Как решать дробно рациональные уравнения 9 класс – Методическая разработка по алгебре (9 класс): Методика решения дробно — рациональных уравнений. Подготовка учащихся к ОГЭ.

Методическая разработка по алгебре (9 класс): Методика решения дробно — рациональных уравнений. Подготовка учащихся к ОГЭ.

 Методика решения дробно — рациональных уравнений.

 Подготовка учащихся к ОГЭ.

( из опыта работы учителя математики МБОУ Погребская средняя общеобразовательная школа Стратий Татьяны Николаевны)

Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике является одним из документов, определяющих структуру и содержание КИМов. В нем сформулированы требования к уровню подготовки выпускников основной школы. В разделе III прописано требование «Уметь решать уравнения, неравенства и их системы»

Код раздела

Код контролируемого умения

Уметь решать уравнения, неравенства и их системы

3

3.1

Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы

3.2

Решать линейные и квадратные неравенства  с одной переменной и их системы

3.3

Применять графические представления  при решении уравнений, систем, неравенств

3.4

Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений исходя из формулировки задачи

С темой «Дробные рациональные уравнения » учащиеся впервые знакомятся на уроках алгебры в 8 классе. Вводится понятие дробно-рационального уравнения, указывается чёткий алгоритм его решения, разбираются базовые примеры. В 9 классе при изучении главы II «Уравнения и неравенства с одной переменной»  расширяем знания учащихся по теме «Дробные рациональные уравнения», решаем более сложные задания. Результаты обучения в значительной степени зависят от конкретной методики обучения, которую применяет учитель на уроках. Учитель, при активном сотрудничестве с обучающимися, должен помочь им выделить систему общих указаний, которые будут служить  ориентирами при решении уравнений.

Целесообразно четко сформулировать  алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

В ходе решения дробно-рациональных уравнений необходимо установить, являются ли найденные корни целого уравнения допустимыми значениями переменной. Учащиеся нередко ошибаются, пропуская этот момент, поэтому надо настойчиво добиваться, чтобы в каждом случае алгоритм был выполнен до конца.

       Важно  научить обучающихся  пользоваться «методом пристального взгляда» чтобы они зрительно видели разложение знаменателей на простые множители и безошибочно находили наименьший общий знаменатель. Такая методика решения уравнений позволяет школьникам не допускать ошибок при решении дробных рациональных уравнений,  успешно решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений.

     Следует также предварительно отработать умения и навыки учащихся при выполнении тождественных преобразований, решения квадратных и линейных уравнений, раскладывания квадратного трёхчлена на множители, нахождения ОДЗ, основного свойства пропорции, формул сокращённого умножения

Приемы решения дробных рациональных уравнений  находят естественное и важное применение при решении текстовых задач. При решении текстовой задачи учащиеся выполняют три этапа, входящие в процесс решения:

— переводят задачу на язык алгебры (составляют математическую модель),

— решают полученное уравнение,

— выполняют содержательный анализ полученного ответа.

    В практической деятельности при проведении уроков по этой теме я  применяю   организацию учебной деятельности следующим образом: обучающиеся работают по группам. Одна группа   решает текстовые задачи – им требуется  в процессе решения  получить дробное рациональное уравнение. Другая группа  работает над решением этих же уравнений. Последующая проверка у доски работы двух групп представляет полное решение текстовой задачи с обоснованной записью ответа. В зависимости от наполняемости класса можно организовать подобным образом работу четырех или шести групп. Такая организация урока позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся, развивает коммуникативные навыки, умение работать в сотрудничестве позволяет закрепить умение решать текстовые задачи и одновременно умение решать дробные рациональные уравнения.

        Все выпускники 9 класса должны уметь решать дробные рациональные уравнения.

     Чтобы достичь поставленной задачи учителю следует руководствоваться методическими требованиями к системе упражнений, направленной на организацию усвоения приемов решения дробных рациональных уравнений.

  1. система упражнений должна обеспечивать возможность активного участия обучаемых в конструировании приема решения рассматриваемого класса задач (в нашем случае решения дробных рациональных уравнений)
  2.   система упражнений должна обеспечить усвоение и необходимое повторение каждого из приемов, входящих в качестве составной части в формируемый прием ( решения дробных рациональных уравнений)
  3. система упражнений должна строиться по принципу систематичности, постепенного нарастания сложности, содержать задания комплексного характера, выполнение которых  требует распознания типа уравнения и осознанного выбора способа его решения.

Дробно-рациональные уравнения

Стандартный вид дробно-рационального уравнения:

Где – многочлены.

