Теорема Виета. Примеры и решение

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x² + px + q = 0

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

x₁ + x₂ = -p,    x₁ · x₂ = q.

Доказательство:

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

x² + px + q = 0,

то его корни равны:

,

где  D = p² — 4q.  Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

,

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

x₁ + x₂ = —p,

x₁ ·

x₂ = q

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю  (D = 0),  то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна  -p,  а их произведение равно  q,  то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

x² + px + q = 0.

Доказательство:

Пусть дано  x₁ + x₂ = —p,  значит,  x₂ = —p — x₁.  Подставим это выражение в равенство  x₁ · x₂ = q,  получим:

x₁(-p — x₁) = q;

—px₁ — x₁² = q;

x₁

2 + px₁ + q = 0.

Это доказывает, что число  x₁  является корнем уравнения   x² + px + q = 0.  Точно так же можно доказать, что и число  x₂  является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

x² — 3x + 2 = 0.

Решение: Так как

x₁ + x₂ = -(-3) = 3;

x₁ · x₂ = 2;

очевидно, что корни равны  1  и  2:

1 + 2 = 3;

1 · 2 = 2.

Подставив числа  1  и  2  в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1² — 3 · 1 + 2 = 0

и

2² — 3 · 2 + 2 = 0.

Ответ:  1,  2.

Пример 2. Найти корни уравнения:

x² + 8x + 15 = 0.

Решение:

x₁ + x₂ = -8;

x₁ · x₂ = 15.

Методом подбора находим, что корни равны  -3  и  -5:

-3 + -5 = -8;

-3 · -5 = 15.

Ответ:  -3,  -5.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

x₁ = -3,    x₂ = 6.

Решение: Так как  x₁ = -3,  x₂ = 6  корни уравнения  x² + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

p = -(

x₁ + x₂) = -(-3 + 6) = -3;

q = x₁ · x₂ = -3 · 6 = -18.

Следовательно, искомое уравнение:

x² — 3x — 18 = 0.

Ответ:  x² — 3x — 18 = 0.

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

x₁ = 2,    x₂ = 3.

Решение:

p = -(x₁ + x₂) = -(2 + 3) = -5;

q = x₁ · x₂ = 2 · 3 = 6.

Ответ:  x² — 5x + 6 = 0.

Теорема Виета. Квадратное уравнение онлайн.

Решение квадратного уравнения a·x² + b·x + c = 0. Решение: Введите коэффициенты и нажмите «посчитать»

Давайте вспомним, что такое квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет вид:

 

Если a равно \(1\), то  квадратное уравнение называется приведенным, то есть имеет вид:

 

Давайте сегодня научимся  решать квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.2-9x+14=0\)

Решение:

Ответ: \(7\) и \(2\).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Любите ли Вы математику так, как люблю ее я? Я поделюсь с Вами этим чувством, ведь математическая дисциплина не только интересна и полезна, от нее можно получить истинное удовольствие. Математика ценит настойчивость и терпение, за которые щедро вознаграждает. Благодаря точным наукам можно почувствовать себя настоящим волшебником, великим ученым и смелым первооткрывателем! Дифференцированное обучение, помноженное на доброжелательность и ответственность, помогут возвести в положительную степень уверенность ученика в своих силах и в способностях к математике. Присоединяйтесь! Вместе мы — сила!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 7-11 классов. Я люблю математику за то, что она развивает мышление. Математика учит обобщать, выделять важное, анализировать, систематизировать, рассуждать и делать выводы. Мой главный принцип – это заставить ученика думать и не бояться рассуждать вслух. Ошибаться в процессе обучения можно и нужно, и, когда ученик это понимает, он не стесняется говорить о своих мыслях, идеях решения задач, не стесняется задавать вопросы. Я не даю ответы, не показываю, как «правильно» решать задачу, я задаю наводящие вопросы, чтобы ученик самостоятельно пришел к результату. Весь процесс обучения основан на доверительном отношении наставника и ученика.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Киевский Политехнический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-6 класса. Легко и быстро нахожу контакт с детьми. Люблю общаться, и довольна, когда вижу результаты работы. Доступно объясняю материал. Занятия проходят на позитивной ноте. Люблю математику просто потому что мне нравится решать сложные задачи, находить ответы разными путями, стараться выкрутиться из, казалось бы, нерешаемых ситуаций. Она научила меня критическому мышлению, усидчивости, настойчивости.

Курсы ЕГЭ

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Векторы

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Теорема Виета

Теорема Виета звучит так:

Теорема Виета широко используется при решении задач, в которых

• не требуется найти корни квадратного уравнения, а лишь некоторое их соотношение;
• нужно найти значение параметра, при котором значение корней удовлетворяет заданному соотношению.

С помощью теоремы Виета можно устно находить корни квадратного уравнения, а также проверять, являются ли заданные числа корнями уравнения.

Чтобы грамотно использовать теорему Виета, ее нужно хорошо понимать.

