построить сечение пирамиды

Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Пример.

Построить сечение плоскостью (MNP)

 

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

 

 

 

 

 

 

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

 

Треугольник MNP — искомое сечение.

 

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

 

 

 

Треугольник BKL — искомое сечение.

 

 

 

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

 

 

 

 

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

 

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

 

 

 

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с  прямой AS. Назовем эту точку R.

 

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

 

 

 

 

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

 

 

 

 

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

 

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

 

 

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

 

 

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

 

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

www.uznateshe.ru

Пошаговое построение сечения: треугольная пирамида.

В этой статье мы построим несколько сечений треугольной пирамиды, будем при этом использовать метод следов. Сначала мы рассмотрим самые простые случаи: когда точки, через которые должно пройти сечение, принадлежат ребрам пирамиды. Потом – случаи сложнее, когда одна или две из точек плоскости сечения принадлежат граням пирамиды. Поехали!

Задача 1. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.

Дано

Сначала надо попробовать отыскать такие точки, которые принадлежат одной плоскости. У нас это точки P и Q – они принадлежат грани ASC, а также пара P и R – они принадлежат грани ABC. Их можно сразу соединять:

Шаг 1

Теперь, чтобы понять, как плоскость рассечет грань SBC, нужно заполучить точку в этой грани, или в плоскости, которой принадлежит грань. Но нужна нам не любая, а особенная точка, которая также будет принадлежать и плоскости сечения. Чтобы точка принадлежала плоскости нужно, чтобы она принадлежала прямой этой плоскости. Заметим, что прямая PR лежит в плоскости основания и принадлежит искомому сечению. Прямая CB тоже лежит в плоскости основания, но не только. Она еще лежит в плоскости грани SBC, где нам необходима точка, чтобы построить сечение.  Воспользуемся случаем: найдем точку, где прямые PR и CB пересекутся. Такая точка принадлежит сечению, а также плоскостям боковой (SBC) и нижней (ABC)  граней пирамиды.

Шаг 2

Так как построенная точка T и точка Q лежат в одной плоскости, то можем соединить их прямой:

Шаг 3

Эта прямая пересечет ребро SB в точке F – это и есть еще одна нужная нам точка для построения сечения. Соединяем R и F – они лежат в одной плоскости (SAB). Теперь смотрим: можно ли пройти по линиям сечения, принадлежащим граням пирамиды,  от точки P и снова попасть в нее непрерывным маршрутом? Если да, то построение окончено. У нас такой маршрут замкнутый: P-Q-F-R-P. Это и есть сечение.

Шаг 4

Задача 2. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.

Дано

Видим, что точки P и Q принадлежат одной грани пирамиды – SCB – и соединяем их.

Шаг 1

Можно, конечно, было бы сразу и точки P и Q соединить – они тоже лежат в одной плоскости – плоскости грани SAB. Но это успеется, пока что нам нужна точка в плоскости грани SAC, да такая, чтобы принадлежала и сечению. Поэтому она должна принадлежать прямой искомого сечения, и прямой, принадлежащей плоскости SAB, то есть быть пересечением таких прямых. Продлим SC до пересечения с прямой QR  -и получим такую точку.

Шаг 2

Точка X и точка P принадлежат одной плоскости, можем их соединить и получить точку пересечения данной прямой с ребром AC:

Шаг 3

 

Соединяем E  с R, P с Q, и получаем сечение.

Шаг 4

 

Задача 3. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.

Дано

Теперь, уже имея опыт, первый шаг выполняем без проблем:

Шаг 1

Понимаем, что нет точки в задней грани. Вернее, одна есть – P – но второй не хватает. Аналогично, есть одна точка в нижней грани – в плоскости основания, а второй точки нет. Определим такую точку: пересечем AC и PQ. Обе прямые лежат в плоскости SAC, PQ принадлежит плоскости сечения, поэтому их пересечение будет принадлежать обеим плоскостям:

Шаг 2

Теперь имеем две точки в плоскости основания – U и R, и можем смело соединять их:

Шаг 3

Прямая UR пересечет ребро AB в точке Z.  Теперь маршрут Q-R-Z-P-Q замкнут, можем достраивать сечение:

Шаг 4

Задача 4. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R, причем точка P принадлежит грани ASC.