Область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения: Решение уравнений  сводится к решению системы

Дробно-рациональные уравнения вида

Где – многочлены, можно решать, используя основное свойство пропорции:

               Основные методы решения рациональных уравнений.

         1. Простейшие: решаются путём обычных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее.

Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по  формуле  или используется теорема Виета: x1 + x2 = – b / a; x1x2 = c / a.

         2.Способ группировки: путём группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения привести (если удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.

        3. Способ подстановки: ищем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях очевидно какую следует сделать подстановку.

Например, уравнение

      (x2 + x – 5) / x  +  3x / (x2 + x – 5) + 4 = 0,

легко решается с помощью подстановки (x2 + x – 5) / x = t,

 получаем t + (3 / t) + 4 = 0.

     Или: 21 / (x2 – 4x + 10) – x2 + 4x = 6.

Здесь можно сделать подстановку x2 – 4 = t. Тогда 21 / (t + 10) — t = 6 и т.д.

        В более сложных случаях подстановка видна лишь после нескольких преобразований.               Например, дано уравнение

(x2 + 2x)2 – (x +1)2 = 55.

Переписав его иначе, а именно (x2 + 2x)2 – (x2 + 2x + 1) = 55, сразу увидим подстановку x2 + 2x=t.

Имеем t2 – t – 56 = 0, t1 = – 7, t2 = 8. Осталось решить x2 + 2x = – 7 и x2 + 2x = 8.

            В ряде других случаев удобную подстановку желательно знать “заранее”. Например

Уравнение (x + a)4 + (x + b)4 = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

x = t – (a + b) / 2.

     Симметрическое уравнение (возвратное) a0xn + a1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается с помощью подстановки x + 1 / x = t, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.

     Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, если

    a + b = c + d и т.д.

    К основному методу решения дробно-рациональных уравнений относится также метод замены переменной.

  1. Подбор:  при решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0 ищем в виде p / q,

 где p — делитель a0, q — делитель an, p и q взаимно просты, pÎ Z, qÎ N.

5. “Искусство”, т.е. решать пример нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

Некоторые  приемы решения дробно- рациональных уравнений рассмотрим на  примерах.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Сводим заданное уравнение к стандартному виду :

т. е.

Его решением будет решение системы

т. е.

Значит, решением заданного уравнения является

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Применим основное свойство пропорции с учетом ОДЗ уравнения:

Получаем:

Откуда

Оба корня являются решениями, так как подходят по ОДЗ. В ответе имеем:

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Группируем слагаемые

Заменяем

откуда

т. е. и

Получаем уравнение или, то же самое,

Полученное уравнение имеет корни:

Возвращаемся к переменной Х:

В результате приходим к совокупности 2-х квадратных уравнений

Которые решаем на ОДЗ: Приходим к ответу

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выделим в левой части уравнения полный квадрат суммы:

Получаем уравнение, которое приобретает вид

Заменяем и приходим к уравнению

Решая его, найдем корни:

Возвращаемся к старой переменной:

Решаем полученные уравнения по свойству пропорции (с учетом ОДЗ):

Ответ: 

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Введем замену:

Тогда и получим уравнение

Решаем его:

т. е.

Решая квадратное уравнение, находим корни:

Вернемся к переменной Х:

Решаем первое уравнение:

Второе уравнение не имеет решения, так как

 Ответ: 

Заключение:  Чтобы сформировать умение  решать дробные рациональные уравнения всеми обучающимися 9 класса, учителю математики необходимо разработать систему упражнений, направленную на отработку приемов и методов решения этих уравнений.

          На этапе подготовки  — создать условия для активного восприятия, через упражнения  на повторение, упражнения пропедевтического характера.

          На этапе  усвоения —  через систему упражнений необходимо создать условия, которые позволяют обучающимся осознать и  прочно запомнить новые сведения ( последовательность действий, алгоритм).

         На этапе закрепления – создать условия для усвоения знаний в ходе их применения в различных ситуациях.

                                     Используемая литература и электронные ресурсы

1.  Д.Т. Письменный «Готовимся к экзамену по математике»- М.; Рольф, Айрис-пресс,1998г.

2.   «Математика. Подготовка к ГИА- 2015»- под редакцией Ф.Ф. Лысенко, Ростов- на-Дону, Легион. 2014г.

3.   «Алгебра -9 класс»- Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. под редакцией

С.А. Теляковского, М.: Просвещение,2010г.

4.   Л.И. Заввич «Итоговая аттестация. Задания по математике»М,:Просвещение,2011г.

5.   С.С.Минаева,Л.О.Рослова   «Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации».М.,Экзамен.2014г.

6.  М.Р.Леонтьева, С.Б. Суворова «Упражнения в обучении алгебре»,М.,Просвещение,2005г.