Остановимся подробнее на каждом слове этой теоремы. Сначала о коэффициентах квадратного уравнения:

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1, то есть если

В общем случае не каждое квадратное уравнение является приведенным, например, уравнение не является приведенным. В этом уравнении .

Но каждое квадратное уравнение можно сделать приведенным, для этого достаточно обе части уравнения вида разделить на :

В полученном уравнении старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен  , свободный член равен .

То есть корни  произвольного квадратного уравнения, согласно теоремы Виета,  удовлетворяют системе:

Например корни уравнения

удовлетворяют системе

Обратная теорема Виета позволяет составить квадратное уравнение по значениям его корней:

Например, числа -7 и -2 являются корнями уравнения ,   или 

Решим несколько задач с использованием теоремы Виета.

Задача 1. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней равен

Так как произведение корней должно быть числом рациональным, второй корень может представлять выражение, сопряженное выражению , то есть дополняющее его до формулы разности квадратов. Это выражение :

Тогда ;

Отсюда получаем уравнение:

   

Задача 2. Найдите значения выражения , где и — корни уравнения .

Если в задаче не требуется найти значения корней квадратного уравнения, а только их соотношение, следовательно, нужно воспользоваться теоремой Виета.

Запишем теорему Виета для этого уравнения:

Теперь мы знаем, чему равны сумма и произведение корней. Представим выражение  в виде комбинации суммы и произведения. Приведем дроби к общему знаменателю.

   

Ответ: -8

Задача 3. Найдите значение выражения , где и — корни уравнения .

Эта задача аналогична предыдущей, только в ней чуть сложнее преобразование выражения  в комбинацию выражений  и .

Вспомним формулу квадрата суммы: . Перенесем  влево и получим соотношение (1)

Запишем теорему Виета для уравнения :

(по формуле 1)

Ответ: 20,5

Задача 4. Решите устно уравнение:

Теорем Виета позволяет в некоторых случаях легко находить корни квадратного уравнения.

Для этого удобно придерживаться такой последовательности шагов:

1. Выписываем теорему Виета для данного уравнения.
2. Определяем знаки корней.
3. Раскладываем на два множителя свободный член, и определяем,  какая пара множителей в сумме дает второй коэффициент, взятый с противоположным знаком.

Для данного уравнения 

1  

2  Определим знаки корней.

Для определения знаков удобно пользоваться такой таблицей:

Так как в уравнении  произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней также отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

3. Будем раскладывать на множители число 24, имея в виду, что множитель с большим модулем отрицателен, и выбираем пару чисел, сумма которых равна -2.

Очевидно, что это числа -6 и 4.

Ответ: -6; 4

 

Задача 5. Решите устно уравнение:

1  

2 Определим знаки корней.

Так как в уравнении

произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

В данном случае корни проще подобрать, зная их сумму: . Можно предположить, что . Проверим, чему равно произведение этих выражений:

Предположение верное.

Ответ: 

 

Следствием из теоремы Виета являются такие полезные факты:

Задача 6. Найти корни уравнения:

Заметим, что  , следовательно, .

Задача 7.

Найти корни уравнения:

Заметим, что  , следовательно,

 

Как решать задачи с параметром с помощью теоремы Виета читайте здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

 

 

3. Обратная теорема Виета. Решение задач

Более сложные задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.

Пример 1.

Один из корней уравнения 5х2 – 12х + с = 0 в три раза больше, чем  второй. Найдите с.

Решение.

Пусть второй корень равен х₂.

Тогда первый корень х1 = 3х₂.

Согласно теореме Виета сумма корней равна 12/5 = 2,4.

Составим уравнение 3х₂ + х₂ = 2,4.

Отсюда х₂ = 0,6. Следовательно х₁ = 1,8.

Ответ: с = (х₁ · х₂) · а = 0,6 · 1,8 · 5 = 5,4.

Пример 2.

Известно, что х₁ и х₂ – корни уравнения х2 – 8х + p = 0, причём 3х₁ + 4х₂ = 29. Найдите p.

Решение.

Согласно теореме Виета х₁ + х₂ = 8, а по условию 3х₁ + 4х₂ = 29.

Решив систему из этих двух уравнений найдём значение х₁ = 3, х₂ = 5.

А следовательно p = 15.

Ответ: p = 15.

Пример 3.

Не вычисляя корней уравнения 3х2 + 8 х – 1 = 0, найдите  х₁4 + х₂4

Решение.

Заметим, что по теореме Виета х₁ + х₂ = -8/3 и х₁ · х₂ = -1/3 и преобразуем выражение

а) х₁4 + х₂4 = (х₁2 + х₂2)2 – 2х₁2х₂2 = ((х₁ + х₂)2 – 2х₁х₂)2 – 2(х₁х₂)2 = ((-8/3)2 – 2 · (-1/3))2 – 2 · (-1/3)2 = 4898/9

Ответ: 4898/9.

Пример 4.

При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
2х2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.

Решение.

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами (а + 1)2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3)2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х₁>х₂ и получим х₁ + х₂ = (а + 1)/2 и х₁ · х₂ = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х₁ – х₂ = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно. Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х₁ = а/2, х₂ = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х₁ · х₂ = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда,  а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 5.

Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней уравнения
х2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение.

Прежде всего, приведем уравнение к каноническому виду: х2 – 2ах + 2а – 1 = 0. Оно будет иметь корни, если D/4 ≥ 0. Следовательно: а2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1)2 ≥ 0. А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х₁ + х₂ = 2а,  х₁ · х₂ = 2а – 1. Посчитаем 

х₁2 + х₂2 = (х₁ + х₂)2 – 2х₁ · х₂. Или после подстановки х₁2 + х₂2 = (2а)2 – 2 · (2а – 1) = 4а2 – 4а + 2. Осталось составить равенство которое соответствует условию задачи: х₁ + х₂ = х₁2 + х₂2. Получим: 2а = 4а2 – 4а + 2. Это квадратное уравнение имеет 2 корня: а₁ = 1 и а₂ = 1/2. Наименьший из них –1/2.

Ответ: 1/2.

Пример 6.

Найти зависимость между коэффициентами уравнения ах2 + вх + с = 0 если сумма кубов его корней равна произведению квадратов этих корней.

Решение.

Будем исходить из того, что данное уравнение имеет корни и, поэтому, к нему можно применить теорему Виета.

Тогда условие задачи запишется так: х₁3 + х₂3 = х₁2 · х₂2. Или: (х₁ + х₂)(х₁2 – х₁ · х₂ + х₂2) = (х₁х₂)2.

Необходимо преобразовать второй множитель. х₁2 – х₁ · х₂ + х₂2 = ((х₁ + х₂)2 – 2х₁х₂) – х₁х₂.

Получим (х₁ + х₂)((х₁ + х₂)2 – 3х₁х₂) = (х₁х₂)2. Осталось заменить суммы и произведения корней через коэффициенты.

(-b/a)((b/a)2 – 3 · c/a) = (c/a)2. Это выражение легко преобразуется к виду b(3ac – b2)/a = c2. Соотношение найдено.

Замечание. Следует учесть, что полученное соотношение имеет смысл рассматривать лишь после того, как выполнится другое: D ≥ 0.

Пример 7.

Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов корней уравнения х2 + 2ах + 3а2 – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.

Решение.

Если у этого уравнения есть корни х₁ и х₂, то их сумма х_{1 +} х₂ = -2а, а произведение х_{1 ·} х_{2 =} 3а2 – 6а – 2.

Вычисляем х₁2 ₊ х₂2 = (х_{1 +} х₂)2 – 2х₁ · х₂ = (-2а)2 – 2(3а2 – 6а – 2) = -2а2 + 12а + 4 = -2(а – 3)2 + 22.

Теперь очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при а = 3.

Остается проверить, в самом ли деле у исходного квадратного уравнения существуют корни при а = 3. Проверяем подстановкой и получаем: х2 + 6х + 7 = 0 и для него D = 36 – 28 > 0.

Следовательно, ответ: при а = 3.

Пример 8.

Уравнение 2х2 – 7х – 3 = 0 имеет корни х₁ и х₂. Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х₁ = 1/х₁ и Х₂ = 1/х₂. (*)

Решение.

Очевидно, что  х_{1 +} х₂ = 7/2 и х_{1 ·} х₂ = -3/2. Составим второе уравнение по его корням в виде х2 + рх + q = 0. Для этого используем утверждение, обратное теореме Виета. Получим: р = -(Х₁ + Х₂) и q = Х₁ · Х₂.

Выполнив подстановку в эти формулы, исходя из (*), тогда:  р = -(х_{1 +} х₂)/(х₁ · х₂) =  7/3 и q = 1/(х_{1 ·} х₂) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х2 + 7/3 · х – 2/3 = 0. Теперь легко посчитаем утроенную сумму его коэффициентов:

3(1  + 7/3  – 2/3) = 8. Ответ получен.

Домашнее задание

1 уровень
1.       Верно ли, что числа:
1)      -1 и -5 являются корнями квадратного уравнения х²+6х+5=0; 2)      6 и 2 являются корнями квадратного уравнения х²-8х+12=0;

3)       5 и 1 являются корнями квадратного уравнения х²-4х-5=0;

2.       Найдите корни уравнения,  пользуясь теоремой Виета:

1)      а² – а – 6 = 0; 2)      х² – 9х +8 = 0; 3)      3х² +2х -1 = 0. 2 уровень
1.       Найдите корни уравнения,  пользуясь теоремой Виета: 1)      b²+ 9b + 20 = 0; 2)    х² +5х  — 6 = 0.  
3)      12х² + 13х +3 = 0; 2.       Разложите на множители квадратный трёхчлен: 1)      3а² – 8а +5; 2)      9х² + 24х +16; 3)       25а² + 40а  + 16.2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

получаем корни : x1 = −1; x2 = −4.

Значение теоремы Виета

Теорема Виета позволяет нам решить любое квадратное приведённое уравнение практически за секунды. На первый взгляд это кажется достаточно сложной задачей, но после 5 10 уравнений, можно научиться видеть корни сразу.