Дано

Тут уже задача сложнее. Но пока метод следов позволяет ее решить.

Имеем две точки в одной плоскости – Q и R, и можем их сразу же соединять.  AS так же, как и QR, принадлежит плоскости задней грани, поэтому продолжение AS пересечет QR в точке L, также принадлежащей плоскости задней грани.

Шаг 1

Но, так как AS принадлежит также и плоскости боковой грани SAC, то точка L лежит  с точкой P  в одной плоскости и их можно соединять:

Шаг 2

LP пересечет ребро AC в точке M, а ребро SC – в точке N, и можно восстанавливать четырехугольник сечения:

Шаг 3

easy-physic.ru

Пошаговое построение сечения четырехугольной пирамиды

Сегодня научимся строить сечения четырехугольной правильной пирамиды. Использовать для построения будем метод следов. Пользоваться этим методом  неудобно и даже иногда невозможно, когда сечение имеет малый наклон или не имеет наклона к плоскости основания. Если такой случай вам попадется, лучше использовать метод внутреннего проецирования.

Задача 1. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Задача 1. Дано

Шаг 1. Через точки и , принадлежащие плоскости грани , проведем прямую . Определим точку плоскости основания пирамиды, которая бы принадлежала и секущей плоскости. Для этого проведем продолжение ребра и найдем точку его пересечения с прямой – точка .

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Аналогично найдем вторую точку секущей плоскости в плоскости основания: проводим  прямую , находим ее пересечение с продолжением ребра – точка .

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Через две точки можно провести прямую, и, так как точки и принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, то и прямая, проведенная через них, будет принадлежать обеим плоскостям. А раз эта прямая лежит в плоскости основания, то определим точки пересечения этой прямой с другими прямыми плоскости основания, например, с продолжением ребра – точка , и продолжением ребра – точка . Значит, точки   и – тоже точки плоскости сечения, а за счет того, что прямая лежит в плоскости грани , точка также принадлежит плоскости этой грани. Аналогично, так как прямая принадлежит плоскости грани , то и точка – точка этой же плоскости. Теперь можно соединить точки и – как точки одной плоскости, и соединить точки и .

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Пересечение прямых и даст нам последнюю точку искомого сечения – точку .

Задача 1. Шаг 4.

Проводим отрезки , , завершая построение:

Многоугольник сечения

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид

 

Задача 2. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Задача 2. Дано

Шаг 1. Проводим прямую , она принадлежит грани , так как точки и принадлежат ей.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Прямая пересечет прямую , и точка их пересечения   благодаря принадлежности прямой будет лежать в  плоскости основания.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Точки и принадлежат плоскости основания, проведем через них прямую ,  найдем точку пересечения этой прямой ребра – точку . Продлим прямую до пересечения с прямой , получим точку . Точка принадлежит плоскости , тк как этой плоскости принадлежит прямая .

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Соединим точки и . Найдем место пересечения данной прямой ребра – точку .

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Соединяем полученные точки отрезками.

Задача 2. Шаг 5.

Окончательный вид с другого ракурса:

Окончательный вид сечения

Задача 3. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Задача 3. Дано

Шаг 1. Соединим и , как точки одной плоскости.

Задача 3. Шаг 1.

Шаг 2. Прямая принадлежит плоскости грани , следовательно, пересечет прямую этой же грани . Найдем точку их пересечения , продлив ребро  .

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3.  Точки и – “одного поля ягоды” – обе принадлежат плоскости грани . Поэтому соединим их, отметив точку пересечения с ребром – .