7.   Ресурсы, представленные на портале ФЦИОР (Федеральный центр информационных образовательных ресурсов) – http://fcior.edu.ru , http://eor.edu.ru 

 8.  Каталог образовательных ресурсов сети Интернет для школы —     http://katalog.iot.ru/

9.  Справочная информация по математическим дисциплинам      

        http:/www. mathem.h2.ru/

10.     Образовательный математический сайт          http://www.exponenta/ru

 11.     Публикации по алгебре, геометрии, тригонометрии  

                     http://www.ega-math.narod.ru/

 12. Сеть творческих учителей           http://www.it-n.ru

 13. Материалы газеты «Математика»       http://mat.1september.ru

14.Интернет-проект «Задачи» . Помощь при подготовке уроков, кружков             http://www.problems.ru/

Презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему: Дробно-рациональные уравнения. Применение при решении задач.

Слайд 1

Дробно-рациональные уравнения . Применение при решении задач. 9 класс Учитель математики Лицей № 488 САБЛЯ ТАТЬЯНА ЕВГЕНЬЕВНА

Слайд 2

Устно. Укажите дробно-рациональные уравнения. 1 6 5 4 2 3 Ответ: 3 5 6

Слайд 3

Устно.

Слайд 4

Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений.

Слайд 5

Этапы работы над задачей Анализ текста задачи . Составление таблицы- условия. Выбор метода решения . Решение . Интерпретация полученного результата .

Слайд 6

Дробно-рациональные уравнения используются при решении задач на совместную работу. на движение

Слайд 7

Рекомендации к решению задач на совместную работу: Что необходимо знать? 1. Объём, выполняемой работы! (A) 3 . Производительность! (N) 2 . Время работы! (t) Что необходимо делать?

Слайд 8

Задача № 8 .1 5 («Алгебра. Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9классе», М. Просвещение.2012г .) Два каменщика выложили стену за 14 дней, причем второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что первому каменщику на выполнение всей работы потребовалось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней мог бы выложить эту стену каждый каменщик, работая отдельно?

Слайд 9

Анализ текста задачи и составление условия-таблицы Необходимо ответить на вопросы: Сколько участников задачи? Какими величинами характеризуется ситуация? Каково количество ситуаций, в которые попадают участники задачи? Какие величины известны? Как связаны величины, характеризующие процесс задачи?

Слайд 10

Сколько участников задачи? Два участника Две строки в таблице I каменщик II каменщик

Слайд 11

Какими величинами характеризуется ситуация? производительность V , работа А, время t V t A I каменщик II каменщик

Слайд 12

Каково количество ситуаций, в которые попадают участники задачи? работа совместно работа отдельно две колонки в таблице-условии Совместно Отдельно N t A N t A I каменщик II каменщик

Слайд 13

Какие величины известны? заносим в таблицу все известные значения Совместно Отдельно N t A N t A I каменщик 14 1 II каменщик 11 1

Слайд 14

Как связаны величины, характеризующие процесс задачи? заносим в таблицу все связи Совместно Отдельно V t A V t A I каменщик 14 на 6 > (x+6) 1 II каменщик 11 x 1 1

Слайд 15

Заполняем таблицу, используя формулы связывающие величины: выражаем величины одну через другую А= Vt, V=A/t, Совместно Отдельно N t A N t A I каменщик 1 х+6 14 14 х+6 1 х+6 на 6 > x+6 1 II каменщик 1 х 11 11 x 1 х x 1 1

Слайд 16

Составление уравнения учитываем, что при совместной работе каменщики выложили всю стену целиком, получаем уравнение: Совместно Отдельно N t A N t A I каменщик 1 х+6 14 14 х+6 1 х+6 на 6 > x+6 1 II каменщик 1 х 11 11 x 1 х x 1 1

Слайд 17

Анализ( интерпретация) полученного результата В результате решения квадратного уравнения получаются корни х=22 и х=-7. По смыслу задачи х = — 7 – посторонний корень, поэтому оставляем только х=22.

Слайд 18

Ответ. Второй каменщик выполнит всю работу за 22дня, первый за 28 дней.

Слайд 19

Задачу прочти Немного помолчи Про себя повтори Ещё раз прочти Нет объёма работы, за 1 прими Данные в таблицу занеси Уравнение запиши Уравнение реши! Рекомендации:

Слайд 20

Задачи на движение.

