольшей степенью x (т. е. квадратом члена).

Графическое представление

Квадратичные функции — это нелинейные функции, графически представленные параболами. Параболы имеют характерную ∪-форму и открываются либо вверх, либо вниз, как показано ниже,

На эти графики следует обратить внимание:

Нижняя точка параболы, которая открывается вверх, называется вершиной параболы.Термин вершина также относится к высшей точке параболы, которая открывается вниз.

Параболы симметричны относительно вертикальной линии, проходящей через вершину. Параболы, открывающиеся вверх, слева от вершины уменьшаются, а справа от вершины возрастают. Параболы, открывающиеся вниз, увеличиваются слева от вершины и уменьшаются справа от вершины.

Хотя на каждом из этих графиков вершина находится в начале координат, важно понимать, что вершина параболы не обязательно должна находиться в начале координат или лежать на одной из осей.

Стандартная форма дает представление о том, как будет выглядеть график квадратичной функции.

Проверяя квадратное уравнение в стандартной форме,

у ( х ) = ах ² + бх + с ,

вы можете получить представление о том, как будет выглядеть график. Старший коэффициент говорит вам, в каком направлении открывается парабола, а именно
.

если a > 0, парабола открывается вверх

, если a < 0, парабола открывается вниз.

Кроме того, константа c является точкой пересечения y квадратичной функции. Этот факт можно вывести математически, установив x = 0 (помните, точки, лежащие на оси Y, должны иметь x -координату, равную нулю) в стандартной форме квадратного уравнения, что дает

y (0) = a · 0 ² + b · 0 + c

y (0) = c .

Обратите внимание, что квадратичная функция всегда будет пересекать ось y , но может не пересекать ось x (мы обсудим эту тему более подробно позже).

Наконец, изучив стандартную форму квадратного уравнения, вы увидите, что областью определения квадратных функций являются все действительные числа (т. е. нет значения x , которое нельзя было бы подставить в уравнение y ( x ). ) = ах ² + Ьх + с ).Однако диапазон квадратичных функций составляет , а не всех действительных чисел, а скорее варьируется в зависимости от формы кривой. В частности,

Для квадратичной функции, открывающейся вверх, диапазон состоит из всех y , больших или равных y -координата вершины.

Для квадратичной функции, которая открывается вниз, диапазон состоит из всех y меньших или равных y -координата вершины.

Пример

Простейшая квадратичная функция задается как y = x ² . Чтобы построить график этой функции вручную, вы можете использовать следующую таблицу значений:

Изучив эту таблицу значений, вы увидите, что функциональные значения симметричны относительно вертикальной линии x = 0. Вы можете нанести эти точки на плоскость xy- и провести через них плавную кривую, чтобы сформировать парабола, как показано ниже,

*****

В следующем разделе мы рассмотрим, как найти вершину параболы.

Вершина квадратичной функции

Квадратичные функции
Квадратичные функции
Определение Квадратичная функция — это функция, которая можно записать в виде f⁡(x)=a⁢x2+b⁢x+c, a≠0This Форма называется стандартной формой . Номер а называется старшим коэффициентом .

Общие сведения о графиках квадратичных функций:

График представляет собой параболу , которая открывается вверх, если а>0 и открывается вниз, если а<0. Абсолютное значение а определяет форму параболы. Если |а|>1, тогда график станет «тоньше», поскольку а становится больше. Если |а|<1, тогда граф становится «шире», так как а подходы 0.

То y-перехват графика (0,с).

То x-перехваты находятся путем решения квадратного уравнения a⁢x2+b⁢x+c=0для Икс. Каждое реальное решение дает х-перехват.

Самая важная точка на графике — вершина , обычно маркируется (ч, к). Вершина может быть найдена по

Завершение метода квадрата, или

Используя формулу h=−b2⁢aЭто дает x-координата вершины, которую мы пометили часЧтобы найти y-координата вершины (обозначенной к), заменить это значение на Икс в квадратичной функции и упростить. Это значение будет максимальным или минимум для у.

осью симметрии графика является вертикальная линия x=−b2⁢aкоторый проходит через вершину.

Факторизованная форма квадратичной функции

Если р и с являются действительными числами, с г≤с, тогда факторизованная форма квадратичной функциональной функции isf⁡(x)=a⁢(x-r)⁢(x-s) ориентация и форма графика этой функции определяются старший коэффициент а. Два x-перехваты графика (г, 0) и (с, 0).Обычно мы просто говорим «x-перехваты являются р и с.»