Из приведённых примеров, и пользуясь теоремой, видно как можно значительно упростить решение квадратных уравнений, ведь используя эту теорему, можно решить квадратное уравнение практически без сложных расчётов и вычисления дискриминанта, а как известно чем меньше расчётов, тем сложнее допустить ошибку, что немаловажно.

Во всех примерах мы использовали это правило, опираясь на два важных предположения:

— приведённое уравнение, т.е. коэффициент при старшей степени равен единицы (это условие легко избежать. Можно использовать неприведенный вид уравнения, тогда будут допустимы следующие утверждения x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, но обычно сложнее решать :))

— когда уравнение будет иметь два различных корня. Мы предполагаем что неравенство верно и дискриминант строго больше нуля.

Поэтому, мы можем составить общий алгоритм решения по теореме Виета.

Общий алгоритм решения по теореме Виета

— Приводим  квадратное уравнение к приведённому виду, если уравнение дано нам в неприведённом виде. Когда коэффициенты в квадратном уравнении, которое раньше мы представили как приведённое,  получились дробными( не десятичными ), то в этом случае следует решать наше уравнение через дискриминант.

Также бывают случаи когда возврат к начальному уравнению позволяет нам работать с “удобными” числами.

— В случае когда коэффициенты уравнения являются целыми, следует решать уравнение по теореме Виета.

Примечание : Если в течении нескольких секунд, нам не удаётся найти корни по теореме Виета, то следует решать через дискриминант, это зачастую бывает быстрее.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений: алгоритм и примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение дробных рациональных уравнений: схема и примеры

Разложение квадратного трехчлена на множители с помощью теоремы Виета — решения.2-x-420=0`

Спустя пару лет после написания статьи появился сборник из 150 заданий для разложения квадратного многочлена по теореме Виета.

Ставьте лайки и задавайте вопросы в комментариях!

Теорема Виета по алгебре 8 класса: формула, уравнения, примеры

В данной публикации мы рассмотрим теорему Виета, определяющую взаимосвязи между коэффициентами многочлена и его корнями, а также, научимся применять ее на практике для решения задач.

Формулировка теоремы

Если c₁, c₂…, c_n являются корнями многочлена xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + a₂xⁿ⁻² + … + a_n, где каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, то:

коэффициенты a₁, a₂…, a_n можно выразить в виде симметрических многочленов от корней, т.е.:

• a₁ = −(c₁ + c₂ + … + c_n)
• a₂ = c₁c₂ + c₁c₃ + … + c₁c_n + c₂c₃ + … + c_n−1c_n
• a₃ = −(c₁c₂c₃ + c₁c₂c₄ + … + c_n−2c_n−1c_n)
• a_n−1 = (−1)ⁿ⁻¹(c₁c₂ … c_n−1 + c₁c₂ … c_n−2c_n + … + c₂c₃ … c_n
• a_n = (−1)ⁿc₁c₂ … c_n

Другими словами, (−1)^ka_k равняется сумме всех возможных произведений из k корней.

Примечание: теорема названа в честь французского маетиматика Франсуа Виета.

Квадратное уравнение

Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 с корнями x₁ и x₂ справедливо:

Если уравнение имеет вид x² + px + c = 0 (приведенная форма при a = 1), то:

Кубическое уравнение

Для кубического уравнения p(x) = ax³ + bx² + cx + d = 0 с корнями x₁, x₂ и x₃ справедливо:

Обратная теорема

Если для чисел x₁ и x₂ справедливы соотношения x₁ + x₂ = −p, а x₁x₂ = q, значит они являются корнями приведенного квадратного уравнения x² + px + c = 0.

Примеры задач

Задание 1
Дано квадратное уравнение x² − 70x + 600 = 0. Найдите его корни, используя теорему Виета.

Решение:
Используем соотношение корней для приведенного уравнения (т.к. a = 1):
x₁ + x₂ = 70
x₁x₂ = 600
Остается только подобрать числа x₁ и x₂, которые будут одновременно соответствовать данным уравнениям. В нашем случае – это 10 и 60.

Задание 2
Составьте уравнение, если известно, что его корни x₁ и x₂ равны 2 и −6, соответственно.

Решение:
Допустим, что у нас приведенное квадратное уравнение вида x² + px + c = 0. В этом случае, исходя из установленных для него соотношений корней получаем:
p = −(x₁ + x₂) = −(2 + (−6)) = 4
q = x₁x₂ = 2 ⋅ (−6) = −12
Получаем уравнение, подставив найденные значения в формулу общего вида: x² + 4x − 12 = 0.

ФОРМУЛЫ ВЬЕТЫ

Его 6 корней равны X1 = 2 X2 = -3 X3 = 4 X4 = -5 X5 = 6 X6 = -7
а его 7 коэффициентов равны a = 3 b = 9 c = -195 d = -405 e = 3,432 f = 3,636 g = -15,120

Приведем 6 формул Виета для шестнадцатеричных уравнений, а затем
заполните левую часть формул корнями уравнения и правую часть формул коэффициентами уравнения.