Слайд 21

Рекомендации к решению задач на движение В задачах на движение участвуют понятия: путь, пройденный телом (расстояние), скорость движения тела и время за которое тело прошло заданное расстояние. В математике приняты обозначения: S – путь, t — время, v — скорость. Тогда существует формула расчета пути: S = v • t , из этой формулы выводятся формулы вычисления времени: t = S : v скорости: v = S : t . А В 20 км город Станица V=55 км/ч 110 км

Слайд 22

Задача № 8 .1 1 («Алгебра. Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9классе», М. Просвещение.2012г .) Из города А в город В, расстояние между которыми 30 км, выехал грузовик. Через 10 мин вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 км / больше скорости грузовика. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что он приехал в город В на 5 мин раньше грузовика.

Слайд 23

Анализ текста задачи и составление условия-таблицы Необходимо ответить на вопросы: Сколько участников задачи? Какими величинами характеризуется ситуация? Какие величины известны? Как связаны величины, характеризующие процесс задачи?

Слайд 24

Составление уравнения учитываем, что при совместной работе каменщики выложили всю стену целиком, получаем уравнение: V t S Грузовик х 30 Легковой автомобиль Х+20 30

Слайд 25

Ответ. Скорость легкового автомобиля равна 60 км / ч.

Слайд 26

Домашнее задание. Распечатка.

Слайд 27

Этапы работы над задачей Анализ текста задачи . Составление таблицы- условия. Выбор метода решения . Решение . Интерпретация полученного результата .

Слайд 28

Спасибо за урок!!!

Слайд 30

Замечание Совместно Отдельно V t A V t A I каменщик х 14 14 х х 14 на 6 > 14 х 1 II каменщик 1-х 11 11 1-х 1-х 11 11 1-х 1 Используя другую связь для введения переменной х , можно получить другую таблицу и уравнение 1

Слайд 31

Уравнение принимает вид Дробно-рациональное уравнение сводится к квадратному ;

Слайд 32

Интерпретация результата В данном случае по смыслу задачи подходит лишь х=0,5. Следующим шагом необходимо найти искомые величины, т.е. 14/х и 11/(1-х) Данный способ нерационален, но ответ к задаче тот же: 28дней и 22 дня.

Дробно-рациональные уравнения

Вопросы занятия:

·  повторить, какие уравнения называются рациональными, виды рациональных уравнений, какие уравнения называются дробно-рациональными;

·  вспомнить алгоритм решения дробно-рациональных уравнений.

Материал урока

Но прежде, давайте вспомним, какие уравнения называются рациональными.

Определение.

Рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями.

Напомним, что рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Рациональные уравнения делятся на целые – в которых нет операции деления на выражение, содержащее переменную, например, целым уравнением будут уравнения.

И дробно-рациональные – если в них есть операция деления на выражение, содержащее переменную.

Выполним задание.

Задание.

Мы с вами уже вспомнили какие уравнения называются линейными и квадратными, повторили основные методы решения таких уравнений. Эти уравнения были примерами целых уравнений.

Сегодня мы вспомним какие уравнения называются дробно-рациональными и какие методы применяются для их решения.

Определение.

Дробно-рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причём хотя бы одно из них – дробное выражение.

Давайте вспомним алгоритм решения дробно-рациональных уравнений.

Рассмотрим пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Решим ещё один пример.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке, мы вспомнили какие уравнения называются рациональными, виды рациональных уравнений, повторили какие уравнения называются дробно-рациональными, вспомнили алгоритм решения дробно-рациональных уравнений. Рассмотрели несколько примеров.

Методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему: Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

Еловик Екатерина Петровна —  учитель математики

МОУ СОШ № 17 г. Карталы

При  объяснении новой темы «Дробные рациональные уравнения», учитель  знакомит учащихся с алгоритмом решения уравнений, который прописан в учебниках  «Алгебра-8» и «Алгебра-9»  под редакцией С. А . Теляковского, авторами которого являются Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.(1 способ)

1 способ:

  1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  3. Решить получившееся целое уравнение;
  4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Но все мы учителя творческие люди и поэтому, каждый объясняет данную тему  по своему. Например (способ  №2 или способ  №3)

2 способ

  1. Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.
  2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
  3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
  4. Решить получившееся уравнение.
  5. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения

3 способ

  1. разложить знаменатель каждой дроби, входящей в уравнение ,на множители;
  2. найти наименьший общий знаменатель;
  3. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  4. решить получившееся  целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые      обращают в ноль общий знаменатель.  


Я тоже не являюсь исключением, и поэтому хочу предложить свой вариант алгоритма решения этих уравнений.

Пример №1.