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Точки и принадлежат плоскости основания, соединяем их.  Прямая лежит в плоскости основания и пересечет прямую  в точке .

Задача 3. Шаги  4-5.

Шаг 5. Точки и соединяем, так как обе они принадлежат плоскости , и получаем последнюю точку сечения – на ребре .

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Задача 3. Шаг 6.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид сечения

 

Задача 4. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Задача 4. Дано.

Шаг 1-2. Точки и принадлежат грани , соединим их отрезком (прямой). Точки и принадлежат грани основания, также соединим их.

Задача 4. Шаги 1-2

Шаг 3. Прямая пересечет продолжение ребра в точке . Точка , таким образом, принадлежит плоскости грани .

Задача 4. Шаг 3.

Шаг 4.  Соединяем точки и , проводя прямую . Она пересечет ребро в точке .

Задача 4. Шаг 4.

Шаг 5. Соединяем полученные точки на ребрах отрезками:

Задача 4. Шаг 5.

Окончательный вид с удобного ракурса:

Окончательный вид

easy-physic.ru

Обучение с МК

Пример: модели МК в электронном учебнике

Сечения многогранников

ТЕОРИЯ

В этом разделе мы рассмотрим методы построения сечений многогранников. Плоскость сечения, как правило, будет задаваться тремя точками – K, L, M. Сложность такой задачи во многом определяется расположением точек, задающих плоскость сечения.

Пример 1

Самый простой случай – когда точки лежат на трёх смежных рёбрах пирамиды – не нуждается в разборе.

Модель 1

Основной метод, который используется при построении сечений, называется методом следов.

Следом называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника. Если такой след найден, то точки его пересечения с соответствующими рёбрами многогранника и будут вершинами искомого сечения.

Пример 2

Пусть теперь точки K и M лежат на боковых рёбрах пирамиды, а точка L – на стороне основания.

Модель 2

1. Проведём в плоскости SAC прямую KL – след сечения в этой плоскости.
2. Отметим точку P пересечения KL с SC.
3. Проведём прямую PM – след сечения в плоскости SBC, – и отметим точку пересечения PM и BC.
4. Все четыре вершины сечения получены – строим сечение.

Пример 3

Несколько труднее случай, когда одна из точек лежит на ребре, а две другие — на гранях пирамиды.

Модель 3

Теперь сразу построить след плоскости сечения в какой-то из граней нельзя.

1. Рассмотрим вспомогательную плоскость SKM, которая пересекает рёбра AC и BC в точках E и F соответственно.
2. Построим в этой плоскости прямую KM – след плоскости сечения – и отметим точку P пересечения KM с EF.
3. Точка P лежит в плоскости сечения и в плоскости ABC. Но в этой же плоскости лежит и точка L. Проведём прямую PL – след сечения в плоскости ABC – и отметим точку пересечения PL с BC.
4. Строим след сечения в плоскости SBC и отмечаем точку его пересечения с SC.
5. Строим след сечения в плоскости SAC и отмечаем точку его пересечения с SA.
6. Все четыре вершины сечения получены – строим сечение.

Использованный на первом шаге построения приём часто называют методом вспомогательных плоскостей. Рассмотрим ещё один пример, где он используется.

Пример 4

Рассмотрим теперь самый общий случай, когда все три точки K, L и M лежат на гранях пирамиды.

Модель 4

1. Как и в предыдущем случае проведём вспомогательную плоскость CKM, которая пересекает рёбра SA и SB в точках E и F соответственно.
2. Построим в этой плоскости прямую KM — след плоскости сечения – и отметим точку P пересечения KM с EF.
3. Точка P, как и L, лежит в плоскости SAB, поэтому прямая PL будет следом сечения в плоскости SAB, а её точки пересечения с SA и SB – вершинами сечения.
4. Теперь можно построить следы сечения в плоскостях SAC и SBC и отметить их точки пересечения с рёбрами AC и BC.
5. Все четыре вершины сечения получены – строим сечение.

