как решить однородное дифференциальное уравнение
Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения:y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.
Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.
1) Решить уравнение
Решение:
Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда
u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки
u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0
Интегрируем:
В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u
ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда
ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. ( по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:
По свойству логарифмов:
Это — общий интеграл уравнения.
Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x ( x>0) входят в общее решение.
Ответ:
2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.
Решение:
Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:
u’x+u=1/u+u. Упрощаем:
u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).
Интегрируем:
и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем
Выполняем обратную замену:
Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:
Ответ:
3) Найти общий интеграл однородного уравнения:
(x²-y²)dy-2xydx=0.
Решение:
Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):
x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:
xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):
Интегрируем:
В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:
(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:
По свойствам логарифмов:
Обратная замена
Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.
Ответ:
Замечание
Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:
Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.
Задания для самопроверки:
1) (x²+y²)dx-xydy=0
2)
Показать решение
1) Проверяем, что уравнение является однородным, после чего делаем замену u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем в условие: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Разделив обе части уравнения на x²≠0, получаем: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Отсюда dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Упростив, имеем: dx-xudu=0. Отсюда xudu=dx, udu=dx/x. Интегрируем обе части:
где С=(С1)².
Так как u=y/x, u²=y²/x², то есть y²=u²x²,
Ответ:
2) Проверив, что данное уравнение является однородным, делаем замену y=ux, отсюда y’=u’x+u. Подставляем в условие:
Делим обе части уравнения на x:
Упрощаем:
Интегрируем обе части:
Так как u=y/x, то
и, умножив на x обе части уравнения, получаем:\
Ответ:
Однородное дифференциальное уравнение — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений.
Обыкновенное уравнение первого порядка y′=f(x,y){\displaystyle y’=f(x,y)} называется однородным относительно x и y, если функция f(x,y){\displaystyle f(x,y)} является однородной степени 0:
- f(λx,λy)=λ0f(x,y)=f(x,y){\displaystyle f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{0}f(x,y)=f(x,y)}.
Однородную функцию можно представить как функцию от yx{\displaystyle {\frac {y}{x}}}:
- f(x,y)=f(1,yx)=g(yx){\displaystyle \ f(x,y)=f\left(1,{\frac {y}{x}}\right)=g\left({\frac {y}{x}}\right)}.
Используем подстановку yx=u{\displaystyle {\frac {y}{x}}=u}, а затем воспользуемся правилом произведения: d(ux)dx=xdudx+udxdx=xdudx+u{\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u}. Тогда дифференциальное уравнение y′=f(x,y){\displaystyle y’=f(x,y)} сводится к уравнению с разделяющимися переменными:
- u′x+u=g(u)⇒duu−g(u)+dxx=0{\displaystyle u’x+u=g(u)\Rightarrow {\frac {du}{u-g(u)}}+{\frac {dx}{x}}=0}.
Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение F(y,y′,y″,…)=G(x){\displaystyle F(y,y’,y»,\ldots )=G(x)} — однородно, если G(x)≡0{\displaystyle G(x)\equiv 0}.
В случае, если G(x)≠0{\displaystyle G(x)\neq 0}, говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.
Именно для решения линейных однородных дифференциальных уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.
Однородные дифференциальные уравнения высших порядков
Показано как распознать дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных. Рассмотрен способ решения таких уравнений. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения второго порядка.
- Дифференциальное уравнение высшего порядка, однородное относительно функции и ее производных
- – это уравнение вида
.
Как распознать однородное дифференциальное уравнение высшего порядка
Для того, чтобы распознать дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных, нужно ввести постоянную t и сделать замену y → ty, y’ → ty’, y» → ty», и т.д. Если, в результате такого преобразования, постоянная t сократится, то это дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных.
Решение однородного дифференциального уравнения
Однородное дифференциальное уравнение высшего порядка допускает понижение порядка с помощью подстановки:
,
где u – функция от x.
Действительно, тогда:
;
.
И т. д. Отсюда
;
;
.
И т. д. При подстановке в исходное уравнение
,
получаем уравнение относительно u, порядок которого понижен на единицу:
.
Пример решения однородного дифференциального уравнения высшего порядка
Решить уравнение:
.
Решение
Проверим, является ли данное уравнение однородным относительно функции и ее производных. Делаем замену
y → ty, y′ → ty′, y′′ → ty′′:
;
Или
.
t сокращается. Поэтому это однородное уравнение.
Делаем подстановку:
.
Тогда:
.
Подставляем в исходное уравнение:
.
Сокращаем на y2 :
;
;
;
.
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно решается с помощью интегрирующего множителя, который в данном случае равен единице:
.
Отсюда:
;
;
.
Умножаем на dx и интегрируем:
;
.
Интегралы табличные:
.
Потенцируем (знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1, которую включаем в C2):
.