 

  1. Найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Выпишем знаменатели каждой дроби  в столбик и разложим их на простые множители:

  • 1 знаменатель:
  • 2 знаменатель: х+3
  • 3 знаменатель: х-3   и т.д.
  • общий знаменатель: (х-3)(х+3)

Общий знаменатель выписываем так: из первого знаменателя выписываем все простые множители, а из второго, третьего и т.д. дописываем недостающие множители. Затем сравниваем простые множители 1 знаменателя с множителями  общего знаменателя. Если  в первом знаменателе, нет какого либо простого множителя, из  которых, состоит наименьший общий знаменатель, то этот не достающий  множитель будет являться дополнительным множителем  для первой дроби. Затем сравниваем простые множителя второго знаменателя с простыми множителями наименьшего общего знаменателя и находим дополнительный множитель для второй дроби и т.д.

  1. Решить получившееся  целое уравнение.

18+ 5(х-3) = х(х+3)

18 + 5х-15= +3х

— 2х – 3 = 0

D= — 4ac =  – 4*1*(- 3) =4+12 =16

D0, 2 корня

Х1,2=

Х1= 3

Х2= -1

  1. Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.

(х+3)(х-3)0

х+30 или х-30

х1-3            х2≠3          

  1. Исключить из его корней те, которые      обращают в ноль общий знаменатель.  

Х1= 3 не является конем уравнения.

Ответ: х=-1.

Пример №2

1.    Найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

(Раскладываем на простые множители каждый знаменатель- речь учителя)

  • 1 знаменатель:
  • 2 знаменатель:2 х- 4= 2 (х — 2)
  • 3 знаменатель: 2 2х(х +  2)  и т.д.

(Выписываем наименьший общий знаменатель – речь учителя)

  • общий знаменатель: (х-2)(х+2)2х
  1.     Решить получившееся  целое уравнение.

(Сравниваем первый знаменатель с наименьшим общим знаменателем, для первой дроби дополнительный множитель —  2х,  затем второй знаменатель сравниваем с общем знаменателем, для второй дроби  —  (х+2)х, для третей дроби —  (х – 2) – речь учителя)

2*2х + (х+2)х + 7(х – 2) = 0

4х +  + 2х +7х – 14  = 0

 + 13х —  14 = 0

1  =  1

2  = — 14

  1.         Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.

(х-2)(х+2)2х 0

2х 0  или       х-2 0  или     х+2 0

1  0                 2  2                        3   -2  

  1.  Исключить из его корней те, которые      обращают в ноль общий знаменатель.    

Оба корня являются допустимыми значениями дробей, входящих в уравнение.

Ответ:  1  =  1    и   2  = — 14

Алгоритм решения  дробных рациональных уравнений.

  1. Найти наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
  2. Решить получившееся  целое уравнение.
  3. Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.
  4. Исключить из его корней те, которые      обращают в ноль общий знаменатель.

 

Изюминкой моего алгоритма решения дробных рациональных уравнений является  то, что учащиеся  зрительно видят разложение знаменателей на простые множители  и безошибочно находят наименьший общий знаменатель. Такая методика решения уравнений  позволяет моим воспитанникам не допускать ошибки при решении дробных рациональных уравнений, решение задач  с помощью дробных рациональных уравнений.

Она предназначена для проверки уровня знаний, умений и навыков учащихся тождественных преобразований, решения  квадратных и линейных уравнений, раскладывания квадратного трёхчлена на множители, нахождения ОДЗ, основного свойства пропорции, формул сокращённого умножения.

При контрольной проверке  знаний по данной теме всегда получаю качественный показатель  не ниже 90%, а при сдаче ГИА учащиеся решают такие уравнения на 100%.  

Конспект урока «Дробные рациональные уравнения»

Урок алгебры в 9 классе.

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
.

Дробные рациональные уравнения. (первый урок).

Базовый учебник

Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений .

РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цели урока:

Обучающая:

  • формирование понятия дробно- рационального уравнения;

  • рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;

  • рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

  • обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;

  • проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

  • развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

  • развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;

  • развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

Воспитывающая:

  • воспитание познавательного интереса к предмету;

  • воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

  • воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений мы умеем решать? Какие нет и почему?

hello_html_6c382bc0.png

8.

Как называются выражения из которых составлены 5,6, 7 и 8 уравнения? (дробно-рациональными)

Уравнения, в которых левая и правая части, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Попробуйте сформулировать тему нашего урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

Давайте сформулируем цели нашего урока (дети самостоятельно формулируют цели урока)

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)

— Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

— Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (По формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)

— Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)

3. Объяснение нового материала.

Итак, мы уже знаем правила решения дробных рациональных уравнений. Что же это за правила? Попробуйте мне их сформулировать:

1группа будет искать решение, применяя свойство пропорции. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Сформулируйте основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)

Карточка 1: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

ИСПОЛЬЗУЯ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ

Произведение средних членов равно произведению

крайних членов пропорции.