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = — (б / а)
2-3 + 4-5 +6-7 = — (9/3)

(X1 • X2) + (X1 • X3) + (X1 • X4) + (X1 • X5) + (X1 • X6) + (X2 • X3) + (X2 • X4) + (X2 • X5) + (X2 • X6) + (X3 • X4) + (X3 • X5) + (X3 • X6) + (X4 • X5) + (X4 • X6) + (X5 • X6) = (c / a)
(2 • -3) + (2 • 4) + (2 • -5) + (2 • 6) + (2 • -7) + (-3 • 4) + (-3 • -5) + (- 3 • 6) + (-3 • -7) + (4 • -5) + (4 • 6) + (4 • -7) + (-5 • 6) + (-5 • -7) + (6 • -7) = (-195 / 3)

(X1 • X2 • X3) + (X1 • X2 • X4) + (X1 • X2 • X5) + (X1 • X2 • X6) + (X1 • X3 • X4) + (X1 • X3 • X5) + (X1 • X3 • X6) + (X1 • X4 • X5) + (X1 • X4 • X6) + (X1 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4) + (X2 • X3 • X5) + (X2 • X3 • X6) + (X2 • X4 • X5) + (X2 • X4 • X6) + (X2 • X5 • X6) + (X3 • X4 • X5) + (X3 • X4 • X6) + (X3 • X5 • X6 ) + (X4 • X5 • X6) = — (d / a)
(2 • -3 • 4) + (2 • -3 • -5) + (2 • -3 • 6) + (2 • -3 • -7) + (2 • 4 • -5) + (2 • 4 • 6) + (2 • 4 • -7) + (2 • -5 • 6) + (2 • -5 • -7) + (2 • 6 • -7) + (-3 • 4 • -5 ) + (-3 • 4 • 6) + (-3 • 4 • -7) + (-3 • -5 • 6) + (-3 • -5 • -7) + (-3 • 6 • -7 ) + (4 • -5 • 6) + (4 • -5 • -7) + (4 • 6 • -7) + (-5 • 6 • -7) = — (- 405/3)

(X1 • X2 • X3 • X4) + (X1 • X2 • X3 • X5) + (X1 • X2 • X3 • X6) + (X1 • X2 • X4 • X5) + (X1 • X2 • X4 • X6) + (X1 • X2 • X5 • X6) + (X1 • X3 • X4 • X5) + (X1 • X3 • X4 • X6) + (X1 • X3 • X5 • X6) + (X1 • X4 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4 • X5) + (X2 • X3 • X4 • X6) + (X2 • X3 • X5 • X6) + (X2 • X4 • X5 • X6) + (X3 • X4 • X5 • X6) = (э / а)
(2 • -3 • 4 • -5) + (2 • -3 • 4 • 6) + (2 • -3 • 4 • -7) + (2 • -3 • -5 • 6) + (2 • -3 • -5 • -7) + (2 • -3 • 6 • -7) + (2 • 4 • -5 • 6) + (2 • 4 • -5 • -7) + (2 • 4 • 6 • -7) + (2 • -5 • 6 • -7) + (-3 • 4 • -5 • 6) + (-3 • 4 • -5 • -7) + (-3 • 4 • 6 • -7) + ( -3 • -5 • 6 • -7) + (4 • -5 • 6 • -7) = (3,432 / 3)

(X1 • X2 • X3 • X4 • X5) + (X1 • X2 • X3 • X4 • X6) + (X1 • X2 • X3 • X5 • X6) + (X1 • X2 • X4 • X5 • X6) + (X1 • X3 • X4 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4 • X5 • X6) = — (f / a)
(2 • -3 • 4 • -5 • 6) + (2 • -3 • 4 • -5 • -7) + (2 • -3 • 4 • 6 • -7) + (2 • -3 • — 5 • 6 • -7) + (2 • 4 • -5 • 6 • -7) + (-3 • 4 • -5 • 6 • -7) = — (3,636 / 3)

(X1 • X2 • X3 • X4 • X5 • X6) = (г / год)
(2 • -3 • 4 • -5 • 6 • -7) = (-15,120 / 3)

• • • • • • • • • • Если вам нужно определить формулы Виета для других уравнений, следующая информация может оказаться очень полезной.

Квадратичные уравнения (многочлены второй степени)

Левая часть уравнения	Правая сторона
Сумма двух корней =	— (b / a)	Произведение 2 корней =	(c / a)

Кубические уравнения (многочлены третьей степени)

Сумма всех 3 корней =	— (b / a)
C (3, 2) Сумма 3 возможных 2-членных произведений =	(c / a)
Произведение всех 3-х корней =	— (d / a)

Уравнения четвертой степени (многочлены четвертой степени)

Сумма всех 4 корней =	— (b / a)
C (4, 2) Сумма 6 возможных двухчленных произведений =	(c / a)
C (4, 3) Сумма 4 возможных трехчленных произведений =	— (d / a)
Произведение всех 4 корней =	(e / a)

Уравнения пятой степени (многочлены пятой степени)