Вершинная форма квадратичной функции

Если вершина (ч, к) известно, квадратичная функция может быть записана в Vertex Форма f⁡(x)=a⁢(x−h)2+kИ наоборот, вершина, ориентация и форма параболы могут быть прочитаны из этого форма.

Если а>0, то график функции открывается вверх и число к это минимальное значение диапазона ф.

Если а<0, то график функции открывается вниз и число к является максимальным значением диапазона ф.

Стандартная форма по своей сути несет наименьшую информацию. Обычно мы хотим преобразовать из этой формы в вершинную форму или факторизованную форма.

Родительские функции — типы, свойства и примеры

При работе с функциями и их графиками вы заметите, что графики большинства функций выглядят одинаково и следуют схожим шаблонам. Это потому, что функции, имеющие одинаковую степень, будут следовать схожей кривой и иметь одни и те же родительские функции.

Родительская функция представляет семейство функций в простейшей форме.

Это определение прекрасно описывает родительские функции.Мы используем родительские функции, чтобы направлять нас в графике функций, которые находятся в том же семействе. В этой статье мы рассмотрим:

Обзор всех уникальных родительских функций (возможно, вы уже встречались с некоторыми ранее).

Узнайте, как определить родительскую функцию, которой принадлежит функция.

Возможность идентифицировать и отображать функции с помощью их родительских функций может помочь нам лучше понять функции, так чего же мы ждем?

Что такое родительская функция?

Теперь, когда мы понимаем, насколько важно для нас освоить различные типы родительских функций, давайте сначала начнем понимать, что такое родительские функции и как на их семейства функций влияют их свойства.

Определение родительской функции

Родительские функции являются простейшей формой данного семейства функций . Семейство функций — это группа функций, имеющих одну и ту же самую старшую степень и, следовательно, одинаковую форму графиков .

На приведенном выше графике показаны четыре графика, изображающие U-образный график, который мы называем параболой. Поскольку все они имеют одну и ту же высшую степень двойки и одинаковую форму, мы можем сгруппировать их в одно семейство функций.Сможете ли вы угадать, к какому семейству они принадлежат?

Все эти четыре функции являются квадратичными, и их простейшая форма будет y = x ² . Следовательно, родительская функция для этого семейства y = x ² .

Поскольку родительские функции являются простейшей формой данной группы функций, они могут сразу же дать вам представление о том, как будет выглядеть данная функция из того же семейства.

Какие существуют типы родительских функций?

Пришло время освежить наши знания о функциях, а также узнать о новых функциях. Как мы уже упоминали, знакомство с известными родительскими функциями поможет нам лучше и быстрее понять и построить графики функций.

Почему бы нам не начать с того, что мы могли уже выучить в прошлом?

Первые четыре родительские функции включают многочлены с возрастающими степенями. Давайте посмотрим, как ведут себя их графики, и отметим домен и диапазон соответствующих родительских функций.

Функции-константы
Функции-константы — это функции, которые определяются своей соответствующей константой, c.Все постоянные функции будут иметь горизонтальную линию в качестве графика и содержать только константу в качестве члена.

Все постоянные функции будут иметь все действительные числа в качестве области определения и y = c в качестве диапазона. У каждого из них также есть точка пересечения с осью y в точке (0, c).

Движение объекта в состоянии покоя — хороший пример постоянной функции.

Линейные функции
Линейные функции имеют x в качестве термина с наивысшей степенью и общую форму y = a + bx. Все линейные функции имеют прямую линию в виде графика .

Родительская функция линейных функций имеет вид y = x, и проходит через начало координат. Область определения и диапазон всех линейных функций равны , все действительные числа .

Эти функции представляют отношения между двумя объектами, которые линейно пропорциональны друг другу.

Квадратичные функции
Квадратичные функции — это функции с 2 в высшей степени .Все квадратичные функции возвращают параболу в качестве своего графика . Как обсуждалось в предыдущем разделе, квадратичные функции имеют y = x ² в качестве родительской функции .

Вершина родительской функции y = x ² лежит в начале координат. Он также имеет домен всех действительных чисел и диапазон [0, ∞) . Обратите внимание, что эта функция увеличивается, когда x является положительным , и уменьшается, когда x отрицателен .