2группа — применяя свойство равенства дроби нулю. Ответьте когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

Карточка 2: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

УМНОЖЕНИЕМ НА ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Обе части уравнения можно умножить или разделить

на одно и то же отличное от нуля число.

3группа решает методом умножения на общий, не равный нулю знаменатель.

Карточка 3: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

УМНОЖЕНИЕМ НА ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Обе части уравнения можно умножить или разделить

на одно и то же отличное от нуля число.

После решения и обсуждения в группах один представитель от каждой группы выходит к доске и записывает решение уравнения на доске.

/ *4х ОДЗ : х≠0

х²-4=6х-4 2х³-8х=12х²-8х

х²-6х=0 2х³-12х²=0

х=0 или х=6 2х²(х-6)=0

Ответ: х=0, х=6 х=0, х=6 х²-6х=0 х=0, х=6

Ответ: х=0, х=6 4х≠ 0 х ≠0

Ответ: х=6

Если получились разные ответы, то задаю наводящие вопросы:

Сравниваем ответы. Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае два корня, в другом – один? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7,8? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-8 – выражения с переменной.)

  • Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.)

  • Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку.)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что число 0 не является корнем данного уравнения.

Возникает вопрос: что же необходимо добавить в каждый из этих способов, чтобы исключить данную ошибку? ( исключить посторонние корни) —— дописываем на доске неравенство знаменателя нулю или ОДЗ).

Здесь мы столкнулись с понятием постороннего корня, т. е. это значение переменной, которое не входит в область определения дробно-рационального выражения.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данными способами. Рассмотрим первый способ: равенство дроби нулю. Дети сами формулируют алгоритм

1. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

  1. Перенести все в левую часть.

  2. Привести дроби к общему знаменателю.

  3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

  4. Решить уравнение.

  5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.

  6. Записать ответ.

Как оформить решение, если используется основное свойство пропорции?

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

1. Воспользоваться свойством пропорции: в верной пропорции произведение крайних

членов равно произведению средних.

2. Решить полученное целое уравнение.

3. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

4. Записать ответ.

Как оформить решение, если используется умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель?

3. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

  1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

  2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

  3. Решить получившееся целое уравнение.

  4. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 5. Записать ответ.

Назовите у каждого уравнения ОДЗ. Мы с вами рассмотрели три способа решения дробных рациональных уравнений.

а) ; х≠ 0

б) ; х≠-2, х≠-1

в) ; х≠0

г) ; х≠-5

4. Первичное осмысление нового материала.

А теперь каждой группе я предлагаю решить уравнения из предложенных любым из способов.

Карточки для групп: Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.

(Работа в группах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске

а) Ответ: х =1, х =

б) Ответ: а=3,5

в) Ответ: х = -3, х =2

г) -5 – посторонний корень. Ответ: х = 5;

5. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы. Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Но, независимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

  1. Постановка домашнего задания.

План-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему: Тема урока: «Дробные рациональные уравнения»

Класс 9.

Тема урока: «Дробные рациональные уравнения»

Тип урока: комбинированный.

Цели:

1.  Образовательные:  дать определение «дробно-рациональные уравнения», показать способы решения таких уравнений.

 2. Развивающие: развитие умений и навыков решать примеры с данным типом уравнений, находить корни дробно-рациональных уравнений.

  3. Воспитывающие:  воспитывать    внимание,    внимательность,    активность, аккуратность;  уважительное отношение к матери.

Задачи: заинтересовать учеников предметом,  показать  важность умения решать разные уравнения и задачи.

Материально- техническое оснащение:

Мультимедиа проектор, экран,  презентация  к  уроку «Дробные рациональные уравнения»

Время: 45 минут

План урока.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

I.Организационный момент. (1 мин.)

Приветствует учащихся, проверка их готовность к уроку.

Приветствуют учителя.

II.Сообщение темы и целей урока. (2 мин)

Сообщает тему и цель урока.

Записывают тему в тетрадь.

III.Повторение пройденной темы. (2 мин)

Задает вопросы на повторение пройденной темы.

Отвечают на вопросы.

IV.Изучение нового материала.   (15 мин.)

Демонстрирует слайды, сопровождает рассказом.

 Слушает, задает целенаправленные вопросы в роли рядового участника

Обсуждают предмет с учителем и получают при необходимости информацию, устанавливают цели, планируют траекторию работы.

Вырабатывают план действий, формируют задачи.

Выполняют поиск информации, сбор данных и фактов истории, первично исследуют полученную информацию, решают промежуточные задачи.

V.Физкультминутка. (1 мин.)

Выполняет физкультминутку

Выполняют физкультминутку

VI.Закрепление материала. (20 мин.)