Сумма всех 5 корней =	— (b / a)
C (5, 2) Сумма 10 возможных двухчленных произведений =	(c / a)
C (5, 3) Сумма 10 возможных трехчленных произведений =	— (d / a)
C (5, 4) Сумма 5 возможных 4-членных произведений =	(e / a)
Произведение всех 5 корней =	— (f / a)

Шестические уравнения (полиномы шестой степени)

Сумма всех 6 корней =	— (b / a)
C (6, 2) Сумма 15 возможных двухчленных произведений =	(c / a)
C (6, 3) Сумма 20 возможных трехчленных произведений =	— (d / a)
C (6, 4) Сумма 15 возможных 4-членных произведений =	(e / a)
C (6, 4) Сумма 6 возможных 5-членных произведений =	— (f / a)
Произведение всех 6 корней =	(g / a)

многочленов Виета – Лукаса для решения дробно- заказать модель математической физики | Успехи в разностных уравнениях

Оператор дифференцирования Капуто

Определение 2. { 2} \ bigr).$$

Эта формула для первой производной называется представлением нестандартного метода конечных разностей. Кроме того, функция знаменателя удовлетворяет условию \ (0 <\ phi (h) <1 \), \ (h \ rightarrow 0 \). Не существует определенной базы для наилучшего выбора функции \ (\ phi (h) \), но мы можем ввести наиболее популярные функции в нестандартной методике конечных разностей следующим образом:

$$ \ phi (h) = \ exp (h) -1, \ qquad \ phi (h) = h, \ qquad \ phi (h) = \ sinh (h), \ qquad \ phi (h) = \ frac {1- \ exp (- \ lambda h)} {\ lambda}, \ quad \ text {и т. д.} $$

Подробнее см. В некоторых публикациях Миккенса [22].

Многочлены Виета – Лукаса

В этой части статьи мы изучаем класс ортогональных многочленов, которые, насколько нам известно, представлены здесь впервые. Эти многочлены могут быть созданы с помощью рекуррентных соотношений и аналитических формул для построения нового семейства ортогональных многочленов, которые будут известны как многочлены Виета – Лукаса.

Определение 2.{-1} \ biggl (\ frac {x} {2} \ biggr), \ theta \ in [0, \ pi]. $$

Это семейство многочленов называется многочленами Виета – Лукаса (\ (\ operatorname {VL} _ {n} (x) \)) и \ (\ mathbb {N} _ {0} = \ {0, 1,2, \ ldots \} \).

Многочлен \ (\ operatorname {VL} _ {n} (x) \) может быть создан с помощью следующей итерационной формулы:

$$ \ operatorname {VL} _ {n} (x) = x \ operatorname { VL} _ {n-1} (x) — \ operatorname {VL} _ {n-2} (x), \ quad n = 2,3, \ ldots, \ qquad \ operatorname {VL} _ {0} ( х) = 2, \ qquad \ OperatorName {VL} _ {1} (х) = х.{2}}} \, dx, $$

(17)

, где

$$ \ delta _ {i} = \ textstyle \ begin {cases} 4, & i = 0, \\ 2, & i = \ {1,2, \ ldots, n \}. \ end {case} $$

(18)

Формула Виета — Решение задачи Виета с решенным примером

Что такое Виета?

В математике формула Виета связана с коэффициентами многочлена суммы и произведения его корней.Он был назван в честь ученого Франсуа Виете и часто используется в алгебра тоже. Другое название формулы Виета — закон Виете, где Система уравнений вместе связаны с корнем или коэффициентом многочлена.

Vieta Формула

Здесь формула Виета связана с коэффициентом или корнями многочленов. Он также может быть определен как коэффициенты многочленов или сумма или произведение их корней или произведение корней, взятых в группе.{k} \ frac {a_ {n-k}} {a_ {n}} \]

для k = 1, 2,…, n (где мы написали индексы $ i_ {k} $ в порядке возрастания, чтобы гарантировать, что каждый субпродукт корней используется ровно один раз)

Это необходимо для изучения студенты, где вам нужно вычислить кратные корни для многочлена уравнение. Как обсуждалось ранее, формула Виета была открыл французский математик Франсуа Виет, который связывает сумму или произведение корней многочлена на его коэффициенты. Самое простое использование Формула Виета сделана в квадратиках.Они помогают решать сложные алгебраические многочлены, имеющие несколько корней, из которых нелегко получить корни. Например, формула Виета может также служить ярлыком для поиска решений. суммы или продукта их корней быстро.

Как доказать теорему Виета

Франсуа Вьет — известный французский математик. Теорема Виета позволяет решать квадратные уравнения по упрощенной схеме, что в результате экономит время, затрачиваемое на вычисления.Но чтобы лучше понять суть теоремы, необходимо вникнуть в суть формулировки и доказать ее.

Теорема Виета

Суть этой техники состоит в нахождении корней квадратных уравнений без помощи дискриминанта. Для уравнения вида x2 + bx + c = 0, где есть два действительных разных корня, верны два утверждения.