Заменим постоянную C1 → — C1.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
Однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка
Определение и формулы однородных ДУ первого порядка
Уравнение вида (1) заменой
(или ) сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции :
или
Общий интеграл уравнения:
Интеграл, стоящий в правой части, табличный, тогда:
Необходимо рассмотреть еще особый случай . Если это уравнение имеет корни, то они являются и решением уравнения . Но это уравнение не совпадает с исходным дифференциальным уравнением, поэтому надо убедиться, что решения уравнения удовлетворяют исходному уравнению (1).
Примеры решения задач
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y»+p·y’+q·y=f(x), где произвольными числами являются p и q, а имеющаяся функция f(х) непрерывная на интервале интегрирования x.
Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.
Теорема общего решения ЛДНУ
Теорема 1Общим решением, находящимся на интервале х, неоднородного дифференциального уравнения вида y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f0(x)·y=f(x) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f0(x), f1(x),…, fn-1(x) и непрерывной функцией f(x) равняется сумме общего решения y0, которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y~, где исходным неоднородным уравнением является y=y0+y~.
Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y=y0+y~. Алгоритм нахождения y0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y~.
Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f(x), располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.
Когда f(x) считается за многочлен n-ой степени f(x) = Pn(x), отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y~=Qn(x)·xγ, где Qn(x) является многочленом степени n, r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение
Однородные уравнения первого порядка
Понятие однородного уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка, представленное в стандартном виде $y’=f\left(x,y\right)$, является однородным, если его правая часть зависит не просто от переменных $x$ и $y$, а от отношения функции $y$ к независимой переменной $x$, то есть $ f (x,y) = f (x/y)$.
Зависимость функции от отношения $\frac{y}{x} $ следует понимать так, что функция не изменяется при замене в ней данного отношення на любое другое, имеющее вид $\frac{t\cdot y}{t\cdot x} $. Например, именно такое свойство имеет функция $f\left(x,y\right)=\frac{y}{x} \cdot \cos \frac{y}{x} $. Действительно, $f\left(x,y\right)=\frac{y}{x} \cdot \cos \frac{y}{x} =\frac{t\cdot y}{t\cdot x} \cdot \cos \frac{t\cdot y}{t\cdot x} $. После замены переменных $x$ и $y$ на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно и последующего сокращения на $t$ данная функция приобретает свой исходный вид. В этом и состоит основное свойство однородного дифференциального уравнения.
Общий метод решения
Однородное дифференциальное уравнение $y’=f (x/y)$ решают посредством применения замены $\frac{y}{x} =u$, где $u=u\left(x\right)$ — новая неизвестная функция. Идея состоит в том, что найдя функцию $u$ и умножив её на $x$, можно будет найти и нужную функцию $y$.
Представим замену в виде $y=u\cdot x$ и продифференцируем её: $\frac{dy}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot x+u\cdot \frac{dx}{dx} =\frac{du}{dx} \cdot x+u$. Подставим $y$ и $\frac{dy}{dx} $ в данное дифференциальное уравнение: $\frac{du}{dx} \cdot x+u=f\left(u\right)$.
Полученное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, после элементарных преобразований его можно представить в виде $\frac{du}{dx} =\frac{f\left(u\right)-u}{x} $, где $f_{1} \left(x\right)=\frac{1}{x} $ — функция, зависящая только от $x$, и $f_{2} \left(u\right)=f\left(u\right)-u$ — функция, зависящая только от $u$. Применим к этому дифференциальному уравнению метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Сначала вычисляем интеграл $I_{1} =\int f_{1} \left(x\right)\cdot dx $. Получаем: $I_{1} =\int \frac{1}{x} \cdot dx=\ln \left|x\right| $. Теперь записываем интеграл $I_{2} =\int \frac{du}{f_{2} \left(u\right)} $. Получаем: $I_{2} =\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $. Общее решение записываем в форме $I_{2} =I_{1} +C$, то есть $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\ln \left|x\right|+C$. Правую часть полученного решения можно упростить, если представить произвольную постоянну в более удобной форме $\ln \left|C\right|$. При этом получим: $\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$.
Окончательно получаем: $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\ln \left|x\cdot C\right|$. После вычисления интеграла $\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $ и замены $u$ на $\frac{y}{x} $ общее решение данного однородного дифференциального уравнения будет найдено.
Общий метод решения можно представить в виде следующего алгоритма:
- В первую очередь убеждаемся, что решаемое дифференциальное уравнение является однородным. Для этого нужно представить его в стандартном виде $y’=f\left(x,y\right)$, после чего в функции $f\left(x,y\right)$ переменные $x$ и $y$ заменить на $t\cdot x$ и $t\cdot y$ соответственно. Если после элементарных тождественных преобразований удается вернуться к той же функции $f\left(x,y\right)$, то данное дифференциальное уравнение является однородным и $ f (x,y) = f (x/y)$. Если добиться этого оказалось невозможным, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
- Находим $f\left(u\right)$, выполнив для функции $f (x/y)$ замену $y=u\cdot x$, после чего записываем функцию $f\left(u\right)-u$.
- Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} $ и записываем общее решение в виде $I=\ln \left|x\cdot C\right|$.
- Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x} $ и проводим упрощающие тождественные преобразования.
- Находим особые решения, которые могли быть утрачены при разделении переменных.
Решение типичных задач
Задача 1
Найти общее решение дифференциального уравнения $y’=2+\frac{y}{x} $.
По внешнему виду данного дифференциального уравнения его можно сразу отнести к однородному.
Для функции $f (x/y)=2+\frac{y}{x} $ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=2+\frac{u\cdot x}{x} =2+u$. Записываем функцию $f\left(u\right)-u=2+u-u=2$.
Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\int \frac{du}{2} =\frac{u}{2} $.
Записываем общее решение в виде $\frac{u}{2} =\ln \left|x\cdot C\right|$.
Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x} $ и получаем $\frac{y}{2\cdot x} =\ln \left|x\cdot C\right|$ или $y=2\cdot x\cdot \ln \left|x\cdot C\right|$.
Так как $f\left(u\right)-u=2$, то особых решений данное дифференциальное уравнение не имеет.
Задача 2
Найти общее решение дифференциального уравнения $x\cdot y’=5\cdot y+x$.
Приводим данное дифференциальное уравнение к стандартному виду $y’=5\cdot \frac{y}{x} +1$, после чего можно сделать вывод, что оно является однородным.
Для функции $f (x/y)=5\cdot \frac{y}{x} +1$ выполняем замену $y=u\cdot x$ и находим $f\left(u\right)=5\cdot \frac{u\cdot x}{x} +1=5\cdot u+1$.
Записываем функцию $f\left(u\right)-u=5\cdot u+1-u=4\cdot u+1$.
Находим интеграл $I=\int \frac{du}{f\left(u\right)-u} =\int \frac{du}{4\cdot u+1} =\frac{1}{4} \cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|$.
Записываем общее решение в виде $\frac{1}{4} \cdot \ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|$, откуда $\ln \left|4\cdot u+1\right|=\ln \left|x\cdot C\right|^{4} $; $4\cdot u+1=x^{4} \cdot C^{4} $ или просто $4\cdot u+1=C\cdot x^{4} $.
Выполняем обратную замену $u=\frac{y}{x} $ и получаем $4\cdot \frac{y}{x} +1=C\cdot x^{4} $.
Таким образом, общее решение имеет вид: $4\cdot y+x=C\cdot x^{5} $.
Решая уравнение $f\left(u\right)-u=4\cdot u+1=0$ или $4\cdot \frac{y}{x} +1=0$, находим особое решение $y=-\frac{x}{4} $. Проверка подстановкой в данное дифференциальное уравнение $x\cdot \left(-\frac{1}{4} \right)=5\cdot \left(-\frac{x}{4} \right)+x$ показывает, что особое решение $y=-\frac{x}{4} $ удовлетворяет данному дифференциальному уравнению.
Однако это же решение можно получить из общего решения $4\cdot y+x=C\cdot x^{5} $, положив в нём $C=0$.
Таким образом, окончательный результат: $4\cdot y+x=C\cdot x^{5} $.
Уравнения, приводящиеся к однородным
При определенных условиях дифференциальное уравнение вида $y’=\frac{a_{1} \cdot x+b_{1} \cdot y+c_{1} }{a_{2} \cdot x+b_{2} \cdot y+c_{2} } $, в котором $a_{1} $, $b_{1} $, $c_{1} $, $a_{2} $, $b_{2} $, $c_{2} $ — постоянные коэффициенты, может быть приведено к однородному.
Если $\Delta \equiv \left|\begin{array}{cc} {a_{1} } & {b_{1} } \\ {a_{2} } & {b_{2} } \end{array}\right|\ne 0$, то приведение его к однородному достигается с помощью замен $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, где постоянные $\alpha $ и $\beta $ следует выбрать как результат решения системы $\left\{\begin{array}{c} {a_{1} \cdot \alpha +b_{1} \cdot \beta =-c_{1} } \\ {a_{2} \cdot \alpha +b_{2} \cdot \beta =-c_{2} } \end{array}\right. $.
Так как $\Delta \ne 0$, то эта система имеет единственное решение, которое проще всего найти по формулам Крамера.
Используя найденные выражения для $x=m+\alpha $ и $y=n+\beta $, получим дифференциальное уравнение $\frac{dn}{dm} =\frac{a_{1} \cdot m+b_{1} \cdot n}{a_{2} \cdot m+b_{2} \cdot n} $, которое является однородным.