С помощью метода вспомогательных плоскостей можно строить сечения, «не выходя» за пределы многогранника. Вернёмся в связи с этим к примеру 2.

Пример 2’

Точки K и M лежат на боковых рёбрах пирамиды, а точка L – на стороне основания. Построим сечение, «не выходя» за пределы многогранника.

Модель 5

1. Проведём вспомогательную плоскость SLB и в ней отрезок LM, который принадлежит плоскости сечения.
2. Проведём ещё одну вспомогательную плоскость BCK и построим точку пересечения SL и CK – точку E. Эта точка принадлежит обеим вспомогательным плоскостям.
3. Отметим точку пересечения отрезков LM и EB – точку F. Точка F лежит в плоскости сечения и в плоскости BCK.
4. Проведём прямую KF и отметим точку пересечения этой прямой c BC – точку N. Эта точка будет недостающей четвёртой вершиной сечения.
5. Все четыре вершины сечения получены – построим сечение.

Можно использовать ту же самую идею иначе. Проведём в начале анализ построенного сечения – т.е. начнём с конца. Допустим, что по точкам K, L и M построено сечение KLMN.

Модель 6

Анализ

Обозначим через F точку пересечения диагоналей четырёхугольника KLMN. Проведём прямую CF и обозначим через F₁ точку её пересечения с гранью SAB. С другой стороны, точка F₁ совпадает с точкой пересечения прямых KB и MA, исходя из чего её и можно построить.

Построение

1. Проведём прямые KB и MA и отметим точку их пересечения F₁.
2. Проведём прямые CF₁ и LM и отметим точку их пересечения F.
3. Проведём прямую KF и отметим точку её пересечения с ребром CB – точку N. Эта точка будет недостающей четвёртой вершиной сечения.
4. Все четыре вершины сечения получены – построим сечение.

Использованный в этом решении приём называют методом внутреннего проектирования. Построим с его помощью сечение из примера 4, когда все три точки лежат на гранях пирамиды.

Пример 3’

Точки K, L и M лежат на гранях пирамиды. Построим сечение, «не выходя» за пределы многогранника.

Допустим, что сечение уже построено.

Модель 7

Анализ

Пусть плоскость сечения пересекает ребро CB в точке P. Обозначим через F точку пересечения KM и LP. Построим центральные проекции точек K, F и M из точки C на плоскость SAB и обозначим их K₁, F₁ и M₁. Точки K₁ и M₁ легко находятся, а точку F₁ можно получить как точку пересечения K₁M₁ и LB.

Построение

1. Построим центральные проекции точек K и M из точки C на плоскость SAB и обозначим их K₁ и M₁.
2. Проведём прямые K₁M₁ и LB и отметим точку их пересечения F₁.
3. Проведём прямые CF₁ и KM и отметим точку их пересечения F.
4. Проведём прямую LF и отметим точку её пересечения с ребром CB – точку P. Это первая вершина искомого сечения.
5. Проведём прямую PM и отметим точку её пересечения с ребром SB. Это вторая вершина сечения.
6. Из второй вершины проведём прямую через точку L и найдём третью вершину сечения.
7. Из третьей вершины проведём прямую через точку K и найдём четвёртую вершину сечения.
8. Все четыре вершины сечения получены – построим сечение.

УПРАЖНЕНИЯ

Более сложные упражнения помечены звёздочкой.

1. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, L и M (см. модели).

2. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, L и M (см. модели).

3. На рёбрах пирамиды SABC отмечены точки K, L и M. Постройте:

4*. На рёбрах пирамиды SABC отмечены точки K, L, M, P, N и Q. Постройте:

5*. На ребре AB треугольной пирамиды SABC отмечена точка K. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной BC и SA.

Модель

6*. На рёбрах AB и CS треугольной пирамиды SABC отмечены точки K и M. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K и M и параллельной AS.

Модель

7*. Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, L и M, лежащих в плоскостях её боковых граней (но не на самих гранях!).