Первое утверждение говорит, что сумма корней этого уравнения равна значению коэффициента для переменной x (в данном случае b), но с обратным знаком.Визуально это выглядит так: x1 + x2 = −b.

Второе утверждение уже связано не с суммой, а с произведением тех же двух корней. Этот продукт приравнивается к бесплатному коэффициенту, т.е. c. Или x1 * x2 = c. Оба этих примера решены в системе.

Теорема Виета значительно упрощает решение, но имеет одно ограничение. Квадратное уравнение, корни которого можно найти с помощью этой техники, следует сократить. В данном уравнении для коэффициента a тот, который стоит перед x2, равен единице.Любое уравнение можно привести к аналогичному виду, разделив выражение на первый коэффициент, но эта операция не всегда рациональна.

Доказательство теоремы

Для начала напомним, как по традиции принято искать корни квадратного уравнения. Первый и второй корни находятся через дискриминант, а именно: x1 = (-b-√D) / 2, x2 = (-b + √D) / 2. Обычно делится на 2a, но, как уже упоминалось, теорема может применяться только при a = 1.

Из теоремы Виета известно, что сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус. Это означает, что x1 + x2 = (-b-√D) / 2 + (-b + √D) / 2 = −2b / 2 = −b.

То же самое верно и для произведения неизвестных корней: x1 * x2 = (-b-√D) / 2 * (-b + √D) / 2 = (b2-D) / 4. В свою очередь, D = b2 -4c (опять же, с a = 1). Получается, что результат таков: x1 * x2 = (b2-b2) / 4 + c = c.

Из приведенного выше простого доказательства можно сделать только один вывод: теорема Виета полностью подтверждена.

(PDF) ОПРОС ОШИБОК УЧЕНИКОВ 10 И 12 КЛАССОВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ФОРМУЛ VIETA ДЛЯ РЕШЕНИЯ СООТВЕТСТВУЮЩИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Duong Huu Tong, Bui Phuong Uyen, Ha Hoang Quoc Thi, Nguyenen OF 9000 ОШИБКИ УЧАЩИХСЯ 10 И 12 КЛАССОВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ФОРМУЛ

VIETA ДЛЯ РЕШЕНИЯ СООТВЕТСТВУЮЩИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ

Европейский журнал исследований в области образования — Том 3, Выпуск 11, 2017 305

Ссылки

1.Хао, Т. В. (2015). Алгебра 10 (Đại Số 10), Вьетнамское издательство

Образование.

2. Хао, Т. В. (2015). Исчисление 12 (Giải tích 12), Вьетнамское издательство

Образование.

3. Херхольдт Р. и Сэпайр И. (2014). Анализ ошибок в младших классах

Математика — возможности обучения. Южноафриканский журнал детства

Education, Vol. 4, № 1, 42-60.

4.Юпри, А. и Драйверс, П. (2016). Студенческие трудности при математизации слова

Задачи по алгебре. Евразийский журнал математики, науки и технологий

Образование, Том. 12, No. 9, 2481-2502.

5. Ньюман Н. А. (1977). Анализ ошибок школьников шестого класса при выполнении письменных заданий по математике

. Бюллетень Викторианского Института Образовательных Исследований, Vol. 39, 31-

43.

6. Поля Г. (1973). Как решить: новый аспект математического метода.Princeton,

N.J .: Princeton University Press. Пракитипонг.

7. Саварди, Х., Р., Х. и Шахрилл, М. (2014). Понимание математических представлений учащихся

Ошибки и заблуждения: случай повторных учащихся 11-го класса. Математика

Тенденции в образовании и исследования, Vol. 2014, 1-10.

8. Тхук П. Д. (2009). Методы преподавания математики в начальных школах, Ханой:

Издательство образования.

Условия лицензирования Creative Commons

Автор (ы) сохранят за собой авторские права на свои опубликованные статьи, согласившись с тем, что Creative Commons Attribution 4.0 К их работе будут применяться условия Международной лицензии (CC BY 4.0)

. Согласно условиям этой лицензии, для членов сообщества

не требуется разрешения от автора или издателя на копирование, распространение, передачу или адаптацию содержания статьи с указанием надлежащей, заметной и недвусмысленной ссылки на авторов. таким образом, что

дает понять, что материалы используются повторно с разрешения Creative Commons License. Взгляды, мнения и выводы, выраженные в этой исследовательской статье

, являются взглядами, мнениями и выводами авторов.Издательская группа открытого доступа и Европейский журнал образовательных исследований

не несут ответственности за любые убытки, ущерб или обязательства, вызванные / возникшие в результате конфликта интересов, нарушений авторских прав и

неуместного или неточного использования любого рода. контент, связанный с исследовательской работой или интегрированный в нее. Все опубликованные работы соответствуют требованиям Open Access

Publishing и могут быть свободно доступны, распространяться, изменяться, распространяться и использоваться в образовательных, коммерческих и некоммерческих целях

под лицензией Creative Commons Attribution 4.3 $ имеет меньше возможных значений, чем $ a_1 $. Это ключ к следующему методу.