Хорошим применением квадратичных функций является движение снаряда.Мы можем наблюдать за движением снаряда объекта, рисуя график квадратичной функции, которая его представляет.

Кубические функции
Давайте перейдем к родительской функции многочленов с 3 в качестве высшей степени . Кубические функции имеют общую родительскую функцию y = x ³ . Эта функция возрастает по всей области определения .

Как и в случае с двумя предыдущими родительскими функциями, график y = x ³ также проходит через начало координат.Его домен и диапазон равны (-∞, ∞) или также всем действительным числам.

Функции абсолютного значения
Родительская функция функций абсолютного значения: y = |x| . Как видно из графика родительской функции, ожидается, что функции абсолютного значения вернут V-образные графики .

Вершина y = |x| также находится в истоке. Поскольку он простирается на оба конца оси x, y= |x| имеет область определения в точке (-∞, ∞). Абсолютные значения никогда не могут быть отрицательными, поэтому родительская функция имеет диапазон [0, ∞) .

Мы используем функции абсолютного значения, чтобы подчеркнуть, что значение функции всегда должно быть положительным.

Радикальные функции
Двумя наиболее часто используемыми радикальными функциями являются функции квадратного и кубического корня .

Родительская функция функции извлечения квадратного корня: y = √x . Его график показывает, что его значения x и y никогда не могут быть отрицательными.

Это означает, что и домен , и диапазон y = √x равны [0, ∞ ) . Начальная точка или вершина родительской функции также находится в начале координат . Родительская функция y = √x также возрастает в раз по всей области определения .

Давайте теперь изучим родительскую функцию функций кубического корня. Подобно функции квадратного корня, ее родительская функция выражается как y = ∛ x .

График показывает, что родительская функция имеет домен и диапазон (-∞, ∞) .Мы также можем видеть, что y = ∛x является возрастающим по всей своей области определения .

Экспоненциальные функции
Экспоненциальные функции — это функции, показатель степени которых содержит алгебраические выражения. Их родительская функция может быть выражена как y = b ^x , где b может быть любой ненулевой константой. График родительской функции y = e ^x , показан ниже, и из него видно, что никогда не будет равно 0 .

И когда x = 0, y проходит через ось y при y = 1. Мы также можем видеть, что родительская функция никогда не находится ниже оси Y, поэтому ее диапазон равен (0, ∞ ). Его домен , однако могут быть все действительные числа . Мы также можем видеть, что эта функция возрастает на по всей области определения.

Одним из наиболее распространенных применений экспоненциальных функций является моделирование роста населения и сложных процентов.

Логарифмические функции
Логарифмические функции являются обратными функциями экспоненциальных функций. Его родительская функция может быть выражена как y = log _b x , где b — ненулевая положительная константа. Посмотрим на график, когда b = 2 .

Как и в случае с экспоненциальной функцией, мы можем видеть, что x никогда не может быть меньше или равно нулю для y = log ₂ x. Следовательно, его областью определения является (0,∞) . Однако его диапазон содержит все действительные числа . Мы также можем видеть, что эта функция возрастает на по всей области определения.

Мы используем логарифмические функции для моделирования природных явлений, таких как сила землетрясения.Мы также применяем его при расчете скорости распада периода полураспада в физике и химии.

Взаимные функции
Взаимные функции — это функции, которые содержат постоянный числитель и x в качестве знаменателя. Его родительская функция y = 1/x .

Как видно из его графика, x и y никогда не могут быть равны нулю. Это означает, что его домен и диапазон равны (-∞, 0) U (0, ∞) . Мы также можем видеть, что функция убывает на по всей области определения .

В нашем путешествии с функциями и графиками есть много других родительских функций, но эти восемь родительских функций относятся к наиболее часто используемым и обсуждаемым функциям .

Вы даже можете обобщить то, что вы уже узнали, создав таблицу, показывающую все свойства родительских функций.

Как найти родительскую функцию?
Что, если нам дана функция или ее график, и нам нужно определить ее родительскую функцию? Мы можем сделать это, запомнив важные свойства каждой функции и определив, какой из родительских графов, которые мы обсуждали, соответствует данному.

Вот несколько наводящих вопросов, которые могут нам помочь:

Какова высшая степень функции?

Содержит ли он квадратный или кубический корень?

Находится ли функция в показателе степени или знаменателе?

График функции уменьшается или увеличивается?