Модель

8*. На плоскости проведены три луча с общим началом – a, b и с – и отмечены три точки – A, B и C. Постройте треугольник, вершины которого лежат на этих лучах, а стороны проходят через точки A, B и C.

Модель

obr.1c.ru

Сложные случаи построения сечения треугольной пирамиды.

В этой статье будут рассмотрены случаи построения сечений через точки, принадлежащие граням пирамиды, а не ее ребрам, точки, лежащие вне пирамиды – например, принадлежащие какой-либо прямой, лежащей в одной из плоскостей граней, но не пересекающей грань, или случаи построения сечения плоскостью, проходящей параллельно ребру или грани пирамиды. Во всех задачах пирамида – правильная.

Задача 1. Построить сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки , если принадлежит грани ,  принадлежит грани ,  принадлежит грани .

Задача 1. Дано. Шаг 1.

Проведем прямые через данные точки и вершину пирамиды. При этом прямая лежит в задней, невидимой, грани и показана пунктиром.

Задача 1. Шаг 2.

Отметим точки пересечения данными прямыми ребер , и – .

Задача 1. Шаг 3.

Прямая принадлежит секущей плоскости, так как обе точки – P и R  – принадлежат плоскости. Проведем ее, и проведем ее след в плоскости основания – . Тогда место пересечения прямых и – место “прокола” прямой  плоскости основания. Это точка , и она принадлежит обеим плоскостям: и секущей, и плоскости основания пирамиды.

Задача 1. Шаг 4.

Совершенно аналогично поступим с точками и : проводим через них прямую, а затем ее след через точки и . Точка – место пересечения прямых  и – место “прокола” прямой  плоскости основания.

Теперь у нас есть две точки ( и ), которые принадлежат сечению и при этом удобно расположены в плоскости основания, что дает возможность провести через них прямую, которая непременно пересечет ребра и , также лежащие в плоскости основания (все вспомогательные построения здесь скрыты для улучшения обзора):

Задача 1. Шаг 5.

Эта прямая пересечет ребро в точке .

Задача 1. Шаг 6.

Точки и принадлежат грани , поэтому можем соединить их прямой. Эта прямая пересечет ребро  в точке . Аналогично можно теперь провести прямую через точки и , принадлежащие грани .

Задача 1. Шаг 7.

Прямая пересечет ребро в точке . Ее можно соединить с точкой , так как располагаются точки в одной плоскости – плоскости грани . Проведем прямую через точки и .

Задача 1. Шаг 8.

Прямая пересекает ребро в точке . Точку можно соединить с точкой , так как обе они лежат в плоскости основания. Наконец, можем полностью увидеть сечение:

Задача 1. Окончательный вид сечения.

Задача 2. Построить сечение плоскотью, проходящей через точку  в грани пирамиды и прямую , принадлежащую плоскости основания пирамиды.

Задача 1. Дано. Шаг 1.

Проведем прямую через вершину пирамиды и точку . Точка , где данная прямая пересечет ребро основания, может, и не понадобится нам, просто четче будет видно местоположение точки . Проведем прямую, содержащую ребро , и найдем ее точку пересечения с прямой – точку . Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости основания одновременно.

Задача 2. Шаг 2.

Проводим прямую через точки и . Эта прямая – след секущей плоскости в плоскости боковой грани – пересечет ребро в точке , а ребро – в точке . Также проведем продолжение ребра до пересечения с прямой – точки .

Задача 2. Шаг 3.

Точки и лежат в одной плоскости – плоскости задней грани пирамиды, их можно соединить. Полученная прямая пересечет ребро в точке .

Задача 2. Шаг 4.

Точки , , соединяем отрезками и получаем зеленый треугольник сечения:

Задача 2. Общий вид полученного сечения

Задача 3. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку  , принадлежащую грани . Плоскость сечения должна быть параллельна плоскости грани .

Задача 3. Дано.