Лагранж развивает первые общие идеи о том, как должна быть построена разрешимость радикалами, наблюдая, как работают различные методы, включая приведенные выше. Ключевым моментом в теории является то, что происходит с выражениями, содержащими корни, когда сами корни переставляются, и именно это в конечном итоге приводит к тому, что мы теперь называем теорией Галуа (в ее первоначальном воплощении как наиболее общий метод понимания структуры решений уравнения с перестановками корней).{-ij} x_j, $$ взяв линейные комбинации уравнений.

Предположим, теперь мы помечаем корни заново. Что происходит с $ a_i $? Существует $ 6 $ возможных способов пометить корни, поэтому каждый $ a_i $ может принимать не более $ 6 $ значений. Но, конечно, не все берут столько: у нас есть $$ 3a_0 = x_1 + x_2 + x_3 = -b $$ по одной из формул Виета. С другой стороны, простой расчет показывает, что $ a_1 $ обычно имеет разные значения на $ 6 $.

Лагранж доказывает, что если выражение имеет $ n $ различных значений при всех перестановках корней, оно является корнем уравнения степени $ n $, коэффициенты которого являются рациональными функциями коэффициентов исходного уравнения.3 = 0 \ tag {2} $$ используя остальные формулы Виета для кубики. Это та самая квадратичная, которая появляется постоянно!

Наконец, Лагранж доказывает еще более сильный результат: если $ V $ — это выражение в корнях, которое не меняет своего значения при определенном подмножестве перестановок корней, а $ U $ — это выражение, которое принимает $ m $ значений под этим подмножеством, то $ U $ является корнем уравнения степени $ m $ с коэффициентами рациональных функций от $ V $ и коэффициентами уравнения.2-3c} {9U}, $$ другие корни происходят от других значений $ U $.

В определенном смысле этот процесс поиска выражений, которые принимают только несколько значений при определенных наборах перестановок, является единственным способом решить уравнения алгебраически: можно провести аналогичный анализ метода Чирнхауза, хотя он намного сложнее. Но в случае с кубикой, по существу, есть только один способ сделать это, способ, который мы только что дали. Это означает, что любое алгебраическое (в отличие от трансцендентного, использующего тригонометрические или гиперболические функции) вычисление корней в какой-то момент будет проходить через квадратичный $ (2) $.3, $ откуда можно найти $ u, v $, а решение исходной кубики — $ x = u + v. $ Это дает известную формулу Кардано. Но очевидно, что этот процесс легче запомнить.

Кубическая формула — OeisWiki

На этой странице нет утвержденных изменений, поэтому возможно, что , а не были рассмотрены.

Эта страница статьи является незавершенной, помогите, расширив ее.

Кубическая формула дает корни любого кубического уравнения

ax3 + bx2 + cx + d = 0, а ≠ 0.{2} -C} {\ sqrt [{3}] {q \ pm Q}}} \ right) = B + {\ sqrt [{3}] {q \ pm Q}} + {\ sqrt [{3} ] {q \ mp Q}},} \ end {array}}}

где, начиная с

3√ q ∓ Q = B 2 — C 3√ q ± Q

q 2 — Q 2 = ( B 2 — C ) 3

.
Наконец, три (отдельные или нет) корня из

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0, a ≠ 0,

можно записать как

x = B + q − Q3 + q + Q3, {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {x = B + {\ sqrt [{3}] {qQ}} + {\ sqrt [{ 3}] {q + Q}},} \ end {array}}}

где

Q = q2 + (C − B2) 3, {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {Q = {\ sqrt {q ^ {2} + (CB ^ {2}) ^ {3} }},} \ end {array}}}

q = B3- (3BC-D2), {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {q = B ^ {3} — \ left ({\ frac {3BC-D} {2}} \ справа),} \ end {array}}}

с и.

Формулы Виета для кубики

Формулы Виета для кубической

(x − x1) (x − x2) (x − x3) = 0, {\ displaystyle (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) (x-x_ {3}) = 0, \,}

дает систему трех уравнений с тремя переменными (которые являются тремя корнями)

x1 + x2 + x3 = −ba = 3B, x1⋅x2 + x1⋅x3 + x2⋅x3 = + ca = 3C, x1⋅x2⋅x3 = −da = D. {\ Displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} & = — {\ frac {b} {a}} = 3B, \\ x_ {1} \ cdot x_ {2} + x_ {1} \ cdot x_ {3} + x_ {2} \ cdot x_ {3} & = + {\ frac {c} {a}} = 3C, \\ x_ {1} \ cdot x_ {2} \ cdot x_ {3} & = — {\ frac {d} {a}} = D.\ end {align}} \ end {array}}}

Разделив третье уравнение на второе уравнение, можно получить формулу для гармонической суммы корней

1×1 + 1×2 + 1×3 = −cd = 3CD. {\ Displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {{\ frac {1} {x_ {1}}} + {\ frac {1} {x_) {2}}} + {\ frac {1} {x_ {3}}} = — {\ frac {c} {d}} = 3 {\ frac {C} {D}}.