Решение задач, предлагает вопросы на закрепление.

Решают задачи в тетрадях, у доски, задают вопросы учителю.

VIII. Подведение итогов урока.(4мин)

Оценивает работу учащихся.

Говорят о том, чему научились на уроке. Убирают рабочие места.

ХОД УРОКА

I. Рефлексия начала урока (музыка; презентация о матери).

Проверка готовности к уроку.

II. Сообщение новой темы, цели и задачи:

 Учитель: Здравствуйте! Посмотрите, пожалуйста, друг на друга и от всей души улыбнитесь.

Сегодняшний  урок я бы хотела начать со слов М. Горького:  

Слайд 1
                                                   Без солнца не цветут цветы,

без любви нет счастья,

без женщин нет любви,

без матери нет ни поэта, ни героя.

Вся гордость мира – от матерей.
                                        (М. Горький)(

Учитель:

 – Что может быть на свете священнее имени матери! …

Человек, еще не сделавший ни одного шага по земле и только – только начинающий «лопотать», неуверенно и старательно складывает по слогам «мама» и, почувствовав свою удачу, смеется, счастливый …

Когда ребенок вскрикнет первый раз

И мать его коснется осторожно,

Ее любовь… О, как она тревожна.

Тревожна каждый день и час.

           Ребята, скоро День Матери, поэтому сегодняшний урок я хочу связать с этой темой. Мы с вами на прошлых уроках научились решать, находить корни различных уравнений, сегодня мы продолжим знакомиться с одним из видов уравнений – это дробные рациональные уравнения,  выясним важность уравнений, и вспомним, как решать задачи с помощью уравнений. Постараемся не подвести свою маму, решать будем внимательно и не отвлекаясь, готовиться к ГИА. Мать каждого из вас хочет, чтобы её ребёнок был самым лучшим. Итак, сегодня у нас урок изучения новой темы  (слайд 2).

III. Повторение пройденной темы.  

    1. Проверка домашнего задания (слайд 3).

№925(а, б),  №935(а, б), №936.

2. Устно повторяем (слайд 3,4,5,6).

 Повторим:

  1.  

—  Как называется данное уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

  1. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение? 
  2. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение? 
  3.  Как называется данное уравнение?

         

IV. Изучение нового материала. (слайд 7).

Учитель : Уравнение y(x) =0  называют дробным рациональным уравнением, если выражение y(x)  является дробным  ( т.е. содержит деление на выражение с переменными).

Для решения рационального уравнения его необходимо преобразовать в линейное или квадратное уравнение,  решить это уравнение и отбросить те корни, которые не входят в ОДЗ (область допустимых значений) исходного рационального уравнения.

Откройте учебник на стр.78 и прочитаем правило. С этой темой вы уже работали в 8 классе.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений: (слайд 8).

  1. Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.
  2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
  3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
  4. Решить получившееся уравнение.
  5. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения (приложение 1)

Учитель: А теперь вместе со мной давайте решим дробно-рациональное уравнение по алгоритму (слайд 9).

VI. Самостоятельная работа (слайд 10).

… Твое письмо. Твои родные строки.

Последний материнский твой наказ:

«Законы жизни мудры и жестоки.

Живи. Трудись. Не порть слезами глаз.

Моя любовь с тобой всегда. Навеки.

Ты жизнь люби. Она ведь хороша.

Людей люби. И помни – в человеке

что  главное? Высокая душа».

Давайте и мы с вами постараемся, чтобы у нас была «высокая душа». А для этого надо уважать и любить родителей, конечно, стараться учиться и хорошо сдать гос. экзамены.  Займёмся подготовкой  к  аттестации.

Самостоятельная работа.  Самоконтроль – 4 варианта.  Проверка вашей честности. Работа  выполняется в тетрадях.    В  ходе  выполнения  работы  учащиеся  определяют  для  себя  алгоритм  решения  дробных  рациональных  уравнений.  На  каждой  парте – таблица – напоминание «Алгоритм  решения  дробных  рациональных  уравнений».  Приложение 1.

В а р и а н т  1.

В а р и а н т 2.

В а р и а н т  3.

В а р и а н т 4.

О т в е т ы:

  I   вариант:   ,     (;  ).

 II   вариант:      (;  )

III   вариант:      (   )

IV   вариант:   ,      (;   ).

VII. Физкультминутка (слайд 11).

Учитель: А теперь разминка.

— Повернитесь ко мне. Я проговариваю предложения. Если оно справедливо – вы встаёте, если нет – то остаётесь сидеть.

1) 5х = 7 имеет единственный корень. 

2) 0х = 0 не имеет корней. 
3) Если Д > 0, то квадратное уравнение имеет два корня. 
4) Если Д 5) Количество корней не больше степени уравнения.