Задача простая, совсем простая.  Отдохнем на этой и следующей задачах… Первым делом проводим прямую, проходящую через точку параллельно ребру . Определяем точки, в которых эта прямая пересечет ребра и .

Задача 3. Шаг 1.

Через точку в плоскости основания проводим прямую, параллельную ребру . Находим точку пересечения этой прямой с ребром – точку .

Задача 3. Шаг 2.

Теперь соединяем точки и и вуаля:

 

Задача 3. Отрезок QF и сечение.

Задача 4. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки   и грани параллельно ребру  .

Думаю, в этой задаче обойдемся без пояснений.

Задача 4. Шаг 1.

Задача 4. Шаг 2.

Окончательный вид сечения

Задача 5. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки и , причем точка лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды на  расстоянии от центра основания пирамиды , равном высоте.

Задача 5. Дано.

Шаг 1. Проводим прямую , принадлежащую плоскости сечения, и ее проекцию на плоскость основания пирамиды .

Задача 5. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямую , также принадлежащую сечению.

Задача 5. Шаг 2.

Шаг 3. Проводим отрезок , соединяя центр основания пирамиды с ее вершиной . Именно в точке пересечения прямой и отрезка прямая “проткнет” основание пирамиды . Отметим эту точку .

Шаг 3.

Шаг 4. Так как точки и принадлежат секущей плоскости, да еще и лежат обе в плоскости основания пирамиды, то проведем через них прямую , определив таким образом точку пересечения секущей плоскости и ребра – . Далее можно будет соединить точки и , так как они лежат в грани .

Шаг 4.

Шаг 5. Но мы не просто проведем прямую , а продлим ее до пересечения с прямой, содержащей ребро , найдя точку . Эта точка будет принадлежать и грани , таким образом, ее можно соединять прямой с точкой .

Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки и прямой и находим точку, где эта прямая пересечет ребро – .

Шаг 6.

Шаг 7. Соединяем точки сечения и :

Шаг 7.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид

easy-physic.ru

Построение натурального вида фигуры сечения пирамиды плоскостью

1.Проводят дополнительную плоскость;

2.Строят линии пересечения дополнительной плоскости с поверхностью и дополнительной плоскости с заданной плоскостью;

3.Определяют точки пересечения полученных линий.

Дополнительные плоскости проводят таким образом, чтобы они пересекали поверхность по наиболее простым линиям.

Нахождение точек линии пересечения начинают с определения характерных (опорных) точек. К ним относятся:

1.Верхние и нижние точки;

2.Левая и правая точки;

3.Точки границы видимости;

4.Точки, характеризующие данную линию пересечения (для эллипса − точки большой и малой осей).

Для более точного построения линии пересечения необходимо построить еще и дополнительные (промежуточные) точки.

В рассматриваемом примере точки 1 и 8 являются нижней и верхней точками. Для горизонтальной и фронтальной проекций точка 1 будет левой точкой, точка 8 − правой. Для профильной проекции точки 4 и 5 − точки границы видимости: точки, расположенные ниже точек 4 и 5 на профильной проекции будут видимыми, все остальные − нет.

Точки 2, 3 и 6, 7 − дополнительные, которые определяются для большей точности построения. Профильная проекция фигуры сечения – эллипс, у которого малая ось − отрезок 1-8, большая − 4-5.

Построение проекций линий пересечения конуса плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые линиями конических сечений.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его сечении получается пара прямых − образующих (треугольник) (рис. 10, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность (рис. 10, б). Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс, парабола или гипербола (рис. 10, в, г, д) в зависимости от величины угла наклона секущей плоскости.

Эллипс получается в том случае, когда угол β наклона секущей плоскости меньше угла наклона α образующих конуса к его основанию (β < α), то есть когда плоскость пересекает все образующие данного конуса (рис. 10, в).