Что такое домен или диапазон функции?

Если мы сможем ответить на некоторые из этих вопросов путем проверки, мы сможем вывести наши варианты и в конечном итоге определить родительскую функцию.

Попробуем f(x) = 5(x – 1) ² . Мы можем видеть, что самая высокая степень f(x) равна 2 , поэтому мы знаем, что эта функция является квадратичной функцией. Следовательно, его родительская функция y = x ² .

Почему бы нам не построить график f(x) и не подтвердить наш ответ?

Из графика видно, что он образует параболу, подтверждая, что его родительская функция y = x ² .

Просмотрите несколько первых разделов этой статьи и свои собственные заметки, а затем давайте попробуем ответить на несколько вопросов, чтобы проверить наши знания о родительских функциях.

Пример 1

Графики пяти функций показаны ниже. Какие из следующих функций не принадлежат данному семейству функций?

Решение

Функции, представленные на графиках A, B, C и E, имеют одинаковую форму, но смещаются либо вверх, либо вниз. Фактически эти функции представляют собой семейство экспоненциальных функций . Это означает, что все они также имеют общую родительскую функцию: y=b ^x .

С другой стороны, график D представляет собой логарифмическую функцию, поэтому D не принадлежит к группе экспоненциальных функций.

Пример 2

Какие из следующих функций не принадлежат данному семейству функций?

y = 5x ²

y = -2x ² + 3x — 1

y = x (3x ²)

y = (x — 1) (x + 1)

Решение

Функция y = 5x ² имеет наивысшую степень двойки, поэтому она является квадратичной функцией.Это означает, что его родительская функция y = x ² . То же самое касается y = -2x ² + 3x – 1. Отсюда мы можем подтвердить, что рассматриваем семейство квадратичных функций.

Применяя разность совершенных квадратов к четвертому варианту, получаем y = x ² – 1. Это тоже квадратичная функция. Это оставляет нам третий вариант.

При расширении y = x(3x ² ) становится y = 3x ^3,, и это показывает, что его высшая степень равна 3.Следовательно, она не может быть частью данного семейства функций.

Пример 3

Определите родительскую функцию следующих функций на основе их графиков. Также определите домен и диапазон каждой функции.

Решение

Начнем с f(x). Мы видим, что его график представляет собой параболу, поэтому мы можем сказать, что f(x) является квадратичной функцией .

Это означает, что f(x) имеет родительскую функцию y = x ² .

Граф простирается по обе стороны от x, поэтому он имеет доменов (-∞, ∞) .

Парабола никогда не опускается ниже оси x, поэтому ее диапазон составляет [0,∞) .

Из графика видно, что значения x и y функции g(x) никогда не будут отрицательными. Они также показывают возрастающую кривую, которая напоминает график функции квадратного корня .

Следовательно, родительская функция g(x) равна y = √x .

Граф простирается до правой части x и никогда не меньше 2, поэтому его домен равен [2, ∞) .

Парабола никогда не опускается ниже оси x, поэтому ее диапазон составляет [0,∞) .

График h(x) показывает, что их значения x и y никогда не будут равны 0. Симметричные кривые также выглядят как график обратных функций.

Это означает, что h(x) имеет родительскую функцию y = 1/x.

Пока x и y никогда не равны нулю, h(x) по-прежнему действует, поэтому он имеет как домен , так и диапазон (-∞, ∞) .

Прямые линии, изображающие i(x), говорят о том, что это линейная функция.

Имеет родительскую функцию y = x.

Граф простирается по обе стороны от x и y, поэтому он имеет домен и диапазон (-∞, ∞) .

Пример 4

Определите родительскую функцию следующих функций.

f(x) = x ³ – 2x + 1

g(x) = 3√x + 1

h(x) = 4/ x

i(x) = e ^{x + 1}

Решение

Наивысшая степень f(x) равна 3, так что это кубическая функция.Это означает, что у него есть родительская функция y = x ³ .

Функция g(x) имеет радикальное выражение 3√x. Поскольку в ней есть член с квадратным корнем, функция является функцией квадратного корня и имеет родительскую функцию y = √x.

Мы видим, что x находится в знаменателе для h(x), поэтому оно обратно. Следовательно, его родительская функция равна y = 1/x .

Показатель степени функции содержит x, поэтому уже одно это говорит нам о том, что i(x) является экспоненциальной функцией.