VIII. Закрепление и повторение материала. (слайд 12).

Учитель. Мужчины перед своими любимыми хотят выглядеть только мужественными, только сильными, только несгибаемыми. Возможно, это и делает их мужчинами. И только перед родной матерью не боятся они обнажить свои слабости и неудачи, признаться в ошибках и потерях, потому что, как бы далеко они не ушли в своем возрасте и развитии, перед нею они и седые – все равно дети. А уж она понимает сердцем, что бедному да обиженному, прежде всего, всех нужнее – мать. Сегодня у всех будут хорошие оценки, поэтому обиженных, я думаю, не будет.

  1. Решаем  задачу  № 942  из  учебника. (Алгебра – 9 класс/ Ю.Н. Макарычев)  (слайд 13).

S

V

t

1-я автомашина

180 км

x-20 км/ч

ч

2-я автомашина

180 км

x км/ч

ч

  1. Решить пример на доске. (слайд 14).

№289(а)

VII. Подведение итогов урока.

Что нового вы узнали на уроке?

  1. Чему вы научились на уроке?

     2.  Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Учитель оценивает работу учащихся и выставляет оценки.

Учитель. Приобретая черты символа и выполняя огромную общественную миссию, мать никогда не теряла привычные человеческие черты, оставаясь радушной хозяйкой и умной собеседницей, старательной работницей и прирожденной песенницей, широкой в застолье и мужественной в горе, открытой в радости и сдержанной в печали, и всегда доброй, понимающей и женственной!  Я очень хочу, чтобы мечты ваших родителей осуществились, пусть вы будете достойными людьми (слайд 15).

VIII. Домашнее задание. №943,  №940(а, б),  №290 (слайд 16).

Приложение 1.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

  1. Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.
  2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
  3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
  4. Решить получившееся уравнение.
  5. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения.

Презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему: Дробные рациональные уравнения

Слайд 2

Дробные рациональные уравнения

Слайд 4

1. Как называется данное уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение? 2. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение? 3. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение? 4. Как называется данное уравнение?

Слайд 5

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если…… Квадратное уравнение имеет 2 равных корня (или ……. корень) , если…… Квадратное уравнение не имеет корней, если…… Область допустимых значений дробно-рационального уравнения это…..

Слайд 6

а) 2(1-х ² ) + 3х -4 =0; б) х — 3 = х ² — х +1 ; 4 2 в) х ² — х — 7 = х +8; х г) 2 х — 4 = 3__; х ² +1 х +1 д) 3 х + 1 = х ; х -1 е)х-7 = √х+9

Слайд 7

Уравнение y ( x ) =0 называют дробным рациональным уравнением , если выражение y ( x ) является дробным ( т.е. содержит деление на выражение с переменными). Пример:

Слайд 8

Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. Решить получившееся уравнение. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений

Слайд 9

Решение.

Слайд 10

… Твое письмо. Твои родные строки. Последний материнский твой наказ: «Законы жизни мудры и жестоки. Живи. Трудись. Не порть слезами глаз. Моя любовь с тобой всегда. Навеки. Ты жизнь люби. Она ведь хороша. Людей люби. И помни – в человеке что главное? Высокая душа». Самостоятельная работа.

Слайд 11

Физкультминутка 1) 5х = 7 имеет единственный корень. 2) 0х = 0 не имеет корней. 3) Если Д > 0, то квадратное уравнение имеет два корня. 4) Если Д

Слайд 12

Мужчины перед своими любимыми хотят выглядеть только мужественными, только сильными, только несгибаемыми. Возможно, это и делает их мужчинами. И только перед родной матерью не боятся они обнажить свои слабости и неудачи, признаться в ошибках и потерях, потому что, как бы далеко они не ушли в своем возрасте и развитии, перед нею они и седые – все равно дети. А уж она понимает сердцем, что бедному да обиженному,прежде всего, всех нужнее – мать. Закрепление изученного материала. № 289 (а) Задача №942

Слайд 13

. S V t 1-я автомашина 180 км x -20 км/ч ч 2-я автомашина 180 км x км/ч ч Задача №942

Слайд 14

Приобретая черты символа и выполняя огромную общественную миссию, мать никогда не теряла привычные человеческие черты, оставаясь радушной хозяйкой и умной собеседницей, старательной работницей и прирожденной песенницей, широкой в застолье и мужественной в горе, открытой в радости и сдержанной в печали, и всегда доброй, понимающей и женственной! Я очень хочу, чтобы мечты ваших родителей осуществились, пусть вы будете достойными людьми.

Слайд 15

№ 943, №940(а,б), №290.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о