Если углы α и β равны, то есть секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, в сечении получается парабола (рис. 10, г).

studfile.net

Построение сечения шестиугольной пирамиды

Здравствуйте, друзья! В этой статье предложено рассмотреть два случая построения сечения шестиугольной пирамиды. Пирамида всегда “рассекается” сложнее, чем призма, а чем больше у нее углов в основании, тем труднее. В первой задаче я постаралась пользоваться методом следов, а во второй  – преимущественно использован метод внутреннего проецирования. Так как чертежи насыщены построениями, я использовала разные цвета, и не всегда соблюдала правило “невидимое – пунктиром”. Постараюсь сопроводить картинки подробным описанием.

Задача 1. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 1. Дано

Шаг 1. Точки и лежат в плоскости основания пирамиды, что для нас очень удобно. Проведем прямую , она пересечется с лучом плоскости основания. За счет принадлежности обеим прямым – и точка принадлежит как плоскости грани , так и секущей плоскости.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Через точки и можем проводить прямую, она пересечет ребро в точке .

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Так как прямая , также принадлежащая плоскости основания, не параллельна , то она пересечет эту прямую, и таким образом, можно было бы получить точку плоскости грани . Но пересечение этих прямых – за границами чертежа. Где невозможно применение метода следов, на помощь приходит метод внутреннего проецирования. Проведем прямую и ее проекцию в плоскости основания – .

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Проведем проекцию будущей прямой секущей плоскости – (просто соединим вершины). пересечет в точке , – в точке . Из точки поднимемся вверх до секущей плоскости  – построим перпендикуляр к плоскости основания . – точка прокола перпендикуляром секущей плоскости.

Задача 1. Шаг 4.

Шаг 5. Точка принадлежит секущей плоскости, точка – также. Проводим прямую . Прямая пересечет ребро в точке (поздно было переделывать картинку, пусть уж будет вторая точка ). Она принадлежит обеим плоскостям – и , и .

Задача 1. Шаг 5.

Шаг 6. Вернемся к методу следов. Проводим прямую , и ищем ее пересечение с . Это точка . Она лежит в плоскости грани .

Задача 1. Шаг 6.

Шаг 7. Проводим , эта прямая пересечет ребро в точке .

Задача 1. Шаг 7.

Шаг 8. Соединим полученные точки отрезками.

Задача 1. Шаг 8.

Окончательный вид сечения с противоположной стороны.

Окончательный вид сечения.

 

Задача 2. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 2. Дано

Задача 2. Шаг 1. Проводим диагонали основания пирамиды , , . Из точек и секущей плоскости опускаем перпендикуляры к основанию, определяем точки и , в которых эти перпендикуляры достигнут основания пирамиды.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямые и секущей плоскости и их проекции и . Проекцией прямой будет прямая . Определяем точку пересечения и , и из этой точки поднимаем перпендикуляр до пересечения с – получили точку .

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Из точки , которая является пересечением диагонали и проекции , поднимаем перпендикуляр до пересечения с – получаем точку . Из точки , которая является пересечением диагонали и проекции , поднимаем перпендикуляр до пересечения с – получаем точку . Через точки и проведем прямую, которая пересечет ребро пирамиды в точке .

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Через точки и также проведем прямую. Определим место пересечения ею ребра – точку . Осталось найти две точки – на ребре  и на ребре .

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем прямую – продолжение ребра основания. Также через точки и проведем прямую, принадлежащую грани . Найдем место пересечения прямых и – точку .

Задача 2. Шаг 5.

Шаг 6. Через точки и секущей плоскости, лежащие в основании, проводим прямую, которая пересечет ребро в точке .

Задача 2. Шаг 6.

Шаг 7. Прямая   пересечет продолжение диагональ  в точке . Проведем прямую через точки и , чтобы определить точку пересечения этой прямой с ребром – точку .

 

Задача 2. Шаг 7.

Шаг 8. Соединяем все точки отрезками.

Задача 2. Шаг 8.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид

easy-physic.ru